5.1.1 任意角
【学习目标】 (1)理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论任意角．(2)能在指定范围内，找到一个与已知角终边相同的角，并判定其为第几象限角．(3)能写出与任一已知角终边相同的角的集合．(4)熟练掌握象限角与轴线角的集合表示．(5)会写出某个区间上角的集合．
题型 1任意角的概念
【问题探究1】 (1)回忆初中我们是如何定义一个角的？所学的角的范围是什么？
(2)在跳水比赛中，运动员会做出“转体两周”“向前翻转两周半”等动作，做上述动作时，运动员转体多少度？转过的度数还能用0°到360°的角度表示吗？
例1 将表的分针拨慢30分钟，则这个过程中时针转过的角度是( )
A．10° B．15°
C．30° D．－30°
学霸笔记：处理任意角问题的两个关键点
(1)定方向：明确该角是由顺时针方向还是逆时针方向旋转形成的，由逆时针方向旋转形成的角为正角，否则为负角．
(2)定大小：根据旋转角度的绝对值确定角的大小．
跟踪训练1 经过2个小时，钟表的时针和分针转过的角度分别是( )
A．60°，720° B．－60°，－720°
C．－30°，－360° D．－60°，720°
题型 2象限角
【问题探究2】 为了进一步研究角的需要，我们常在直角坐标系内讨论角，并使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么对一个任意角，角的终边可能落在哪些位置？
例2 下列命题中正确的是( )
A．第一象限角一定不是负角
B．钝角一定是第二象限角
C．小于90°的角一定是锐角
D．第一象限角一定是锐角
学霸笔记：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念的关系，需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需要一个反例即可．
跟踪训练2 给出四个命题：①－60°是第四象限角；②235°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的有( )个．
A．1 B．2
C．3 D．4
题型 3终边相同的角
【问题探究3】 在同一平面直角坐标系中画出以下几个角：30°，－30°，390°，－330°.
我们发现30°，390°，－330°这三个角的终边都是同一条射线，它们的终边相同．你还能找出哪些以这一条射线为终边的角？与30°终边相同的角与30°有什么关系？与30°终边相同的角的集合如何表示？
例3 已知α＝－1 845°，在与α终边相同的角中，求满足下列条件的角.
(1)最小的正角；
(2)最大的负角；
(3)－360°～720°之间的角．
题后师说
在某个范围内找与已知角终边相同的角的步骤
跟踪训练3 (1)下列各角中，与26°角终边相同的角为( )
A．206° B．－334°
C．116° D．－154°
(2)终边落在x轴上的角的集合为________．
题型 4区域角的表示
例4 写出终边在下列各图所示阴影部分内的角α的集合．
题后师说
表示区域角的一般步骤
跟踪训练4 表示顶点在原点，始边重合于x轴的正半轴、终边落在阴影部分内的角的集合(不包含边界)．
随堂练习
1.现有如下三个集合，A＝{钝角}，B＝{第二象限角}，C＝{小于180°的角}，则下列说法正确的是( )
A．A＝B B．B＝C
C．A B D．B C
2．与－20°角终边相同的角是( )
A．－300° B．－280°
C．320° D．340°
3．已知角α＝563°，那么α的终边在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
4．小于360°且终边与角－45°重合的正角是________．
课堂小结
1.任意角、终边相同的角的概念．
2．与角α终边相同的角的集合为S＝{β|β＝k·360°＋α， k∈Z}，这一结果表示角周而复始的变化规律，同时，它也是研究角之间关系的最为基础的知识．
5．1.1 任意角
问题探究1 提示：(1)角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形，角的范围是0°～360°.
(2)“转体两周”指顺时针旋转720°或逆时针旋转720°.“向前翻转两周半”指顺时针或逆时针旋转900°，转的角度不能用0°到360°的角表示．
例1 解析：分针拨慢，则时针逆时针旋转，故时针转过的角度为正数．又因为分针拨慢30分钟，时针逆时针旋转0.5个小时，所以×360°＝15°.故选B.
答案：B
跟踪训练1 解析：钟表的时针和分针都是顺时针旋转，因此转过的角度都是负的，而×360°＝60°，2×360°＝720°，故钟表的时针和分针转过的角度分别是－60°，－720°.故选B.
答案：B
问题探究2 提示：第一、第二、第三、第四象限或坐标轴上．
例2 解析：对于A，令α＝－300°＝60°－360°，显然α是第一象限角，同时也是负角，故A错误；对于B，不妨设θ是钝角，则90°<θ<180°，所以θ一定是第二象限角，故B正确；对于C，令β＝－60°，显然β是小于90°的角，但不是锐角，故C错误；对于D，令α＝－300°＝60°－360°，显然α是第一象限角，但不是锐角，故D错误．故选B.
答案：B
跟踪训练2 解析：对①：－60°是第四象限角，故①正确；对②：180°<235°<270°，故其为第三象限角，故②正确；对③：475°＝360°＋115°，115°是第二象限角，故475°是第二象限角，③正确；对④：－315°＝－360°＋45°，45°是第一象限角，故－315°是第一象限角，④正确．
故正确的有4个．故选D.
答案：D
问题探究3 提示：与30°、390°、－330°终边相同的角还有750°，－690°等，这样的角有无数个，它们之间相差360°的整数倍，所有与30°角终边相同的角的集合为{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}．
例3 解析：因为－1 845°＝－45°＋(－5)×360°，
即－1 845°角与－45°角的终边相同，所以与角α终边相同的角的集合是{β|β＝－45°＋k·360°，k∈Z}，
(1)最小的正角为315°.
(2)最大的负角为－45°.
(3)－360°～720°之间的角分别是－45°，315°，675°.
跟踪训练3 解析：(1)与26°角终边相同的角为θ＝360°·k＋26°，k∈Z，对选项A：取θ＝360°·k＋26°＝206°，k不是整数解，排除；对选项B：取θ＝360°·k＋26°＝－334°，k＝－1，正确；对选项C：取θ＝360°·k＋26°＝116°，k不是整数解，排除；对选项D：取θ＝360°·k＋26°＝－154°，k不是整数解，排除．故选B.
(2)在0°～360°范围内，终边在直线y＝0上的角有两个，即0°和180°，又所有与0°角终边相同的角的集合为S1＝{β|β＝0°＋k·360°，k∈Z}，所有与180°角终边相同的角的集合为S2＝{β|β＝180°＋k·360°，k∈Z}，于是，终边在直线y＝0上的角的集合为S＝S1＝{β|β＝k·180°，k∈Z}．
答案：(1)B (2){β|β＝k·180°，k∈Z}
例4 解析：先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，则得
①{α|30°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}．
②{α|－210°＋k·360°<α<30°＋k·360°，k∈Z}．
跟踪训练4 解析：图(1)中，330°＝360°－30°，
∴对应为k·360°－30°<θ即对应角的集合为{θ|k·360°－30°<θ图(2)中，225°＝360°－135°，
∴对应为k·360°－135°<θ即对应角的集合为{θ|k·360°－135°<θ[随堂练习]
1．解析：钝角是大于90°，且小于180°的角，一定是第二象限角，故A B；第二象限角的范围是90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z，即第二象限角不一定小于180°，故ABD错误，C正确．故选C.
答案：C
2．解析：因为与－20°角终边相同的角是－20°＋360°k，k∈Z，
当k＝1时，这个角为340°，只有选项D满足，其他选项不满足k∈Z.故选D.
答案：D
3．解析：因为α＝563°＝360°＋203°，又180°<203°<270°，所以α的终边在第三象限．故选C.
答案：C
4．解析：与角－45°终边相同的角为β＝－45°＋k·360°，k∈Z，
当k＝1时，β＝315°，
因此小于360°且终边与角－45°重合的正角是315°.
答案：315°第1课时 三角函数的概念
【学习目标】 (1)借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．(2)会利用任意角的三角函数的定义求值．
题型 1利用单位圆法求三角函数
【问题探究1】 (1)角α的始边在x轴非负半轴，终边与单位圆交于点P.当α＝时，点P的坐标是什么？当α＝或时，点P的坐标又是什么？它们唯一确定吗？
(2)一般地，任意给定一个角α，它的终边OP与单位圆交点P的坐标能唯一确定吗？
例1 (1)在平面直角坐标系中，以x轴的非负半轴为角的始边，如果角α，β的终边分别与单位圆交于点()和(－)，那么cos αsin β＝( )
A．－ B．－
C． D．
(2)已知α＝π，则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________．
题后师说
利用单位圆求三角函数的步骤
跟踪训练1 已知角α的终边与单位圆交于点P(－，y)(y>0)，则sin α＝( )
A． B．－
C．－ D．
题型 2利用坐标法求三角函数
【问题探究2】 在平面直角坐标系Oxy中，使锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P(不与原点O重合)，作PM⊥x轴于点M.设点P(x，y)．
当|OP|＝r时，sin α，cos α，tan α的值怎样表示？
例2 已知角α的终边过点P(－3a，4a)(a≠0)，求2sin α＋cos α的值．
学霸笔记：利用坐标法求三角函数
(1)已知角α的终边上一点P(x，y)求三角函数值时，先求r＝|OP|，再根据定义sin α＝，cos α＝，tan α＝确定三角函数值；
(2)若条件中含有参数，要注意对参数进行讨论．
跟踪训练2 设α为第四象限角，其终边上的一个点是P(x，－)，且cos α＝x，求sin α和tan α.
题型 3三角函数概念的综合应用
例3 在平面直角坐标系中，角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sin α－3cos α＋tan α的值．
学霸笔记：已知终边位置求值
(1)当角的终边落在射线上时，在射线上取一个异于端点的点，利用点的坐标求值；
(2)当角的终边落在直线上时，将直线以原点为端点分为两条射线，分别在两条射线上取点求值．
跟踪训练3 已知角α的终边落在直线y＝－3x上，求2sin α＋3cos α的值．
随堂练习
1.点A(x，y)是60°角的终边与单位圆的交点，则的值为( )
A． B．－ C． D．－
2．已知角θ的终边经过点P(1，－)，则cos θ的值为( )
A．－ B． C．－ D．
3．已知角θ的终边经过点P(x，3)，且cos θ＝－，则x＝( )
A．－4 B．4 C．－ D．
4．已知角α的终边落到射线y＝2x(x≤0)上，求cos α＝________．
课堂小结
1.对三角函数定义的理解．
2．利用单位圆法和坐标法求三角函数．
第1课时 三角函数的概念
问题探究1 提示：(1)当α＝时，点P的坐标为()．
当α＝时，点P的坐标为(0，1)．
当α＝时，点P的坐标为(－)．它们都唯一确定．
(2)点P的横、纵坐标都能唯一确定．
例1 解析：(1)∵角α，β的终边分别与单位圆交于点()和(－)，
∴cos α＝，sin β＝，
∴cos αsin β＝＝，故选D.
(2)角α的终边与单位圆的交点为(－)，
∴sin α＝，cos α＝－，tan α＝－.
答案：(1)D (2) － －
跟踪训练1 解析：∵角α的终边与单位圆交于点P(－，y)(y>0)，
∴(－)2＋y2＝1，求得y＝，
∴sin α＝y＝.故选D.
答案：D
问题探究2 提示：sin α＝，cos α＝，tan α＝.
例2 解析：r＝＝5|a|，
①若a>0，则r＝5a，角α在第二象限，sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－，所以2sin α＋cos α＝＝1.
②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限，sin α＝＝－，cos α＝＝.
所以2sin α＋cos α＝－＝－1.
综上可得2sin α＋cos α的值为±1.
跟踪训练2 解析：依题意，α为第四象限角，其终边上的一个点是P(x，－)，则x>0，
cos α＝＝x，解得x＝，则P(，－)，
所以sin α＝＝＝－，
tan α＝＝－.
例3 解析：当角α的终边在射线y＝－x(x>0)上时，取终边上一点P(4，－3)，
所以点P到坐标原点的距离r＝|OP|＝5，
所以sin α＝＝＝－，cos α＝＝，
tan α＝＝－.
所以sin α－3cos α＋tan α＝－＝－.
当角α的终边在射线y＝－x(x<0)上时，取终边上一点P′(－4，3)，
所以点P′到坐标原点的距离r＝|OP′|＝5，
所以sin α＝＝，cos α＝＝－，
tan α＝＝－.
所以sin α－3cos α＋tan α＝－3×＝＝.
综上，sin α－3cos α＋tan α的值为－或.
跟踪训练3 解析：在y＝－3x(x＞0)上取点P1(1，－3)，
|OP1|＝r1＝＝，sin α＝＝－，cos α＝＝，
2sin α＋3cos α＝－＝－，
在y＝－3x(x＜0)上取P2(－1，3)，
|OP2|＝r2＝，sin α＝，cos α＝－，
2sin α＋3cos α＝＝，
于是2sin α＋3cos α＝±.
[随堂练习]
1．解析：因为tan 60°＝，所以＝.故选A.
答案：A
2．解析：因为角θ的终边经过点P(1，－)，所以cos θ＝＝.故选D.
答案：D
3．解析：∵角θ的终边经过点P(x，3)，
∴cos θ＝＝－，∵x＜0，解得：x＝－4.故选A.
答案：A
4．解析：在射线y＝2x(x≤0)取一点P(－1，－2)，
由三角函数的定义可得cos α＝＝－.
答案：－第2课时 三角函数值的符号与公式一
【学习目标】 (1)熟练掌握三角函数值在各象限的符号．(2)掌握诱导公式一，并能运用公式解决相关问题．
题型 1三角函数值符号的应用
【问题探究1】 (1)利用任意角三角函数定义计算下列各角的三角函数值并判断符号：
角α 45° 135° 225° 315°
sin α
cos α
tan α
(2)观察题(1)所填制的表格，并且利用任意角三角函数定义判断三角函数值的正负是由哪些量决定？总结正弦、余弦、正切函数值在各个象限符号的规律．
例1 (1)(多选)给出下列各三角函数值：①sin 100°；②cos (－220°)；③tan (－10)；④cos π.其中符号为负的是( )
A．① B．②
C．③ D．④
(2)若sin αtan α<0，且<0，则角α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
题后师说
判断三角函数值符号的步骤
跟踪训练1 已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
题型 2诱导公式一的应用
【问题探究2】 当角α分别为60°，420°，－300°时，它们的终边有什么特点？它们的三角函数值呢？
例2 计算下列各式的值：
(1)sin (－1 395°)cos 1 110°＋cos (－1 020°)sin 750°；
(2)cos (－)＋sin (－)－tan ()．
题后师说
利用诱导公式一进行化简求值的步骤
跟踪训练2 计算下列各式的值：
(1)sin 810°＋tan 765°－cos 360°；
(2)sin (－)＋cos tan 4π.
题型 3三角函数值符号与公式一的综合应用
例3 (1)点P(tan 2 023°，cos 2 023°)位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(2)已知角θ＝2kπ－(k∈Z)，则y＝的值为( )
A．1 B．－1
C．3 D．－3
学霸笔记：三角函数值符号与公式一的综合应用的方法
(1)先应用诱导公式一将负角或大于等于2π的角的三角函数化为0～2π之间的角的同名三角函数；
(2)再应用三角函数值符号法则进行相应的判断或化简．
跟踪训练3 (1)点P(sin ，cos ())位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(2)计算log2(4sin 1 110°)的结果是( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
随堂练习
1.如果角α是三角形的一个内角，那么下列各式中一定正确的是( )
A．sin α>0 B．cos α>0
C．tan α>0 D．sin α<0
2．sin 1 140°的值为( )
A．－ B．
C．－D．
3．若sin θcos θ>0，则θ在( )
A．第一、三象限 B．第一、二象限
C．第一、四象限 D．第二、四象限
4．tan 405°－sin 450°＋cos 750°＝________．
课堂小结
1.熟记三角函数值在各象限内的符号及其应用．
2．利用公式一化简求值．
第2课时 三角函数值的符号与公式一
问题探究1 提示：(1) － － － － 1 －1 1 －1
(2)三角函数值的正负是由角α的终边上点的横、纵坐标(角α的终边所在象限)决定的．
口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
例1 解析：(1)100°角是第二象限角，所以sin 100°>0；－220°角是第二象限角，所以cos (－220°)＜0；－10∈(－π，－3π)，角－10是第二象限角，所以tan (－10)＜0；cos π＝－1＜0.故选BCD.
(2)由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号，从而α是第二或第三象限角．
由<0可知cos α，tan α异号，从而α是第三或第四象限角．综上可知，α是第三象限角．故选C.
答案：(1)BCD (2)C
跟踪训练1 解析：依题意得由tan α＜0知，α是第二、四象限角．当α是第二象限角时，cos α＜0，符合题意；当α是第四象限角时，cos α＞0，不符合题意．故选B.
答案：B
问题探究2 提示：终边重合 它们的三角函数值相等
例2 解析：(1)原式＝sin (－4×360°＋45°)cos (3×360°＋30°)＋cos (－3×360°＋60°)sin (2×360°＋30°)
＝sin 45°cos 30°＋cos 60°sin 30°
＝＝＝.
(2)cos (－)＋sin (－)－tan ()
＝cos (－4π＋)＋sin (－12π＋)－tan (6π＋)
＝cos ＋sin －tan
＝＝1－.
跟踪训练2 解析：(1)原式＝sin (2×360°＋90°)＋tan (2×360°＋45°)－cos (360°＋0°)＝1＋1－1＝1.
(2)原式＝sin (－2π＋)＋cos (2π＋)tan (4π＋0)＝sin ＋cos ×0＝.
例3 解析：(1)因为tan 2 023°＝tan (360°×5＋223°)＝tan 223°＞0，cos 2 023°＝cos (360°×5＋223°)＝cos 223°＜0，所以点P(tan 2 023°，cos 2 023°)位于第四象限．故选D.
(2)依题意知θ是第四象限角，所以sin θ＜0，cos θ＞0，tan θ＜0，所以y＝－1＋1－1＝－1.故选B.
答案：(1)D (2)B
跟踪训练3 解析：(1)由sin ＝sin (2π＋)＝sin ＞0，cos (－)＝cos (－6π＋)＝cos ＜0，所以点P(sin ，cos ())位于第四象限．故选D.
(2)因为sin 1 110°＝sin (3×360°＋30°)＝sin 30°＝，
所以log2(4sin 1 110°)＝log2(4×)＝log22＝1.故选C.
答案：(1)D (2)C
[随堂练习]
1．解析：因为角α是三角形的一个内角，所以0<α<π，
所以sin α>0，cos α无法确定，tan α无法确定．故选A.
答案：A
2．解析：sin 1 140°＝sin (3×360°＋60°)＝sin 60°＝.故选B.
答案：B
3．解析：因为sin θ在第一、二象限为正，第三、四象限为负；cos θ在第一、四象限为正，第二、三象限为负．而sin θcos θ>0，所以θ在第一、三象限．故选A.
答案：A
4．解析：tan 405°－sin 450°＋cos 750°
＝tan (360°＋45°)－sin (360°＋90°)＋cos (720°＋30°)
＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°
＝1－1＋＝.
答案：第1课时 诱导公式二、三、四
【学习目标】 (1)借助圆的对称性理解诱导公式二、三、四的推导过程．(2)掌握诱导公式一～四并能运用诱导公式进行求值、化简与证明．
【问题探究】 (1)①角π＋α与α的终边有何位置关系？
②角－α与α的终边有何位置关系？
③角π－α与α的终边有何位置关系？
(2)已知任意角α的终边与单位圆相交于点P(x, y)，请同学们思考回答点P关于原点、x轴、y轴对称的三个点的坐标是什么？
(3)知道了终边与单位圆的交点坐标，你能根据三角函数的定义写出角π＋α与α、 角－α与α、角π－α与α的三角函数值之间的关系吗？
题型 1给角求值
例1 利用公式求三角函数值：
(1)tan 780°cos (－1 140°)；
(2)cos ＋cos ＋tan (－)＋sin .
题后师说
利用诱导公式解决给角求值问题的步骤
跟踪训练1 求值：sin (－π)＋cos π·tan 4π.
题型 2给值(式)求值
例2 (1)已知sin (π＋α)＝，且α是第四象限角，则cos (α－2π)的值是( )
A．－ B．
C．－ D．
(2)已知cos (－α)＝，求cos (＋α)－sin2(α－)的值．
一题多变 若本例(2)中条件不变，如何求sin2(＋α)－cos(α－)的值？
题后师说
解决给值求值问题的策略
跟踪训练2 (1)已知cos (π－α)＝－，且α是第一象限角，则sin (－2π－α)的值是( )
A． B．－
C．± D．
(2)若cos (－α)＝，则cos (＋α)＝( )
A．－B．
C．D．－
题型 3利用诱导公式化简
例3 化简下列各式：
(1)；
(2)sin (2kπ＋)cos (kπ＋)(k∈Z)．
学霸笔记：三角函数式化简的常用方法
(1)依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为另一个角的三角函数．
(2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数．
(3)注意“1”的应用：1＝sin2α＋cos2α＝tan.
(4)用诱导公式进行化简时，若遇到kπ±α的形式，需对k进行分类讨论，然后再运用诱导公式进行化简．
跟踪训练3 化简下列各式：
(1)；
(2)(k∈Z)．
随堂练习
1.sin (－660°)的值是( )
A． B．－
C．D．－
2．已知cos (π－θ)＝，则cos (－θ)＝( )
A．－ B．－
C． D．
3．化简的结果为( )
A．tan α B．cos α
C．sin α D．－sin α
4．已知cos (－α)＝，则cos (＋α)＝________．
课堂小结
1.诱导公式二、三、四的推导与记忆．
2．利用诱导公式二、三、四求值与化简．
第1课时 诱导公式二、三、四
问题探究1 提示：(1)①关于原点对称 ②关于x轴对称 ③关于y轴对称
(2)点P(x，y)关于原点的对称点的坐标为(－x，－y)；
关于x轴的对称点的坐标为(x，－y)；
关于y轴的对称点的坐标为(－x，y)．
(3)见预学案44
例1 解析：(1)原式＝tan 60°cos 60°＝＝.
(2)cos ＋cos ＋tan (－)＋sin
＝cos (4π＋)＋cos (8π＋)＋tan (－6π－)＋sin (π－)＝cos ＋cos ＋tan (－)＋sin
＝－1＋＝.
跟踪训练1 解析：原式＝－sin (4π＋)＋cos (2π＋)·tan 0＝－sin ＋cos ×0＝－sin ＝－.
例2 解析：(1)因为sin (π＋α)＝，所以sin α＝－.
又α是第四象限角，所以cos α＝ ＝，所以cos (α－2π)＝cos α＝.故选B.
(2)因为cos (＋α)＝cos [π－(－α)]
＝－cos (－α)＝－，
sin2(α－)＝sin2(－α)＝1－cos2(－α)＝，
所以cos(＋α)－sin2(α－)＝－＝－.
答案：(1)B (2)见解析
一题多变 解析：因为cos(＋α)＝cos [π－(－α)]
＝－cos (－α)＝－，
所以sin2(＋α)＝1－cos2(＋α)
＝1－(－)2＝.
又因为cos(α－)＝cos [－(－α)]＝cos (－α)＝，
所以sin2(＋α)－cos(α－)＝＝.
跟踪训练2 解析：(1)因为cos (π－α)＝－cos α＝－，所以cos α＝，
因为α是第一象限角，所以sin α>0，
所以sin α＝＝＝.
所以sin (－2π－α)＝sin (－α)＝－sin α＝－.故选B.
(2)cos (＋α)＝cos ＝－cos (－α)＝－.故选A.
答案：(1)B (2)A
例3 解析：(1)原式＝
＝＝－＝－tan α.
(2)当k为偶数时，
原式＝sin cos ＝sin (π－)cos (π＋)
＝－sin cos ＝－.
当k为奇数时，原式＝sin cos (π＋)
＝sin (π－)cos (2π＋)＝sin cos ＝.
跟踪训练3 解析：(1)原式＝＝＝tan α.
(2)当k＝2n(n∈Z)时，
原式＝
＝＝＝－1.
当k＝2n＋1(n∈Z)时，
原式＝
＝＝＝－1.
综上，原式＝－1.
[随堂练习]
1．解析：sin (－660°)＝sin (－660°＋720°)＝sin 60°＝.故选C.
答案：C
2．解析：由cos (π－θ)＝－cos θ，得cos θ＝－，
所以cos (－θ)＝cos θ＝－.故选B.
答案：B
3．解析：
＝
＝sin α，故选C.
答案：C
4．解析：cos (＋α)＝cos [π－(－α)]＝－cos (－α)＝－.
答案：－第2课时 诱导公式五、六
【学习目标】 (1)了解诱导公式五和公式六的推导方法．(2)能够准确记忆公式五和公式六．(3)掌握公式五和公式六，并能灵活应用所有诱导公式化简求值．
【问题探究】
(1)观察如图单位圆及角α与－α的终边．
①角α的终边与－α的终边有何关系？
②若设任意角α的终边与单位圆的交点P1的坐标为(x，y)，那么角－α的终边与单位圆的交点P2的坐标是什么？
(2)利用诱导公式五如何推导出角＋α与角α三角函数值之间的关系？
题型 1利用诱导公式化简
例1 化简：.
学霸笔记：利用诱导公式化简时，要特别注意函数名称和符号的确定．
跟踪训练1 化简：.
题型 2利用诱导公式证明恒等式
例2 求证：＝－tan α.
学霸笔记：在证明时一般从左边到右边，或从右边到左边，或左右归一，应遵循化繁为简的原则．
跟踪训练2 求证：·sin (α－2π)·cos (2π－α)＝sin2α.
题型3利用诱导公式求值
例3 (1)若sin (α＋)＝，且α是第三象限角，则cos (α＋)＝( )
A． B．－
C． D．－
(2)已知sin (－x)＝，且0一题多变 将本例(2)中的条件不变，求sin (＋x)．
学霸笔记：利用诱导公式求值的策略
(1)对给值求值时，要注意要求角与已知角之间的关系，并结合诱导公式进行转化，特别要注意角的范围．
(2)常见的互余的角：－α与＋α，＋α与－α等，常见的互补的角：＋α与－α，＋α与－α，＋α与－α等．
跟踪训练3 (1)已知cos (π－α)＝－，则sin (α＋)＝( )
A． B．
C．－ D．－
(2)已知sin (α－)＝，则cos (＋α)＝( )
A．－B．
C．－ D．
随堂练习
1.已知sin α＝，则cos (α－)＝( )
A． B．－
C．－ D．
2．已知cos (π－α)＝－，则cos (α＋)＝( )
A．± B．±
C．D．
3．已知cos 28°＝a，则cos (－602°)＝( )
A．a B．－a
C． D．－
4．化简：＝________．
课堂小结
1.诱导公式五、六的推导与记忆．
2．利用诱导公式五、六求值与化简．
第2课时 诱导公式五、六
问题探究1 提示：(1)①两角的终边关于直线y＝x对称．
②点P1与P2关于直线y＝x对称，点P2的坐标为(y，x)．
(2)以－α代替α，
得sin [－(－α)]＝sin (＋α)＝cos (－α)＝cos α，
cos [－(－α)]＝cos (＋α)＝sin (－α)＝－sin α.
例1 解析：
＝＝.
跟踪训练1 解析：原式＝＝1.
例2 解析：左边＝＝－tan α＝右边，所以原等式成立．
跟踪训练2 证明：左边＝·[－sin (2π－α)]cos α
＝[－(－sin α)]cos α＝·sin α·cos α＝sin2α＝右边，故原式成立．
例3 解析：(1)∵sin(α＋)＝－cos α＝，
∴cos α＝－，又α是第三象限角，
∴sin α＝－＝－，
∴cos(α＋)＝－sin α＝.故选C.
(2)cos (＋x)＝cos [－(－x)]
＝sin (－x)＝.
答案：(1)C (2)见解析
一题多变 解析：sin (－x)＝，0∴cos (－x)＝ ＝，
sin(＋x)＝sin
＝cos (－x)＝.
跟踪训练3 解析：(1)因为cos (π－α)＝－，所以－cos α＝－，所以cos α＝，所以sin (α＋)＝cos α＝.故选B.
(2)因为sin (α－)＝，所以cos (＋α)＝sin ＝－sin (α－)＝－.故选A.
答案：(1)B (2)A
[随堂练习]
1．解析：cos (α－)＝sin α＝.故选D.
答案：D
2．解析：由cos (π－α)＝－cos α可得cos α＝，
而cos (α＋)＝－sin α，sin α＝±＝±，
所以cos(α＋)＝±.故选A.
答案：A
3．解析：cos (－602°)＝cos (2×360°－602°)＝cos 118°
＝cos (90°＋28°)＝－sin 28°＝－＝－.
故选D.
答案：D
4．解析：原式＝＝－tan α.
答案：－tan α第1课时 正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性
【学习目标】 (1)了解周期函数、周期、最小正周期的意义．(2)会求函数y＝A sin (ωx＋φ)及y＝A cos (ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的周期．(3)掌握y＝sin x，y＝cos x的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性．
题型 1函数周期性的判断
【问题探究1】 (1)观察f(x)的部分图象，函数图象每相隔多少个单位重复出现？
(2)由诱导公式一：sin (x＋2kπ)＝sin x，cos (x＋2kπ)＝cos x．结合正(余)弦曲线，可以看出正(余)弦函数怎样的特征？图象变化趋势是怎样的？
例1 求下列三角函数的周期：
(1)y＝3sin x，x∈R；
(2)y＝cos 2x；
(3)y＝2sin (x－)；
(4)y＝|cos 2x|.
题后师说
求三角函数最小正周期的3种常用方法
跟踪训练1 求下列三角函数的最小周期：
(1)y＝cos 3x；
(2)y＝3sin (2x＋)；
(3)y＝2cos (x－)；
(4)y＝|sin x|.
题型 2三角函数奇偶性的判断
【问题探究2】 根据诱导公式三可知，对于x∈R，sin (－x)＝－sin x，cos (－x)＝cos x，这说明正弦函数、余弦函数具备怎样的性质？
例2 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝sin (x＋)；
(2)f(x)＝|sin x|＋cos x；
(3)f(x)＝x2cos (x＋)．
题后师说
判断三角函数奇偶性的2个策略
跟踪训练2 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝sin x cos x；
(2)f(x)＝.
题型 3三角函数周期性与奇偶性的综合
例3 (1)下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是( )
A．y＝cos |2x| B．y＝|sin 2x|
C．y＝sin (＋2x) D．y＝cos (－2x)
(2)定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈[0，]时，f(x)＝sin x，则f()＝( )
A．－ B． C．－ D．
一题多变 将本例(2)中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，结果如何？
学霸笔记：三角函数周期性与奇偶性的解题策略
利用函数的周期性，可以把x＋nT(n∈Z)的函数值转化为x的函数值．利用奇偶性，可以找到－x与x的函数值的关系，从而可解决求值和求解析式的问题．
跟踪训练3 函数f(x)＝sin (ωx－)(ω≠0)，则f(x)是________(填“奇函数”或“偶函数”)，若f(x)的周期为π，则ω＝________．
随堂练习
1.函数y＝3sin (－2x＋)最小正周期是( )
A．3 B．π
C． D．－π
2．下列函数中是偶函数的是( )
A．y＝sin 2x B．y＝－sin 2x
C．y＝sin |2x| D．y＝sin 2x＋1
3．下列函数中周期为π，且为偶函数的是( )
A．y＝cos x B．y＝sin 2x
C．y＝sin D．y＝cos x
4．已知f(x)是R上的奇函数，且f(1)＝2，f(x＋3)＝f(x)，则f(8)＝________．
课堂小结
1.求三角函数周期性常用的方法．
2．三角函数奇偶性的判断．
3．三角函数周期性与奇偶性的综合应用．
第1课时 正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性
问题探究1 提示：(1)每相隔1个单位重复出现．
(2)自变量x增加2π的整数倍时，函数值重复出现，图象发生“周而复始”的变化．
例1 解析：(1)法一：因为3sin (x＋2π)＝3sin x，由周期函数的定义知y＝3sin x的周期为2π.
法二：因为ω＝1，所以T＝2π.
(2)法一：因为cos 2(x＋π)＝cos (2x＋2π)＝cos 2x，由周期函数的定义知，y＝cos 2x的周期为π.
法二：因为ω＝2，所以T＝＝π.
(3)法一：因为2sin [(x＋4π)－]＝2sin (x＋2π－)＝2sin (x－)，由周期函数的定义知，y＝2sin (x－)的周期为4π.
法二：因为ω＝，所以T＝＝4π.
(4)y＝|cos 2x|的图象如图：
由图象可知y＝|cos 2x|的周期为.
跟踪训练1 解析：(1)因为ω＝3，所以T＝.
(2)因为ω＝2，所以T＝＝π.
(3)因为ω＝，所以T＝＝4π.
(4)y＝|sin x|的图象如图：
由图象可知y＝|sin x|的周期为π.
问题探究2 提示：函数y＝sin x是奇函数，函数y＝cos x是偶函数．
例2 解析：(1)f(x)＝sin (x＋)＝－cos x，x∈R.
因为 x∈R，都有－x∈R，
又f(－x)＝－cos (－x)＝－cos x＝f(x)，
所以函数f(x)＝sin (x＋)是偶函数．
(2)函数f(x)＝|sin x|＋cos x的定义域为R，因为 x∈R，都有－x∈R，又f(－x)＝|sin (－x)|＋cos (－x)＝|sin x|＋cos x＝f(x)，所以函数f(x)＝|sin x|＋cos x是偶函数．
(3)f(x)＝x2cos (x＋)＝－x2sin x，x∈R，
因为 x∈R，都有－x∈R，
又f(－x)＝－(－x)2sin (－x)＝x2sin x＝－f(x)，
所以函数f(x)＝x2cos (x＋)为奇函数．
跟踪训练2 解析：(1)函数的定义域为R，关于原点对称．
∵f(－x)＝sin (－x)cos (－x)＝－sin x cos x＝－f(x)，
∴f(x)＝sin x cos x为奇函数．
(2)由得cos x＝1，
∴函数的定义域为{x|x＝2kπ，k∈Z}，定义域关于原点对称．
当cos x＝1时，f(－x)＝0，f(x)＝±f(－x)，
∴f(x)＝既是奇函数又是偶函数．
例3 解析：(1)y＝cos |2x|是偶函数，y＝|sin 2x|是偶函数，y＝sin (＋2x)＝cos 2x是偶函数，y＝cos (－2x)＝－sin 2x是奇函数，根据公式得其最小正周期T＝π.故选D.
(2)f()＝f(－π)＝f()＝f(－π)＝f(－)＝f()＝sin ＝.
答案：(1)D (2)D
一题多变 解析：f()＝f(－π)＝f()＝f(－π)＝f(－)＝－f()＝－sin ＝－.
跟踪训练3 解析：f(x)＝sin (ωx－)＝－cos ωx.
∴f(－x)＝－cos (－ωx)＝－cos ωx＝f(x)，
∴f(x)为偶函数，
又T＝π，∴＝π，∴ω＝±2.
答案： 偶函数 ±2
[随堂练习]
1．解析：由y＝3sin (－2x＋)的最小正周期为T＝得T＝π.故选B.
答案：B
2．解析：A、B是奇函数，D是非奇非偶函数，C符合f(－x)＝sin |－2x|＝sin |2x|＝f(x)，
∴y＝sin |2x|是偶函数．
答案：C
3．解析：对于A：y＝cos x为周期为2π的偶函数，故A错误；对于B：y＝sin 2x为周期为π的奇函数，故B错误；对于C：y＝sin (2x＋)＝cos 2x为周期为π的偶函数，故C正确；对于D：y＝cos x为周期为4π的偶函数，故D错误．故选C.
答案：C
4．解析：∵f(x＋3)＝f(x)，
∴f(x)是周期函数，3就是它的一个周期．
又f(－x)＝－f(x)，
∴f(8)＝f(2＋2×3)＝f(2)＝f(－1＋3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2.
答案：－2第2课时 正弦函数、余弦函数的单调性与最值
【学习目标】 (1)掌握y＝sin x，y＝cos x的单调性，并能利用单调性比较大小．(2)会求函数y＝A sin (ωx＋φ)及y＝A cos (ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的单调区间．(3)掌握y＝sin x，y＝cos x的最大值与最小值，并会求简单函数的值域和最值．
题型 1正弦函数、余弦函数的单调性
【问题探究1】 (1)观察正弦函数y＝sin x，x∈[－，]的图象，正弦函数在区间[－]上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？
(2)观察余弦函数y＝cos x，x∈[－π，π]的图象，余弦函数在区间[－π，π]上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？
例1 求函数f(x)＝2sin (2x－)的单调区间．
一题多变 将函数改为f(x)＝2sin (－2x)，结果如何？
题后师说
求与正、余弦函数有关的单调区间的策略
跟踪训练1 (1)函数y＝3sin 的一个递减区间是( )
A． B．
C．D．
(2)求函数y＝cos 的单调区间．
题型 2利用正弦函数、余弦函数的单调性比较大小
例2 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：
(1)sin 3，sin 4；
(2)cos 2，cos 3；
(3)sin ，cos .
题后师说
利用单调性比较三角函数值大小的步骤
跟踪训练2 下列各式中正确的是( )
A．sin B．cos 2C．cos (－)>cos (－)
D．sin (－)题型 3正弦函数、余弦函数的最值(值域)
【问题探究2】 观察下图中的正弦曲线和余弦曲线．
正弦曲线：
余弦曲线：
(1)从正弦曲线、余弦曲线上很容易看出正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R，值域是什么？
(2)当x取何值时，正弦函数y＝sin x，x∈R分别取得最大值1和最小值－1
例3 (1)函数f(x)＝sin (2x＋)在(－)上的值域为( )
A．(0，1] B．(－，0)
C．(－，1] D．[－1，1]
(2)求函数f(x)＝2cos (2x－)，x∈R取得最大值、最小值的自变量x的集合，并求出最大值、最小值．
学霸笔记：三角函数的值域(最值)问题的求解方法
(1)形如y＝A sin x(或y＝A cos x)型，可利用正弦函数、余弦函数的有界性，注意对A正、负的讨论．
(2)形如y＝A sin (ωx＋φ)＋b(或y＝A cos (ωx＋φ)＋b)型，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得sin (ωx＋φ)(或cos (ωx＋φ))的范围，最后求得值域(最值)．
(3)求给定区间上最值(值域)的问题，可利用换元思想，设t＝ωx＋φ，转换成y＝A sin x(或y＝A cos x)型的函数求值．
跟踪训练3 求函数f(x)＝3sin (2x＋)在[0，]上的值域．
随堂练习
1.设a＝sin 33°，b＝sin 35°，c＝cos 40°，则( )
A．a>b>c B．b>c>a
C．c>b>a D．c>a>b
2．函数y＝cos x和y＝sin x都是增函数的区间是( )
A．[，π] B．[0，]
C．[－，0] D．[－π，－]
3．函数y＝1＋2sin x，x∈[－]的值域是( )
A．[－1，1] B．[0，1]
C．[] D．[0，2]
4．函数f(x)＝2cos (－2x)的递增区间为________________．
课堂小结
1.熟记正、余弦函数的单调区间；正、余弦函数的最值及取最值时自变量x的值．
2．求函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω≠0)的单调区间的一般步骤．
3．利用正弦函数、余弦函数的单调性比较大小．
4．求三角函数最值(值域)常用方法．
第2课时 正弦函数、余弦函数的单调性与最值
问题探究1 提示：(1)观察图象可知，当x∈[－]时，曲线逐渐上升，可知y＝sin x在区间[－]上单调递增，sin x的值由－1增大到1；当x∈[]时，曲线逐渐下降，可知y＝sin x在区间[]上单调递减，sin x的值由1减小到－1.
推广到整个定义域可得，
当x∈[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)时，正弦函数y＝sin x，x∈R单调递增，函数值由－1增大到1；
当x∈[＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)时，正弦函数y＝sin x，x∈R单调递减，函数值由1减小到－1.
(2)观察图象可知，当x∈[－π，0]时，曲线逐渐上升，函数y＝cos x在区间[－π，0]上单调递增，cos x的值由－1增大到1；
当x∈[0，π]时，曲线逐渐下降，函数y＝cos x在区间[0，π]上单调递减，cos x的值由1减小到－1.
推广到整个定义域可得，
当 ∈[(2k－1)π，2kπ]，k∈Z时，余弦函数y＝cos x单调递增，函数值由－1增大到1；
当x∈[2kπ，(2k＋1)π]，k∈Z时，余弦函数y＝cos x单调递减，函数值由1减小到－1.
例1 解析：因为f(x)的单调递增区间满足
－＋2kπ≤2x－＋2kπ，k∈Z，
解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
即单调递增区间是[－＋kπ，＋kπ]，k∈Z；
因为f(x)的单调递减区间满足
＋2kπ≤2x－＋2kπ，k∈Z，
解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
即单调递减区间是[＋kπ，＋kπ]，k∈Z.
一题多变 解析：f(x)＝2sin (－2x)＝－2sin (2x－)
所以f(x)的单调递增区间满足＋2kπ≤2x－＋2kπ，k∈Z，
解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
即单调递增区间是[＋kπ，＋kπ]，k∈Z；
因为f(x)的单调递减区间满足－＋2kπ≤2x－＋2kπ，k∈Z，
解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
即单调递减区间是[－＋kπ，＋kπ]，k∈Z.
跟踪训练1 解析：(1)对于函数y＝3sin (x＋)，令2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，求得2kπ＋≤x≤2kπ＋，可得函数的减区间为[2kπ＋，2kπ＋]，k∈Z，
当 k＝0时，可得该函数的一个减区间为[]，故选B.
(2)当－π＋2kπ≤≤2kπ，k∈Z时，
解得－＋4kπ≤x≤－＋4kπ，k∈Z，
故函数的单调递增区间是[－＋4kπ，－＋4kπ]，k∈Z；
令2kπ≤≤π＋2kπ，k∈Z，
解得－＋4kπ≤x≤＋4kπ，k∈Z，
故函数的单调递减区间是，k∈Z.
答案：(1)B (2)见解析
例2 解析：(1)因为0<3<π，π<4<，所以sin 3>0，sin 4<0，故sin 3>sin 4.
(2)因为<2<3<π，且y＝cos x在(，π)上单调递减，故cos 2>cos 3；
(3)sin ＝sin (＋π)＝－sin ，
cos ＝cos (＋π)＝－cos ＝－sin ，
因为0<<<，且y＝sin x在(0，)上单调递增，
所以sin －sin ，故sin >cos .
跟踪训练2 解析：由于y＝sin x在(0，)上递增，
所以sin ＝sin (π－)＝sin >sin ，A选项错误．
由于y＝cos x在(，π)上递减，
所以cos 2>cos 3，B选项错误．
cos (－)＝cos ＝cos (4π＋)＝cos >0，
cos (－)＝cos ＝(4π＋)＝cos <0，
所以cos (－)>cos (－)，C选项正确．
y＝sin x在(－，0)上递增，
所以sin (－)>sin (－)，D选项错误．故选C.
答案：C
问题探究2 提示：(1)[－1，1]
(2)当且仅当x＝＋2kπ，k∈Z时，函数取得最大值1；当且仅当x＝－＋2kπ，k∈Z时，函数取得最小值－1.
例3 解析：(1)当x∈(－)时，2x＋∈(－，π)，当2x＋＝时，即x＝时，f(x)＝sin (2x＋)取最大值1，当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)＝sin (2x＋)取最小值大于－，故值域为(－，1].故选C.
(2)对于函数f(x)＝2cos (2x－)，x∈R，
当2x－＝2kπ，k∈Z，即x∈{x|x＝＋kπ，k∈Z}时，函数f(x)取得最大值2；
当2x－＝π＋2kπ，k∈Z，即x∈{x|x＝＋kπ，k∈Z}时，函数f(x)取得最小值－2.
答案：(1)C (2)见解析
跟踪训练3 解析：令t＝2x＋，由0≤x≤可得≤t≤，
又因为函数y＝sin t在[]单调递增，在(]单调递减，
所以y＝sin t在t＝时有最大值1，
又sin ＝sin ＝，
所以sin t∈[，1]，所以函数f(x)在[0，]上的值域为[，3].
[随堂练习]
1．解析：因为函数y＝sin x在(0，)上单调递增，又c＝cos 40°＝sin 50°，且50°>35°>33°，则sin 50°>sin 35°>sin 33°，即c>b>a.故选C.
答案：C
2．解析：函数y＝cos x和y＝sin x在[－π，π]上的图象如图所示，
则由图象可知C选项符合题意，故选C.
答案：C
3．解析：∵－≤x≤，∴－≤sin x≤，∴0≤1＋2sin x≤2，所以函数的值域为[0，2].故选D.
答案：D
4．解析：因为f(x)＝2cos (－2x)＝2cos (2x－)，
令－π＋2kπ≤2x－≤2kπ，k∈Z，
解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以递增区间为[－＋kπ，＋kπ]，k∈Z.
答案：[－＋kπ，＋kπ]，k∈Z5.4.3 正切函数的性质与图象
【学习目标】 (1)了解正切函数图象的画法．(2)理解并掌握正切函数的性质．(3)能够利用正切函数的性质与图象解决相关问题．
题型 1周期函数的周期性与奇偶性
【问题探究1】 (1)正切函数的定义域是什么？
(2)诱导公式tan (π＋x)＝tan x，说明了正切函数的什么性质？
(3)诱导公式tan (－x)＝－tan x，说明了正切函数的什么性质？
例1 (1)函数y＝2tan (3x＋)的定义域是( )
A．{x|x≠＋kπ，k∈Z}
B．{x|x≠＋kπ，k∈Z}
C．{x|x≠，k∈Z}
D．{x|x≠，k∈Z}
(2)函数f(x)＝2tan ()的最小正周期为( )
A． B．π C．2π D．4π
(3)函数f(x)＝( )
A．是奇函数
B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数也不是偶函数
题后师说
1．求与正切函数有关的函数定义域的方法
除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义，即x≠＋kπ，k∈Z.
2．求与正切函数有关的函数的周期性、奇偶性问题的解决策略
跟踪训练1 (1)函数y＝3tan (ωx＋)的最小正周期是，则ω＝( )
A．4 B．2
C．－2 D．2或－2
(2)函数y＝tan (2x＋)的定义域是____________．
题型 2正切函数的图象
【问题探究2】 如何画出函数y＝tan x的图象？
例2 (1)函数y＝|tan x|，y＝tan x，y＝tan (－x)，y＝tan |x|在(－)上的大致图象依次是________(填序号)．
(2)借助正切函数的图象，不等式|tan x|≤的解集是____________________．
学霸笔记：正确画出正切函数y＝tan x，x∈(－)的简图是解题的关键．
跟踪训练2 (1)与函数y＝tan (2x＋)的图象不相交的一条直线是( )
A．x＝ B．y＝
C．x＝ D．y＝
(2)在(0，π)内，使tan x>－成立的x的取值范围为( )
A．()
B．(0，，π)
C．(0，)
D．(0，)
题型 3正切函数的单调性与值域
【问题探究3】 观察正切曲线，写出正切函数的单调区间及值域．
例3 (1)比较大小：tan ________tan .
(2)求函数y＝3tan ()的单调区间．
一题多变 将本例(2)中的函数改为y＝3tan ()，其单调区间如何？
题后师说
(1)利用正切函数单调性比较大小的步骤
(2)求函数y＝tan (ωx＋φ)的单调区间的策略
跟踪训练3 若有函数f(x)＝tan (x＋)，
(1)写出函数的单调区间；
(2)比较f(－1)、f(0)、f(1)的大小．
随堂练习
1.y＝a(a为常数)与y＝tan 3x图象相交时，相邻两交点间的距离为( )
A．π B．
C． D．
2．函数f(x)＝tan (x＋)的单调区间是( )
A．(－＋2k，＋2k)(k∈Z)
B．[－＋2k，＋2k](k∈Z)
C．(－＋4k，＋4k)(k∈Z)
D．[－＋4k，＋4k](k∈Z)
3．设a＝tan 1，b＝tan 2，c＝tan 3，则a，b，c的大小关系为( )
A．a>c>b B．aC．a>b>c D．a4．不等式1＋tan x≥0的解集是________________．
课堂小结
1.正切函数的图象
正切函数有无数多条渐近线，渐近线方程为x＝kπ＋，k∈Z，相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增．
2．正切函数的性质
(1)正切函数y＝tan x的定义域是{x|x≠kπ＋，k∈Z}，值域是R.
(2)正切函数y＝tan x的最小正周期是π，函数y＝A tan (ωx＋φ)(Aω≠0)的周期为T＝.
(3)正切函数在(－＋kπ，＋kπ)(k∈Z)上递增，不能写成闭区间．正切函数无单调减区间．
5．4.3 正切函数的性质与图象
问题探究1 提示：(1){x|x≠kπ＋，k∈Z}
(2)周期性，周期为π
(3)奇偶性，为奇函数
例1 解析：(1)由3x＋≠kπ＋，解得x≠，所以函数的定义域是{x|x≠，k∈Z}．故选D.
(2)函数f(x)＝2tan ()的最小正周期为＝2π.故选C.
(3)要使f(x)有意义，必须满足
即x≠kπ＋，且x≠(2k＋1)π(k∈Z)，
∴函数f(x)的定义域关于原点对称．
又f(－x)＝＝－＝－f(x)，
故f(x)＝是奇函数．故选A.
答案：(1)D (2)C (3)A
跟踪训练1 解析：(1)y＝3tan (ωx＋)的最小正周期是，所以＝，解得ω＝±2.故选D.
(2)函数y＝tan (2x＋)的定义域满足2x＋≠kπ＋，k∈Z，即x≠kπ＋，k∈Z，所以函数y＝tan (2x＋)的定义域为{x|x≠kπ＋，k∈Z}．
答案：(1)D (2){x|x≠kπ＋，k∈Z}
问题探究2 提示：如图，先画出y＝tan x，x∈[0，)内的图象，然后根据正切函数是奇函数，得到关于原点对称的y＝tan x，x∈(－，0)的图象，再根据函数的周期性，只要把函数y＝tan x，x∈(－)的图象向左、右平移，每次平移π个单位，就可得到正切函数y＝tan x，x∈R，x≠＋kπ，k∈Z的图象，我们把它叫做正切曲线．
例2 解析：(1)∵|tan x|≥0，∴图象在x轴上方，∴y＝|tan x|对应①；
∵tan |x|是偶函数，∴图象关于y轴对称，∴y＝tan |x|对应③；
而y＝tan (－x)与y＝tan x关于y轴对称，∴y＝tan (－x)对应④，
y＝tan x对应②，
故四个图象依次是①②④③.
(2)|tan x|≤，则－≤tan x≤，
则kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
答案：(1)①②④③ (2){x|kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z}
跟踪训练2 解析：(1)由2x＋＝＋kπ(k∈Z)，得x＝(k∈Z)，令k＝0，得x＝.所以，函数y＝tan (2x＋)的图象的一条渐近线为直线x＝，即直线x＝与函数y＝tan (2x＋)的图象不相交．故选C.
(2)画出y＝tan x(0由图象可得tan x>－，在(0，π)上解集为(0，，π)，故选B.
答案：(1)C (2)B
问题探究3 提示：单调增区间为(kπ－，kπ＋)(k∈Z)，无减区间 R
例3 解析：(1)根据三角函数的诱导公式，可得tan ＝tan (3π＋)＝tan ，tan ＝tan (3π＋)＝tan ，因为0<<<，且函数y＝tan x在[0，)上为单调递增函数，所以tan (2)由－＋kπ<<＋kπ，k∈Z，
解得－＋4kπ∴函数y＝3tan ()的单调递增区间为(－＋4kπ，＋4kπ)，k∈Z，无减区间．
答案：(1)< (2)见解析
一题多变 解析：∵y＝3tan ()＝－3tan ()，
∴－＋kπ<<＋kπ，k∈Z，
解得－＋4kπ∴函数y＝3tan ()的单调递减区间为(－＋4kπ，＋4kπ)，k∈Z，无增区间．
跟踪训练3 解析：(1)由kπ－得函数的单调增区间为(kπ－，kπ＋)，k∈Z，无单调减区间．
(2)f(0)＝tan ＝1>0，
∵－<－1＋<0，0<<，
∴f(－1)＝tan (－1＋)＝－tan <0，
∵<1＋<π，0<<，
∴f(1)＝tan (1＋)＝－tan (π－1－)＝－tan <0，
∵>0，
y＝tan x在(0，)上是增函数，
∴tan >tan ，
∴－tan <－tan ，
即f(1)f(－1)>f(1)．
[随堂练习]
1．解析：函数y＝tan 3x的最小正周期为，所以y＝a(a为常数)与y＝tan 3x的图象相交时，相邻两交点间的距离为.故选C.
答案：C
2．解析：由－＋kπ解得x∈(－＋2k，＋2k)，k∈Z，
所以函数f(x)＝tan (x＋)的单调区间是(－＋2k，＋2k)(k∈Z)．故选A.
答案：A
3．解析：由题意得，函数y＝tan x在(0，)上单调递增且tan x>0，在(，π)上单调递增且tan x<0，因为<1<<2<3<π，所以tan 20，所以a>c>b.故选A.
答案：A
4．解析：由题设，tan x≥－1，则解集为{x|kπ－≤x答案：{x|kπ－≤x【学习目标】 (1)了解两角差的余弦公式的推导过程，知道两角差的余弦公式的意义．(2)能利用两角差的余弦公式进行化简、求值、证明．
【问题探究】 如图所示，设单位圆与x轴的正半轴相交于点A(1，0)，以x轴非负半轴为始边作角α，β，α－β，它们的终边分别与单位圆相交于点P1、A1、P.
请问P1、A1、P点的坐标如何表示？线段AP和A1P1有什么关系？
题型 1两角差的余弦公式的简单应用
例1 求下列各式的值：
(1)cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195°；
(2).
题后师说
利用两角差的余弦公式求值的2个策略
跟踪训练1 (1) cos 的值是( )
A． B．
C． D．
(2)sin 75°cos 105°＋sin 15°sin 105°＝________．
题型 2给值求值
例2 (1)已知cos α＝，α∈(，2π)，求cos (α－).
(2)已知cos α＝，cos (α－β)＝且0<β<α<，求cos β.
一题多变 将本例(1)改为：已知cos (α＋)＝－，且α∈(0，)，求cos α.
题后师说
给值求值问题的解题策略
跟踪训练2 已知α，β∈(π，π)，sin (α＋β)＝－，sin (β－)＝，求cos (α＋)的值．
题型 3给值求角
例3 已知cos α＝，cos (α＋β)＝－，且α，β∈(0，)，求β的值．
题后师说
给值求角的解题步骤
跟踪训练3 已知α，β均为锐角，且cos α＝，cos β＝，求α－β的值．
随堂练习
1.cos (α－35°)cos (25°＋α)＋sin (α－35°)sin (25°＋α)的值为( )
A．－B．
C．－ D．
2．sin α＝，α∈(，π)，则cos (－α)的值为( )
A．－B．－
C．－ D．－
3.＝( )
A．B．
C． D．
4．已知α，β均为锐角，且sin α＝，sin β＝，则α－β＝________．
课堂小结
1.熟记两角差的余弦公式，既可以正用，又可以逆用．
2．“给值求值”问题，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”．
3．“给值求角”问题，实际上可转化为“给值求值”问题．
第1课时 两角差的余弦公式
问题探究 提示：P1(cos α，sin α)、A1(cos β，sin β)、P(cos (α－β)，sin (α－β)) AP＝A1P1
例1 解析：(1)cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195°
＝cos 75°cos 15°＋sin 75°sin 15°
＝cos (75°－15°)＝cos 60°＝.
(2)原式＝
＝
＝＝cos 15°＝cos (60°－45°)＝.
跟踪训练1 解析：(1)cos ＝cos ()＝cos cos ＋sin sin ＝＝.故选D.
(2)原式＝cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°＝cos (15°－105°)＝cos (－90°)＝cos 90°＝0.
答案：(1) D (2)0
例2 解析：(1)∵cos α＝，α∈(，2π)，∴sin α＝－.
∴cos (α－)＝cos αcos ＋sin αsin ＝＝.
(2)因为0<β<α<，所以0<α－β<，
因为cos α＝，所以sin α＝＝，
又cos(α－β)＝，所以sin (α－β)＝＝，
所以cosβ＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos (α－β)＋sin αsin (α－β)＝＝.
一题多变 解析：∵cos (α＋)＝－，且α∈(0，)，
∴sin (α＋)＝.
∵α＝(α＋)－，
∴cos α＝cos [(α＋)－]
＝cos (α＋)cos ＋sin (α＋)sin
＝－＝.
跟踪训练2 解析：因为α，β∈(π，π)，sin (α＋β)＝－，sin (β－)＝，α＋β∈(π，2π)，β－∈(π)，
所以cos (α＋β)＝，cos (β－)＝－，
cos (α＋)＝cos [(α＋β)－(β－)]
＝cos (α＋β)cos (β－)＋sin (α＋β)sin (β－)
＝＝－.
例3 解析：∵α，β∈(0，)且cos α＝，cos (α＋β)＝－，
∴α＋β∈(0，π)，∴sin α＝＝，
sin(α＋β)＝＝.
又∵β＝(α＋β)－α，
∴cosβ＝cos [(α＋β)－α]＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α
＝＝.
又∵β∈(0，)，∴β＝.
跟踪训练3 解析：∵α，β均为锐角，
∴sin α＝，sin β＝，
∴cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
＝＝.
又sin α[随堂练习]
1．解析：由余弦的差角公式得cos (α－35°)cos (25°＋α)＋sin (α－35°)sin (25°＋α)＝cos [(α－35°)－(25°＋α)]＝cos (－60°)＝，故选B.
答案：B
2．解析：∵sin α＝且α∈(，π)，∴cos α＝－，∴cos (－α)＝cos cos α＋sin sin α＝－.故选B.
答案：B
3．解析：＝
＝＝.故选A.
答案：A
4．解析：因为α，β均为锐角，且sin α＝，sin β＝，
所以cos α＝＝＝，cos β＝＝＝.
所以cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝＝.
因为α，β均为锐角，且sin α＝，sin β＝，所以α>β，
所以0<α－β<，所以α－β＝.
答案：第2课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
【学习目标】 (1)能由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式、两角和与差的正弦公式及正切公式，了解它们的内在联系．(2)掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并能灵活运用这些公式进行简单的化简、求值．
【问题探究】 (1)在两角差的余弦公式cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β中，以－β代换β，你会得到什么公式？
(2)在两角差的余弦公式cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β中，以－α代换α，你会得到什么公式？
(3)在两角和的正弦公式中，sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，以－β代换β，你会得到什么公式？
(4)请你用两角和与差的正弦、余弦公式化简和，结果都用正切表示．
题型 1公式的简单应用
例1 求下列各式的值：
(1)；
(2)sin 110°·cos 40°－cos 70°·sin 40°；
(3)tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°.
题后师说
给角求值问题的解题策略
跟踪训练1 (1)已知黄金三角形是一个等腰三角形，其底与腰的长度的比值为黄金比值(即黄金分割值，该值恰好等于2sin 18°)，则下列式子的结果不等于的是( )
A．sin 10°cos 8°＋cos 10°sin 8°
B．cos 40°cos 32°－sin 40°sin 32°
C．sin 100°cos 26°＋cos 100°sin 26°
D．sin 92°sin 16°－cos 92°cos 16°
(2)计算：＝________．
题型 2给值求值
例2 (1)已知tan α＝2，tan β＝4，则tan (α＋β)＝( )
A． B．－
C．－ D．
(2)已知sin (＋α)＝，cos (－β)＝，且0<α<<β<，求cos (α＋β).
一题多变 本例(2)条件不变，求sin (α－β).
题后师说
给值求值的解题策略
跟踪训练2 已知α为钝角，β为锐角，sin α＝，cos (α－β)＝.
(1)求tan α，tan (α－)；
(2)求sin β.
题型 3给值求角
例3 已知sin α＝，sin β＝，且α，β∈(0，)，求角α＋β的大小．
学霸笔记：给值求角的方法
一般先求出该角的某个三角函数值，再确定该角的取值范围，最后得出该角的大小．至于求该角的哪一个三角函数值，这要取决于该角的取值范围，然后结合三角函数值在不同象限的符号来确定，一般地，若θ∈(0，π)，则通常求cos θ，若θ∈(－，)，则通常求sin θ，否则容易导致增解．
跟踪训练3 已知α，β均为锐角，且(1－tan α)(1－tan β)＝4，求α＋β.
随堂练习
1.sin 40°sin 50°－cos 40°cos 50°＝( )
A．－1 B．1
C．0 D．－cos 10°
2．若cos θ＝－且θ∈(，π)，则sin (θ＋)的值为( )
A．B．－
C． D．
3. sin 15°＋cos 15°＝( )
A． B．
C． D．1
4．已知tan (α－β)＝－2，tan (β＋)＝3，则tan (＋α)＝________．
课堂小结
1.使用两角和与差的正弦、余弦、正切公式时，不仅要会正用，还要能够逆用公式，要先从化简式子的结构出发，确定是正用、逆用还是变形用，并注意整体代换．
2．利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式主要解决给角求值、给值求值、给值求角．
第2课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
问题探究 提示：(1)cos (α＋β)＝cos αcos (－β)＋sin αsin (－β)＝cos αcos β－sin αsin β.
(2)sin (α＋β)＝cos [(－α)－β]＝cos (－α)cos β＋sin (－α)sin β＝sin αcos β＋cos αsin β.
(3)sin (α－β)＝sin αcos (－β)＋cos αsin (－β)＝sin αcos β－cos αsin β.
(4)＝
＝＝，
即tan (α＋β)＝.
同理可得tan (α－β)＝.
例1 解析：(1)∵sin 47°＝sin (30°＋17°)＝sin 30°cos 17°＋cos 30°sin 17°，
∴原式＝＝sin 30°＝.
(2)sin 110°·cos 40°－cos 70°·sin 40°
＝sin (180°－70°)·cos 40°－cos 70°·sin 40°
＝sin 70°·cos 40°－cos 70°·sin 40°
＝sin (70°－40°)＝sin 30°＝.
(3)∵＝tan (12°＋33°)＝tan 45°＝1.
∴tan 12°＋tan 33°＝1－tan 12°tan 33°，
∴tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°＝1.
跟踪训练1 解析：(1)对于A，sin 10°cos 8°＋cos 10°sin 8°＝sin (10°＋8°)＝sin 18°＝，A正确；
对于B，cos 40°cos 32°－sin 40°sin 32°＝cos (40°＋32°)＝cos 72°＝sin 18°＝，B正确；
对于C，sin 100°cos 26°＋cos 100°sin 26°＝sin (100°＋26°)＝sin 126°＝sin 54°≠，C错误；
对于D，sin 92°sin 16°－cos 92°cos 16°＝－cos (92°＋16°)＝－cos 108°＝sin 18°＝，D正确．故选C.
(2)＝＝tan (45°－15°)＝.
答案：(1)C (2)
例2 解析：(1)因为tan α＝2，tan β＝4，所以tan (α＋β)＝＝＝－.故选B.
(2)∵0<α<<β<，
∴<＋α<π，－<－β<0.
又∵sin (＋α)＝，cos (－β)＝，
∴cos (＋α)＝－，sin (－β)＝－.
∴cos (α＋β)＝sin [＋(α＋β)]
＝sin [(＋α)－(－β)]
＝sin (＋α)cos (－β)－cos (＋α)sin (－β)
＝＝－.
答案：(1)B (2)见解析
一题多变 解析：由本例(2)知，
sin (α－β)＝－sin [(＋α)＋(－β)]
＝－[sin (＋α)cos (－β)＋cos (＋α)sin (－β)]
＝－[＋(－)×(－)]＝－.
跟踪训练2 解析：(1)∵<α<π，sin α＝，
∴cos α＝－＝－，∴tanα＝＝－，
∴tan (α－)＝＝＝7.
(2)∵<α<π，0<β<，
∴0<α－β<π，又cos (α－β)＝，
∴sin (α－β)＝＝，
∴sinβ＝sin [α－(α－β)]＝sin αcos (α－β)－cos αsin (α－β)
＝＝.
例3 解析：∵sin α＝，sin β＝，且α，β∈(0，)，
∴cos α＝＝，cosβ＝＝，
∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
＝＝，
又由已知可得α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝.
跟踪训练3 解析：由(1－tan α)(1－tan β)＝4，
得1－tan β－tan α＋3tan αtan β＝4，
所以－(tan β＋tan α)＝3(1－tan αtan β)，
所以＝－＝－，
所以tan (α＋β)＝－，
因为α，β∈(0，)，所以(α＋β)∈(0，π)，
所以α＋β＝.
[随堂练习]
1．解析：由两角和的余弦公式得：sin 40°sin 50°－cos 40°cos 50°＝－(cos 40°cos 50°－sin 40°sin 50°)＝－cos (40°＋50°)＝－cos 90°＝0，故选C.
答案：C
2．解析：θ∈(，π)，故sin θ>0，因为cos θ＝－，所以sin θ＝＝，所以sin(θ＋)＝sin θcos ＋cos θsin ＝＝.故选A.
答案：A
3．解析：由两角和正弦公式，可得sin 15°＋cos 15°＝cos 30°sin 15°＋sin 30°cos 15°＝sin (15°＋30°)＝sin 45°＝.故选C.
答案：C
4．解析：tan (＋α)＝tan [(α－β)＋(β＋)]
＝
＝＝.
答案：
