第1课时 集合的概念
【学习目标】 (1)通过实例了解集合的含义，并掌握集合中元素的三个特性．(2)体会元素与集合间的“从属关系”．(3)记住常用数集的表示符号并会应用．
题型 1对集合概念的进一步理解
【问题探究1】 分别由元素1，2，3和3，2，1组成的两个集合有何关系？集合中的元素有没有先后顺序？
例1 考察下列每组对象能否构成一个集合：
(1)不超过20的非负数；
(2)方程x2－9＝0在实数范围内的解；
(3)某校2022年在校的所有矮个子同学；
(4)的近似值的全体．
学霸笔记：判断一组对象能否组成集合的标准：判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合．同时还要注意集合中元素的互异性、无序性．
跟踪训练1 考察下列每组对象，能构成集合的是( )
①中国各地的美丽乡村；②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；③不小于3的自然数；④截止到2022年1月1日，参与“一带一路”的国家．
A．③④ B．②③④ C．②③ D．②④
题型 2元素与集合的关系
【问题探究2】 设集合A表示“1～10之间的所有奇数”，3和4与集合A是何关系？
例2 (1)(多选)下列关系中，正确的是( )
A．－ Z B．π R
C．|－|∈Q D．0∈N
(2)已知集合A含有三个元素2，4，6，且当a∈A，有6－a∈A，那么a为( )
A．2 B．2或4
C．4 D．0
题后师说
判断元素与集合关系的2种方法
跟踪训练2 (1)下列所给关系中，正确关系的个数是( )
①π∈Z ②∈Q ③2∈N ④|－4| R
A．1 B．2 C．3 D．4
(2)已知集合M有两个元素3和a＋1，且4∈M，则实数a＝________．
题型 3 集合中元素的特性及应用
【问题探究3】 英文单词good的所有字母能否组成一个集合？若能组成一个集合，则该集合中有几个元素？为什么？
例3 已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a的值为________．
一题多变 本例若将条件“1∈A”改为“2∈A”，其他条件不变，求实数a的值．
题后师说
由集合中元素的特性求解字母取值的一般步骤
跟踪训练3 已知集合A中含有a－2，a2＋4a，12三个元素，且－3∈A，则a＝( )
A．－3或－1 B．－1
C．3 D．－3
随堂练习
1.(多选)下列说法中，正确的是( )
A．若a∈Z，则－a∈Z
B．R中最小的元素是0
C．的近似值的全体构成一个集合
D．一个集合中不可以有两个相同的元素
2．设不等式2x－3>0的解构成的集合为M，则下列表示正确的是( )
A．0∈M，2∈M B．0 M，2∈M
C．0∈M，2 MD．0 M，2 M
3．用“∈”或“ ”填空．
________Q，π________Q，________R，________R.
4．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素构成的集合，且2∈A，则实数m＝________．
课堂小结
1.研究对象能否构成集合，就要看是否有一个确定的标准，能确定一个个体是否属于这个总体．
2．集合元素的三个特征
(1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．
(2)互异性：给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．
(3)无序性：集合中元素没有顺序．
第1课时 集合的概念
问题探究1 提示：两个集合相等．只有构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的．也就是说集合中的元素没有先后顺序(无序性)．
例1 解析：(1)对任意一个实数能判断出是不是“不超过20的非负数”，所以能构成集合；
(2)能构成集合，方程只有两个实根3和－3；
(3)“矮个子”无明确的标准，对于某个人算不算矮个子无法客观地判断，因此不能构成一个集合；
(4)“的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以不能构成集合．
跟踪训练1 解析：对于①，“美丽”标准不明确，不符合集合中元素的确定性，∴①中对象不能构成集合；对于②③④，每组对象的标准明确，都符合集合中元素的确定性，∴②③④中对象可以构成集合．故选B.
答案：B
问题探究2 提示：3是集合A中的元素，即3属于集合A，记作3∈A；4不是集合A中的元素，即4不属于集合A，记作4 A.
例2 解析：(1)因为Z是整数集，故－ Z，所以A正确；因为R是实数集，故π∈R，所以B错误；因为Q是有理数集，故|－|＝ Q，所以C错误；因为N是自然数集，故0∈N，所以D正确，故选AD.
(2)集合A含有三个元素2，4，6，且当a∈A，有6－a∈A，a＝2∈A，6－a＝4∈A，所以a＝2，或者a＝4∈A，6－a＝2∈A，所以a＝4，综上所述，a＝2或4.故选B.
答案：(1)AD (2)B
跟踪训练2 解析：(1)对于①，π是无理数，所以π Z，故①错误；对于②，是无理数，所以 Q，故②错误；对于③，2∈N，故③正确；对于④，|－4|＝4∈R，故④错误．故选A.
(2)因为4∈M，且集合M有两个元素3和a＋1，所以4＝3或4＝a＋1，又4＝3不成立，所以4＝a＋1，∴a＝3.
答案：(1)A (2)3
问题探究3 提示：能，因为集合中的元素是确定的(确定性)；3个元素，因为集合中的元素是互不相同的(互异性)．
例3 解析：若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1.
当a＝1时，集合A有重复元素，不符合元素的互异性，∴a≠1；
当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1，符合元素的互异性．∴a＝－1.
答案：－1
一题多变 解析：若a＝2，则a2＝4，符合元素的互异性；若a2＝2，则a＝或a＝－，符合元素的互异性．所以a的取值为2，，－.
跟踪训练3 解析：因为－3∈A，当a－2＝－3，得a＝－1，则A＝{－3，12}，不合题意，故舍去．
当a2＋4a＝－3，故a＝－1(舍去)或a＝－3，此时A＝{－5，－3，12}，满足．故选D.
答案：D
[随堂练习]
1．解析：若a∈Z，则－a也是整数，即－a∈Z，故A正确；因为实数集中没有最小的元素，所以B错误；因为“的近似值”不具有确定性，所以不能构成集合，故C错误；同一集合中的元素是互不相同的，故D正确．故选AD.
答案：AD
2．解析：由2x－3>0得x>，因为0<，2>，所以0 M，2∈M，故选B.
答案：B
3．解析：∈Q，π Q，∈R，∈R.
答案：∈ ∈ ∈
4．解析：由题意知，m＝2或m2－3m＋2＝2，解得m＝2或m＝0或m＝3，经验证，当m＝0或m＝2时，不满足集合中元素的互异性，当m＝3时，满足题意，故m＝3.
答案：3第2课时 集合的表示
【学习目标】 (1)掌握集合的两种表示方法(列举法、描述法)．(2)能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合．
题型 1用列举法表示集合
【问题探究1】 设集合M是小于6的正整数组成的集合，集合M中的元素能一一列举出来吗？
例1 用列举法表示下列集合．
(1)不大于10的非负偶数组成的集合；
(2)方程x3＝x的所有实数解组成的集合；
(3)直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合．
题后师说
用列举法表示集合的步骤
跟踪训练1 用列举法表示下列集合：
(1)方程x2＝2x的所有实数解组成的集合；
(2)一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点组成的集合D；
(3)由所有正整数构成的集合．
题型 2用描述法表示集合
【问题探究2】 你能用列举法表示不等式x－7<3的解集吗？该如何表示？
例2 用描述法表示下列集合：
(1)比1大又比10小的实数组成的集合；
(2)不等式3x＋4≥2x的所有解；
(3)到两坐标轴距离相等的点的集合．
题后师说
用描述法表示集合的步骤
跟踪训练2 用描述法表示下列集合：
(1)被3除余1的正整数的集合．
(2)坐标平面内第一象限内的点的集合．
(3)大于4的所有偶数．
题型 3集合表示法的综合应用
例3 已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0，x∈R，a∈R}．若A中只有一个元素，求a的值，并求集合A.
一题多变 在本例条件下，若A中至多有一个元素，求a的取值范围．
学霸笔记：
根据已知的集合求参数的关注点
(1)若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键，如例3集合A中的元素就是所给方程的根，由此便把集合的元素个数问题转化为方程的根的个数问题．
(2)a＝0这种情况极易被忽视，对于方程“ax2＋2x＋1＝0”有两种情况：一是a＝0，即它是一元一次方程；二是a≠0，即它是一元二次方程，也只有在这种情况下，才能用判别式Δ来解决问题．
跟踪训练3 已知集合A＝{m－2，2m，m2－4}，若0∈A，求实数m的值．
随堂练习
1.集合{x∈N*|x－3＜2}另一种表示方法为( )
A．{0，1，2，3，4} B．{1，2，3，4}
C．{0，1，2，3，4，5} D．{1，2，3，4，5}
2．集合A＝{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R}表示的是( )
A．第二象限的点
B．第四象限的点
C．第二和第四象限的点
D．不在第一象限也不在第三象限的点
3．设集合A＝{1，－2，a2－1}，B＝{1，a2－3a，0}，若A，B相等，则实数a＝________．
4．选择适当的方法表示下列集合：
(1)不小于1且不大于17的质数组成的集合A；
(2)所有正奇数组成的集合B；
(3)绝对值不大于3的所有整数组成的集合C；
(4)直角坐标平面上，抛物线y＝x2上的点组成的集合D.
课堂小结
1.表示集合的要求：
(1)根据要表示的集合元素的特点，选择适当方法表示集合，一般要符合最简原则．
(2)一般情况下，元素个数无限的集合不宜用列举法表示，描述法既可以表示元素个数无限的集合，也可以表示元素个数有限的集合．
2．在用描述法表示集合时应注意：
(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式．
(2)元素具有怎样的属性．当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑．
第2课时 集合的表示
问题探究1 提示：能.1，2，3，4，5.
例1 解析：(1)因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是{0，2，4，6，8，10}．
(2)方程x3＝x的解是x＝0或x＝1或x＝－1，所以方程的解组成的集合为{0，1，－1}．
(3)将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是(0，1)，故两直线的交点组成的集合是{(0，1)}．
跟踪训练1 解析：(1)方程x2＝2x的解是x＝0或x＝2，
所以方程的解组成的集合为{0，2}．
(2)由得
所以一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的交点为(1，4)，所以D＝{(1，4)}．
(3)正整数有1，2，3，…，所求集合为{1，2，3，…}．
问题探究2 提示：不等式x－7<3的解是x<10，因为满足x<10的实数有无数个，所以x－7<3的解集无法用列举法表示，但是，我们可以利用解集中元素的共同特征，即x是实数，且x<10，把解集表示为{x∈R|x<10}．
例2 解析：(1)根据描述用不等式表示出即可，可以表示成{x∈R|1
(2)先表示成{x|3x＋4≥2x}，解不等式即{x|x≥－4}．
(3)到两坐标轴距离相等的点在坐标轴的角平分线上，即y＝x，或y＝－x，可以表示成{(x，y)|y＝±x}．
跟踪训练2 解析：(1)因为集合中的元素除以3余数为1，所以集合表示为：{x|x＝3n＋1，n∈N}；
(2)第一象限内的点，其横坐标、纵坐标均大于0，所以集合表示为：{(x，y)|x>0，y>0}；
(3)大于4的所有偶数都是正整数，所以集合表示为：{x|x＝2n，n≥3，n∈Z}．
例3 解析：当a＝0时，集合A＝{x|－3x＋2＝0}＝{}，
当a≠0时，Δ＝0，∴9－8a＝0，解得a＝，此时集合A＝{}，
综上所求，a的值为0或，当a＝0时，集合A＝{}，当a＝时，集合A＝{}．
一题多变 解析：A中至多有一个元素，即A中有一个元素或没有元素，当A中只有一个元素时，由例题可知，a＝0或a＝.当A中没有元素时，Δ＝9－8a<0，且a≠0，即a>.故当A中至多有一个元素时，a的取值范围为{a|a＝0或a≥}．
跟踪训练3 解析：分情况讨论：
①若m－2＝0，则m＝2，2m＝4，m2－4＝0，不符合集合元素的互异性原则；
②若2m＝0，则m＝0，m－2＝－2，m2－4＝－4，
此时A＝{－2，0，－4}，符合题意；
③若m2－4＝0，则m＝2或－2，
当m＝2时，m－2＝0，2m＝4，不符合集合元素的互异性原则；
当m＝－2时，m－2＝－4，2m＝－4，不符合集合元素的互异性原则．
综上：m＝0.
[随堂练习]
1．解析：{x∈N*|x－3＜2}＝{x∈N*|x＜5}＝{1，2，3，4}．故选B.
答案：B
2．解析：A＝{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R}的元素满足xy<0或xy＝0，
当xy＝0时，表示两个坐标轴上的点，
当xy<0时，表示第二象限或者第四象限的点．故选D.
答案：D
3．解析：由集合相等的概念得解得a＝1.
答案：1
4．解析：(1)不小于1且不大于17的质数有2，3，5，7，11，13，17，用列举法表示：A＝{2，3，5，7，11，13，17}；
(2)所有正奇数有无数个，用描述法表示：B＝{x|x＝2k＋1，k∈N}；
(3)绝对值不大于3的所有整数只有－3，－2，－1，0，1，2，3，用列举法表示：C＝{－3，－2，－1，0，1，2，3}；
(4)直角坐标平面上，抛物线y＝x2上的点，用描述法表示：D＝{(x，y)|y＝x2}．1.2 集合间的基本关系
【学习目标】 (1)理解集合之间的包含和相等的含义，能识别给定集合的子集．(2)在具体情境中，了解全集与空集的含义．
题型 1集合间关系的判断
【问题探究1】 集合间的关系有几种？
例1 指出下列各对集合之间的关系：
(1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}；
(2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；
(3)A＝{x|－1(4)A＝{x|x＝2m＋1，m∈Z}，B＝{x|x＝2n－1，n∈Z}．
题后师说
判断集合间关系的3种常用方法
跟踪训练1 (1)若集合A＝{x|x＝3k－1，k∈Z}，B＝{y|y＝6m＋5，m∈Z}，则集合A与B的关系是( )
A．A＝B B．A B
C．B A D．不确定
(2)设A＝{四边形}，B＝{梯形}，C＝{平行四边形}，D＝{菱形}，E＝{正方形}，则下列关系正确的是( )
A．E?D?C?A B．D?E?C?A
C．D?B?AD．E?D?C?B?A
题型 2子集、真子集的个数问题
【问题探究2】 请写出集合{3，5，8}的所有子集和它的真子集．
例2 (1)集合A＝{x∈N|∈N}的真子集个数为________，非空真子集个数为________．
(2)已知集合M满足：{1，2}?M {1，2，3，4，5}，写出集合M所有的可能情况．
题后师说
(1)求集合子集、真子集个数的3个步骤
(2)与子集、真子集个数有关的3个结论
假设集合A中含有n个元素，则有：
①A的子集的个数为2n个；
②A的真子集的个数为2n－1个；
③A的非空真子集的个数为2n－2个．
跟踪训练2 (1)集合A＝{x∈N|－5<2x－1<5}的子集个数为( )
A．4 B．7
C．8 D．16
(2)满足 ?M {1，2，3}的集合M共有( )
A．6个 B．7个
C．8个 D．15个
题型 3由集合间的关系求参数范围
例3 已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，若A B，求实数m的取值范围．
一题多变 本例中若将“A B”改为“B A”，其他条件不变，求m的取值范围．
题后师说
根据集合的包含关系求参数的策略
跟踪训练3 已知集合A＝{3，m2}，B＝{－1，3，2m－1}，若A B，求实数m的值．
随堂练习
1.下列各式中关系符号运用正确的是( )
A．0＝ B． ∈{0，1，2}
C．1∈{0，1，2} D．{1}∈{0，1，2}
2．已知a＝，A＝{x|x>，x∈R}，则( )
A．a AB．{a} A
C．{a}∈A D．{a}＝A
3．已知集合A＝{x|2A．3 B．4
C．7 D．8
4．已知集合A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|x≥a}，且A B，则实数a的取值范围是________．
课堂小结
1.对子集、真子集有关概念的理解．
2．集合子集的个数问题．
3．由集合间的关系求参数问题．
1．2 集合间的基本关系
问题探究1 提示：3种．包含、真包含、相等．
例1 解析：(1)集合A的元素是数，集合B的元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．
(2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A B.
(3)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知A B.
(4)因为A＝{x|x＝2m＋1，m∈Z}，B＝{x|x＝2n－1，n∈Z}，
所以集合A与集合B中的元素都是全体奇数，所以A＝B.
跟踪训练1 解析：(1)B＝{y|y＝6m＋5，m∈Z}＝{x|x＝6m＋5，m∈Z}，任意x∈B，则存在m∈Z，使x＝6m＋5，而x＝6m＋5＝3(2m＋2)－1∈A，故B A，又∵2∈A，2 B，∴A＝B，A B都不正确，故选C.
(2)集合A，B，C，D，E之间的关系可用Venn图表示，结合下图可知，应选A.
答案：(1)C (2)A
问题探究2 提示：集合{3，5，8}的所有子集为 ，{3}，{5}，{8}，{3，5}，{3，8}，{5，8}，{3，5，8}；
集合{3，5，8}的所有真子集为 ，{3}，{5}，{8}，{3，5}，{3，8}，{5，8}．
例2 解析：(1)∵∈N，x∈N，∴x＝5，4，3，2，0，∴集合A＝{0，2，3，4，5}，∴集合A的真子集个数为25－1＝31，非空真子集个数为25－2＝30.
(2)由题意可以确定集合M必含有元素1，2，
且至少含有元素3，4，5中的一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：
含有3个元素：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}；
含有4个元素：{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}；
含有5个元素：{1，2，3，4，5}．
故满足条件的集合M为{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，
{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}．
答案：(1)31 30 (2)见解析
跟踪训练2 解析：(1)因为A＝{x∈N|－5<2x－1<5}＝{x∈N|－2(2) ?M {1，2，3}，可按元素个数分类依次写出集合M为{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，共7个．故选B.
答案：(1)C (2)B
例3 解析：∵A B，∴解得
故3≤m≤4.
∴实数m的取值范围是{m|3≤m≤4}．
一题多变 解析：当B＝ 时，m－6>2m－1，即m<－5.
当B≠ 时，
即m∈ .
故实数m的取值范围是{m|m<－5}．
跟踪训练3 解析：因为A B，所以m2＝2m－1，即(m－1)2＝0，所以m＝1，当m＝1时，B＝{－1，3，1}，A＝{3，1}满足A B.
[随堂练习]
1．解析：因为 是集合，0是数字，所以选项A错误；
因为{0，1，2}是集合，所以 {0，1，2}，故选项B错误；
因为1是{0，1，2}中的元素，所以选项C正确；
因为{1} {0，1，2}，所以选项D错误．故选C.
答案：C
2．解析：因为a＝，A＝{x|x>，x∈R}，所以a∈A或{a} A.故选B.
答案：B
3．解析：集合A＝{x|2答案：D
4．解析：因为集合A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|x≥a}，且A B，所以a≤－2.
答案：{a|a≤－2}第1课时 并集、交集
【学习目标】 (1)掌握并集、交集的定义．(2)会进行简单的并集、交集运算．
题型 1并集的运算
【问题探究1】 某超市进了两次货，第一次进的货是圆珠笔、钢笔、橡皮、笔记本、方便面、汽水共6种，第二次进的货是圆珠笔、铅笔、火腿肠、方便面共4种，我们用集合A表示第一次进货的品种，用集合B表示第二次进货的品种，通过观察，你能用集合C表示两次一共进货的品种吗？并讨论集合A，集合B与集合C的关系．
例1 (1)若集合A＝{－1，2}，B＝{x|x2－2x＝0}，则集合A＝( )
A．{－1，2} B．{0，1，2}
C．{0，2} D．{－1，0，2}
(2)已知集合M＝{x|－35}，则M＝( )
A．{x|x<－5或x>－3}
B．{x|－5C．{x|－3D．{x|x<－3或x>5}
题后师说
集合并集运算的策略
跟踪训练1 (1)已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x∈N|x≤2}，则A＝( )
A．{2，3} B．{0，1，2，3}
C．{1，2} D．{1，2，3}
(2)已知集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2A．{x|2C．{x|1≤x<4} D．{x|2≤x<4}
题型 2交集的运算
【问题探究2】 对于问题探究1中的集合A与集合B，你能用集合D表示两次进货一样的品种吗？并讨论集合A，B与集合D的关系．
例2 (1)设集合A＝{x|－2A．{2} B．{2，3}
C．{3，4} D．{2，3，4}
(2)若集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x<－1或x>4}，则集合A＝( )
A．{x|x≤3或x>4} B．{x|－1C．{x|3≤x<4} D．{x|－2≤x<－1}
题后师说
求集合交集的一般步骤
跟踪训练2 (1)设集合A＝{x|－1A．{x|0C．{1，2} D．{0，1，2}
(2)已知集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|0＜x≤3}，则A＝( )
A．{x|0＜x＜2} B．{x|0＜x≤2}
C．{x|2＜x＜3} D．{x|2＜x≤3}
题型 3根据并集与交集运算求参数范围
例3 已知集合A＝{x|－3一题多变 把本例中的条件“A＝A”换为“A＝A”，求k的取值范围．
题后师说
利用并集、交集性质求参数的策略
跟踪训练3 (1)设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|xA．{a|a<2} B．{a|a>－2}
C．{a|a>－1} D．{a|－1(2)已知集合P＝{x|x≤3}，Q＝{x|x>a}，若P＝R，则a的取值范围是________．
随堂练习
1.已知集合A＝{x|2A．{x|2≤x<4} B．{x|2C．{2，3} D．{3}
2．已知集合A＝{x|x<2}，B＝{x|x>1}，则A＝( )
A．RB．{x|1C．{x|x<2} D．{x|x>1}
3．设集合A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|x≤－}，且A＝{x|－2≤x≤1}，则a＝( )
A．－4 B．－2
C．2 D．4
4．(多选)若集合M N，则下列结论正确的是( )
A．M＝M B．M＝N
C．N (M
课堂小结
1.对并集、交集概念的理解．
2．对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性．
3．对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值能否取到．
4．由集合间的运算求参数范围问题．
第1课时 并集、交集
问题探究1 提示：A＝{圆珠笔，钢笔，橡皮，笔记本，方便面，汽水}，B＝{圆珠笔，铅笔，火腿肠，方便面}，则C＝{圆珠笔，钢笔，橡皮，笔记本，方便面，汽水，铅笔、火腿肠}，容易发现集合C是由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的．
例1 解析：(1)A＝{－1，2}，B＝{x|x2－2x＝0}＝{0，2}，＝{－1，0，2}，故选D.
(2)将集合M和N在数轴上表示出来，如图所示，
可知M＝{x|x<－5或x>－3}．故选A.
答案：(1)D (2)A
跟踪训练1 解析：(1)因为A＝{1，2，3}，B＝{0，1，2}，所以＝{0，1，2，3}．故选B.
(2)因为集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2答案：(1)B (2)C
问题探究2 提示：由A＝{圆珠笔，钢笔，橡皮，笔记本，方便面，汽水}，B＝{圆珠笔，铅笔，火腿肠，方便面}知，集合D＝{圆珠笔，方便面}，可见，集合D是由所有既属于集合A又属于集合B的元素组成的．
例2 解析：(1)由题设有A＝{2，3}，故选B.
(2)将集合A、B表示在数轴上，由数轴可得A＝{x|－2≤x<－1}，故选D.
答案：(1)B (2)D
跟踪训练2 解析：(1)B＝{0，1，2，3}，A＝{0，1，2}．故选D.
(2)∵A＝{x|x＜2}，B＝{x|0＜x≤3}，∴A＝{x|0＜x＜2}．故选A.
答案：(1)D (2)A
例3 解析：∵A＝A，∴B A，
①当B＝ 时，k＋1>2k－1，∴k<2.
②当B≠ ，则根据题意如图所示：
根据数轴可得解得2≤k≤.
综合①②可得k的取值范围为{k|k≤}．
一题多变 解析：∵A＝A，∴A B.
又A＝{x|－3由数轴
可知解得k∈ ，
即当A＝A时，k不存在．
跟踪训练3 解析：(1)由集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x－1.故选C.
(2)由题意，在P＝{x|x≤3}，Q＝{x|x>a}中，P＝R，∴a≤3，∴a的取值范围为{a|a≤3}．
答案：(1)C (2){a|a≤3}
[随堂练习]
1．解析：B＝{x|2≤x<4，x∈Z}＝{2，3}，又A＝{x|2答案：D
2．解析：由A＝{x|x<2}，B＝{x|x>1}，可得A＝{x|x<2}>1}＝R，故选A.
答案：A
3．解析：集合A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|x≤－}，且A＝{x|－2≤x≤1}．则－＝1，解得a＝－2.故选B.
答案：B
4．解析：∵M N，Venn图如图所示：
∴M＝M，M＝N，(M故选ABD.
答案：ABD第2课时 补集及综合应用
【学习目标】 (1)理解补集的含义．(2)会求给定子集的补集．
题型 1补集的运算
【问题探究】 如果把我们班每个同学看成集合的元素，所有同学组成集合U，男同学组成集合A，女同学组成集合B，这三个集合间有何关系？
例1 (1)若全集U＝{x∈R|－2≤x≤2}，则集合A＝{x∈R|－2≤x≤0}的补集 UA为( )
A．{x∈R|0＜x＜2}
B．{x∈R|0≤x＜2}
C．{x∈R|0＜x≤2}
D．{x∈R|0≤x≤2}
(2)设U＝{x|－5≤x＜－2，或2＜x≤5，x∈Z}，A＝{x|x2－2x－15＝0}，B＝{－3，3，4}，则 UA＝________， UB＝________．
题后师说
求解补集的策略
跟踪训练1 (1)已知全集U＝{x∈N|x≤6}，A＝{1，2，3，4}，则 UA＝( )
A．{1，5，6} B．{0，5，6}
C．{2，5，6} D．{1，2，3，4，5，6}
(2)
已知U＝{x|－3≤x<3}，A＝{x|－1≤x<3}，则图中阴影部分表示的集合是( )
A．{x|－3≤x≤－1} B．{x|x<－3或x≥3}
C．{x|x≤0} D．{x|－3≤x<－1}
题型 2并、交、补的综合运算
例2 已知集合A＝{x|－1≤x≤4}，B＝{x|x<1或x>5}．
(1)若全集U＝R，求A、( UA)；
(2)若全集U＝Z，求A∩( UB)．
题后师说
并、交、补运算的解题策略
跟踪训练2 (1)已知全集U＝{－2，－1，0，1，2，4}，A＝{0，1，2}，B＝{－2，1，4}，则( UA)＝( )
A．{－2，4} B．{－2，1}
C．{－2，1，4} D．{－2，－1，1，4}
(2)集合A＝{x|14}，则集合A∪( RB)＝( )
A．R B．{x|2≤x<3}
C．{x|1题型 3与补集有关的参数值的求解
例3 设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2一题多变 (1)本例将条件“( UA)＝ ”改为“( UA)”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？
(2)本例将条件“( UA)＝ ”改为“( UB)＝R”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？
题后师说
由集合的补集求参数的策略
跟踪训练3 已知集合A＝{x|xA．{a|a≤1} B．{a|a<1}
C．{a|a≥2} D．{a|a>2}
随堂练习
1.已知集合A＝{1，4}，全集U＝{1，2，3，4，5}，则 UA＝( )
A． B．{1，3}
C．{2，3，5} D．{1，2，3，5}
2．已知全集U＝R，集合A＝{x|0≤x≤1}，B＝{－1，1，2，4}，那么阴影部分表示的集合为( )
A．{－1，4} B．{1，2，4}
C．{1，4} D．{－1，2，4}
3．设全集U＝R，集合A＝{x|x>3}，B＝{x|－2≤x≤5}，则( UA)＝( )
A．{x|3≤x≤5} B．{x|－2≤x<3}
C．{x|04．已知全集U＝{3，7，a2－2a－3}，A＝{7，|a－7|}， UA＝{5}，则a＝________．
课堂小结
1.对集合中含参数的元素，要由条件先求出参数再作集合的运算．
2．集合是实数集的真子集时，其交、并、补运算要结合数轴进行．
3．有些较复杂的集合的运算可以先化简再进行．
第2课时 补集及综合应用
问题探究 提示：集合U是我们研究对象的全体，A U，B U，A＝ ，A＝U.其中集合A与集合B有一种“互补”的关系．
例1 解析：(1)借助数轴易得 UA＝{x∈R|0＜x≤2}．
故选C.
(2)方法一 在集合U中，因为x∈Z，则x的值为－5，－4，－3，3，4，5，
所以U＝{－5，－4，－3，3，4，5}．
又A＝{x|x2－2x－15＝0}＝{－3，5}，B＝{－3，3，4}，
所以 UA＝{－5，－4，3，4}， UB＝{－5，－4，5}．
方法二 可用Venn图表示：
则 UA＝{－5，－4，3，4}， UB＝{－5，－4，5}．
答案：(1)C (2){－5，－4，3，4} {－5，－4，5}
跟踪训练1 解析：(1)因为U＝{x∈N|x≤6}＝{0，1，2，3，4，5，6}，A＝{1，2，3，4}，所以 UA＝{0，5，6}，故选B.
(2)由图可得，所求为集合A关于全集U的补集 UA，则 UA＝{x|－3≤x<－1}．故选D.
答案：(1)B (2)D
例2 解析：(1)由题意可得，A＝{x|x≤4或x>5}，
且 UA＝{x|x<－1或x>4}，则( UA)＝{x|x<－1或x>5}．
(2)根据题意，且U＝Z，则可得 UB＝{1，2，3，4，5}，
则A∩( UB)＝{1，2，3，4}．
跟踪训练2 解析：(1)因为U＝{－2，－1，0，1，2，4}，A＝{0，1，2}，B＝{－2，1，4}，所以 UA＝{－2，－1，4}，( UA)＝{－2，4}．故选A.
(2)由题意，集合B＝{x|x<2或x>4}，可得 RB＝{x|2≤x≤4}，又由A＝{x|1答案：(1)A (2)C
例3 解析：由已知A＝{x|x≥－m}，
得 UA＝{x|x<－m}，
因为B＝{x|－2所以－m≤－2，即m≥2，
所以m的取值范围是{m|m≥2}．
一题多变 解析：(1)由已知得A＝{x|x≥－m}，
所以 UA＝{x|x<－m}，
又( UA)
所以－m>－2，解得m<2.
(2)由已知A＝{x|x≥－m}， UB＝{x|x≤－2或x≥4}．
又( UB)＝R，
所以－m≤－2，解得m≥2.
跟踪训练3 解析：∵B＝{x|1又∵A＝{x|x∴实数a的取值范围是{a|a≥2}．故选C.
答案：C
[随堂练习]
1．解析： UA＝{2，3，5}．故选C.
答案：C
2．解析：由题图，阴影部分为( RA)而 RA＝{x|x<0或x>1}，且B＝{－1，1，2，4}，所以( RA)＝{－1，2，4}．故选D.
答案：D
3．解析：因为A＝{x|x>3}，故 UA＝{x|x≤3}，所以( UA)＝{x|－2≤x≤3}．故选D.
答案：D
4．解析：因为U＝{3，7，a2－2a－3}，A＝{7，|a－7|}， UA＝{5}，所以5∈U，3∈A，则，解得a＝4.
答案：41.4.1 充分条件与必要条件
【学习目标】 (1)理解充分条件、必要条件的概念．(2)会判断充分条件、必要条件．
题型 1充分条件的判断
【问题探究1】
在如图所示电路图中，闭合开关K1是灯泡L亮的什么条件？
例1 指出下列各题中，p是q的什么条件，并说明原因．
(1)p：x>3，q：x>0；
(2)p：m<－2，q：方程x2－x－m＝0无实根；
(3)p：a>2且b>2，q：a＋b>4，ab>4.
题后师说
充分条件的3种判断方法
跟踪训练1 指出下列哪个命题中p是q的充分条件？
(1)在△ABC中，p：∠B>∠C，q：AC>AB.
(2)已知x，y∈R，p：x＝1，q：(x－1)(x－2)＝0.
题型 2必要条件的判断
【问题探究2】
在如图所示电路图中，闭合开关K1是灯泡L亮的什么条件？
例2 指出下列各题中，p是q的什么条件，并说明原因．
(1)p：x2>0，q：x>0；
(2)p：(a－2)(a－3)＝0，q：a＝3；
(3)p：一元二次方程x2－2x＋c＝0有两个实数根，q：c<0.
题后师说
必要条件的3种判断方法
跟踪训练2 指出下列哪些命题中p是q的必要条件？
(1)p：数a能被3整除，q：数a能被6整除；
(2)p：xy>0，q：x>0，y>0.
题型 3充分条件与必要条件的应用
例3 已知p：－1一题多变 本例中条件不变，若p是q的必要条件，求实数m的取值范围．
题后师说
利用充分条件、必要条件求参数范围的一般步骤
跟踪训练3 已知p：x>2，q：x>m.若p的一个充分不必要条件是q，则实数m的取值范围是________．
随堂练习
1.(多选)如果命题：p q是真命题，那么下列说法一定正确的是( )
A．p是q的充分条件 B．p是q的必要条件
C．q是p的必要条件 D．q是p的充分条件
2．设a∈R，则“a＝－1”是“a2＝1”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．既是充分条件又是必要条件
D．既不充分也不必要条件
3．在△ABC中，“△ABC是钝角三角形”是“∠A＋∠C<90°”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．既是充分条件又是必要条件
D．既不充分也不必要条件
4．若“x>k”是“－3≤x<2”的必要不充分条件，则实数k的取值范围是________．
课堂小结
1.对充分条件、必要条件概念理解．
2．充分条件、必要条件的判断．
3．充分条件、必要条件的应用．
1．4.1 充分条件与必要条件
问题探究1 提示：闭合开关K1或闭合开关K2，都可以使灯泡L亮；反之，若要灯泡L亮，不一定非要闭合开关K1.因此，闭合开关K1是灯泡L亮的充分不必要条件．
例1 解析：(1)x>3则x>0一定成立，即p q，qp；故p是q的充分不必要条件．
(2)∵m<－2，∴12＋4m<0，∴方程x2－x－m＝0无实根，但1＋4m<0即m<－时不一定m<－2，∴p是q的充分不必要条件．
(3)由a>2且b>2 a＋b>4，ab>4，但a＋b>4，ab>4时，取a＝，b＝9，a>2且b>2不成立，∴p是q的充分不必要条件．
跟踪训练1 解析：(1)在△ABC中，由大角对大边知，∠B>∠C AC>AB，
所以p是q的充分条件．
(2)由x＝1 (x－1)(x－2)＝0，
故p是q的充分条件．
故(1)(2)命题中p是q的充分条件．
问题探究2 提示：闭合开关K1而不闭合开关K2，灯泡L不亮；反之，若要灯泡L亮，开关K1必须闭合，说明闭合开关K1是灯泡L亮的必要不充分条件．
例2 解析：(1)由于pq，q p，p是q的必要不充分条件．
(2)由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2或a＝3，不一定有a＝3；由a＝3可以得出(a－2)(a－3)＝0，因此，p是q的必要不充分条件．
(3)对于p，一元二次方程x2－2x＋c＝0有两个实数根，则Δ＝4－4c≥0，c≤1，
所以p是q的必要不充分条件．
跟踪训练2 解析：(1)“数a能被6整除”能推出“数a能被3整除”，所以q p，所以p是q的必要条件．
(2)若x>0，y>0，则xy>0，故q p，
所以p是q的必要条件．
例3 解析：设A＝{x|－1可得，解之得m≥3，则实数m的取值范围为m≥3.
一题多变 解析：当m<－1时，1－m>3＋m，q：x∈ ，此时，p是q的必要条件，符合要求；
当m≥－1时，由p是q的必要条件，
可得，解之得－1≤m<2，
综上，实数m的取值范围为m<2.
跟踪训练3 解析：由题意，在p：x>2，q：x>m中，p的一个充分不必要条件是q，∴m>2.
答案：m>2
[随堂练习]
1．解析：因为命题“p q是真命题，所以p是q的充分条件，q是p的必要条件，故A、C正确，B、D错误．故选AC.
答案：AC
2．解析：由a2＝1，可得a＝±1，故“a＝－1”是“a2＝1”的充分不必要条件．故选A.
答案：A
3．解析：由∠A＋∠C<90°，得∠B>90°，可以推出△ABC是钝角三角形，由△ABC是钝角三角形，不能推出∠A＋∠C<90°，如∠A为钝角，则∠A＋∠C>90°，所以“△ABC是钝角三角形”是“∠A＋∠C<90°”的必要不充分条件．故选B.
答案：B
4．解析：根据题意，{x|－3≤x<2}是{x|x>k}的真子集，故可得k<－3.
答案：k<－31.4.2 充要条件
【学习目标】 (1)理解充要条件的意义．(2)会判断一些简单的充要条件问题．(3)能对充要条件进行证明．
【问题探究】
在如图所示电路图中，闭合开关K1是灯泡L亮的什么条件？
题型 1充要条件的判断
例1 指出下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”)．
(1)p：x＝1，q：x－1＝；
(2)p：－1≤x≤5，q：x≥－1且x≤5；
(3)p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2；
(4)p：a是自然数；q：a是正数．
题后师说
判定充要条件常用方法
跟踪训练1 (1)三角形两边上的高相等是这个三角形为等腰三角形的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)(多选)下列命题中为假命题的是( )
A．“x>4”是“x>5”的必要不充分条件
B．“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的既不充分也不必要条件
C．“关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根”的充要条件是“Δ＝b2－4ac>0”
D．若集合A B，则“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件
题型 2充要条件的证明
例2 求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.
学霸笔记：有关充要条件的证明问题，要分清哪个是条件，哪个是结论，由“条件 结论”是证明命题的充分性，由“结论 条件”是证明命题的必要性．证明要分两个环节：一是证明充分性；二是证明必要性．
跟踪训练2 求证：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0.
题型 3充分不必要、必要不充分、充要条件的应用
例3 已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
一题多变 本例中p，q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
题后师说
应用充分不必要、必要不充分及充要条件
求参数值(范围)的一般步骤
跟踪训练3 请在①充分不必要条件；②必要不充分条件；③充要条件．这三个条件中任选一个补充在下面问题中的横线部分．若问题中的a存在，求出a的取值范围，若问题中的a不存在，请说明理由．
问题：已知集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{x|1－a≤x≤1＋a}(a>0)，是否存在实数a，使得x∈A是x∈B成立的________？
随堂练习
1.“x∈Q”是“x∈N”的( )
A．必要不充分条件 B．充要条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．设 “－1A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知a∈R，则“a2>4”是“a≥2”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．若“不等式x－m<1成立”的充要条件为“x<2”，则实数m的值为________．
课堂小结
1.对充要条件概念的理解．
2．充要条件的证明分充分性的证明和必要性的证明．
3．充分不必要、必要不充分、充要条件的应用．
1．4.2 充要条件
问题探究 提示：闭合开关K1可使灯泡L亮；而灯泡L亮，开关K1一定是闭合的．因此，闭合开关K1是灯泡L亮的充要条件．
例1 解析：(1)当x＝1时，x－1＝成立；
当x－1＝时，x＝1或x＝2.
∴p是q的充分不必要条件．
(2)∵－1≤x≤5 x≥－1且x≤5，
∴p是q的充要条件．
(3)由q：(x＋2)2≠y2，
得x＋2≠y且x＋2≠－y，又p：x＋2≠y，
故p是q的必要不充分条件．
(4)0是自然数，但0不是正数，故pD /q；又是正数，但不是自然数，故qD /p.故p是q的既不充分也不必要条件．
跟踪训练1 解析：(1)当三角形两边上的高相等时，由三角形面积公式可得这两边也相等，所以这个三角形为等腰三角形，当三角形为等腰三角形时，同样由三角形的面积公式可知，两腰上的高相等，所以三角形两边上的高相等是这个三角形为等腰三角形的充要条件，故选C.
(2)“x>4”不能推出“x>5”，故充分性不成立；“x>5”则一定有“x>4”，故必要性成立，所以“x>4”是“x>5”的必要不充分条件，所以A正确；正三角形一定是等腰三角形，等腰三角形不一定是正三角形，所以“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的充分不必要条件，故B错误；“关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根”的充要条件是“Δ＝b2－4ac≥0，故C错误；当集合A＝B时，应为充要条件，故D错误．故选BCD.
答案：(1)C (2)BCD
例2 证明：充分性：由ac<0可得b2－4ac>0及x1·x2＝<0，
∴方程ax2＋bx＋c＝0有两不相等的实根，且两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．
必要性：由于方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，
∴Δ＝b2－4ac>0，x1·x2＝<0，∴ac<0.
综上可知，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
跟踪训练2 证明：①充分性：如果b＝0，那么y＝kx，
x＝0时y＝0，函数图象过原点．
②必要性：因为y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点，
所以x＝0时y＝0，得0＝k·0＋b，b＝0.
综上，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0.
例3 解析：p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．
因为p是q的必要不充分条件，
所以q是p的充分不必要条件，
即{x|1－m≤x≤1＋m}?{x|－2≤x≤10}，
故有或
解得m≤3.又m>0，
所以实数m的取值范围为{m|0一题多变 解析：因为p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．
若p是q的充要条件，则方程组无解．
故不存在实数m，使得p是q的充要条件．
跟踪训练3 解析：选①，则A是B的真子集，则1－a≤0且1＋a≥4(两等号不同时取)，
又a>0，解得a≥3，
∴存在a，a的取值集合M＝{a|a≥3}．
选②，则B是A的真子集，则1－a≥0且1＋a≤4(两等号不同时取)，
又a>0，解得0∴存在a，a的取值集合M＝{a|0选③，则A＝B，则1－a＝0且1＋a＝4，又a>0，方程组无解．
∴不存在满足条件的a.
[随堂练习]
1．解析：因为x∈Q不能推出x∈N，且x∈N可以推出x∈Q，所以“x∈Q”是“x∈N”的必要不充分条件，故选A.
答案：A
2．解析：因为|x|<1 －1答案：A
3．解析：a2>4 a>2或a<－2，因此a2>4是a≥2的既不充分也不必要条件，故选D.
答案：D
4．解析：解不等式x－m<1得x答案：11.5.1 全称量词与存在量词
【学习目标】 (1)理解全称量词、全称量词命题的定义．(2)理解存在量词、存在量词命题的定义．(3)会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假．
题型 1全称量词命题与存在量词命题的辨析
【问题探究1】 下列语句是命题吗？比较(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有什么关系？
(1)2x＋1是整数；
(2)x能被2和3整除；
(3)对任意一个x∈Z，2x＋1是整数；
(4)至少有一个x∈Z，x能被2和3整除．
例1 判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题．
(1)存在x，使得x－2≤0；
(2)矩形的对角线互相垂直平分；
(3)三角形的两边之和大于第三边；
(4)有些质数是奇数．
题后师说
判断一个语句是全称量词命题
还是存在量词命题的一般步骤
跟踪训练1 判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题，用量词符号“ ”“ ”表示下列命题．
(1)自然数的平方大于零；
(2)存在一对整数x0，y0，使2x0＋4y0＝3；
(3)存在一个无理数，它的立方是有理数．
题型 2全称量词命题和存在量词命题的真假判断
【问题探究2】 对于【问题探究1】中的(3)(4)，你能判断真假吗？
例2 判断下列命题的真假．
(1) x∈Z，x3<1；
(2)存在一个四边形不是平行四边形；
(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；
(4) x∈N，x2>0.
题后师说
判断全称量词命题、存在量词命题真假的思路
跟踪训练2 (多选)下列命题中假命题是( )
A． x∈Z，x4≥1
＝3
C． x∈R，x2－x－1>0
D． x0∈N，|x0|≤0
题型 3根据含量词命题的真假求参数的取值范围
例3 已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠ .若命题p：“ x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围．
一题多变 本例中的条件不变，若命题p改为q：“ x∈A，x∈B”是真命题，求m的取值范围．
题后师说
根据含量词命题的真假求参数范围的策略
跟踪训练3 若命题“ x∈R，x2－4x＋a＝0”为真命题，求实数a的取值范围．
随堂练习
1.已知命题：“ x∈R，方程x2＋4x＋a＝0有解”是真命题，则实数a的取值范围是( )
A．a<4 B．a≤4
C．a>4 D．a≥4
2．下列语句不是存在量词命题的是( )
A．至少有一个x，使x2＋x＋1＝0成立
B．有的无理数的平方不是有理数
C．存在x∈R，3x＋2是偶数
D．梯形有两边平行
3．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是( )
A． x∈R，x2＋2x＋1>0
B．所有菱形的4条边都相等
C．若2x为偶数，则x∈N
D．π是无理数
4．对每一个x1∈R，x2∈R，且x1课堂小结
1.对全称量词、全称量词命题、存在量词、存在量词命题概念的理解．
2．含量词的命题的真假的判断．
3．依据含量词命题的真假求参数的范围．
1．5.1 全称量词与存在量词
问题探究1 提示：语句(1)(2)中含有变量x，由于不知道变量x代表什么数，无法判断他们的真假，所以他们不是命题．语句(3)在(1)的基础上，用短语“任意一个”对变量x进行限定，从而使(3)成为可以判断真假的语句，因此(3)是命题．语句(4)在(2)的基础上，用“至少有一个”对变量x的取值进行限定，从而使(4)成为可以判断真假的语句，因此(4)是命题．
例1 解析：(1)命题：“存在x，使得x－2≤0”中含有存在量词“存在”，它是存在量词命题；
(2)命题：“矩形的对角线互相垂直平分”省略了全称量词“所有”，它是全称量词命题；
(3)命题：“三角形的两边之和大于第三边”省略了全称量词“所有”，它是全称量词命题；
(4)命题：“有些质数是奇数”中含有存在量词“有些”，它是存在量词命题．
跟踪训练1 解析：(1)全称量词命题， x∈N，x2>0.
(2)存在量词命题， x0，y0∈Z，2x0＋4y0＝3.
(3)存在量词命题， x0∈{无理数∈Q.
问题探究2 提示：(3)中，任意x∈Z，则2x为整数，所以2x＋1是整数，是真命题；(4)是真命题．
例2 解析：(1)因为－1∈Z，且(－1)3＝－1<1，
所以“ x∈Z，x3<1”是真命题．
(2)真命题，如梯形．
(3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题．
(4)因为0∈N，02＝0，所以命题“ x∈N，x2>0”是假命题．
跟踪训练2 解析：对于A，取x＝0，可知04<1，即A错误；
对于B，由＝3，可得x0＝±，显然±不是有理数，即B错误；
对于C，因为在一元二次不等式x2－x－1>0中，Δ＝2＋4>0，所以该不等式存在解，不是恒成立，比如取x＝0时，不等式不成立，即C错误；
对于D，当x0＝0时，|x0|≤0成立，即D正确．故选ABC.
答案：ABC
例3 解析：由于命题p：“ x∈B，x∈A”是真命题，
所以B A，B≠ ，
所以解得2≤m≤3.
一题多变 解析：q为真，则A
因为B≠ ，所以m≥2.
所以解得2≤m≤4.
跟踪训练3 解析：∵命题“ x∈R，x2－4x＋a＝0”为真命题，
∴方程x2－4x＋a＝0存在实数根，
则Δ＝(－4)2－4a≥0，解得a≤4.
即实数a的取值范围为{a|a≤4}．
[随堂练习]
1．解析：“ x∈R，方程x2＋4x＋a＝0有解”是真命题，故Δ＝16－4a≥0，解得：a≤4.
答案：B
2．解析：对于A，至少有一个x，使x2＋x＋1＝0成立，有存在量词“至少有一个”，是存在量词命题；对于B，有的无理数的平方不是有理数，有存在量词“有的”，是存在量词命题；对于C，存在x∈R，3x＋2是偶数，有存在量词“存在”，是存在量词命题；对于D，梯形有两边平行，为梯形几何性质，省略了全称量词“所有”，是全称量词命题．故选D.
答案：D
3．解析：四个选项中AB是全称量词命题，对于A： x∈R，x2＋2x＋1>0，当x＝－1时，不成立，为假命题．对于B：根据菱形定义知：所有菱形的4条边都相等，为真命题．故选B.
答案：B
4．解析：含有全称量词“每一个”，是全称量词命题，令x1＝－1，x2＝0，则，故此命题是假命题．
答案：全称 假1.5.2 全称量词命题与存在量词命题的否定
【学习目标】 (1)能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定．(2)能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定．
题型 1全称量词命题的否定
【问题探究1】 写出下列命题的否定：
(1)所有的矩形都是平行四边形；
(2)每一个素数都是奇数；
(3) x∈R，x＋|x|≥0.
它们与原命题在形式上有什么变化？
例1 写出下列全称量词命题的否定，并判断所得命题真假．
(1)所有的矩形都是平行四边形；
(2)三角形的两边之和大于第三边；
(3) m>0，方程x2＋x－m＝0有实数根．
学霸笔记：(1)全称量词命题： x∈M，p(x)，它的否定： x∈M， p(x)．
(2)全称量词命题的否定是存在量词命题时，对省略全称量词的全称量词命题可补上量词后进行否定．
跟踪训练1 (1)设命题p：所有的等边三角形都是等腰三角形，则p的否定为( )
A．所有的等边三角形都不是等腰三角形
B．有的等边三角形不是等腰三角形
C．有的等腰三角形不是等边三角形
D．不是等边三角形的三角形不是等腰三角形
(2)若命题p： x∈R，x2>0，则命题p的否定是( )
A． x∈R，x2≤0 B． x∈R，x2≤0
C． x∈R，x2>0 D． x R，x2≤0
(3)若命题p： x>0，x2＋x－1>0，则p的否定形式为________________．
题型 2存在量词命题的否定
【问题探究2】 写出下列命题的否定：
(1)存在一个实数的绝对值是正数；
(2)有些平行四边形是菱形；
(3) x∈R，x2－2x＋3＝0.
它们与原命题在形式上有什么变化？
例2 写出下列存在量词命题的否定，并判断所得命题真假．
(1)实数的绝对值是非负数；
(2)矩形的对角线相等；
(3) x∈R，x2＋1<0.
学霸笔记：(1)存在量词命题的否定是全称量词命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词，即 x∈M，p(x)，它的否定： x∈M， p(x)．
(2)存在量词命题的否定是全称量词命题，对省略存在量词的存在量词命题可补上量词后进行否定．
跟踪训练2 (1)命题“存在一个三角形，它的内角和小于180°”的否定形式是( )
A．任何一个三角形，它的内角和不大于180°
B．存在一个三角形，它的内角和大于180°
C．任何一个三角形，它的内角和不小于180°
D．存在一个三角形，它的内角和不小于180°
(2)命题“ x≥3，x2－2x＋3<0”的否定是( )
A． x≥3，x2－2x＋3>0
B． x≥3，x2－2x＋3≥0
C． x<3，x2－2x＋3≥0
D． x<3，x2－2x＋3≥0
(3)命题“ x∈R，x2＋1>3x”的否定是________________．
题型 3含有量词命题的否定的应用
例3 若“ x∈R，x2＋2x＋2＝m”的否定是假命题，求实数m的取值范围．
学霸笔记：(1)命题和它的否定的真假性只能一真一假，解决问题时可以相互转化．
(2)求参数范围问题，通常根据有关全称量词和存在量词命题的意义列不等式求范围．
跟踪训练3 命题“存在x>a，使得2x＋a<3”是假命题，求实数a的取值范围．
随堂练习
1.命题“对任意一个实数x，都有3x＋5≥0”的否定是( )
A．存在实数x，使得3x＋5<0
B．对任意一个实数x，都有3x＋5≤0
C．存在实数x，使得3x＋5≤0
D．对任意一个实数x，都有3x＋5<0
2．命题“ x∈R，x2≠1”的否定是( )
A． x∈R，x2＝1 B． x R，x2＝1
C． x∈R，x2＝1 D． x R，x2＝1
3．下列说法正确的是( )
A．命题“ n∈N，n∈Z”是假命题
B．命题“ n∈N，n∈Z”的否定是“ n∈N，n∈Z”
C．命题“ x∈R，x－1<0”是真命题
D．命题“ x∈R，x－1<0”的否定是“ x∈R，x－1>0”
4．用符号语言表示命题：对于所有的正实数x，满足x2－x＋1＝0：________________；该命题的否定为：________________．
课堂小结
1.全称量词命题、存在量词命题的否定．
2．含量词命题的否定的应用．
1．5.2 全称量词命题与存在量词命题的否定
问题探究1 提示：上面三个命题都是全称量词命题，即具有“ x∈M，p(x)”的形式．其中命题(1)的否定是“并非所有的矩形都是平行四边形”，也就是说，存在一个矩形不是平行四边形；命题(2)的否定是“并非每一个素数都是奇数”，也就是说，存在一个素数不是奇数；命题(3)的否定是“并非所有的x∈R，x＋|x|≥0”，也就是说， x∈R，x＋|x|<0.从命题形式看，这三个全称量词命题的否定都变成了存在量词命题．
例1 解析：(1)命题的否定：有些矩形不是平行四边形．它为假命题．
(2)“三角形的两边之和大于第三边”可改写为“任意三角形的两边之和都大于第三边”，故它的否定是“存在一个三角形的两边之和不大于第三边”．它为假命题．
(3)命题的否定： m>0，方程x2＋x－m＝0没有实数根．它为假命题．
跟踪训练1 解析：(1)因为全称量词命题的否定为存在量词命题，所以命题p的否定为：有的等边三角形不是等腰三角形．故选B.
(2)全称量词命题的否定是存在量词命题，命题p的否定是： x∈R，x2≤0.故选B.
(3)根据全称量词命题的否定形式，命题p： x>0，x2＋x－1>0的否定为： x>0，x2＋x－1≤0.
答案：(1)B (2)B (3) x>0，x2＋x－1≤0
问题探究2 提示：这三个命题都是存在量词命题，即具有“ x∈M，p(x)”的形式．其中命题(1)的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，也就是说，所有实数的绝对值都不是正数；命题(2)的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，也就是说，每一个平行四边形都不是菱形；命题(3)的否定是“不存在x∈R，x2－2x＋3＝0”，也就是说， x∈R，x2－2x＋3≠0.从命题形式看，这三个存在量词命题的否定都变成了全称量词命题．
例2 解析：(1)命题“实数的绝对值是非负数”可改写成“所有实数的绝对值都是非负数”，所以它的否定为“存在一个实数，它的绝对值不是非负数”．它为假命题；
(2)命题“矩形的对角线相等”可改写成“所有矩形的对角线都相等”，所以它的否定为“存在一个矩形，它的对角线不相等”．它为假命题；
(3)命题的否定是“ x∈R，x2＋1≥0”．它为真命题．
跟踪训练2 解析：(1)由题意得“存在一个三角形，它的内角和小于180°”的否定是“任何一个三角形，它的内角和不小于180°”，故选C.
(2)因为命题“ x≥3，x2－2x＋3<0”为存在量词命题，所以其否定为： x≥3，x2－2x＋3≥0.故选B.
(3)“ x∈R，x2＋1>3x”的否定是 x∈R，x2＋1≤3x.
答案：(1)C (2)B (3) x∈R，x2＋1≤3x
例3 解析：因为“ x∈R，x2＋2x＋2＝m”的否定是假命题，
所以“ x∈R，x2＋2x＋2＝m”是真命题，
因此关于x的方程x2＋2x＋2－m＝0有实根，
所以Δ＝22－4×1×(2－m)≥0，解得m≥1.
因此实数m的取值范围是{m|m≥1}．
跟踪训练3 解析：因为命题“存在x>a，使得2x＋a<3”是假命题，
所以此命题的否定“任意x>a，使得2x＋a≥3”是真命题，
因为对任意x>a有2x＋a>3a，所以3a≥3，解得a≥1.
所以实数a的取值范围是{a|a≥1}．
[随堂练习]
1．解析：命题“对任意一个实数x，都有3x＋5≥0”的否定是：存在实数x，使得3x＋5<0.故选A.
答案：A
2．解析：根据存在量词命题的否定是全称量词命题，可知命题“ x∈R，x2≠1”的否定是“ x∈R，x2＝1”．故选A.
答案：A
3．解析：A选项，自然数都是整数，所以命题“ n∈N，n∈Z”是真命题，A选项错误．
B选项，命题“ n∈N，n∈Z”的否定是“ n∈N，n Z”，B选项错误．
C选项，当x＝0时，x－1＝－1<0，所以“ x∈R，x－1<0”是真命题，C选项正确．
D选项，命题“ x∈R，x－1<0”的否定是“ x∈R，x－1≥0”，D选项错误．故选C.
答案：C
4．解析：用符号语言表示原命题为： x>0，x2－x＋1＝0，该命题的否定为： x>0，x2－x＋1≠0.
答案： x>0，x2－x＋1＝0 x>0，x2－x＋1≠0第一章 章末复习课
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考点一 集合的基本概念
1．与集合中的元素有关问题的求解策略：
(1)确定集合中元素具有的属性，即是数集还是点集．
(2)看元素是否具有相应的限制条件．
(3)根据限制条件确定参数的值或元素的个数时，注意对元素互异性的检验．
2．通过对集合基本概念的理解和应用，提升学生的数学抽象、数学运算素养．
例1 (1)已知集合M＝{(x，y)|x，y∈N*，x＋y≤2}，则M中元素的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．0
(2)已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，|x－y|∈A}，则B中所含元素的个数为( )
A．6 B．12
C．16 D．20
跟踪训练1 (1)集合{x||x|＝2或x2－5x＋6＝0}中元素的个数为( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
(2)已知集合M＝{a，2a－1，2a2－1}，若1∈M，则M中所有元素之和为( )
A．3 B．1
C．－3 D．－1
考点二 集合间的关系
1．集合与集合间的关系是包含(真包含)和相等关系，判断两集合之间的关系，可从元素特征入手，并注意代表元素；应用两集合间的关系时注意对细节的把握，不要忽略掉特殊情况，如已知A B的情况下，不要忽略掉A＝ 的情况．
2．通过对集合间的关系的应用，提升学生的逻辑推理、直观想象素养．
例2 (1)已知集合A满足{1} A?{1，2，3，4}，这样的集合A有( )个．
A．5 B．6 C．7 D．8
(2)已知集合A＝{x|x≥4或x<－5}，B＝{x|a＋1≤x≤a＋3}，若B A，则实数a的取值范围为________．
跟踪训练2 设集合A＝{x|－1≤x≤4}，集合B＝{x|x≥a}，若A B，则a的取值范围为( )
A．a≥4 B．－1≤a≤4
C．a<－1 D．a≤－1
考点三 集合的运算
1．集合的运算有交(、并(、补( UA)这三种常见的运算，它是本章核心内容之一，在进行集合的交集、并集、补集运算时，往往由于运算能力差或考虑不全面而极易出错，此时，数轴分析法(或Venn图)是个好帮手，能将复杂问题直观化，是数形结合思想具体应用之一．在具体应用时要注意端点值是否符合题意，以免增解或漏解．
2．通过对集合运算的掌握，提升直观想象、数学运算素养．
例3 已知全集U＝R，集合A＝{x|0(1)若m＝，求B∩( UA)；
(2)若A＝B，求实数m的取值范围．
跟踪训练3 (1)设集合A＝{a，b}，B＝{a＋2，5}，若A＝{2}，则A＝( )
A．{0，2} B．{0，5}
C．{0，2，2，5} D．{0，2，5}
(2)已知集合A＝{x|－3A．{a|a<2} B．{a|a≤2}
C．{a|a>－3} D．{a|a≤－3}
考点四 充分条件与必要条件
1．充要条件是数学中较为重要的一个概念，在高考中经常有所考查，以数学的其他知识为载体，考查充分条件、必要条件、充要条件的判断或寻求充要条件的成立性．
2．通过对充分条件与必要条件的掌握，提升逻辑推理、数学运算素养．
例4 已知集合P＝{x|a＋1≤x≤2a＋1，a∈R}，Q＝{x|－2≤x≤5}．
(1)若a＝3，求( RP)；
(2)若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
跟踪训练4 设全集U＝R，集合A＝{x|1≤x<5}，非空集合B＝{x|2≤x≤1＋2a}，其中a∈R.若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求a的取值范围．
考点五 全称量词命题与存在量词命题
1．解题策略：
(1)全称量词命题的真假判定：要判定一个全称量词命题为真，必须对限定集合M中每一个x验证p(x)成立，一般用代数推理的方法加以证明．要判定一个全称量词命题为假，只需举出一个反例即可．
(2)存在量词命题的真假判定：要判定一个存在量词命题为真，只要在限定集合M中，能找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可．否则，这一存在量词命题为假．
(3)已知含量词的命题的真假求参数的取值范围，实质上是对命题意义的考查．解决此类问题，一定要辨清参数，合理选取主元，确定解题思路，利用函数、方程、不等式等知识求解参数的取值范围．解题过程中要注意相关条件的限制．
2．通过对全称量词命题与存在量词命题的掌握，提升学生的逻辑推理、数学运算素养．
例5 (1)命题“ x≤2，x2＋2x－8>0”的否定是( )
A． x≤2，x2＋2x－8≤0
B． x>2，x2＋2x－8>0
C． x≤2，x2＋2x－8>0
D． x>2，x2＋2x－8>0
(2)命题“ x∈R，x<1或x>2”的否定是________________．
跟踪训练5 (1)命题“有的正整数，它的算术平方根是正整数”的否定是______________________．
(2)已知命题p： x∈R，|x＋3|>0，则 p是________命题．(填“真”或“假”)
章末复习课
考点聚焦·分类突破
例1 解析：(1)集合M＝{(x，y)|x，y∈N*，x＋y≤2}＝{(1，1)}，M中只有1个元素．故选A.
(2)B中元素：
x＝1，y＝2，3，4，5，即：(1，2)、(1，3)、(1，4)、(1，5)
x＝2，y＝1，3，4，5，即：(2，1)、(2，3)、(2，4)、(2，5)
x＝3，y＝1，2，4，5，即：(3，1)、(3，2)、(3，4)、(3，5)
x＝4，y＝1，2，3，5，即：(4，1)、(4，2)、(4，3)、(4，5)
x＝5，y＝1，2，3，4，即：(5，1)、(5，2)、(5，3)、(5，4)
所以B中元素共有20个．故选D.
答案：(1)A (2)D
跟踪训练1 解析：(1)|x|＝2，解得x＝±2，x2－5x＋6＝0，解得x＝2或x＝3.所以由集合元素的互异性可知集合为{－2，2，3}，元素个数为3.故选C.
(2)若a＝1，则2a－1＝1，矛盾；若2a－1＝1，则a＝1，矛盾，故2a2－1＝1，解得a＝1(舍)或a＝－1，故M＝{－1，－3，1}，元素之和为－3，故选C.
答案：(1)C (2)C
例2 解析：(1)由题得集合A＝{1}，{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，3，4}．故选C.
(2)用数轴表示两集合的位置关系，如图所示，
或
要使B A，只需a＋3<－5或a＋1≥4，解得a<－8或a≥3.所以实数a的取值范围为{a|a<－8或a≥3}．
答案：(1)C (2){a|a<－8或a≥3}
跟踪训练2 解析：因为集合A＝{x|－1≤x≤4}，集合B＝{x|x≥a}，A B，所以a≤－1.故选D.
答案：D
例3 解析：(1)若m＝，则B＝{x|－因为U＝R，A＝{x|0所以B∩( UA)＝{x|－(2)若A＝B，则A B，
需满足，解得0≤m≤1，所以实数m的取值范围为{m|0≤m≤1}．
跟踪训练3 解析：(1)A＝{2}，则2∈A，2∈B，又A＝{a，b}，B＝{a＋2，5}，所以a＋2＝2，即a＝0，则b＝2，所以A＝{0，2}，B＝{2，5}，于是有A＝{0，2，5}．故选D.
(2)由集合A＝{x|－3－3，∴实数a的取值范围为{a|a>－3}．故选C.
答案：(1)D (2)C
例4 解析：(1)当a＝3时，P＝{x|4≤x≤7}，Q＝{x|－2≤x≤5}，
则 RP＝{x|x<4，或x>7}，( RP)＝{x|－2≤x<4}．
(2)由题意得P是Q的真子集，
当P是空集时，
a＋1>2a＋1，解得a<0；
当P是非空集合时，
则且a＋1＝－2与2a＋1＝5不同时成立，
解得0≤a≤2，
故a的取值范围是{a|a≤2}．
跟踪训练4 解析：若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，则B A，
又集合B为非空集合，故有解得≤a<2，
所以a的取值范围{a}．
例5 解析：(1)命题“ x≤2，x2＋2x－8>0”的否定是： x≤2，x2＋2x－8≤0.故选A.
(2)“ x∈R，x<1或x>2”的否定是“ x∈R，1≤x≤2”．
答案：(1)A (2) x∈R，1≤x≤2
跟踪训练5 解析：(1)命题“有的正整数，它的算术平方根是正整数”的否定是：“所有的正整数，它的算术平方根不是正整数”．
(2)命题p： x∈R，|x＋3|>0，则 p： x∈R，|x＋3|≤0，则 x＝－3，使得|－3＋3|＝0≤0成立，所以 p是真命题．
答案：(1)所有的正整数，它的算术平方根不是正整数 (2)真