河北省部分高中2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 河北省部分高中2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 843.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-11 12:04:23 | ||
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文档简介
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河北省部分高中2023-2024学年高二上学期期中考试
数 学
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．本试卷主要考试内容；人教A版选择性必修第一册第一章至第三章3.2。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．直线l：的斜率为
A． B． C． D．
2．若方程表示一个圆，则m的取值范围是
A． B． C． D．
3．已知，分别是椭圆E：的左、右焦点，P是椭圆E上一点，若，则
A．2 B．3 C．4 D．5
4．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，且，则在方向上的投影向量为
A． B． C． D．
5．若圆：与圆：相交，则r的取值范围为
A． B． C． D．
6．若，，，则点A到直线BC的距离为
A． B． C． D．
7．已知双曲线C：的右焦点为F，过F作双曲线C的其中一条渐近线l的垂线，垂足为A（第一象限），并与双曲线C交于点B，若，则l的斜率为
A．2 B．1 C． D．
8．已知实数x，y满足，则的最小值为
A． B． C．108 D．117
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．如图，在长方体中，E，F分别是AB，BC的中点，则
A． B． C． D．
10．在同一直角坐标系中，直线l：与曲线C：的位置可能是
A． B．
C． D．
11．已知，分别是椭圆E：的左、右焦点，P是椭圆E上一点，且，，则下列结论正确的有
A．椭圆E的离心率为
B．椭圆E的离心率为
C．
D．若内切圆的半径为2，则椭圆E的焦距为10
12．苏州博物馆（图一）是地方历史艺术性博物馆，建筑物的顶端可抽象为如图二所示的上、下两
层等高的几何体，其中上层EFGH-NPQM是正四棱柱，下层底面ABCD是边长为4的正方形，E，F，G，H在底面ABCD的投影分别为AD，AB，BC，CD的中点，若，则下列结论正确的有
图一 图二
A．该几何体的表面积为
B．将该几何体放置在一个球体内，则该球体体积的最小值为
C．直线CP与平面ABF所成角的正弦值为雪
D．点M到平面BFG的距离为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知点N是点在坐标平面Oxz内的射影，则 ．
14．若双曲线C：的实轴长与虚轴长相等，则 .
15．过点作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为 .
16．如图，在正方体中，，N为的中点，记平面CMN与平面的交线为l，则直线l与直线所成角的余弦值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
已知直线：与：．
（1）当时，求直线与的交点坐标；
（2）若，求a的值．
18．（12分）
如图，在正四棱锥P-ABCD中，E，F分别为PA，PC的中点，．
（1）证明：B，E，G，F四点共面．
（2）记四棱锥P-BEGF的体积为，四棱锥P-ABCD的体积为，求的值．
19．（12分）
已知P是圆C：上一动点，过P作x轴的垂线，垂足为Q，点M满足，记点M的轨迹为E．
（1）求E的方程；
（2）若A，B是E上两点，且线段AB的中点坐标为，求的值．
20．（12分）
如图，这是某圆弧形山体隧道的示意图，其中底面AB的长为16米，最大高度CD的长为4米，以C为坐标原点，AB所在的直线为x轴建立直角坐标系．
（1）求该圆弧所在圆的方程；
（2）若某种汽车的宽约为2.5米，高约为1.6米，车辆行驶时两车的间距要求不小于0.5米以保证安全，同时车顶不能与隧道有剐蹭，则该隧道最多可以并排通过多少辆该种汽车？（将汽车看作长方体）
21．（12分）
如图，在斜三棱柱中，△ABC是边长为2的等边三角形，M，Q分别为AC，的中点，且．
（1）证明：．
（2）若，，求平面与平面夹角的余弦值.
22．（12分）
如图，已知，分别是双曲线E：的左、右焦点，是E上一点．
（1）求E的方程．
（2）过直线l：上任意一点T作直线，与E的左、右两支相交于A，B两点，直线关于直线l对称的直线为（与不重合），与E的左、右两支相交于C，D两点.证明：．
河北省部分高中2023-2024学年高二上学期期中考试
数学参考答案
1．D
【解析】本题考查直线的斜率，考查数学抽象的核心素养．
将l的方程转化为，知l的斜率为．
2．B
【解析】本题考查圆的一般式方程，考查数学运算的核心素养．
因为方程表示一个圆，所以，解得．
3．C
【解析】本题考查椭圆的基本概念，考查数学抽象的核心素养．
因为P是椭圆E上一点，所以，所以．
4．C
【解析】本题考查空间向量的投影向量，考查直观想象的核心素养．
由图可知，在方向上的投影向量为．
5．D
【解析】本题考查圆与圆的位置关系，考查数学运算的核心素养．
因为与相交，所以．又，所以，解得．
6．A
【解析】本题考查空间中点到直线的距离，考查数学运算的核心素养．
，，则在上的投影向量的模为，则点A到直线BC的距离为．
7．B
【解析】本题考查双曲线的性质，考查数学运算的核心素养．
因为，所以B为线段AF的中点，则．设双曲线C的左焦点为，则．在中，，整理得，即，则，故l的斜率为1．
8．A
【解析】本题考查直线的对称问题，考查直观想象与数学运算的核心素养．
，所以表示直线l：上一点到，两点距离之和的最小值．易知P，Q两点在l的同一侧，设点P关于l对称的点，则，解得，即，故．
9．AC
【解析】本题考查空间向量的线性运算，考查数学运算、直观想象的核心素养．
，A正确，B不正确．，C正确，D不正确．
10．ABD
【解析】本题考查直线与曲线的位置关系，考查直观想象与逻辑推理的核心素养．
若，则曲线C表示坐标原点为圆心，1为半径的圆，并且l与C相交于，两点，A符合．若，则曲线C表示焦点在．轴上的椭圆，并且l与C相交，B符合，C不符合．若，则曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，没有符合的选项．当时，曲线C表示焦点在x轴上的双曲线，直线l经过第一、二、四象限，且l经过曲线C的右顶点，D符合．
11．ACD
【解析】本题考查椭圆的性质，考查数学运算、逻辑推理的核心素养．
由，，解得，，则
，整理得，
即，则（舍去）或，故椭圆E的离心率为．A正确，B不正确．由，得，则，故．C正确．由，内切圆的半径为2，得．因为，所以，即椭圆E的焦距为10．D正确．
12．ACD
【解析】本题考查立体几何中直线与平面所成角的正弦值，考查直观想象的核心素养．
因为F在平面ABCD的投影为AB的中点，且，，所以F到平面ABCD的距离为1，，P到平面ABCD的距离为2，则点B到FG的距离为，则△ABF的面积为，△BFG的面积为长．根据对称性可知，该几何体的表面积为．A正确．将该几何体放置在一个球体内，要使该球体体积最小，则球心在该几何体上下底面中心所连直线上，且A，B，C，D，N，P，Q，M均在球面上，设球心到下底面ABCD的距离为x，则，解得，则该球体的半径为，体积为．B不正确．以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，，，，平面ABF的一个法向量为，则，故直线CP与平面ABF所成角的正弦值为．C正确．设平面BFG的法向量为，则，令，得，则点M到平面BFG的距离为．D正确．
13．5
【解析】本题考查空间向量的模，考查数学运算的核心素养．
由题可知，，则，．
14．1
【解析】本题考查双曲线的概念，考查数学运算的核心素养．
由题可知，，解得或（舍去）．
15．
【解析】本题考查圆的切线，考查直观想象的核心素养．
由图（图略）可知，其中一条切线为x轴，切点为坐标原点．因为，则，直线AB的方程为．
16．
【解析】本题考查直线与直线的夹角，考查直观想象﹑数学运算的核心素养．
设，连接NP，MP（图略），则直线NP即直线l．易证得，由，N为的中点，得．以D为坐标原点，DA，DC，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，不妨令，则，，，，，，，故直线l与直线所成角的余弦值为．
17．解：
（1）因为，所以：，：．
联立方程组，
解得，
故直线与的交点坐标为．
（2）因为，所以，解得或．
当时，与重合，不符合题意．
当时，与不重合，符合题意．
故．
18．
（1）证明：设为空间的一组基底，因为E，F分别为PA，PC的中点，所以，．
又，所以．
故B，E，G，F四点共面．
（2）解：由正四棱锥的对称性知，，．
设点E到平面PBG的距离为，点A到平面PBD的距离为，由E是PA的中点得．
由，得，
则．
19．解：
（1）设，则．
因为P在圆C上，所以，
故E的方程为．
（2）设，，则，
两式相减得，即．
因为线段AB的中点坐标为，所以，所以直线AB的方程为．
联立方程组，整理得，则，，
．
20．解：
（1）由圆的对称性可知，该圆弧所在圆的圆心在y轴上，
设该圆的半径为r米，则，解得，
故该圆弧所在圆的方程为．
（2）设与该种汽车等高且能通过该隧道的最大宽度为d米，则，
解得．
若并排通过5辆该种汽车，则安全通行的宽度为，故该隧道不能并排通过5辆该种汽车．
若并排通过4辆该种汽车，则安全通行的宽度为．隧道能并排通过4辆该种汽车．
综上所述，该隧道最多可以并排通过4辆该种汽车．
21．
（1）证明：因为是等边三角形，Q为的中点，所以．
又，所以．
因为，，所以平面．
又平面，所以．
（2）解：取AB靠近点A的四等分点N，连接MN，NQ，易证得，则，且．
由，得．因为，所以，即，从而平面ABC．
以M为坐标原点，MN所在直线为x轴，MQ所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，
则，．
设平面的法向量为，则，
令，得．
由图可知，是平面的一个法向量．
设平面与平面的夹角为，则．
22．
（1）解：由题可知，
解得，，
则E的方程为．
（2）证明：设，显然直线的斜率存在且不等于0，设的方程为，则直线的方程，设，，，．
联立方程组，
整理得．
，
则，．
同理可得，，
，，，，
则，
同理可得，则，
则，则，即．
河北省部分高中2023-2024学年高二上学期期中考试
数 学
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．本试卷主要考试内容；人教A版选择性必修第一册第一章至第三章3.2。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．直线l：的斜率为
A． B． C． D．
2．若方程表示一个圆，则m的取值范围是
A． B． C． D．
3．已知，分别是椭圆E：的左、右焦点，P是椭圆E上一点，若，则
A．2 B．3 C．4 D．5
4．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，且，则在方向上的投影向量为
A． B． C． D．
5．若圆：与圆：相交，则r的取值范围为
A． B． C． D．
6．若，，，则点A到直线BC的距离为
A． B． C． D．
7．已知双曲线C：的右焦点为F，过F作双曲线C的其中一条渐近线l的垂线，垂足为A（第一象限），并与双曲线C交于点B，若，则l的斜率为
A．2 B．1 C． D．
8．已知实数x，y满足，则的最小值为
A． B． C．108 D．117
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．如图，在长方体中，E，F分别是AB，BC的中点，则
A． B． C． D．
10．在同一直角坐标系中，直线l：与曲线C：的位置可能是
A． B．
C． D．
11．已知，分别是椭圆E：的左、右焦点，P是椭圆E上一点，且，，则下列结论正确的有
A．椭圆E的离心率为
B．椭圆E的离心率为
C．
D．若内切圆的半径为2，则椭圆E的焦距为10
12．苏州博物馆（图一）是地方历史艺术性博物馆，建筑物的顶端可抽象为如图二所示的上、下两
层等高的几何体，其中上层EFGH-NPQM是正四棱柱，下层底面ABCD是边长为4的正方形，E，F，G，H在底面ABCD的投影分别为AD，AB，BC，CD的中点，若，则下列结论正确的有
图一 图二
A．该几何体的表面积为
B．将该几何体放置在一个球体内，则该球体体积的最小值为
C．直线CP与平面ABF所成角的正弦值为雪
D．点M到平面BFG的距离为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知点N是点在坐标平面Oxz内的射影，则 ．
14．若双曲线C：的实轴长与虚轴长相等，则 .
15．过点作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为 .
16．如图，在正方体中，，N为的中点，记平面CMN与平面的交线为l，则直线l与直线所成角的余弦值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
已知直线：与：．
（1）当时，求直线与的交点坐标；
（2）若，求a的值．
18．（12分）
如图，在正四棱锥P-ABCD中，E，F分别为PA，PC的中点，．
（1）证明：B，E，G，F四点共面．
（2）记四棱锥P-BEGF的体积为，四棱锥P-ABCD的体积为，求的值．
19．（12分）
已知P是圆C：上一动点，过P作x轴的垂线，垂足为Q，点M满足，记点M的轨迹为E．
（1）求E的方程；
（2）若A，B是E上两点，且线段AB的中点坐标为，求的值．
20．（12分）
如图，这是某圆弧形山体隧道的示意图，其中底面AB的长为16米，最大高度CD的长为4米，以C为坐标原点，AB所在的直线为x轴建立直角坐标系．
（1）求该圆弧所在圆的方程；
（2）若某种汽车的宽约为2.5米，高约为1.6米，车辆行驶时两车的间距要求不小于0.5米以保证安全，同时车顶不能与隧道有剐蹭，则该隧道最多可以并排通过多少辆该种汽车？（将汽车看作长方体）
21．（12分）
如图，在斜三棱柱中，△ABC是边长为2的等边三角形，M，Q分别为AC，的中点，且．
（1）证明：．
（2）若，，求平面与平面夹角的余弦值.
22．（12分）
如图，已知，分别是双曲线E：的左、右焦点，是E上一点．
（1）求E的方程．
（2）过直线l：上任意一点T作直线，与E的左、右两支相交于A，B两点，直线关于直线l对称的直线为（与不重合），与E的左、右两支相交于C，D两点.证明：．
河北省部分高中2023-2024学年高二上学期期中考试
数学参考答案
1．D
【解析】本题考查直线的斜率，考查数学抽象的核心素养．
将l的方程转化为，知l的斜率为．
2．B
【解析】本题考查圆的一般式方程，考查数学运算的核心素养．
因为方程表示一个圆，所以，解得．
3．C
【解析】本题考查椭圆的基本概念，考查数学抽象的核心素养．
因为P是椭圆E上一点，所以，所以．
4．C
【解析】本题考查空间向量的投影向量，考查直观想象的核心素养．
由图可知，在方向上的投影向量为．
5．D
【解析】本题考查圆与圆的位置关系，考查数学运算的核心素养．
因为与相交，所以．又，所以，解得．
6．A
【解析】本题考查空间中点到直线的距离，考查数学运算的核心素养．
，，则在上的投影向量的模为，则点A到直线BC的距离为．
7．B
【解析】本题考查双曲线的性质，考查数学运算的核心素养．
因为，所以B为线段AF的中点，则．设双曲线C的左焦点为，则．在中，，整理得，即，则，故l的斜率为1．
8．A
【解析】本题考查直线的对称问题，考查直观想象与数学运算的核心素养．
，所以表示直线l：上一点到，两点距离之和的最小值．易知P，Q两点在l的同一侧，设点P关于l对称的点，则，解得，即，故．
9．AC
【解析】本题考查空间向量的线性运算，考查数学运算、直观想象的核心素养．
，A正确，B不正确．，C正确，D不正确．
10．ABD
【解析】本题考查直线与曲线的位置关系，考查直观想象与逻辑推理的核心素养．
若，则曲线C表示坐标原点为圆心，1为半径的圆，并且l与C相交于，两点，A符合．若，则曲线C表示焦点在．轴上的椭圆，并且l与C相交，B符合，C不符合．若，则曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，没有符合的选项．当时，曲线C表示焦点在x轴上的双曲线，直线l经过第一、二、四象限，且l经过曲线C的右顶点，D符合．
11．ACD
【解析】本题考查椭圆的性质，考查数学运算、逻辑推理的核心素养．
由，，解得，，则
，整理得，
即，则（舍去）或，故椭圆E的离心率为．A正确，B不正确．由，得，则，故．C正确．由，内切圆的半径为2，得．因为，所以，即椭圆E的焦距为10．D正确．
12．ACD
【解析】本题考查立体几何中直线与平面所成角的正弦值，考查直观想象的核心素养．
因为F在平面ABCD的投影为AB的中点，且，，所以F到平面ABCD的距离为1，，P到平面ABCD的距离为2，则点B到FG的距离为，则△ABF的面积为，△BFG的面积为长．根据对称性可知，该几何体的表面积为．A正确．将该几何体放置在一个球体内，要使该球体体积最小，则球心在该几何体上下底面中心所连直线上，且A，B，C，D，N，P，Q，M均在球面上，设球心到下底面ABCD的距离为x，则，解得，则该球体的半径为，体积为．B不正确．以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，，，，平面ABF的一个法向量为，则，故直线CP与平面ABF所成角的正弦值为．C正确．设平面BFG的法向量为，则，令，得，则点M到平面BFG的距离为．D正确．
13．5
【解析】本题考查空间向量的模，考查数学运算的核心素养．
由题可知，，则，．
14．1
【解析】本题考查双曲线的概念，考查数学运算的核心素养．
由题可知，，解得或（舍去）．
15．
【解析】本题考查圆的切线，考查直观想象的核心素养．
由图（图略）可知，其中一条切线为x轴，切点为坐标原点．因为，则，直线AB的方程为．
16．
【解析】本题考查直线与直线的夹角，考查直观想象﹑数学运算的核心素养．
设，连接NP，MP（图略），则直线NP即直线l．易证得，由，N为的中点，得．以D为坐标原点，DA，DC，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，不妨令，则，，，，，，，故直线l与直线所成角的余弦值为．
17．解：
（1）因为，所以：，：．
联立方程组，
解得，
故直线与的交点坐标为．
（2）因为，所以，解得或．
当时，与重合，不符合题意．
当时，与不重合，符合题意．
故．
18．
（1）证明：设为空间的一组基底，因为E，F分别为PA，PC的中点，所以，．
又，所以．
故B，E，G，F四点共面．
（2）解：由正四棱锥的对称性知，，．
设点E到平面PBG的距离为，点A到平面PBD的距离为，由E是PA的中点得．
由，得，
则．
19．解：
（1）设，则．
因为P在圆C上，所以，
故E的方程为．
（2）设，，则，
两式相减得，即．
因为线段AB的中点坐标为，所以，所以直线AB的方程为．
联立方程组，整理得，则，，
．
20．解：
（1）由圆的对称性可知，该圆弧所在圆的圆心在y轴上，
设该圆的半径为r米，则，解得，
故该圆弧所在圆的方程为．
（2）设与该种汽车等高且能通过该隧道的最大宽度为d米，则，
解得．
若并排通过5辆该种汽车，则安全通行的宽度为，故该隧道不能并排通过5辆该种汽车．
若并排通过4辆该种汽车，则安全通行的宽度为．隧道能并排通过4辆该种汽车．
综上所述，该隧道最多可以并排通过4辆该种汽车．
21．
（1）证明：因为是等边三角形，Q为的中点，所以．
又，所以．
因为，，所以平面．
又平面，所以．
（2）解：取AB靠近点A的四等分点N，连接MN，NQ，易证得，则，且．
由，得．因为，所以，即，从而平面ABC．
以M为坐标原点，MN所在直线为x轴，MQ所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，
则，．
设平面的法向量为，则，
令，得．
由图可知，是平面的一个法向量．
设平面与平面的夹角为，则．
22．
（1）解：由题可知，
解得，，
则E的方程为．
（2）证明：设，显然直线的斜率存在且不等于0，设的方程为，则直线的方程，设，，，．
联立方程组，
整理得．
，
则，．
同理可得，，
，，，，
则，
同理可得，则，
则，则，即．
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