4.3.1等比数列的概念 (1) 提高练
一、选择题
1．“、、成等比数列”是“”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
2．已知是一个等比数列的前项，那么第项为（ ）.
A． B． C． D．
3．已知等比数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．设a>0，b>0.若是3a与32b的等比中项，则的最小值为（ ）
A．8 B．4 C．1 D．
5．（多选题）已知数列是公比为q的等比数列，，若数列有连续4项在集合｛-50，-20，22，40，85｝中，则公比q的值可以是（ ）
A． B． C． D．
6. （多选题）已知，，，依次成等比数列，且公比不为1.将此数列删去一个数后得到的数列（按原来的顺序）是等差数列，则正数的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．在等比数列中，，则 .
8．已知某等比数列的前三项依次为，，，那么是此数列的第 项.
9．等比数列为递减数列，若，，则 .
10．在等比数列中，，当时，恒成立，则公比q的取值范围是______．
三、解答题
11．已知递增等比数列满足：， ．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列为等差数列，且满足，，求数列的通项公式及前10项的和；
12．在等差数列中，，.
（1）求数列的通项公式
（2）若，数列是公比为4的等比数列，求数列的通项公式.
4.3.1等比数列的概念 (1) 提高练
一、选择题
1．“、、成等比数列”是“”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【答案】D
【详解】充分性：若、、成等比数列，则且，则，即充分性不成立；
必要性：若，取，则、、不成等比数列，即必要性不成立.
因此，“、、成等比数列”是“”的既非充分也非必要条件.故选：D.
2．已知是一个等比数列的前项，那么第项为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为成等比数列，则，解得：或，
当时，不符合，舍去；当时，前项为：，所以公比，则第项为：，故选：B.
3．已知等比数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】∵等比数列中，，，
∴ ，解得，∴．故选：A.
4．设a>0，b>0.若是3a与32b的等比中项，则的最小值为（ ）
A．8 B．4 C．1 D．
【答案】A
【详解】由题意可知3=3a32b=3a+2b，即a+2b=1.因为a>0，b>0，
所以(a+2b)=+4≥2+4=8，
当且仅当，即a=2b=时取“=”，所以的最小值为8.故选：A
5．（多选题）已知数列是公比为q的等比数列，，若数列有连续4项在集合｛-50，-20，22，40，85｝中，则公比q的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【详解】，
数列有连续四项在集合｛-50，-20，22，40，85｝中
数列有连续四项在集合，，18，36，中
又数列是公比为的等比数列，
在集合，，18，36，中，数列的连续四项只能是：，36，，81或81，，36，.或.故选：BD
6. （多选题）已知，，，依次成等比数列，且公比不为1.将此数列删去一个数后得到的数列（按原来的顺序）是等差数列，则正数的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【详解】解：因为公比不为1，所以不能删去，，设等差数列的公差为，
①若删去，则有，得，即，
整理得，因为，所以，因为，所以解得，
②若删去，则，得，即，
整理得，因为，所以，
因为，所以解得，综上或，故选：AB
二、填空题
7．在等比数列中，，则 .
【答案】4
【详解】为等比数列，设公比为，由，
则，
所以.
8．已知某等比数列的前三项依次为，，，那么是此数列的第 项.
【答案】4
【详解】解：由题意得，，解得或.当时，，不符合题意，舍去，∴.此时，，∴该等比数列的首项为，公比为.设为此数列的第项，则，解得.
9．等比数列为递减数列，若，，则 .
【答案】
【详解】∵等比数列为递减数列，，，∴与为方程的两个根，解得，或，，∵，∴，，∴，则.
10．在等比数列中，，当时，恒成立，则公比q的取值范围是______．
【答案】
【详解】解：在等比数列中，，所以，，
当时，，数列递增，所以当时，恒成立.
故答案为：
三、解答题
11．已知递增等比数列满足：， ．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列为等差数列，且满足，，求数列的通项公式及前10项的和；
【详解】（1）设等比数列的公比为，由已知，，
所以，即数列的通项公式为；
（2）由（1）知，所以，，
设等差数列的公差为，则，，
设数列前10项的和为，则，
所以数列的通项公式，数列前10项的和.
12．在等差数列中，，.
（1）求数列的通项公式
（2）若，数列是公比为4的等比数列，求数列的通项公式.
【详解】（1）∵数列是等差数列，
∴，
∴，.
（2），
∴.4.3.1等比数列的概念 (2) 提高练
一、选择题
1．已知正项等比数列中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．2020年12月17日凌晨1时59分，嫦娥五号返回器携带月球样品成功着陆，这是我国首次实现了地外天体采样返回，标志着中国航天向前又迈出了一大步．月球距离地球约38万千米，有人说：在理想状态下，若将一张厚度约为0.1毫米的纸对折次其厚度就可以超过到达月球的距离，那么至少对折的次数是（ ）（，）
A．40 B．41 C．42 D．43
3．若是公比为e的正项等比数列，则是（ ）
A．公比为的等比数列 B．公比为3的等比数列
C．公差为3e的等差数列 D．公差为3的等差数列
4．在等比数列{an}中，“a1
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（多选题）已知等比数列的公比，等差数列的首项，若，且，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
6. （多选题）在数列中，若（为常数），则称为“等差比数列”，下列对“等差比数列”的判断错误的是（ ）
A．不可能为 B．“等差比数列”中的项不可能为
C．等差数列一定是“等差比数列” D．等比数列一定是“等差比数列”
二、填空题
7．“一尺之棰，日取其半，万世不竭”这句话出自《庄子·天下篇》，其意思为“一根一尺长的木棰每天截取一半，永远都取不完”设第一天这根木棰被截取一半剩下尺，第二天被截取剩下的一半剩下尺，…，第五天被截取剩下的一半剩下尺，则__________．
8．若数列满足，则称为“梦想数列”，已知正项数列为“梦想数列”，且，则________．
9．已知成等比数列，成等差数列，则________．
10．已知数列中，，，若，则__________ .
三、解答题
11．已知等差数列的前项和为，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，，成等比数列，求正整数的值.
12．“绿水青山就是金山银山”是时任浙江省委书记习近平同志于2005年8月15日在浙江湖州安吉考察时提出的科学论断，2017年10月18日，该理论写入中共19大报告，为响应总书记号召，我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方公里，其中是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的改造为绿洲，同时原有绿洲的被沙漠所侵蚀又变成沙漠，设从今年起第n年绿洲面积为万平方公里．
（1）求第n年绿洲面积与上一年绿洲面积的关系；
（2）判断是否是等比数列，并说明理由；
（3）至少经过几年，绿洲面积可超过？
4.3.1等比数列的概念 (2) 提高练
一、选择题
1．已知正项等比数列中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】在正项等比数列中，由
所以，又，所以，所以，故选：D
2．2020年12月17日凌晨1时59分，嫦娥五号返回器携带月球样品成功着陆，这是我国首次实现了地外天体采样返回，标志着中国航天向前又迈出了一大步．月球距离地球约38万千米，有人说：在理想状态下，若将一张厚度约为0.1毫米的纸对折次其厚度就可以超过到达月球的距离，那么至少对折的次数是（ ）（，）
A．40 B．41 C．42 D．43
【答案】C
【详解】设对折次时，纸的厚度为，每次对折厚度变为原来的倍，
由题意知是以为首项，公比为的等比数列，
所以，令，
即，所以，即，
解得：，所以至少对折的次数是，故选：C
3．若是公比为e的正项等比数列，则是（ ）
A．公比为的等比数列 B．公比为3的等比数列
C．公差为3e的等差数列 D．公差为3的等差数列
【答案】D
【详解】解：因为是公比为的正项等比数列，所以，且
因为，为常数，
所以是公差为3的等差数列，故选：．
4．在等比数列{an}中，“a1A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】当a1若a1>0，则11，此时，显然数列{an}是递增数列，
若a1<0，则1>q>q2，即0反之，当数列{an}是递增数列时，显然a1故“a15．（多选题）已知等比数列的公比，等差数列的首项，若，且，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【详解】对选项A，因为，所以，故A正确；
对选项B，因为，所以或，即或，故B错误；
对选项C，D，因为异号，，且，所以中至少有一个负数，
又因为，所以，，故C错误，D正确.故选：AD
6. （多选题）在数列中，若（为常数），则称为“等差比数列”，下列对“等差比数列”的判断错误的是（ ）
A．不可能为 B．“等差比数列”中的项不可能为
C．等差数列一定是“等差比数列” D．等比数列一定是“等差比数列”
【答案】BCD
【详解】解：当时，根据“等差比数列”的定义，有，即有，这与分母不为0矛盾，，故选项正确；当时，为常数，数列为“等差比数列”，且，故选项错误；又当数列为非零常数列时，数列既是等差数列又是等比数列，但，此时数列不是“等差比数列”，故选项、错误，故选：．
二、填空题
7．“一尺之棰，日取其半，万世不竭”这句话出自《庄子·天下篇》，其意思为“一根一尺长的木棰每天截取一半，永远都取不完”设第一天这根木棰被截取一半剩下尺，第二天被截取剩下的一半剩下尺，…，第五天被截取剩下的一半剩下尺，则__________．
【答案】24
【详解】依题意可知，，，，…成等比数列，且公比为，则．
8．若数列满足，则称为“梦想数列”，已知正项数列为“梦想数列”，且，则________．
【答案】32
【详解】由题意可知，若数列为“梦想数列”，则，可得，
所以，“梦想数列”是公比为的等比数列，若正项数列为“梦想数列”，则，所以，，即正项数列是公比为的等比数列，因为，因此，.
9．已知成等比数列，成等差数列，则________．
【答案】或
【详解】因为成等比数列，所以，解得或，
当时，，，当时，，，
或，成等差数列，
，或.
10．已知数列中，，，若，则__________ .
【答案】4
【详解】因为数列中，，，
所以取，则，所以数列是以2为首项，2为公差的等比数列，所以，又，即，即，解得．
三、解答题
11．已知等差数列的前项和为，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，，成等比数列，求正整数的值.
【详解】
（1），解得
（2），
，，成等比数列
，即
解得（舍）
12．“绿水青山就是金山银山”是时任浙江省委书记习近平同志于2005年8月15日在浙江湖州安吉考察时提出的科学论断，2017年10月18日，该理论写入中共19大报告，为响应总书记号召，我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方公里，其中是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的改造为绿洲，同时原有绿洲的被沙漠所侵蚀又变成沙漠，设从今年起第n年绿洲面积为万平方公里．
（1）求第n年绿洲面积与上一年绿洲面积的关系；
（2）判断是否是等比数列，并说明理由；
（3）至少经过几年，绿洲面积可超过？
【详解】（1）由题意得，
所以；
（2）由（1）得，∴，
所以是等比数列.
（3）由（2）有，又，所以，
∴，即；
，即，两边取常用对数得：
，所以，
∴．
∴至少经过6年，绿洲面积可超过60%．4.3.2等比数列的前n项和公式 (1) 提高练
一、选择题
1．在数列中，，，记的前项和为，则（ ）
A． B． C． D．
2．衡量病毒传播能力的一个重要指标叫做传播指数．它指的是，在自然情况下（没有外力介入，同时所有人都没有免疫），一个感染某种传染病的人，会把疾病传染给多少人的平均数．它的简单计算公式是：确诊病例增长率系列间隔，其中系列间隔是指在一个传播链中两例连续病例的间隔时间（单位：天）．根据统计，某种传染病确诊病例的平均增长率为25%，两例连续病例的间隔时间的平均数为4天，根据以上数据计算，若甲得这种传染病，则经过6轮传播后由甲引起的得病的总人数约为（ ）
A．30 B．62 C．64 D．126
3．已知数列、满足，，，则数列的前项和为（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数，给出三个条件：①；②；③.从中选出一个能使数列成等比数列的条件，在这个条件下，数列的前项和（ ）
A． B． C． D．
5．（多选题）已知等比数列公比为，前项和为，且满足，则下列说法正确的是（ ）
A．为单调递增数列 B．
C．，，成等比数列 D．
6. （多选题）在递增的等比数列中，已知公比为，是其前项和，若，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．数列是等比数列
C． D．数列是公差为2的等差数列
二、填空题
7．已知数列为递增等比数列，是关于的方程的两个实数根，则其前项和________.
8．已知等比数列的前项和为，若，，则数列的公比_______.
9．以为首项 以为公比的等比数列满足，，设数列的前项和为，若恒成立，则实数的取值范围是______.
10．对于数列，定义数列为数列的“差数列”，若，的“差数列”的通项公式为，数列的前项和为，则的最大值为________．
三、解答题
11．已知是等差数列，是各项都为正数的等比数列，，再从①；②；③这三个条件中选择___________，___________两个作为已知.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
12．已知公比大于1的等比数列的前项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和．
4.3.2等比数列的前n项和公式 (1) 提高练
一、选择题
1．在数列中，，，记的前项和为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】∵，∴，又，∴数列是以1为首项，为比的等比数列，∴，∴.故选：D.
2．衡量病毒传播能力的一个重要指标叫做传播指数．它指的是，在自然情况下（没有外力介入，同时所有人都没有免疫），一个感染某种传染病的人，会把疾病传染给多少人的平均数．它的简单计算公式是：确诊病例增长率系列间隔，其中系列间隔是指在一个传播链中两例连续病例的间隔时间（单位：天）．根据统计，某种传染病确诊病例的平均增长率为25%，两例连续病例的间隔时间的平均数为4天，根据以上数据计算，若甲得这种传染病，则经过6轮传播后由甲引起的得病的总人数约为（ ）
A．30 B．62 C．64 D．126
【答案】D
【详解】由题意得：，所以经过6轮传播后由甲引起的得病的总人数约为：
，故选：D
3．已知数列、满足，，，则数列的前项和为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：因为，∴数列是等差数列，且公差是，是等比数列，且公比是，又∵，∴，，∴，
设，∴，数列是等比数列，且公比为，首项为，
由等比数列的前项和的公式得：其前项的和为.故选：C.
4．已知函数，给出三个条件：①；②；③.从中选出一个能使数列成等比数列的条件，在这个条件下，数列的前项和（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】已知函数，定义域为.
若选①，则，，不是常数，则不是等比数列；若选②，则，，不是常数，则不是等比数列；若选③，则，，是常数，
则是以为首项，以3为公比的等比数列，则.故选：D.
5．（多选题）已知等比数列公比为，前项和为，且满足，则下列说法正确的是（ ）
A．为单调递增数列 B．
C．，，成等比数列 D．
【答案】BD
【详解】由，可得，则，当首项时，可得为单调递减数列，故错误；由，故正确；假设，，成等比数列，可得，
即不成立，显然，，不成等比数列，故错误；
由公比为的等比数列，可得
，故正确；故选：．
6. （多选题）在递增的等比数列中，已知公比为，是其前项和，若，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．数列是等比数列
C． D．数列是公差为2的等差数列
【答案】ABC
【详解】为递增的等比数列，由得
解得或∵为递增数列，∴∴，，
故选项正确；∴，，∴，，
∴数列是等比数列，故选项正确；所以,则，故选项正确.又，∴数列是公差为的等差数列，故选项错误.故选：ABC.
二、填空题
7．已知数列为递增等比数列，是关于的方程的两个实数根，则其前项和________.
【答案】31
【详解】由，解得或，∵数列为递增等比数列，是关于的方程的两个实数根，∴，∴公比．
∴其前5项和．
8．已知等比数列的前项和为，若，，则数列的公比_______.
【答案】
【详解】由已知，
则，解得．
9．以为首项 以为公比的等比数列满足，，设数列的前项和为，若恒成立，则实数的取值范围是______.
【答案】
【详解】由题意得，可得，所以，
所以，即.
10．对于数列，定义数列为数列的“差数列”，若，的“差数列”的通项公式为，数列的前项和为，则的最大值为________．
【答案】
【详解】由题意得，则，，，．．．．．．，，将以上各式相加，得，
∴，也适合，，．
则的最大值为．
三、解答题
11．已知是等差数列，是各项都为正数的等比数列，，再从①；②；③这三个条件中选择___________，___________两个作为已知.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【详解】解：选择条件①和条件②
（1）设等差数列的公差为，∴
解得：，.∴，.
（2）设等比数列的公比为，，
∴解得，.
设数列的前项和为，∴.
选择条件①和条件③：
（1）设等差数列的公差为，∴
解得：，.∴.
（2），设等比数列的公比为，.
∴，解得，.
设数列的前项和为，∴.
选择条件②和条件③：
（1）设等比数列的公比为，，
∴，解得，，.
设等差数列的公差为，∴，又，故.
∴.
（2）设数列的前项和为，
由（1）可知.
12．已知公比大于1的等比数列的前项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和．
【详解】解：设的公比为，．
（1）由整理得，解得或（舍去）．
∴，∴，．
（2），∴．
∴，，
∴
．
∴．4.3.2等比数列的前n项和公式 (2) 提高练
一、选择题
1．我国明代著名乐律学家 明宗室王子朱载堉在《律学新说》中提出的十二平均律，即是现代在钢琴的键盘上，一个八度音程从一个c键到下一个键的8个白键与5个黑键(如图)的音频恰成一个公比为的等比数列的原理，也即高音的频率正好是中音c的2倍.已知标准音的频率为440Hz，那么频率为的音名是（ ）
A．d B．f C．e D．#d
2．已知数列满足，，，是等比数列，则数列的前8项和（ ）
A．376 B．382 C．749 D．766
3．在当前防疫取得重要进展的时刻，为防范机场带来的境外输入，某机场海关在对入境人员进行检测时采用了“优选法”提高检测效率：每32人为一组，把每个人抽取的鼻咽拭子分泌物混合检查，如果为阴性则全部放行；若为阳性，则对该32人再次抽检确认感染者.某组32人中恰有一人感染(鼻咽拭子样本检验将会是阳性)，若逐一检测可能需要31次才能确认感染者.现在先把这32人均分为两组，选其中一组16人的样本混合检查，若为阴性，则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组.继续把认定的这组的16人均分两组，选其中一组8人的样本混合检查……依此类推，最终从这32人中认定那名感染者需要经过（）次检测.
A．3 B．4 C．5 D．6
4．已知数列中，其前项和为，且满足，数列的前项和为，若对恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（多选题）一个弹性小球从100m高处自由落下，每次着地后又跳回原来高度的再落下.设它第n次着地时，经过的总路程记为，则当时，下面说法正确的是（ ）
A． B．
C．的最小值为 D．的最大值为400
6. （多选题）设首项为1的数列的前项和为，已知，则下列结论正确的是（ ）
A．数列为等比数列 B．数列为等比数列
C．数列中 D．数列的前项和为
二、填空题
7．我国古代数学名著《九章算术》中有如下“两鼠穿墙”问题：有两只老鼠同时从墙的两面相对着打洞穿墙.大老鼠第一天打进1尺，以后每天进度是前一天的倍.小老鼠第一天也打进尺，以后每天进度是前一天的一半.如果墙的厚度为尺，则两鼠穿透此墙至少在第________天.
8．数列中，，若，则_______________________．
9．如图，在平面上作边长为的正方形，以所作正方形的一边为斜边向外作等腰直角三角形，然后以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，再以新的正方形的一边为斜边向外作等腰直角三角形，如此这般的作正方形和等腰直角三角形，不断地持续下去，求前n个正方形与前n个等腰直角三角形的面积之和__________.
10．已知数列的前项和为，首项且，若对恒成立，则实数的取值范围是__________．
三、解答题
11．某商店采用分期付款的方式促销一款价格每台为6000元的电脑.商店规定，购买时先支付货款的，剩余部分在三年内按每月底等额还款的方式支付欠款，且结算欠款的利息.已知欠款的月利率为.
（1）到第一个月底，货主在第一次还款之前，他欠商店多少元？
（2）假设货主每月还商店元，写出在第个月末还款后，货主对商店欠款数表达式.
（3）每月的还款额为多少元（精确到0.01元）？
12．某企业为一个高科技项目注入了启动资金1000万元，已知每年可获利，但由于竞争激烈，每年年底需从利润中抽取200万元资金进行科研、技术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率．设经过年之后，该项目的资金为万元．
（1）设，证明数列为等比数列，并求出至少要经过多少年，该项目的资金才可以达到或超过翻两番（即为原来的4倍）的目标（取）；
（2）若，求数列的前项和．
4.3.2等比数列的前n项和公式 (2) 提高练
一、选择题
1．我国明代著名乐律学家 明宗室王子朱载堉在《律学新说》中提出的十二平均律，即是现代在钢琴的键盘上，一个八度音程从一个c键到下一个键的8个白键与5个黑键(如图)的音频恰成一个公比为的等比数列的原理，也即高音的频率正好是中音c的2倍.已知标准音的频率为440Hz，那么频率为的音名是（ ）
A．d B．f C．e D．#d
【答案】D
【详解】由题意可得从左到右的音频恰成一个公比为的等比数列，设频率为的音名为等比数列的首项，标准音为第项，则，解得，从标准音开始，往左数7个的音名是#d.故答案为：D.
2．已知数列满足，，，是等比数列，则数列的前8项和（ ）
A．376 B．382 C．749 D．766
【答案】C
【详解】由已知得，，，而是等比数列，故，
，
，化简得，
3．在当前防疫取得重要进展的时刻，为防范机场带来的境外输入，某机场海关在对入境人员进行检测时采用了“优选法”提高检测效率：每32人为一组，把每个人抽取的鼻咽拭子分泌物混合检查，如果为阴性则全部放行；若为阳性，则对该32人再次抽检确认感染者.某组32人中恰有一人感染(鼻咽拭子样本检验将会是阳性)，若逐一检测可能需要31次才能确认感染者.现在先把这32人均分为两组，选其中一组16人的样本混合检查，若为阴性，则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组.继续把认定的这组的16人均分两组，选其中一组8人的样本混合检查……依此类推，最终从这32人中认定那名感染者需要经过（）次检测.
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【详解】法一：先把这32人均分为2组，选其中一组16人的样本混合检查，
若为阴性则认定在另一组；
若为阳性，则认定在本组，此时进行了1次检测，
继续把认定的这组的16人均分两组，选其中一组8人的样本混合检查，
若为阴性则认定在另一组；
若为阳性，则认定在本组，此时进行了2次检测.
继续把认定的这组的8人均分两组，选其中一组4人的样本混合检查，
若为阴性则认定在另一组；
若为阳性，则认定在本组，此时进行了3次检测，
继续把认定的这组的4人均分两组，选其中一组2人的样本混合检查，
若为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组，此时进行了4次检测.
选认定的这组的2人中一人进行样本检查，
若为阴性则认定是另个人；若为阳性，则认定为此人，此时进行了5次检测，
所以，最终从这32人中认定那名感染者需要经过5次检测，故选C.
法二：设第次检测后余下的人数为，则且，
故，令，则，故需要检测5次，故选：C.
4．已知数列中，其前项和为，且满足，数列的前项和为，若对恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】当时，，得 ；当时，由，得，两式相减得，所以数列是以1为首项，为公比的等比数列．
因为，所以．又，所以是以1为首项，为公比的等比数列，
所以，，
由，得，所以，
所以，所以．综上，实数的取值范围是．
5．（多选题）一个弹性小球从100m高处自由落下，每次着地后又跳回原来高度的再落下.设它第n次着地时，经过的总路程记为，则当时，下面说法正确的是（ ）
A． B．
C．的最小值为 D．的最大值为400
【答案】AC
【详解】由题可知，第一次着地时，；第二次着地时，；
第三次着地时，；……
第次着地后，
则，显然，又是关于的增函数，，故当时，的最小值为；
综上所述，AC正确故选：AC
6. （多选题）设首项为1的数列的前项和为，已知，则下列结论正确的是（ ）
A．数列为等比数列 B．数列为等比数列
C．数列中 D．数列的前项和为
【答案】BCD
【详解】因为，所以．
又，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，故B正确；
所以，则．
当时，，但，故A错误；
由当时，可得，故C正确；
因为，所以
所以数列的前项和为，故D正确．故选：BCD．
二、填空题
7．我国古代数学名著《九章算术》中有如下“两鼠穿墙”问题：有两只老鼠同时从墙的两面相对着打洞穿墙.大老鼠第一天打进1尺，以后每天进度是前一天的倍.小老鼠第一天也打进尺，以后每天进度是前一天的一半.如果墙的厚度为尺，则两鼠穿透此墙至少在第________天.
【答案】4
【详解】设两只老鼠在第天相遇，则大老鼠第天打洞的厚度成以为公比的等比数列，
小老鼠第天打洞的厚度成以为公比的等比列，由等比数列的求和公式可得，整理得，可得（舍去）或，所以，两鼠穿透此墙至少在第天.
8．数列中，，若，则_______________________．
【答案】3
【详解】因为，所以，所以，是等比数列，公比为2．所以．因为，所以．
9．如图，在平面上作边长为的正方形，以所作正方形的一边为斜边向外作等腰直角三角形，然后以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，再以新的正方形的一边为斜边向外作等腰直角三角形，如此这般的作正方形和等腰直角三角形，不断地持续下去，求前n个正方形与前n个等腰直角三角形的面积之和__________.
【答案】
【详解】设依次所作的第个正方形的边长为，第个正方形与第个等腰直角三角形的面积和为，则第个等腰直角三角形的腰长为，且.
第个正方形的边长为，，，
，且，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列..
10．已知数列的前项和为，首项且，若对恒成立，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】因为，所以，
∴数列是以为首项，公比为2的等比数列，
∴，.因此.
所以对恒成立，可化为对恒成立.
当为奇数时，，所以 ，即；
当为偶数时，，解得.综上，实数的取值范围是.
三、解答题
11．某商店采用分期付款的方式促销一款价格每台为6000元的电脑.商店规定，购买时先支付货款的，剩余部分在三年内按每月底等额还款的方式支付欠款，且结算欠款的利息.已知欠款的月利率为.
（1）到第一个月底，货主在第一次还款之前，他欠商店多少元？
（2）假设货主每月还商店元，写出在第个月末还款后，货主对商店欠款数表达式.
（3）每月的还款额为多少元（精确到0.01元）？
【详解】（1）因为购买电脑时，货主欠商店的货款，即，
又按月利率，到第一个月底的欠款数应为元，
即到第一个月底，欠款余额为元；
（2）设第个月底还款后的欠款数为，则有，
，
，
……
整理得：；
（3）由题意可得：，所以，
因此
12．某企业为一个高科技项目注入了启动资金1000万元，已知每年可获利，但由于竞争激烈，每年年底需从利润中抽取200万元资金进行科研、技术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率．设经过年之后，该项目的资金为万元．
（1）设，证明数列为等比数列，并求出至少要经过多少年，该项目的资金才可以达到或超过翻两番（即为原来的4倍）的目标（取）；
（2）若，求数列的前项和．
【详解】
解：（1）由题意可得，，
∵，
∵，
∴，，
∴，数列是以250为首项，以为公比的等比数列，
∴，，
令可得，∴，
从而可得，，
故，至少要经过12年，该项目的资金才可以达到或超过翻两番的目标；
（2），
，
，
两式相减可得，，
，
∴．