4.2.1 指数函数的概念
【学习目标】 (1)理解指数函数的概念，了解底数的限制条件．(2)了解指数增长型和指数衰减型在实际问题中的应用．
题型 1指数函数的概念
【问题探究1】 问题1：某种细胞分裂时，每次每个细胞分裂为2个细胞，则1个这样的细胞第1次分裂后变为2个细胞，第2次分裂后变为4个细胞，第3次分裂后变为8个细胞……设第x次分裂后变为y个细胞．
问题2：质量为1的一种放射性物质不断衰变为其他物质，每经过1年剩余的质量约是原来的60%，设经过x年后剩余的质量为y.
(1)以上两个问题中，y关于x的函数解析式分别是什么？
(2)以上两个函数解析式的共同特征是什么？
例1 (1)下列函数中指数函数的个数是( )
①y＝2·3x ②y＝3x＋1 ③y＝3x ④y＝(2a－1)x(a为常数，a>，a≠1) ⑤y＝x3 ⑥y＝ ⑦y＝(－4)x
A．1 B．2 C．3 D．4
(2)若函数y＝(2a－1)x(x是自变量)是指数函数，则a的取值范围是( )
A．(0，1)
C．(，1)，＋∞)
学霸笔记：
指数函数的解析式必须具有三个特征
(1)底数a为大于0且不等于1的常数；
(2)指数位置是自变量x；
(3)ax的系数是1.
跟踪训练1 (1)下列函数中为指数函数的是( )
A．y＝2·3x B．y＝－3x
C．y＝3－x D．y＝1x
(2)若函数f(x)＝(a2－3)·ax为指数函数，则a＝________．
题型 2求指数函数的解析式或求值
例2 设f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)，其图象经过点()．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若f(2m)＝4，f(n)＝25，求2m＋n的值．
学霸笔记：(1)求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的参数，从而得到函数的解析式，其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键．
(2)求指数函数的函数值的关键是求出指数函数的解析式．
跟踪训练2 已知函数f(x)为指数函数，且f(－)＝，则f(－2)＝________．
题型 3指数增长型和指数衰减型函数的实际应用
【问题探究2】 将一张报纸连续对折，折叠次数x与对应的层数y之间存在什么关系？对折后的面积S(设原面积为1)与折叠的次数有怎样的关系？
例3 光线通过一块玻璃，强度要损失10%，设光线原来的强度为k，通过x块这样的玻璃以后强度为y．
(1)写出y关于x的函数解析式；
(2)通过20块这样的玻璃后，光线强度约为多少？(参考数据：0.920≈0.12)
学霸笔记：
关于函数y＝kax在实际问题中的应用
(1)解决这类问题的关键是理解增长(衰减)率的意义：增长(衰减)率是所研究的对象在“单位时间”内比它在“前单位时间”内的增长(衰减)率．
(2)主要解法用待定系数法，根据条件确定出解析式中的系数后，利用指数运算解题．
跟踪训练3 春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出的荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了________天．
随堂练习
1.下列是指数函数的是( )
A．y＝－3x B．y＝2x2－1
C．y＝axD．y＝πx
2．若函数f(x)是指数函数，且f(2)＝2，则f(x)＝( )
A．()x B．2x
C．()x D．()x
3．若y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则有( )
A．a＝1或2 B．a＝1
C．a＝2 D．a>0且a≠1
4．某地为了保持水土资源，实行退耕还林，如果2018年退耕8万公顷，以后每年比上一年增加10%，那么2023年需退耕________．
课堂小结
1.判断一个函数是指数函数的方法．
2．求指数函数解析式．
3．指数函数在实际问题中的应用．
4．2.1 指数函数的概念
问题探究1 提示：(1)问题1中y＝2x；问题2中y＝0.6x.
(2)函数的解析式是幂的形式，底数是常数，未知数x出现在指数位置上．
例1 解析：(1)对①：指数式的系数为2，不是1，故不是指数函数；
对②：其指数为x＋1，不是x，故不是指数函数；
对③④：满足指数函数的定义，故都是指数函数；
对⑤：是幂函数，不是指数函数；
对⑥：指数式的系数为－1，不是1，故不是指数函数；
对⑦：指数的底数为－4，不满足底数大于零且不为1的要求，故不是；
综上，是指数函数的只有③④.故选B.
(2)依题意得2a－1＞0且2a－1≠1，解得a＞，且a≠1.
答案：(1)B (2)C
跟踪训练1 解析：(1)根据指数函数的定义知，y＝ax(a>0，a≠1)，可得函数y＝2·3x不是指数函数；函数y＝－3x不是指数函数；函数y＝3－x是指数函数；函数y＝1x不是指数函数．故选C.
(2)因为函数f(x)＝(a2－3)·ax为指数函数，所以，解得a＝2.
答案：(1)C (2)2
例2 解析：(1)因为f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)的图象经过点()，
所以＝，所以a＝10，所以f(x)＝10x.
(2)因为f(2m)＝4，f(n)＝25，
所以102m＝4，10n＝25，
所以102m·10n＝100，
所以102m＋n＝102，
所以2m＋n＝2.
跟踪训练2 解析：∵函数f(x)为指数函数，设f(x)＝ax(a>0，且a≠1), 由f(－)＝，
得＝＝＝ ，所以a＝3，即f(x)＝3x，
∴f(－2)＝3－2＝.
答案：
问题探究2 提示：
折叠次数 对应层数 对折后的面积S
x＝1 y＝2＝21 S＝
x＝2 y＝4＝22 S＝＝()2
x＝3 y＝8＝23 S＝＝()3
… … …
由上面的对应关系，我们可以归纳出第x次折叠后对应的层数为y＝2x(x∈N*)，对折后的面积S＝()x(x∈N*)．
例3 解析：(1)光线经过1块玻璃后强度为(1－10%)k＝0.9k，
光线经过2块玻璃后强度为(1－10%)·0.9k＝0.92k，
光线经过3块玻璃后强度为(1－10%)·0.92k＝0.93k，
……
光线经过x块玻璃后强度为0.9xk，
∴y＝0.9xk(x∈N*)．
(2)将x＝20代入函数解析式，∵0.920≈0.12，∴y＝0.920k≈0.12k，即光线强度约为0.12k.
跟踪训练3 解析：设荷叶覆盖水面的初始面积为a，则x天后荷叶覆盖水面的面积y＝a·2x(x∈N*)．
根据题意，令2(a·2x)＝a·220，解得x＝19.
答案：19
[随堂练习]
1．解析：根据指数函数的特征：系数为1，底数满足a>0且a≠1，自变量在指数位置可知，A，B，C不满足，D满足．故选D.
答案：D
2．解析：由题意，设f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，因为f(2)＝2，所以a2＝2，解得a＝.所以f(x)＝()x .故选A.
答案：A
3．解析：因为y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，所以，解得a＝2.故选C.
答案：C
4．解析：根据题意，2018年退耕8万公顷，记为8(万公顷)，以后每年比上一年增加10%，即是上一年的1＋10%＝1.1倍， 2019年退耕(8×1.1)万公顷，2020年退耕(8×1.12)万公顷，……，2023年退耕(8×1.15)万公顷．
答案：8×1.15万公顷第1课时 指数函数的图象和性质(一)
【学习目标】 (1)理解指数函数的概念和意义，会画指数函数的图象．(2)探索并理解指数函数的单调性和特殊点．(3)学会利用指数函数的图象和性质求函数的定义域、值域．
题型 1指数函数的图象
【问题探究】 在同一坐标系中用描点法作下列函数图象(1.列表，2.描点，3.连线)．
(1)y＝2x和y＝3x的图象．
(2)y＝()x和y＝()x的图象．
观察上图这四个图象有何特点？
问题1：图象分别在哪几个象限？
问题2：图象的上升、下降与底数a有联系吗？
问题3：图象有哪些特殊的点？
问题4：图象定义域和值域？
例1 如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为( )
A.a＜b＜1＜c＜d
B．b＜a＜1＜d＜c
C．1＜a＜b＜c＜d
D．a＜b＜1＜d＜c
学霸笔记：
解决指数函数图象问题应抓住两点
(1)熟记当底数a＞1和0＜a＜1时，图象的大体形状．
(2)在y轴右侧，指数函数的图象“底大图高”．
跟踪训练1 函数①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx；④y＝dx的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：中的一个，则a，b，c，d的值分别是( )
A．
B．
C．
D．
题型 2与指数函数有关的定义域、值域问题
例2 求下列函数的定义域与值域．
(1)y＝；(2)y＝()|x|.
题后师说
1．指数型函数y＝af(x)的定义域的求法，函数y＝y＝af(x)的定义域与y＝f(x)的定义域相同．
2．求指数型函数y＝af(x)的值域的一般步骤
跟踪训练2 (1)y＝2x－1的定义域是( )
A．(－∞，＋∞) B．(1，＋∞)
C．[1，＋∞) D．(0，1)
(2)函数y＝3x＋2的值域是________．
题型 3指数函数图象的应用
例3 (1)函数f(x)＝2ax－3＋1(a>0，且a≠0)的图象必经过点________.
(2)若直线y＝2a与函数y＝|2x－1|的图象有两个公共点，求实数a的取值范围．
学霸笔记：与指数函数相关的图象问题
(1)定点问题：令函数解析式中的指数为0，即可求出横坐标，再求纵坐标即可．
(2)平移问题：一般遵循“左加右减、上加下减”的原则．
跟踪训练3 (1)函数y＝ax＋1－1(a>0，且a≠1)的图象过定点( )
A．(－1，1) B．(－1，0)
C．(0，1) D．(0，0)
(2)若函数g(x)＝()x＋m－3的图象不经过第一象限，则m的取值范围为________．
随堂练习
1.若函数f(x)＝ax＋b的图象如图所示，且f(－1)＝0，则实数a，b的值可能为( )
A.a＝3，b＝－3
B．a＝，b＝－
C．a＝2，b＝－
D．a＝，b＝－2
2．函数f(x)＝()x－2的图象不经过( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．函数f(x)＝a2x＋1－1(a>0，且a≠1)的图象恒过点的坐标为( )
A．(0，1) B．(0，－1)
C．(－，0) D．(－，－1)
4．函数y＝的定义域为________．
课堂小结
1.指数函数的图象和性质．
2．对于形如y＝af(x)与y＝f(ax)的函数，求其定义域和值域要利用换元的思想方法，结合函数的单调性求解．
3．作指数函数的图象，要抓住其单调性，过定点等特征，并结合图象的平移、翻折等变换规则进行．
第1课时 指数函数的图象和性质(一)
问题探究1 提示：图象如图
问题1：图象分别在第一、二象限．
问题2：有．当a>1时，图象上升；当0
问题3：都过定点(0，1)．
问题4：定义域为R，值域为(0，＋∞)．
例1 解析：由图象可知③④的底数必大于1，①②的底数必小于1.过点(1，0)作直线x＝1，如图所示，在第一象限内直线x＝1与各曲线的交点的纵坐标即为各指数函数的底数，则1答案：B
跟踪训练1 解析：由题图，直线x＝1与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c，d，a，b，而>>>.故选C.
答案：C
例2 解析：(1)因为y＝，所以x≠3，故定义域为{x|x≠3}．
设t＝，因为x≠3，所以t≠0.
因为y＝2t，t≠0，所以y>0且y≠1，故值域为{y|y>0且y≠1}．
(2)函数y＝()|x|，x∈R，所以定义域为R.
设t＝|x|≥0，因为y＝()t，t≥0，所以0跟踪训练2 解析：(1)因为y＝2x－1，所以x∈R，故选A.
(2)因为3x>0，
所以y＝3x＋2>2，
所以值域为：y∈(2，＋∞)．
答案：(1)A (2)(2，＋∞)
例3 解析：(1)因为函数f(x)＝2ax－3＋1，其中a>0，a≠1，
令x－3＝0得x＝3，把x＝3代入函数的解析式得y＝3，
所以函数f(x)＝2ax－3＋1 (a>0，且a≠1)的图象必经过点的坐标为(3，3)．
(2)y＝|2x－1|＝，
作直线y＝2a与函数y＝|2x－1|的图象如图．
要使直线y＝2a与函数y＝|2x－1|的图象有两个公共点，
只要0＜2a＜1，可得0＜a＜.
实数a的取值范围(0，)．
答案：(1)(3，3) (2)(0，)
跟踪训练3 解析：(1)由指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(0，1)，
所以在函数y＝ax＋1－1中，当x＝－1时，恒有y＝0，
所以y＝ax＋1－1(a>0，且a≠1)的图象过定点(－1，0)．故选B.
(2)由题知g＝x＋m－3，
若函数g(x)单调递减，其图象不经过第一象限，必有图象与y轴交点不在y轴正半轴上，
只需g(0)≤0即可，即()m－3≤0，解得： m≥－1.
答案：(1)B (2)[－1，＋∞)
[随堂练习]
1．解析：由函数f(x)＝ax＋b的图象，可得函数f(x)为单调递增函数，所以a>1，又由f(－1)＝0，可得a－1＋b＝0，可得ab＝－1，结合选项，只有C项适合．故选C.
答案：C
2．解析：画出函数f(x)＝()x－2的图象，由图可知其图象不过第一象限．
故选A.
答案：A
3．解析：令2x＋1＝0，解得x＝－，此时y＝0，所以函数f(x)＝a2x＋1－1(a>0，且a≠1)的图象恒过点的坐标为(－，0)，故选C.
答案：C
4．解析：函数y＝的定义域与函数y＝的定义域相同，又函数y＝的定义域为{x|x≠1}．
答案：{x|x≠1}第2课时 指数函数的图象和性质(二)
【学习目标】 (1)进一步熟练掌握指数函数的图象、性质．(2)会求指数形式的函数定义域、值域、最值，以及能判断与证明单调性．(3)能够利用指数函数的图象和性质比较数的大小、解不等式．
题型 1利用指数函数的单调性比较大小
例1 比较下列各组数中两个值的大小关系：
(1)3.10.5，3.12.3；
(2)()－1.5，()－1.8；
(3)0.62，0.63；
(4)()－0.3，()－0.24；
(5)0.53.2，1.32.1；
(6)2.3－2.5，0.2－0.1.
题后师说
比较幂大小的一般策略
跟踪训练1 (1)若a＝，b＝20.3，c＝0.93.1，则( )
A．b>c>a B．b>a>c
C．c>a>b D．a>b>c
(2)设a＝0.81.1，b＝0.80.8，c＝1.10.8，则a，b，c的大小关系为( )
A．bC．a题型 2利用指数型函数的单调性解不等式
例2 (1)函数y＝的定义域为( )
A．(－∞，－1] B．[－1，＋∞)
C．[－1，0] D．[0，1]
(2)若ax＋1＞()5－3x (a＞0，且a≠1)，求x的取值范围．
题后师说
利用指数函数单调性解不等式的步骤
跟踪训练2 (1)函数y＝的定义域为( )
A．(－∞，3) B．(－∞，3]
C．(3，＋∞) D．[3，＋∞)
(2)解关于x的不等式()x－4≥3－2x .
题型 3指数函数图象和性质的综合应用
例3 已知函数f(x)＝为奇函数．
(1)求实数a的值；
(2)判断f(x)在R上的单调性(不必证明)；
(3)解关于t的不等式f(t2－2t)＋f(2t2－1)<0.
题后师说
有关指数函数性质综合问题的求解策略
跟踪训练3 设函数f(x)＝ax＋mbx，其中a，m，b∈R.
(1)若a＝2，b＝，且f(x)为R上的偶函数，求实数m的值；
(2)若a＝4，b＝2，且f(x)在R上有最小值，求实数m的取值范围．
随堂练习
1.a＝20.7，b＝40.37，c＝()－1.8，则a、b、c的大小关系为( )
A．aC．c2．函数y＝的定义域为( )
A．(－∞，3] B．[3，＋∞)
C．(－∞，2] D．[2，＋∞)
3．若()4a＋2<()8－3a，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，) B．(－∞，)
C．(，＋∞) D．(，＋∞)
4．已知函数f(x)＝(a>0，且a≠1)为偶函数，则实数a的值为________．
课堂小结
1.比较指数式值大小的方法．
2．解简单指数不等式．
3．指数函数性质的综合应用．
第2课时 指数函数的图象和性质(二)
例1 解析：(1)由题意，由于指数函数y＝3.1x在R上单调递增，且0.5<2.3，故3.10.5<3.12.3.
(2)由题意，由于指数函数y＝()x在R上单调递增，
且－1.5>－1.8，故()－1.5>()－1.8.
(3)由题意，由于指数函数y＝0.6x在R上单调递减，
且2<3，故0.62>0.63.
(4)由题意，由于指数函数y＝()x在R上单调递减，
且－0.3<－0.24，故()－0.3>()－0.24.
(5)由题意，由于指数函数y＝0.5x在R上单调递减，y＝在R上单调递增，故0.53.2<0.50＝1，1.32.1>1.30＝1，故1.32.1>0.53.2.
(6)由题意，由于指数函数y＝2.3x在R上单调递增，y＝在R上单调递减，故2.3－2.5<2.30＝1，0.2－0.1>0.20＝1，故0.2－0.1>2.3－2.5.
跟踪训练1 解析：(1)因为函数y＝2x在区间(－∞，＋∞)上单调递增，>0.3>0，所以>20.3>20＝1，函数y＝在区间(－∞，＋∞)上单调递减，3.1>0，所以0.93.1<0.90＝1，综上可得>20.3>1>0.93.1，即a>b>c.故选D.
(2)因为函数y＝0.8x为减函数，所以0.81.1<0.80.8<1，即a1，所以a答案：(1)D (2)C
例2 解析：(1)由题意可得2－()x≥0，即()x≤2＝()－1，∵y＝()x为减函数，∴x≥－1.因此，函数y＝的定义域为[－1，＋∞)．故选B.
(2)因为ax＋1＞()5－3x，所以当a＞1时，y＝ax为增函数，可得x＋1＞3x－5，所以x＜3.
当0＜a＜1时，y＝ax为减函数，可得x＋1＜3x－5，所以x＞3.
综上，当a＞1时，x的取值范围为(－∞，3)，
当0＜a＜1时，x的取值范围为(3，＋∞)．
答案：(1)B (2)见解析
跟踪训练2 解析：(1)由题意得2x－8≥0，所以2x≥23，解得x≥3.故选D.
(2)不等式()x－4≥3－2x即34－x≥3－2x，
由于y＝3x在R上单调递增，所以4－x≥－2x，x≥－4，
所以不等式的解集为[－4，＋∞)．
答案：(1)D (2)见解析
例3 解析：(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数，可得 x∈R，都有f(－x)＝－f(x)，
令x＝0，可得f(0)＝＝＝0，解得a＝1，
所以f(x)＝，此时满足f(－x)＝＝－＝－f(x)，
所以函数f(x)是奇函数，
所以a＝1.
(2)f(x)在R上单调递增；
理由如下：因为f(x)＝＝1－，
函数y＝3x＋1单调递增，函数y＝1－在(0，＋∞)上单调递增，
所以f(x)＝1－在R上单调递增．
(3)因为f(x)为奇函数，可得f(t2－2t)<－f(2t2－1)＝f(1－2t2)，
又f(x)在R上单调递增，所以t2－2t<1－2t2，
解得－所以原不等式的解集为.
跟踪训练3 解析：(1)当a＝2，b＝时，f(x)＝.
又f(x)在R上是偶函数，所以f(1)＝2＋＝f(－1)＝＋2m，所以m＝1.
此时f(x)＝2x＋()x，则f(－x)＝()x＋2x＝f(x)，所以f(x)为偶函数，符合题意．
综上，m＝1.
(2)当a＝4，b＝2时，f(x)＝4x＋m·2x.
令t＝2x>0，则g(t)＝t2＋mt在(0，＋∞)上有最小值，所以－>0，得m<0.
所以实数m的取值范围是(－∞，0)．
[随堂练习]
1．解析：因为b＝40.37＝(22)0.37＝20.74，c＝()－1.8＝21.8，函数y＝2x在R上为增函数，所以20.7<20.74<21.8，即a答案：A
2．解析：要使得函数y＝有意义，则3x－9≥0，3x≥9，3x≥32，解得x≥2.故函数的定义域为[2，＋∞)．故选D.
答案：D
3．解析：因为函数y＝()x是减函数，且()4a＋2<()8－3a，所以4a＋2>8－3a，解得a>，即实数a的取值范围是(，＋∞)．故选D.
答案：D
4．解析：因为函数f(x)＝(a>0，且a≠1)为偶函数，所以f(－x)＝＝＝，则有2x＝a2x，所以a＝.
答案：4.3.1 对数的概念
【学习目标】 (1)了解对数、常用对数、自然对数的概念．(2)能进行对数式与指数式的互化．(3)掌握对数的性质，能进行简单的对数计算．
题型 1指数式与对数式的互化
【问题探究1】 在教材4.2.1的问题1中，通过指数幂运算，我们能从y＝1.11x中求出经过4年后B地景区的游客人次为2001年的倍数y.反之，如果要求经过多少年游客人次是2001年的2倍，3倍，4倍，…，那么该如何解决？
例1 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1)54＝625；(2)log216＝4；(3)10－2＝0.01；＝6.
题后师说
指数式与对数式互化的思路
跟踪训练1 (多选)下列指数式与对数式互化正确的一组是( )
A．e0＝1与ln 1＝0
B．log39＝2与＝3
＝与log8＝－
D．log77＝1与71＝7
题型 2利用指数式与对数式的关系求值
例2 求下列各式中的x的值．
(1)logx27＝；(2)log2x＝－；
(3)x＝log27；(4)x＝.
学霸笔记：
对数式中求值的基本思想和方法
(1)基本思想
在一定条件下求对数式的值，或求对数式中参数字母的值，要注意利用方程思想求解．
(2)基本方法
①将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题．
②利用幂的运算性质和指数的性质计算．
跟踪训练2 (1)已知log2m＝2 023，log2n＝2 022，则＝( )
A．2 B．
C．10 D．
(2)已知loga2＝m，loga3＝n，则a2m－n＝________．
题型 3利用对数性质求值
例3 求下列各式中x的值：
(1)log2(log5x)＝0；
(2)log3(lg x)＝1；
(3)log3[log4(log5x)]＝0；
(4)＝9.
一题多变 本例(3)中若将“log3[log4(log5x)]＝0”改为“log3[log4(log5x)]＝1”，又如何求解x呢？
学霸笔记：
利用对数的性质求值的方法
(1)求解此类问题时，应根据对数的两个结论loga1＝0和logaa＝1(a＞0，且a≠1)，进行变形求解，若已知对数值求真数，则可将其化为指数式运算．
(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解．
跟踪训练3 (1)已知log2[log3(log4x)]＝log3[log4(log2y)]＝0，求x＋y的值．
(2)求－＋103lg 3＋的值．
随堂练习
1.对数式M＝log(a－3)(10－2a)中，实数a的取值范围是( )
A．(－∞，5) B．(3，5)
C．(3，＋∞) D．(3，4)
2．2－3＝化为对数式为( )
＝＝2
C．log2＝－3 D．log2(－3)＝
3．方程log2x＝的解为( )
A． B．
C． D．
4．若＝0，则x＝________．
课堂小结
1.对数的定义和性质．
2．对数和指数的互化．
3．利用对数式与指数式的关系求值．
4．利用对数性质求值．
4．3.1 对数的概念
问题探究 提示：上述问题实际上就是从2＝1.11x，3＝， 4＝1.11x，…中分别求出x，即已知底数和幂的值，求指数．这是本节要学习的对数．
例1 解析：(1)由54＝625得log5625＝4.
(2)由log216＝4得24＝16.
(3)由10－2＝0.01得lg 0.01＝－2.
(4)由＝6得()6＝125.
跟踪训练1 解析：对于e0＝1可化为：0＝loge1＝ln 1＝0，A正确；对于log39＝2可化为：32＝9，B不正确；对于＝可化为：log8＝，C不正确；对于log77＝1可化为：71＝7，D正确．故选AD.
答案：AD
例2 解析：(1)由logx27＝，可得＝27，
∴x＝＝＝32＝9.
(2)由log2x＝－，可得x＝，
∴x＝＝＝.
(3)由x＝log27，可得27x＝，
∴33x＝3－2，∴x＝－.
(4)由x＝，可得()x＝16，
∴2－x＝24，∴x＝－4.
跟踪训练2 解析：(1)m＝22 023，n＝22 022，所以＝＝.故选B.
(2)由已知得am＝2，an＝3，所以a2m－n＝＝＝.
答案：(1)B (2)
例3 解析：(1)因为log2(log5x)＝0，
所以log5x＝20＝1，所以x＝51＝5.
(2)因为log3(lg x)＝1，所以lg x＝31＝3，
所以x＝103＝1 000.
(3)由log3[log4(log5x)]＝0可得log4(log5x)＝1，故log5x＝4，所以x＝54＝625.
(4)由3log3＝9可得log3＝2，即＝9，解得x＝81.
一题多变 解析：因为log3[log4(log5x)]＝1，
所以log4(log5x)＝3，则log5x＝43＝64，所以x＝564.
跟踪训练3 解析：(1)因为log2[log3(log4x)]＝0，
所以log3(log4x)＝1，所以log4x＝3.
所以x＝43＝64.同理求得y＝16.所以x＋y＝80.
(2)原式＝31×3log36－24×2log23＋(10lg 3)3＋3－2×log34
＝3×6－16×3＋33＋(3log34)－2
＝18－48＋27＋＝－.
[随堂练习]
1．解析：由题意得，解得3答案：D
2．解析：由指数与对数的互化可知：log2＝－3.故选C.
答案：C
3．解析：方程log2x＝，化为：x＝＝.故选D.
答案：D
4．解析：log2x)＝1 log2x＝，故x＝.
答案：4．3.2 对数的运算
第1课时 对数的运算
【学习目标】 (1)掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立的条件．(2)能熟练运用对数的运算性质进行化简求值．
题型 1对数运算性质的正用
【问题探究1】 类比指数运算性质能得出其相应对数运算性质，并写出推导过程．
例1 (1)求值：log2(25×)；
(2)用ln x，ln y，ln z表示ln ；
(3)已知lg 2＝a，lg 3＝b，试用a，b表示lg 1.2.
学霸笔记：正用对数运算性质化简求值关键是熟记积、商、幂的对数运算公式．
跟踪训练1 (1)用logax，logay，logaz表示loga；
(2)已知lg 2＝a，lg 3＝b，试用a，b表示lg .
题型 2对数运算性质的逆用
例2 计算下列各式的值：
(1)；
(2)(log62)2＋(log63)2＋3log62×(log6log62).
学霸笔记：逆用积、商、幂的对数运算公式求值时，严格按照公式的要求去运用．
跟踪训练2 计算下列各式的值：
(1)2log32＋log3－log36；
(2)lg 8＋lg 125－lg 2－lg 5.
题型 3对数运算性质的综合应用
例3 计算下列各式的值：
(1)lg lg ＋lg ；
(2).
题后师说
利用对数运算性质求值的2种策略
跟踪训练3 计算下列各式的值：
(1)log23＋3log2－log2；
(2)lg 52＋lg 8＋lg 5lg 20＋(lg2)2.
随堂练习
1.log416＝( )
A． B．2
C．4 D．8
．＝( )
A．10 B．1
C．2 D．lg 5
3．已知5a＝2，b＝log53，则log518＝( )
A．a＋3b B．a＋2b
C．2a＋b D．3a＋b
4．2lg 5＋lg 12－lg 3＝________．
课堂小结
1.在各对数有意义的前提下才能应用运算性质．
2．根据不同的问题选择公式的正用、逆用．
第1课时 对数的运算
问题探究 提示：(1)设M＝am，N＝an，(a>0，且a≠1)
∵aman＝am＋n，
∴MN＝am＋n，
由对数与指数的关系可得
logaM＝m，logaN＝n，
loga(MN)＝m＋n，
∴loga(MN)＝logaM＋logaN.
(2)设M＝am，N＝an，(a>0，且a≠1)
∵＝am－n，
∴＝am－n，
∴loga()＝m－n
＝logaM－logaN.
(3)设M＝am，(a>0，且a≠1)
∵(am)n＝amn，
∴Mn＝amn，
∴logaMn＝mn＝nlogaM.
例1 解析：(1)log2(25×)＝＝5＋＝.
(2)ln ＝ln (y4)－ln ＝ln ＋ln y4－ln
＝ln x＋4ln y－ln z.
(3)lg 1.2＝lg ＝lg 3＋2lg 2－1＝2a＋b－1.
跟踪训练1 解析：(1)loga＝loga－loga(yz)＝logax－logay－logaz；
(2)lg ＝lg 25－lg 18＝lg 52－lg (32×2)＝2lg 5－lg 32－lg 2＝2lg －2lg 3－lg 2＝2(lg 10－lg 2)－2lg 3－lg 2
＝2lg 10－2lg 2－2lg 3－lg 2
＝2－3a－2b.
例2 解析：(1)原式＝＝＝1.
(2)原式＝(log62)2＋(log63)2＋3log62×log6
＝(log62)2＋(log63)2＋3log62×log6
＝(log62)2＋(log63)2＋2log62×log63
＝(log62＋log63)2＝1.
跟踪训练2 解析：(1)2log32＋log3－log36＝log3(22×÷6)＝log3＝－log39＝－2.
(2)lg 8＋lg 125－lg 2－lg 5＝(lg 8＋lg 125)－(lg 2＋lg 5)＝lg (8×125)－lg 10＝lg ＝lg 100＝2.
例3 解析：(1)原式＝
＝(lg 5＋2lg 7)
＝lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 5＋lg 7
＝lg 2＋lg 5
＝lg (2×5)＝.
(2)
＝
＝
＝
＝
＝＝－.
跟踪训练3 解析：(1)log23＋3log2－log2
＝＋log2()3－log2
＝log2＝log22＝1.
(2)lg 52＋lg 8＋lg 5lg 20＋(lg 2)2
＝2lg 5＋2lg 2＋(1－lg 2)(1＋lg 2)＋(lg 2)2
＝2(lg 5＋lg 2)＋1
＝3.
[随堂练习]
1．解析：log416＝log442＝2log44＝2，故选B.
答案：B
2．解析：＝lg ()2＋lg ＝lg 5＋lg 2＝lg 10＝1.故选B.
答案：B
3．解析：因为5a＝2，所以a＝log52.则log518＝log52＋log59＝log52＋2log53，所以log518＝a＋2b.故选B.
答案：B
4．解析：2lg 5＋lg 12－lg 3＝2lg 5＋lg ＝2lg 5＋lg 4＝2(lg 5＋lg 2)＝2lg 10＝2.
答案：2第2课时 换底公式
【学习目标】 (1)掌握换底公式及其推论．(2)能熟练运用对数的运算性质、换底公式进行化简求值．
题型 1对数换底公式的应用
【问题探究】 (1)根据对数的定义，你能利用lg 2，lg 3的值求log23的值吗？(lg 2，lg 3可利用计算器查得)
(2)把(1)一般化，由对数的定义，你能否用logca，logcb表示logab(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1)吗？
例1 (1)计算：(log32＋log92)(log43＋log23)；
(2)已知log23＝a，log37＝b，试用a，b表示log1456.
题后师说
利用换底公式进行化简求值的原则和技巧
跟踪训练1 (1)计算log25×log32×log53的值；
(2)已知lg 2＝a，lg 3＝b，试用a、b表示log215.
题型 2对数运算性质与换底公式的综合应用
例2 设4a＝5b＝m，且＋＝1，求m的值．
一题多变 将本例条件改为“4a＝5b＝10”，求＋的值．
学霸笔记：
利用等式运算性质与换底公式求值的方法
(1)在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化．
(2)对于连等式可令其等于k(k＞0)，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解．
跟踪训练2 已知2x＝3y＝5z，且＋＋，求x，y，z.
题型 3实际问题中的对数运算
例3 5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C＝Wlog2(1＋)，它表示在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数里面的1可以忽略不计．按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从2 000提升至12 000，则C大约增加了(参考数据：lg 2＝0.30，lg 3＝0.48)( )
A．24% B．30%
C．36% D．45%
学霸笔记：
对数运算在实际问题中的应用
在与对数相关的实际问题中，先将题目中数量关系理清，再将相关数据代入，最后利用对数运算性质，换底公式进行计算．
跟踪训练3 根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中某类物质的原子总数N约为1050.则下列各数中与最接近的是(参考数据：lg 3≈0.48)( )
A．1093 B．10113
C．10123 D．10133
随堂练习
1.计算log34·log29的值为( )
A．2 B．4
C．6 D．12
2.的值为( )
A．2 B．
C．1 D．
3．若3a＝12b＝4，则＝( )
A．－B．－1
C．D．1
4．若4x＝3，2y＝，则2x＋y的值为________．
课堂小结
1.利用换底公式化简求值．
2．利用对数运算性质与换底公式化简求值．
3．对数运算在实际问题中的应用．
4．3.2 对数的运算
第2课时 换底公式
问题探究 提示：(1)设log23＝p，由对数的定义可得2p＝3，两边取以10为底的对数，可得lg 2p＝lg 3，根据对数的性质得p＝，所以log23＝.
(2)logab＝.
例1 解析：(1)原式＝(log32＋log32)(log23＋log23)＝log32·log23＝.
(2)log1456＝＝.
∵log27＝log23·log37＝ab.
∴log1456＝.
跟踪训练1 解析：(1)log25×log32×log53
＝＝1.
(2)log215＝＝＝＝.
例2 解析：由4a＝5b＝m，可得a＝log4m，b＝log5m，
所以＝logm4＋3logm5＝logm(4×53)＝1，解得m＝4×53＝500.
一题多变 解析：由4a＝5b＝10，得a＝log410，b＝log510，
所以＝＝lg 4＋2lg 5＝lg (4×25)＝2.
跟踪训练2 解析：令2x＝3y＝5z＝k(k>0)，
∴x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k，
∴＝logk2，＝logk3，＝logk5，
由＝1，得logk2＋logk3＋logk5＝logk30＝1，
∴k＝30，
∴x＝log230＝1＋log215，y＝log330＝1＋log310，z＝log530＝1＋log56.
例3 解析： 当＝2 000时，C1＝Wlog2(1＋2 000)≈Wlog22 000，
当＝12 000时，C2＝Wlog2(1＋12 000)≈Wlog212 000，
∴≈＝＝≈1.24，
所以将信噪比从2 000提升至12 000，则C大约增加了24%.故选A.
答案：A
跟踪训练3 解析：因为M≈3361，N≈1050，所以lg M≈361×lg 3，lg N≈50，lg ＝lg M－lg N≈361×0.48－50≈123，所以≈10123.故选C.
答案：C
[随堂练习]
1．解析：由换底公式得log34·log29＝·＝·＝4，故选B.
答案：B
2．解析：＝＝＝.故选D.
答案：D
3．解析：由3a＝12b＝4可知，a＝log34，b＝log124，
即＝＝＝－＝－1.故选B.
答案：B
4．解析：因为4x＝3，所以x＝log43＝log23；又2y＝，所以y＝log2，所以2x＋y＝2×log23＋log2＝log23＋log2＝log2(×3)＝log28＝log223＝3.
答案：34．4.2 对数函数的图象和性质
第1课时 对数函数的图象和性质(一)
【学习目标】 (1)通过描点法画对数函数的图象，推导对数函数的图象与性质．(2)能利用对数函数的单调性，比较函数值的大小、解方程、解不等式．
题型 1对数函数的图象和性质
【问题探究】 请你用列表、描点、连线的方法在同一坐标系中画出下列函数的图象：
(1)y＝log2x；(2)y＝log5x；(3)y＝；(4)y＝.
并根据图象说出这四个函数的图象特征．
例1 (1)如图所示的曲线是对数函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为________．
(2)函数y＝loga(2x＋7)－2(a>0，且a≠1)的图象一定经过的点是________．
题后师说
解决与对数函数图象有关问题的策略
跟踪训练1 (1)
已知函数f(x)＝loga(x－b)(a>0，且a≠1，a，b为常数)的图象如图，则下列结论正确的是( )
A．a>0，b<－1
B．a>0，－1C．0D．0(2)函数y＝3loga(x－1)＋2过定点( )
A．(1，0) B．(2，2)
C．(1，1) D．(2，0)
题型 2比较对数值的大小
例2 比较下列各组值的大小：
(1)，；(2)log1.51.6，log1.51.4；
(3)log0.57，log0.67；(4)log3π，log20.8.
题后师说
比较对数值大小的三种常用方法
跟踪训练2 比较下列各组中两个值的大小：
(1)log31.9，log32；(2)log23，log0.32；
(3)log50.4，log60.4.
题型 3解简单对数不等式
例3 解下列关于x的不等式：
(1)log0.7(2x)(2)loga(1－x)一题多变 求函数f(x)＝的定义域．
跟踪训练3 (1)log2x(2)y＝.
随堂练习
1.函数g(x)＝loga(x＋2)(02．已知函数y＝loga(x＋3)＋1(a>0，且a≠1)，则函数恒过定点( )
A．(1，0) B．(－2，0)
C．(0，1) D．(－2，1)
3．已知a＝ln 3，b＝log32，c＝，则a，b，c的大小关系为( )
A．aC．a4．函数f(x)＝的定义域为________．
课堂小结
1.在对数函数y＝logax中，底数a对其图象直接产生影响，学会以分类的观点认识和掌握对数函数的图象和性质．
2．利用对数函数的图象和性质比较大小．
3．利用对数函数的单调性解简单的对数不等式．
4．4 对数函数
4．4.2 对数函数的图象和性质
第1课时 对数函数的图象和性质(一)
问题探究 提示：(1)这四个图象都在y轴右侧，即定义域为(0，＋∞).
(2)y＝log2x与y＝图象关于x轴对称，y＝log5x与y＝图象关于x轴对称．
(3)函数y＝与y＝的图象从左到右是下降的，即函数的减区间为(0，＋∞).
(4)这四个图象均过定点(1，0).
例1 解析：(1)由题图可知函数y＝logax，y＝logbx的底数a＞1，b＞1，函数y＝logcx，y＝logdx的底数0＜c＜1，0＜d＜1.
过点(0，1)作平行于x轴的直线，则直线与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为c，d，a，b，显然b＞a＞1＞d＞c.
(2)由题意得：
令2x＋7＝1，解得x＝－3，
所以y＝－2，
故图象一定经过定点(－3，－2).
答案：(1)b>a>1>d>c (2)(－3，－2)
跟踪训练1 解析：(1)因为函数f(x)＝loga(x－b)为减函数，所以00，即b>－1，又因为函数图象与y轴有交点，所以b<0，所以－1(2)因为loga1＝0(a>0，且a≠1)，所以要求y＝3loga(x－1)＋2恒过定点，则满足解得，所以y＝3loga(x－1)＋2恒过定点(2，2).故选B.
答案：(1)D (2)B
例2 解析：(1)因为函数y＝是(0，＋∞)上的减函数，且0.5<0.6，
所以>.
(2)因为函数y＝log1.5x是(0，＋∞)上的增函数，且1.6>1.4，
所以log1.51.6>log1.51.4.
(3)因为0>log70.6>log70.5，所以<，
即log0.67(4)因为log3π>log31＝0，
log20.8log20.8.
跟踪训练2 解析：(1)因为y＝log3x在(0，＋∞)上递增，所以log31.9(2)因为log23>log21＝0，log0.32log0.32.
(3)在同一直角坐标系中，作出y＝log5x，y＝log6x的图象，再作出直线x＝0.4，
观察图象可得log50.4例3 解析：(1)因为函数y＝log0.7x在(0，＋∞)上为减函数，
所以，解得x>1.
所以不等式的解集为(1，＋∞).
(2)当a>1时，，解得当0当a>1时，不等式的解集为(，1)；当0一题多变 解析：由函数f(x)＝，则，解得x≤3，
所以函数f(x)＝的定义域为(－∞，3].
跟踪训练3 解析：(1)由log2x解得x>4，所以不等式的解集为(4，＋∞).
(2)由题设有－1≥0即≥＝1即0故函数的定义域为(0,].
[随堂练习]
1．解析：当00得x>－2，即函数的定义域为(－2，＋∞)，排除C，故选A.
答案：A
2．解析：令x＋3＝1，解得x＝－2，y＝1，所以函数恒过定点(－2，1)，故选D.
答案：D
3．解析：因为a＝ln 3>ln e＝1，0＝log31答案：B
4．解析：要使y＝有意义，
则，即，解得1答案：(1，2]第2课时 对数函数的图象和性质(二)
【学习目标】 (1)进一步掌握对数函数的图象和性质．(2)了解反函数的概念和图象特点．
题型 1反函数
【问题探究】 在同一坐标系下，画出函数y＝2x与y＝log2x的图象，观察两个函数图象的关系．
例1 已知函数f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，且f(x)的图象过点(5，2)，则a＝________.
学霸笔记：(1)现行教材反函数只要求同底数的指数函数与对数函数．
(2)互为反函数的两个函数具有相同的单调性，图象关于直线y＝x对称，定义域与值域互换．
跟踪训练1 已知函数f(x)＝log3x与g(x)的图象关于y＝x对称，则g(－1)＝( )
A．3 B．
C．1 D．－1
题型 2对数型函数的值域(最值)
例2 已知函数f(x)＝log2(x－4)－log2(x－2)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)求f(x)的值域．
题后师说
求对数型函数y＝logaf(x)(a＞0，且a≠1)
的值域(最值)的步骤
跟踪训练2 已知函数f(x)＝loga(3－x)＋loga(x＋3)(0(1)求函数f(x)的定义域；
(2)若函数f(x)的最小值为－2，求a的值．
题型 3对数函数性质的综合应用
例3 已知函数f(x)＝loga(5＋x)－loga(5－x)(a>0，且a≠1)．
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)判断函数f(x)的奇偶性并给出证明；
(3)求使f(x)>0成立的x的取值范围．
学霸笔记：对数函数的综合问题，常以对数函数为依托，着重考虑对数的运算、对数函数的图象与性质、函数的单调性、奇偶性、值域与最值等，熟悉对数函数的图象与性质及求解函数问题的一般规律和方法是解答这类问题的前提．
跟踪训练3 设f(x)＝为奇函数， a为常数．
(1)求a的值；
(2)证明f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增．
随堂练习
1.下列四个函数中，在整个定义域内单调递减的是( )
A．f(x)＝ B．f(x)＝
C．f(x)＝D．f(x)＝ex
2．函数y＝log3x的反函数为y＝f(x)，则f(2)＝( )
A．9 B．18
C．32 D．36
3．函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为( )
A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)
C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
4．若函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)在区间[2，4]上的最大值与最小值之差为2，则a＝________．
课堂小结
1.与对数函数有关的复合函数的最值或值域．
2．与对数函数有关的复合函数的单调性、奇偶性等的判断方法．
第2课时 对数函数的图象和性质(二)
问题探究 提示：
两个函数图象关于直线y＝x对称．
例1 解析：因为y＝ax(a>0，a≠1)的反函数为f(x)＝logax(a>0，a≠1)，又f(x)的图象过点(5，2)，所以loga5＝2，a2＝5，即a＝.
答案：
跟踪训练1 解析：由题知g(x)是f(x)＝log3x的反函数，所以g(x)＝3x，所以g(－1)＝3－1＝.故选B.
答案：B
例2 解析：(1)因为f(x)＝log2(x－4)－log2(x－2)，
所以，解得x>4，
所以f(x)的定义域为(4，＋∞)．
(2)因为f(x)＝log2(x－4)－log2(x－2)
＝log2＝log2＝log2(1－)，
由(1)知f(x)的定义域为(4，＋∞)，
所以x－2>2，0<<1，0<1－<1，
因为y＝log2x是增函数，所以f(x)故f(x)的值域为(－∞，0)．
跟踪训练2 解析：(1)对于函数f(x)＝loga(3－x)＋loga(x＋3)(0因此，函数f(x)的定义域为(－3，3)．
(2)因为f(x)＝loga(9－x2)，且－3因为0故f(x)min＝loga9＝－2，可得a－2＝9，∵0例3 解析：(1)由题意可知，解得－5所以函数f(x)的定义域为(－5，5)．
(2)函数f(x)为奇函数；
证明：因为f(x)＝loga(5＋x)－loga(5－x)的定义域为(－5，5)，
设 x∈(－5，5)，则－x∈(－5，5)，
所以f(－x)＝loga(5－x)－loga(5＋x)＝－f(x)，
所以函数f(x)为奇函数．
(3)因为f(x)＝loga(5＋x)－loga(5－x)＝loga，
当a>1时，若f(x)>0，则loga>0，
即>1且x∈(－5，5)，解得x∈(0，5)；
当00，则loga>0，
即0<<1且x∈(－5，5)，解得x∈(－5，0)；
综上所述，当a>1时，使f(x)>0的x的取值范围为(0，5)；
当00的x的取值范围为(－5，0)．
跟踪训练3 解析：(1)因为f(x)为奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)，
所以＝＝.所以＝，
即(1＋ax)(1－ax)＝－(x＋1)(x－1)，所以a＝－1或a＝1，
当a＝1时，f(x)＝，此时不成立，故a＝－1.
(2)证明：由(1)可知f(x)＝＝1＋)，
令u(x)＝1＋， x1，x2∈(1，＋∞)，且x1则u(x1)－u(x2)＝(1＋)－(1＋)＝.
因为10，x2－1>0，x2－x1>0，
所以>0，即u(x1)－u(x2)>0，
所以函数u(x)＝1＋在(1，＋∞)上是减函数．
又因为函数y＝在(0，＋∞)上是减函数，
所以f(x)＝在(1，＋∞)上为增函数．
[随堂练习]
1．解析：对于A选项，函数f(x)＝在定义域(－∞，0)上不单调，A错；对于B选项，函数f(x)＝在定义域R上为增函数，B错；对于C选项，函数f(x)＝在定义域(0，＋∞)上为减函数，C对；对于D选项，函数f(x)＝ex在定义域R上为增函数，D错．故选C.
答案：C
2．解析：函数y＝log3x的反函数为f(x)＝3x，所以f(2)＝32＝9，故选A.
答案：A
3．解析：∵3x>0，∴3x＋1>1，∴log2(3x＋1)>0，∴函数f(x)的值域为(0，＋∞)．故选A.
答案：A
4．解析：当01时，loga4－loga2＝2，解得a＝，故a的值为或.
答案：或4.4.3 不同函数增长的差异
【学习目标】 (1)了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型．(2)理解对数增长、直线上升、指数爆炸的含义．(3)能根据具体问题选择合适的函数模型．
题型 1几类函数模型增长差异的比较
【问题探究】 在同一直角坐标系中画出函数y＝2x，y＝2x，y＝log2x的图象，观察图象，当x趋于无穷大时，哪一个函数增长的速度最快？哪一个最慢？
例1 (1)当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是( )
A．y＝100x B．y＝log100x
C．y＝x100 D．y＝100x
(2)三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如下表：
x 1 3 5 7 9 11
y1 5 135 625 1 715 3 645 6 655
y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149
y3 5 6.10 6.61 6.985 7.2 7.4
则关于x分别呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为( )
A．y1，y2，y3 B．y3，y2，y1
C．y2，y1，y3 D．y1，y3，y2
题后师说
比较函数增长情况的3种方法
跟踪训练1 下列函数中，增长速度越来越慢的是( )
A.y＝6x B．y＝log6x
C．y＝x6D．y＝6x
题型 2函数增长速度的比较
例2
函数f(x)＝2x和g(x)＝x3，x≥0的图象，如图所示．设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2.
(1)请指出示意图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数；
(2)结合函数图象，比较f(8)，g(8)，f(2 023)，g(2 023)的大小．
学霸笔记：
由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法
根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数．
跟踪训练2 已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝0.5x－1的图象如图所示．
(1)指出图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数；
(2)借助图象，比较f(x)和g(x)的大小．
题型 3函数模型的选择
例3 某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP(即人均纯收入)在0.5～8千美元的地区销售该公司A饮料的情况调查时发现：该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减．
(1)下列几个模拟函数：①y＝ax2＋bx；②y＝kx＋b；③y＝logax＋b；④y＝ax＋b(x表示人均GDP，单位：千美元，y表示年人均A饮料的销售量，单位：L)．用哪个模拟函数来描述人均A饮料销售量与地区的人均GDP关系更合适？说明理由；
(2)若人均GDP为1千美元时，年人均A饮料的销售量为2 L，人均GDP为4千美元时，年人均A饮料的销售量为5 L，把(1)中你所选的模拟函数求出来，并求出各个地区年人均A饮料的销售量最多是多少．
题后师说
不同函数模型的选取标准
跟踪训练3 某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？
随堂练习
1.下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是( )
A.y＝ex B．y＝ln x
C．y＝3x D．y＝e－x
2．某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表：
x 1 2 3 …
y 1 2 5 …
下面的函数关系式中，能表达这种关系的是( )
A．y＝log2(x＋1) B．y＝2x－1
C．y＝2x－1 D．y＝(x－1)2＋1
3．f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是( )
A．f(x)>g(x)>h(x) B．g(x)>f(x)>h(x)
C．g(x)>h(x)>f(x) D．f(x)>h(x)>g(x)
4．某人投资x元，获利y元，有以下三种方案．甲：y＝0.2x，乙：y＝log2x＋100，丙：y＝1.005x，则投资500元，1 000元，1 500元时，应分别选择________方案．
课堂小结
1.三类函数y＝kx(k>0)，y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)模型增长的差异．
2．线性函数增长模型、指数型函数增长模型、对数型函数增长模型的选取．
4．4.3 不同函数增长的差异
问题探究 提示：从图象看，指数函数y＝2x增长的速度最快，对数函数y＝log2x增长的速度最慢．
例1 解析：(1)根据函数特点可知，指数函数是几何级数增长，增长速度最快．故选D.
(2)从题设表格中的数据可以看出，三个变量y1，y2，y3都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，呈指数函数变化，变量y3的增长速度变慢，呈对数型函数的变化．故选B.
答案：(1)D (2)B
跟踪训练1 解析：函数的增长速度，指数函数y＝6x的增长速度越来越快，对数函数y＝log6x增长速度越来越慢，幂函数y＝x6的增长速度越来越快，一次函数y＝6x匀速增长．
故选B.
答案：B
例2 解析：(1)C1对应的函数为g(x)＝x3，x≥0，C2对应的函数为f(x)＝2x.
(2)因为g(1)＝1，f(1)＝2，g(2)＝8，f(2)＝4，g(9)＝729，f(9)＝512，g(10)＝1 000，f(10)＝1 024，
所以f(1)>g(1)，f(2)f(9)g(10)．
所以1由图象知，当x1当x>x2时，f(x)>g(x)，且g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
所以g(8)所以f(2 023)>g(2 023)>g(8)>f(8)．
跟踪训练2 解析：(1)C1对应的函数为g(x)＝0.5x－1，
C2对应的函数为f(x)＝ln x.
(2)当x∈(0，x1)时，g(x)>f(x)；
当x∈(x1，x2)时，g(x)当x∈(x2，＋∞)时，g(x)>f(x)；
当x＝x1或x2时，g(x)＝f(x)．
综上，当x＝x1或x2时，g(x)＝f(x)；
当x∈(x1，x2)时，g(x)当x∈(0，x1)或(x2，＋∞)时，g(x)>f(x)．
例3 解析：(1)用①来模拟比较合适．因为该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多，
然后向两边递减，而②③④表示的函数在区间[0.5，8]上均是单调函数，所以②③④都不合适，
故用①来模拟比较合适．
(2)因为人均GDP为1千美元时，年人均A饮料的销售量为2 L，人均GDP为4千美元时，年人均A饮料的销售量为5 L，所以把x＝1，y＝2；x＝4，y＝5代入y＝ax2＋bx中，得
解得所以函数的解析式为y＝－x2＋x(x∈[0.5，8])．
因为y＝－x2＋x＝－(x－)2＋，
所以当x＝时，年人均A饮料的销售量最多，最多是 L．
跟踪训练3 解析：作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝的图象(如图所示)．观察图象可知，在区间[5，60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝log5x进行奖励才符合学校的要求．
[随堂练习]
1．解析：∵y＝e－x＝()x，
又0<<1，
所以y＝e－x随x的增大而减小，
故D不正确；
又y＝ex与y＝ln x它们都是增函数，
因为y＝ex为指数函数，y＝ln x为对数函数，
则随x的增大而增大且速度最快的是y＝ex.故选A.
答案：A
2．解析：由表格中数据知，
选项A：当x＝2时，y＝log23≠2,
选项B：当x＝2时，y＝22－1＝3≠2，
选项C：当x＝2时，y＝2×2－1＝3≠2，
选项D：都满足．故选D.
答案：D
3．解析：由函数性质可知，在(4，＋∞)区间，指数函数g(x)＝2x增长最快，对数函数h(x)＝log2x增长最慢，所以g(x)>f(x)>h(x)，故选B.
答案：B
4．解析：根据题意，列出当x＝500，1 000，1 500时，对应的函数值如下所示：
x 500 1 000 1 500
甲：y＝0.2x 100 200 300
乙：y＝ log2x＋100 约等于 108．96 约等于 109．96 约等于 110．55
丙：y＝ 1．005x 约等于 12．1 约等于 146．57 约等于 1 774.57
根据表中数据可知：
当投资500，1 000，1 500时，应分别选择乙，甲，丙方案．
答案：乙、甲、丙4.5.1 函数的零点与方程的解
【学习目标】 (1)了解函数的零点、方程的根与图象交点三者之间的联系．(2)会借助零点存在性定理判断函数的零点所在的大致区间．(3)能借助零点与根的关系判断方程根的个数．
题型 1求函数的零点
【问题探究1】 我们已学过二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点，它是指使得ax2＋bx＋c＝0的实数x.那么对于下列函数：(1)f(x)＝2x－5；(2)g(x)＝2x－1；(3)h(x)＝ln (x－2)．它们是否都存在使得其函数值等于0的实数x？它们的零点分别是什么？它们的图象与x轴交点的坐标分别是什么？
例1 求下列函数的零点：
(1)f(x)＝x3＋8；
(2)f(x)＝
题后师说
求函数零点的2种方法
跟踪训练1 求下列函数的零点．
(1)f(x)＝3x－9；
(2)f(x)＝
题型 2判断零点所在的区间
【问题探究2】 对于二次函数f(x)＝x2－2x－3，观察它的图象(如图)，发现它在区间[2，4]上有零点．这时，函数图象与x轴有什么关系？在区间[－2，0]上是否也有这种关系？你认为应如何利用函数f(x)的取值规律来刻画这种关系？
例2 (1)在下列区间中，函数f(x)＝ex＋2x－3的零点所在的区间为( )
A．(0，) B．()
C．() D．(，1)
(2)f(x)＝x＋3x的零点所在区间为(a，a＋1)，(a∈Z)，则a＝________．
题后师说
判断函数零点所在区间的一般步骤
跟踪训练2 函数 f(x)＝log2x＋2x－1 的零点所在区间为( )
A．(0，) B．(，1)
C．(1，) D．(，2)
题型 3函数零点个数问题
例3 (1)函数f(x)＝x3－()x的零点个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
(2)已知函数f(x)＝，若函数g(x)＝f(x)－m有三个零点，则实数m的取值范围是________．
一题多变 将本例(2)中的条件改为“若函数f(x)＝x2－6x＋2＋a在区间(1，4)内有零点”，求实数a的取值范围．
题后师说
(1)判断函数零点的个数的3种方法
(2)根据函数零点个数求参数范围的方法：将函数零点问题转化为图象交点问题，画出函数的图象，从而确定参数的范围．
跟踪训练3 (1)函数y＝的零点个数为________．
(2)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．
随堂练习
1.函数y＝1＋的零点是( )
A．(－1，0) B．x＝－1
C．(0，1) D．x＝0
2．函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
3．函数f(x)＝2x＋2x－7的零点所在的区间为( )
A．(1，2) B．(2，3)
C．(3，4) D．(4，5)
4．函数f(x)＝，若函数y＝f(x)－m，有三个不同的零点，则实数m的取值范围是________.
课堂小结
1.函数的零点与方程的解的关系．
2．利用零点存在定理判断零点所在的区间以及根据零点的个数求参数的范围．
4．5.1 函数的零点与方程的解
问题探究1 提示：f(x)，g(x)，h(x)存在函数值等于0的实数x；它们的零点分别是，0，3；它们的图象与x轴的交点分别是(，0)，(0，0)，(3，0)．
例1 解析：(1)令x3＋8＝0，得x＝－2，所以函数f(x)＝x3＋8的零点为－2.
(2)当x≤0时，令2－x－4＝0，得x＝－2，满足要求；当x＞0时，令lg x＝0，得x＝1，满足要求．
所以函数f(x)的零点是－2，1.
跟踪训练1 解析：(1)令3x－9＝0，解得x＝2，
故函数y＝3x－9的零点为2.
(2)令f(x)＝0，即或，
解得x＝1或x＝2，
所以f(x)的零点为1和2.
问题探究2 提示：f(x)在[2，4]上有零点，它在x轴上与x轴有一个交点；在[－2，0]上有零点，它在x轴上与x轴有一个交点．
函数零点存在定理．
例2 解析：(1)函数f(x)＝ex＋2x－3的定义域为R.
因为函数y＝ex，y＝2x－3均为增函数，所以f(x)＝ex＋2x－3为R上的增函数．
又f(0)＝e0＋2×0－3＝－2<0，f()＝＝<0，
f()＝＋2×－3＝－2<0，f()＝＋2×－3＝>>0.
由零点存在定理可得：f(x)的零点所在的区间为()．
故选C.
(2)因为 f(x)是定义域为R的连续函数，且 y＝x与 y＝3x在R上均为增函数，
所以 f(x)在R上为增函数，
又f(－1)<0，f(0)>0 ，
所以f(－1)f(0)<0 ，即零点在区间(－1，0)内，
所以a＝－1.
答案：(1)C (2)－1
跟踪训练2 解析：函数f(x)＝log2x＋2x－1可看成两个函数y＝log2x(x＞0)和y＝2x－1组成，
两函数在(0，＋∞)上都是增函数，
故函数f(x)＝log2x＋2x－1在(0，＋∞)上也是单调递增的，
所以f()＝log2＋2×－1＝－1＋1－1＝－1＜0，
而f(1)＝log21＋2×1－1＝0＋2－1＝1＞0，
由零点存在性定理可得，函数f(x)＝log2x＋2x－1零点所在区间为(，1)．故选B.
答案：B
例3 解析：(1)根据题意，x3－()x＝0，故x3＝()x，
故函数y＝x3与y＝()x的图象如图，
由于函数y＝x3与y＝()x的图象只有一个交点，
所以方程x3＝()x有且只有一个实数根，
所以函数f(x)＝x3－()x的零点个数为1个．故选B.
(2)问题可以转化为函数f(x)＝的图象与直线y＝m有3个交点，如图所示：
所以m∈(－1，0]时满足题意．
答案：(1)B (2)(－1，0]
一题多变 解析：由题意得f(x)＝x2－6x＋2＋a＝(x－3)2＋a－7为连续函数，
且在(1，3)上单调递减，在(3，4)上单调递增，
故f(3)＝a－7，f(1)＝1－6＋2＋a＝a－3，f(4)＝16－24＋2＋a＝a－6，
所以只需或，
解得3故实数a的取值范围是(3，7].
跟踪训练3 解析：(1)当x≤0时，x2＋2x－1＝0 x1＝－－1，x2＝－1，
∵x2＞0，故此时零点为x1＝－－1；
当x＞0时，y＝lg x＋2x－3在(0，＋∞)上单调递增，
当x＝1时，y＜0，当x＝2时，y＞0，故在(1，2)之间有唯一零点；
综上，函数y在R上共有2个零点．
(2)令|2x－2|－b＝0，得|2x－2|＝b，由题意可知函数y＝|2x－2|与y＝b的图象有两个交点，结合函数图象(如图所示)可知，0答案：(1)2 (2)(0，2)
[随堂练习]
1．解析：令y＝1＋＝0，∴x＝－1.
所以函数y＝1＋的零点是x＝－1.
故选B.
答案：B
2．解析：由于函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f(1)＝－4<0，f(3)＝ln 3>0，
故函数在(1，3)上有唯一零点，也即在(0，＋∞)上有唯一零点．故选B.
答案：B
3．解析：因为函数y＝2x、y＝2x－7在R上均为增函数，故函数f(x)在R上为增函数，
因为f(1)＝－3<0，f(2)＝1>0，
由零点存在定理可知，函数f(x)的零点所在的区间为(1，2)．故选A.
答案：A
4．解析：当x>0时，根据对勾函数可得f(x)＝x＋在(1，＋∞)上单调递增，在(0，1)上单调递减，故此时最小值f(1)＝2；
当x≤0时，根据f(x)＝2－x在(－∞，0]上单调递减，故此时最小值f(0)＝1；
作出对应的图象，如图所示
函数y＝f(x)－m有三个不同的零点，可看作f(x)与y＝m有三个不同的交点，
从图象可得到实数m的取值范围是(2，＋∞)．
答案：(2，＋∞)