4.4数学归纳法 提高练 （含解析）
文档属性
| 名称 | 4.4数学归纳法 提高练 （含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 405.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-11 11:31:42 | ||
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文档简介
4.4数学归纳法 提高练
一、选择题
1．用数学归纳法证明“对于的正整数成立”时，第一步证明中的起始值应取（ ）
A． B． C． D．
2．用数学归纳法证明等式，时，由到时，等式左边应添加的项是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知，则（ ）
A．中共有项，当n=2时，
B．中共有项，当n=2时，
C．中共有项，当n=2时，
D．中共有项，当n=2时，
4．平面内有个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都无公共点，用表示这个圆把平面分割的区域数，那么与之间的关系为（ ）
A． B．
C． D．
5．用数学归纳法证明： 的过程中，从到时，比共增加了（ ）
A．1项 B．项 C．项 D．项
6. （多选题）数列满足，，则以下说法正确的为（ ）
A.；
B.；
C.对任意正数，都存在正整数使得成立；
D..
二、填空题
7．用数学归纳法证明时，第一步应验证的等式是________．
8．凸边形内角和为，则凸边形的内角为______________.
9．用数学归纳法证明：，从到，等式左边需增加的代数式为________
10．已知为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设（为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证____________时等式成立.
三、解答题
11．汉诺塔问题是源于印度一个古老传说的益智游戏.这个游戏的目的是将图（1）中按照直径从小到大依次摆放在①号塔座上的盘子，移动到③号塔座上，在移动的过程中要求：每次只可以移动一个盘子，并且保证任何一个盘子都不可以放在比自己小的盘子上.记将n个直径不同的盘子从①号塔座移动到③号塔座所需要的最少次数为an.
（1）试写出a1，a2，a3，a4值，并猜想出an；（无需给出证明）
（2）著名的毕达哥拉斯学派提出了形数的概念.他们利用小石子摆放出了图（2）的形状，此时小石子的数目分别为1，4，9，16，由于小石子围成的图形类似正方形，于是称bn＝n2这样的数为正方形数.当n≥2时，试比较an与bn的大小，并用数学归纳法加以证明.
12．设数列的前项和为，且对任意的正整数都满足．
（1）求，，的值，猜想的表达式；
（2）用数学归纳法证明（1）中猜想的的表达式的正确性．
数学归纳法 提高练
一、选择题
1．用数学归纳法证明“对于的正整数成立”时，第一步证明中的起始值应取（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】根据数学归纳法的步骤，首先要验证当取第一个值时命题成立，
结合本题，当时，左边，右边，不成立；
当时，左边，右边，不成立；
当时，左边，右边，不成立；
当时，左边，右边，不成立；
当时，左边，右边，成立.
因此当时，命题成立．所以第一步证明中的起始值应取．故选：D．
2．用数学归纳法证明等式，时，由到时，等式左边应添加的项是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为要证明等式的左边是连续正整数，所以当由到时，等式左边增加了，故选C.
3．已知，则（ ）
A．中共有项，当n=2时，
B．中共有项，当n=2时，
C．中共有项，当n=2时，
D．中共有项，当n=2时，
【答案】C
【详解】中共有项，当n=2时，.
4．平面内有个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都无公共点，用表示这个圆把平面分割的区域数，那么与之间的关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】依题意得，由个圆增加到个圆，增加了个交点，这个交点将新增的圆分成段弧，而每一段弧都将原来的一块区域分成了2块，故增加了块区域，因此．
5．用数学归纳法证明： 的过程中，从到时，比共增加了（ ）
A．1项 B．项 C．项 D．项
【答案】D
【详解】由题意，时，最后一项为，时，最后一项为
所以由变到时，左边增加的项为，增加了项
故选：D
6. （多选题）数列满足，，则以下说法正确的为（ ）
A.；
B.；
C.对任意正数，都存在正整数使得成立；
D..
【答案】ABCD
【详解】，若，则，
∴，∴，A正确；
由已知，
∴，B正确；
由及①得，，
∴，显然对任意的正数，在在正整数，使得，此时成立，C正确；
(i)已知成立，(ii)假设，则，
又，即，∴，
由数学归纳法思想得D正确．
二、填空题
7．用数学归纳法证明时，第一步应验证的等式是________．
【答案】
【详解】由题知等式的左边有项，右边有项，且，因此第一步应验证时的等式，此时左边，右边．
8．凸边形内角和为，则凸边形的内角为______________.
【答案】
【解析】凸边形的内角和比凸边形的内角和多出一个三角形的内角和，即，
所以.
9．用数学归纳法证明：，从到，等式左边需增加的代数式为________
【答案】
【详解】当时，等式的左边为：，
当，等式的左边为：，
所以从到，等式左边需增加的代数式为.
10．已知为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设（为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证____________时等式成立.
【答案】【详解】假设当（且为偶数）时，命题成立，
即成立
由于是对所有正偶数命题成立，则归纳推广时，应该是再证明取下一个偶数时，命题也成立.
所以应证明当时，等式也成立，故答案为：
三、解答题
11．汉诺塔问题是源于印度一个古老传说的益智游戏.这个游戏的目的是将图（1）中按照直径从小到大依次摆放在①号塔座上的盘子，移动到③号塔座上，在移动的过程中要求：每次只可以移动一个盘子，并且保证任何一个盘子都不可以放在比自己小的盘子上.记将n个直径不同的盘子从①号塔座移动到③号塔座所需要的最少次数为an.
（1）试写出a1，a2，a3，a4值，并猜想出an；（无需给出证明）
（2）著名的毕达哥拉斯学派提出了形数的概念.他们利用小石子摆放出了图（2）的形状，此时小石子的数目分别为1，4，9，16，由于小石子围成的图形类似正方形，于是称bn＝n2这样的数为正方形数.当n≥2时，试比较an与bn的大小，并用数学归纳法加以证明.
【详解】（1）由题意得，，，，，
猜想：.
（2），，，，，，，，，，
则当时，，猜想：当时，，即，
下面利用数学归纳法证明：
①当时，，，，结论成立；
②假设时结论成立，即，
那么当时，，
而时，，即，
所以，
所以当时，结论也成立.
由①②可知，当时，结论成立.
综上，当时，，当时，，即.
12．设数列的前项和为，且对任意的正整数都满足．
（1）求，，的值，猜想的表达式；
（2）用数学归纳法证明（1）中猜想的的表达式的正确性．
【详解】（1）当时，，∴，
当时，，∴，
∴，，
猜想，；
（2）下面用数学归纳法证明：
①当时，，，猜想正确；
②假设时，猜想正确，即，
那么当时，
可得，
即时，猜想也成立．
综上可知，对任意的正整数，都成立．
一、选择题
1．用数学归纳法证明“对于的正整数成立”时，第一步证明中的起始值应取（ ）
A． B． C． D．
2．用数学归纳法证明等式，时，由到时，等式左边应添加的项是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知，则（ ）
A．中共有项，当n=2时，
B．中共有项，当n=2时，
C．中共有项，当n=2时，
D．中共有项，当n=2时，
4．平面内有个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都无公共点，用表示这个圆把平面分割的区域数，那么与之间的关系为（ ）
A． B．
C． D．
5．用数学归纳法证明： 的过程中，从到时，比共增加了（ ）
A．1项 B．项 C．项 D．项
6. （多选题）数列满足，，则以下说法正确的为（ ）
A.；
B.；
C.对任意正数，都存在正整数使得成立；
D..
二、填空题
7．用数学归纳法证明时，第一步应验证的等式是________．
8．凸边形内角和为，则凸边形的内角为______________.
9．用数学归纳法证明：，从到，等式左边需增加的代数式为________
10．已知为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设（为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证____________时等式成立.
三、解答题
11．汉诺塔问题是源于印度一个古老传说的益智游戏.这个游戏的目的是将图（1）中按照直径从小到大依次摆放在①号塔座上的盘子，移动到③号塔座上，在移动的过程中要求：每次只可以移动一个盘子，并且保证任何一个盘子都不可以放在比自己小的盘子上.记将n个直径不同的盘子从①号塔座移动到③号塔座所需要的最少次数为an.
（1）试写出a1，a2，a3，a4值，并猜想出an；（无需给出证明）
（2）著名的毕达哥拉斯学派提出了形数的概念.他们利用小石子摆放出了图（2）的形状，此时小石子的数目分别为1，4，9，16，由于小石子围成的图形类似正方形，于是称bn＝n2这样的数为正方形数.当n≥2时，试比较an与bn的大小，并用数学归纳法加以证明.
12．设数列的前项和为，且对任意的正整数都满足．
（1）求，，的值，猜想的表达式；
（2）用数学归纳法证明（1）中猜想的的表达式的正确性．
数学归纳法 提高练
一、选择题
1．用数学归纳法证明“对于的正整数成立”时，第一步证明中的起始值应取（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】根据数学归纳法的步骤，首先要验证当取第一个值时命题成立，
结合本题，当时，左边，右边，不成立；
当时，左边，右边，不成立；
当时，左边，右边，不成立；
当时，左边，右边，不成立；
当时，左边，右边，成立.
因此当时，命题成立．所以第一步证明中的起始值应取．故选：D．
2．用数学归纳法证明等式，时，由到时，等式左边应添加的项是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为要证明等式的左边是连续正整数，所以当由到时，等式左边增加了，故选C.
3．已知，则（ ）
A．中共有项，当n=2时，
B．中共有项，当n=2时，
C．中共有项，当n=2时，
D．中共有项，当n=2时，
【答案】C
【详解】中共有项，当n=2时，.
4．平面内有个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都无公共点，用表示这个圆把平面分割的区域数，那么与之间的关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】依题意得，由个圆增加到个圆，增加了个交点，这个交点将新增的圆分成段弧，而每一段弧都将原来的一块区域分成了2块，故增加了块区域，因此．
5．用数学归纳法证明： 的过程中，从到时，比共增加了（ ）
A．1项 B．项 C．项 D．项
【答案】D
【详解】由题意，时，最后一项为，时，最后一项为
所以由变到时，左边增加的项为，增加了项
故选：D
6. （多选题）数列满足，，则以下说法正确的为（ ）
A.；
B.；
C.对任意正数，都存在正整数使得成立；
D..
【答案】ABCD
【详解】，若，则，
∴，∴，A正确；
由已知，
∴，B正确；
由及①得，，
∴，显然对任意的正数，在在正整数，使得，此时成立，C正确；
(i)已知成立，(ii)假设，则，
又，即，∴，
由数学归纳法思想得D正确．
二、填空题
7．用数学归纳法证明时，第一步应验证的等式是________．
【答案】
【详解】由题知等式的左边有项，右边有项，且，因此第一步应验证时的等式，此时左边，右边．
8．凸边形内角和为，则凸边形的内角为______________.
【答案】
【解析】凸边形的内角和比凸边形的内角和多出一个三角形的内角和，即，
所以.
9．用数学归纳法证明：，从到，等式左边需增加的代数式为________
【答案】
【详解】当时，等式的左边为：，
当，等式的左边为：，
所以从到，等式左边需增加的代数式为.
10．已知为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设（为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证____________时等式成立.
【答案】【详解】假设当（且为偶数）时，命题成立，
即成立
由于是对所有正偶数命题成立，则归纳推广时，应该是再证明取下一个偶数时，命题也成立.
所以应证明当时，等式也成立，故答案为：
三、解答题
11．汉诺塔问题是源于印度一个古老传说的益智游戏.这个游戏的目的是将图（1）中按照直径从小到大依次摆放在①号塔座上的盘子，移动到③号塔座上，在移动的过程中要求：每次只可以移动一个盘子，并且保证任何一个盘子都不可以放在比自己小的盘子上.记将n个直径不同的盘子从①号塔座移动到③号塔座所需要的最少次数为an.
（1）试写出a1，a2，a3，a4值，并猜想出an；（无需给出证明）
（2）著名的毕达哥拉斯学派提出了形数的概念.他们利用小石子摆放出了图（2）的形状，此时小石子的数目分别为1，4，9，16，由于小石子围成的图形类似正方形，于是称bn＝n2这样的数为正方形数.当n≥2时，试比较an与bn的大小，并用数学归纳法加以证明.
【详解】（1）由题意得，，，，，
猜想：.
（2），，，，，，，，，，
则当时，，猜想：当时，，即，
下面利用数学归纳法证明：
①当时，，，，结论成立；
②假设时结论成立，即，
那么当时，，
而时，，即，
所以，
所以当时，结论也成立.
由①②可知，当时，结论成立.
综上，当时，，当时，，即.
12．设数列的前项和为，且对任意的正整数都满足．
（1）求，，的值，猜想的表达式；
（2）用数学归纳法证明（1）中猜想的的表达式的正确性．
【详解】（1）当时，，∴，
当时，，∴，
∴，，
猜想，；
（2）下面用数学归纳法证明：
①当时，，，猜想正确；
②假设时，猜想正确，即，
那么当时，
可得，
即时，猜想也成立．
综上可知，对任意的正整数，都成立．