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资源详情
高中数学
人教A版(2019)
必修 第一册
第二章 一元二次函数、方程和不等式
本章复习与测试
2024版新教材高中数学第二章一元二次函数方程和不等式 课件(9份打包)
文档属性
名称
2024版新教材高中数学第二章一元二次函数方程和不等式 课件(9份打包)
格式
zip
文件大小
9.5MB
资源类型
教案
版本资源
人教A版(2019)
科目
数学
更新时间
2023-11-11 15:08:38
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文档简介
(共32张PPT)
第1课时 不等关系与不等式
预学案
共学案
预学案
一、不等关系与不等式
(1)在现实世界和日常生活中,大量存在着相等关系和________,常用________来研究含有不等关系的问题.
(2)用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或________,以表示不等关系.“a≠b”应包含“a>b”或“a
不等关系
不等式
代数式
微点拨
(1)不等关系强调的是关系,可用“>”“<”“≠”“≥”“≤”表示.而不等式则是表示两者不等关系的式子,如“a>b”“a
(2)利用不等式表示不等关系时,应注意所比较的两个(或几个)量必须具有相同性质,才可以进行比较,没有可比性的两个(或几个)量之间不能用不等式表示.另外,在用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时,一定要注意单位的统一.
【即时练习】 据天气预报可知明天白天的最高温度为13 ℃,则明天白天的气温t与13 ℃之间存在的不等关系是( )
A. t≤13 ℃ B.t<13 ℃
C.t=13 ℃ D.t>13 ℃
答案:A
解析:∵明天白天的最高温度为13 ℃,∴明天白天的气温t与13 ℃之间存在的不等关系是t≤13 ℃,故选A.
二、两个实数的大小关系
依据 a>b ____________
a=b ____________
a
结论 要比较两个实数的大小,可以转化为比较它们的________与0的大小
a-b>0
a-b=0
a-b<0
差
【即时练习】 已知M=x2+5x+6,N=2x2+5x+8,则M,N的大小关系是________.
M
解析:由于N-M=x2+2>0,所以M
三、重要不等式
a,b∈R,a2+b2________2ab,当且仅当________时,等号成立.
≥
a=b
【即时练习】 已知x,y∈R,且x2+y2=4,则xy的最大值是________.
2
解析:由于x2+y2≥2xy,所以2xy≤4,故xy的最大值为2.
微点拨
比较两实数a,b的大小,只需确定它们的差a-b与0的大小关系,与差的具体数值无关.
共学案
【学习目标】
(1)能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系.
(2)初步学会作差法比较两实数的大小.
题型 1 用不等式(组)表示不等关系
【问题探究1】 生活中,我们经常看到下列标志,你知道它们的意思吗?你能用一个数学式子表示下列关系吗?
提示:①最低限速50 km/h,v≥50.②限制质量10 t,0<ω≤10.③限制高度3.5 m,0
例1 某家电生产企业计划在每周工时不超过40 h的情况下,生产空调、彩电、冰箱共120台,且冰箱至少生产20台.已知生产这些家电产品每台所需工时如下表:
若每周生产空调x台、彩电y台,试写出满足题意的不等式组.
家电名称 空调 彩电 冰箱
工时(h)
解析:由题意,知x≥0,y≥0,每周生产冰箱(120-x-y)台.
因为每周所用工时不超过40 h,
所以x+y+(120-x-y)≤40,即3x+y≤120;
又每周至少生产冰箱20台,
所以120-x-y≥20,即x+y≤100.
所以满足题意的不等式组为
题后师说
用不等式(组)表示不等关系的步骤
跟踪训练1 (1)雷电的温度大约是28 000 ℃,比太阳表面温度的4.5倍还要高.设太阳表面温度为t ℃,那么t应满足的关系式是____________.
(2)一辆汽车原来每天行驶x km,如果该汽车每天行驶的路程比原来多19 km,那么在8天内它的行程将超过2 200 km,用不等式表示为____________.
4.5t<28 000
8(x+19)>2 200
解析:(1)由题意得,太阳表面温度的4.5倍小于雷电的温度,即4.5t<28 000.
(2)因为该汽车每天行驶的路程比原来多19 km,所以汽车每天行驶的路程为(x+19)km,则在8天内它的行程为8(x+19)km,因此,不等关系“在8天内它的行程将超过2 200 km”可以用不等式8(x+19)>2 200来表示.
题型 2 作差法比较大小
【问题探究2】 在初中我们学过数轴上的点与实数一一对应,可以利用数轴上的点的位置关系来规定实数的大小关系,具体是如何规定的呢?
提示:设a,b是两个实数,它们在数轴上所对应的点分别是A,B.那么,当点A在点B的左边时,a
b.
例2 比较下列各组中代数式的大小.
(1)2a(a+2)与(a-1)(a+3),其中a>0;
(2)2a2+2b2与(a+b)2.
解析:(1)(2a2+4a)-(a2+2a-3)=a2+2a+3=(a+1)2+2>0,
故2a(a+2)>(a-1)(a+3).
(2)2a2+2b2-(a+b)2=2a2+2b2-a2-2ab-b2
=a2-2ab+b2=(a-b)2,
因为(a-b)2≥0,所以2a2+2b2≥(a+b)2.
题后师说
用作差法比较两个实数大小的一般步骤
跟踪训练2 已知x∈R,比较(x2+1)2与x4+x2+1的大小.
解析:(x2+1)2-(x4+x2+1)=(x4+2x2+1)-(x4+x2+1)=x2.
∵x2≥0,∴(x2+1)2-(x4+x2+1)≥0,
即(x2+1)2≥x4+x2+1,当且仅当x=0时取等号.
题型 3 重要不等式
【问题探究3】
如图是由在北京召开的第24届国际数学家大会的会标抽象出来的图形,你能比较大正方形ABCD与四个相同的直角三角形的面积之和的大小吗?从中你能得出哪个不等式?它们之间有可能相等吗?如果相等,则应该满足什么条件呢?
提示:正方形的边长为.这4个直角三角形的面积和为2ab,正方形的面积为a2+b2,由于正方形ABCD的面积大于4个直角三角形的面积和,我们就得到了一个不等式a2+b2>2ab.
当直角三角形变为等腰直角三角形,即a=b时,正方形EFGH缩为一点,这时有a2+b2=2ab.
于是就有a2+b2≥2ab.
证明a2+b2-2ab=(a-b)2.
因为 a,b∈R,(a-b)2≥0,
当且仅当a=b时,等号成立,
所以a2+b2-2ab≥0.
因此,由两个实数大小比较的基本事实,得a2+b2≥2ab,
当且仅当a=b时,等号成立.
例3 已知a>0,b>0,求证:a3+b3≥ab2+a2b.
证明:因为a3+b3-(ab2+a2b)=a3+b3-ab2-a2b=a3-ab2+b3-a2b=a(a2-b2)+b(b2-a2)=(a2-b2)(a-b)=(a+b)(a-b)2,
因为a>0,b>0,所以(a+b)(a-b)2≥0,
当且仅当a=b时,等号成立,
所以a3+b3-(ab2+a2b)≥0,
所以a3+b3≥ab2+a2b.
学霸笔记:比较两个数的大小关系,最基本的方法是利用作差法,通过因式分解或配方的方法,把“差”转化成几个因式乘积的形式,通过逻辑推理得到每一个因式的符号,从而判定两个数的大小关系,通过逻辑推理进行证明.
跟踪训练3 已知a>0,b>0.求证:a2+3b2≥2b(a+b).
证明:因为a2+3b2-2b(a+b)=a2-2ab+b2=(a-b)2≥0,
当且仅当a=b时,等号成立,
所以a2+3b2≥2b(a+b).
随堂练习
1.铁路总公司关于乘车行李规定如下:乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130 cm,且体积不超过72 000 cm3,设携带品外部尺寸长、宽、高分别记为a,b,c(单位:cm),这个规定用数学关系式可表示为( )
A.a+b+c<130且abc<72 000
B.a+b+c>130且abc>72 000
C.a+b+c≤130且abc≤72 000
D.a+b+c≥130且abc≥72 000
答案:C
解析:由长、宽、高之和不超过130 cm得a+b+c≤130,由体积不超过72 000 cm3得abc≤72 000.故选C.
2.完成一项装修工程,请木工需付工资每人400元,请瓦工需付工资每人500元,现有工人工资预算不超过20 000元,设木工x人,瓦工y人,则工人满足的关系式是( )
A.4x+5y≤200 B.4x+5y<200
C.5x+4y≤200 D.5x+4y<200
答案:A
解析:由题意,可得400x+500y≤20 000,化简得4x+5y≤200.故选A.
3.设M=x2,N=-x-1,则M与N的大小关系是( )
A.M>N B.M=N
C.M<N D.与x有关
答案:A
解析:因为M-N=x2+x+1=(x+)2+>0,所以M>N.故选A.
4.若实数a≥b,则a2-ab________ba-b2(填“≥”或“≤”).
≥
解析:因为a≥b,所以a-b≥0,所以(a2-ab)-(ba-b2)=a2-2ab+b2=(a-b)2≥0,即a2-ab≥ba-b2.
课堂小结
1.用不等式(组)表示不等关系.
2.作差法比较两个数大小的步骤及变形方法.
3.重要不等式 a,b∈R,a2+b2≥2ab的应用.(共28张PPT)
第2课时 等式性质与不等式性质
预学案
共学案
预学案
一、等式性质
性质1 如果a=b,那么b=a;
性质2 如果a=b,b=c,那么a=c;
性质3 如果a=b,那么a±c=b±c;
性质4 如果a=b,那么ac=bc;
性质5 如果a=b,c≠0,那么=.
微点拨
(1)性质1,2反映了相等关系自身的特性:对称性和传递性.
(2)性质3,4,5反映了等式对四则运算的不变性;运算中的不变性就是性质.
【即时练习】 (多选)下列运用等式的性质变形正确的是( )
A.若x=y,则x+5=y+5 B.若a=b,则ac=bc
C.若=,则a=b D.若x=y,则=
答案:ABC
解析:对于选项A,由等式的性质3知,若x=y,则x+5=y+5,故A正确;对于选项B,由等式的性质4知,若a=b,则ac=bc,故B正确;对于选项C,由等式的性质4知,若=,则a=b,故C正确;对于选项D,若x=y,则=的前提条件为a≠0,故D错误.
二、不等式性质
性质 别名 性质内容 注意
1 对称性 a>b b____a
2 传递性 a>b,b>c a>c ______
3 可加性 a>b a+c____b+c ______
4 可乘性 a>b,c>0 ________ a>b,c<0 ________ c的符号
5 同向可加性 a>b,c>d ________ 同向
6 同向同正可乘性 a>b>0,c>d>0 ________ 同向
7 可乘方性 a>b>0 an____bn(n∈N,n≥2) 同正
<
不可逆
>
可逆
ac>bc
ac
a+c>b+d
ac>bd
>
微点拨
(1)性质3说明不等式的两边都加上同一个实数,所得的不等式与原不等式同向.性质3是不等式移项法则的基础.不等式中任何一项改变符号后,可以把它从一边移到另一边.
(2)性质4证明过程中的关键步骤是根据“同号相乘得正,异号相乘得负”的法则来完成的,一定要注意性质4中c的符号,因为c的符号不同,结论恰好相反.性质4中的a,b可以是实数,也可以是式子.
(3)性质5中,同向不等式可相加,但不能相减,即由a>b,c>d,可以得出a+c>b+d,但不能得出a-c>b-d.
(4)性质6是同向不等式相乘法则的依据,可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相乘,即若,则a1a2…an>b1b2…bn.
(5)不等式的性质中,对表达不等式性质的各不等式,要注意“箭头”是单向的还是双向的,即符号“ ”表示等价关系,可以互相推出,而符号“ ”只能从左边推右边,该性质不具备可逆性,尤其在证明不等式时,要注意是否可逆.
【即时练习】
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)若>1,则a>b.( )
(2)a与b的差是非负实数,可表示为a-b>0.( )
(3) x∈R,都有x2>x-1.( )
(4)a,b,c为实数,在等式中,若a=b,则ac=bc;在不等式中,若a>b,则ac>bc.( )
×
×
√
×
2.与a>b等价的不等式是( )
A.|a|>|b| B.a2>b2
C.>1 D.a3>b3
答案:D
解析:可利用赋值法.令a=-5,b=0,则A、B正确而不满足a>b.再令a=-3,b=-1,则C正确而不满足a>b,故选D.
共学案
【学习目标】
(1)了解等式的性质.
(2)掌握不等式的基本性质,并能运用这些性质解决有关问题.
【问题探究】 根据你的预习回答:
(1)若a>b,c>d,那么a+c>b+d成立吗?a-c>b-d呢?
(2)若a>b,c>d,那么ac>bd成立吗?
提示:(1)a+c>b+d成立,a-c>b-d不一定成立,但a-d>b-c成立.
(2)不一定,但当a>b>0,c>d>0时,一定成立.
题型 1 利用不等式的基本性质判断命题的真假
例1 (多选)下列结论正确的是( )
A.若a>b,则ac>bc B.若a>b>0,则<
C.若ac2>bc2,则a>b D.若a
答案:BC
解析:对于A:当a>b时,若取c≤0,则有ac≤bc.故A不正确;
对于B:当a>b>0时,两边同乘以,有>,即<.故B正确;
对于C:当ac2>bc2,两边同乘以,则a>b.故C正确;
对于D:当a
题后师说
利用不等式的性质判断命题真假的2种策略
跟踪训练1 如果a2>b2,那么下列不等式中成立的是( )
A.a>0>b B.a>b>0
C.|a|>|b| D.a>|b|
答案:C
解析:因为a2>b2,故由不等式的性质得|a|>|b|,故C选项正确;对于A选项,当a=2,b=1时满足a2>b2,但a>0>b不成立,故A选项错误;对于B选项,由于(-3)2>(-2)2,但-3<-2<0,故B选项错误;对于D选项,由于(-3)2>(-2)2,但-3<|-2|,故D选项错误.故选C.
题型 2 利用不等式的性质证明不等式
例2 已知a>b>c,且a+b+c=0,求证:>.
证明:因为a>b>c,且a+b+c=0,所以a>0,c<0,
所以a-c>b-c>0,所以0<<,所以>.
学霸笔记:
利用不等式的性质证明不等式注意事项
(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题一定要在理解的基础上,记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用.
(2)应用不等式的性质进行推导时,应注意紧扣不等式的性质成立的条件,且不可省略条件或跳步推导,更不能随意构造性质与法则.
跟踪训练2 若a>b>0,c
.
证明:∵c
-d>0.
又a>b>0,∴a-c>b-d>0,
则(a-c)2>(b-d)2>0,即<.
又e<0,∴>.
题型 3 利用不等式的性质求代数式的取值范围
例3 已知-1
(1)求x-y的取值范围;
(2)求3x+2y的取值范围.
解析:(1)因为-1
所以-3<-y<-2,所以-4
(2)由-1
所以1<3x+2y<18.
一题多变 若将本例条件改为-1
解析:因为-1
所以-3<-y<1,所以-4
又因为x
所以-4
跟踪训练3 已知1
解析:因为2
又1
所以的取值范围是<<2.
随堂练习
1.已知x>0,0
A.xy>x>xy2 B.xy>xy2>x
C.x>xy>xy2 D.x>xy2>xy
答案:C
解析:由0
y>y2,可得x>xy>xy2.故选C.
2.若a>b>0,c<0,则下列结论正确的是( )
A.< B.a+c
C.> D.a-c
答案:C
解析:因为a>b>0,则<,又c<0,所以>,故A错误;因为a>b>0,c<0,所以a+c>b+c,故B错误;因为a>b>0,则<,又c<0,所以>,故C正确;因为a>b>0,c<0,所以a-c>b-c,故D错误.故选C.
3.(多选)若a>b>0,则下列结论正确的是( )
A.a2>b2 B.ac2>bc2
C.< D.a2>ab
答案:ACD
解析:由a>b>0,则a2>b2,>>0即<,a2>ab,故A、C、D正确;当c=0时ac2=bc2,故B错误.故选ACD.
4.若-1<α<β<1,m=α-β,则m的取值范围为____________.
{m|-2
解析:∵α<β,∴α-β<0,又-1<α<1,-1<-β<1,∴-2<α-β<2,综上,-2<α-β<0.
课堂小结
1.利用不等式的性质判断命题的真假时,一定要注意不等式成立的条件.
2.利用不等式的性质证明简单的不等式是否成立,实际上就是根据不等式的性质把不等式进行适当的变形,证明过程中注意不等式成立的条件.(共34张PPT)
第1课时 基本不等式
预学案
共学案
预学案
一、基本不等式
1.基本不等式:如果a>0,b>0,则__________,当且仅当________时,等号成立.
2.算术平均数和几何平均数:________叫做正数a,b的算术平均数,________叫做正数a,b的几何平均数.
3.两个正数的算术平均数________它们的几何平均数.
≤
a=b
不小于
微点拨
(1)基本不等式中,要求a,b都是非负实数,否则a<0,b<0,如a=-2,b=-4,则会出现的错误结论.若a,b中有一个小于0,如a=2,b=-4,则无意义.
(2)基本不等式成立的条件是a≥0,b≥0,而重要不等式中的a,b是实数.事实上,当a≥0,b≥0时,我们分别用代替重要不等式中的a,b,即a+b≥2,变形可得.
(3)基本不等式中的a,b的取值既可以是某个具体的非负数,也可以是一个代数式,但是代数式的结果应非负.
【即时练习】
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)两个不等式a2+b2≥2ab与成立的条件是相同的.( )
(2)当a>0,b>0时,ab≤.( )
(3)若a≠0,则a+≥2 =2.( )
×
√
×
2.不等式+(x-2)≥2(x>2)中等号成立的条件是________.
x=3
解析:由题知,x>2,所以x-2>0,所以+(x-2)≥2 =2,当且仅当=x-2,即x=3时,取等号,所以等号成立的条件是x=3.
二、基本不等式与最值
已知x,y都为正数,则:
(1)如果积xy等于定值P,那么当且仅当x=y时,和x+y有最小值________;
(2)如果和x+y等于定值S,那么当x=y时,积xy有最大值________,简记为:积定和最小,和定积最大.
2
S2
微点拨
对“一正、二定、三相等”的理解
(1)“一正”,即所求最值的各项必须都是正值,否则就容易得出错误的答案.例如,函数y=x+,当x<0时,绝不能认为x+≥2,并由此得出错误结论:x+的最小值为2.事实上,当x<0时,x+=-[(-x)+]≤-2,当且仅当x=-1时,取得最大值-2.
(2)“二定”,即含变量的各项的和或者积必须是常数,即要求x+y的最小值,xy必须是定值;求xy的最大值,x+y必须是定值.例如,已知0
0,5-3x>0.
(3)“三相等”,即必须具备不等式中等号成立的条件,才能求得最大值或最小值.例如,y=,满足“正”和“定”的条件,但要取等号必须满足=,即x2+2=1,这是不可能的,所以函数y=的最小值不是2.
【即时练习】
1.设x>0,y>0,且xy=9,则x+y的最小值为( )
A.18 B.9
C.6 D.3
答案:C
解析:∵x>0,y>0,∴x+y≥2=6(当且仅当x=y=3,取“=”),故选C.
2.若a>0,b>0,且a+b=6,则ab的最大值为( )
A.5 B.6
C.8 D.9
答案:D
解析:因为a>0,b>0,且a+b=6,所以ab≤()2=9,当且仅当a=b=3时等号成立,所以ab的最大值为9.故选D.
共学案
【学习目标】
(1)学会推导、证明不等式,理解基本不等式的几何意义.
(2)会用基本不等式求一些简单的最值问题.
【问题探究】 如图,AB是圆的直径,点C是AB上一点,AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD,BD.你能利用这个图形,得出基本不等式的几何解释吗?
提示:如题图,可证△ACD∽△DCB,因而CD=.由于CD小于或等于圆的半径,用不等式表示为.显然,当且仅当点C与圆心重合,即当a=b时,上述不等式的等号成立.
题型 1 对基本不等式的理解
例1 (多选)下列推导过程,其中正确的是( )
A.因为a,b为正实数,所以≥2=2
B.因为a>3,所以+a≥2=4
C.因为a<0,所以+a≥2=4
D.因为x,y∈R,xy<0,所以=-[(-)+(-)]≤-2 =-2,当且仅当x=-y≠0时,等号成立
答案:AD
解析:对于A,a,b为正实数,有>0,>0,且·=1,又当且仅当a=b时,=成立,满足均值不等式的条件,A正确;
对于B,+a≥2 =4,当a>3时,>0,且a·=4,显然不存在大于3的正数a使a=成立,所以+a>4,B错误;
对于C,因为a<0,则<0,不符合均值不等式成立的条件,C错误;
对于D,x,y∈R,xy<0,则->0,->0,且·=1,又当且仅当y=-x≠0时,-=-成立,满足均值不等式的条件,D正确.故选AD.
学霸笔记
基本不等式的结构体现了“和式”与“积式”的相互转化,当题目中不等号的两端一端是“和式”而另一端是“积式”时,就要考虑利用基本不等式来解决,在应用过程中注意“一正、二定、三相等”.
跟踪训练1 已知a≠0,下列各不等式恒成立的是( )
A.a+>2 B.a+≥2
C.a+≤-2 D.|a+|≥2
答案:D
解析:取a=-1时,a+=-2,可判断选项A、B不正确;取a=1时,a+=2,可判断选项C不正确;因为a,同号,|a+|=|a|+||≥2,当且仅当a=±1时,等号成立,选项D正确.故选D.
题型 2 利用基本不等式直接求最值
例2 (1)当x>0时,求+4x的最小值;
(2)当x<0时,求+4x的最大值.
解析:(1)∵x>0,∴>0,4x>0.
∴+4x≥2 =8.
当且仅当=4x,即x=时取最小值8,
∴当x>0时,+4x的最小值为8.
(2)∵x<0,∴-x>0.
则+(-4x)≥2 =8,
当且仅当=-4x时,即x=-时取等号.
∴+4x≤-8.
∴当x<0时,+4x的最大值为-8.
学霸笔记
应用基本不等式求最值,必须按照“一正,二定,三相等”的条件进行,若具备这些条件,则可直接运用基本不等式,若不具备这些条件,则应进行适当的变形.
跟踪训练2 (1)已知a>0,则a++1的最小值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
答案:D
解析:因为a>0,所以a++1≥2 +1=5.当且仅当a=,即a=2时等号成立.所以a++1的最小值为5.故选D.
(2)设x>0,则y=3-3x-的最大值为( )
A.3 B.3+2
C.3-2 D.-1
答案:C
解析:因为x>0,所以3x+≥2 =2,当且仅当3x=,即x=时取等号,所以3-3x-≤3-2,即y=3-3x-的最大值为3-2.故选C.
题型 3 利用基本不等式求两个变量和(积)的最值
例3 把36写成两个正数的积,当这两个正数取什么值时,它们的和最小?
解析:设两个正数为a,b,
由题意ab=36,则a+b≥2=12,当且仅当a=b=6时等号成立,即a=b=6时,它们的和最小,为12.
一题多变 把18写成两个正数的和,当这两个正数取什么值时,它们的积最大?
解析:设两个正数为a,b,
由题意a+b=18,则ab≤=81当且仅当a=b=9时等号成立,即a=b=9时,它们的积最大,为81.
学霸笔记:当a>0,b>0时,
(1)若a+b=p(和为定值),则当a=b时,积ab有最大值,这可以用基本不等式求得.
(2)若ab=S(积为定值),则当a=b时,和a+b有最小值2,这可以用基本不等式a+b≥2求得.不论哪种情况都要注意等号取得的条件.
跟踪训练3 (1)已知正数a,b满足ab=8,则a+2b的最小值是( )
A.4 B.6 C.2 D.8
答案:D
解析:由a,b为正实数,则a+2b≥2=2=8,当且仅当a=2b,即a=4,b=2时等号成立,故选D.
(2)已知x>0,y>0,且满足x+6y=6,则xy有( )
A.最大值 B.最小值
C.最大值1 D.最小值1
答案:A
解析:xy==×9=,当且仅当,即时等号成立.故选A.
随堂练习
1.不等式a2+1≥2a中等号成立的条件是( )
A.a=±1 B.a=1
C.a=-1 D.a=0
答案:B
解析:当a2+1=2a,即(a-1)2=0即a=1时,“=”成立.故选B.
2.下列不等式中,正确的是( )
A.a+≥4 B.a2+b2≥4ab
C.x2+≥2 D.
答案:C
解析:A.当a<0时,a+≤-4,故错误;B.因为a2+b2≥2ab,故错误;C.由基本不等式得x2+≥2,当且仅当x2=时,取等号,故正确;D.当a=1,b=2时,<,故错误.故选C.
3.已知m>0,n>0,mn=81,则m+n的最小值是( )
A.9 B.18 C.9 D.27
答案:B
解析:因为m>0,n>0,由基本不等式m+n≥2得,m+n≥18.当且仅当m=n=9时等号成立,所以m+n的最小值是18,故选B.
4.已知y=4x+(x>0,a>0)在x=3时取得最小值,则a的值为________.
36
解析:由基本不等式,得4x+≥2 =4,当且仅当4x=,即x=时,等号成立,故=3,得a=36.
课堂小结
1.基本不等式的推导与证明.
2.利用基本不等式求最值要满足条件“一正、二定、三相等”,缺一不可.(共19张PPT)
第2课时 基本不等式的实际应用
共学案
【学习目标】
(1)熟练掌握基本不等式及其变形的应用.
(2)基本不等式在解决实际问题中的应用.
题型 1 基本不等式在生活中的应用
【问题探究】 课前每名同学准备一段铁丝,如何把这段铁丝折成一个面积最大的矩形?
提示:设矩形的边长分别为x,y,则周长C=2x+2y,∴x+y=,∴面积S=xy≤=,当且仅当x=y=时,等号成立.
例1 如图为传统节日玩具之一走马灯,常见于除夕、
元宵、中秋等节日.灯内点上蜡烛,蜡烛燃烧产生的热
力造成气流,令轮轴转动.轮轴上有剪纸,烛光将剪纸
的影投射在屏上,图象便不断走动,因剪纸图象为古代
武将骑马的图画,在转动时看起来好像几个人你追我赶
一样,故名走马灯.现打算做一个体积为96 000 cm3的
如图长方体状的走马灯(题中不考虑木料的厚薄粗细).
(1)若底面大矩形的周长为160 cm,当底面边长为多少时,底面面积最大?
(2)若灯笼高为40 cm,现只考虑灯笼的主要框架,当底面边长为多少时,框架用料最少?
解析:(1)设大矩形的长为x,宽为y,
依题有:2(x+y)=160,即x+y=80,则S=xy≤=1 600,
当且仅当x=y=40时,底面矩形面积最大.
(2)依题有S=xy==2 400,
框架用料最少等价于底面用料为2x+3y最小即可,
2x+3y≥2=240,当2x=3y,
即y=40,x=60时取等号,
故当长为60 cm、宽为40 cm时,用料最少.
题后师说
利用基本不等式解决实际问题的步骤
跟踪训练1 某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池,池的深度一定,池的外圈周壁建造单价为每米400元,中间一条隔壁建造单价为每米100元,池底建造单价每平方米60元(池壁忽略不计).问:污水处理池的长设计为多少米时可使总价最低.
解析:设污水处理池的长为x米,则宽为米.
总造价f(x)=400×(2x+2×)+100×+60×200
=800×(x+)+12 000≥1 600 +12 000=36 000(元)
当且仅当x=(x>0),
即x=15时等号成立.
题型 2 基本不等式在几何中的应用
例2 如图所示,设矩形ABCD(AB>BC)的周长为24,把它沿AC翻折,翻折后AB′交DC于点P,设AB=x.
(1)用x表示DP,并求出x的取值范围;
(2)求△ADP面积的最大值及此时x的值.
解析:(1)矩形ABCD(AB>BC)的周长为24,
∵AB=x,∴AD=-x=12-x,
∵AB>BC=AD,得x>12-x,∴6
在△APC中,∠PAC=∠PCA,所以AP=PC,从而得DP=PB′,
∴AP=AB′-PB′=AB-DP=x-DP,
在Rt△ADP中,由勾股定理得(12-x)2+DP2=(x-DP)2,
∴DP=12-(6
(2)在Rt△ADP中,
S△ADP=AD·DP=(12-x)·(12-)=108-(6x+)(6
∵6
∴S△ADP=108-(6x+)≤108-72,
∴当x=6时,△ADP的面积取最大值108-72.
学霸笔记
在实际问题中利用基本不等式求最值时,要特别注意使用基本不等式的条件“一正”(要求字母为正数)、“二定”(不等式的另一边必须为定值)、“三相等”(等号取得的条件),满足这三条才能应用,否则会出现错误.
跟踪训练2 如图,已知在一个半径为r的半圆形铁板中,截取一块矩形ABCD,使得矩形的顶点A、B在半圆的直径上,C、D在半圆弧上,若矩形ABCD的面积最大时,其最大值是________.
r2
解析:设BC=x,连结OC,得OB=,所以AB=2,所以矩形ABCD面积S=2x,x∈(0,r),S=2x=2≤x2+r2-x2=r2.当且仅当x2=r2-x2,即x=r时取等号,此时ymax=r2.
随堂练习
1.某服装加工厂为了适应市场需求,引进某种新设备,以提高生产效率和降低生产成本.已知购买m台设备的总成本为f(m)=m2+m+200(单位:万元).若要使每台设备的平均成本最低,则应购买设备( )
A.100台 B.200台
C.300台 D.400台
答案:B
解析:由题意,=m+1+≥2 +1=3,当且仅当=,即m=200时,等号成立,所以应购买200台,使得每台设备的平均成本最低.故选B.
2.为了庆祝中国青年团100周年,校团委组织了一场庆祝活动,要用警戒线围出400平方米的矩形活动区域,则所用警戒线的长度的最小值为( )
A.30米 B.50米 C.80米 D.110米
答案:C
解析:设该矩形区域的长为x米,则宽为米,则所用警戒线的长度为2(+x)≥2×2 =80米,当且仅当=x,即x=20时,取等号.则所用警戒线的长度的最小值为80米.故选C.
3.欲用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的面积最大的矩形菜园,墙长18 m,则这个矩形的长、宽分别为( )
A.15 m, m B.15 m, m
C.7 m, m D.7 m, m
答案:A
解析:设矩形的长为x(0
4.在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x为________ m,面积最大为________ m2.
20
400
解析:设矩形的宽为y,由三角形相似得:=,0
课堂小结
1.利用基本不等式求解实际问题,注意生活中的变量有它自身的意义,容易忽略变量的取值范围.
2.利用基本不等式求解实际问题,切记利用基本不等式求最值的三个条件:一正、二定、三相等.(共18张PPT)
习题课 基本不等式
【学习目标】
(1)熟练掌握基本不等式及其变形的应用.
(2)能利用基本不等式证明简单的不等式.
题型 1 “拼凑法”求最值
例1 (1)已知x<,求y=4x-2+的最大值;
(2)已知0
解析:(1)∵x<,∴5-4x>0,
∴y=4x-2+=-(5-4x+)+3≤-2+3=1,
当且仅当5-4x=,即x=1时,上式等号成立,故当x=1时,ymax=1.
(2)∵0
0,∴y=×2x(1-2x)≤×()2
==.
∴当且仅当2x=1-2x(0
学霸笔记:
通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略
拼凑法的实质在于代数式的灵活变形,拼系数、凑常数是关键,利用拼凑法求最值应注意以下几个方面:①拼凑的技巧,以整式为基础,注意利用系数的变化以及等式中常数的调整,做到等价转换;②代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标;③拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提.
跟踪训练1 (1)已知a>1,则a+的最小值为( )
A.5 B.6
C.7 D.10
答案:C
解析:a>1时,a-1>0,a+=(a-1)++1≥2 +1=7(当且仅当a=4时等号成立),则a+的最小值为7.故选C.
(2)若0
5
解析:因为0
0,所以=5,当且仅当x=10-x,即x=5时取等号,所以的最大值为5.
题型 2 巧用“1”的代换求最值
例2 已知x>0,y>0,且=1,求x+y的最小值.
解析:∵=1,∴x+y=(x+y)()=10+,∵x>0,y>0,∴>0,>0,
∴x+y≥10+2 =16(当且仅当=,即x=4,y=12时取等号),
∴x+y的最小值为16.
一题多变 把本例中的“=1”改为“2xy=x+4y”,求x+y的最小值.
解析:因为x>0,y>0,由已知条件可得==2,
所以x+y=(x+y)()=(5+)≥(5+2 )=,
当且仅当x=2y=3时,等号成立,故x+y的最小值为.
题后师说
“1”的代换法求最值的步骤
跟踪训练2 已知m>0,n>0,且2m+n=1,求的最小值.
解析:∵m>0,n>0,2m+n=1,
∴===,
∴==()·(2m+n)=+3+2+≥5+2 =5+2,
当且仅当=时,即n2=6m2,
而又2m+n=1,所以,
此时不等式可取等号.
所以的最小值为5+2.
题型 3 利用基本不等式证明不等式
例3 已知a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,求证:(-1)(-1)(-1)≥8.
证明:因为a,b,c均为正实数,a+b+c=1,
所以-1==,
同理-1≥-1≥.
上述三个不等式两边均为正,分别相乘,
得(-1)(-1)(-1)≥··=8,
当且仅当a=b=c=时,等号成立.
学霸笔记:
利用基本不等式证明不等式的注意事项
(1)多次使用基本不等式时,要注意等号能否成立.
(2)巧用“1”的代换证明不等式.
(3)对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合,形成基本不等式模型,再使用.
跟踪训练3 已知a,b,c∈R+,且a+b+c=1.
证明:≥4.
证明:=(a+b+c)·()
=2+
≥2+2 =4,
当且仅当a+b=c=时取等号,所以≥4.
随堂练习
1.已知x>-2,则x+的最小值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
答案:A
解析:因为x>-2,所以x+2>0,
所以x+=x+2+-2≥2 -2=2,
当且仅当x+2=,即x=0时取等号,
所以x+的最小值为2.故选A.
2.若两个正实数x,y满足=1,则x+2y的最小值是( )
A.2 B.4 C.8 D.16
答案:C
解析:由题意,两个正实数x,y满足=1,则x+2y=(x+2y)()=4+≥4+2 =8,当且仅当=,即x=4,y=2时,等号成立.故选C.
3.若正数a,b满足a+b=1,则的最小值为( )
A.16 B.13 C.20 D.15
答案:A
解析:因为正数a,b满足a+b=1,则=()·(a+b)=10+≥10+2 =16,当且仅当=且a+b=1,即a=,b=时取等号,此时取得最小值16.故选A.
4.已知0
1
解析:0
0,x(2-x)≤=1,当且仅当x=1时取“=”.
课堂小结
1.“拼凑法”求最值.
2.“1”的代换法求最值.
3.利用基本不等式证明不等式.(共31张PPT)
第1课时 二次函数与一元二次方程、不等式
预学案
共学案
预学案
预备知识一:因式分解
常用方法:①提公因式法;②公式法:a2-b2=(a+b)(a-b),a2±2ab+b2=(a±b)2;③十字相乘法:a1a2x2+(a1c2+a2c1)x+c1c2=(a1x+c1)(a2x+c2).
分解因式:
(1)x2+x=__________;
(2)4x2-4x+1=__________;
(3)x2-4x+4=_________;
(4)2x2+5x+2=______________;
(5)12x2-5x-2=______________;
(6)x2-(a+1)x+a=___________.
x(x+1)
(2x-1)2
(x-2)2
(x+2)(2x+1)
(3x-2)(4x+1)
(x-1)(x-a)
预备知识二:一元二次方程的解法
1.因式分解法:若ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2),方程ax2+bx+c=0的两根是x1、x2.
2.求根公式法:ax2+bx+c=0(a≠0),Δ=b2-4ac.
当Δ<0时,方程____________;
当Δ=0时,方程___________________;
当Δ>0时,方程_____________________.
预备知识三:根与系数的关系(韦达定理)
方程ax2+bx+c=0的两根是x1、x2,则x1+x2=________;x1·x2=________;=________;(x1-x2)2=________.
没有实数根
有两个相等的实数根
有两个不相等的实数根
-
-
预备知识四:二次函数图象的绘制
y=x2-2x-3 y=x2-4x+3 y=-x2+2x+3
一、一元二次不等式
一般地,我们把只含有________未知数,并且未知数的最高次数是________的不等式,称为一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式是____________或____________,其中a,b,c均为常数,a≠0.
微点拨
(1)“一元”指的是只有一个未知数,不代表只有一个字母,如a,b,c等.
(2)“二次”指的是未知数的最高次必须存在并且是2,并且最高次系数不为0.
一个
2
ax2+bx+c>0
ax2+bx+c<0
【即时练习】 (多选)下面所给关于x的不等式,其中一定为一元二次不等式的是( )
A.3x+4<0 B.x2+mx-1>0
C.ax2+4x-7>0 D.x2<0
答案:BD
解析:选项A是一元一次不等式,故错误;选项B,D,不等式的最高次是二次,二次项系数不为0,故正确;当a=0时,选项C是一元一次不等式,故不一定是一元二次不等式,即错误.故选BD.
二、二次函数的零点
一般地,对于二次函数y=ax2+bx+c,我们把使ax2+bx+c=0的实数x叫做二次函数y=ax2+bx+c的________.
微点拨
(1)二次函数的零点不是点,是二次函数与x轴交点的横坐标.
(2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点.
(3)后面第四章还要继续学习.
零点
【即时练习】 函数y=x2-2x-3的零点是( )
A.1,-3 B.3,-1
C.1,2 D.(3,0),(-1,0)
答案:B
解析:y=x2-2x-3=(x-3)(x+1)=0,x=3或x=-1,所以函数y=x2-2x-3的零点是3,-1.故选B.
三、二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
判别式Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0
二次函数y=ax2+ bx+c(a>0)的图象
一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根 有两相异实根 x1,x2(x1
一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集 ________ ________ ________
一元二次不等式ax2+bx+c<0(a>0)的解集 ________ ________ ________
{x|x
x2}
{x|x≠-}
{x|x∈R}
{x|x1
微点拨
(1)ax2+bx+c=0(a>0)的解 y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标;
(2)ax2+bx+c>0(a>0)的解集 y=ax2+bx+c的图象上的点(x,y)在x轴上方时,对应x的取值集合;
(3)ax2+bx+c<0(a>0)的解集 y=ax2+bx+c的图象上的点(x,y)在x轴下方时,对应x的取值集合.
【即时练习】
1.不等式(x+1)(x-3)<0的解集是( )
A.{x|-1
C. {x|x<-1或x>3} D.{x|x<-3或x>1}
答案:A
解析:由(x+1)(x-3)<0,解得-1
2.不等式2x2-x≥0的解集为________________.
{x|x≤0或x≥}
解析:由2x2-x≥0得x(2x-1)≥0,解得x≤0或x≥,故不等式2x2-x≥0的解集为{x|x≤0或x≥}.
共学案
【学习目标】
(1)了解一元二次不等式的现实意义.
(2)借助二次函数图象,了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系,体会数学的整体性.
(3)能够借助二次函数,求解一元二次不等式.
题型 1 一元二次不等式的解法
【问题探究1】 如课本图2.3-1,二次函数y=x2-12x+20的图象与x轴有两个交点,这与方程x2-12x+20=0的根有什么关系?
提示:函数的图象与x轴交点的横坐标正好是方程的根.
【问题探究2】 你能从二次函数y=x2-12x+20的图象上找到x2-12x+20<0的解集吗?
提示:从图象上看,位于x轴上方的函数值大于零,位于x轴下方的函数值小于零,故x2-12x+20<0的解集为{x|2
例1 解下列不等式:
(1)2x2+7x+3>0;
(2)-4x2+18x-≥0;
(3)-2x2+3x-2<0.
解析:(1)因为Δ=72-4×2×3=25>0,所以方程2x2+7x+3=0有两个不等实根x1=-3,x2=-.又二次函数y=2x2+7x+3的图象开口向上,所以原不等式的解集为{x|x>-或x<-3}.
(2)原不等式可化为(2x-)2≤0,所以原不等式的解集为{x|x=}.
(3)原不等式可化为2x2-3x+2>0,因为Δ=9-4×2×2=-7<0,所以方程2x2-3x+2=0无实根,又二次函数y=2x2-3x+2的图象开口向上,所以原不等式的解集为R.
题后师说
解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
跟踪训练1 解下列不等式.
(1)3x2-7x≤10;
(2)x2-x+<0.
解析:(1)不等式3x2-7x≤10,即3x2-7x-10≤0,即不等式等价于(x+1)(3x-10)≤0,由二次函数的图象与性质可知原不等式的解集为{x|-1≤x≤}.
(2)不等式x2-x+<0,
因为x2-x+=(x-)2≥0,
由二次函数的图象与性质可知原不等式的解集为 .
题型 2 含参数的一元二次不等式的解法
例2 设a∈R,解关于x的不等式ax2+(1-2a)x-2>0.
解析:(1)当a=0时,不等式可化为x-2>0,解得x>2,即原不等式的解集为{x|x>2}.
(2)当a≠0时,方程ax2+(1-2a)x-2=0的两根分别为2和-.
①当a<-时,解不等式得-<x<2,即原不等式的解集为{x|-
②当a=-时,不等式无解,即原不等式的解集为 ;
③当-<a<0时,解不等式得2<x<-,即原不等式的解集为{x|2
④当a>0时,解不等式得x<-或x>2,即原不等式的解集为{x|x<-,或x>2}.
一题多变 解关于x的不等式2x2+ax+2>0.
解析:Δ=a2-16,下面分情况讨论:
(1)当Δ<0,即-4<a<4时,方程2x2+ax+2=0无实根,所以原不等式的解集为R.
(2)当Δ=0,即a=±4时,若a=-4,则原不等式等价于(x-1)2>0,故x≠1;若a=4,则原不等式等价于(x+1)2>0,故x≠-1;
(3)当Δ>0,即a>4或a<-4时,方程2x2+ax+2=0的两个根为x1=(-a-),x2=(-a+).
此时原不等式等价于(x-x1)(x-x2)>0,∴x<x1或x>x2.
综上,当-4<a<4时,原不等式的解集为R;当a=-4时原不等式的解集为{x|x∈R,且x≠1};当a>4或a<-4时,原不等式的解集为{x|x<(-a-),或x>(-a+)};当a=4时,原不等式的解集为{x|x∈R,且x≠-1}.
题后师说
解含参数的一元二次不等式的步骤
特别提醒
求解方程的根时可优先考虑用因式分解的方法求解,不能因式分解时再求判别式Δ,用求根公式计算.
跟踪训练2 解关于x的不等式x2-(a+2)x+2a<0.
解析:x2-(a+2)x+2a<0,即(x-a)(x-2)<0;
当a=2时,不等式化为(x-2)2<0,不等式无解;
当a>2时,解不等式(x-a)(x-2)<0,得2
当a<2时,解不等式(x-a)(x-2)<0,得a
综上所述,a=2时,不等式无解,
a>2时,不等式的解集为{x|2
a<2时,不等式的解集为{x|a
随堂练习
1.不等式x2-4>0的解集是( )
A.{x|-2
C.{x|x>2} D.{x|x<-2或x>2}
答案:D
解析:x2-4=(x+2)(x-2)>0,
解得x<-2或x>2,
所以不等式的解集为{x|x<-2或x>2}.
2.关于x的不等式-x2+5x+6≤0的解集为( )
A.{x|x≤-2或x≥3}
B.{x|-2≤x≤3}
C.{x|-1≤x≤6}
D.{x|x≤-1或x≥6}
答案:D
解析:由-x2+5x+6=-(x-6)(x+1)≤0,解得x≤-1或x≥6.故选D.
3.设m+n>0,则关于x的不等式(m-x)·(n+x)>0的解集是( )
A.{x|x<-n或x>m}
B.{x|-n
C.{x|x<-m或x>n}
D.{x|-m
答案:B
解析:不等式变形为(x-m)(x+n)<0,方程(x-m)(x+n)=0的两根为m,-n,显然由m+n>0得m>-n,所以不等式的解为-n
4.已知a<0,则关于x的不等式x2-4ax-5a2<0的解集是____________.
{x|5a
解析:因为x2-4ax-5a2<0,所以(x-5a)(x+a)<0,又a<0,所以不等式x2-4ax-5a2<0的解集为{x|5a
课堂小结
1.一元二次不等式的概念及解法.
2.含参数的一元二次不等式的解法.(共22张PPT)
第2课时 一元二次不等式的应用
共学案
【学习目标】
(1)会将简单的分式不等式化为一元二次不等式求解.
(2)理解一元二次方程,一元二次不等式与二次函数的关系.
(3)能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型,解决实际生活问题.
题型 1 简单分式不等式的解法
【问题探究】 <0与(x+1)(x-1)<0等价吗?
≤0与(x+1)(x-1)≤0等价吗?
提示:<0与(x+1)(x-1)<0等价,≤0与(x+1)(x-1)≤0不等价,
≤0的分子可以等于0而分母不能等于0,即≤0 .
例1 解下列不等式:
(1)≥0;(2)>1.
解析:(1)原不等式可化为
解得∴x<-或x≥,
∴原不等式的解集为{x|x<-或x≥}.
(2)原不等式可化为>0,化简得>0,即<0,
∴(2x+1)(x+3)<0,解得-3
∴原不等式的解集为{x|-3
题后师说
简单分式不等式的解法策略
跟踪训练1 解下列不等式:
(1)≤0;(2)<1.
解析:(1)原不等式为
∴即-<x≤1.
故原不等式的解集为{x|-
(2)原不等式可化为-1<0,
∴<0,∴<0,则x>-2.
故原不等式的解集为{x|x>-2}.
题型 2 一元二次不等式的实际应用
例2 某公司为了竞标某活动的相关代言,决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元,年销售8万件.据市场调查,若价格每提高1元,销售量将相应减少2 000件,要使销售的总收入不低于原收入,该商品每件定价最多为多少元?
解析:设每件定价为t元,依题意得(8-×0.2)t≥25×8,
整理得t2-65t+1 000≤0,解得:25≤t≤40.
所以要使销售的总收入不低于原收入,每件定价最多为40元.
题后师说
求解一元二次不等式应用问题的步骤
跟踪训练2 制作一个高为20 cm的长方体容器,底面矩形的长比宽多10 cm,并且容积不少于4 000 cm3.问:底面矩形的宽至少应是多少?
解析:设底面矩形的宽为x,
由题意可得20x(x+10)≥4 000,
整理可得x2+10x-200≥0,
解得x≤-20(舍),或x≥10,
所以底面矩形的宽至少为10 cm.
题型 3 二次函数与一元二次方程、不等式间的关系及应用
例3 已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|2<x<3},求关于x的不等式cx2+bx+a<0的解集.
解析:方法一 由不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|2
由根与系数的关系可知=-5,=6.
由a<0知c<0,=,
故不等式cx2+bx+a<0,即x2+x+>0,
即x2-x+>0,解得x<或x>,
所以不等式cx2+bx+a<0的解集为{x|x<或x>}.
方法二 由不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|2
所以ax2+bx+c=a(x-2)(x-3)=ax2-5ax+6a b=-5a,c=6a,
故不等式cx2+bx+a<0,
即6ax2-5ax+a<0 6a(x-)(x-)<0,
故原不等式的解集为{x|x<或x>}.
一题多变 将本例中的“不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|2<x<3}”改为“不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|x<2或x>3}”,求关于x的不等式cx2+bx+a<0的解集.
解析:方法一 由不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|x<2或x>3}可知a>0,且2和3是方程ax2+bx+c=0的两根,
由根与系数的关系可知=-5,=6,
由a>0知b<0,c>0,=-,
故不等式cx2+bx+a<0,即x2+x+<0,即x2-x+<0,解得
所以不等式cx2+bx+a<0的解集为{x|
方法二 由不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|x<2或x>3}可知,a>0,且2和3是方程ax2+bx+c+0的两根,所以ax2+bx+c=a(x-2)(x-3)=ax2-5ax+6a b=-5a,c=6a,故不等式cx2+bx+a<0,即6ax2-5ax+a<0 6a(x-)(x-)<0,故原不等式的解集为{x|
学霸笔记
已知以a,b,c为参数的不等式(如ax2+bx+c>0)的解集,求解其他不等式的解集时,一般遵循:
(1)根据解集来判断二次项系数的符号;
(2)根据根与系数的关系把b,c用a表示出来并代入所要解的不等式;
(3)约去a,将不等式化为具体的一元二次不等式求解.
跟踪训练3 不等式ax2+bx+2>0的解集为{x|-1
A.{x|-1
}
C.{x|x≤2或x>} D.{x|-1
答案:A
解析:因为不等式ax2+bx+2>0的解集为{x|-1
所以-1和2是方程ax2+bx+2=0的两根,
则,解得,
所以不等式2x2+bx+a<0即化为2x2+x-1<0,所以(2x-1)(x+1)<0,
解得-1
随堂练习
1.不等式≥0的解集为( )
A.{x|x≥1或x≤-1}
B.{x|-1≤x≤1}
C.{x|x≥1或x<-1}
D.{x|-1≤x<1}
答案:D
解析:不等式等价于≤0,即(x+1)(x-1)≤0,且x-1≠0,解得-1≤x<1,故不等式的解集为{x|-1≤x<1}.故选D.
2.已知关于x的不等式2x2-mx+n<0的解集是(2,3),则m+n的值是( )
A.-2 B.2
C.22 D.-22
答案:C
解析:由题意得:2与3是方程2x2-mx+n=0的两个根,故2+3=,2×3=,所以m+n=10+12=22.故选C.
3.某村办服装厂生产某种风衣,月销售量x(件)与售价p(元/件)的关系为p=300-2x;生产x件的成本r=500+30x(元),为使月获利不少于8 600元,则月产量x满足( )
A.55≤x≤60 B.60≤x≤65
C.65≤x≤70 D.70≤x≤75
答案:C
解析:由题意可得(300-2x)x-(500+30x)≥8 600,即x2-135x+4 550≤0,则(x-65)(x-70)≤0,故65≤x≤70.故选C.
4.已知不等式ax2-x+6>0的解集为{x|-3
{x|-2
解析:因为不等式ax2-x+6>0的解集为{x|-3
课堂小结
1.解简单分式不等式的关键是等价转化.
2.解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型.
3.二次函数与一元二次方程、不等式间的关系及应用.(共17张PPT)
习题课 不等式恒成立、能成立问题
【学习目标】
掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法.
题型 1 在R上的恒成立问题
例1 若不等式ax2+(1-a)x+a-2≥-2对一切实数x恒成立,求实数a的取值范围.
解析:由题意,ax2+(1-a)x+a≥0恒成立,
当a=0时,不等式可化为x≥0,不满足题意;
当a≠0时,满足,
即,解得a≥;
故实数a的取值范围是a≥.
学霸笔记:(1)不等式ax2+bx+c>0的解是全体实数(或恒成立)的条件是:当a=0时,b=0,c>0;当a≠0时,
(2)不等式ax2+bx+c<0的解是全体实数(或恒成立)的条件是:当a=0时,b=0,c<0;当a≠0时,
(3)不等式ax2+bx+c≥0的解是全体实数(或恒成立)的条件是:当a=0时,b=0,c≥0;当a≠0时,
(4)不等式ax2+bx+c≤0的解是全体实数(或恒成立)的条件是:当a=0时,b=0,c≤0;当a≠0时,
跟踪训练1 已知关于x的不等式2kx2+kx-<0的解集为R,求实数k的取值范围.
解析:不等式2kx2+kx-<0的解集为R,
若k=0,不等式为-<0,符合题意;
若k≠0,则有,解得-3
所以不等式的解集为R,实数k的取值范围为-3
题型 2 在给定范围内恒成立的问题
例2 当-1≤x≤2时,不等式x2+(m-4)x-5≤0恒成立,求实数m的取值范围.
解析:令y=x2+(m-4)x-5,
∵y≤0在-1≤x≤2上恒成立,
y=0的根一个小于等于-1,一个大于等于2,
如图可得,即,
∴实数m的取值范围为{m|0≤m≤}.
一题多变 当x>0时,不等式x2-5x+4>kx恒成立,求实数k的取值范围.
解析:由题意得,k<在x>0上恒成立,令y=,只需k
由基本不等式得g(x)=x+-5≥2-5=-1,当且仅当x=,即x=2时等号成立.
所以k<-1,则k的取值范围是{k|k<-1}.
学霸笔记:
(1)转化为对应的二次函数图象与x轴的交点问题.
①当a>0时,ax2+bx+c<0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立 y=ax2+bx+c在x=α,x=β时的函数值同时小于0.
②当a<0时,ax2+bx+c>0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立 y=ax2+bx+c在x=α,x=β时的函数值同时大于0.
(2)用分离参数法转化为相应二次函数的最值或用基本不等式求最值.
跟踪训练2 已知关于x的方程x2+x-a-1>0在0≤x≤1上恒成立,求实数a的取值范围.
解析:由题可知a
令y=x2+x-1,只需a
所以a<-1.
题型 3 不等式能成立问题
例3 已知关于x的方程x2+x-a-1>0在0≤x≤1上有解,求实数a的取值范围.
解析:由x2+x-a-1>0可得a
所以a
因为y=x2+x-1=(x+)2-,0≤x≤1,
所以ymax=1,所以a<1.
学霸笔记
(1)结合二次函数图象,将问题转化为端点值的问题解决.
(2)对一些简单的问题,可转化为m>ymin或m
跟踪训练3 若存在≤x≤2,使得>(k>0)成立,求实数k的取值范围.
解析:依题意,存在≤x≤2,使得>成立,由于k>0,
所以3x>x2+k,k<-x2+3x,
由于函数y=-x2+3x的开口向下,对称轴为x=,
所以k<-+3×=,
即k的取值范围是{k|k<}.
随堂练习
1. x∈R,不等式ax2+4x-1<0恒成立,则a的取值范围为( )
A.a<-4 B.a<-4或a=0
C.a≤-4 D.-4
答案:A
解析: x∈R,不等式ax2+4x-1<0恒成立,当a=0时,显然不恒成立,所以,解得:a<-4.故选A.
2.已知不等式x2-ax+1≥0,在0
A.a≤2 B.a≤1
C.0
答案:A
解析:依题意得x2-ax+1≥0,ax≤x2+1,a≤x+,在0
3.若关于x的不等式x2-6x+11-a<0在2
A.a>-2 B.a>3
C.a>6 D.a>2
答案:D
解析:设y=x2-6x+11,开口向上,对称轴为直线x=3,所以要使不等式x2-6x+11-a<0在2
ymin即可,即a>f(3)=2,得a>2,所以实数a的取值范围为a>2.故选D.
4.若关于x的不等式x2-x+m<0的解集是 ,则实数m的取值范围是____________.
{m|m≥}
解析:因为不等式x2-x+m<0的解集是 ,∴x2-x+m≥0在x∈R上恒成立,∴Δ=b2-4ac=1-4×1×m≤0,即m≥.
课堂小结
1.会使用判别式法、分离参数法、数形结合等方法解决不等式恒成立、能成立问题.
2.正确区分不等式恒成立与能成立问题.
(共28张PPT)
第二章 章末复习课
·
·
考点一 不等式性质的应用
1.利用不等式的性质可以比较两个数或式的大小,可以证明不等式等.另外,作差法、作商法也是常用的比较大小和证明不等式的方法.
2.通过对不等式性质的考查,提升学生的逻辑推理素养.
例1 (多选)下列不等式中不成立的是( )
A.若a>b>0,则ac2>bc2
B.若a>b>0,则a2>b2
C.若a
D.若a
答案:AC
解析:A.若a>b>0,当c=0时,ac2=bc2,故A满足题意;
B.若a>b>0,则a2-b2=(a+b)(a-b)>0,即a2>b2,故B不满足题意;
C.若a
ab,ab>b2,即a2>ab>b2,故C满足题意;
D.若a
0,即>,故D不满足题意.故选AC.
跟踪训练1 已知a、b、c、d∈R,下列命题正确的是( )
A.若a>b,则ac>bc
B.若a>b,c>d,则ac>bd
C.若a>b,则<
D.若<,则|a|>|b|
答案:D
解析:对于A,当c≤0时不成立;
对于B,当a=1,b=-2,c=0,d=-1时,显然不成立;
对于C,当a=1,b=-2时不成立;
对于D,因为0<<,所以有|a|>|b|>0,即|a|>|b|成立.故选D.
考点二 基本不等式
1.基本不等式为,其变式为ab≤等.基本不等式可用来比较代数式的大小、证明不等式、求函数的最值、求字母参数的取值范围、解实际应用题等.
2.通过对基本不等式考查,提升学生的逻辑推理、数学运算素养.
例2 (多选)下列结论中,所有正确的结论是( )
A.当x>0时,≥2
B.当x<0时,x+的最小值是-2
C.当x>-3时,y=x+的最小值为-1
D.当x<时,y=4x-2+的最小值是5
答案:AC
解析:对于A,因为x>0,所以≥2当且仅当x=1时取等号,故选项A正确;
对于B,因为x<0,所以x+=-(-x)-≤-2 =-2,当且仅当x=-1时取等号,则x+的最大值是-2,故选项B错误;
对于C,因为x>-3,则x+3>0,所以y=x+=x+3+-3≥2 -3=-1当且仅当x+3=,即x=-2时取等号,所以当x>-3时y=x+的最小值为-1,故选项C正确;
对于D,因为x<,则4x-5<0,所以y=4x-2+=4x-5++3=-(5-4x)-+3≤-2 +3=1当且仅当5-4x=,即x=1时取等号,所以当x<时,y=4x-2+的最大值是1,故选项D错误.故选AC.
跟踪训练2 已知x,y都是正实数,且x+2y=xy,则x+y的最小值为________.
3+2
解析:因为x+2y=xy,x,y都是正实数,所以=1,所以x+y=(x+y)()=2++1≥3+2,当且仅当=,x+2y=xy时等号成立,即x=2+,y=+1时等号成立;所以x+y的最小值为3+2.
考点三 一元二次不等式的解法
1.解一元二次不等式需熟悉一元二次方程、二次函数和一元二次不等式三者之间的关系,其中二次函数的图象与x轴交点的横坐标是联系这三个“二次”的枢纽.
(1)确定ax2+bx+c>0(a>0)或ax2+bx+c<0(a>0)在判别式Δ>0时解集的结构是关键.在未确定a的取值情况下,应先分a=0和a≠0两种情况进行讨论.
(2)若给出了一元二次不等式的解集,则可知二次项系数a的符号和方程ax2+bx+c=0的两个根,再由根与系数的关系就可知a,b,c之间的关系.
(3)解含有参数的一元二次不等式,要注意对参数的取值进行讨论:①对二次项系数与0的大小进行讨论;②在转化为标准形式的一元二次不等式后,对判别式与0的大小进行讨论;③当判别式大于0,但两根的大小不确定时,对两根的大小进行讨论.
2.通过对一元二次不等式解法的考查,提升学生逻辑推理、数学运算素养.
例3 (1)已知不等式ax2+bx+c>0的解是α
α>0,求不等式cx2+bx+a<0的解集;
(2)解关于x的不等式ax2-(a+4)x+4<0(a∈R).
解析:(1)由已知不等式可得a<0,α、β为方程ax2+bx+c=0的两根,
所以,
由cx2+bx+a<0得x2+x+1>0,
则有αβx2-(α+β)x+1>0即(αx-1)(βx-1)>0,
因为β>α>0,所以0<<,
所以不等式cx2+bx+a<0的解集为{x|x<或x>}.
(2)不等式ax2-(a+4)x+4<0等价于(ax-4)(x-1)<0,其中a∈R,
当a=0时,不等式化为4x-4>0,解得x>1,则不等式的解集为{x|x>1};
当a>0时,不等式等价于(x-)(x-1)<0,
若>1,即0
若=1,即a=4,不等式的解集为空集;
若0<<1,即a>4,不等式的解集为{x|
当a<0时,不等式等价于(x-)(x-1)>0,且<0<1,则不等式的解集为{x|x<或x>1},
综上所述,当a<0时,不等式的解集为{x|x<或x>1};
当a=0时,不等式的解集为{x|x>1};
当0
当a=4时,不等式的解集为空集;
当a>4时,不等式的解集为{x|
跟踪训练3 已知关于x的不等式x2-x+a-a2≤0.
(1)若a=2时,求不等式的解集;
(2)求不等式的解集.
解析:(1)当a=2时,x2-x-2≤0,(x+1)(x-2)≤0,得-1≤x≤2,
所以不等式的解集为{x|-1≤x≤2}.
(2)由x2-x+a-a2≤0,得(x-a)[x-(1-a)]≤0,
当a<1-a,即a<时,不等式的解集为{x|a≤x≤1-a},
当a=1-a,即a=时,不等式的解集为,
当a>1-a,即a>时,不等式的解集为{x|1-a≤x≤a},
综上,当a<时,不等式的解集为{x|a≤x≤1-a},当a=时,不等式的解集为,当a>时,不等式的解集为{x|1-a≤x≤a}.
考点四 不等式恒成立问题
1.熟练掌握一元二次不等式恒成立的等价条件,理解不等式恒成立与最值的关系,对于含参的不等式要注意对参数进行讨论,做到不重不漏.
2.通过对不等式恒成立问题的考查,提升学生逻辑推理和数学运算素养.
例4 已知关于x的不等式mx2+mx-2<0.
(1)当x∈R时不等式恒成立,求实数m的取值范围.
(2)当x∈{x|-3≤x≤-1}时不等式恒成立,求实数m的取值范围.
解析:(1)∵关于x的不等式mx2+mx-2<0,当x∈R时不等式恒成立,
∴当m=0时,-2<0,显然成立;
当m≠0时,要使x∈R时不等式恒成立,
∴,解得-8
综上所述,实数m的取值范围为{m|-8
(2)当-3≤x≤-1时,关于x的不等式mx2+mx-2<0恒成立,
(ⅰ)当m=0时,-2<0,显然成立;
(ⅱ)当m≠0时,①当m>0时,令y=mx2+mx-2,二次函数f(x)的图象开口向上,且对称轴为直线x=-,
∴y在-3≤x≤-1上随x的增大而减小,
要使当-3≤x≤-1时,关于x的不等式mx2+mx-2<0恒成立,则即9m-3m-2<0,解得0
②当m<0时,令y=mx2+mx-2,二次函数f(x)的图象开口向下,且对称轴为直线x=-,
∴y在-3≤x≤-1上随x的增大而增大,
要使当-3≤x≤-1时,关于x的不等式mx2+mx-2<0恒成立,即m-m-2<0,显然恒成立,
综上所述,实数m的取值范围为{m|m<}.
跟踪训练4 已知函数y=x2+ax+2.
(1)若对 x∈{x|1≤x≤2},有x2+ax+2≥-2恒成立,求实数a的取值范围;
(2)若 x∈{x|1≤x≤2},有x2+ax+2≥-2成立,求实数a的取值范围.
解析:(1)依题意x2+ax+4≥0在x∈{x|1≤x≤2}恒成立,
所以a≥-=-(x+)在1≤x≤2上恒成立,
所以a≥,
由-(x+)≤-4,当且仅当x=2时等号成立,
所以a≥-4,即a∈{a|a≥-4}.
(2)依题意x2+ax+4≥0在x∈{x|1≤x≤2}有解,
所以a≥-=-(x+)在1≤x≤2上有解,
所以a≥,所以当x=1时,=-5,
所以a≥-5,即a∈{a|a≥-5}.
考点五 不等式在实际问题中的应用
1.不等式的实际问题常以函数为背景,多以解决实际生活、生产中的优化问题,在解题中主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值.
2.通过对不等式实际问题的考查,提升学生数学建模和数学运算素养.
例5 某市为推动美丽乡村建设,发展农业经济,鼓励某食品企业生产一种饮料,该饮料每瓶成本为10元,售价为15元,月销售8万瓶.
(1)据市场调查,若每瓶售价每提高1元,月销售量将减少8 000瓶,要使下月总利润不低于原来的月总利润,该饮料每瓶售价最多为多少元?
(2)为提高月总利润,企业决定下月调整营销策略,计划每瓶售价x(x≥16)元,并投入(x-16)万元作为调整营销策略的费用.据市场调查,每瓶售价每提高1元,月销售量将相应减少万瓶,则当每瓶售价x为多少时,下月的月总利润最大?并求出下月的最大总利润.(提示:月总利润=月销售总收入-月总成本)
解析:(1)设提价a元,由题意,每瓶饮料的利润为(a+5)元,月销售量为(8-0.8a)万瓶,
所以提价后月销售总利润为(a+5)(8-0.8a)万元.
因为原来月销售总利润为5×8=40(万元),月利润不低于原来月利润,
所以(a+5)(8-0.8a)≥40,即a2-5a≤0,
所以0≤a≤5,所以售价最多为5+15=20(元),
故该饮料每瓶售价最多为20元.
(2)由题意,每瓶利润为(x-10)元,月销售量为8-(x-15)=(8-)万瓶,设下月总利润为y=(x-10)(8-)-(x-16),x≥16,
整理得y=-x-+51.2
=-[(x-15)+]+47.45,
因为x≥16,所以x-15≥1,
所以y≤-2+47.45=45.45,
当且仅当x=19时取到等号,
故当每瓶售价为19元时,下月的最大总利润为45.45万元.
跟踪训练5
某学校欲在广场旁的一块矩形空地上进行绿化.如图所示,两块完全相同的长方形种植绿草坪,草坪周围(斜线部分)均种满宽度相同的鲜花.已知两块绿草坪的面积均为200平方米.
(1)若矩形草坪的长比宽至少多10米,求草坪宽的最大值;
(2)若草坪四周及中间的宽度均为2米,求整个绿化面积的最小值.
解析:(1)设草坪的宽为x米,长为y米,由面积均为200平方米,得y=,
因为矩形草坪的长比宽至少多10米,
所以≥x+10,又x>0,
所以x2+10x-200≤0,解得0
所以宽的最大值为10米.
(2)记整个绿化面积为S平方米,由题意得,
S=(2x+6)(y+4)=(2x+6)(+4)=424+8(x+)≥424+80,当且仅当x=5米时,等号成立,所以整个绿化面积的最小值为(424+80)平方米.
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同课章节目录
第一章 集合与常用逻辑用语
1.1 集合的概念
1.2 集合间的基本关系
1.3 集合的基本运算
1.4 充分条件与必要条件
1.5 全称量词与存在量词
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.1 等式性质与不等式性质
2.2 基本不等式
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
第三章 函数概念与性质
3.1 函数的概念及其表示
3.2 函数的基本性质
3.3 幂函数
3.4 函数的应用(一)
第四章 指数函数与对数函数
4.1 指数
4.2 指数函数
4.3 对数
4.4 对数函数
4.5 函数的应用(二)
第五章 三角函数
5.1 任意角和弧度制
5.2 三角函数的概念
5.3 诱导公式
5.4 三角函数的图象与性质
5.5 三角恒等变换
5.6 函数 y=Asin( ωx + φ)
5.7 三角函数的应用
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