5.3.1函数的单调性(1) 基础练
选择题
1．函数的导函数的图象如图，函数的一个单调递减区间是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列函数中，在其定义域上为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
3.函数的单调递增区间为 ( )
A． B．
C．和 D．和
4．已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
5．（多选题）已知函数的定义域为R，其导函数的图象如图所示，则对于任意，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（多选题）已知函数，，则下列说法正确的有（ ）
A．是奇函数
B．是周期函数
C．曲线在点处的切线方程为
D．在区间上，单调递增
填空题
7．函数的单调增区间为___________
8．函数y＝x2－4ln x 的单调递减区间是________．
9．已知满足为其导函数，且导函数的图象如图所示，则的解集是_________．
10．若函数在区间上是增函数，则实数a的取值范围是__________.
三、解答题
11．求下列函数的单调区间．
（1）；
（2）；
（3）．
12．已知函数.
（1）若在区间上为增函数，求a的取值范围.
（2）若的单调递减区间为，求a的值.
5.3.1函数的单调性(1) 基础练
选择题
1．函数的导函数的图象如图，函数的一个单调递减区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：由图象可知，当，，时，，
当时，，函数在上单调递减，在，，上单调递增，函数的一个单调递减区间是.故选：B．
2．下列函数中，在其定义域上为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】对于A选项，函数为偶函数，在上递增，在上递减；
对于B选项，函数在上递减；对于C选项，在上恒成立，则函数在其定义域上递增；对于D选项，函数在上递减.故选：C．
3.函数的单调递增区间为 ( )
A． B．
C．和 D．和
【答案】B
【解析】由，得，令，即，得，解得，即的单调递增区间为．故选B．
4．已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由函数的图象可知：当时，，，此时单调递增；
当时，，，此时单调递减；
当时，，，此时单调递减；
当时，，，此时单调递增．故选：C
5．（多选题）已知函数的定义域为R，其导函数的图象如图所示，则对于任意，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【详解】由题中图象可知，导函数的图象在x轴下方，即，且其绝对值越来越小，因此过函数图象上任一点的切线的斜率为负，并且从左到右切线的倾斜角是越来越大的钝角，由此可得的大致图象如图所示．
A选项表示与异号，即图象的割线斜率为负，故A正确；B选项表示与同号，即图象的割线斜率为正，故B不正确；表示对应的函数值，即图中点B的纵坐标，表示当和时所对应的函数值的平均值，即图中点A的纵坐标，显然有，故C不正确，D正确．故选:AD．
6．（多选题）已知函数，，则下列说法正确的有（ ）
A．是奇函数
B．是周期函数
C．曲线在点处的切线方程为
D．在区间上，单调递增
【答案】AC
【详解】解：对A，的定义域为关于原点对称，
，故是奇函数，即A正确；
对B，若是周期函数，则存在非零常数，使，，
易知：不存在非零常数，使，故不是周期函数；故B错误；
对C，，，
又，故在点处的切线方程为：，
即，故C正确；对D，，当，故，故在上，单调递减.故选：AC.
填空题
7．函数的单调增区间为___________
【答案】
【详解】，，∴在上恒成立，所以函数的单调增区间为
8．函数y＝x2－4ln x 的单调递减区间是________．
【答案】（0，）
【详解】∵y′=2x﹣，令y′＜0，解得：0＜x＜．
9．已知满足为其导函数，且导函数的图象如图所示，则的解集是_________．
【答案】
【详解】解：由的导函数的图象知：在上单调递减，在上单调递增，
当时，由，得，
当时，由，得，
综上所述：的解集为．故答案为：.
10．若函数在区间上是增函数，则实数a的取值范围是__________.
【答案】
【详解】函数的对称轴为，且函数开口向上，
，故答案为：.
三、解答题
11．求下列函数的单调区间．
（1）；
（2）；
（3）．
【详解】（1）易知函数的定义域为．
，令，解得（舍去），用分割定义域，得下表：
x
- +
∴函数的单调递减区间为，单调递增区间为．
（2）易知函数的定义域为．
，令，得或，当x变化时，的变化情况如下表：
x
- + -
∴的单调递减区间为和，单调递增区间为．
（3）易知函数的定义域为．
，令，得或，当x变化时，的变化情况如下表：
x
+ - - +
∴函数的单调递减区间为和，单调递增区间为和．
12．已知函数.
（1）若在区间上为增函数，求a的取值范围.
（2）若的单调递减区间为，求a的值.
【详解】（1）因为，且在区间上为增函数，
所以在上恒成立，即在(1，+∞)上恒成立，
所以在上恒成立，所以，即a的取值范围是
（2）由题意知.因为，所以.
由，得，
所以的单调递减区间为，
又已知的单调递减区间为，
所以，
所以，即.5.3.1函数的单调性(2) 基础练
选择题
1．函数的单调减区间为（ ）
A． B．
C． D．
2．下面四个图象中，有一个是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R)的导函数y＝f′(x)的图象，则f(－1)等于( )
A． B．－ C． D．－或
3．已知函数在R上是单调函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．函数的图像大致为 ( )
A． B．
C． D．
5．（多选题）设函数，下列条件中，使得有且仅有一个零点的是（ ）
A． B． C． D．
6．（多选题）已知为函数的导函数，且，若，方程有且只有一个根，则a的取值可能是（ ）
A．e B．1 C． D．
填空题
7．函数的单调递减区间为___________．
8．函数是R上的单调函数，则m的范围是_________.
9．已知函数与的图象如图所示，则函数的单调递减区间为___________．
10．已知函数f（x）＝sinx++lnx，f（1﹣a）＜f（2a），则实数a的取值范围______．
解答题
11．已知函数.
（1）当时，求曲线在点处切线的方程；
（2）求函数的单调区间.
12．已知.
（1）当时，求的单调区间
（2）若f(x)存在3个零点，求实数a的取值范围.
5.3.1函数的单调性(2) -A基础练
选择题
1．函数的单调减区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】，，令，解得：或，的单调减区间为.故选：D.
2．下面四个图象中，有一个是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R)的导函数y＝f′(x)的图象，则f(－1)等于( )
A． B．－ C． D．－或
【答案】D
【解析】∵f′(x)＝x2＋2ax＋a2－1，∴f′(x)的图象开口向上，则②④排除．若f′(x)的图象为①，此时a＝0，f(－1)＝；若f′(x)的图象为③，此时a2－1＝0，又对称轴x＝－a>0，∴a＝－1，∴f(－1)＝－.故选D
3．已知函数在R上是单调函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由题意知，，因为在R上是单调函数，且的图象开口向下，所以在R上恒成立，故，即．
4．函数的图像大致为 ( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】为奇函数，舍去A,舍去D;，
所以舍去C；因此选B.
5．（多选题）设函数，下列条件中，使得有且仅有一个零点的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【详解】，求导得，当时，，单调递增，当时，；当时，；由零点存在性定理知，函数有且只有一个零点，故A，C满足题意；当时，令，即，解得，，当变化时，，的变化情况如下表：
极大值 极小值
故当，函数取得极大值，
当，函数取得极小值
又当时，；当时，；
要使函数有且只有一个零点，作草图
或
则需，即，即，
B选项，，满足上式，故B符合题意；
则需，即，即，
D选项，，不一定满足，故D不符合题意；故选：ABC
6．（多选题）已知为函数的导函数，且，若，方程有且只有一个根，则a的取值可能是（ ）
A．e B．1 C． D．
【答案】ACD
【详解】由，得，，
∴，∴，则，则，
∴，方程，即，
时方程显然无解；时，对于任意，
函数与有一个交点，满足题意；
时，则，令，则．
当时，，当时，，
∴在上单调递减，在上单调递增，
又当时，，当时，．
∴在时的图象如图：
由图可知，时，方程有一根，综上，的取值范围为，故选：ACD．
填空题
7．函数的单调递减区间为___________．
【答案】
【详解】，令，解得，所以函数的单调递减区间为．
8．函数是R上的单调函数，则m的范围是_________.
【答案】
【详解】是R上的单调函数，则导函数恒大于等于
，则，，故答案为：
9．已知函数与的图象如图所示，则函数的单调递减区间为___________．
【答案】、
【详解】由图象可知，不等式的解集为，
，，由，可得，解得.因此，函数的单调递减区间为、．故答案为：、.
10．已知函数f（x）＝sinx++lnx，f（1﹣a）＜f（2a），则实数a的取值范围______．
【答案】
【详解】由f（x）＝sinx++lnx，得，
∵当x＞0时，，cosx∈[﹣1，1]，∴当x＞0时，，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴由f（1﹣a）＜f（2a），得，∴，
∴a的取值范围为．
解答题
11．已知函数.
（1）当时，求曲线在点处切线的方程；
（2）求函数的单调区间.
【详解】
（1）当时，，，切点，
， ，
所以切线方程为，即.
（2），
① ，当，即时， ，函数单调递增；
当，即，或时， ，函数在每个区间上单调递减；
② ，当，即时， ，函数单调递减；
当，即，或时， ，函数在每个区间上单调递增；
综上所述，时，的单调递增区间为，单调递减区间为，；
时，的单调递增区间为，，单调递减区间为.
12．已知.
（1）当时，求的单调区间
（2）若f(x)存在3个零点，求实数a的取值范围.
【详解】
（1）当时，
由，得，由，得，
所以在单调递减，在上单调递增
（2）由函数，
可得有一个零点，
要使得有3个零点，即方程有2个实数根，
又由方程，可化为，
令，即函数与图象 有两个交点，
令，得，
的单调性如表：
1
－ － 0 ＋ ＋
↘ ↘ 极小值 ↗ ↗
所以函数在处取得极小值2e，
当时，，又，的大致图象如图，
由函数与图象有两个交点，根据图象可得
所以要使得有3个零点，则实数的取值范围为5.3.2 函数的极值与最大(小)值 （1） 基础练
选择题
1．如图是函数y＝f（x）的导数y＝f'（x）的图象，则下面判断正确的是（ ）
A．在（﹣3，1）内f（x）是增函数 B．在x＝1时，f（x）取得极大值
C．在（4，5）内f（x）是增函数 D．在x＝2时，f（x）取得极小值
2．若函数可导，则“有实根”是“有极值”的（ ）．
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．当函数取极小值时，的值为（ ）
A． B． C． D．
4．若函数有小于零的极值点，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（多选题）已知定义在上的函数，其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述不正确的是（ ）
A．
B．函数在上递增，在上递减
C．函数的极值点为，
D．函数的极大值为
6．（多选题）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．有且只有一个极值点
B．设，则与的单调性相同
C．有且只有两个零点
D．在上单调递增
填空题
7．若函数在处取得极值，则________.
8．已知函数，当时函数的极值为，则__________．
9．设函数，若是的极大值点，则a取值范围为_______________.
10．已知函数在处有极值，其图象在处的切线平行于直线，则极大值与极小值之差为__________．
解答题
11．求下列函数的极值．
（1）；
（2）；
（3）．
12．设函数，其中在，曲线在点处的切线垂直于轴
（1）求a的值；
（2）求函数极值．
5.3.2 函数的极值与最大(小)值 （1） 基础练
选择题
1．如图是函数y＝f（x）的导数y＝f'（x）的图象，则下面判断正确的是（ ）
A．在（﹣3，1）内f（x）是增函数 B．在x＝1时，f（x）取得极大值
C．在（4，5）内f（x）是增函数 D．在x＝2时，f（x）取得极小值
【答案】C
【详解】解：根据题意，依次分析选项：对于A，在（﹣3，）上，f′（x）＜0，f（x）为减函数，A错误；对于B，在（，2）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数，x＝1不是f（x）的极大值点，B错误；对于C，在（4，5）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数，C正确；对于D，在（，2）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数，在（2，4）上，f′（x）＜0，f（x）为减函数，则在x＝2时f（x）取得极大值，D错误；故选：C．
2．若函数可导，则“有实根”是“有极值”的（ ）．
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】，但在零点左侧和右侧都同时大于零或者小于零时在零点处无极值，
但有极值则在极值处一定等于.所以“有实根”是“有极值”的必要不充分条件.故选：A
3．当函数取极小值时，的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 即故选B．
4．若函数有小于零的极值点，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由，得．因为函数有小于零的极值点，
所以有小于零的实根，即有小于零的实根，∵，
∴，∴．故选：B
5．（多选题）已知定义在上的函数，其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述不正确的是（ ）
A．
B．函数在上递增，在上递减
C．函数的极值点为，
D．函数的极大值为
【答案】ABD
【详解】解：由题图知可，当时，，当时，，当时，，所以在上递增，在上递减，在上递增，
对A，，故A错误；
对B，函数)在上递增，在上递增，在上递减，故B错误；
对C，函数的极值点为，，故C正确；
对D，函数的极大值为，故D错误.故选：ABD.
6．（多选题）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．有且只有一个极值点
B．设，则与的单调性相同
C．有且只有两个零点
D．在上单调递增
【答案】ACD
【详解】解：由题知，，，所以在上单调递增，当时，；当时，，所以存在，使得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以有且只有一个极值点，故A正确；因为，所以，所以所以，故的一个极值点为，所以与的单调性不相同，故B错误；因为有且只有一个极值点，，且，所以在和上各有一个零点，所以有且只有两个零点，故C正确；因为与在上都是单调递增，所以在上单调递增，D正确．故选：ACD．
填空题
7．若函数在处取得极值，则________.
【答案】
【详解】由题意，函数，可得，因为是函数的极值点，可得，所以，解得.
8．已知函数，当时函数的极值为，则__________．
【答案】
【解析】f′(x)=x2+2ax+a.由题意知f′(-1)=0,f(-1)=-,
即解得所以f(x)=x3+x2+x-.所以f(2)=.
9．设函数，若是的极大值点，则a取值范围为_______________.
【答案】
【解析】的定义域为，由，得，所以.①若，由，得，当时，，此时
单调递增，当时，，此时单调递减，所以是的极大值点；②若，由，得或.因为是的极大值点，所以，解得，综合①②：的取值范围是，故答案为.
10．已知函数在处有极值，其图象在处的切线平行于直线，则极大值与极小值之差为__________．
【答案】4
【详解】求导得 因为函数在取得极值，所以 即 ，
又因为图象在 处的切线与直线 平行，
所以 即 ，
联立①②可得 ，
当 时， 或 ；当 时，
∴函数的单调增区间是 和 ，函数的单调减区间是 ，
因此求出函数的极大值为 ，极小值为 ，
故函数的极大值与极小值的差为 ．
解答题
11．求下列函数的极值．
（1）；
（2）；
（3）．
【详解】（1）因为，所以，
令，即，解得或，
当变化时，、的变化情况如下表：
3
0 0
增函数 极大值 减函数 极小值 增函数
故当时，函数有极大值，，
当时，函数有极小值，．
（2）因为，定义域为，
所以，
令，解得或，
当变化时，、的变化情况如下表：
0 0
减函数 极小值 增函数 极大值 减函数
故当时，函数有极小值，，
当时，函数有极大值，．
（3）因为，
所以，函数的定义域为，
令，解得或（舍去），
当时，，当时，，
故当时，函数有极小值，，无极大值.
12．设函数，其中在，曲线在点处的切线垂直于轴
（1）求a的值；
（2）求函数极值．
【详解】（1）因 ，故
由于曲线 在点 处的切线垂直于轴，
故该切线斜率为0，即 ，
从而 ，解得
（2）由（1）知，
令，解得（因 不在定义域内，舍去）
当 时， 故 在上为减函数；
当 时， 故 在上为增函数，
故在 处取得极小值5.3.2 函数的极值与最大(小)值 （2）基础练
选择题
1．在[0，3]上的最大值，最小值分别是（ ）
A．5，－15 B．5，－4 C．－4，－15 D．5，－16
2．已知函数，若在定义域内存在，使得不等式成立，则实数m的最小值是（ ）
A．2 B． C．1 D．
3．函数在内有最小值，则的取值范围为( )
A． B．
C． D．
4．已知函数无零点，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．（多选题）如图所示，外层是类似于“甜筒冰淇淋”的图形，上部分是体积为的半球，下面大圆刚好与高度为的圆锥的底面圆重合，在该封闭的几何体内倒放一个小圆锥，小圆锥底面平行于外层圆锥的底面，且小圆锥顶点与外层圆锥顶点重合，则该小圆锥体积可以为（ ）
A． B．
C． D．
6．（多选题）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则函数没有极值
B．若，则函数有极值
C．若函数有且只有两个零点，则实数a的取值范围是
D．若函数有且只有一个零点，则实数a的取值范围是
填空题
7．若函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是______.
8．已知是奇函数，当时，，当时，的最小值为1，则a=________.
9．已知函数,,若对任意都存在使成立,则实数的取值范围是______.
10．已知，直线与函数的图象在处相切，设，若在区间上，不等式恒成立，则实数的最大值是_______.
解答题
11．已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值．
12．已知函数，.
（1）若在上的最大值为，求实数的值；
（2）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围.
5.3.2 函数的极值与最大(小)值 （2）基础练
选择题
1．在[0，3]上的最大值，最小值分别是（ ）
A．5，－15 B．5，－4 C．－4，－15 D．5，－16
【答案】A
【详解】，
∴在上单调递减，在上单调递增，∴的极小值为，也是最小值，，
的最大值、最小值分别为、.故选：A.
2．已知函数，若在定义域内存在，使得不等式成立，则实数m的最小值是（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】C
【详解】函数的定义域为，.
令，得或（舍）.
当时，；当时，.
所以当时，取得极小值，也是最小值，且最小值为1.
因为存在，使得不等式成立，
所以，所以实数m的最小值为1.故选：C
3．函数在内有最小值，则的取值范围为( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】∵函数f（x）=x3﹣3ax﹣a在（0，1）内有最小值，∴f′（x）=3x2﹣3a=3（x2﹣a），
①若a≤0，可得f′（x）≥0，f（x）在（0，1）上单调递增，f（x）在x=0处取得最小值，显然不可能，②若a＞0，f′（x）=0解得x=±，当x＞，f（x）为增函数，0＜x＜为减函数，
f（x）在x=处取得极小值，也是最小值，所以极小值点应该在（0，1）内，符合要求．
综上所述，a的取值范围为（0，1），故答案为B
4．已知函数无零点，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：因为函数无零点，
所以方程在上无解，即在上无解，
令，，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以时，函数有唯一的极小值，也是最小值．
，所以．若无解，则．故选：B．
5．（多选题）如图所示，外层是类似于“甜筒冰淇淋”的图形，上部分是体积为的半球，下面大圆刚好与高度为的圆锥的底面圆重合，在该封闭的几何体内倒放一个小圆锥，小圆锥底面平行于外层圆锥的底面，且小圆锥顶点与外层圆锥顶点重合，则该小圆锥体积可以为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【详解】令上部分的半球半径为，可得，解得，
设小圆锥的底面半径为，小圆锥底面中心到球心距离为，
可知，，和可构成直角三角形，即，
小圆锥体积．
令，则，
可知在上单调递增，在上单调递减，所以当时，最大，，即，即ABC三个选项都满足题意．故选：ABC.
6．（多选题）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则函数没有极值
B．若，则函数有极值
C．若函数有且只有两个零点，则实数a的取值范围是
D．若函数有且只有一个零点，则实数a的取值范围是
【答案】ABD
【详解】由题意得，函数的定义域为，且，
当时，恒成立，此时单调递减，没有极值，
又当x趋近于0时，趋近于，当x趋近于时，趋近于，
∴有且只有一个零点，
当时，在上，，单调递减，在上，，单调递增，
当时，取得极小值，同时也是最小值，∴，
当x趋近于0时，趋近于，趋近于，
当x趋近于时，趋近于，
当，即时，有且只有一个零点；
当，即时，有且仅有两个零点，
综上可知ABD正确，C错误．故选：ABD．
填空题
7．若函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是______.
【答案】
【详解】，当或时，，当时，，∴是函数的极小值点．∵函数在区间上有最小值，即为极小值．∴，解得．
8．已知是奇函数，当时，，当时，的最小值为1，则a=________.
【答案】1
【详解】是奇函数，时，的最小值为1，
在上的最大值为，
当时，，
令得，又，，
令，则，在上递增；令，则，
在，上递减，，，得．
9．已知函数,,若对任意都存在使成立,则实数的取值范围是______.
【答案】
【详解】对任意都存在使成立，
所以得到，而，所以，
即存在，使，此时，，
所以，因此将问题转化为
存在，使成立，
设，则，，
当，，单调递增，所以，
即，所以，所以实数的取值范围是.
10．已知，直线与函数的图象在处相切，设，若在区间上，不等式恒成立，则实数的最大值是_______.
【答案】
【详解】∵，∴，∴，又点在直线上，∴，
∴，，设，则，
当时，，∴在上单调递增，∴，
∴在上单调递增，，解得或，∴的最大值为.
解答题
11．已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值．
【解析】（1）因为，所以.
又因为，所以曲线在点处的切线方程为.
（2）设，则.
当时，，
所以在区间上单调递减.
所以对任意有，即.
所以函数在区间上单调递减.
因此在区间上的最大值为，最小值为.
12．已知函数，.
（1）若在上的最大值为，求实数的值；
（2）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（1）由，得 ，
令，得或.
函数，在上的变化情况如下表：
，，.
即最大值为，.
（2）由，得.
，，且等号不能同时取得，，即.
恒成立，即.
令，，则.
当时，，，，从而.
在区间上为增函数，，.
