14.3因式分解课件
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课件64张PPT。14.3.1 因式分解——因式分解的定义与提公因式法复习回顾口答：反过来 上面我们把一个多项式化成了几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式 ，也叫做把这个多项式 。分解因式因式分解因式分解整式乘法因式分解与整式乘法是逆变形 依照定义，判断下列变形是不是因式分解（把多项式化成几个整式的积）创设情景 学校打算把操场重新规划一下，分为绿化带、运动场、主席台三个部分，如下图，计算操场总面积。abcm方法一：S = m ( a + b + c )方法二：S = ma + mb + mcmm方法一：S = m ( a + b + c )方法二：S = ma + mb + mcm ( a + b + c ) = ma + mb + mc下面两个式子中哪个是因式分解？ 在式子ma + mb + mc中，m是这个多项式中每一个项都含有的因式，叫做 。公因式ma + mb + mc = m ( a + b + c )ma + mb + mc = m ( a + b + c ) 在下面这个式子的因式分解过程中，先找到这个多项式的公因式，再将原式除以公因式，得到一个新多项式，将这个多项式与公因式相乘即可。
这种方法叫做提公因式法。提公因式法一般步骤：
1、找到该多项式的公因式，
2、将原式除以公因式，得到一个新多项式，
3、把它与公因式相乘。 如何准确地找到多项式的公因式呢？ 1、系数
所有项的系数的最大公约数
2、字母
应提取每一项都有的字母，
且字母的指数取最低的。
3、系数与字母相乘例题精讲最大公约数为3= 3a的最低指数为1ab的最低指数为1b(3a–5bc)= 4st2(-3s2+2t-1)pq(5q+7p+3)=做一做 按照提公因式法因式分解。提高训练(一)提高训练(二)14.3.2 公式法——利用平方差公式进行因式分解复习回顾还记得学过的两个最基本的乘法公式吗？平方差公式：完全平方公式：计算= (999+1)(999–1)此处运用了什么公式?
新课引入试计算：9992 – 112= 1000×998 = 998000平方差公式逆用因式分解:（1）x2 – ;（2）y2 –4 2522 52= (x+2)(x–2)= (y+5)(y–5) 这些计算过程中都逆用了平方差公式
即：此即运用平方差公式进行因式分解 用文字表述为： 两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积。 尝试练习(对下列各式因式分解)：
① a2 – 9 = ___________________
② 49 – n2 = __________________
③ 5s2 – 20t2 = ________________
④ 100x2 – 9y2 =_______________(a+3)(a–3)(7+n)(7–n)5(s+2t)(s–2t)(10x+3y)(10x–3y) 判断下列各式是否可以
运用平方差公式进行因式分解① x2 + 4
② – 4x2 + y2
③ x4 – 1
④ x2 – x6
⑤ 6x3 – 54xy2
⑥ (x+p)2 – (x–q)2= y2 – 4x2 = (y+2x)(y–2x)
= (x2)2 – 12
= (x2+1) (x2–1)② – 4x2 + y2
③ x4 – 1= (x2+1) (x+1)(x–1)因式分解一定要分解彻底 !④ x2 – x6
= x2 – (x3)2
= (x+x3)(x–x3)
= x·(1+x2)·x·(1–x2)
= x2(1+x2)(1+x)(1–x)④ x2 – x6
= x2 (1–x4)
= x2 (1+x2)(1–x2)
= x2 (1+x2)(1+x)(1–x)更简便！ 在我们现学过的因式分解方法中，先考虑提取公因式，再考虑用公式法。⑤ 6x3 – 54xy2
= 6x (x2–9y2)
= 6x (x+3y)(x–3y)
⑥ (x+p)2 – (x–q)2
= [ (x+p)+(x–q) ]·[ (x+p)–(x–q) ]
= (2x+p–q)(p+q)YXYXYX做一做 利用平方差公式因式分解。提高训练(一)提高训练(二) 2、n是自然数，代入n3 – n中计算时，四个同学算出如下四个结果，其中正确的只可能是( )。
A. 421800 B. 438911 C. 439844 D. 42815815.4.2 公式法（中级篇2）——利用完全平方公式进行因式分解复习回顾还记得前面学的完全平方公式吗？计算：新课引入试计算：9992 + 1998 + 12×999×1= (999+1)2 = 106此处运用了什么公式?
完全平方公式逆用 就像平方差公式一样，完全平方公式也可以逆用，从而进行一些简便计算与因式分解。
即：这个公式可以用文字表述为： 两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的两倍，等于这两个数的和（或差）的平方。 牛刀小试(对下列各式因式分解)：
① a2+6a+9 = _________________
② n2–10n+25 = _______________
③ 4t2–8t+4 = _________________
④ 4x2–12xy+9y2 = _____________(a+3)2(n–5)24(t–1)2(2x–3y)2 判断下列各式是否可以
运用完全平方公式进行因式分解① 16x2 + 24x + 9
② – 4x2 + 4xy – y2
③ x2 + 2x – 1
④ 4x2 – 8xy + 4y2
⑤ 1 – 2a2 + a4
⑥ (p+q)2 – 12(p+q) + 36 形如a2±2ab+b2的式子叫做完全平方式。 完全平方式一定可以利用完全平方公式因式分解完全平方式的特点：
1、必须是三项式（或可以看成三项的）
2、有两个同号的平方项
3、有一个乘积项（等于平方项底数的±2倍）
简记口诀：
首平方，尾平方，首尾两倍在中央。① 16x2 + 24x + 9
② – 4x2 + 4xy – y2
④ 4x2 – 8xy + 4y2= (4x+3)2= – (4x2–4xy+y2)= – (2x–y)2= 4 (x2–2xy+y2)= 4 (x–y)2 – 2a2 +
⑥ (p+q)2 – 12(p+q) + 36a41= (a2–1)2= (a+1)2 (a–1)2= [(a+1) (a–1)]2= (p+q–6)2XXX做一做 用完全平方公式进行因式分解。做一做 用恰当的方法进行因式分解。备选方法：
提公因式法
平方差公式
完全平方公式
提高训练(一)④ 给4x2+1加上一个单项式，使它成为一个完全平方式，这个单项式可以是 ________。提高训练(二)提高训练(三)The End15.4.3* 因式分解（高级篇）——因式分解的其他常用方法知识结构因式分解常用方法提公因式法
公式法
十字相乘法
分组分解法
拆项添项法
配方法
待定系数法
求根法
……一、提公因式法 只需找到多项式中的公因式，然后用原多项式除以公因式，把所得的商与公因式相乘即可。往往与其他方法结合起来用。二、公式法 只需发现多项式的特点，再将符合其形式的公式套进去即可完成因式分解，有时需和别的方法结合或多种公式结合。
接下来是一些常用的乘法公式，可以逆用进行因式分解。常用公式
1、(a+b)(a–b)=a2–b2
（平方差公式）
2、(a±b)2=a2±2ab+b2
（完全平方公式）
3、(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
4、a3+b3=(a+b)(a2–ab+b2)
及 a3–b3=(a–b)(a2+ab+b2)
（立方和、差公式）
5、(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
（完全立方和公式）
6、(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq
7、x2+y2+z2+xy+xz+yz公式推导这是公式x2+y2+z2+xy+xz+yz的推导过程
不要与(x+y+z)2=x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz混淆二、公式法 只需发现多项式的特点，再将符合其形式的公式套进去即可完成因式分解，有时需和别的方法结合或多种公式结合。三、十字相乘法①前面出现了一个公式：
(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq
我们可以用它进行因式分解（适用于二次三项式）例1：因式分解x2+4x+3
可以看出常数项 3 = 1×3
而一次项系数 4 = 1 + 3
∴原式=(x+1)(x+3)暂且称为p、q型因式分解例2：因式分解x2–7x+10
可以看出常数项10 = (–2)×(–5)
而一次项系数 –7 = (–2) + (–5)
∴原式=(x–2)(x–5)这个公式简单的说，
就是把常数项拆成两个数的乘积，
而这两个数的和刚好等于一次项系数三、十字相乘法②试因式分解6x2+7x+2。
这里就要用到十字相乘法（适用于二次三项式）。既然是二次式，就可以写成(ax+b)(cx+d)的形式。
(ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd
所以，需要将二次项系数与常数项分别拆成两个数的积，而这四个数中，两个数的积与另外两个数的积之和刚好等于一次项系数，那么因式分解就成功了。= 173 x2 + 11 x + 106 x2 + 7 x + 22
31
24+ 3= 7∴6x2+7x+2=(2x+1)(3x+2)1
35
22+ 15= 111
32
55+ 6∴3x2+11x+10=(x+2)(3x+5)= –65 x2 – 6 xy – 8 y2试因式分解5x2–6xy–8y2。
这里仍然可以用十字相乘法。1
5–2
44– 10∴5x2–6xy–8y2 =(x–2y)(5x+4y)简记口诀：
首尾分解，交叉相乘，求和凑中。四、分组分解法 要发现式中隐含的条件，通过交换项的位置，添、去括号等一些变换达到因式分解的目的。例1：因式分解 ab–ac+bd–cd 。解：原式 = (ab – ac) + (bd – cd)
= a (b – c) + d (b – c)
= (a + d) (b – c)还有别的解法吗？四、分组分解法 要发现式中隐含的条件，通过交换项的位置，添、去括号等一些变换达到因式分解的目的。例1：因式分解 ab–ac+bd–cd 。解：原式 = (ab + bd) – (ac + cd)
= b (a + d) – c (a + d)
= (a + d) (b – c)例2：因式分解 x5+x4+x3+x2+x+1 。解：原式 = (x5+x4+x3)+(x2+x+1)
= (x3+1)(x2+x+1)
= (x+1)(x2–x+1)(x2+x+1)立方和公式回顾例题：因式分解 x5+x4+x3+x2+x+1 。另解：原式 = (x5+x4)+(x3+x2)+(x+1)
= (x+1)(x4+x2+1)
= (x+1)(x4+2x2+1–x2)
= (x+1)[(x2+1)2–x2]
= (x+1)(x2+x+1)(x2–x+1)五*、拆项添项法怎么结果与刚才不一样呢？因为它还可以继续因式分解 拆项添项法对数学能力有着更高的要求，需要观察到多项式中应拆哪一项使得接下来可以继续因式分解，要对结果有一定的预见性，尝试较多，做题较繁琐。
最好能根据现有多项式内的项猜测可能需要使用的公式，有时要根据形式猜测可能的系数。五*、拆项添项法因式分解 x4 + 4解：原式 = x4 + 4x2 + 4 – 4x2
= (x2+2)2 – (2x)2
= (x2+2x+2)(x2–2x+2)完全平方公式平方差公式配方法 配方法是一种特殊的拆项添项法，将多项式配成完全平方式，再用平方差公式进行分解。因式分解 a2–b2+4a+2b+3 。解：原式 = (a2+4a+4) – (b2–2b+1)
= (a+2)2 – (b–1)2
= (a+b+1)(a–b+3)配方法 (拆项添项法)分组分解法完全平方公式平方差公式六*、待定系数法试因式分解 2x2+3xy–9y2+14x–3y+20。通过十字相乘法得到 (2x–3y)(x+3y)
设原式等于(2x–3y+a)(x+3y+b)
通过比较两式同类项的系数可得：
解得： ，∴原式 = (2x–3y+4)(x+3y+5)= 3= 1410+ 42 x2 + 3 xy – 9 y2 + 14 x – 3 y + 20双十字相乘法 双十字相乘法适用于二次六项式的因式分解，而待定系数法则没有这个限制。因式分解 2x2+3xy–9y2+14x–3y+20。2
1–3
36– 34
5= –312– 15∴原式 = (2x–3y+4)(x+3y+5)七*、求根法 设原多项式等于零，解出方程的解 x1、x2……，则原式就可以分解为(x–x1)(x–x2)(x–x3)……更多的方法需要同学们自己去寻找 !
多练才能拥有自己的解题智慧 !综合训练(一)综合训练(二)2、x2y–y2z+z2x–x2z+y2x+z2y–2xyz因式分解后的结果是( )。
A. (y–z)(x+y)(x–z) B. (y–z)(x–y)(x+z)
C. (y+z)(x–y)(x+z) D. (y+z)(x+y)(x–z)
3、因式分解 x3 + 6x2 + 11x + 6 。综合训练(三)The End
这种方法叫做提公因式法。提公因式法一般步骤：
1、找到该多项式的公因式，
2、将原式除以公因式，得到一个新多项式，
3、把它与公因式相乘。 如何准确地找到多项式的公因式呢？ 1、系数
所有项的系数的最大公约数
2、字母
应提取每一项都有的字母，
且字母的指数取最低的。
3、系数与字母相乘例题精讲最大公约数为3= 3a的最低指数为1ab的最低指数为1b(3a–5bc)= 4st2(-3s2+2t-1)pq(5q+7p+3)=做一做 按照提公因式法因式分解。提高训练(一)提高训练(二)14.3.2 公式法——利用平方差公式进行因式分解复习回顾还记得学过的两个最基本的乘法公式吗？平方差公式：完全平方公式：计算= (999+1)(999–1)此处运用了什么公式?
新课引入试计算：9992 – 112= 1000×998 = 998000平方差公式逆用因式分解:（1）x2 – ;（2）y2 –4 2522 52= (x+2)(x–2)= (y+5)(y–5) 这些计算过程中都逆用了平方差公式
即：此即运用平方差公式进行因式分解 用文字表述为： 两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积。 尝试练习(对下列各式因式分解)：
① a2 – 9 = ___________________
② 49 – n2 = __________________
③ 5s2 – 20t2 = ________________
④ 100x2 – 9y2 =_______________(a+3)(a–3)(7+n)(7–n)5(s+2t)(s–2t)(10x+3y)(10x–3y) 判断下列各式是否可以
运用平方差公式进行因式分解① x2 + 4
② – 4x2 + y2
③ x4 – 1
④ x2 – x6
⑤ 6x3 – 54xy2
⑥ (x+p)2 – (x–q)2= y2 – 4x2 = (y+2x)(y–2x)
= (x2)2 – 12
= (x2+1) (x2–1)② – 4x2 + y2
③ x4 – 1= (x2+1) (x+1)(x–1)因式分解一定要分解彻底 !④ x2 – x6
= x2 – (x3)2
= (x+x3)(x–x3)
= x·(1+x2)·x·(1–x2)
= x2(1+x2)(1+x)(1–x)④ x2 – x6
= x2 (1–x4)
= x2 (1+x2)(1–x2)
= x2 (1+x2)(1+x)(1–x)更简便！ 在我们现学过的因式分解方法中，先考虑提取公因式，再考虑用公式法。⑤ 6x3 – 54xy2
= 6x (x2–9y2)
= 6x (x+3y)(x–3y)
⑥ (x+p)2 – (x–q)2
= [ (x+p)+(x–q) ]·[ (x+p)–(x–q) ]
= (2x+p–q)(p+q)YXYXYX做一做 利用平方差公式因式分解。提高训练(一)提高训练(二) 2、n是自然数，代入n3 – n中计算时，四个同学算出如下四个结果，其中正确的只可能是( )。
A. 421800 B. 438911 C. 439844 D. 42815815.4.2 公式法（中级篇2）——利用完全平方公式进行因式分解复习回顾还记得前面学的完全平方公式吗？计算：新课引入试计算：9992 + 1998 + 12×999×1= (999+1)2 = 106此处运用了什么公式?
完全平方公式逆用 就像平方差公式一样，完全平方公式也可以逆用，从而进行一些简便计算与因式分解。
即：这个公式可以用文字表述为： 两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的两倍，等于这两个数的和（或差）的平方。 牛刀小试(对下列各式因式分解)：
① a2+6a+9 = _________________
② n2–10n+25 = _______________
③ 4t2–8t+4 = _________________
④ 4x2–12xy+9y2 = _____________(a+3)2(n–5)24(t–1)2(2x–3y)2 判断下列各式是否可以
运用完全平方公式进行因式分解① 16x2 + 24x + 9
② – 4x2 + 4xy – y2
③ x2 + 2x – 1
④ 4x2 – 8xy + 4y2
⑤ 1 – 2a2 + a4
⑥ (p+q)2 – 12(p+q) + 36 形如a2±2ab+b2的式子叫做完全平方式。 完全平方式一定可以利用完全平方公式因式分解完全平方式的特点：
1、必须是三项式（或可以看成三项的）
2、有两个同号的平方项
3、有一个乘积项（等于平方项底数的±2倍）
简记口诀：
首平方，尾平方，首尾两倍在中央。① 16x2 + 24x + 9
② – 4x2 + 4xy – y2
④ 4x2 – 8xy + 4y2= (4x+3)2= – (4x2–4xy+y2)= – (2x–y)2= 4 (x2–2xy+y2)= 4 (x–y)2 – 2a2 +
⑥ (p+q)2 – 12(p+q) + 36a41= (a2–1)2= (a+1)2 (a–1)2= [(a+1) (a–1)]2= (p+q–6)2XXX做一做 用完全平方公式进行因式分解。做一做 用恰当的方法进行因式分解。备选方法：
提公因式法
平方差公式
完全平方公式
提高训练(一)④ 给4x2+1加上一个单项式，使它成为一个完全平方式，这个单项式可以是 ________。提高训练(二)提高训练(三)The End15.4.3* 因式分解（高级篇）——因式分解的其他常用方法知识结构因式分解常用方法提公因式法
公式法
十字相乘法
分组分解法
拆项添项法
配方法
待定系数法
求根法
……一、提公因式法 只需找到多项式中的公因式，然后用原多项式除以公因式，把所得的商与公因式相乘即可。往往与其他方法结合起来用。二、公式法 只需发现多项式的特点，再将符合其形式的公式套进去即可完成因式分解，有时需和别的方法结合或多种公式结合。
接下来是一些常用的乘法公式，可以逆用进行因式分解。常用公式
1、(a+b)(a–b)=a2–b2
（平方差公式）
2、(a±b)2=a2±2ab+b2
（完全平方公式）
3、(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
4、a3+b3=(a+b)(a2–ab+b2)
及 a3–b3=(a–b)(a2+ab+b2)
（立方和、差公式）
5、(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
（完全立方和公式）
6、(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq
7、x2+y2+z2+xy+xz+yz公式推导这是公式x2+y2+z2+xy+xz+yz的推导过程
不要与(x+y+z)2=x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz混淆二、公式法 只需发现多项式的特点，再将符合其形式的公式套进去即可完成因式分解，有时需和别的方法结合或多种公式结合。三、十字相乘法①前面出现了一个公式：
(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq
我们可以用它进行因式分解（适用于二次三项式）例1：因式分解x2+4x+3
可以看出常数项 3 = 1×3
而一次项系数 4 = 1 + 3
∴原式=(x+1)(x+3)暂且称为p、q型因式分解例2：因式分解x2–7x+10
可以看出常数项10 = (–2)×(–5)
而一次项系数 –7 = (–2) + (–5)
∴原式=(x–2)(x–5)这个公式简单的说，
就是把常数项拆成两个数的乘积，
而这两个数的和刚好等于一次项系数三、十字相乘法②试因式分解6x2+7x+2。
这里就要用到十字相乘法（适用于二次三项式）。既然是二次式，就可以写成(ax+b)(cx+d)的形式。
(ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd
所以，需要将二次项系数与常数项分别拆成两个数的积，而这四个数中，两个数的积与另外两个数的积之和刚好等于一次项系数，那么因式分解就成功了。= 173 x2 + 11 x + 106 x2 + 7 x + 22
31
24+ 3= 7∴6x2+7x+2=(2x+1)(3x+2)1
35
22+ 15= 111
32
55+ 6∴3x2+11x+10=(x+2)(3x+5)= –65 x2 – 6 xy – 8 y2试因式分解5x2–6xy–8y2。
这里仍然可以用十字相乘法。1
5–2
44– 10∴5x2–6xy–8y2 =(x–2y)(5x+4y)简记口诀：
首尾分解，交叉相乘，求和凑中。四、分组分解法 要发现式中隐含的条件，通过交换项的位置，添、去括号等一些变换达到因式分解的目的。例1：因式分解 ab–ac+bd–cd 。解：原式 = (ab – ac) + (bd – cd)
= a (b – c) + d (b – c)
= (a + d) (b – c)还有别的解法吗？四、分组分解法 要发现式中隐含的条件，通过交换项的位置，添、去括号等一些变换达到因式分解的目的。例1：因式分解 ab–ac+bd–cd 。解：原式 = (ab + bd) – (ac + cd)
= b (a + d) – c (a + d)
= (a + d) (b – c)例2：因式分解 x5+x4+x3+x2+x+1 。解：原式 = (x5+x4+x3)+(x2+x+1)
= (x3+1)(x2+x+1)
= (x+1)(x2–x+1)(x2+x+1)立方和公式回顾例题：因式分解 x5+x4+x3+x2+x+1 。另解：原式 = (x5+x4)+(x3+x2)+(x+1)
= (x+1)(x4+x2+1)
= (x+1)(x4+2x2+1–x2)
= (x+1)[(x2+1)2–x2]
= (x+1)(x2+x+1)(x2–x+1)五*、拆项添项法怎么结果与刚才不一样呢？因为它还可以继续因式分解 拆项添项法对数学能力有着更高的要求，需要观察到多项式中应拆哪一项使得接下来可以继续因式分解，要对结果有一定的预见性，尝试较多，做题较繁琐。
最好能根据现有多项式内的项猜测可能需要使用的公式，有时要根据形式猜测可能的系数。五*、拆项添项法因式分解 x4 + 4解：原式 = x4 + 4x2 + 4 – 4x2
= (x2+2)2 – (2x)2
= (x2+2x+2)(x2–2x+2)完全平方公式平方差公式配方法 配方法是一种特殊的拆项添项法，将多项式配成完全平方式，再用平方差公式进行分解。因式分解 a2–b2+4a+2b+3 。解：原式 = (a2+4a+4) – (b2–2b+1)
= (a+2)2 – (b–1)2
= (a+b+1)(a–b+3)配方法 (拆项添项法)分组分解法完全平方公式平方差公式六*、待定系数法试因式分解 2x2+3xy–9y2+14x–3y+20。通过十字相乘法得到 (2x–3y)(x+3y)
设原式等于(2x–3y+a)(x+3y+b)
通过比较两式同类项的系数可得：
解得： ，∴原式 = (2x–3y+4)(x+3y+5)= 3= 1410+ 42 x2 + 3 xy – 9 y2 + 14 x – 3 y + 20双十字相乘法 双十字相乘法适用于二次六项式的因式分解，而待定系数法则没有这个限制。因式分解 2x2+3xy–9y2+14x–3y+20。2
1–3
36– 34
5= –312– 15∴原式 = (2x–3y+4)(x+3y+5)七*、求根法 设原多项式等于零，解出方程的解 x1、x2……，则原式就可以分解为(x–x1)(x–x2)(x–x3)……更多的方法需要同学们自己去寻找 !
多练才能拥有自己的解题智慧 !综合训练(一)综合训练(二)2、x2y–y2z+z2x–x2z+y2x+z2y–2xyz因式分解后的结果是( )。
A. (y–z)(x+y)(x–z) B. (y–z)(x–y)(x+z)
C. (y+z)(x–y)(x+z) D. (y+z)(x+y)(x–z)
3、因式分解 x3 + 6x2 + 11x + 6 。综合训练(三)The End