5.1.1变化率问题 提高练
一、选择题
1．设函数，当自变量由1变到1.1时，函数的平均变化率是（ ）
A．2.1 B．0.21 C．1.21 D．0.121
2．汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图，在时间段上的平均速度分别为，则三者的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
3．某质点的运动规律为，则在时间内，质点的位移增量等于（ ）
A． B． C． D．
4．两个学校、开展节能活动，活动开始后两学校的用电量、与时间（天）的关系如图所示，则一定有（ ）
A．比节能效果好
B．的用电量在上的平均变化率比的用电量在上的平均变化率大
C．两学校节能效果一样好
D．与自节能以来用电量总是一样大
5．某堆雪在融化过程中，其体积V（单位：）与融化时间t（单位：h）近似满足函数关系：（H为常数），其图象如图所示.记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为.那么瞬时融化速度等于的时刻是图中的（ ）.
A． B． C． D．
6. （多选题）为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度与时间的关系为，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间变化的关系如下图所示．
给出下列四个结论正确的是( )
A. 在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同；
B.在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同；
C. 在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同；
D. 在,两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率不相同.
二、填空题
7．函数在区间上的平均变化率为_________.
8．已知曲线上两点，当Δx＝1时，割线AB的斜率为________.
9．某堆雪在融化过程中，其体积（单位：）与融化时间（单位：）近似满足函数关系：（为常数），其图像如图所示．记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为．那么，，，中，瞬时融化速度等于的时刻是图中的__________．
10．函数与在区间上增长较快的是________．
三、解答题
11．（1）计算函数从到的平均变化率，其中的值为：①2；②1；0.1；④0.01
（2）思考：当越来越小时，函数在区间上的平均变化率有怎样的变化趋势？
12．巍巍泰山为我国的五岳之首,有“天下第一山”之美誉,登泰山在当地有用“紧十八,慢十八,不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受,下面是一段登山路线图.同样是登山,但是从A处到B处会感觉比较轻松,而从B处到C处会感觉比较吃力.试用数学语言给出解释.
5.1.1变化率问题 提高练
一、选择题
1．设函数，当自变量由1变到1.1时，函数的平均变化率是（ ）
A．2.1 B．0.21 C．1.21 D．0.121
A【详解】，
所以函数在区间上的平均变化率为.
2．汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图，在时间段上的平均速度分别为，则三者的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
C【详解】由题意得，，由题图易知，
∴.
3．某质点的运动规律为，则在时间内，质点的位移增量等于（ ）
A． B． C． D．
A【详解】位移增量.
4．两个学校、开展节能活动，活动开始后两学校的用电量、与时间（天）的关系如图所示，则一定有（ ）
A．比节能效果好
B．的用电量在上的平均变化率比的用电量在上的平均变化率大
C．两学校节能效果一样好
D．与自节能以来用电量总是一样大
A【详解】由图象可知，对任意的，曲线在处的切线比曲线在处的切线要“陡”，所以，比节能效果好，A正确，C错误；
由图象可知，，则的用电量在上的平均变化率比的用电量在上的平均变化率要小，B选项错误；由于曲线和曲线不重合，D选项错误.
5．某堆雪在融化过程中，其体积V（单位：）与融化时间t（单位：h）近似满足函数关系：（H为常数），其图象如图所示.记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为.那么瞬时融化速度等于的时刻是图中的（ ）.
A． B． C． D．
C【详解】平均融化速度为，反映的是图象与坐标轴交点连线的斜率，
观察可知处瞬时速度（即切线的斜率）为平均速度一致．
6. （多选题）为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度与时间的关系为，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间变化的关系如下图所示．
给出下列四个结论正确的是( )
A. 在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同；
B.在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同；
C. 在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同；
D. 在,两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率不相同.
ACD【详解】A.在时刻，为两图象的交点，即此时甲、乙两人血管中的药物浓度相同，故A正确；B.甲、乙两人在时刻的切线的斜率不相等，即两人的瞬时变化率相不相同，所以甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不相同，故B不正确；C.根据平均变换率公式可知，甲、乙两人的平均变化率都是，故C正确；D在时间段，甲的平均变化率是，在时间段，甲的平均变化率是，显然不相等，故④正确.
二、填空题
7．函数在区间上的平均变化率为_________.
【答案】
【详解】函数在区间上的平均变化率为：.
8．已知曲线上两点，当Δx＝1时，割线AB的斜率为________.
【答案】
【解析】由函数的解析式有：，
则，
当Δx＝1时，割线AB的斜率为.
9．某堆雪在融化过程中，其体积（单位：）与融化时间（单位：）近似满足函数关系：（为常数），其图像如图所示．记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为．那么，，，中，瞬时融化速度等于的时刻是图中的__________．
【答案】
【详解】由题意，可得平融化速度为，反映的是图象与坐标轴交点连线的斜率，观察可知处瞬时速度（即切线的斜率）与平均速度一致．
10．函数与在区间上增长较快的是________．
【答案】
【详解】在上取，，
，因为，所以，，
所以，所以函数在区间上的增长速度慢于函数的增长速度，故增长较快的为．
三、解答题
11．（1）计算函数从到的平均变化率，其中的值为：①2；②1；0.1；④0.01
（2）思考：当越来越小时，函数在区间上的平均变化率有怎样的变化趋势？
【详解】（1）因为
所以.
①当时，；
②当时，；
③当时，；
④当时，.
（2）当越来越小时，
由（1）得，
函数在区间上的平均变化率逐渐变小，并接近于2．
12．巍巍泰山为我国的五岳之首,有“天下第一山”之美誉,登泰山在当地有用“紧十八,慢十八,不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受,下面是一段登山路线图.同样是登山,但是从A处到B处会感觉比较轻松,而从B处到C处会感觉比较吃力.试用数学语言给出解释.
【详解】从A处到B处高度的平均变化率为,
从B处到C处高度的平均变化率为,
由,知山路从B处到C处比从A处到B处陡峭.
故从A处到B处会感觉比较轻松,而从B处到C处会感觉比较吃力.5.1.2导数的概念及其几何意义 提高练
一、选择题
1．已知某质点的运动方程为，其中s的单位是m，t的单位是s，则为（ ）
A． B． C． D．
2．函数在处的导数的几何意义是（ ）
A．在点处与的图象只有一个交点的直线的斜率
B．过点的切线的斜率
C．点与点的连线的斜率
D．函数的图象在点处的切线的斜率
3．已知点P(－1，1)为曲线上的一点，PQ为曲线的割线，当Δx→0时，若kPQ的极限为－2，则在点P处的切线方程为( )
A．y＝－2x＋1 B．y＝－2x－1
C．y＝－2x＋3 D．y＝－2x－2
4．函数的图象如图所示，则下列数值排序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（多选题）某物体的运动方程为（位移单位：m，时间单位：s），若，则下列说法中错误的是（ ）
A．是物体从开始到这段时间内的平均速度
B．是物体从到这段时间内的速度
C．是物体在这一时刻的瞬时速度
D．是物体从到这段时间内的平均速度
6. （多选题）以下论断错误的是（ ）
A.若直线与曲线有且只有一个公共点，则直线一定是曲线的切线；
B.若直线与曲线相切于点，且直线与曲线除点外再没有其他的公共点，则在点附近，直线不可能穿过曲线；
C.若不存在，则曲线在点处就没有切线；
D.若曲线在点处有切线，则必存在.
二、填空题
7．已知函数f (x)在x＝x0处可导，若 ＝1，则f ′(x0)＝_______.
8．设，则曲线在点处的切线的倾斜角是_______.
9．若抛物线与直线相切，则_________．
10．已知f (x)＝mx2＋n，且f (1)＝－1，f (x)的导函数f ′(x)＝4x，则m＝________，n＝________.
三、解答题
11.利用导数的定义，求在处的导数f ′(1).
12．服药后，人体血液中药物的质量浓度y（单位:μg/mL）是时间t（单位：min）的函数，假设函数在和处的导数分别为和，试解释它们的实际意义．
5.1.2导数的概念及其几何意义提高练
一、选择题
1．已知某质点的运动方程为，其中s的单位是m，t的单位是s，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】，
所以该质点在末的瞬时速度为.
2．函数在处的导数的几何意义是（ ）
A．在点处与的图象只有一个交点的直线的斜率
B．过点的切线的斜率
C．点与点的连线的斜率
D．函数的图象在点处的切线的斜率
【答案】D
【详解】的几何意义是函数的图象在点处的切线的斜率．
3．已知点P(－1，1)为曲线上的一点，PQ为曲线的割线，当Δx→0时，若kPQ的极限为－2，则在点P处的切线方程为( )
A．y＝－2x＋1 B．y＝－2x－1
C．y＝－2x＋3 D．y＝－2x－2
【答案】B
【详解】由题意可知， 曲线在点P处的切线方程为y－1＝－2(x＋1)，即2x＋y＋1＝0.
4．函数的图象如图所示，则下列数值排序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】如图所示，是函数的图象在（即点A）处切线的斜率，是函数的图象在（即点B）处切线的斜率，是割线的斜率．
由图象知,，即．
5．（多选题）某物体的运动方程为（位移单位：m，时间单位：s），若，则下列说法中错误的是（ ）
A．是物体从开始到这段时间内的平均速度
B．是物体从到这段时间内的速度
C．是物体在这一时刻的瞬时速度
D．是物体从到这段时间内的平均速度
【答案】ABD
【详解】是物体在这一时刻的瞬时速度.故C正确.
6. （多选题）以下论断错误的是（ ）
A.若直线与曲线有且只有一个公共点，则直线一定是曲线的切线；
B.若直线与曲线相切于点，且直线与曲线除点外再没有其他的公共点，则在点附近，直线不可能穿过曲线；
C.若不存在，则曲线在点处就没有切线；
D.若曲线在点处有切线，则必存在.
【答案】ABC
【详解】对于A中，根据函数在点处的切线定义：在曲线的某点附近取点，并使沿曲线不断接近，这样直线的极限位置就是曲线在点的切线. 直线与曲线有且只有一个公共点，但直线不是切线．注：曲线的切线与曲线的公共点不一定只有一个，例是正弦曲线的切线，但切线与曲线有无数多个公共点，所以不正确；
对于B中，根据导数的定义：（1）导数：，
（2）左导数：，
（3）右导数：，
函数在点处可导当且仅当函数在点处的左导数和右导数都存在，且相等. 例如三次函数在处的切线，所以不正确；对于C中，切线与导数的关系：（1）函数在处可导，则函数在处切线一定存在，切线方程为（2）函数在处不可导，函数在处切线可能存在，可能不存在，所以不正确；对于D中，根据导数的几何意义，可得曲线在点处有切线，则必存在，所以是正确的.
二、填空题
7．已知函数f (x)在x＝x0处可导，若 ＝1，则f ′(x0)＝_______.
【答案】
【详解】∵ ＝1∴ ＝，即f (x0)＝ ＝.
8．设，则曲线在点处的切线的倾斜角是_______.
【答案】
【详解】因为，所以，则曲线在点处的切线斜率为，故所求切线的倾斜角为.
9．若抛物线与直线相切，则_________．
【答案】
【详解】设切点为，则，
所以．当时，，即，
所以，所以，将代入直线，得.
10．已知f (x)＝mx2＋n，且f (1)＝－1，f (x)的导函数f ′(x)＝4x，则m＝________，n＝________.
【答案】2;－3
【详解】 ＝＝＝mΔx＋2mx，故f ′(x)＝ ＝ (mΔx＋2mx)＝2mx＝4x.所以m＝2.又f (1)＝－1，即2＋n＝－1，所以n＝－3，故m＝2，n＝－3.
三、解答题
11.利用导数的定义，求在处的导数f ′(1).
【详解】解：
，
∴，
∴
.
12．服药后，人体血液中药物的质量浓度y（单位:μg/mL）是时间t（单位：min）的函数，假设函数在和处的导数分别为和，试解释它们的实际意义．
【详解】表示服药后10 min时，血液中药物的质量浓度上升的速度为1.5 μg/(mL·min)．也就是说，如果保持这一速度，每经过 1 min，血液中药物的质量浓度将上升1.5 μg/mL．表示服药后100 min时，血液中药物的质量浓度下降的速度为0.6 μg/(mL·min)．也就是说，如果保持这一速度，每经过1 min，血液中药物的质量浓度将下降0.6 μg/mL．
