2024版新教材高中数学第二章一元二次函数方程和不等式 课件(9份打包)

文档属性

名称 2024版新教材高中数学第二章一元二次函数方程和不等式 课件(9份打包)
格式 zip
文件大小 9.5MB
资源类型 教案
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2023-11-11 15:08:38

文档简介

(共32张PPT)
第1课时 不等关系与不等式
预学案
共学案
预学案
一、不等关系与不等式
(1)在现实世界和日常生活中,大量存在着相等关系和________,常用________来研究含有不等关系的问题.
(2)用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或________,以表示不等关系.“a≠b”应包含“a>b”或“a不等关系
不等式
代数式
微点拨
(1)不等关系强调的是关系,可用“>”“<”“≠”“≥”“≤”表示.而不等式则是表示两者不等关系的式子,如“a>b”“a(2)利用不等式表示不等关系时,应注意所比较的两个(或几个)量必须具有相同性质,才可以进行比较,没有可比性的两个(或几个)量之间不能用不等式表示.另外,在用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时,一定要注意单位的统一.
【即时练习】 据天气预报可知明天白天的最高温度为13 ℃,则明天白天的气温t与13 ℃之间存在的不等关系是(  )
A. t≤13 ℃ B.t<13 ℃
C.t=13 ℃ D.t>13 ℃

答案:A
解析:∵明天白天的最高温度为13 ℃,∴明天白天的气温t与13 ℃之间存在的不等关系是t≤13 ℃,故选A.
二、两个实数的大小关系
依据 a>b ____________
a=b ____________
a结论 要比较两个实数的大小,可以转化为比较它们的________与0的大小
 a-b>0
a-b=0
a-b<0

【即时练习】 已知M=x2+5x+6,N=2x2+5x+8,则M,N的大小关系是________.
M解析:由于N-M=x2+2>0,所以M三、重要不等式
a,b∈R,a2+b2________2ab,当且仅当________时,等号成立.

a=b
【即时练习】 已知x,y∈R,且x2+y2=4,则xy的最大值是________.
2
解析:由于x2+y2≥2xy,所以2xy≤4,故xy的最大值为2.
微点拨
比较两实数a,b的大小,只需确定它们的差a-b与0的大小关系,与差的具体数值无关.
共学案
【学习目标】 
(1)能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系.
(2)初步学会作差法比较两实数的大小.
题型 1 用不等式(组)表示不等关系
【问题探究1】 生活中,我们经常看到下列标志,你知道它们的意思吗?你能用一个数学式子表示下列关系吗?
提示:①最低限速50 km/h,v≥50.②限制质量10 t,0<ω≤10.③限制高度3.5 m,0例1 某家电生产企业计划在每周工时不超过40 h的情况下,生产空调、彩电、冰箱共120台,且冰箱至少生产20台.已知生产这些家电产品每台所需工时如下表:
若每周生产空调x台、彩电y台,试写出满足题意的不等式组.
家电名称 空调 彩电 冰箱
工时(h)
解析:由题意,知x≥0,y≥0,每周生产冰箱(120-x-y)台.
因为每周所用工时不超过40 h,
所以x+y+(120-x-y)≤40,即3x+y≤120;
又每周至少生产冰箱20台,
所以120-x-y≥20,即x+y≤100.
所以满足题意的不等式组为
题后师说
用不等式(组)表示不等关系的步骤
跟踪训练1 (1)雷电的温度大约是28 000 ℃,比太阳表面温度的4.5倍还要高.设太阳表面温度为t ℃,那么t应满足的关系式是____________.
(2)一辆汽车原来每天行驶x km,如果该汽车每天行驶的路程比原来多19 km,那么在8天内它的行程将超过2 200 km,用不等式表示为____________.
4.5t<28 000
8(x+19)>2 200
解析:(1)由题意得,太阳表面温度的4.5倍小于雷电的温度,即4.5t<28 000.
(2)因为该汽车每天行驶的路程比原来多19 km,所以汽车每天行驶的路程为(x+19)km,则在8天内它的行程为8(x+19)km,因此,不等关系“在8天内它的行程将超过2 200 km”可以用不等式8(x+19)>2 200来表示.
题型 2 作差法比较大小
【问题探究2】 在初中我们学过数轴上的点与实数一一对应,可以利用数轴上的点的位置关系来规定实数的大小关系,具体是如何规定的呢?



提示:设a,b是两个实数,它们在数轴上所对应的点分别是A,B.那么,当点A在点B的左边时,ab.
例2 比较下列各组中代数式的大小.
(1)2a(a+2)与(a-1)(a+3),其中a>0;
(2)2a2+2b2与(a+b)2.
解析:(1)(2a2+4a)-(a2+2a-3)=a2+2a+3=(a+1)2+2>0,
故2a(a+2)>(a-1)(a+3).
(2)2a2+2b2-(a+b)2=2a2+2b2-a2-2ab-b2
=a2-2ab+b2=(a-b)2,
因为(a-b)2≥0,所以2a2+2b2≥(a+b)2.
题后师说
用作差法比较两个实数大小的一般步骤
跟踪训练2 已知x∈R,比较(x2+1)2与x4+x2+1的大小.
解析:(x2+1)2-(x4+x2+1)=(x4+2x2+1)-(x4+x2+1)=x2.
∵x2≥0,∴(x2+1)2-(x4+x2+1)≥0,
即(x2+1)2≥x4+x2+1,当且仅当x=0时取等号.
题型 3 重要不等式
【问题探究3】 
如图是由在北京召开的第24届国际数学家大会的会标抽象出来的图形,你能比较大正方形ABCD与四个相同的直角三角形的面积之和的大小吗?从中你能得出哪个不等式?它们之间有可能相等吗?如果相等,则应该满足什么条件呢?
提示:正方形的边长为.这4个直角三角形的面积和为2ab,正方形的面积为a2+b2,由于正方形ABCD的面积大于4个直角三角形的面积和,我们就得到了一个不等式a2+b2>2ab.
当直角三角形变为等腰直角三角形,即a=b时,正方形EFGH缩为一点,这时有a2+b2=2ab.
于是就有a2+b2≥2ab.
证明a2+b2-2ab=(a-b)2.
因为 a,b∈R,(a-b)2≥0,
当且仅当a=b时,等号成立,
所以a2+b2-2ab≥0.
因此,由两个实数大小比较的基本事实,得a2+b2≥2ab,
当且仅当a=b时,等号成立.
例3 已知a>0,b>0,求证:a3+b3≥ab2+a2b.
证明:因为a3+b3-(ab2+a2b)=a3+b3-ab2-a2b=a3-ab2+b3-a2b=a(a2-b2)+b(b2-a2)=(a2-b2)(a-b)=(a+b)(a-b)2,
因为a>0,b>0,所以(a+b)(a-b)2≥0,
当且仅当a=b时,等号成立,
所以a3+b3-(ab2+a2b)≥0,
所以a3+b3≥ab2+a2b.
学霸笔记:比较两个数的大小关系,最基本的方法是利用作差法,通过因式分解或配方的方法,把“差”转化成几个因式乘积的形式,通过逻辑推理得到每一个因式的符号,从而判定两个数的大小关系,通过逻辑推理进行证明.
跟踪训练3 已知a>0,b>0.求证:a2+3b2≥2b(a+b).
证明:因为a2+3b2-2b(a+b)=a2-2ab+b2=(a-b)2≥0,
当且仅当a=b时,等号成立,
所以a2+3b2≥2b(a+b).
随堂练习
1.铁路总公司关于乘车行李规定如下:乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130 cm,且体积不超过72 000 cm3,设携带品外部尺寸长、宽、高分别记为a,b,c(单位:cm),这个规定用数学关系式可表示为(  )
A.a+b+c<130且abc<72 000
B.a+b+c>130且abc>72 000
C.a+b+c≤130且abc≤72 000
D.a+b+c≥130且abc≥72 000
答案:C
解析:由长、宽、高之和不超过130 cm得a+b+c≤130,由体积不超过72 000 cm3得abc≤72 000.故选C.
2.完成一项装修工程,请木工需付工资每人400元,请瓦工需付工资每人500元,现有工人工资预算不超过20 000元,设木工x人,瓦工y人,则工人满足的关系式是(  )
A.4x+5y≤200 B.4x+5y<200
C.5x+4y≤200 D.5x+4y<200
答案:A
解析:由题意,可得400x+500y≤20 000,化简得4x+5y≤200.故选A.
3.设M=x2,N=-x-1,则M与N的大小关系是(  )
A.M>N B.M=N
C.M<N D.与x有关
答案:A
解析:因为M-N=x2+x+1=(x+)2+>0,所以M>N.故选A.
4.若实数a≥b,则a2-ab________ba-b2(填“≥”或“≤”).


解析:因为a≥b,所以a-b≥0,所以(a2-ab)-(ba-b2)=a2-2ab+b2=(a-b)2≥0,即a2-ab≥ba-b2.
课堂小结
1.用不等式(组)表示不等关系.
2.作差法比较两个数大小的步骤及变形方法.
3.重要不等式 a,b∈R,a2+b2≥2ab的应用.(共28张PPT)
第2课时 等式性质与不等式性质
预学案
共学案
预学案
一、等式性质
性质1 如果a=b,那么b=a;
性质2 如果a=b,b=c,那么a=c;
性质3 如果a=b,那么a±c=b±c;
性质4 如果a=b,那么ac=bc;
性质5 如果a=b,c≠0,那么=.
微点拨
(1)性质1,2反映了相等关系自身的特性:对称性和传递性.
(2)性质3,4,5反映了等式对四则运算的不变性;运算中的不变性就是性质.
【即时练习】 (多选)下列运用等式的性质变形正确的是(  )
A.若x=y,则x+5=y+5 B.若a=b,则ac=bc
C.若=,则a=b D.若x=y,则=
答案:ABC
解析:对于选项A,由等式的性质3知,若x=y,则x+5=y+5,故A正确;对于选项B,由等式的性质4知,若a=b,则ac=bc,故B正确;对于选项C,由等式的性质4知,若=,则a=b,故C正确;对于选项D,若x=y,则=的前提条件为a≠0,故D错误.
二、不等式性质
性质 别名 性质内容 注意
1 对称性 a>b b____a
2 传递性 a>b,b>c a>c ______
3 可加性 a>b a+c____b+c ______
4 可乘性 a>b,c>0 ________ a>b,c<0 ________ c的符号
5 同向可加性 a>b,c>d ________ 同向
6 同向同正可乘性 a>b>0,c>d>0 ________ 同向
7 可乘方性 a>b>0 an____bn(n∈N,n≥2) 同正
<
不可逆
>
可逆
ac>bc
aca+c>b+d
ac>bd
>
微点拨
(1)性质3说明不等式的两边都加上同一个实数,所得的不等式与原不等式同向.性质3是不等式移项法则的基础.不等式中任何一项改变符号后,可以把它从一边移到另一边.
(2)性质4证明过程中的关键步骤是根据“同号相乘得正,异号相乘得负”的法则来完成的,一定要注意性质4中c的符号,因为c的符号不同,结论恰好相反.性质4中的a,b可以是实数,也可以是式子.
(3)性质5中,同向不等式可相加,但不能相减,即由a>b,c>d,可以得出a+c>b+d,但不能得出a-c>b-d.
(4)性质6是同向不等式相乘法则的依据,可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相乘,即若,则a1a2…an>b1b2…bn.
(5)不等式的性质中,对表达不等式性质的各不等式,要注意“箭头”是单向的还是双向的,即符号“ ”表示等价关系,可以互相推出,而符号“ ”只能从左边推右边,该性质不具备可逆性,尤其在证明不等式时,要注意是否可逆.
【即时练习】 
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)若>1,则a>b.(  )
(2)a与b的差是非负实数,可表示为a-b>0.(  )
(3) x∈R,都有x2>x-1.(  )
(4)a,b,c为实数,在等式中,若a=b,则ac=bc;在不等式中,若a>b,则ac>bc.(  )
×
×

×
2.与a>b等价的不等式是(  )
A.|a|>|b| B.a2>b2
C.>1 D.a3>b3
答案:D
解析:可利用赋值法.令a=-5,b=0,则A、B正确而不满足a>b.再令a=-3,b=-1,则C正确而不满足a>b,故选D.
共学案
【学习目标】 
(1)了解等式的性质.
(2)掌握不等式的基本性质,并能运用这些性质解决有关问题.
【问题探究】 根据你的预习回答:
(1)若a>b,c>d,那么a+c>b+d成立吗?a-c>b-d呢?
(2)若a>b,c>d,那么ac>bd成立吗?
提示:(1)a+c>b+d成立,a-c>b-d不一定成立,但a-d>b-c成立.
(2)不一定,但当a>b>0,c>d>0时,一定成立.
题型 1 利用不等式的基本性质判断命题的真假
例1 (多选)下列结论正确的是(  )
A.若a>b,则ac>bc B.若a>b>0,则<
C.若ac2>bc2,则a>b D.若a答案:BC
解析:对于A:当a>b时,若取c≤0,则有ac≤bc.故A不正确;
对于B:当a>b>0时,两边同乘以,有>,即<.故B正确;
对于C:当ac2>bc2,两边同乘以,则a>b.故C正确;
对于D:当a题后师说
利用不等式的性质判断命题真假的2种策略
跟踪训练1 如果a2>b2,那么下列不等式中成立的是(  )
A.a>0>b B.a>b>0
C.|a|>|b| D.a>|b|
答案:C
解析:因为a2>b2,故由不等式的性质得|a|>|b|,故C选项正确;对于A选项,当a=2,b=1时满足a2>b2,但a>0>b不成立,故A选项错误;对于B选项,由于(-3)2>(-2)2,但-3<-2<0,故B选项错误;对于D选项,由于(-3)2>(-2)2,但-3<|-2|,故D选项错误.故选C.
题型 2 利用不等式的性质证明不等式
例2 已知a>b>c,且a+b+c=0,求证:>.

证明:因为a>b>c,且a+b+c=0,所以a>0,c<0,
所以a-c>b-c>0,所以0<<,所以>.
学霸笔记:
利用不等式的性质证明不等式注意事项
(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题一定要在理解的基础上,记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用.
(2)应用不等式的性质进行推导时,应注意紧扣不等式的性质成立的条件,且不可省略条件或跳步推导,更不能随意构造性质与法则.
跟踪训练2 若a>b>0,c.
证明:∵c-d>0.
又a>b>0,∴a-c>b-d>0,
则(a-c)2>(b-d)2>0,即<.
又e<0,∴>.
题型 3 利用不等式的性质求代数式的取值范围
例3 已知-1(1)求x-y的取值范围;
(2)求3x+2y的取值范围.

解析:(1)因为-1所以-3<-y<-2,所以-4(2)由-1所以1<3x+2y<18.
一题多变 若将本例条件改为-1解析:因为-1所以-3<-y<1,所以-4又因为x所以-4跟踪训练3 已知1
解析:因为2又1所以的取值范围是<<2.
随堂练习
1.已知x>0,0A.xy>x>xy2 B.xy>xy2>x
C.x>xy>xy2 D.x>xy2>xy
答案:C
解析:由0y>y2,可得x>xy>xy2.故选C.
2.若a>b>0,c<0,则下列结论正确的是(  )
A.< B.a+cC.> D.a-c答案:C
解析:因为a>b>0,则<,又c<0,所以>,故A错误;因为a>b>0,c<0,所以a+c>b+c,故B错误;因为a>b>0,则<,又c<0,所以>,故C正确;因为a>b>0,c<0,所以a-c>b-c,故D错误.故选C.
3.(多选)若a>b>0,则下列结论正确的是(  )
A.a2>b2 B.ac2>bc2
C.< D.a2>ab
答案:ACD
解析:由a>b>0,则a2>b2,>>0即<,a2>ab,故A、C、D正确;当c=0时ac2=bc2,故B错误.故选ACD.
4.若-1<α<β<1,m=α-β,则m的取值范围为____________.
{m|-2解析:∵α<β,∴α-β<0,又-1<α<1,-1<-β<1,∴-2<α-β<2,综上,-2<α-β<0.
课堂小结
1.利用不等式的性质判断命题的真假时,一定要注意不等式成立的条件.
2.利用不等式的性质证明简单的不等式是否成立,实际上就是根据不等式的性质把不等式进行适当的变形,证明过程中注意不等式成立的条件.(共34张PPT)
第1课时 基本不等式
预学案
共学案
预学案
一、基本不等式
1.基本不等式:如果a>0,b>0,则__________,当且仅当________时,等号成立.
2.算术平均数和几何平均数:________叫做正数a,b的算术平均数,________叫做正数a,b的几何平均数.
3.两个正数的算术平均数________它们的几何平均数.

a=b
不小于
微点拨
(1)基本不等式中,要求a,b都是非负实数,否则a<0,b<0,如a=-2,b=-4,则会出现的错误结论.若a,b中有一个小于0,如a=2,b=-4,则无意义.
(2)基本不等式成立的条件是a≥0,b≥0,而重要不等式中的a,b是实数.事实上,当a≥0,b≥0时,我们分别用代替重要不等式中的a,b,即a+b≥2,变形可得.
(3)基本不等式中的a,b的取值既可以是某个具体的非负数,也可以是一个代数式,但是代数式的结果应非负.
【即时练习】 
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)两个不等式a2+b2≥2ab与成立的条件是相同的.(  )
(2)当a>0,b>0时,ab≤.(  )
(3)若a≠0,则a+≥2 =2.(  )
×

×
2.不等式+(x-2)≥2(x>2)中等号成立的条件是________.
x=3
解析:由题知,x>2,所以x-2>0,所以+(x-2)≥2 =2,当且仅当=x-2,即x=3时,取等号,所以等号成立的条件是x=3.
二、基本不等式与最值
已知x,y都为正数,则:
(1)如果积xy等于定值P,那么当且仅当x=y时,和x+y有最小值________;
(2)如果和x+y等于定值S,那么当x=y时,积xy有最大值________,简记为:积定和最小,和定积最大.

2 
S2
微点拨
对“一正、二定、三相等”的理解
(1)“一正”,即所求最值的各项必须都是正值,否则就容易得出错误的答案.例如,函数y=x+,当x<0时,绝不能认为x+≥2,并由此得出错误结论:x+的最小值为2.事实上,当x<0时,x+=-[(-x)+]≤-2,当且仅当x=-1时,取得最大值-2.
(2)“二定”,即含变量的各项的和或者积必须是常数,即要求x+y的最小值,xy必须是定值;求xy的最大值,x+y必须是定值.例如,已知00,5-3x>0.
(3)“三相等”,即必须具备不等式中等号成立的条件,才能求得最大值或最小值.例如,y=,满足“正”和“定”的条件,但要取等号必须满足=,即x2+2=1,这是不可能的,所以函数y=的最小值不是2.
【即时练习】 
1.设x>0,y>0,且xy=9,则x+y的最小值为(  )
A.18 B.9
C.6 D.3
答案:C
解析:∵x>0,y>0,∴x+y≥2=6(当且仅当x=y=3,取“=”),故选C.
2.若a>0,b>0,且a+b=6,则ab的最大值为(  )
A.5 B.6
C.8 D.9
答案:D
解析:因为a>0,b>0,且a+b=6,所以ab≤()2=9,当且仅当a=b=3时等号成立,所以ab的最大值为9.故选D.
共学案
【学习目标】 
(1)学会推导、证明不等式,理解基本不等式的几何意义.
(2)会用基本不等式求一些简单的最值问题.
【问题探究】 如图,AB是圆的直径,点C是AB上一点,AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD,BD.你能利用这个图形,得出基本不等式的几何解释吗?
提示:如题图,可证△ACD∽△DCB,因而CD=.由于CD小于或等于圆的半径,用不等式表示为.显然,当且仅当点C与圆心重合,即当a=b时,上述不等式的等号成立.
题型 1 对基本不等式的理解
例1 (多选)下列推导过程,其中正确的是(  )
A.因为a,b为正实数,所以≥2=2
B.因为a>3,所以+a≥2=4
C.因为a<0,所以+a≥2=4
D.因为x,y∈R,xy<0,所以=-[(-)+(-)]≤-2 =-2,当且仅当x=-y≠0时,等号成立
答案:AD
解析:对于A,a,b为正实数,有>0,>0,且·=1,又当且仅当a=b时,=成立,满足均值不等式的条件,A正确;
对于B,+a≥2 =4,当a>3时,>0,且a·=4,显然不存在大于3的正数a使a=成立,所以+a>4,B错误;
对于C,因为a<0,则<0,不符合均值不等式成立的条件,C错误;
对于D,x,y∈R,xy<0,则->0,->0,且·=1,又当且仅当y=-x≠0时,-=-成立,满足均值不等式的条件,D正确.故选AD.
学霸笔记
基本不等式的结构体现了“和式”与“积式”的相互转化,当题目中不等号的两端一端是“和式”而另一端是“积式”时,就要考虑利用基本不等式来解决,在应用过程中注意“一正、二定、三相等”.
跟踪训练1 已知a≠0,下列各不等式恒成立的是(  )
A.a+>2 B.a+≥2
C.a+≤-2 D.|a+|≥2
答案:D
解析:取a=-1时,a+=-2,可判断选项A、B不正确;取a=1时,a+=2,可判断选项C不正确;因为a,同号,|a+|=|a|+||≥2,当且仅当a=±1时,等号成立,选项D正确.故选D.
题型 2 利用基本不等式直接求最值
例2 (1)当x>0时,求+4x的最小值;
(2)当x<0时,求+4x的最大值.
解析:(1)∵x>0,∴>0,4x>0.
∴+4x≥2 =8.
当且仅当=4x,即x=时取最小值8,
∴当x>0时,+4x的最小值为8.
(2)∵x<0,∴-x>0.
则+(-4x)≥2 =8,
当且仅当=-4x时,即x=-时取等号.
∴+4x≤-8.
∴当x<0时,+4x的最大值为-8.
学霸笔记
应用基本不等式求最值,必须按照“一正,二定,三相等”的条件进行,若具备这些条件,则可直接运用基本不等式,若不具备这些条件,则应进行适当的变形.
跟踪训练2 (1)已知a>0,则a++1的最小值为(  )
A.2   B.3 C.4   D.5
答案:D
解析:因为a>0,所以a++1≥2 +1=5.当且仅当a=,即a=2时等号成立.所以a++1的最小值为5.故选D.
(2)设x>0,则y=3-3x-的最大值为(  )
A.3 B.3+2
C.3-2 D.-1
答案:C
解析:因为x>0,所以3x+≥2 =2,当且仅当3x=,即x=时取等号,所以3-3x-≤3-2,即y=3-3x-的最大值为3-2.故选C.
题型 3 利用基本不等式求两个变量和(积)的最值
例3 把36写成两个正数的积,当这两个正数取什么值时,它们的和最小?
解析:设两个正数为a,b,
由题意ab=36,则a+b≥2=12,当且仅当a=b=6时等号成立,即a=b=6时,它们的和最小,为12.
一题多变 把18写成两个正数的和,当这两个正数取什么值时,它们的积最大?
解析:设两个正数为a,b,
由题意a+b=18,则ab≤=81当且仅当a=b=9时等号成立,即a=b=9时,它们的积最大,为81.
学霸笔记:当a>0,b>0时,
(1)若a+b=p(和为定值),则当a=b时,积ab有最大值,这可以用基本不等式求得.
(2)若ab=S(积为定值),则当a=b时,和a+b有最小值2,这可以用基本不等式a+b≥2求得.不论哪种情况都要注意等号取得的条件.
跟踪训练3 (1)已知正数a,b满足ab=8,则a+2b的最小值是(  )
A.4   B.6 C.2   D.8
答案:D
解析:由a,b为正实数,则a+2b≥2=2=8,当且仅当a=2b,即a=4,b=2时等号成立,故选D.
(2)已知x>0,y>0,且满足x+6y=6,则xy有(  )
A.最大值 B.最小值
C.最大值1 D.最小值1
答案:A
解析:xy==×9=,当且仅当,即时等号成立.故选A.
随堂练习
1.不等式a2+1≥2a中等号成立的条件是(  )
A.a=±1 B.a=1
C.a=-1 D.a=0
答案:B
解析:当a2+1=2a,即(a-1)2=0即a=1时,“=”成立.故选B.
2.下列不等式中,正确的是(  )
A.a+≥4 B.a2+b2≥4ab
C.x2+≥2 D.
答案:C
解析:A.当a<0时,a+≤-4,故错误;B.因为a2+b2≥2ab,故错误;C.由基本不等式得x2+≥2,当且仅当x2=时,取等号,故正确;D.当a=1,b=2时,<,故错误.故选C.
3.已知m>0,n>0,mn=81,则m+n的最小值是(  )
A.9   B.18 C.9   D.27
答案:B
解析:因为m>0,n>0,由基本不等式m+n≥2得,m+n≥18.当且仅当m=n=9时等号成立,所以m+n的最小值是18,故选B.
4.已知y=4x+(x>0,a>0)在x=3时取得最小值,则a的值为________.
36
解析:由基本不等式,得4x+≥2 =4,当且仅当4x=,即x=时,等号成立,故=3,得a=36.
课堂小结
1.基本不等式的推导与证明.
2.利用基本不等式求最值要满足条件“一正、二定、三相等”,缺一不可.(共19张PPT)
第2课时 基本不等式的实际应用
共学案
【学习目标】 
(1)熟练掌握基本不等式及其变形的应用.
(2)基本不等式在解决实际问题中的应用.
题型 1 基本不等式在生活中的应用
【问题探究】 课前每名同学准备一段铁丝,如何把这段铁丝折成一个面积最大的矩形?

提示:设矩形的边长分别为x,y,则周长C=2x+2y,∴x+y=,∴面积S=xy≤=,当且仅当x=y=时,等号成立.
例1 如图为传统节日玩具之一走马灯,常见于除夕、
元宵、中秋等节日.灯内点上蜡烛,蜡烛燃烧产生的热
力造成气流,令轮轴转动.轮轴上有剪纸,烛光将剪纸
的影投射在屏上,图象便不断走动,因剪纸图象为古代
武将骑马的图画,在转动时看起来好像几个人你追我赶
一样,故名走马灯.现打算做一个体积为96 000 cm3的
如图长方体状的走马灯(题中不考虑木料的厚薄粗细).
(1)若底面大矩形的周长为160 cm,当底面边长为多少时,底面面积最大?
(2)若灯笼高为40 cm,现只考虑灯笼的主要框架,当底面边长为多少时,框架用料最少?
解析:(1)设大矩形的长为x,宽为y,
依题有:2(x+y)=160,即x+y=80,则S=xy≤=1 600,
当且仅当x=y=40时,底面矩形面积最大.
(2)依题有S=xy==2 400,
框架用料最少等价于底面用料为2x+3y最小即可,
2x+3y≥2=240,当2x=3y,
即y=40,x=60时取等号,
故当长为60 cm、宽为40 cm时,用料最少.
题后师说
利用基本不等式解决实际问题的步骤
跟踪训练1 某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池,池的深度一定,池的外圈周壁建造单价为每米400元,中间一条隔壁建造单价为每米100元,池底建造单价每平方米60元(池壁忽略不计).问:污水处理池的长设计为多少米时可使总价最低.
解析:设污水处理池的长为x米,则宽为米.
总造价f(x)=400×(2x+2×)+100×+60×200
=800×(x+)+12 000≥1 600 +12 000=36 000(元)
当且仅当x=(x>0),
即x=15时等号成立.
题型 2 基本不等式在几何中的应用
例2 如图所示,设矩形ABCD(AB>BC)的周长为24,把它沿AC翻折,翻折后AB′交DC于点P,设AB=x.
(1)用x表示DP,并求出x的取值范围;
(2)求△ADP面积的最大值及此时x的值.
解析:(1)矩形ABCD(AB>BC)的周长为24,
∵AB=x,∴AD=-x=12-x,
∵AB>BC=AD,得x>12-x,∴6在△APC中,∠PAC=∠PCA,所以AP=PC,从而得DP=PB′,
∴AP=AB′-PB′=AB-DP=x-DP,
在Rt△ADP中,由勾股定理得(12-x)2+DP2=(x-DP)2,
∴DP=12-(6(2)在Rt△ADP中,
S△ADP=AD·DP=(12-x)·(12-)=108-(6x+)(6∵6∴S△ADP=108-(6x+)≤108-72,
∴当x=6时,△ADP的面积取最大值108-72.
学霸笔记
在实际问题中利用基本不等式求最值时,要特别注意使用基本不等式的条件“一正”(要求字母为正数)、“二定”(不等式的另一边必须为定值)、“三相等”(等号取得的条件),满足这三条才能应用,否则会出现错误.
跟踪训练2 如图,已知在一个半径为r的半圆形铁板中,截取一块矩形ABCD,使得矩形的顶点A、B在半圆的直径上,C、D在半圆弧上,若矩形ABCD的面积最大时,其最大值是________.
r2
解析:设BC=x,连结OC,得OB=,所以AB=2,所以矩形ABCD面积S=2x,x∈(0,r),S=2x=2≤x2+r2-x2=r2.当且仅当x2=r2-x2,即x=r时取等号,此时ymax=r2.
随堂练习
1.某服装加工厂为了适应市场需求,引进某种新设备,以提高生产效率和降低生产成本.已知购买m台设备的总成本为f(m)=m2+m+200(单位:万元).若要使每台设备的平均成本最低,则应购买设备(  )
A.100台 B.200台
C.300台 D.400台
答案:B
解析:由题意,=m+1+≥2 +1=3,当且仅当=,即m=200时,等号成立,所以应购买200台,使得每台设备的平均成本最低.故选B.
2.为了庆祝中国青年团100周年,校团委组织了一场庆祝活动,要用警戒线围出400平方米的矩形活动区域,则所用警戒线的长度的最小值为(  )
A.30米  B.50米 C.80米  D.110米
答案:C
解析:设该矩形区域的长为x米,则宽为米,则所用警戒线的长度为2(+x)≥2×2 =80米,当且仅当=x,即x=20时,取等号.则所用警戒线的长度的最小值为80米.故选C.
3.欲用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的面积最大的矩形菜园,墙长18 m,则这个矩形的长、宽分别为(  )
A.15 m, m B.15 m, m
C.7 m, m D.7 m, m
答案:A
解析:设矩形的长为x(04.在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x为________ m,面积最大为________ m2.
20
400
解析:设矩形的宽为y,由三角形相似得:=,0课堂小结
1.利用基本不等式求解实际问题,注意生活中的变量有它自身的意义,容易忽略变量的取值范围.
2.利用基本不等式求解实际问题,切记利用基本不等式求最值的三个条件:一正、二定、三相等.(共18张PPT)
习题课 基本不等式
【学习目标】 
(1)熟练掌握基本不等式及其变形的应用.
(2)能利用基本不等式证明简单的不等式.
题型 1 “拼凑法”求最值
例1 (1)已知x<,求y=4x-2+的最大值;
(2)已知0解析:(1)∵x<,∴5-4x>0,
∴y=4x-2+=-(5-4x+)+3≤-2+3=1,
当且仅当5-4x=,即x=1时,上式等号成立,故当x=1时,ymax=1.
(2)∵00,∴y=×2x(1-2x)≤×()2
==.
∴当且仅当2x=1-2x(0学霸笔记:
通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略
拼凑法的实质在于代数式的灵活变形,拼系数、凑常数是关键,利用拼凑法求最值应注意以下几个方面:①拼凑的技巧,以整式为基础,注意利用系数的变化以及等式中常数的调整,做到等价转换;②代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标;③拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提.
跟踪训练1 (1)已知a>1,则a+的最小值为(  )
A.5 B.6
C.7 D.10
答案:C
解析:a>1时,a-1>0,a+=(a-1)++1≥2 +1=7(当且仅当a=4时等号成立),则a+的最小值为7.故选C.
(2)若05
解析:因为00,所以=5,当且仅当x=10-x,即x=5时取等号,所以的最大值为5.
题型 2 巧用“1”的代换求最值
例2 已知x>0,y>0,且=1,求x+y的最小值.
解析:∵=1,∴x+y=(x+y)()=10+,∵x>0,y>0,∴>0,>0,
∴x+y≥10+2 =16(当且仅当=,即x=4,y=12时取等号),
∴x+y的最小值为16.
一题多变 把本例中的“=1”改为“2xy=x+4y”,求x+y的最小值.
解析:因为x>0,y>0,由已知条件可得==2,
所以x+y=(x+y)()=(5+)≥(5+2 )=,
当且仅当x=2y=3时,等号成立,故x+y的最小值为.
题后师说
“1”的代换法求最值的步骤
跟踪训练2 已知m>0,n>0,且2m+n=1,求的最小值.
解析:∵m>0,n>0,2m+n=1,
∴===,
∴==()·(2m+n)=+3+2+≥5+2 =5+2,
当且仅当=时,即n2=6m2,
而又2m+n=1,所以,
此时不等式可取等号.
所以的最小值为5+2.
题型 3 利用基本不等式证明不等式
例3 已知a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,求证:(-1)(-1)(-1)≥8.
证明:因为a,b,c均为正实数,a+b+c=1,
所以-1==,
同理-1≥-1≥.
上述三个不等式两边均为正,分别相乘,
得(-1)(-1)(-1)≥··=8,
当且仅当a=b=c=时,等号成立.
学霸笔记:
利用基本不等式证明不等式的注意事项
(1)多次使用基本不等式时,要注意等号能否成立.
(2)巧用“1”的代换证明不等式.
(3)对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合,形成基本不等式模型,再使用.
跟踪训练3 已知a,b,c∈R+,且a+b+c=1.
证明:≥4.

证明:=(a+b+c)·()
=2+
≥2+2 =4,
当且仅当a+b=c=时取等号,所以≥4.
随堂练习
1.已知x>-2,则x+的最小值为(  )
A.2   B.3 C.4   D.5
答案:A
解析:因为x>-2,所以x+2>0,
所以x+=x+2+-2≥2 -2=2,
当且仅当x+2=,即x=0时取等号,
所以x+的最小值为2.故选A.
2.若两个正实数x,y满足=1,则x+2y的最小值是(  )
A.2   B.4 C.8   D.16
答案:C
解析:由题意,两个正实数x,y满足=1,则x+2y=(x+2y)()=4+≥4+2 =8,当且仅当=,即x=4,y=2时,等号成立.故选C.
3.若正数a,b满足a+b=1,则的最小值为(  )
A.16   B.13 C.20   D.15
答案:A
解析:因为正数a,b满足a+b=1,则=()·(a+b)=10+≥10+2 =16,当且仅当=且a+b=1,即a=,b=时取等号,此时取得最小值16.故选A.
4.已知01
解析:00,x(2-x)≤=1,当且仅当x=1时取“=”.
课堂小结
1.“拼凑法”求最值.
2.“1”的代换法求最值.
3.利用基本不等式证明不等式.(共31张PPT)
第1课时 二次函数与一元二次方程、不等式
预学案
共学案
预学案
预备知识一:因式分解
常用方法:①提公因式法;②公式法:a2-b2=(a+b)(a-b),a2±2ab+b2=(a±b)2;③十字相乘法:a1a2x2+(a1c2+a2c1)x+c1c2=(a1x+c1)(a2x+c2).
分解因式:
(1)x2+x=__________;
(2)4x2-4x+1=__________;
(3)x2-4x+4=_________;
(4)2x2+5x+2=______________;
(5)12x2-5x-2=______________;
(6)x2-(a+1)x+a=___________.
x(x+1)
(2x-1)2
(x-2)2
(x+2)(2x+1)
(3x-2)(4x+1)
(x-1)(x-a)
预备知识二:一元二次方程的解法
1.因式分解法:若ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2),方程ax2+bx+c=0的两根是x1、x2.
2.求根公式法:ax2+bx+c=0(a≠0),Δ=b2-4ac.
当Δ<0时,方程____________;
当Δ=0时,方程___________________;
当Δ>0时,方程_____________________.
预备知识三:根与系数的关系(韦达定理)
方程ax2+bx+c=0的两根是x1、x2,则x1+x2=________;x1·x2=________;=________;(x1-x2)2=________.
没有实数根
有两个相等的实数根
有两个不相等的实数根

 

预备知识四:二次函数图象的绘制
y=x2-2x-3 y=x2-4x+3 y=-x2+2x+3
一、一元二次不等式
一般地,我们把只含有________未知数,并且未知数的最高次数是________的不等式,称为一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式是____________或____________,其中a,b,c均为常数,a≠0.
微点拨
(1)“一元”指的是只有一个未知数,不代表只有一个字母,如a,b,c等.
(2)“二次”指的是未知数的最高次必须存在并且是2,并且最高次系数不为0.
一个
2 
ax2+bx+c>0
ax2+bx+c<0
【即时练习】 (多选)下面所给关于x的不等式,其中一定为一元二次不等式的是(  )
A.3x+4<0 B.x2+mx-1>0
C.ax2+4x-7>0 D.x2<0
答案:BD
解析:选项A是一元一次不等式,故错误;选项B,D,不等式的最高次是二次,二次项系数不为0,故正确;当a=0时,选项C是一元一次不等式,故不一定是一元二次不等式,即错误.故选BD.
二、二次函数的零点
一般地,对于二次函数y=ax2+bx+c,我们把使ax2+bx+c=0的实数x叫做二次函数y=ax2+bx+c的________.
微点拨
(1)二次函数的零点不是点,是二次函数与x轴交点的横坐标.
(2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点.
(3)后面第四章还要继续学习.
零点
【即时练习】 函数y=x2-2x-3的零点是(  )
A.1,-3 B.3,-1
C.1,2 D.(3,0),(-1,0)
答案:B
解析:y=x2-2x-3=(x-3)(x+1)=0,x=3或x=-1,所以函数y=x2-2x-3的零点是3,-1.故选B.
三、二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
判别式Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0
二次函数y=ax2+ bx+c(a>0)的图象
一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根 有两相异实根 x1,x2(x1一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集 ________ ________ ________
一元二次不等式ax2+bx+c<0(a>0)的解集 ________ ________ ________
{x|xx2} 
{x|x≠-} 
{x|x∈R}
{x|x1  

微点拨
(1)ax2+bx+c=0(a>0)的解 y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标;
(2)ax2+bx+c>0(a>0)的解集 y=ax2+bx+c的图象上的点(x,y)在x轴上方时,对应x的取值集合;
(3)ax2+bx+c<0(a>0)的解集 y=ax2+bx+c的图象上的点(x,y)在x轴下方时,对应x的取值集合.
【即时练习】 
1.不等式(x+1)(x-3)<0的解集是(  )
A.{x|-1C. {x|x<-1或x>3} D.{x|x<-3或x>1}
答案:A
解析:由(x+1)(x-3)<0,解得-12.不等式2x2-x≥0的解集为________________.
{x|x≤0或x≥}
解析:由2x2-x≥0得x(2x-1)≥0,解得x≤0或x≥,故不等式2x2-x≥0的解集为{x|x≤0或x≥}.
共学案
【学习目标】 
(1)了解一元二次不等式的现实意义.
(2)借助二次函数图象,了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系,体会数学的整体性.
(3)能够借助二次函数,求解一元二次不等式.

题型 1 一元二次不等式的解法
【问题探究1】 如课本图2.3-1,二次函数y=x2-12x+20的图象与x轴有两个交点,这与方程x2-12x+20=0的根有什么关系?
提示:函数的图象与x轴交点的横坐标正好是方程的根.
【问题探究2】 你能从二次函数y=x2-12x+20的图象上找到x2-12x+20<0的解集吗?
提示:从图象上看,位于x轴上方的函数值大于零,位于x轴下方的函数值小于零,故x2-12x+20<0的解集为{x|2例1 解下列不等式:
(1)2x2+7x+3>0;
(2)-4x2+18x-≥0;
(3)-2x2+3x-2<0.
解析:(1)因为Δ=72-4×2×3=25>0,所以方程2x2+7x+3=0有两个不等实根x1=-3,x2=-.又二次函数y=2x2+7x+3的图象开口向上,所以原不等式的解集为{x|x>-或x<-3}.
(2)原不等式可化为(2x-)2≤0,所以原不等式的解集为{x|x=}.
(3)原不等式可化为2x2-3x+2>0,因为Δ=9-4×2×2=-7<0,所以方程2x2-3x+2=0无实根,又二次函数y=2x2-3x+2的图象开口向上,所以原不等式的解集为R.
题后师说
解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
跟踪训练1 解下列不等式.
(1)3x2-7x≤10;
(2)x2-x+<0.
解析:(1)不等式3x2-7x≤10,即3x2-7x-10≤0,即不等式等价于(x+1)(3x-10)≤0,由二次函数的图象与性质可知原不等式的解集为{x|-1≤x≤}.
(2)不等式x2-x+<0,
因为x2-x+=(x-)2≥0,
由二次函数的图象与性质可知原不等式的解集为 .
题型 2 含参数的一元二次不等式的解法
例2 设a∈R,解关于x的不等式ax2+(1-2a)x-2>0.
解析:(1)当a=0时,不等式可化为x-2>0,解得x>2,即原不等式的解集为{x|x>2}.
(2)当a≠0时,方程ax2+(1-2a)x-2=0的两根分别为2和-.
①当a<-时,解不等式得-<x<2,即原不等式的解集为{x|-②当a=-时,不等式无解,即原不等式的解集为 ;
③当-<a<0时,解不等式得2<x<-,即原不等式的解集为{x|2④当a>0时,解不等式得x<-或x>2,即原不等式的解集为{x|x<-,或x>2}.
一题多变 解关于x的不等式2x2+ax+2>0.
解析:Δ=a2-16,下面分情况讨论:
(1)当Δ<0,即-4<a<4时,方程2x2+ax+2=0无实根,所以原不等式的解集为R.
(2)当Δ=0,即a=±4时,若a=-4,则原不等式等价于(x-1)2>0,故x≠1;若a=4,则原不等式等价于(x+1)2>0,故x≠-1;
(3)当Δ>0,即a>4或a<-4时,方程2x2+ax+2=0的两个根为x1=(-a-),x2=(-a+).
此时原不等式等价于(x-x1)(x-x2)>0,∴x<x1或x>x2.
综上,当-4<a<4时,原不等式的解集为R;当a=-4时原不等式的解集为{x|x∈R,且x≠1};当a>4或a<-4时,原不等式的解集为{x|x<(-a-),或x>(-a+)};当a=4时,原不等式的解集为{x|x∈R,且x≠-1}.
题后师说
解含参数的一元二次不等式的步骤
特别提醒
求解方程的根时可优先考虑用因式分解的方法求解,不能因式分解时再求判别式Δ,用求根公式计算.
跟踪训练2 解关于x的不等式x2-(a+2)x+2a<0.
解析:x2-(a+2)x+2a<0,即(x-a)(x-2)<0;
当a=2时,不等式化为(x-2)2<0,不等式无解;
当a>2时,解不等式(x-a)(x-2)<0,得2当a<2时,解不等式(x-a)(x-2)<0,得a综上所述,a=2时,不等式无解,
a>2时,不等式的解集为{x|2a<2时,不等式的解集为{x|a随堂练习
1.不等式x2-4>0的解集是(  )
A.{x|-2C.{x|x>2} D.{x|x<-2或x>2}
答案:D
解析:x2-4=(x+2)(x-2)>0,
解得x<-2或x>2,
所以不等式的解集为{x|x<-2或x>2}.
2.关于x的不等式-x2+5x+6≤0的解集为(  )
A.{x|x≤-2或x≥3}
B.{x|-2≤x≤3}
C.{x|-1≤x≤6}
D.{x|x≤-1或x≥6}
答案:D
解析:由-x2+5x+6=-(x-6)(x+1)≤0,解得x≤-1或x≥6.故选D.
3.设m+n>0,则关于x的不等式(m-x)·(n+x)>0的解集是(  )
A.{x|x<-n或x>m}
B.{x|-nC.{x|x<-m或x>n}
D.{x|-m答案:B
解析:不等式变形为(x-m)(x+n)<0,方程(x-m)(x+n)=0的两根为m,-n,显然由m+n>0得m>-n,所以不等式的解为-n4.已知a<0,则关于x的不等式x2-4ax-5a2<0的解集是____________.
{x|5a解析:因为x2-4ax-5a2<0,所以(x-5a)(x+a)<0,又a<0,所以不等式x2-4ax-5a2<0的解集为{x|5a课堂小结
1.一元二次不等式的概念及解法.
2.含参数的一元二次不等式的解法.(共22张PPT)
第2课时 一元二次不等式的应用
共学案
【学习目标】 
(1)会将简单的分式不等式化为一元二次不等式求解.
(2)理解一元二次方程,一元二次不等式与二次函数的关系.
(3)能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型,解决实际生活问题.
题型 1 简单分式不等式的解法
【问题探究】 <0与(x+1)(x-1)<0等价吗?
≤0与(x+1)(x-1)≤0等价吗?
提示:<0与(x+1)(x-1)<0等价,≤0与(x+1)(x-1)≤0不等价,
≤0的分子可以等于0而分母不能等于0,即≤0 .
例1 解下列不等式:
(1)≥0;(2)>1.
解析:(1)原不等式可化为
解得∴x<-或x≥,
∴原不等式的解集为{x|x<-或x≥}.
(2)原不等式可化为>0,化简得>0,即<0,
∴(2x+1)(x+3)<0,解得-3∴原不等式的解集为{x|-3题后师说
简单分式不等式的解法策略
跟踪训练1 解下列不等式:
(1)≤0;(2)<1.
解析:(1)原不等式为
∴即-<x≤1.
故原不等式的解集为{x|-(2)原不等式可化为-1<0,
∴<0,∴<0,则x>-2.
故原不等式的解集为{x|x>-2}.
题型 2 一元二次不等式的实际应用
例2 某公司为了竞标某活动的相关代言,决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元,年销售8万件.据市场调查,若价格每提高1元,销售量将相应减少2 000件,要使销售的总收入不低于原收入,该商品每件定价最多为多少元?
解析:设每件定价为t元,依题意得(8-×0.2)t≥25×8,
整理得t2-65t+1 000≤0,解得:25≤t≤40.
所以要使销售的总收入不低于原收入,每件定价最多为40元.
题后师说
求解一元二次不等式应用问题的步骤
跟踪训练2 制作一个高为20 cm的长方体容器,底面矩形的长比宽多10 cm,并且容积不少于4 000 cm3.问:底面矩形的宽至少应是多少?
解析:设底面矩形的宽为x,
由题意可得20x(x+10)≥4 000,
整理可得x2+10x-200≥0,
解得x≤-20(舍),或x≥10,
所以底面矩形的宽至少为10 cm.
题型 3 二次函数与一元二次方程、不等式间的关系及应用
例3 已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|2<x<3},求关于x的不等式cx2+bx+a<0的解集.

解析:方法一 由不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|2由根与系数的关系可知=-5,=6.
由a<0知c<0,=,
故不等式cx2+bx+a<0,即x2+x+>0,
即x2-x+>0,解得x<或x>,
所以不等式cx2+bx+a<0的解集为{x|x<或x>}.
方法二 由不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|2所以ax2+bx+c=a(x-2)(x-3)=ax2-5ax+6a b=-5a,c=6a,
故不等式cx2+bx+a<0,
即6ax2-5ax+a<0 6a(x-)(x-)<0,
故原不等式的解集为{x|x<或x>}.
一题多变 将本例中的“不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|2<x<3}”改为“不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|x<2或x>3}”,求关于x的不等式cx2+bx+a<0的解集.
解析:方法一 由不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|x<2或x>3}可知a>0,且2和3是方程ax2+bx+c=0的两根,
由根与系数的关系可知=-5,=6,
由a>0知b<0,c>0,=-,
故不等式cx2+bx+a<0,即x2+x+<0,即x2-x+<0,解得所以不等式cx2+bx+a<0的解集为{x|方法二 由不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|x<2或x>3}可知,a>0,且2和3是方程ax2+bx+c+0的两根,所以ax2+bx+c=a(x-2)(x-3)=ax2-5ax+6a b=-5a,c=6a,故不等式cx2+bx+a<0,即6ax2-5ax+a<0 6a(x-)(x-)<0,故原不等式的解集为{x|学霸笔记
已知以a,b,c为参数的不等式(如ax2+bx+c>0)的解集,求解其他不等式的解集时,一般遵循:
(1)根据解集来判断二次项系数的符号;
(2)根据根与系数的关系把b,c用a表示出来并代入所要解的不等式;
(3)约去a,将不等式化为具体的一元二次不等式求解.
跟踪训练3 不等式ax2+bx+2>0的解集为{x|-1A.{x|-1}
C.{x|x≤2或x>} D.{x|-1答案:A
解析:因为不等式ax2+bx+2>0的解集为{x|-1所以-1和2是方程ax2+bx+2=0的两根,
则,解得,
所以不等式2x2+bx+a<0即化为2x2+x-1<0,所以(2x-1)(x+1)<0,
解得-1随堂练习
1.不等式≥0的解集为(  )
A.{x|x≥1或x≤-1}
B.{x|-1≤x≤1}
C.{x|x≥1或x<-1}
D.{x|-1≤x<1}
答案:D
解析:不等式等价于≤0,即(x+1)(x-1)≤0,且x-1≠0,解得-1≤x<1,故不等式的解集为{x|-1≤x<1}.故选D.
2.已知关于x的不等式2x2-mx+n<0的解集是(2,3),则m+n的值是(  )
A.-2 B.2
C.22 D.-22
答案:C
解析:由题意得:2与3是方程2x2-mx+n=0的两个根,故2+3=,2×3=,所以m+n=10+12=22.故选C.
3.某村办服装厂生产某种风衣,月销售量x(件)与售价p(元/件)的关系为p=300-2x;生产x件的成本r=500+30x(元),为使月获利不少于8 600元,则月产量x满足(  )
A.55≤x≤60 B.60≤x≤65
C.65≤x≤70 D.70≤x≤75
答案:C
解析:由题意可得(300-2x)x-(500+30x)≥8 600,即x2-135x+4 550≤0,则(x-65)(x-70)≤0,故65≤x≤70.故选C.
4.已知不等式ax2-x+6>0的解集为{x|-3{x|-2解析:因为不等式ax2-x+6>0的解集为{x|-3课堂小结
1.解简单分式不等式的关键是等价转化.
2.解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型.
3.二次函数与一元二次方程、不等式间的关系及应用.(共17张PPT)
习题课 不等式恒成立、能成立问题
【学习目标】
 
掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法.
题型 1 在R上的恒成立问题
例1 若不等式ax2+(1-a)x+a-2≥-2对一切实数x恒成立,求实数a的取值范围.
解析:由题意,ax2+(1-a)x+a≥0恒成立,
当a=0时,不等式可化为x≥0,不满足题意;
当a≠0时,满足,
即,解得a≥;
故实数a的取值范围是a≥.
学霸笔记:(1)不等式ax2+bx+c>0的解是全体实数(或恒成立)的条件是:当a=0时,b=0,c>0;当a≠0时,
(2)不等式ax2+bx+c<0的解是全体实数(或恒成立)的条件是:当a=0时,b=0,c<0;当a≠0时,
(3)不等式ax2+bx+c≥0的解是全体实数(或恒成立)的条件是:当a=0时,b=0,c≥0;当a≠0时,
(4)不等式ax2+bx+c≤0的解是全体实数(或恒成立)的条件是:当a=0时,b=0,c≤0;当a≠0时,
跟踪训练1 已知关于x的不等式2kx2+kx-<0的解集为R,求实数k的取值范围.
解析:不等式2kx2+kx-<0的解集为R,
若k=0,不等式为-<0,符合题意;
若k≠0,则有,解得-3所以不等式的解集为R,实数k的取值范围为-3题型 2 在给定范围内恒成立的问题
例2 当-1≤x≤2时,不等式x2+(m-4)x-5≤0恒成立,求实数m的取值范围.
解析:令y=x2+(m-4)x-5,
∵y≤0在-1≤x≤2上恒成立,
y=0的根一个小于等于-1,一个大于等于2,
如图可得,即,
∴实数m的取值范围为{m|0≤m≤}.
一题多变 当x>0时,不等式x2-5x+4>kx恒成立,求实数k的取值范围.
解析:由题意得,k<在x>0上恒成立,令y=,只需k由基本不等式得g(x)=x+-5≥2-5=-1,当且仅当x=,即x=2时等号成立.
所以k<-1,则k的取值范围是{k|k<-1}.
学霸笔记:
(1)转化为对应的二次函数图象与x轴的交点问题.
①当a>0时,ax2+bx+c<0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立 y=ax2+bx+c在x=α,x=β时的函数值同时小于0.
②当a<0时,ax2+bx+c>0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立 y=ax2+bx+c在x=α,x=β时的函数值同时大于0.
(2)用分离参数法转化为相应二次函数的最值或用基本不等式求最值.
跟踪训练2 已知关于x的方程x2+x-a-1>0在0≤x≤1上恒成立,求实数a的取值范围.
解析:由题可知a令y=x2+x-1,只需a所以a<-1.
题型 3 不等式能成立问题
例3 已知关于x的方程x2+x-a-1>0在0≤x≤1上有解,求实数a的取值范围.
解析:由x2+x-a-1>0可得a所以a因为y=x2+x-1=(x+)2-,0≤x≤1,
所以ymax=1,所以a<1.
学霸笔记
(1)结合二次函数图象,将问题转化为端点值的问题解决.
(2)对一些简单的问题,可转化为m>ymin或m跟踪训练3 若存在≤x≤2,使得>(k>0)成立,求实数k的取值范围.
解析:依题意,存在≤x≤2,使得>成立,由于k>0,
所以3x>x2+k,k<-x2+3x,
由于函数y=-x2+3x的开口向下,对称轴为x=,
所以k<-+3×=,
即k的取值范围是{k|k<}.
随堂练习
1. x∈R,不等式ax2+4x-1<0恒成立,则a的取值范围为(  )
A.a<-4 B.a<-4或a=0
C.a≤-4 D.-4答案:A
解析: x∈R,不等式ax2+4x-1<0恒成立,当a=0时,显然不恒成立,所以,解得:a<-4.故选A.
2.已知不等式x2-ax+1≥0,在0A.a≤2 B.a≤1
C.0答案:A
解析:依题意得x2-ax+1≥0,ax≤x2+1,a≤x+,在03.若关于x的不等式x2-6x+11-a<0在2A.a>-2 B.a>3
C.a>6 D.a>2
答案:D
解析:设y=x2-6x+11,开口向上,对称轴为直线x=3,所以要使不等式x2-6x+11-a<0在2ymin即可,即a>f(3)=2,得a>2,所以实数a的取值范围为a>2.故选D.
4.若关于x的不等式x2-x+m<0的解集是 ,则实数m的取值范围是____________.
{m|m≥}
解析:因为不等式x2-x+m<0的解集是 ,∴x2-x+m≥0在x∈R上恒成立,∴Δ=b2-4ac=1-4×1×m≤0,即m≥.
课堂小结
1.会使用判别式法、分离参数法、数形结合等方法解决不等式恒成立、能成立问题.
2.正确区分不等式恒成立与能成立问题.
(共28张PPT)
第二章 章末复习课
·
 ·
考点一 不等式性质的应用
1.利用不等式的性质可以比较两个数或式的大小,可以证明不等式等.另外,作差法、作商法也是常用的比较大小和证明不等式的方法.
2.通过对不等式性质的考查,提升学生的逻辑推理素养.
例1 (多选)下列不等式中不成立的是(  )
A.若a>b>0,则ac2>bc2
B.若a>b>0,则a2>b2
C.若aD.若a
答案:AC
解析:A.若a>b>0,当c=0时,ac2=bc2,故A满足题意;
B.若a>b>0,则a2-b2=(a+b)(a-b)>0,即a2>b2,故B不满足题意;
C.若aab,ab>b2,即a2>ab>b2,故C满足题意;
D.若a0,即>,故D不满足题意.故选AC.
跟踪训练1 已知a、b、c、d∈R,下列命题正确的是(  )
A.若a>b,则ac>bc
B.若a>b,c>d,则ac>bd
C.若a>b,则<
D.若<,则|a|>|b|
答案:D
解析:对于A,当c≤0时不成立;
对于B,当a=1,b=-2,c=0,d=-1时,显然不成立;
对于C,当a=1,b=-2时不成立;
对于D,因为0<<,所以有|a|>|b|>0,即|a|>|b|成立.故选D.
考点二 基本不等式
1.基本不等式为,其变式为ab≤等.基本不等式可用来比较代数式的大小、证明不等式、求函数的最值、求字母参数的取值范围、解实际应用题等.
2.通过对基本不等式考查,提升学生的逻辑推理、数学运算素养.
例2 (多选)下列结论中,所有正确的结论是(  )
A.当x>0时,≥2
B.当x<0时,x+的最小值是-2
C.当x>-3时,y=x+的最小值为-1
D.当x<时,y=4x-2+的最小值是5
答案:AC
解析:对于A,因为x>0,所以≥2当且仅当x=1时取等号,故选项A正确;
对于B,因为x<0,所以x+=-(-x)-≤-2 =-2,当且仅当x=-1时取等号,则x+的最大值是-2,故选项B错误;
对于C,因为x>-3,则x+3>0,所以y=x+=x+3+-3≥2 -3=-1当且仅当x+3=,即x=-2时取等号,所以当x>-3时y=x+的最小值为-1,故选项C正确;
对于D,因为x<,则4x-5<0,所以y=4x-2+=4x-5++3=-(5-4x)-+3≤-2 +3=1当且仅当5-4x=,即x=1时取等号,所以当x<时,y=4x-2+的最大值是1,故选项D错误.故选AC.
跟踪训练2 已知x,y都是正实数,且x+2y=xy,则x+y的最小值为________.
3+2
解析:因为x+2y=xy,x,y都是正实数,所以=1,所以x+y=(x+y)()=2++1≥3+2,当且仅当=,x+2y=xy时等号成立,即x=2+,y=+1时等号成立;所以x+y的最小值为3+2.
考点三 一元二次不等式的解法
1.解一元二次不等式需熟悉一元二次方程、二次函数和一元二次不等式三者之间的关系,其中二次函数的图象与x轴交点的横坐标是联系这三个“二次”的枢纽.
(1)确定ax2+bx+c>0(a>0)或ax2+bx+c<0(a>0)在判别式Δ>0时解集的结构是关键.在未确定a的取值情况下,应先分a=0和a≠0两种情况进行讨论.
(2)若给出了一元二次不等式的解集,则可知二次项系数a的符号和方程ax2+bx+c=0的两个根,再由根与系数的关系就可知a,b,c之间的关系.
(3)解含有参数的一元二次不等式,要注意对参数的取值进行讨论:①对二次项系数与0的大小进行讨论;②在转化为标准形式的一元二次不等式后,对判别式与0的大小进行讨论;③当判别式大于0,但两根的大小不确定时,对两根的大小进行讨论.
2.通过对一元二次不等式解法的考查,提升学生逻辑推理、数学运算素养.
例3 (1)已知不等式ax2+bx+c>0的解是αα>0,求不等式cx2+bx+a<0的解集;
(2)解关于x的不等式ax2-(a+4)x+4<0(a∈R).
解析:(1)由已知不等式可得a<0,α、β为方程ax2+bx+c=0的两根,
所以,
由cx2+bx+a<0得x2+x+1>0,
则有αβx2-(α+β)x+1>0即(αx-1)(βx-1)>0,
因为β>α>0,所以0<<,
所以不等式cx2+bx+a<0的解集为{x|x<或x>}.
(2)不等式ax2-(a+4)x+4<0等价于(ax-4)(x-1)<0,其中a∈R,
当a=0时,不等式化为4x-4>0,解得x>1,则不等式的解集为{x|x>1};
当a>0时,不等式等价于(x-)(x-1)<0,
若>1,即0若=1,即a=4,不等式的解集为空集;
若0<<1,即a>4,不等式的解集为{x|当a<0时,不等式等价于(x-)(x-1)>0,且<0<1,则不等式的解集为{x|x<或x>1},
综上所述,当a<0时,不等式的解集为{x|x<或x>1};
当a=0时,不等式的解集为{x|x>1};
当0当a=4时,不等式的解集为空集;
当a>4时,不等式的解集为{x|跟踪训练3 已知关于x的不等式x2-x+a-a2≤0.
(1)若a=2时,求不等式的解集;
(2)求不等式的解集.

解析:(1)当a=2时,x2-x-2≤0,(x+1)(x-2)≤0,得-1≤x≤2,
所以不等式的解集为{x|-1≤x≤2}.
(2)由x2-x+a-a2≤0,得(x-a)[x-(1-a)]≤0,
当a<1-a,即a<时,不等式的解集为{x|a≤x≤1-a},
当a=1-a,即a=时,不等式的解集为,
当a>1-a,即a>时,不等式的解集为{x|1-a≤x≤a},
综上,当a<时,不等式的解集为{x|a≤x≤1-a},当a=时,不等式的解集为,当a>时,不等式的解集为{x|1-a≤x≤a}.
考点四 不等式恒成立问题
1.熟练掌握一元二次不等式恒成立的等价条件,理解不等式恒成立与最值的关系,对于含参的不等式要注意对参数进行讨论,做到不重不漏.
2.通过对不等式恒成立问题的考查,提升学生逻辑推理和数学运算素养.
例4 已知关于x的不等式mx2+mx-2<0.
(1)当x∈R时不等式恒成立,求实数m的取值范围.
(2)当x∈{x|-3≤x≤-1}时不等式恒成立,求实数m的取值范围.
解析:(1)∵关于x的不等式mx2+mx-2<0,当x∈R时不等式恒成立,
∴当m=0时,-2<0,显然成立;
当m≠0时,要使x∈R时不等式恒成立,
∴,解得-8综上所述,实数m的取值范围为{m|-8(2)当-3≤x≤-1时,关于x的不等式mx2+mx-2<0恒成立,
(ⅰ)当m=0时,-2<0,显然成立;
(ⅱ)当m≠0时,①当m>0时,令y=mx2+mx-2,二次函数f(x)的图象开口向上,且对称轴为直线x=-,
∴y在-3≤x≤-1上随x的增大而减小,
要使当-3≤x≤-1时,关于x的不等式mx2+mx-2<0恒成立,则即9m-3m-2<0,解得0②当m<0时,令y=mx2+mx-2,二次函数f(x)的图象开口向下,且对称轴为直线x=-,
∴y在-3≤x≤-1上随x的增大而增大,
要使当-3≤x≤-1时,关于x的不等式mx2+mx-2<0恒成立,即m-m-2<0,显然恒成立,
综上所述,实数m的取值范围为{m|m<}.
跟踪训练4 已知函数y=x2+ax+2.
(1)若对 x∈{x|1≤x≤2},有x2+ax+2≥-2恒成立,求实数a的取值范围;
(2)若 x∈{x|1≤x≤2},有x2+ax+2≥-2成立,求实数a的取值范围.
解析:(1)依题意x2+ax+4≥0在x∈{x|1≤x≤2}恒成立,
所以a≥-=-(x+)在1≤x≤2上恒成立,
所以a≥,
由-(x+)≤-4,当且仅当x=2时等号成立,
所以a≥-4,即a∈{a|a≥-4}.
(2)依题意x2+ax+4≥0在x∈{x|1≤x≤2}有解,
所以a≥-=-(x+)在1≤x≤2上有解,
所以a≥,所以当x=1时,=-5,
所以a≥-5,即a∈{a|a≥-5}.
考点五 不等式在实际问题中的应用
1.不等式的实际问题常以函数为背景,多以解决实际生活、生产中的优化问题,在解题中主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值.
2.通过对不等式实际问题的考查,提升学生数学建模和数学运算素养.

例5 某市为推动美丽乡村建设,发展农业经济,鼓励某食品企业生产一种饮料,该饮料每瓶成本为10元,售价为15元,月销售8万瓶.
(1)据市场调查,若每瓶售价每提高1元,月销售量将减少8 000瓶,要使下月总利润不低于原来的月总利润,该饮料每瓶售价最多为多少元?
(2)为提高月总利润,企业决定下月调整营销策略,计划每瓶售价x(x≥16)元,并投入(x-16)万元作为调整营销策略的费用.据市场调查,每瓶售价每提高1元,月销售量将相应减少万瓶,则当每瓶售价x为多少时,下月的月总利润最大?并求出下月的最大总利润.(提示:月总利润=月销售总收入-月总成本)
解析:(1)设提价a元,由题意,每瓶饮料的利润为(a+5)元,月销售量为(8-0.8a)万瓶,
所以提价后月销售总利润为(a+5)(8-0.8a)万元.
因为原来月销售总利润为5×8=40(万元),月利润不低于原来月利润,
所以(a+5)(8-0.8a)≥40,即a2-5a≤0,
所以0≤a≤5,所以售价最多为5+15=20(元),
故该饮料每瓶售价最多为20元.
(2)由题意,每瓶利润为(x-10)元,月销售量为8-(x-15)=(8-)万瓶,设下月总利润为y=(x-10)(8-)-(x-16),x≥16,
整理得y=-x-+51.2
=-[(x-15)+]+47.45,
因为x≥16,所以x-15≥1,
所以y≤-2+47.45=45.45,
当且仅当x=19时取到等号,
故当每瓶售价为19元时,下月的最大总利润为45.45万元.
跟踪训练5 
某学校欲在广场旁的一块矩形空地上进行绿化.如图所示,两块完全相同的长方形种植绿草坪,草坪周围(斜线部分)均种满宽度相同的鲜花.已知两块绿草坪的面积均为200平方米.
(1)若矩形草坪的长比宽至少多10米,求草坪宽的最大值;
(2)若草坪四周及中间的宽度均为2米,求整个绿化面积的最小值.
解析:(1)设草坪的宽为x米,长为y米,由面积均为200平方米,得y=,
因为矩形草坪的长比宽至少多10米,
所以≥x+10,又x>0,
所以x2+10x-200≤0,解得0所以宽的最大值为10米.
(2)记整个绿化面积为S平方米,由题意得,
S=(2x+6)(y+4)=(2x+6)(+4)=424+8(x+)≥424+80,当且仅当x=5米时,等号成立,所以整个绿化面积的最小值为(424+80)平方米.