2023-2024学年人教A版数学必修第一册达标自测5.2.2同角三角函数的基本关系式（含解析）

第五章　5.2.2同角三角函数的基本关系式
一、选择题
1．α是第四象限角，cos α＝，则sin α等于(　　)
A． B．－
C． D．－
2．化简的结果为(　　)
A．sin 220° B．cos 220°
C．－cos 220° D．－sin 220°
3．已知＝－，则＝(　　)
A． B．－
C．2 D．－2
4．若α为第三象限角，则＋的值为(　　)
A．3 B．－3
C．1 D．－1
5．已知α是三角形的一个内角，且sin α＋cos α＝，那么这个三角形的形状为(　　)
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
6．已知sin α－3cos α＝0，则sin2α＋sin αcos α值为(　　)
A． B．
C．3 D．4
7．若π<α<，＋的化简结果为(　　)
A． B．－
C． D．－
8．若＝2，则sin θ·cos θ＝(　　)
A．－ B．
C．± D．
9．(多选题)＋的值可能为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
10．(多选题)若α是第二象限的角，则下列各式中成立的是(　　)
A．tan α＝－
B．＝sin α－cos α
C．cos α＝－
D．＝sin α＋cos α
二、填空题
11．在△ABC中，sin A＝，则∠A＝ ．
12．已知tan α＝cos α，那么sin α＝ ．
13．若＝1，则tan α的值为 ．
14．已知sin α－cos α＝(0<α<π)，则sin α＝ ，tan α＝ ．
15．已知cos θ＝，则sin θ的值为 ．
16．在△ABC中，若tan A＝，则sin A＝ ．
三、解答题
17．求证：sin α(1＋tan α)＋cos α＝＋.
18．(2021·黑龙江大庆高一月考)(1)已知0(2)已知tan x＝2，求sin2x＋2sin xcos x＋3cos2x的值．
19．(1)化简：tan α(其中α为第二象限角)；
(2)求证：·＝1.
20．已知方程8x2＋6kx＋2k＋1＝0的两个实根是sin θ和cos θ.
(1)求k的值；
(2)求tan θ＋的值．
第五章　5.2.2同角三角函数的基本关系式
一、选择题
1．α是第四象限角，cos α＝，则sin α等于(　B　)
A． B．－
C． D．－
[解析]　∵α是第四象限角，∴sin α<0.
∵∴sin α＝－.
2．化简的结果为(　D　)
A．sin 220° B．cos 220°
C．－cos 220° D．－sin 220°
[解析]　＝|sin 220°|，又220°为第三象限角，所以sin 220°<0，故＝－sin 220°.
3．已知＝－，则＝(　A　)
A． B．－
C．2 D．－2
[解析]　由sin2x＋cos2x＝1得cos2x＝1－sin2x，得cos2x＝(1－sin x)(1＋sin x)，得＝，所以＝－＝－＝.故选A．
4．若α为第三象限角，则＋的值为(　B　)
A．3 B．－3
C．1 D．－1
[解析]　∵α为第三象限角，
∴cos α<0，sin α<0，
∴原式＝－－＝－3.
5．已知α是三角形的一个内角，且sin α＋cos α＝，那么这个三角形的形状为(　B　)
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
[解析]　(sin α＋cos α)2＝，∴2sin αcos α＝－<0，
又∵α∈(0，π)，sin α>0.∴cos α<0，∴α为钝角．
6．已知sin α－3cos α＝0，则sin2α＋sin αcos α值为(　B　)
A． B．
C．3 D．4
[解析]　由sin α－3cos α＝0，∴tan α＝3，
又sin2α＋sin αcos α＝
＝＝＝.
7．若π<α<，＋的化简结果为(　D　)
A． B．－
C． D．－
[解析]　原式＝＋
＝＋＝，
∵π<α<，∴原式＝－.
8．若＝2，则sin θ·cos θ＝(　D　)
A．－ B．
C．± D．
[解析]　由＝2，得tan θ＝4，
sin θcos θ＝＝＝.
9．(多选题)＋的值可能为(　BD　)
A．0 B．1
C．2 D．3
[解析]　令f(x)＝＋＝＋，当x为第一象限角时，sin x>0，cos x>0，则f(x)＝3，当x为第二象限角时，sin x>0，cos x<0，则f(x)＝1，当x为第三象限角时，sin x<0，cos x<0，则f(x)＝－3，当x为第四象限角时，sin x<0，cos x>0，则f(x)＝－1.故选BD．
10．(多选题)若α是第二象限的角，则下列各式中成立的是(　BC　)
A．tan α＝－
B．＝sin α－cos α
C．cos α＝－
D．＝sin α＋cos α
[解析]　由同角三角函数的基本关系式，知tan α＝，所以A错；因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，所以sin α－cos α>0，sin α＋cos α的符号不确定，所以＝＝sin α－cos α，所以B，C正确，D错．
二、填空题
11．在△ABC中，sin A＝，则∠A＝60°．
[解析]　∵2sin2A＝3cos A，∴2(1－cos2A)＝3cos A，即(2cos A－1)(cos A＋2)＝0，∴cos A＝，cos A＝－2(舍去)，∴A＝60°.
12．已知tan α＝cos α，那么sin α＝．
[解析]　由于tan α＝＝cos α，则sin α＝cos2α，所以sin α＝1－sin2α，解得sin α＝.
又sin α＝cos2α≥0，所以sin α＝.
13．若＝1，则tan α的值为3．
[解析]　＝1化为＝1，
所以2tan α＋1＝3tan α－2，
所以tan α＝3.
14．已知sin α－cos α＝(0<α<π)，则sin α＝，tan α＝－1．
[解析]　由题意可得
解得sin α＝，cos α＝－，则
tan α＝＝－1.
15．已知cos θ＝，则sin θ的值为3．
[解析]　原式可化为sin θ
＝sin θ＝sin θ
＝＝3.
16．在△ABC中，若tan A＝，则sin A＝．
[解析]　因为tan A＝>0，则∠A是锐角，则sin A>0，解方程组得sin A＝.
三、解答题
17．求证：sin α(1＋tan α)＋cos α＝＋.
[证明]　左边＝sin α＋cos α
＝sin α＋＋cos α＋
＝＋＝＋＝右边．
即原等式成立．
18．(2021·黑龙江大庆高一月考)(1)已知0(2)已知tan x＝2，求sin2x＋2sin xcos x＋3cos2x的值．
[解析]　(1)由sin x＋cos x＝，①
两边平方，得1＋2sin xcos x＝，
则sin xcos x＝－.
∵0∴(sin x－cos x)2＝1－2sin xcos x＝1＋2×＝，
∴sin x－cos x＝.②
由①②解得∴tan x＝－.
(2)由tan x＝2，
得sin2x＋2sin xcos x＋3cos2x
＝
＝＝＝.
19．(1)化简：tan α(其中α为第二象限角)；
(2)求证：·＝1.
[解析]　(1)因为α是第二象限角，
所以sin α>0，cos α<0.
原式＝tan α＝tan α
＝tan α
＝·||＝·＝－1.
(2)证明：·＝·
＝·
＝＝＝1.
20．已知方程8x2＋6kx＋2k＋1＝0的两个实根是sin θ和cos θ.
(1)求k的值；
(2)求tan θ＋的值．
[解析]　(1)已知方程有两个实根sin θ，cos θ，应满足如下条件：
∵sin2θ＋cos2θ＝1，
即(sin θ＋cos θ)2－2sin θcos θ＝1，④
∴将②③代入④，得－＝1，
即9k2－8k－20＝0，解得k＝－或k＝2(舍去)．
∴k＝－.
(2)tan θ＋＝＋
＝，
由(1)知sin θ·cos θ＝＝－，
∴tan θ＋＝＝－.