5.1.1变化率问题 基础练
一、选择题
1．一质点的运动方程是，则在时间内相应的平均速度为（ ）
A． B． C． D．
2．函数在区间上的平均变化率等于（ ）
A． B． C． D．8
3．甲、乙两厂污水的排放量W与时间的关系如图所示，则治污效果较好的是（ ）
A．甲厂 B．乙厂 C．两厂一样 D．不确定
4．已知函数的图象上一点及邻近一点，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．若函数在区间上的平均变化率为4，则m等于（ ）
A． B．3 C．5 D．16
6．（多选题）甲工厂八年来某种产品年产量与时间（单位：年）的函数关系如图所示.
现有下列四种说法正确的有（ ）
A.前四年该产品产量增长速度越来越快 B.前四年该产品产量增长速度越来越慢
C.第四年后该产品停止生产 D.第四年后该产品年产量保持不变.
二、填空题
7．函数y＝x+在[x，x＋Δx]上的平均变化率_____.
8．函数的图象如下图，则函数在下列区间上平均变化率最大的是_____.
9．一质点M按运动方程做直线运动（位移单位：m，时间单位：s）．若质点M在时的瞬时速度为8 m/s，则常数的值为________________．
10．已知函数在区间，上的平均变化率分别为，，那么，的大小关系为_______.
三、解答题
11．航天飞机升空后一段时间内，第时的高度为，其中h的单位为m，t的单位为s.
（1）分别表示什么？
（2）求第内的平均速度；
（3）求第末的瞬时速度.
12．已知函数图象上两点、.
（1）若割线的斜率不大于，求的范围；
（2）求函数的图象在点处切线的斜率.
5.1.1变化率问题 基础练
一、选择题
1．一质点的运动方程是，则在时间内相应的平均速度为（ ）
A． B． C． D．
D【详解】.
2．函数在区间上的平均变化率等于（ ）
A． B． C． D．8
B【详解】由题：.
3．甲、乙两厂污水的排放量W与时间的关系如图所示，则治污效果较好的是（ ）
A．甲厂 B．乙厂 C．两厂一样 D．不确定
B【详解】在处，虽然有，但，
所以在相同时间内，甲厂比乙厂的平均治污率小，所以乙厂治污效果较好．
4．已知函数的图象上一点及邻近一点，则等于（ ）
A． B． C． D．
C【详解】，.
5．若函数在区间上的平均变化率为4，则m等于（ ）
A． B．3 C．5 D．16
B【详解】因为，所以.
6．（多选题）甲工厂八年来某种产品年产量与时间（单位：年）的函数关系如图所示.
现有下列四种说法正确的有（ ）
A.前四年该产品产量增长速度越来越快 B.前四年该产品产量增长速度越来越慢
C.第四年后该产品停止生产 D.第四年后该产品年产量保持不变.
BD【详解】设产量与时间的关系为 ，由题图可知，则前三年该产品产量增长速度越来越慢，故A错误，B正确，由题图可知从第四年开始产品产量不发生变化，且，故C错误，D正确，故说法正确的有BD.
二、填空题
7．函数y＝x+在[x，x＋Δx]上的平均变化率_____.
【答案】
【详解】因为函数y＝x+，所以在[x，x＋Δx]上的平均变化率.
8．函数的图象如下图，则函数在下列区间上平均变化率最大的是_____.
【答案】
【详解】函数在区间上的平均变化率为，由函数图象可得，在区间上，即函数在区间上的平均变化率小于0；在区间、、上时，且相同，由图象可知函数在区间上的最大.所以函数在区间上的平均变化率最大.
9．一质点M按运动方程做直线运动（位移单位：m，时间单位：s）．若质点M在时的瞬时速度为8 m/s，则常数的值为________________．
【答案】
【详解】∵Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝a(2＋Δt)2＋1－a·22－1＝4aΔt＋a(Δt)2，∴＝4a＋aΔt，当Δt趋于0时，趋于4a，即4a＝8，解得a＝2.
10．已知函数在区间，上的平均变化率分别为，，那么，的大小关系为_______.
【答案】.
【详解】当，时，平均变化率，
当，时，平均变化率，
三、解答题
11．航天飞机升空后一段时间内，第时的高度为，其中h的单位为m，t的单位为s.
（1）分别表示什么？
（2）求第内的平均速度；
（3）求第末的瞬时速度.
【详解】（1）表示航天飞机发射前的高度；
表示航天飞机升空后第时的高度；
表示航天飞机升空后第时的高度.
（2）航天飞机升空后第内的平均速度为.
（3）第末的瞬时速度为
.
因此，第末的瞬时速度为.
12．已知函数图象上两点、.
（1）若割线的斜率不大于，求的范围；
（2）求函数的图象在点处切线的斜率.
【详解】（1）由题意得，割线的斜率为
，
由，得，
又因为，所以的取值范围是.
（2）由（1）知函数的图象在点处切线的斜率为
，
又.5.1.2导数的概念及其几何意义 基础练
一、选择题
1．若（m为常数），则等于（ ）
A． B．1 C．m D．
2．已知函数在上可导，其部分图象如图所示，设，则下列不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知直线经过，两点，且与曲线切于点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知曲线y＝x3在点P处的切线的斜率k＝3，则点P的坐标是( )
A．(1，1) B．(－1，1)
C．(1，1)或(－1，－1) D．(2，8)或(－2，－8)
5．（多选题）为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度与时间的关系为，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间变化的关系如下图所示．
给出下列四个结论正确的是（ ）
A.在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同；
B. 在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同；
C. 在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同；
D. 在,两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率不相同.
6．（多选题）下列命题正确的是（ ）
A．若，则函数在处无切线
B．函数的切线与函数的图象可以有两个公共点
C．曲线在处的切线方程为，则当时，
D．若函数的导数，且，则的图象在处的切线方程为
二、填空题
7．已知函数y＝ax2＋b在点(1，3)处的切线斜率为2，则＝________.
8．如图，函数的图象在点处的切线方程是，则_____．
9．已知曲线y＝f (x)＝，y＝g(x)＝，它们的交点坐标为________，过两曲线的交点作两条曲线的切线，则曲线f (x)在交点处的切线方程为________．
10．已知二次函数f (x)＝ax2＋bx＋c的导数为f ′(x)，f ′(0)＞0，对于任意实数x，有f (x)≥0，则的最小值为________．
三、解答题
11．在曲线上求一点，使得曲线在点处的切线分别满足下列条件：
（1）平行于直线；
（2）垂直于直线；
（3）倾斜角为．
12．设函数f (x)＝x3＋ax2－9x－1(a＜0)，若曲线y＝f (x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求a的值．
5.1.2导数的概念及其几何意义 基础练
一、选择题
1．若（m为常数），则等于（ ）
A． B．1 C．m D．
【答案】D
【详解】由题意，根据导数的概念可得，
，所以.
2．已知函数在上可导，其部分图象如图所示，设，则下列不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】因为函数的增长越来越快，所以函数在该点的斜率越来越大，
又，所以.
3．已知直线经过，两点，且与曲线切于点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】直线经过，两点，.
直线与曲线切于点，可得曲线在处的导数为：，
所以.
4．已知曲线y＝x3在点P处的切线的斜率k＝3，则点P的坐标是( )
A．(1，1) B．(－1，1)
C．(1，1)或(－1，－1) D．(2，8)或(－2，－8)
【答案】C
【详解】因为y＝x3，所以y′＝ ＝[3x2＋3x·Δx＋(Δx)2]＝3x2.
由题意，知切线斜率k＝3，令3x2＝3，得x＝1或x＝－1.
当x＝1时，y＝1；当x＝－1时，y＝－1.故点P的坐标是(1，1)或(－1，－1).
5．（多选题）为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度与时间的关系为，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间变化的关系如下图所示．
给出下列四个结论正确的是（ ）
A.在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同；
B. 在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同；
C. 在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同；
D. 在,两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率不相同.
【答案】ACD
【详解】A在时刻，为两图象的交点，即此时甲、乙两人血管中的药物浓度相同，故A正确；B甲、乙两人在时刻的切线的斜率不相等，即两人的不相同，所以甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不相同，故B不正确；C根据平均变换率公式可知，甲、乙两人的平均变化率都是，故C正确；D在时间段，甲的平均变化率是，在时间段，甲的平均变化率是，显然不相等，故D正确.
6．（多选题）下列命题正确的是（ ）
A．若，则函数在处无切线
B．函数的切线与函数的图象可以有两个公共点
C．曲线在处的切线方程为，则当时，
D．若函数的导数，且，则的图象在处的切线方程为
【答案】BD
【详解】若，则函数在处的切线斜率为0，故选项错误；
函数的切线与函数的图象可以有两个公共点，例如函数，在处的切线为，与函数的图象还有一个公共点，故选项正确；
因为曲线在处的切线方程为，所以
又，故选项错误；
因为函数的导数，所以，又，所以切点坐标为，斜率为，所以切线方程为，化简得，故选项正确．
二、填空题
7．已知函数y＝ax2＋b在点(1，3)处的切线斜率为2，则＝________.
【答案】2
【详解】∵f ′(1)＝2，又 ＝ ＝ (aΔx＋2a)＝2a，∴2a＝2，∴a＝1.又f (1)＝a＋b＝3，∴b＝2.∴＝2.
8．如图，函数的图象在点处的切线方程是，则_____．
【答案】2
【详解】由图像的信息可知．
9．已知曲线y＝f (x)＝，y＝g(x)＝，它们的交点坐标为________，过两曲线的交点作两条曲线的切线，则曲线f (x)在交点处的切线方程为________．
【答案】(1，1)； x－2y＋1＝0
【详解】 [由得∴两曲线的交点坐标为(1，1)．
由f (x)＝，得f ′(x)＝ ＝ ＝，
∴y＝f (x)在点(1，1)处的切线方程为y－1＝(x－1)，即x－2y＋1＝0.
10．已知二次函数f (x)＝ax2＋bx＋c的导数为f ′(x)，f ′(0)＞0，对于任意实数x，有f (x)≥0，则的最小值为________．
【答案】2
【详解】由导数的定义，得f ′(0)＝ ＝ ＝ (a·Δx＋b)＝b.
因为对于任意实数x，有f (x)≥0，
则所以ac≥，所以c＞0，所以＝≥≥＝2.
三、解答题
11．在曲线上求一点，使得曲线在点处的切线分别满足下列条件：
（1）平行于直线；
（2）垂直于直线；
（3）倾斜角为．
【详解】设点P的坐标为，则
，
∴当趋于0时，．
（1）∵切线与直线平行，∴，即，
∴，，即．
（2）∵切线与直线垂直，
∴，即，
∴，，即．
（3）∵切线的倾斜角为，
∴，即，
∴即，即．
12．设函数f (x)＝x3＋ax2－9x－1(a＜0)，若曲线y＝f (x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求a的值．
【详解】∵Δy＝f (x＋Δx)－f (x)＝(x＋Δx)3＋a(x＋Δx)2－9(x＋Δx)－1－(x3＋ax2－9x－1)＝(3x2＋2ax－9)Δx＋(3x＋a)(Δx)2＋(Δx)3，
∴＝3x2＋2ax－9＋(3x＋a)Δx＋(Δx)2，
∴f ′(x)＝ ＝3x2＋2ax－9＝3－9－≥－9－.
由题意知f ′(x)的最小值是－12，
∴－9－＝－12，即a2＝9，∵a＜0，∴a＝－3.
