4.2.1 等差数列的概念（1）提高练
一、选择题
1．在等差数列中，，则（ ）
A．0 B．1 C． D．3
2．已知数列中，，，若为等差数列，则（ ）
A．0 B． C． D．2
3．已知数列是等差数列，且.若，则数列是（ ）.
A．以3为首项，3为公差的等差数列
B．以6为首项，3为公差的等差数列
C．以3为首项，6为公差的等差数列
D．以6为首项，6为公差的等差数列
4．我国古代用日晷测量日影的长度，晷长即为所测量影子的长度.《周脾算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同.二十四个节气及晷长变化如图所示.相邻两个节气晷长的变化量相同，周而复始.从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，若测得冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为25.5尺，则冬至日影的长为（ ）
A．11.5 B．12.5 C．13.5 D．14.5
5．（多选题）给出下列命题,正确命题的是（ ）
A.数列6，4，2，0是公差为2的等差数列；
B.数列是公差为的等差数列；
C.等差数列的通项公式一定能写成的形式(k，b为常数)；
D.数列是等差数列.
6. （多选题）设d为正项等差数列的公差，若，，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．三数成等差数列，首末两数之积比中间项的平方小，则公差为__________.
8．在到之间，末位数字是的自然数的个数有______.
9．在数列中，若，，，则该数列的通项为__________.
10．已知等差数列，首项.从第10项起开始大于1，那么公差d的取值范围是 __________.
三、解答题
11．首项为，公差为的等差数列满足下列两个条件：
①；
②满足的的最小值是15.
试求公差和首项的值.
12．设数列{an}满足当n＞1时，an＝，且a1＝.
(1)求证：数列为等差数列；
(2)a1a2是否是数列{an}中的项？如果是，求出是第几项；如果不是，请说明理由．
4.2.1 等差数列的概念（1）提高练
一、选择题
1．在等差数列中，，则（ ）
A．0 B．1 C． D．3
【答案】A
【详解】设等差数列公差为,由得：，即
,故选：
2．已知数列中，，，若为等差数列，则（ ）
A．0 B． C． D．2
【答案】A
【详解】因为，，，故
所以，故.故选：A.
3．已知数列是等差数列，且.若，则数列是（ ）.
A．以3为首项，3为公差的等差数列
B．以6为首项，3为公差的等差数列
C．以3为首项，6为公差的等差数列
D．以6为首项，6为公差的等差数列
【答案】D
【详解】因为数列是等差数列，，设公差为，所以有，解得，所以，因此，而，所以数列是以6为首项，6为公差的等差数，故本题选D.
4．我国古代用日晷测量日影的长度，晷长即为所测量影子的长度.《周脾算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同.二十四个节气及晷长变化如图所示.相邻两个节气晷长的变化量相同，周而复始.从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，若测得冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为25.5尺，则冬至日影的长为（ ）
A．11.5 B．12.5 C．13.5 D．14.5
【答案】C
【详解】由题意，从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，设冬至的日影长为，公差为，
则，，两式相减得，解得，
所以，解得，故选：C
5．（多选题）给出下列命题,正确命题的是（ ）
A.数列6，4，2，0是公差为2的等差数列；
B.数列是公差为的等差数列；
C.等差数列的通项公式一定能写成的形式(k，b为常数)；
D.数列是等差数列.
【答案】BCD
【详解】根据等差数列的定义可知，数列6，4，2，0的公差为，A错误；
对于②，由等差数列的定义可知，数列是公差为的等差数列，所以B正确；
对于③，由等差数列的通项公式，得，令，则，所以C正确；对于D，因为，所以数列是等差数列.
6. （多选题）设d为正项等差数列的公差，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【详解】由题知，只需，，A正确；，B正确；
，C正确；
，所以，D错误.
二、填空题
7．三数成等差数列，首末两数之积比中间项的平方小，则公差为__________.
【答案】
【详解】由等差数列可设三数依次为，其中为公差.由题意得，可得，则.
8．在到之间，末位数字是的自然数的个数有______.
【答案】30
【详解】在到之间，末位数字是的自然数有，构成以为首项，为末项，为公差的等差数列，由，可得项数.
9．在数列中，若，，，则该数列的通项为__________.
【答案】
【详解】∵，∴数列是等差数列，
又，∴，∴．
10．已知等差数列，首项.从第10项起开始大于1，那么公差d的取值范围是 __________.
【答案】
【详解】在等差数列中，因为从第10项起开始大于1，
所以有.
三、解答题
11．首项为，公差为的等差数列满足下列两个条件：
①；
②满足的的最小值是15.
试求公差和首项的值.
【详解】，
，
由，即，
∵满足的的最小值是15，
，
，
又.
12．设数列{an}满足当n＞1时，an＝，且a1＝.
(1)求证：数列为等差数列；
(2)a1a2是否是数列{an}中的项？如果是，求出是第几项；如果不是，请说明理由．
【详解】(1)证明：根据题意a1＝及递推关系an≠0.因为an＝.取倒数得＋4，
即＝4(n＞1)，所以数列是首项为5，公差为4的等差数列．
(2)解：由(1)，得＝5＋4(n－1)＝4n＋1，.
又，解得n＝11.
所以a1a2是数列{an}中的项，是第11项．4.2.1 等差数列的概念（2）提高练
一、选择题
1．在等差数列{an}中，a3+a4+a5＝6，则a1+a7＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．在等差数列中，，，则（ ）
A．12 B．22 C．24 D．34
3．《张邱建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄……”其大意为：有一女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织5尺，最后一天织一尺，三十天织完…….则该女子第11天织布（ ）
A．尺 B．尺 C．尺 D．尺
4．设数列，都是等差数列，且，，，则等于（ ）
A．0 B．37 C．100 D．
5．（多选题）设d为正项等差数列的公差，若，，则（ ）
A． B． C． D．
6. （多选题）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．关于这个问题，下列说法正确的是（ ）
A．甲得钱是戊得钱的倍 B．乙得钱比丁得钱多钱
C．甲、丙得钱的和是乙得钱的倍 D．丁、戊得钱的和比甲得钱多钱
二、填空题
7．等差数列中，，则公差_____________.
8．若2 a b c 8成等差数列，则___________.
9．等差数列中，若，为方程的两根，则等于__________.
10．已知函数在上单调，且函数的图象关于对称，若数列是公差不为0的等差数列，且，则等于________.
三、解答题
11．方程的四个根组成首项为的等差数列，求其公差d及的值．
12．在正项无穷等差数列中，已知.
（1）求通项公式.
（2）设，且对一切，恒有，求的值.对一切，是否恒有？请说明理由.
4.2.1 等差数列的概念（2）提高练
一、选择题
1．在等差数列{an}中，a3+a4+a5＝6，则a1+a7＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【详解】由等差数列的性质，得a3+a4+a5＝3a4＝6，解得a4＝2，∴a1+a7＝2a4＝4，故选：C．
2．在等差数列中，，，则（ ）
A．12 B．22 C．24 D．34
【答案】B
【详解】设数列的公差为则
故.故选：B
3．《张邱建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄……”其大意为：有一女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织5尺，最后一天织一尺，三十天织完…….则该女子第11天织布（ ）
A．尺 B．尺 C．尺 D．尺
【答案】B
【详解】设女子每天的织布数构成的数列为，由题设可知为等差数列，且，故公差，故，故选：B.
4．设数列，都是等差数列，且，，，则等于（ ）
A．0 B．37 C．100 D．
【答案】C
【详解】解：因为数列，都是等差数列，所以数列是等差数列，
因为，，，所以数列的公差为0，首项为100，
所以，所以，故选：C
5．（多选题）设d为正项等差数列的公差，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【详解】由题知，只需，，A正确；，B正确；
，C正确；
，所以，D错误.
6. （多选题）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．关于这个问题，下列说法正确的是（ ）
A．甲得钱是戊得钱的倍 B．乙得钱比丁得钱多钱
C．甲、丙得钱的和是乙得钱的倍 D．丁、戊得钱的和比甲得钱多钱
【答案】AC
【详解】依题意，设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为，，，，，且，即，又，
∴，，即，，，，
∴甲得钱，乙得钱，丙得钱，丁得钱，戊得钱，则有如下结论：
甲得钱是戊得钱的倍，故A正确；
乙得钱比丁得钱多钱，故B错误；甲、丙得钱的和是乙得钱的倍，故C正确；
丁、戊得钱的和比甲得钱多钱，故D错误．故选：AC．
二、填空题
7．等差数列中，，则公差_____________.
【答案】2
【详解】因为数列是等差数列，所以，所以，
所以公差.
8．若2 a b c 8成等差数列，则___________.
【答案】
【详解】2 a b c 8成等差数列,所以，所以,,
所以，故答案为：
9．等差数列中，若，为方程的两根，则等于__________.
【答案】15
【详解】，为方程的两根，
，由等差数列的性质得，即，
.
10．已知函数在上单调，且函数的图象关于对称，若数列是公差不为0的等差数列，且，则等于________.
【答案】
【详解】由题意函数的图象关于对称，则函数的图象关于对称，且在上单调，因为，所以
因为数列是公差不为0的等差数列，所以
三、解答题
11．方程的四个根组成首项为的等差数列，求其公差d及的值．
【详解】设的两根为的两根为，它们组成的等差数列为.
根据等差数列的性质，可设
（1），
则有和
，公差，
所以.
公差
（2），
有和
，公差，
所以
公差.
综上所述，公差或公差.
12．在正项无穷等差数列中，已知.
（1）求通项公式.
（2）设，且对一切，恒有，求的值.对一切，是否恒有？请说明理由.
【详解】（1）∵，又∵，
∴或
当时，，不恒为正，舍去.
∴∴
（2），∴.
∴，∴.因为，所以恒有.4.2.2等差数列的前n项和公式（1）提高练
一、选择题
1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S7＝28，则a4＝（ ）
A．4 B．7 C．8 D．14
2．记为等差数列的前项和．若，，则的公差为
A．1 B．2
C．4 D．8
3．等差数列的前n项和记为若为一确定的常数，则下列各数中也是常数的是（ ）.
A． B． C． D．
4．设等差数列的前n项和为，若，则( )
A．3 B．4 C．5 D．6
5．（多选题）已知数列是等差数列，前n项和为且下列结论中正确的是（ ）
A．最小 B． C． D．
6. （多选题）已知等差数列的公差，前项和为，若，则下列结论中正确的有（ ）
A． B．
C．当时， D．当时，
二、填空题
7．等差数列{an}的公差为2，Sn是数列{an}的前n项的和，若S20＝40，则a1+a3+a5+a7…+a19＝_____．
8．设等差数列的前项和为，若，则_________.
9．将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则的前n项和___.
10．设首项为，公差为的递增等差数列的前项和为，其中，为实数，若，则的取值范围是______．
三、解答题
11．已知等差数列的前n项和为，且，.
（1）求的通项公式：
（2）若，求的值.
12．已知等差数列的前项和为，且
（1）求通项公式；
（2）求数列的前项和
4.2.2等差数列的前n项和公式（1）提高练
一、选择题
1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S7＝28，则a4＝（ ）
A．4 B．7 C．8 D．14
【答案】A
【详解】数列{an}是等差数列， ，那么，所以.
2．记为等差数列的前项和．若，，则的公差为
A．1 B．2
C．4 D．8
【答案】C
【解析】设公差为，，，联立解得，故选C.
3．等差数列的前n项和记为若为一确定的常数，则下列各数中也是常数的是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：由
为一确定的常数，从而为确定的常数，故选：B．
4．设等差数列的前n项和为，若，则( )
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【详解】是等差数列
又，∴公差，，故选C．
5．（多选题）已知数列是等差数列，前n项和为且下列结论中正确的是（ ）
A．最小 B． C． D．
【答案】BCD
【详解】设等差数列数列的公差为.
由有，即
所以,则选项D正确.选项A. ,无法判断其是否有最小值，故A错误.选项B. ,故B正确.选项C. ,所以，故C正确.故选：BCD
6. （多选题）已知等差数列的公差，前项和为，若，则下列结论中正确的有（ ）
A． B．
C．当时， D．当时，
【答案】ABC
【详解】因为是等差数列，前项和为，由得：
，即，即，
对于选项A：由得，可得，故选项A正确；
对于选项B：，故选项B正确；
对于选项C：，若，则，故选项C正确；
对于选项D：当时，，则，因为，所以，，
所以，故选项D不正确，故选：ABC
二、填空题
7．等差数列{an}的公差为2，Sn是数列{an}的前n项的和，若S20＝40，则a1+a3+a5+a7…+a19＝_____．
【答案】10
【详解】解：由题意可得，S20＝20＝40，
解可得，a1＝﹣17，则a1+a3+a5+a7…+a19＝10a10＝10(﹣17+9×2)＝10．
8．设等差数列的前项和为，若，则_________.
【答案】16
【详解】因为等差数列，由，又，
所以，即.又所以
则
9．将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则的前n项和___.
【答案】
【详解】因为数列是以2为首项，以2为公差的等差数列，数列是以1首项，以3为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以4为首项，以6为公差的等差数列，所以的前项和.
10．设首项为，公差为的递增等差数列的前项和为，其中，为实数，若，则的取值范围是______．
【答案】
【详解】因为，，所以，所以，
因为关于的方程有实数根，所以，
即，解得或，又数列为递增数列，
则，∴的取值范围是．
三、解答题
11．已知等差数列的前n项和为，且，.
（1）求的通项公式：
（2）若，求的值.
【详解】（1），，
，解得，
，
（2）由（1）知，，解得，
，
.
12．已知等差数列的前项和为，且
（1）求通项公式；
（2）求数列的前项和
【详解】（1）在等差数列中，因为，
所以，
解得 ，
所以 .
（2）令，解得，
当时，，当时，，
所以当时， ，
当时， ，
，
所以.4.2.2等差数列的前n项和公式（2）提高练
一、选择题
1．某城市年有人口万，该年医疗费用投入亿元，此后年该城市每年新增人口万，医疗费用投入每年新增亿元，已知年该城市医疗费用人均投入元，则的值为（ ）．
A．B．C．D．
2．中国古代数学名著《周髀算经》记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁，…．生数皆终，万物复苏，天以更元作纪历”．某老年公寓住有19位老人，他们的年龄（都为正整数）依次相差一岁，并且他们的年龄之和恰好为一遂，则最年长者的年龄为（ ）
A．71 B．72 C．89 D．90
3．记为数列的前项和，已知点在直线上，若有且只有两个正整数n满足，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．风雨桥是侗族最具特色的建筑之一．风雨桥由桥、塔、亭组成．其亭、塔平面图通常是正方形、正六边形和正八边形．如图是风雨桥亭、塔正六边形的正射影．其正六边形的边长计算方法如下：，，，…，，其中．根据每层边长间的规律．建筑师通过推算，可初步估计需要多少材料．所用材料中，横向梁所用木料与正六边形的周长有关．某一风雨桥亭、塔共5层，若，．则这五层正六边形的周长总和为（ ）
A．100 B．110 C．120 D．130
5．（多选题）等差数列的前项和为，，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C．当或时，取得最大值 D．
6. （多选题）在数列中，，数列的前n项和为，则下列结论正确的是（ ）
A．数列为等差数列 B．
C． D．
二、填空题
7．设等差数列的前n项和为，公差且，则取得最小值时，n的值为_________．
8．设数列为等差数列，其前项和为，已知，，若对任意都有成立，则的值为__________．
9．数列1，-2，2，-3，3，-3，4，-4，4，-4，5，-5，5，-5，5，…，的项正负交替，且项的绝对值为1的有1个，2的有2个，…，的有个，则该数列第2020项是__________．
10．植树节某班41名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米.开始时需将树苗集中放置在第（）个树坑旁边，则将树苗集中放置在第______个树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小.
三、解答题
11．已知正项数列的前项和为，且.
（1）求；
（2）求证：数列是等差数列.
（3）令，问数列的前多少项的和最小？最小值是多少？
12．某种病毒感染性腹泻在全世界范围内均有流行，感染对象主要是成人和学龄儿童，寒冷季节呈现高发，据资料统计，某市11月1日开始出现该病毒感染者，11月1日该市的病毒新感染者共有20人，此后每天的新感染者比前一天的新感染者增加50人，由于该市医疗部分采取措施，使该病毒的传播速度得到控制，从第天起，每天的新感染者比前一天的新感染者减少30人，直到11月30日为止.
（1）设11月日当天新感染人数为，求的通项公式（用表示）；
（2）若到11月30日止，该市在这30日感染该病毒的患者共有8670人，11月几日，该市感染此病毒的新患者人数最多？并求出这一天的新患者人数.
4.2.2等差数列的前n项和公式（2）提高练
一、选择题
1．某城市年有人口万，该年医疗费用投入亿元，此后年该城市每年新增人口万，医疗费用投入每年新增亿元，已知年该城市医疗费用人均投入元，则的值为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】从年起该城市的人口组成一个首项为，公差为的等差数列，
到年，该城市的人口为万，
故年的医疗费用投入为(元)，即亿元，
由于从年到年医疗费用投入组成一个首项为，公差为的等差数列，
∴，解得，故选A．
2．中国古代数学名著《周髀算经》记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁，…．生数皆终，万物复苏，天以更元作纪历”．某老年公寓住有19位老人，他们的年龄（都为正整数）依次相差一岁，并且他们的年龄之和恰好为一遂，则最年长者的年龄为（ ）
A．71 B．72 C．89 D．90
【答案】C
【详解】设这些老人的年龄形成数列，设最年长者的年龄为，
则由题可知数列是公差为-1的等差数列，且，
则，解得.故选：C.
3．记为数列的前项和，已知点在直线上，若有且只有两个正整数n满足，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：由已知可得，由，所以数列为等差数列，首项为8，公差为-2，所以，当n=4或5时， 取得最大值为20，
因为有且只有两个正整数n满足，所以满足条件的和，
因为，所以实数k的取值范围是．故选：C．
4．风雨桥是侗族最具特色的建筑之一．风雨桥由桥、塔、亭组成．其亭、塔平面图通常是正方形、正六边形和正八边形．如图是风雨桥亭、塔正六边形的正射影．其正六边形的边长计算方法如下：，，，…，，其中．根据每层边长间的规律．建筑师通过推算，可初步估计需要多少材料．所用材料中，横向梁所用木料与正六边形的周长有关．某一风雨桥亭、塔共5层，若，．则这五层正六边形的周长总和为（ ）
A．100 B．110 C．120 D．130
【答案】C
【详解】由已知得：，，
因此数列是以为首项，公差为的等差数列，设数列前5项和为，因此有，
所以这五层正六边形的周长总和为.故选：C.
5．（多选题）等差数列的前项和为，，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C．当或时，取得最大值 D．
【答案】ABD
【详解】∵等差数列的前项和为，，∴，解得，故，故A正确；∵，，故有，故B正确；该数列的前项和 ，它的最值，还跟的值有关，故C错误；由于，，故，故D正确，故选：ABD.
6. （多选题）在数列中，，数列的前n项和为，则下列结论正确的是（ ）
A．数列为等差数列 B．
C． D．
【答案】BD
【详解】依题意得，当n是奇数时，，即数列中的偶数项构成以为首项，1为公差的等差数列，所以，当n是偶数时，，所以，两式相减，得，即数列中的奇数项从开始，每隔一项的两项相等，即数列的奇数项呈周期变化，所以，在中，令，得，因为，所以，对于数列的前31项，奇数项满足，偶数项构成以为首项，1为公差的等差数列，所以，故选：BD
二、填空题
7．设等差数列的前n项和为，公差且，则取得最小值时，n的值为_________．
【答案】3或4
【详解】由，可得，因为，所以，
所以，所以．因为，所以是递增数列，所以，显然前3项和或前4项和最小．
8．设数列为等差数列，其前项和为，已知，，若对任意都有成立，则的值为__________．
【答案】
【详解】设等差数列的公差为，由，解得，
.
所以，当时，取得最大值，
对任意都有成立，则为数列的最大值，因此，.
9．数列1，-2，2，-3，3，-3，4，-4，4，-4，5，-5，5，-5，5，…，的项正负交替，且项的绝对值为1的有1个，2的有2个，…，的有个，则该数列第2020项是__________．
【答案】
【详解】将绝对值相同的数字分为一组，则每组数字个数构成等差数列，
因为，则2020项前共包含63个完整组，且第63组最后一个数字为第2016项，且第2016项的符号为负，故2020项为第64组第4个数字，由奇偶交替规则，其为.
10．植树节某班41名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米.开始时需将树苗集中放置在第（）个树坑旁边，则将树苗集中放置在第______个树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小.
【答案】.
【详解】设每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和为，
则，
所以
，所以当时，取得最小值.
三、解答题
11．已知正项数列的前项和为，且.
（1）求；
（2）求证：数列是等差数列.
（3）令，问数列的前多少项的和最小？最小值是多少？
【详解】解：（1）由已知得，，，；
，，
化简得，，又由已知得，，
（2）由题意得，，①
令，得，②
得，，
化简得，，进而得到，
，又由为正项数列得，，故有，
，所以，，故数列是等差数列，由（1）得，，所以，
（3）由（2）得，，明显地，为等差数列，设的前项和为，故有，，根据二次函数的性质，的对称轴为，因为为正整数，明显地，取或时，有最小值，故最小值为，
，所以，数列的前9或前10项的和最小，最小值为.
12．某种病毒感染性腹泻在全世界范围内均有流行，感染对象主要是成人和学龄儿童，寒冷季节呈现高发，据资料统计，某市11月1日开始出现该病毒感染者，11月1日该市的病毒新感染者共有20人，此后每天的新感染者比前一天的新感染者增加50人，由于该市医疗部分采取措施，使该病毒的传播速度得到控制，从第天起，每天的新感染者比前一天的新感染者减少30人，直到11月30日为止.
（1）设11月日当天新感染人数为，求的通项公式（用表示）；
（2）若到11月30日止，该市在这30日感染该病毒的患者共有8670人，11月几日，该市感染此病毒的新患者人数最多？并求出这一天的新患者人数.
【详解】(1)由题意得, 当时是以公差为50,首项为20的等差数列,
此时,().
当时是以公差是,首项为的等差数列,
此时
故,,.
(2)由(1)可知,前日患者共有人.
又第日有人,
第30日有人.故日至30日共天的时间里共有
人
故1到30日共有人
故即,又
故.当天新增患病人数为人.
故11月12日,该市感染此病毒的新患者人数最多,这一天的新患者人数为570人
