5.2.1基本初等函数的导数 提高练
一、选择题
1．已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数，则（ ）
A． B． C．1 D．3
4．记函数表示对函数连续两次求导,即先对求导得,再对求导得,下列函数中满足的是（ ）
A． B． C． D．
5．（多选题）下列求导过程正确的选项是（ ）
A． B．
C． D．
6.原子有稳定和不稳定两种．不稳定的原子除天然元素外，主要由核裂变或核聚变过程中产生碎片形成，这些不稳定的元素在放出α、β、γ等射线后，会转变成稳定的原子，这种过程称之为“衰变”．这种不稳定的元素就称为放射性同位素．随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著经济效益．假设在放射性同位素钍234的衰变过程中，其含量N（单位：贝克）与时间t（单位：天）满足函数关系，其中N0为时钍234的含量．已知时，钍234含量的瞬时变化率为，则（ ）
A．12贝克 B．12 ln2贝克 C．6贝克 D．6 ln2贝克
二、填空题
7．已知函数且，为的导函数，且满足，则____________.
8．能说明“若为偶函数，则为奇函数”为假命题的一个函数是__________.
9．若正三角形内切圆的半径为r，则该正三角形的周长C(r)＝6r，面积S(r)＝3r2，发现S′(r)＝C(r).相应地，若正四面体内切球的半径为r，则该正四面体的表面积S(r)＝24r2.请用类比推理的方法猜测该正四面体的体积V(r)＝_______(写出关于r的表达式).
10．已知函数，则_____________
三、解答题
11．求下列函数的导数．
（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）．
12.已知函数，，，若曲线与曲线相交，且在交点处有相同的切线，求的值及该切线的方程．
5.2.1基本初等函数的导数 提高练
一、选择题
1．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由求导公式可知.
2．已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，，因此，.
3．已知函数，则（ ）
A． B． C．1 D．3
【答案】B
【详解】∵，∴，∴。
4．记函数表示对函数连续两次求导,即先对求导得,再对求导得,下列函数中满足的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】；；；，
综上可知，只有满足，故选C.
5．（多选题）下列求导过程正确的选项是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【详解】由，可知A错误；
由，可知B正确；
由，可知C正确；
由，可知D错误；故选：BC
6.原子有稳定和不稳定两种．不稳定的原子除天然元素外，主要由核裂变或核聚变过程中产生碎片形成，这些不稳定的元素在放出α、β、γ等射线后，会转变成稳定的原子，这种过程称之为“衰变”．这种不稳定的元素就称为放射性同位素．随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著经济效益．假设在放射性同位素钍234的衰变过程中，其含量N（单位：贝克）与时间t（单位：天）满足函数关系，其中N0为时钍234的含量．已知时，钍234含量的瞬时变化率为，则（ ）
A．12贝克 B．12 ln2贝克 C．6贝克 D．6 ln2贝克
【答案】A
【详解】，所以，，(贝克).
二、填空题
7．已知函数且，为的导函数，且满足，则____________.
【答案】
【详解】，，
.
8．能说明“若为偶函数，则为奇函数”为假命题的一个函数是__________.
【答案】(答案不唯一)
【详解】若，则是偶函数，但，所以不是奇函数；能满足“若为偶函数，则为奇函数”为假命题.
9．若正三角形内切圆的半径为r，则该正三角形的周长C(r)＝6r，面积S(r)＝3r2，发现S′(r)＝C(r).相应地，若正四面体内切球的半径为r，则该正四面体的表面积S(r)＝24r2.请用类比推理的方法猜测该正四面体的体积V(r)＝_______(写出关于r的表达式).
【答案】
【详解】由题意有：，因为,所以，则.
10．已知函数，则_____________
【答案】
【详解】∵，∴
∴.
三、解答题
11．求下列函数的导数．
（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）．
【详解】（1），；
（2），；
（3），；
（4），；
（5），．
12.已知函数，，，若曲线与曲线相交，且在交点处有相同的切线，求的值及该切线的方程．
【解析】，，
设两曲线交点的横坐标为，
由已知得解得，．
所以两曲线交点坐标为，切线的斜率为，
所以切线方程为，即．5.2.2导数的四则运算法则提高练
一、选择题
1．已知函数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．已知，是的导函数，即，，…，，，则（ ）
A． B． C． D．
3．曲线在点处的切线斜率为8，则实数的值为（ ）
A． B．6 C．12 D．
4．已知函数，其导函数为，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（多选题）下列结论中正确的有（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
6．（多选题）下列函数在点处有切线的是（ ）．
A． B．
C． D．
二、填空题
7．已知函数，则在处的导数________.
8．若函数，满足，且，则_________.
9．在等比数列中，，，函数，若的导函数为，则_________.
10．现有一倒放圆锥形容器，该容器深，底面直径为，水以的速度流入，则当水流入时间为时，水面上升的速度为_________.
三、解答题
11．已知，函数的导函数为．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）求的值．
12．记、分别为函数、的导函数.把同时满足的叫做与的“Q点”.
（1）求与的“Q点”；
（2）若与存在“Q点”，求实数a的值.
5.2.2导数的四则运算法则 提高练
一、选择题
1．已知函数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为,所以
所以.
2．已知，是的导函数，即，，…，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，所以，
……可知的解析式周期为4，因为，所以
3．曲线在点处的切线斜率为8，则实数的值为（ ）
A． B．6 C．12 D．
【答案】A
【解析】由，得，则曲线在点处的切线斜率为，得.
4．已知函数，其导函数为，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】，，
所以为偶函数，所以，
因为，
所以，
所以．
5．（多选题）下列结论中正确的有（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】ABC
【详解】选项A中，若，则，故A正确；选项B中，若，则，令，则，解得，故B正确；选项C中，若，则，故C正确；选项D中，若，则x，故D错误．
6．（多选题）下列函数在点处有切线的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】，，此时切线的斜率为，故在点处有切线
，，此时切线的斜率为，故在点处有切线
，在处不可导，则在处没有切线
，，此时切线的斜率为，故在点处有切线.
二、填空题
7．已知函数，则在处的导数________.
【答案】
【解析】，，.
8．若函数，满足，且，则_________.
【答案】3
【解析】因为函数，满足，且，
所以，则，对两边求导，
可得，所以，因此.
9．在等比数列中，，，函数，若的导函数为，则_________.
【答案】
【详解】设，，，
10．现有一倒放圆锥形容器，该容器深，底面直径为，水以的速度流入，则当水流入时间为时，水面上升的速度为_________.
【答案】
【详解】设注入水后水面高度为，水面所在圆的半径为，
，即：.因为水的体积为，即，
，所以当时，.（注：瞬时速度）.
三、解答题
11．已知，函数的导函数为．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）求的值．
【解析】（1）若，则，所以，
则，即曲线在点处的切线斜率为，
又，
所以所求切线方程为：；
（2）由得
，
所以，，，
因此
12．记、分别为函数、的导函数.把同时满足的叫做与的“Q点”.
（1）求与的“Q点”；
（2）若与存在“Q点”，求实数a的值.
【解析】（1）因为，
设为函数与的一个“”点.
由且得，解得.
所以函数与的“”点是2.
（2）因为，
设为函数与的一个“”点.
由且得，
由②得代入①得，所以.
所以.5.2.3简单复合函数的导数提高练
一、选择题
1．函数的导函数为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知函数，则（ ）
A．1 B．－1 C．2 D．3
3．随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著经济效益.假设某放射性同位素的衰变过程中，其含量（单位：贝克）与时间（单位：天）满足函数关系，其中为时该放射性同位素的含量.已知时，该放射性同位素的瞬时变化率为，则该放射性同位素含量为贝克时衰变所需时间为（ ）
A．20天 B．30天 C．45天 D．60天
4．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为( )
A．1 B．2 C．－1 D．－2
5．（多选题）以下函数求导正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
6．（多选题）已知函数及其导数，若存在，使得，则称是的一个“巧值点”．下列函数中，有“巧值点”的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．已知y＝，则y′＝________．
8．函数的图像在点处的切线的斜率为_________.
9．若函数，，则__________.
10．在许多实际问题中，一个因变量往往与几个自变量有关，即因变量的值依赖于几个自变量，这样的函数称为多元函数.例如，某种商品的市场需求量不仅仅与其市场价格有关，而且与消费者的收入以及这种商品的其他代用品的价格等因素有关，即决定该商品需求量的因素不止一个而是多个.我们常常用偏导数来研究多元函数.以下是计算二元函数在处偏导数的全过程：
，，所以，
，由上述过程，二元函数，则______.
三、解答题
11．设函数f (x)＝aexln x＋.
(1)求导函数f ′(x)；
(2)若曲线y＝f (x)在点(1，f (1))处的切线方程为y＝e(x－1)＋2，求a，b的值．
12．已知函数，记为的导数，.
（1）求；
（2）猜想的表达式，并证明你的猜想.
5.2.3简单复合函数的导数提高练
一、选择题
1．函数的导函数为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】函数可以看作函数和的复合函数，根据复合函数的求导法则有.故选：B.
2．已知函数，则（ ）
A．1 B．－1 C．2 D．3
【答案】B
【详解】因为，所以，
令，可得，解得.故选：B.
3．随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著经济效益.假设某放射性同位素的衰变过程中，其含量（单位：贝克）与时间（单位：天）满足函数关系，其中为时该放射性同位素的含量.已知时，该放射性同位素的瞬时变化率为，则该放射性同位素含量为贝克时衰变所需时间为（ ）
A．20天 B．30天 C．45天 D．60天
【答案】D
【详解】由得，因为时，该放射性同位素的瞬时变化率为，即，解得，
则，当该放射性同位素含量为贝克时，即，
所以，即，所以，解得.故选：D.
4．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为( )
A．1 B．2 C．－1 D．－2
【答案】B
【详解】设切点坐标是(x0，x0＋1)，依题意有
由此得x0＋1＝0，x0＝－1，a＝2.
5．（多选题）以下函数求导正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】AC
【详解】对A，，故A正确
对B，，故B错；对C，
所以C正确对D，，故D错；故选：AC
6．（多选题）已知函数及其导数，若存在，使得，则称是的一个“巧值点”．下列函数中，有“巧值点”的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【详解】在A中，若，则，则，这个方程显然有解，故A符合要求；
在B中，若，则，即，此方程无解，故B不符合要求；在C中，若，则，由，令，（），作出两函数的图像如图所示，由两函数图像有一个交点可知该方程存在实数解，故C符合要求；
在D中，若，则，由，可得，故D符合要求．故选：ACD．
二、填空题
7．已知y＝，则y′＝________．
【答案】
【详解】y＝＝＝-ln(1＋x2)，所以y′＝－·(2x)＝.
8．函数的图像在点处的切线的斜率为_________.
【答案】
【详解】因为函数，所以，则在点处的切线的斜率.
9．若函数，，则__________.
【答案】3
【详解】由，得，
，，。
10．在许多实际问题中，一个因变量往往与几个自变量有关，即因变量的值依赖于几个自变量，这样的函数称为多元函数.例如，某种商品的市场需求量不仅仅与其市场价格有关，而且与消费者的收入以及这种商品的其他代用品的价格等因素有关，即决定该商品需求量的因素不止一个而是多个.我们常常用偏导数来研究多元函数.以下是计算二元函数在处偏导数的全过程：
，，所以，
，由上述过程，二元函数，则______.
【答案】
【详解】根据题意，得到，，
则，，因此.
三、解答题
11．设函数f (x)＝aexln x＋.
(1)求导函数f ′(x)；
(2)若曲线y＝f (x)在点(1，f (1))处的切线方程为y＝e(x－1)＋2，求a，b的值．
【详解】(1)由f (x)＝aexln x＋，
得f ′(x)＝(aexln x)′＋＝aexln x＋＋.
(2)由于切点既在曲线y＝f (x)上，又在切线y＝e(x－1)＋2上，
将x＝1代入切线方程得y＝2，将x＝1代入函数f (x)得f (1)＝b，
∴b＝2.将x＝1代入导函数f ′(x)中，
得f ′(1)＝ae＝e，∴a＝1.
12．已知函数，记为的导数，.
（1）求；
（2）猜想的表达式，并证明你的猜想.
【详解】解：（1）因为，则，，
（2）猜想：.
下面用数学归纳法证明：
①当时，，结论成立；
②假设（且）时，结论成立，即.
当时，
.
所以当时，结论成立.
所以由①②可知对任意的结论成立.
