湖南省湖湘教育三新探索协作体2023-2024学年高二上学期11月期中联考数学试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 湖南省湖湘教育三新探索协作体2023-2024学年高二上学期11月期中联考数学试题（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-11 10:03:43 | ||
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文档简介
湖湘教育三新探索协作体2023-2024学年高二上学期11月期中联考
数学
班级：______姓名：______准考证号：______
（本试卷共6页，22题，全卷满分：150分，考试用时：120分钟）
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上相应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，将答题卡上交.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2.若i是虚数单位，复数的共轭复数是，且，则复数的虚部等于（ ）
A. B.3 C. D.
3.平面内顺次连接，，，，所组成的图形是（ ）
A.平行四边形 B.直角梯形 C.等腰梯形 D.以上都不对
4.已知，，若，到直线的距离都等于，则满足条件的直线共有（ ）
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
5.已知，则（ ）
A.0 B.4 C. D.4046
6.一条光线从射出，经直线后反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线方程为（ ）
A. B. C. D.
7.在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为，则点到轴的距离为（ ）
A. B. C.3 D.
8.已知为双曲线右支上的一个动点（不经过顶点），，分别是双曲线的左、右焦点，的内切圆圆心为，过做，垂足为，下列结论错误的是（ ）
A.的横坐标为 B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知空间中三个向量，，，则下列说法正确的是（ ）
A.与是共线向量 B.与同向的单位向量是
C.在方向上的投影向量是 D.与的夹角为90°
10.设函数，给出下列命题，正确的是（ ）
A.的图象关于点对称
B.若，则
C.把的图象向左平移个单位长度，得到一个偶函数的图象
D.在内使的所有的和为
11.已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线，，，为切点，则下列说法正确的是（ ）
A.圆上有且仅有一个点到直线的距离等于1
B.四边形面积的最小值为1
C.当为等边三角形时，点的坐标为
D.直线过定点
12.如图，正方体的棱长为2，，，分别为，，的中点，是其表面上的一个动点，则下列说法正确的是（ ）
A.当在表面上运动时，三棱锥的体积为定值
B.当在线段中点时，平面截正方体所得截面的面积为
C.当在底面上运动，且满足平面时，长度的最小值是
D.使直线与平面所成的角为45°的点的轨迹长度为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.设，是两个不共线的向量，已知，，，若，，三点共线，则的值为______.
14.已知双曲线，，是其两个焦点，点在双曲线上，若，则的面积为______.
15.设，直线与直线相交于点，线段是圆的一条动弦，且，的最小值为______.
16.已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，，分别是它们在第一象限和第三象限的交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则最小值等于______.
四、解答题：本题共6小题，第17题10分，第18~22题每题12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）已知的内角，，所对的边分别为，，，且满足.
（1）求角的大小；
（2）若，，求的面积.
18.（12分）“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员，面向全社会的优质平台.某市宣传部门为了解市民利用“学习强国”学习国家政策的情况，从全市抽取100人进行调查，统计市民每周利用“学习强国”的时长，并按学习时间（单位：小时）的长短分成以下6组：，，，，，，统计结果如图所示：
（1）试估计这100名市民学习时间的中位数（同一组中的数据用该组区间中点值代表，结果保留两位小数）；
（2）现采用分层抽样的方法在学习时长位于和的市民中共抽取5人参加学习心得交流会，再从这5人中选2人发言，求发言者中恰有1人是学习时长在上的概率.
19.（12分）已知抛物线经过点，直线与抛物线相交于不同的、两点.
（1）求抛物线的方程；
（2）如果，直线是否过一定点，若过一定点，求出该定点；若不过一定点，试说明理由.
20.（12分）若圆的圆心在上，且圆与直线切于点.
（1）求圆的标准方程；
（2）已知点，，若为圆上任意一点，求的最大值并求出取得最大值时点的坐标.
21.（12分）如图，和所在平面互相垂直，且，，为的中点.
（1）证明：；
（2）若，直线与平面所成角的正弦值为，求的值.
22.（12分）过圆上任意一点，作轴于点，点满足.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）若直线与圆相切，且与曲线交于，两点.，是圆上位于两边的两个动点.求四边形面积的最大值.
湖湘教育三新探索协作体2023-2024学年高二上学期11月期中联考
数学参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.B【解析】由可得，所以且，得，故选B.
2.D【解析】易得，虚部为，故选D.
3.B【解析】可得，，，所以四边形为直角梯形，故选B.
4.C【解析】平行于的直线有两条，的中垂线1条，共3条，故选C.
5.B【解析】，故选B.
6.B【解析】关于的对称点，反射光线所在直线为，故选B.
7.A【解析】，，故选A.
8.D【解析】设的内切圆在，，上得切点分别为，，.设切点的坐标.因为.所以，因为，的横坐标为，A正确；，所以B正确；延长交于点，因为为的角平分线.所以，所以，所以C正确.故选D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.BC【解析】A：若与共线，存在，使，则无解，故不共线，错误；B：与同向的单位向量是，正确；C：在方向上的投影向量是，正确；D：，错误；故选：BC.
10.ACD【解析】.A：当时，，经检验是它的一个对称中心，故A正确；B：若，则和一个为函数的最大值，一个为最小值，∴，故B错误；C：的图象向左平移个单位长度得到，为偶函数，故C正确；令，∵，∴，在的根分别为：，，，则有，，，，在内使的所有的和为：，故D正确.故选：ACD.
11.BD【解析】选项A：圆的圆心，半径，圆心到直线的距离，.圆上有两个点到直线的距离等于1，故A错误；选项B：由切线的性质知，为直角三角形，，最小值为，四边形面积是面积的两倍，最小值为1，故B正确；选项C：当为等边三角形时，，则点位于以原点为圆心，半径为2的圆上，故，联立与得：，解得：或0，故点的坐标为和，故C错误；选项D：设点，，，所以四点，，，共圆，为直径，圆心为，半径，所以圆的方程为，又圆，两圆相减得，所以直线的方程为，因为点在直线上，所以，，所以，整理得，由，得，所以直线过定点，故D正确.故选：BD.
12.BCD【解析】选项A：的面积不变，点到平面的距离为正方体棱长，所以三棱锥的体积不变，且，所以A错误；选项B：由平面在两平行平面上的交线互相平行，取的中点，的中点，的中点，连接，，，，延长，一定与交于一点，所以，，，四点共面，同理可证，，，四点共面则过点，，作正方体的截面，截面为正六边形，边长为，设正六边形对角线交点为，则正六边形的面积为，故B正确；选项C：以为原点，，，所在的直线分别为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系，可得，，，，，，设，，，则，，，设平面的一个法向量为，则，取，可得，，所以，因为平面，所以，可得，所以，当时，等号成立，所以C正确；选项D：因为直线与平面所成的角为45°，由平面，得直线与所成的角为45°，若点在平面和平面内，因为，，故不成立；在平面内，点的轨迹是；在平面内，点的轨迹是；在平面时，作平面，如图所示，因为，所以，又因为，所以，所以，所以点的轨迹是以点为圆心，以2为半径的四分之一圆，所以点的轨迹的长度为，综上，点的轨迹的总长度为，所以D正确；故选：BCD.
三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.
13.【解析】由，，三点共线，可得，又，，则，又，不共线，则，解得.故答案为：.
14.2【解析】双曲线的实半轴长，半焦距，有，若，为直角三角形.在中，由余弦定理得即有，因此，解得，所以的面积为.故答案为：2.
15.【解析】变形得到，令，解得，从而，变形得到，令，解得，从而，由，由勾股定理得，点的轨迹为以为直径的圆，其中线段的中点坐标为，半径为，点轨迹方程为，圆的圆心为，半径为3，设的中点为，由垂径定理得，故点的轨迹方程为，因为点轨迹方程为，则的最小值为圆心距减去两半径，即，其中，所以的最小值为.
16.【解析】设椭圆长半轴为，双曲线实半轴为，，，为两曲线在第一象限的交点，为两曲线在第三象限的交点，如图所示，由椭圆和双曲线定义与对称性知，，，∴，，∵，则，∴，即，于是有，则，∴.当且仅当，时取等号.故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）【答案】见解析.
【解析】（1）由正弦定理得，……1分
整理得，∴，由，……3分
∴；……4分
（2）①，又②，由①②得，，……8分
∴.……10分
18.（12分）【答案】见解析.
【解析】（1）学习时间位于上的市民数为：；同理可得学习时间位于，，，，上的市民数分别为：15，20，30，15，10，
∵，……3分
，……4分
∴100名市民学习时间的中位数为.……5分
（2）的市民频率为0.15，市民频率为0.1；……6分
由分层抽样可得的市民有人，的市民有人，……7分
将的市民分别记为，，，的市民分别记为，，则这5人中选2人的基本事件有：，，，，，，，，，共10种，……9分
其中事件发言者中恰有1人是学习时长在包含的基本事件有：，，，，，，共6种；……10分
所以事件发言者中恰有1人是学习时长在上的概率……12分
19.（12分）【答案】见解析.
【解析】（1）由题意可知，将点代入抛物线方程，可得，解得，则抛物线方程为.……4分
（2）假设直线过定点，设与联立，得，……6分
设，，∴，.……8分
由，解得，……10分
∴过定点.……12分
20.（12分）【答案】见解析.
【解析】（1），，所以圆的标准方程为……4分
方法一：（2）设，
则
，其中，……9分
所以，的最大值为53.……10分
此时，，，，，所以.……12分
方法二：（2）设，则，
∴.……9分
因为表示圆上的点到点距离的平方.
易得，的最大值为，
所以的最大值为53.……10分
此时，，和三点共线，的坐标为.……12分
21.（12分）【答案】见解析.
【解析】（1）取中点，连接，，易得，得，所以.
又∵，∴，又∵，∴平面∴.……5分
（2）过点作于点，连接，∵平面平面，平面平面，，∴平面，由，可得，∴，，两两垂直.
以为原点，，，为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系.设，则，，，，，∴，，设为平面的法向量，得，得，令，得……8分
，，化简得解得或……12分
22.（12分）【答案】见解析.
【解析】（1），，，
∵∴的轨迹的方程：……4分
（2）当的斜率存在时，设，∵与圆相切，
∴，得……5分
与联立，得：，设，，
则，，
则……8分
当时，当时，……9分
当斜率不存在时，……10分
设到的距离与到的距离之和的最大值为4.
所以四边形面积的最大值为……12分
数学
班级：______姓名：______准考证号：______
（本试卷共6页，22题，全卷满分：150分，考试用时：120分钟）
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上相应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，将答题卡上交.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2.若i是虚数单位，复数的共轭复数是，且，则复数的虚部等于（ ）
A. B.3 C. D.
3.平面内顺次连接，，，，所组成的图形是（ ）
A.平行四边形 B.直角梯形 C.等腰梯形 D.以上都不对
4.已知，，若，到直线的距离都等于，则满足条件的直线共有（ ）
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
5.已知，则（ ）
A.0 B.4 C. D.4046
6.一条光线从射出，经直线后反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线方程为（ ）
A. B. C. D.
7.在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为，则点到轴的距离为（ ）
A. B. C.3 D.
8.已知为双曲线右支上的一个动点（不经过顶点），，分别是双曲线的左、右焦点，的内切圆圆心为，过做，垂足为，下列结论错误的是（ ）
A.的横坐标为 B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知空间中三个向量，，，则下列说法正确的是（ ）
A.与是共线向量 B.与同向的单位向量是
C.在方向上的投影向量是 D.与的夹角为90°
10.设函数，给出下列命题，正确的是（ ）
A.的图象关于点对称
B.若，则
C.把的图象向左平移个单位长度，得到一个偶函数的图象
D.在内使的所有的和为
11.已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线，，，为切点，则下列说法正确的是（ ）
A.圆上有且仅有一个点到直线的距离等于1
B.四边形面积的最小值为1
C.当为等边三角形时，点的坐标为
D.直线过定点
12.如图，正方体的棱长为2，，，分别为，，的中点，是其表面上的一个动点，则下列说法正确的是（ ）
A.当在表面上运动时，三棱锥的体积为定值
B.当在线段中点时，平面截正方体所得截面的面积为
C.当在底面上运动，且满足平面时，长度的最小值是
D.使直线与平面所成的角为45°的点的轨迹长度为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.设，是两个不共线的向量，已知，，，若，，三点共线，则的值为______.
14.已知双曲线，，是其两个焦点，点在双曲线上，若，则的面积为______.
15.设，直线与直线相交于点，线段是圆的一条动弦，且，的最小值为______.
16.已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，，分别是它们在第一象限和第三象限的交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则最小值等于______.
四、解答题：本题共6小题，第17题10分，第18~22题每题12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）已知的内角，，所对的边分别为，，，且满足.
（1）求角的大小；
（2）若，，求的面积.
18.（12分）“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员，面向全社会的优质平台.某市宣传部门为了解市民利用“学习强国”学习国家政策的情况，从全市抽取100人进行调查，统计市民每周利用“学习强国”的时长，并按学习时间（单位：小时）的长短分成以下6组：，，，，，，统计结果如图所示：
（1）试估计这100名市民学习时间的中位数（同一组中的数据用该组区间中点值代表，结果保留两位小数）；
（2）现采用分层抽样的方法在学习时长位于和的市民中共抽取5人参加学习心得交流会，再从这5人中选2人发言，求发言者中恰有1人是学习时长在上的概率.
19.（12分）已知抛物线经过点，直线与抛物线相交于不同的、两点.
（1）求抛物线的方程；
（2）如果，直线是否过一定点，若过一定点，求出该定点；若不过一定点，试说明理由.
20.（12分）若圆的圆心在上，且圆与直线切于点.
（1）求圆的标准方程；
（2）已知点，，若为圆上任意一点，求的最大值并求出取得最大值时点的坐标.
21.（12分）如图，和所在平面互相垂直，且，，为的中点.
（1）证明：；
（2）若，直线与平面所成角的正弦值为，求的值.
22.（12分）过圆上任意一点，作轴于点，点满足.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）若直线与圆相切，且与曲线交于，两点.，是圆上位于两边的两个动点.求四边形面积的最大值.
湖湘教育三新探索协作体2023-2024学年高二上学期11月期中联考
数学参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.B【解析】由可得，所以且，得，故选B.
2.D【解析】易得，虚部为，故选D.
3.B【解析】可得，，，所以四边形为直角梯形，故选B.
4.C【解析】平行于的直线有两条，的中垂线1条，共3条，故选C.
5.B【解析】，故选B.
6.B【解析】关于的对称点，反射光线所在直线为，故选B.
7.A【解析】，，故选A.
8.D【解析】设的内切圆在，，上得切点分别为，，.设切点的坐标.因为.所以，因为，的横坐标为，A正确；，所以B正确；延长交于点，因为为的角平分线.所以，所以，所以C正确.故选D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.BC【解析】A：若与共线，存在，使，则无解，故不共线，错误；B：与同向的单位向量是，正确；C：在方向上的投影向量是，正确；D：，错误；故选：BC.
10.ACD【解析】.A：当时，，经检验是它的一个对称中心，故A正确；B：若，则和一个为函数的最大值，一个为最小值，∴，故B错误；C：的图象向左平移个单位长度得到，为偶函数，故C正确；令，∵，∴，在的根分别为：，，，则有，，，，在内使的所有的和为：，故D正确.故选：ACD.
11.BD【解析】选项A：圆的圆心，半径，圆心到直线的距离，.圆上有两个点到直线的距离等于1，故A错误；选项B：由切线的性质知，为直角三角形，，最小值为，四边形面积是面积的两倍，最小值为1，故B正确；选项C：当为等边三角形时，，则点位于以原点为圆心，半径为2的圆上，故，联立与得：，解得：或0，故点的坐标为和，故C错误；选项D：设点，，，所以四点，，，共圆，为直径，圆心为，半径，所以圆的方程为，又圆，两圆相减得，所以直线的方程为，因为点在直线上，所以，，所以，整理得，由，得，所以直线过定点，故D正确.故选：BD.
12.BCD【解析】选项A：的面积不变，点到平面的距离为正方体棱长，所以三棱锥的体积不变，且，所以A错误；选项B：由平面在两平行平面上的交线互相平行，取的中点，的中点，的中点，连接，，，，延长，一定与交于一点，所以，，，四点共面，同理可证，，，四点共面则过点，，作正方体的截面，截面为正六边形，边长为，设正六边形对角线交点为，则正六边形的面积为，故B正确；选项C：以为原点，，，所在的直线分别为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系，可得，，，，，，设，，，则，，，设平面的一个法向量为，则，取，可得，，所以，因为平面，所以，可得，所以，当时，等号成立，所以C正确；选项D：因为直线与平面所成的角为45°，由平面，得直线与所成的角为45°，若点在平面和平面内，因为，，故不成立；在平面内，点的轨迹是；在平面内，点的轨迹是；在平面时，作平面，如图所示，因为，所以，又因为，所以，所以，所以点的轨迹是以点为圆心，以2为半径的四分之一圆，所以点的轨迹的长度为，综上，点的轨迹的总长度为，所以D正确；故选：BCD.
三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.
13.【解析】由，，三点共线，可得，又，，则，又，不共线，则，解得.故答案为：.
14.2【解析】双曲线的实半轴长，半焦距，有，若，为直角三角形.在中，由余弦定理得即有，因此，解得，所以的面积为.故答案为：2.
15.【解析】变形得到，令，解得，从而，变形得到，令，解得，从而，由，由勾股定理得，点的轨迹为以为直径的圆，其中线段的中点坐标为，半径为，点轨迹方程为，圆的圆心为，半径为3，设的中点为，由垂径定理得，故点的轨迹方程为，因为点轨迹方程为，则的最小值为圆心距减去两半径，即，其中，所以的最小值为.
16.【解析】设椭圆长半轴为，双曲线实半轴为，，，为两曲线在第一象限的交点，为两曲线在第三象限的交点，如图所示，由椭圆和双曲线定义与对称性知，，，∴，，∵，则，∴，即，于是有，则，∴.当且仅当，时取等号.故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）【答案】见解析.
【解析】（1）由正弦定理得，……1分
整理得，∴，由，……3分
∴；……4分
（2）①，又②，由①②得，，……8分
∴.……10分
18.（12分）【答案】见解析.
【解析】（1）学习时间位于上的市民数为：；同理可得学习时间位于，，，，上的市民数分别为：15，20，30，15，10，
∵，……3分
，……4分
∴100名市民学习时间的中位数为.……5分
（2）的市民频率为0.15，市民频率为0.1；……6分
由分层抽样可得的市民有人，的市民有人，……7分
将的市民分别记为，，，的市民分别记为，，则这5人中选2人的基本事件有：，，，，，，，，，共10种，……9分
其中事件发言者中恰有1人是学习时长在包含的基本事件有：，，，，，，共6种；……10分
所以事件发言者中恰有1人是学习时长在上的概率……12分
19.（12分）【答案】见解析.
【解析】（1）由题意可知，将点代入抛物线方程，可得，解得，则抛物线方程为.……4分
（2）假设直线过定点，设与联立，得，……6分
设，，∴，.……8分
由，解得，……10分
∴过定点.……12分
20.（12分）【答案】见解析.
【解析】（1），，所以圆的标准方程为……4分
方法一：（2）设，
则
，其中，……9分
所以，的最大值为53.……10分
此时，，，，，所以.……12分
方法二：（2）设，则，
∴.……9分
因为表示圆上的点到点距离的平方.
易得，的最大值为，
所以的最大值为53.……10分
此时，，和三点共线，的坐标为.……12分
21.（12分）【答案】见解析.
【解析】（1）取中点，连接，，易得，得，所以.
又∵，∴，又∵，∴平面∴.……5分
（2）过点作于点，连接，∵平面平面，平面平面，，∴平面，由，可得，∴，，两两垂直.
以为原点，，，为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系.设，则，，，，，∴，，设为平面的法向量，得，得，令，得……8分
，，化简得解得或……12分
22.（12分）【答案】见解析.
【解析】（1），，，
∵∴的轨迹的方程：……4分
（2）当的斜率存在时，设，∵与圆相切，
∴，得……5分
与联立，得：，设，，
则，，
则……8分
当时，当时，……9分
当斜率不存在时，……10分
设到的距离与到的距离之和的最大值为4.
所以四边形面积的最大值为……12分
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