5.3.1函数的单调性(1) 提高练
一、选择题
1．若函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
2．已知是函数的导数，则“在上为减函数”是“在内恒成立”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．函数（ ）
A．在上是增函数
B．在上是减函数
C．在上是减函数，在上是增函数
D．在上是增函数，在上是减函数
4．若函数在上是增函数，则实数的取值范围是 ( )
A． B． C． D．
5．（多选题）下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是（ ）
A． B． C． D．
6．（多选题）素数分布问题是研究素数性质的重要课题，德国数学家高斯提出了一个猜想：，其中表示不大于x的素数的个数，即随着x的增大，的值近似接近的值．从猜想出发，下列推断正确的是（ ）
A．当x很大时，随着x的增大，的增长速度变慢
B．当x很大时，随着x的增大，减小
C．当x很大时，在区间（n是一个较大常数）内，素数的个数随x的增大而减少
D．因为，所以
二、填空题
7．函数的单调减区间是______．
8．函数y＝xsin x＋cos x，x∈(－π，π)的单调增区间是__________.
9．若函数在上为减函数，则实数的取值范围是__________．
10．若函数f(x)＝ax3＋x恰有3个单调区间，则a的取值范围为________．
三、解答题
11．已知函数．
（1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；
（2）若函数的单调递减区间是，求实数的值；
（3）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围．
12．已知a是实数，函数．
（1）若，求a的值及曲线在点处的切线方程；
（2）讨论函数在区间上的单调性．
5.3.1函数的单调性(1) 提高练
一、选择题
1．若函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设导函数的图象与x轴交点的横坐标从左到右依次为，其中，故在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在单调递增．故选：D．
2．已知是函数的导数，则“在上为减函数”是“在内恒成立”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若在上为减函数时，在内不恒成立，如，显然在递减，但当时，则；
若在内恒成立，设任意，则在点处的切线的斜率，所以在上为减函数．
所以“在上为减函数”是“在内恒成立”的必要不充分条件．故选B．
3．函数（ ）
A．在上是增函数
B．在上是减函数
C．在上是减函数，在上是增函数
D．在上是增函数，在上是减函数
【答案】A
【详解】，当时，，
∴在上是增函数．故选：A
4．若函数在上是增函数，则实数的取值范围是 ( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，得，由题意知，对恒成立，即对恒成立，令，显然在上递减，所以，所以．故选C．
5．（多选题）下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【详解】对于A，既不是奇函数也不是偶函数，且单调递增，故A错误；
对于B，的定义域为，且，是奇函数，又恒成立，故是减函数，故B正确；
对于C，的定义域为，且，是奇函数，，故是减函数，故C正确；
对于D，的定义域为，且，是奇函数，又是减函数，故D正确.故选：BCD.
6．（多选题）素数分布问题是研究素数性质的重要课题，德国数学家高斯提出了一个猜想：，其中表示不大于x的素数的个数，即随着x的增大，的值近似接近的值．从猜想出发，下列推断正确的是（ ）
A．当x很大时，随着x的增大，的增长速度变慢
B．当x很大时，随着x的增大，减小
C．当x很大时，在区间（n是一个较大常数）内，素数的个数随x的增大而减少
D．因为，所以
【答案】AC
【详解】设函数且，则且，
且，当时，，
所以当x很大时，随着x的增大，的增长速度变慢，故A正确；
函数的图象如图所示：
由图象可得随着x的增大，并不减小，故B错误；当x很大时，在区间（n是一个较大常数）内，函数增长得慢，素数的个数随x的增大而减少，故C正确；，故D错误．故选：AC．
二、填空题
7．函数的单调减区间是______．
【答案】
【解析】函数的定义域为，，令，得函数的单调递减区间是，故答案为.
8．函数y＝xsin x＋cos x，x∈(－π，π)的单调增区间是__________.
【答案】
【解析】，当时，，；
当时，；
当时，；
当时，，
故函数的单调增区间是和.
9．若函数在上为减函数，则实数的取值范围是__________．
【答案】(－∞，－1]
【解析】因为是R上的减函数，所以恒成立，即，即恒成立，因为，所以，故答案为.
10．若函数f(x)＝ax3＋x恰有3个单调区间，则a的取值范围为________．
【答案】(－∞，0)
【解析】由f(x)＝ax3＋x，得f′(x)＝3ax2＋1.
若a≥0，则f′(x)>0恒成立，此时f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数，不满足题意；
若a<0，由f′(x)>0得－，
即故当a<0时，f(x)的单调递增区间为(－，)，单调递减区间为(－∞，－), (，＋∞)，满足题意．答案为：(－∞，0).
三、解答题
11．已知函数．
（1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；
（2）若函数的单调递减区间是，求实数的值；
（3）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围．
【解析】由，得．
（1）因为在上单调递增，所以对恒成立，即对恒成立，只需，而，所以，经检验，当时，符合题意，故的取值范围是．
（2）令，因为的单调递减区间是，则不等式的解集为，所以和是方程的两个实根，所以，得．
（3）因为函数在区间上单调递减，所以对恒成立，即对恒成立，易得函数的值域为，所以，即实数的取值范围是．
12．已知a是实数，函数．
（1）若，求a的值及曲线在点处的切线方程；
（2）讨论函数在区间上的单调性．
【详解】（1），，
则，，，，
因此，曲线在点处的切线方程为，即；
（2），，
令，得，．
①当时，即当时，对任意的，，
此时，函数在区间上单调递增．
②当时，即当时，
此时，当，则；
当时，．
此时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增；
③当时，即当时，对任意的，．
此时，函数在区间上单调递减．
综上所述，当时，函数在区间上单调递增；
当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增；
当时，函数在区间单调递减．5.3.1函数的单调性(2)提高练
一、选择题
1．已知函数的单调递减区间为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
3．若函数恰好有三个不同的单调区间，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（多选题）已知函数，若 ，则下列结论正确的是( )
A．
B．
C．
D．当时，
5．（多选题）已知函数，则（ ）
A．在单调递增
B．有两个零点
C．曲线在点处切线的斜率为
D．是偶函数
二、填空题
6．函数的单调递增区间是________.
7．若函数的单调递减区间为，则_________．
8．已知函数．若函数在上单调递减，则实数的最小值为________．
9．已知定义在上的函数的导函数为，且满足，，则的解集为_________.
三、解答题
10．已知函数.
（1）当时，求函数在点处的切线方程；
（2）若在上是单调增函数，求实数a的取值范围.
11．已知函数
（1）若，试求在点处的切线方程；
（2）当时，试求函数的单调增区间；
（3）若在定义域上恒有成立，求实数的取值范围.
5.3.1函数的单调性(2) 提高练
一、选择题
1．已知函数的单调递减区间为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题得的解集为，所以不等式的解集为，
所以，故选：B
2．已知函数，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】C
【详解】由题意可得：恒成立，所以函数在上递增，
又，所以函数是奇函数，
当 时，即，所以，即；
当时，即，所以，即，
所以“”是“”的充要条件.故选：C.
3．若函数恰好有三个不同的单调区间，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意得，函数恰好有三个不同的单调区间，有两个不同的零点，所以，，解得.
因此，实数的取值范围是.故选：D.
4．（多选题）已知函数，若 ，则下列结论正确的是( )
A．
B．
C．
D．当时，
【答案】AD
【详解】令，在(0，+∞)上是增函数，∴当时，，
∴ 即；故A正确；令，，
时，，单调递增， 时，，单调递减．
与无法比较大小；故B错误；因为令，，
时，，在单调递减，时，，在单调递增，当时，，， ，．当时，，，，；故C错误；因为时，单调递增，又因为A正确，
故D正确；故选：AD．
5．（多选题）已知函数，则（ ）
A．在单调递增
B．有两个零点
C．曲线在点处切线的斜率为
D．是偶函数
【答案】AC
【详解】由知函数的定义域为，，
当时，，，
故在单调递增，A正确；
由，当时，，
当，所以只有0一个零点，B错误；
令，，故曲线在点处切线的斜率为，C正确；
由函数的定义域为，不关于原点对称知，不是偶函数，D错误；故选：AC
二、填空题
6．函数的单调递增区间是________.
【答案】
【详解】，，令，即，解得，
的单调递增区间是.
7．若函数的单调递减区间为，则_________．
【答案】
【详解】由题意，所以的两根为和3，
所以，所以，．
8．已知函数．若函数在上单调递减，则实数的最小值为________．
【答案】6
【详解】，，可得，
令，若函数在上单调递减，即
当时，单调增，，
所以函数在上单调递增，，所以.
9．已知定义在上的函数的导函数为，且满足，，则的解集为_________.
【答案】
【详解】设，因为，
所以是上的减函数，
因为，所以，
因此.
所以的解集为.故答案为：
三、解答题
10．已知函数.
（1）当时，求函数在点处的切线方程；
（2）若在上是单调增函数，求实数a的取值范围.
【详解】
（1）当时，，定义域为，
，所以函数在点处的切线的斜率为，
又，
所以函数在点处的切线方程为
（2）因为在上是单调增函数，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
因为在上为单调递减函数，所以当时，取得最大值0，
所以.
11．已知函数
（1）若，试求在点处的切线方程；
（2）当时，试求函数的单调增区间；
（3）若在定义域上恒有成立，求实数的取值范围.
【详解】
（1）当时，，
，，
由切线过点，所以切线方程为，
即切线方程为.
(2) 的定义域为，
，
令，解得，
当即时，恒成立，则函数的单调增区间为，
当即时，时，，函数的单调增区间为，
当即时，时，，则函数的单调增区间为.
综上所述，当时，函数的单调增区间为；当时，函数的单调增区间为.
(3)函数定义域为，
恒成立即恒成立，
当时，必成立，，
令，
则
，
在上，在上，
在单调递减，上单调递增，
，故.5.3.2 函数的极值与最大(小)值 （1） 提高练
一、选择题
1．函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（ ）
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
2．函数f(x)＝3x2＋ln x－2x的极值点的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．无数个
3．函数在上的极大值点为（ ）
A．0 B． C． D．
4．已知函数的图象与轴相切于点，则的极小值为（ ）
A． B． C． D．
5．（多选题）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．有且仅有一个极值点
B．有零点
C．若的极小值点为，则
D．若的极小值点为，则
6．（多选题）已知，下列说法正确的是（ ）
A．在处的切线方程为 B．单调递增区间为
C．的极大值为 D．方程有两个不同的解
二、填空题
7．已知函数f(x)=x3＋3mx2＋nx＋m2在x=－1时有极值0，则m＋n=________.
8．已知三次函数的图象如图所示，则________．
9．已知函数在上存在极值点，则实数a的取值范围是_____________.
10．在处取得极值，则______.
三、解答题
11．设x＝1与x＝2是函数f(x)＝aln x＋bx2＋x的两个极值点．
(1)试确定常数a和b的值；
(2)判断x＝1，x＝2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由．
12．已知函数．
（1）若曲线在处的切线方程为，求的值；
（2）求函数在区间上的极值．
5.3.2 函数的极值与最大(小)值 （1） 提高练
一、选择题
1．函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（ ）
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【答案】A
【详解】由导函数在内的图象知：函数在开区间内有极小值点1个
2．函数f(x)＝3x2＋ln x－2x的极值点的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．无数个
【答案】A
【解析】，由得，方程无解，因此函数无极值点
3．函数在上的极大值点为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【详解】函数的导数为，令得，又因为，所以，当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以使得函数取得极大值的的值为，故选：C.
4．已知函数的图象与轴相切于点，则的极小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题知，由于函数的图象与轴相切于点，则，解得，，，
令，可得或，列表如下：
极大值 极小值
所以，函数的极小值为.故选：A.
5．（多选题）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．有且仅有一个极值点
B．有零点
C．若的极小值点为，则
D．若的极小值点为，则
【答案】AC
【详解】由题意得，的定义域为，且，设，则，∴在上单调递增，又，， 存在唯一零点，设为，当时，单调递减，当时，单调递增，∴有唯一极小值点，故选项A正确．令，得，两边同时取对数可得．∴（当且仅当时等号成立），又，∴，即，∴无零点，故选项B错误．由，可设，则．
当时，，∴在上单调递减．∴，即，
故选项C正确，选项D错误，故选：AC
6．（多选题）已知，下列说法正确的是（ ）
A．在处的切线方程为 B．单调递增区间为
C．的极大值为 D．方程有两个不同的解
【答案】AC
【详解】解：因为，所以函数的定义域为，所以，，，∴的图象在点处的切线方程为，
即，故A正确；在上，，单调递增，
在上，，单调递减，故B错误，的极大值也是最大值为，故C正确；方程的解的个数，即为的解的个数，
即为函数与图象交点的个数，作出函数与图象如图所示：
由图象可知方程只有一个解，故D错误.故选：AC.
二、填空题
7．已知函数f(x)=x3＋3mx2＋nx＋m2在x=－1时有极值0，则m＋n=________.
【答案】11
【详解】
依题意可得，联立可得或；
当时函数，，
所以函数在上单调递增，故函数无极值，所以舍去；
所以，所以.
8．已知三次函数的图象如图所示，则________．
【答案】
【详解】解：由题意得，，且，由题图可知，是函数的极大值点，是极小值点，即，是的两个根，
由，解得：，
∵，，∴．
9．已知函数在上存在极值点，则实数a的取值范围是_____________.
【答案】或
【详解】由题可知：，
因为函数在上存在极值点，所以有解
所以，则或
当或时，函数与轴只有一个交点，即
所以函数在单调递增，没有极值点，故舍去
所以或，即或
10．在处取得极值，则______.
【答案】
【详解】解：由已知，因为在处取得极值，
，，
即，因为，，
，即，．
三、解答题
11．设x＝1与x＝2是函数f(x)＝aln x＋bx2＋x的两个极值点．
(1)试确定常数a和b的值；
(2)判断x＝1，x＝2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由．
【详解】
(1)∵f(x)＝aln x＋bx2＋x，
∴f′(x)＝＋2bx＋1.
由极值点的必要条件可知：
f′(1)＝f′(2)＝0，
∴a＋2b＋1＝0且＋4b＋1＝0，
解方程组得，a＝ ，b＝ .
(2)由(1)可知f(x)＝ln xx2＋x，
且函数f(x)＝ln xx2＋x的定义域是(0，＋∞)，
f′(x)＝x－1x＋1＝ .
当x∈(0,1)时，f′(x)＜0；当x∈(1,2)时，f′(x)＞0；
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＜0；
所以，x＝1是函数f(x)的极小值点，
x＝2是函数f(x)的极大值点．
12．已知函数．
（1）若曲线在处的切线方程为，求的值；
（2）求函数在区间上的极值．
【详解】
解：（1）因为，
所以，
所以.
因为在处的切线方程为.
所以，解得.
（2）因为，，
所以，
①当，即时，在恒成立，
所以在单调递增；所以在无极值；
②当，即时，在恒成立，
所以在单调递减，所以在无极值；
③当，即时，
变化如下表：
- 0 +
单调递减↘ 极小值 单调递增↗
因此，的减区间为，增区间为．
所以当时，有极小值为，无极大值.5.3.2 函数的极值与最大(小)值 （2）提高练
一、选择题
1．函数的最小值是（ ）
A． B． C． D．不存在
2．已知函数在上的最大值为，则a的值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数在上有两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．设函数，（，为实数），若存在实数，使得对任意恒成立，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
5．（多选题）设的最大值为，则（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
6．（多选题）对于函数，下列说法正确的是（ ）
A．在处取得极大值 B．有两个不同的零点
C． D．若在上恒成立，则
二、填空题
7．要设计一个容积为的下端为圆柱形、上端为半球形的密闭储油罐，已知圆柱侧面的单位面积造价是下底面积的单位面积造价的一半，而顶部半球面的单位面积造价又是圆柱侧面的单位面积造价的一半，储油罐的下部圆柱的底面半径_______时，造价最低．
8．若函数的图象在点处的切线垂直于直线，则函数的最小值是____.
9．已知，，若存在实数，满足，则的最大值为______．
10．已知函数，若方程恰有两个不同的实数根m，n，则的最大值是_________.
三、解答题
11．已知函数.
（1）求函数在区间上的最大、最小值；.
（2）求证：在区间上，函数的图象在函数的图象的下方.
12．已知函数其中
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，求函数的单调区间；
（3）若对于恒成立，求的最大值.
5.3.2 函数的极值与最大(小)值 （2）提高练
一、选择题
1．函数的最小值是（ ）
A． B． C． D．不存在
【答案】C
【详解】由题意得，.
令，得.当时，单调递减；当时，单调递增.因此在处取得极小值也是最小值，且最小值为.故选：C.
2．已知函数在上的最大值为，则a的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由，得，
当时，若，则单调递减，
若，则单调递增，
故当时，函数有最大值，解得，不符合题意.
当时，函数在上单调递减，最大值为，不符合题意.
当时，函数在上单调递减.此时最大值为，
解得，符合题意.故a的值为.故选：A.
3．已知函数在上有两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】∵ ，.
当时，，在上单调递增，不合题意.
当时，，在上单调递减，也不合题意.
当时，则时，，在上单调递减，时，，在上单调递增，又，所以在上有两个零点，只需即可，解得.
综上，的取值范围是.
4．设函数，（，为实数），若存在实数，使得对任意恒成立，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】令，
则，若，可得，函数为增函数，当时，，不满足对任意恒成立；
若，由，得，则，
∴当时，，当时，，∴.
若对任意恒成立，则恒成立，若存在实数，使得成立，则，∴，令，则.
∴当时，，当时，，则.
∴.则实数的取值范围是.
5．（多选题）设的最大值为，则（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】AB
【详解】对于选项A，当时，在区间上递减，
所以，故选项A正确.
对于选项B，当时，，则，
在区间上递增，即，故选项B正确.
对于选项C，当时，当时，恒成立，
所以，所以，故选项C错误.
对于选项D，当时，，则，
在区间上递增，，故选项D错误.故选：AB.
6．（多选题）对于函数，下列说法正确的是（ ）
A．在处取得极大值 B．有两个不同的零点
C． D．若在上恒成立，则
【答案】ACD
【详解】由题意，函数，可得，
令，即，解得，
当时，，函数在上单调递增；
当时，，函数在上单调递减，
所以当时，函数取得极大值，极大值为，所以A正确；
由当时，，因为在上单调递增，所以函数在上只有一个零点，当时，可得，所以函数在上没有零点，
综上可得函数在只有一个零点，所以B不正确；
由函数在上单调递减，可得，
由于，
则，
因为，所以，即，
所以，所以C正确；
由在上恒成立，即在上恒成立，
设，则，
令，即，解得，
所以当时，，函数在上单调递增；
当时，，函数在上单调递减，
所以当时，函数取得最大值，最大值为，
所以，所以D正确.故选：ACD.
二、填空题
7．要设计一个容积为的下端为圆柱形、上端为半球形的密闭储油罐，已知圆柱侧面的单位面积造价是下底面积的单位面积造价的一半，而顶部半球面的单位面积造价又是圆柱侧面的单位面积造价的一半，储油罐的下部圆柱的底面半径_______时，造价最低．
【答案】.
【详解】设圆柱的高为，圆柱底面单位面积造价为，总造价为，
因为储油罐容积为，所以，整理得：，
所以，令，则，
当得：，当得，
所以当时，取最大值，即取得最大值.
8．若函数的图象在点处的切线垂直于直线，则函数的最小值是____.
【答案】
【详解】因为且切线垂直于，
所以，所以，所以.
因为，令，所以，
当，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故函数的最小值是，故答案为：.
9．已知，，若存在实数，满足，则的最大值为______．
【答案】
【详解】解：，且在上单调递增，
∴，．设，则，
当时，；当时，．
∴在上单调递增，在上单调递减，
∴，∴．
10．已知函数，若方程恰有两个不同的实数根m，n，则的最大值是_________.
【答案】
【详解】作出函数的图象，如图所示，
由可得，所以，即，
不妨设，则，
令，则，
所以，令，则，
所以当时，；当时，，
当时，取得最大值.
故答案为：.
三、解答题
11．已知函数.
（1）求函数在区间上的最大、最小值；.
（2）求证：在区间上，函数的图象在函数的图象的下方.
【详解】
（1）由有，
当时，,
在区间上为增函数，
，，
（2）设，
则，
当时，，
且故时，
，得证.
12．已知函数其中
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，求函数的单调区间；
（3）若对于恒成立，求的最大值.
【详解】
（1）当时，函数，可得，则，
所以曲线在点处的切线方程为.
（2）当时，函数，可得，
令，则，所以函数在上单调递增，
又由，
则令，可得，所以函数在上单调递增，
令，可得，所以函数在上单调递减.
综上，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
（3）由，得在上恒成立，
设，则，
由，解得，（其中），
随着变化，与的变化情况如下表所示：
0
↘ 极小值 ↗
所以在上单调递减，在上单调递增.
所以函数的最小值为.
由题意得，即 .
设，则.
因为当时，； 当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，.
所以当，，即，时，有最大值为.
