4.1数列的概念（1）提高练
一、选择题
1．数列2，0，2，0…的通项公式可以是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知数列的通项公式为，则257是这个数列的（ ）
A．第6项 B．第7项 C．第8项 D．第9项
3．大衍数列，来源于《乾坤普》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两翼数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，……则此数列的第40项为（ ）．
A．648 B．722 C．800 D．882
4．已知数列的通项公式为（），且数列从第项起单调递减，则的最小值为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．不存在
5．（多选题）已知数列的前4项为2，0，2，0，则该数列的通项公式可能为（ ）
A． B．
C． D．
6. （多选题）若数列满足：对任意正整数，为递减数列，则称数列为“差递减数列”.给出下列数列，其中是“差递减数列”的有（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．__________.
8．已知，若数列中最小项为第3项，则________．
9．若数列{an}为单调递增数列，且，则a3的取值范围为__________.
10.分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的创立，为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．如图是按照一定的分形规律生长成的一个树形图，则第13行中实心圆点的个数是__________．
三、解答题
11.在数列中，.
（1）-107是不是该数列中的某一项？若是，其为第几项？
（2）求数列中的最大项.
12.在数列中，已知，且.
（1）求通项公式；
（2）求证：是递增数列；
（3）求证：.
4.1数列的概念（1）提高练
一、选择题
1．数列2，0，2，0…的通项公式可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】选项A中，取不到1，其通项公式中不含，A错误；
选项B中，当是奇数时，，当是偶数时，，B正确；
选项C中，，C错误；选项D中，，D错误．故选：B．
2．已知数列的通项公式为，则257是这个数列的（ ）
A．第6项 B．第7项 C．第8项 D．第9项
【答案】C
【详解】令，解得.故选：C
3．大衍数列，来源于《乾坤普》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两翼数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，……则此数列的第40项为（ ）．
A．648 B．722 C．800 D．882
【答案】C
【详解】由0，2，4，8，12，18，24，32，40，50…，可得偶数项的通项公式：．
则此数列第40项为．故选：C
4．已知数列的通项公式为（），且数列从第项起单调递减，则的最小值为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．不存在
【答案】A
【详解】，，
，由数列从第项起单调递减可得，即，，解得或（舍去），，，
，，即从第11项起，单调递减，的最小值为11.故选：A．
5．（多选题）已知数列的前4项为2，0，2，0，则该数列的通项公式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【详解】因为数列的前4项为2，0，2，0，选项A：不符合题设；
选项B：，符合题设；
选项C：，不符合题设；选项D：，符合题设.故选：BD.
6. （多选题）若数列满足：对任意正整数，为递减数列，则称数列为“差递减数列”.给出下列数列，其中是“差递减数列”的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【详解】对，若，则，所以不为递减数列，故错误；对，若，则，所以为递增数列，故错误；对，若，则，所以为递减数列，故正确；对，若，则，由函数在递减，所以数为递减数列，故正确.故选：.
二、填空题
7．__________.
【答案】
【详解】数列的各项可以顺次整理为：分母是项数加1，分子都是2，前面的正负号可用调节，
得到,
8．已知，若数列中最小项为第3项，则________．
【答案】
【详解】因为开口向上，对称轴为，则由题意知，
所以．
9．若数列{an}为单调递增数列，且，则a3的取值范围为__________.
【答案】(-∞，6)
【详解】当n≥2时，，
因为数列{an}为单调递增数列，所以对n≥2(n∈N)恒成立，
即λ＜2n+1对n≥2(n∈N)恒成立，所以λ＜8，
所以，故a3的取值范围为(-∞，6).
10.分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的创立，为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．如图是按照一定的分形规律生长成的一个树形图，则第13行中实心圆点的个数是__________．
【答案】144
【详解】由题意及图形知，不妨构造数列表示第行实心圆点的个数的变换规律，
其中每一个实心圆点的下一行均分为一个实心圆点与一个空心圆点，每个空心圆点下一行均为实心圆点．故从第三行开始，每行的实心圆点数均为前两行实心圆点数之和．
即，且时，，故第1行到第13行中实心圆点的个数分别为：
0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144．
三、解答题
11.在数列中，.
（1）-107是不是该数列中的某一项？若是，其为第几项？
（2）求数列中的最大项.
【详解】（1）令，
解得或（舍去）.所以
（2），
由于，所以最大项为
12.在数列中，已知，且.
（1）求通项公式；
（2）求证：是递增数列；
（3）求证：.
【详解】（1）∵，
∴解得
因此.
证明（2）∵，
∴，故是递增数列.
（3）∵，而，
∴.
故.4.1数列的概念（2）提高练
一、选择题
1．在数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．3
2．已知数列，它的前n项和，则的值为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
3．下列给出的图形中，星星的个数构成一个数列，则该数列的一个递推公式可以是（ ）
A． B．
C． D．
4．数列的，且，则（ ）
A． B． C．100 D．
5．（多选题）若数列满足，，则数列中的项的值可能为（ ）
A． B． C． D．
6. （多选题）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{an}称为“斐波那契数列”，记Sn为数列{an}的前n项和，则下列结论正确的是（ ）
A．a8＝34 B．S8＝54 C．S2020＝a2022－1 D．a1＋a3＋a5＋…＋a2021＝a2022
二、填空题
7．已知数列的前项和为，且，，则______．
8．在数列中，，若，则_________.
9．已知数列的通项公式为，前项和为，则取得最小值时的值为_________.
10．被人们常常津津乐道的兔子数列是指这样的一个事例：一对幼兔正常情况下一年后可长成成兔，再过一年后可正常繁殖出一对新幼兔，新幼兔又如上成长，若不考虑其他意外因素，按此规律繁殖，则每年的兔子总对数可构成一奇妙的数列，兔子数列具有许多有趣的数学性质，该数列在西方又被称为斐波拉契数列，它最初记载于意大利数学家斐波拉契在1202年所著的《算盘全书》.现有一兔子数列，，若将数列的每一项除以2所得的余数按原来项的顺序构成新的数列，则数列的前2020项和为________.
三、解答题
11.在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln,求an.
12．设数列的前项和为，且方程有一根为
（1）求、；
（2）求数列的通项公式.
4.1数列的概念（2）提高练
一、选择题
1．在数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．3
【答案】A
【详解】∵，，∴，，，.
∴该数列是周期数列，周期.又，∴，故选：A.
2．已知数列，它的前n项和，则的值为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
【答案】A
【详解】，故选：A
3．下列给出的图形中，星星的个数构成一个数列，则该数列的一个递推公式可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】结合图象易知，，，，.
4．数列的，且，则（ ）
A． B． C．100 D．
【答案】D
【详解】因为，所以，即，
所以，，，，，
所以，
所以，又，所以.故选：D
5．（多选题）若数列满足，，则数列中的项的值可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【详解】数列满足，，依次取代入计算得，
，，，，因此继续下去会循环，数列是周期为4的周期数列，所有可能取值为：.故选：ABC.
6. （多选题）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{an}称为“斐波那契数列”，记Sn为数列{an}的前n项和，则下列结论正确的是（ ）
A．a8＝34 B．S8＝54 C．S2020＝a2022－1 D．a1＋a3＋a5＋…＋a2021＝a2022
【答案】BCD
【详解】对于A，可知数列的前8项为1，1，2，3，5，8，13，21，故A错误；
对于B，，故B正确；对于C，可得，
则
即，，故C正确；
对于D，由可得，，故D正确.
二、填空题
7．已知数列的前项和为，且，，则______．
【答案】，
【详解】因为数列的前项和为，且，，
当时，；
又不满足上式，所以，.
8．在数列中，，若，则_________.
【答案】8
【详解】当为偶数时，由得，解得符合；
当为奇数时，由得，即，
令，，在同一直角坐标系中作出函数的图像，如图所示：
由图可知两个函数图像只有一个交点，即方程只有一个根，且，所以由得，由可知，所以不满足题意.综上，.
9．已知数列的通项公式为，前项和为，则取得最小值时的值为_________.
【答案】8
【详解】令，解得或，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以取得最小值时的值为8.
10．被人们常常津津乐道的兔子数列是指这样的一个事例：一对幼兔正常情况下一年后可长成成兔，再过一年后可正常繁殖出一对新幼兔，新幼兔又如上成长，若不考虑其他意外因素，按此规律繁殖，则每年的兔子总对数可构成一奇妙的数列，兔子数列具有许多有趣的数学性质，该数列在西方又被称为斐波拉契数列，它最初记载于意大利数学家斐波拉契在1202年所著的《算盘全书》.现有一兔子数列，，若将数列的每一项除以2所得的余数按原来项的顺序构成新的数列，则数列的前2020项和为________.
【答案】1347
【详解】由题意可得，所以数列，所以数列是一个周期为3的周期数列，而2020除以3商673余1，所以数列的前2020项和为.
三、解答题
11.在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln,求an.
【详解】由题意,得an+1-an=ln,
∴an-an-1=ln(n≥2),
an-1-an-2=ln,
…
a2-a1=ln,
∴当n≥2时,an-a1=ln(·…·)=ln n,∴an=2+ln n(n≥2).
当n=1时,a1=2+ln 1=2,符合上式,
∴an=2+ln n(n∈N*).
12．设数列的前项和为，且方程有一根为
（1）求、；
（2）求数列的通项公式.
【解析】（1）时，有一根，
于是，解得.
时，有一根，
于是，解得.
（2）由题设，得，
即①
当时，，代入①得.②
由于（1）知.
由②可，由此猜想,
