(共32张PPT)
第1课时 不等关系与不等式
预学案
共学案
预学案
一、不等关系与不等式
(1)在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和________，常用________来研究含有不等关系的问题．
(2)用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或________，以表示不等关系．“a≠b”应包含“a>b”或“a
不等关系
不等式
代数式
微点拨
(1)不等关系强调的是关系，可用“>”“<”“≠”“≥”“≤”表示．而不等式则是表示两者不等关系的式子，如“a>b”“a(2)利用不等式表示不等关系时，应注意所比较的两个(或几个)量必须具有相同性质，才可以进行比较，没有可比性的两个(或几个)量之间不能用不等式表示．另外，在用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，一定要注意单位的统一．
【即时练习】 据天气预报可知明天白天的最高温度为13 ℃，则明天白天的气温t与13 ℃之间存在的不等关系是( )
A. t≤13 ℃ B．t＜13 ℃
C．t＝13 ℃ D．t＞13 ℃
答案：A
解析：∵明天白天的最高温度为13 ℃，∴明天白天的气温t与13 ℃之间存在的不等关系是t≤13 ℃，故选A.
二、两个实数的大小关系
依据 a>b ____________
a＝b ____________
a结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的________与0的大小
a－b>0
a－b＝0
a－b<0
差
【即时练习】 已知M＝x2＋5x＋6，N＝2x2＋5x＋8，则M，N的大小关系是________．
M解析：由于N－M＝x2＋2>0，所以M三、重要不等式
a，b∈R，a2＋b2________2ab，当且仅当________时，等号成立．
≥
a＝b
【即时练习】 已知x，y∈R，且x2＋y2＝4，则xy的最大值是________．
2
解析：由于x2＋y2≥2xy，所以2xy≤4，故xy的最大值为2.
微点拨
比较两实数a，b的大小，只需确定它们的差a－b与0的大小关系，与差的具体数值无关．
共学案
【学习目标】
(1)能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系．
(2)初步学会作差法比较两实数的大小．
题型 1 用不等式(组)表示不等关系
【问题探究1】 生活中，我们经常看到下列标志，你知道它们的意思吗？你能用一个数学式子表示下列关系吗？
提示：①最低限速50 km/h，v≥50.②限制质量10 t，0<ω≤10.③限制高度3.5 m，0例1 某家电生产企业计划在每周工时不超过40 h的情况下，生产空调、彩电、冰箱共120台，且冰箱至少生产20台．已知生产这些家电产品每台所需工时如下表：
若每周生产空调x台、彩电y台，试写出满足题意的不等式组．
家电名称 空调 彩电 冰箱
工时(h)
解析：由题意，知x≥0，y≥0，每周生产冰箱(120－x－y)台．
因为每周所用工时不超过40 h，
所以x＋y＋(120－x－y)≤40，即3x＋y≤120；
又每周至少生产冰箱20台，
所以120－x－y≥20，即x＋y≤100.
所以满足题意的不等式组为
题后师说
用不等式(组)表示不等关系的步骤
跟踪训练1 (1)雷电的温度大约是28 000 ℃，比太阳表面温度的4.5倍还要高．设太阳表面温度为t ℃，那么t应满足的关系式是____________．
(2)一辆汽车原来每天行驶x km，如果该汽车每天行驶的路程比原来多19 km，那么在8天内它的行程将超过2 200 km，用不等式表示为____________．
4.5t<28 000
8(x＋19)>2 200
解析：(1)由题意得，太阳表面温度的4.5倍小于雷电的温度，即4.5t<28 000.
(2)因为该汽车每天行驶的路程比原来多19 km，所以汽车每天行驶的路程为(x＋19)km，则在8天内它的行程为8(x＋19)km，因此，不等关系“在8天内它的行程将超过2 200 km”可以用不等式8(x＋19)>2 200来表示．
题型 2 作差法比较大小
【问题探究2】 在初中我们学过数轴上的点与实数一一对应，可以利用数轴上的点的位置关系来规定实数的大小关系，具体是如何规定的呢？
提示：设a，b是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是A，B.那么，当点A在点B的左边时，ab.
例2 比较下列各组中代数式的大小．
(1)2a(a＋2)与(a－1)(a＋3)，其中a>0；
(2)2a2＋2b2与(a＋b)2.
解析：(1)(2a2＋4a)－(a2＋2a－3)＝a2＋2a＋3＝(a＋1)2＋2>0，
故2a(a＋2)>(a－1)(a＋3)．
(2)2a2＋2b2－(a＋b)2＝2a2＋2b2－a2－2ab－b2
＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2，
因为(a－b)2≥0，所以2a2＋2b2≥(a＋b)2.
题后师说
用作差法比较两个实数大小的一般步骤
跟踪训练2 已知x∈R，比较(x2＋1)2与x4＋x2＋1的大小．
解析：(x2＋1)2－(x4＋x2＋1)＝(x4＋2x2＋1)－(x4＋x2＋1)＝x2.
∵x2≥0，∴(x2＋1)2－(x4＋x2＋1)≥0，
即(x2＋1)2≥x4＋x2＋1，当且仅当x＝0时取等号．
题型 3 重要不等式
【问题探究3】
如图是由在北京召开的第24届国际数学家大会的会标抽象出来的图形，你能比较大正方形ABCD与四个相同的直角三角形的面积之和的大小吗？从中你能得出哪个不等式？它们之间有可能相等吗？如果相等，则应该满足什么条件呢？
提示：正方形的边长为.这4个直角三角形的面积和为2ab，正方形的面积为a2＋b2，由于正方形ABCD的面积大于4个直角三角形的面积和，我们就得到了一个不等式a2＋b2>2ab.
当直角三角形变为等腰直角三角形，即a＝b时，正方形EFGH缩为一点，这时有a2＋b2＝2ab.
于是就有a2＋b2≥2ab.
证明a2＋b2－2ab＝(a－b)2.
因为 a，b∈R，(a－b)2≥0，
当且仅当a＝b时，等号成立，
所以a2＋b2－2ab≥0.
因此，由两个实数大小比较的基本事实，得a2＋b2≥2ab，
当且仅当a＝b时，等号成立．
例3 已知a>0，b>0，求证：a3＋b3≥ab2＋a2b.
证明：因为a3＋b3－(ab2＋a2b)＝a3＋b3－ab2－a2b＝a3－ab2＋b3－a2b＝a(a2－b2)＋b(b2－a2)＝(a2－b2)(a－b)＝(a＋b)(a－b)2，
因为a>0，b>0，所以(a＋b)(a－b)2≥0，
当且仅当a＝b时，等号成立，
所以a3＋b3－(ab2＋a2b)≥0，
所以a3＋b3≥ab2＋a2b.
学霸笔记：比较两个数的大小关系，最基本的方法是利用作差法，通过因式分解或配方的方法，把“差”转化成几个因式乘积的形式，通过逻辑推理得到每一个因式的符号，从而判定两个数的大小关系，通过逻辑推理进行证明．
跟踪训练3 已知a>0，b>0.求证：a2＋3b2≥2b(a＋b)．
证明：因为a2＋3b2－2b(a＋b)＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2≥0，
当且仅当a＝b时，等号成立，
所以a2＋3b2≥2b(a＋b)．
随堂练习
1.铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130 cm，且体积不超过72 000 cm3，设携带品外部尺寸长、宽、高分别记为a，b，c(单位：cm)，这个规定用数学关系式可表示为( )
A．a＋b＋c<130且abc<72 000
B．a＋b＋c>130且abc>72 000
C．a＋b＋c≤130且abc≤72 000
D．a＋b＋c≥130且abc≥72 000
答案：C
解析：由长、宽、高之和不超过130 cm得a＋b＋c≤130，由体积不超过72 000 cm3得abc≤72 000.故选C.
2．完成一项装修工程，请木工需付工资每人400元，请瓦工需付工资每人500元，现有工人工资预算不超过20 000元，设木工x人，瓦工y人，则工人满足的关系式是( )
A．4x＋5y≤200 B．4x＋5y<200
C．5x＋4y≤200 D．5x＋4y<200
答案：A
解析：由题意，可得400x＋500y≤20 000，化简得4x＋5y≤200.故选A.
3．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是( )
A．M＞N B．M＝N
C．M＜N D．与x有关
答案：A
解析：因为M－N＝x2＋x＋1＝(x＋)2＋>0，所以M>N.故选A.
4．若实数a≥b，则a2－ab________ba－b2(填“≥”或“≤”)．
≥
解析：因为a≥b，所以a－b≥0，所以(a2－ab)－(ba－b2)＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2≥0，即a2－ab≥ba－b2.
课堂小结
1.用不等式(组)表示不等关系．
2．作差法比较两个数大小的步骤及变形方法．
3．重要不等式 a，b∈R，a2＋b2≥2ab的应用．(共28张PPT)
第2课时 等式性质与不等式性质
预学案
共学案
预学案
一、等式性质
性质1 如果a＝b，那么b＝a；
性质2 如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
性质3 如果a＝b，那么a±c＝b±c；
性质4 如果a＝b，那么ac＝bc；
性质5 如果a＝b，c≠0，那么＝.
微点拨
(1)性质1，2反映了相等关系自身的特性：对称性和传递性．
(2)性质3，4，5反映了等式对四则运算的不变性；运算中的不变性就是性质．
【即时练习】 (多选)下列运用等式的性质变形正确的是( )
A．若x＝y，则x＋5＝y＋5 B．若a＝b，则ac＝bc
C．若＝，则a＝b D．若x＝y，则＝
答案：ABC
解析：对于选项A，由等式的性质3知，若x＝y，则x＋5＝y＋5，故A正确；对于选项B，由等式的性质4知，若a＝b，则ac＝bc，故B正确；对于选项C，由等式的性质4知，若＝，则a＝b，故C正确；对于选项D，若x＝y，则＝的前提条件为a≠0，故D错误．
二、不等式性质
性质 别名 性质内容 注意
1 对称性 a>b b____a
2 传递性 a>b，b>c a>c ______
3 可加性 a>b a＋c____b＋c ______
4 可乘性 a>b，c>0 ________ a>b，c<0 ________ c的符号
5 同向可加性 a>b，c>d ________ 同向
6 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0 ________ 同向
7 可乘方性 a>b>0 an____bn(n∈N，n≥2) 同正
<
不可逆
>
可逆
ac>bc
aca＋c>b＋d
ac>bd
>
微点拨
(1)性质3说明不等式的两边都加上同一个实数，所得的不等式与原不等式同向．性质3是不等式移项法则的基础．不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边．
(2)性质4证明过程中的关键步骤是根据“同号相乘得正，异号相乘得负”的法则来完成的，一定要注意性质4中c的符号，因为c的符号不同，结论恰好相反．性质4中的a，b可以是实数，也可以是式子．
(3)性质5中，同向不等式可相加，但不能相减，即由a>b，c>d，可以得出a＋c>b＋d，但不能得出a－c>b－d.
(4)性质6是同向不等式相乘法则的依据，可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相乘，即若，则a1a2…an>b1b2…bn.
(5)不等式的性质中，对表达不等式性质的各不等式，要注意“箭头”是单向的还是双向的，即符号“ ”表示等价关系，可以互相推出，而符号“ ”只能从左边推右边，该性质不具备可逆性，尤其在证明不等式时，要注意是否可逆．
【即时练习】
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若>1，则a>b.( )
(2)a与b的差是非负实数，可表示为a－b>0.( )
(3) x∈R，都有x2>x－1.( )
(4)a，b，c为实数，在等式中，若a＝b，则ac＝bc；在不等式中，若a>b，则ac>bc.( )
×
×
√
×
2．与a>b等价的不等式是( )
A．|a|>|b| B．a2>b2
C．>1 D．a3>b3
答案：D
解析：可利用赋值法．令a＝－5，b＝0，则A、B正确而不满足a>b.再令a＝－3，b＝－1，则C正确而不满足a>b，故选D.
共学案
【学习目标】
(1)了解等式的性质．
(2)掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题．
【问题探究】 根据你的预习回答：
(1)若a>b，c>d，那么a＋c>b＋d成立吗？a－c>b－d呢？
(2)若a>b，c>d，那么ac>bd成立吗？
提示：(1)a＋c>b＋d成立，a－c>b－d不一定成立，但a－d>b－c成立．
(2)不一定，但当a>b>0，c>d>0时，一定成立．
题型 1 利用不等式的基本性质判断命题的真假
例1 (多选)下列结论正确的是( )
A．若a>b，则ac>bc B．若a>b>0，则<
C．若ac2>bc2，则a>b D．若a答案：BC
解析：对于A：当a>b时，若取c≤0，则有ac≤bc.故A不正确；
对于B：当a>b>0时，两边同乘以，有>，即<.故B正确；
对于C：当ac2>bc2，两边同乘以，则a>b.故C正确；
对于D：当a题后师说
利用不等式的性质判断命题真假的2种策略
跟踪训练1 如果a2>b2，那么下列不等式中成立的是( )
A．a>0>b B．a>b>0
C．|a|>|b| D．a>|b|
答案：C
解析：因为a2>b2，故由不等式的性质得|a|>|b|，故C选项正确；对于A选项，当a＝2，b＝1时满足a2>b2，但a>0>b不成立，故A选项错误；对于B选项，由于(－3)2>(－2)2，但－3<－2<0，故B选项错误；对于D选项，由于(－3)2>(－2)2，但－3<|－2|，故D选项错误．故选C.
题型 2 利用不等式的性质证明不等式
例2 已知a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：>.
证明：因为a>b>c，且a＋b＋c＝0，所以a>0，c<0，
所以a－c>b－c>0，所以0<<，所以>.
学霸笔记：
利用不等式的性质证明不等式注意事项
(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．
(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．
跟踪训练2 若a>b>0，c.
证明：∵c－d>0.
又a>b>0，∴a－c>b－d>0，
则(a－c)2>(b－d)2>0，即<.
又e<0，∴>.
题型 3 利用不等式的性质求代数式的取值范围
例3 已知－1(1)求x－y的取值范围；
(2)求3x＋2y的取值范围．
解析：(1)因为－1所以－3<－y<－2，所以－4(2)由－1所以1<3x＋2y<18.
一题多变 若将本例条件改为－1解析：因为－1所以－3<－y<1，所以－4又因为x所以－4跟踪训练3 已知1
解析：因为2又1所以的取值范围是<<2.
随堂练习
1.已知x>0，0A．xy>x>xy2 B．xy>xy2>x
C．x>xy>xy2 D．x>xy2>xy
答案：C
解析：由0y>y2，可得x>xy>xy2.故选C.
2．若a>b>0，c<0，则下列结论正确的是( )
A．< B．a＋cC．> D．a－c答案：C
解析：因为a>b>0，则<，又c<0，所以>，故A错误；因为a>b>0，c<0，所以a＋c>b＋c，故B错误；因为a>b>0，则<，又c<0，所以>，故C正确；因为a>b>0，c<0，所以a－c>b－c，故D错误．故选C.
3．(多选)若a>b>0，则下列结论正确的是( )
A．a2>b2 B．ac2>bc2
C．< D．a2>ab
答案：ACD
解析：由a>b>0，则a2>b2，>>0即<，a2>ab，故A、C、D正确；当c＝0时ac2＝bc2，故B错误．故选ACD.
4．若－1<α<β<1，m＝α－β，则m的取值范围为____________．
{m|－2解析：∵α<β，∴α－β<0，又－1<α<1，－1<－β<1，∴－2<α－β<2，综上，－2<α－β<0.
课堂小结
1.利用不等式的性质判断命题的真假时，一定要注意不等式成立的条件．
2．利用不等式的性质证明简单的不等式是否成立，实际上就是根据不等式的性质把不等式进行适当的变形，证明过程中注意不等式成立的条件．(共34张PPT)
第1课时 基本不等式
预学案
共学案
预学案
一、基本不等式
1．基本不等式：如果a>0，b>0，则__________，当且仅当________时，等号成立．
2．算术平均数和几何平均数：________叫做正数a，b的算术平均数，________叫做正数a，b的几何平均数．
3．两个正数的算术平均数________它们的几何平均数．
≤
a＝b
不小于
微点拨
(1)基本不等式中，要求a，b都是非负实数，否则a<0，b<0，如a＝－2，b＝－4，则会出现的错误结论．若a，b中有一个小于0，如a＝2，b＝－4，则无意义．
(2)基本不等式成立的条件是a≥0，b≥0，而重要不等式中的a，b是实数．事实上，当a≥0，b≥0时，我们分别用代替重要不等式中的a，b，即a＋b≥2，变形可得.
(3)基本不等式中的a，b的取值既可以是某个具体的非负数，也可以是一个代数式，但是代数式的结果应非负．
【即时练习】
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)两个不等式a2＋b2≥2ab与成立的条件是相同的．( )
(2)当a>0，b>0时，ab≤.( )
(3)若a≠0，则a＋≥2 ＝2.( )
×
√
×
2．不等式＋(x－2)≥2(x>2)中等号成立的条件是________．
x＝3
解析：由题知，x>2，所以x－2>0，所以＋(x－2)≥2 ＝2，当且仅当＝x－2，即x＝3时，取等号，所以等号成立的条件是x＝3.
二、基本不等式与最值
已知x，y都为正数，则：
(1)如果积xy等于定值P，那么当且仅当x＝y时，和x＋y有最小值________；
(2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值________，简记为：积定和最小，和定积最大．
2
S2
微点拨
对“一正、二定、三相等”的理解
(1)“一正”，即所求最值的各项必须都是正值，否则就容易得出错误的答案．例如，函数y＝x＋，当x<0时，绝不能认为x＋≥2，并由此得出错误结论：x＋的最小值为2.事实上，当x<0时，x＋＝－[(－x)＋]≤－2，当且仅当x＝－1时，取得最大值－2.
(2)“二定”，即含变量的各项的和或者积必须是常数，即要求x＋y的最小值，xy必须是定值；求xy的最大值，x＋y必须是定值．例如，已知00，5－3x>0．
(3)“三相等”，即必须具备不等式中等号成立的条件，才能求得最大值或最小值．例如，y＝，满足“正”和“定”的条件，但要取等号必须满足＝，即x2＋2＝1，这是不可能的，所以函数y＝的最小值不是2.
【即时练习】
1．设x>0，y>0，且xy＝9，则x＋y的最小值为( )
A．18 B．9
C．6 D．3
答案：C
解析：∵x>0，y>0，∴x＋y≥2＝6(当且仅当x＝y＝3，取“＝”)，故选C.
2．若a>0，b>0，且a＋b＝6，则ab的最大值为( )
A．5 B．6
C．8 D．9
答案：D
解析：因为a>0，b>0，且a＋b＝6，所以ab≤()2＝9，当且仅当a＝b＝3时等号成立，所以ab的最大值为9.故选D.
共学案
【学习目标】
(1)学会推导、证明不等式，理解基本不等式的几何意义．
(2)会用基本不等式求一些简单的最值问题．
【问题探究】 如图，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC＝a，BC＝b.过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD.你能利用这个图形，得出基本不等式的几何解释吗？
提示：如题图，可证△ACD∽△DCB，因而CD＝.由于CD小于或等于圆的半径，用不等式表示为.显然，当且仅当点C与圆心重合，即当a＝b时，上述不等式的等号成立．
题型 1 对基本不等式的理解
例1 (多选)下列推导过程，其中正确的是( )
A．因为a，b为正实数，所以≥2＝2
B．因为a>3，所以＋a≥2＝4
C．因为a<0，所以＋a≥2＝4
D．因为x，y∈R，xy<0，所以＝－[(－)＋(－)]≤－2 ＝－2，当且仅当x＝－y≠0时，等号成立
答案：AD
解析：对于A，a，b为正实数，有>0，>0，且·＝1，又当且仅当a＝b时，＝成立，满足均值不等式的条件，A正确；
对于B，＋a≥2 ＝4，当a>3时，>0，且a·＝4，显然不存在大于3的正数a使a＝成立，所以＋a>4，B错误；
对于C，因为a<0，则<0，不符合均值不等式成立的条件，C错误；
对于D，x，y∈R，xy<0，则－>0，－>0，且·＝1，又当且仅当y＝－x≠0时，－＝－成立，满足均值不等式的条件，D正确．故选AD.
学霸笔记
基本不等式的结构体现了“和式”与“积式”的相互转化，当题目中不等号的两端一端是“和式”而另一端是“积式”时，就要考虑利用基本不等式来解决，在应用过程中注意“一正、二定、三相等”．
跟踪训练1 已知a≠0，下列各不等式恒成立的是( )
A．a＋>2 B．a＋≥2
C．a＋≤－2 D．|a＋|≥2
答案：D
解析：取a＝－1时，a＋＝－2，可判断选项A、B不正确；取a＝1时，a＋＝2，可判断选项C不正确；因为a，同号，|a＋|＝|a|＋||≥2，当且仅当a＝±1时，等号成立，选项D正确．故选D.
题型 2 利用基本不等式直接求最值
例2 (1)当x>0时，求＋4x的最小值；
(2)当x<0时，求＋4x的最大值．
解析：(1)∵x>0，∴>0，4x>0.
∴＋4x≥2 ＝8.
当且仅当＝4x，即x＝时取最小值8，
∴当x>0时，＋4x的最小值为8.
(2)∵x<0，∴－x>0.
则＋(－4x)≥2 ＝8，
当且仅当＝－4x时，即x＝－时取等号．
∴＋4x≤－8.
∴当x<0时，＋4x的最大值为－8.
学霸笔记
应用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的条件进行，若具备这些条件，则可直接运用基本不等式，若不具备这些条件，则应进行适当的变形．
跟踪训练2 (1)已知a>0，则a＋＋1的最小值为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案：D
解析：因为a>0，所以a＋＋1≥2 ＋1＝5.当且仅当a＝，即a＝2时等号成立．所以a＋＋1的最小值为5.故选D.
(2)设x>0，则y＝3－3x－的最大值为( )
A．3 B．3＋2
C．3－2 D．－1
答案：C
解析：因为x>0，所以3x＋≥2 ＝2，当且仅当3x＝，即x＝时取等号，所以3－3x－≤3－2，即y＝3－3x－的最大值为3－2.故选C.
题型 3 利用基本不等式求两个变量和(积)的最值
例3 把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？
解析：设两个正数为a，b，
由题意ab＝36，则a＋b≥2＝12，当且仅当a＝b＝6时等号成立，即a＝b＝6时，它们的和最小，为12.
一题多变 把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？
解析：设两个正数为a，b，
由题意a＋b＝18，则ab≤＝81当且仅当a＝b＝9时等号成立，即a＝b＝9时，它们的积最大，为81.
学霸笔记：当a>0，b>0时，
(1)若a＋b＝p(和为定值)，则当a＝b时，积ab有最大值，这可以用基本不等式求得．
(2)若ab＝S(积为定值)，则当a＝b时，和a＋b有最小值2，这可以用基本不等式a＋b≥2求得．不论哪种情况都要注意等号取得的条件．
跟踪训练3 (1)已知正数a，b满足ab＝8，则a＋2b的最小值是( )
A．4 B．6 C．2 D．8
答案：D
解析：由a，b为正实数，则a＋2b≥2＝2＝8，当且仅当a＝2b，即a＝4，b＝2时等号成立，故选D.
(2)已知x>0，y>0，且满足x＋6y＝6，则xy有( )
A．最大值 B．最小值
C．最大值1 D．最小值1
答案：A
解析：xy＝＝×9＝，当且仅当，即时等号成立．故选A.
随堂练习
1.不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是( )
A．a＝±1 B．a＝1
C．a＝－1 D．a＝0
答案：B
解析：当a2＋1＝2a，即(a－1)2＝0即a＝1时，“＝”成立．故选B.
2．下列不等式中，正确的是( )
A．a＋≥4 B．a2＋b2≥4ab
C．x2＋≥2 D．
答案：C
解析：A.当a<0时，a＋≤－4，故错误；B.因为a2＋b2≥2ab，故错误；C.由基本不等式得x2＋≥2，当且仅当x2＝时，取等号，故正确；D.当a＝1，b＝2时，<，故错误．故选C.
3．已知m>0，n>0，mn＝81，则m＋n的最小值是( )
A．9 B．18 C．9 D．27
答案：B
解析：因为m>0，n>0，由基本不等式m＋n≥2得，m＋n≥18.当且仅当m＝n＝9时等号成立，所以m＋n的最小值是18，故选B.
4．已知y＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a的值为________．
36
解析：由基本不等式，得4x＋≥2 ＝4，当且仅当4x＝，即x＝时，等号成立，故＝3，得a＝36.
课堂小结
1.基本不等式的推导与证明．
2．利用基本不等式求最值要满足条件“一正、二定、三相等”，缺一不可．(共19张PPT)
第2课时 基本不等式的实际应用
共学案
【学习目标】
(1)熟练掌握基本不等式及其变形的应用．
(2)基本不等式在解决实际问题中的应用．
题型 1 基本不等式在生活中的应用
【问题探究】 课前每名同学准备一段铁丝，如何把这段铁丝折成一个面积最大的矩形？
提示：设矩形的边长分别为x，y，则周长C＝2x＋2y，∴x＋y＝，∴面积S＝xy≤＝，当且仅当x＝y＝时，等号成立．
例1 如图为传统节日玩具之一走马灯，常见于除夕、
元宵、中秋等节日．灯内点上蜡烛，蜡烛燃烧产生的热
力造成气流，令轮轴转动．轮轴上有剪纸，烛光将剪纸
的影投射在屏上，图象便不断走动，因剪纸图象为古代
武将骑马的图画，在转动时看起来好像几个人你追我赶
一样，故名走马灯．现打算做一个体积为96 000 cm3的
如图长方体状的走马灯(题中不考虑木料的厚薄粗细)．
(1)若底面大矩形的周长为160 cm，当底面边长为多少时，底面面积最大？
(2)若灯笼高为40 cm，现只考虑灯笼的主要框架，当底面边长为多少时，框架用料最少？
解析：(1)设大矩形的长为x，宽为y，
依题有：2(x＋y)＝160，即x＋y＝80，则S＝xy≤＝1 600，
当且仅当x＝y＝40时，底面矩形面积最大．
(2)依题有S＝xy＝＝2 400，
框架用料最少等价于底面用料为2x＋3y最小即可，
2x＋3y≥2＝240，当2x＝3y，
即y＝40，x＝60时取等号，
故当长为60 cm、宽为40 cm时，用料最少．
题后师说
利用基本不等式解决实际问题的步骤
跟踪训练1 某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池，池的深度一定，池的外圈周壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁忽略不计)．问：污水处理池的长设计为多少米时可使总价最低．
解析：设污水处理池的长为x米，则宽为米．
总造价f(x)＝400×(2x＋2×)＋100×＋60×200
＝800×(x＋)＋12 000≥1 600 ＋12 000＝36 000(元)
当且仅当x＝(x>0)，
即x＝15时等号成立．
题型 2 基本不等式在几何中的应用
例2 如图所示，设矩形ABCD(AB>BC)的周长为24，把它沿AC翻折，翻折后AB′交DC于点P，设AB＝x.
(1)用x表示DP，并求出x的取值范围；
(2)求△ADP面积的最大值及此时x的值．
解析：(1)矩形ABCD(AB>BC)的周长为24，
∵AB＝x，∴AD＝－x＝12－x，
∵AB>BC＝AD，得x>12－x，∴6在△APC中，∠PAC＝∠PCA，所以AP＝PC，从而得DP＝PB′，
∴AP＝AB′－PB′＝AB－DP＝x－DP，
在Rt△ADP中，由勾股定理得(12－x)2＋DP2＝(x－DP)2，
∴DP＝12－(6(2)在Rt△ADP中，
S△ADP＝AD·DP＝(12－x)·(12－)＝108－(6x＋)(6∵6∴S△ADP＝108－(6x＋)≤108－72，
∴当x＝6时，△ADP的面积取最大值108－72.
学霸笔记
在实际问题中利用基本不等式求最值时，要特别注意使用基本不等式的条件“一正”(要求字母为正数)、“二定”(不等式的另一边必须为定值)、“三相等”(等号取得的条件)，满足这三条才能应用，否则会出现错误．
跟踪训练2 如图，已知在一个半径为r的半圆形铁板中，截取一块矩形ABCD，使得矩形的顶点A、B在半圆的直径上，C、D在半圆弧上，若矩形ABCD的面积最大时，其最大值是________．
r2
解析：设BC＝x，连结OC，得OB＝，所以AB＝2，所以矩形ABCD面积S＝2x，x∈(0，r)，S＝2x＝2≤x2＋r2－x2＝r2.当且仅当x2＝r2－x2，即x＝r时取等号，此时ymax＝r2.
随堂练习
1.某服装加工厂为了适应市场需求，引进某种新设备，以提高生产效率和降低生产成本．已知购买m台设备的总成本为f(m)＝m2＋m＋200(单位：万元)．若要使每台设备的平均成本最低，则应购买设备( )
A．100台 B．200台
C．300台 D．400台
答案：B
解析：由题意，＝m＋1＋≥2 ＋1＝3，当且仅当＝，即m＝200时，等号成立，所以应购买200台，使得每台设备的平均成本最低．故选B.
2．为了庆祝中国青年团100周年，校团委组织了一场庆祝活动，要用警戒线围出400平方米的矩形活动区域，则所用警戒线的长度的最小值为( )
A．30米 B．50米 C．80米 D．110米
答案：C
解析：设该矩形区域的长为x米，则宽为米，则所用警戒线的长度为2(＋x)≥2×2 ＝80米，当且仅当＝x，即x＝20时，取等号．则所用警戒线的长度的最小值为80米．故选C.
3．欲用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的面积最大的矩形菜园，墙长18 m，则这个矩形的长、宽分别为( )
A．15 m， m B．15 m， m
C．7 m， m D．7 m， m
答案：A
解析：设矩形的长为x(04.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为________ m，面积最大为________ m2.
20
400
解析：设矩形的宽为y，由三角形相似得：＝，0课堂小结
1.利用基本不等式求解实际问题，注意生活中的变量有它自身的意义，容易忽略变量的取值范围．
2．利用基本不等式求解实际问题，切记利用基本不等式求最值的三个条件：一正、二定、三相等．(共18张PPT)
习题课 基本不等式
【学习目标】
(1)熟练掌握基本不等式及其变形的应用．
(2)能利用基本不等式证明简单的不等式．
题型 1 “拼凑法”求最值
例1 (1)已知x<，求y＝4x－2＋的最大值；
(2)已知0解析：(1)∵x<，∴5－4x>0，
∴y＝4x－2＋＝－(5－4x＋)＋3≤－2＋3＝1，
当且仅当5－4x＝，即x＝1时，上式等号成立，故当x＝1时，ymax＝1.
(2)∵00，∴y＝×2x(1－2x)≤×()2
＝＝.
∴当且仅当2x＝1－2x(0学霸笔记：
通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略
拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求最值应注意以下几个方面：①拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价转换；②代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；③拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．
跟踪训练1 (1)已知a>1，则a＋的最小值为( )
A．5 B．6
C．7 D．10
答案：C
解析：a>1时，a－1>0，a＋＝(a－1)＋＋1≥2 ＋1＝7(当且仅当a＝4时等号成立)，则a＋的最小值为7.故选C.
(2)若05
解析：因为00，所以＝5，当且仅当x＝10－x，即x＝5时取等号，所以的最大值为5.
题型 2 巧用“1”的代换求最值
例2 已知x>0，y>0，且＝1，求x＋y的最小值．
解析：∵＝1，∴x＋y＝(x＋y)()＝10＋，∵x>0，y>0，∴>0，>0，
∴x＋y≥10＋2 ＝16(当且仅当＝，即x＝4，y＝12时取等号)，
∴x＋y的最小值为16.
一题多变 把本例中的“＝1”改为“2xy＝x＋4y”，求x＋y的最小值．
解析：因为x>0，y>0，由已知条件可得＝＝2，
所以x＋y＝(x＋y)()＝(5＋)≥(5＋2 )＝，
当且仅当x＝2y＝3时，等号成立，故x＋y的最小值为.
题后师说
“1”的代换法求最值的步骤
跟踪训练2 已知m>0，n>0，且2m＋n＝1，求的最小值．
解析：∵m>0，n>0，2m＋n＝1，
∴＝＝＝，
∴＝＝()·(2m＋n)＝＋3＋2＋≥5＋2 ＝5＋2，
当且仅当＝时，即n2＝6m2，
而又2m＋n＝1，所以，
此时不等式可取等号．
所以的最小值为5＋2.
题型 3 利用基本不等式证明不等式
例3 已知a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1，求证：(－1)(－1)(－1)≥8.
证明：因为a，b，c均为正实数，a＋b＋c＝1，
所以－1＝＝，
同理－1≥－1≥.
上述三个不等式两边均为正，分别相乘，
得(－1)(－1)(－1)≥··＝8，
当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．
学霸笔记：
利用基本不等式证明不等式的注意事项
(1)多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立．
(2)巧用“1”的代换证明不等式．
(3)对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用．
跟踪训练3 已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1.
证明：≥4.
证明：＝(a＋b＋c)·()
＝2＋
≥2＋2 ＝4，
当且仅当a＋b＝c＝时取等号，所以≥4.
随堂练习
1.已知x>－2，则x＋的最小值为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案：A
解析：因为x>－2，所以x＋2>0，
所以x＋＝x＋2＋－2≥2 －2＝2，
当且仅当x＋2＝，即x＝0时取等号，
所以x＋的最小值为2.故选A.
2．若两个正实数x，y满足＝1，则x＋2y的最小值是( )
A．2 B．4 C．8 D．16
答案：C
解析：由题意，两个正实数x，y满足＝1，则x＋2y＝(x＋2y)()＝4＋≥4＋2 ＝8，当且仅当＝，即x＝4，y＝2时，等号成立．故选C.
3．若正数a，b满足a＋b＝1，则的最小值为( )
A．16 B．13 C．20 D．15
答案：A
解析：因为正数a，b满足a＋b＝1，则＝()·(a＋b)＝10＋≥10＋2 ＝16，当且仅当＝且a＋b＝1，即a＝，b＝时取等号，此时取得最小值16.故选A.
4．已知01
解析：00，x(2－x)≤＝1，当且仅当x＝1时取“＝”．
课堂小结
1.“拼凑法”求最值．
2．“1”的代换法求最值．
3．利用基本不等式证明不等式．(共31张PPT)
第1课时 二次函数与一元二次方程、不等式
预学案
共学案
预学案
预备知识一：因式分解
常用方法：①提公因式法；②公式法：a2－b2＝(a＋b)(a－b)，a2±2ab＋b2＝(a±b)2；③十字相乘法：a1a2x2＋(a1c2＋a2c1)x＋c1c2＝(a1x＋c1)(a2x＋c2)．
分解因式：
(1)x2＋x＝__________；
(2)4x2－4x＋1＝__________；
(3)x2－4x＋4＝_________；
(4)2x2＋5x＋2＝______________；
(5)12x2－5x－2＝______________；
(6)x2－(a＋1)x＋a＝___________．
x(x＋1)
(2x－1)2
(x－2)2
(x＋2)(2x＋1)
(3x－2)(4x＋1)
(x－1)(x－a)
预备知识二：一元二次方程的解法
1．因式分解法：若ax2＋bx＋c＝a(x－x1)(x－x2)，方程ax2＋bx＋c＝0的两根是x1、x2.
2．求根公式法：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，Δ＝b2－4ac.
当Δ<0时，方程____________；
当Δ＝0时，方程___________________；
当Δ>0时，方程_____________________．
预备知识三：根与系数的关系(韦达定理)
方程ax2＋bx＋c＝0的两根是x1、x2，则x1＋x2＝________；x1·x2＝________；＝________；(x1－x2)2＝________．
没有实数根
有两个相等的实数根
有两个不相等的实数根
－
－
预备知识四：二次函数图象的绘制
y＝x2－2x－3 y＝x2－4x＋3 y＝－x2＋2x＋3
一、一元二次不等式
一般地，我们把只含有________未知数，并且未知数的最高次数是________的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是____________或____________，其中a，b，c均为常数，a≠0.
微点拨
(1)“一元”指的是只有一个未知数，不代表只有一个字母，如a，b，c等．
(2)“二次”指的是未知数的最高次必须存在并且是2，并且最高次系数不为0.
一个
2
ax2＋bx＋c>0
ax2＋bx＋c<0
【即时练习】 (多选)下面所给关于x的不等式，其中一定为一元二次不等式的是( )
A．3x＋4<0 B．x2＋mx－1>0
C．ax2＋4x－7>0 D．x2<0
答案：BD
解析：选项A是一元一次不等式，故错误；选项B，D，不等式的最高次是二次，二次项系数不为0，故正确；当a＝0时，选项C是一元一次不等式，故不一定是一元二次不等式，即错误．故选BD.
二、二次函数的零点
一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的________．
微点拨
(1)二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标．
(2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点．
(3)后面第四章还要继续学习．
零点
【即时练习】 函数y＝x2－2x－3的零点是( )
A．1，－3 B．3，－1
C．1，2 D．(3，0)，(－1，0)
答案：B
解析：y＝x2－2x－3＝(x－3)(x＋1)＝0，x＝3或x＝－1，所以函数y＝x2－2x－3的零点是3，－1.故选B.
三、二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋ bx＋c(a>0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两相异实根 x1，x2(x1一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 ________ ________ ________
一元二次不等式ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 ________ ________ ________
{x|xx2}
{x|x≠－}
{x|x∈R}
{x|x1
微点拨
(1)ax2＋bx＋c＝0(a>0)的解 y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标；
(2)ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 y＝ax2＋bx＋c的图象上的点(x，y)在x轴上方时，对应x的取值集合；
(3)ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 y＝ax2＋bx＋c的图象上的点(x，y)在x轴下方时，对应x的取值集合．
【即时练习】
1．不等式(x＋1)(x－3)<0的解集是( )
A．{x|－1C. {x|x<－1或x>3} D．{x|x<－3或x>1}
答案：A
解析：由(x＋1)(x－3)<0，解得－12．不等式2x2－x≥0的解集为________________.
{x|x≤0或x≥}
解析：由2x2－x≥0得x(2x－1)≥0，解得x≤0或x≥，故不等式2x2－x≥0的解集为{x|x≤0或x≥}．
共学案
【学习目标】
(1)了解一元二次不等式的现实意义．
(2)借助二次函数图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系，体会数学的整体性．
(3)能够借助二次函数，求解一元二次不等式．
题型 1 一元二次不等式的解法
【问题探究1】 如课本图2.3－1，二次函数y＝x2－12x＋20的图象与x轴有两个交点，这与方程x2－12x＋20＝0的根有什么关系？
提示：函数的图象与x轴交点的横坐标正好是方程的根．
【问题探究2】 你能从二次函数y＝x2－12x＋20的图象上找到x2－12x＋20<0的解集吗？
提示：从图象上看，位于x轴上方的函数值大于零，位于x轴下方的函数值小于零，故x2－12x＋20<0的解集为{x|2例1 解下列不等式：
(1)2x2＋7x＋3>0；
(2)－4x2＋18x－≥0；
(3)－2x2＋3x－2<0.
解析：(1)因为Δ＝72－4×2×3＝25>0，所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝－.又二次函数y＝2x2＋7x＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集为{x|x>－或x<－3}．
(2)原不等式可化为(2x－)2≤0，所以原不等式的解集为{x|x＝}．
(3)原不等式可化为2x2－3x＋2>0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7<0，所以方程2x2－3x＋2＝0无实根，又二次函数y＝2x2－3x＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R.
题后师说
解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
跟踪训练1 解下列不等式．
(1)3x2－7x≤10；
(2)x2－x＋<0.
解析：(1)不等式3x2－7x≤10，即3x2－7x－10≤0，即不等式等价于(x＋1)(3x－10)≤0，由二次函数的图象与性质可知原不等式的解集为{x|－1≤x≤}．
(2)不等式x2－x＋<0，
因为x2－x＋＝(x－)2≥0，
由二次函数的图象与性质可知原不等式的解集为 .
题型 2 含参数的一元二次不等式的解法
例2 设a∈R，解关于x的不等式ax2＋(1－2a)x－2＞0.
解析：(1)当a＝0时，不等式可化为x－2＞0，解得x＞2，即原不等式的解集为{x|x＞2}．
(2)当a≠0时，方程ax2＋(1－2a)x－2＝0的两根分别为2和－.
①当a＜－时，解不等式得－＜x＜2，即原不等式的解集为{x|－②当a＝－时，不等式无解，即原不等式的解集为 ；
③当－＜a＜0时，解不等式得2＜x＜－，即原不等式的解集为{x|2④当a＞0时，解不等式得x＜－或x＞2，即原不等式的解集为{x|x<－，或x>2}．
一题多变 解关于x的不等式2x2＋ax＋2＞0.
解析：Δ＝a2－16，下面分情况讨论：
(1)当Δ＜0，即－4＜a＜4时，方程2x2＋ax＋2＝0无实根，所以原不等式的解集为R.
(2)当Δ＝0，即a＝±4时，若a＝－4，则原不等式等价于(x－1)2＞0，故x≠1；若a＝4，则原不等式等价于(x＋1)2＞0，故x≠－1；
(3)当Δ＞0，即a＞4或a＜－4时，方程2x2＋ax＋2＝0的两个根为x1＝(－a－)，x2＝(－a＋)．
此时原不等式等价于(x－x1)(x－x2)＞0，∴x＜x1或x＞x2.
综上，当－4＜a＜4时，原不等式的解集为R；当a＝－4时原不等式的解集为{x|x∈R，且x≠1}；当a＞4或a＜－4时，原不等式的解集为{x|x＜(－a－)，或x＞(－a＋)}；当a＝4时，原不等式的解集为{x|x∈R，且x≠－1}．
题后师说
解含参数的一元二次不等式的步骤
特别提醒
求解方程的根时可优先考虑用因式分解的方法求解，不能因式分解时再求判别式Δ，用求根公式计算．
跟踪训练2 解关于x的不等式x2－(a＋2)x＋2a<0．
解析：x2－(a＋2)x＋2a<0，即(x－a)(x－2)<0；
当a＝2时，不等式化为(x－2)2<0，不等式无解；
当a>2时，解不等式(x－a)(x－2)<0，得2当a<2时，解不等式(x－a)(x－2)<0，得a综上所述，a＝2时，不等式无解，
a>2时，不等式的解集为{x|2a<2时，不等式的解集为{x|a随堂练习
1.不等式x2－4>0的解集是( )
A．{x|－2C．{x|x>2} D．{x|x<－2或x>2}
答案：D
解析：x2－4＝(x＋2)(x－2)>0，
解得x<－2或x>2，
所以不等式的解集为{x|x<－2或x>2}．
2．关于x的不等式－x2＋5x＋6≤0的解集为( )
A．{x|x≤－2或x≥3}
B．{x|－2≤x≤3}
C．{x|－1≤x≤6}
D．{x|x≤－1或x≥6}
答案：D
解析：由－x2＋5x＋6＝－(x－6)(x＋1)≤0，解得x≤－1或x≥6.故选D.
3．设m＋n>0，则关于x的不等式(m－x)·(n＋x)>0的解集是( )
A．{x|x<－n或x>m}
B．{x|－nC．{x|x<－m或x>n}
D．{x|－m答案：B
解析：不等式变形为(x－m)(x＋n)<0，方程(x－m)(x＋n)＝0的两根为m，－n，显然由m＋n>0得m>－n，所以不等式的解为－n4．已知a<0，则关于x的不等式x2－4ax－5a2<0的解集是____________．
{x|5a解析：因为x2－4ax－5a2<0，所以(x－5a)(x＋a)<0，又a<0，所以不等式x2－4ax－5a2<0的解集为{x|5a课堂小结
1.一元二次不等式的概念及解法．
2．含参数的一元二次不等式的解法．(共22张PPT)
第2课时 一元二次不等式的应用
共学案
【学习目标】
(1)会将简单的分式不等式化为一元二次不等式求解．
(2)理解一元二次方程，一元二次不等式与二次函数的关系．
(3)能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，解决实际生活问题．
题型 1 简单分式不等式的解法
【问题探究】 <0与(x＋1)(x－1)<0等价吗？
≤0与(x＋1)(x－1)≤0等价吗？
提示：<0与(x＋1)(x－1)<0等价，≤0与(x＋1)(x－1)≤0不等价，
≤0的分子可以等于0而分母不能等于0，即≤0 .
例1 解下列不等式：
(1)≥0；(2)>1.
解析：(1)原不等式可化为
解得∴x<－或x≥，
∴原不等式的解集为{x|x<－或x≥}．
(2)原不等式可化为>0，化简得>0，即<0，
∴(2x＋1)(x＋3)<0，解得－3∴原不等式的解集为{x|－3题后师说
简单分式不等式的解法策略
跟踪训练1 解下列不等式：
(1)≤0；(2)＜1.
解析：(1)原不等式为
∴即－＜x≤1.
故原不等式的解集为{x|－(2)原不等式可化为－1＜0，
∴＜0，∴＜0，则x＞－2.
故原不等式的解集为{x|x＞－2}．
题型 2 一元二次不等式的实际应用
例2 某公司为了竞标某活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
解析：设每件定价为t元，依题意得(8－×0.2)t≥25×8，
整理得t2－65t＋1 000≤0，解得：25≤t≤40.
所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．
题后师说
求解一元二次不等式应用问题的步骤
跟踪训练2 制作一个高为20 cm的长方体容器，底面矩形的长比宽多10 cm，并且容积不少于4 000 cm3.问：底面矩形的宽至少应是多少？
解析：设底面矩形的宽为x，
由题意可得20x(x＋10)≥4 000，
整理可得x2＋10x－200≥0，
解得x≤－20(舍)，或x≥10，
所以底面矩形的宽至少为10 cm.
题型 3 二次函数与一元二次方程、不等式间的关系及应用
例3 已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|2＜x＜3}，求关于x的不等式cx2＋bx＋a＜0的解集．
解析：方法一 由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2由根与系数的关系可知＝－5，＝6.
由a<0知c<0，＝，
故不等式cx2＋bx＋a<0，即x2＋x＋>0，
即x2－x＋>0，解得x<或x>，
所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集为{x|x<或x>}．
方法二 由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2所以ax2＋bx＋c＝a(x－2)(x－3)＝ax2－5ax＋6a b＝－5a，c＝6a，
故不等式cx2＋bx＋a<0，
即6ax2－5ax＋a<0 6a(x－)(x－)<0，
故原不等式的解集为{x|x<或x>}．
一题多变 将本例中的“不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|2＜x＜3}”改为“不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|x<2或x>3}”，求关于x的不等式cx2＋bx＋a＜0的解集．
解析：方法一 由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|x<2或x>3}可知a>0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，
由根与系数的关系可知＝－5，＝6，
由a>0知b<0，c>0，＝－，
故不等式cx2＋bx＋a<0，即x2＋x＋<0，即x2－x＋<0，解得所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集为{x|方法二 由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|x<2或x>3}可知，a>0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＋0的两根，所以ax2＋bx＋c＝a(x－2)(x－3)＝ax2－5ax＋6a b＝－5a，c＝6a，故不等式cx2＋bx＋a<0，即6ax2－5ax＋a<0 6a(x－)(x－)<0，故原不等式的解集为{x|学霸笔记
已知以a，b，c为参数的不等式(如ax2＋bx＋c>0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循：
(1)根据解集来判断二次项系数的符号；
(2)根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式；
(3)约去a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解．
跟踪训练3 不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1A．{x|－1}
C．{x|x≤2或x>} D．{x|－1答案：A
解析：因为不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1所以－1和2是方程ax2＋bx＋2＝0的两根，
则，解得，
所以不等式2x2＋bx＋a<0即化为2x2＋x－1<0，所以(2x－1)(x＋1)<0，
解得－1随堂练习
1.不等式≥0的解集为( )
A．{x|x≥1或x≤－1}
B．{x|－1≤x≤1}
C．{x|x≥1或x<－1}
D．{x|－1≤x<1}
答案：D
解析：不等式等价于≤0，即(x＋1)(x－1)≤0，且x－1≠0，解得－1≤x<1，故不等式的解集为{x|－1≤x<1}．故选D.
2．已知关于x的不等式2x2－mx＋n<0的解集是(2，3)，则m＋n的值是( )
A．－2 B．2
C．22 D．－22
答案：C
解析：由题意得：2与3是方程2x2－mx＋n＝0的两个根，故2＋3＝，2×3＝，所以m＋n＝10＋12＝22.故选C.
3．某村办服装厂生产某种风衣，月销售量x(件)与售价p(元/件)的关系为p＝300－2x；生产x件的成本r＝500＋30x(元)，为使月获利不少于8 600元，则月产量x满足( )
A．55≤x≤60 B．60≤x≤65
C．65≤x≤70 D．70≤x≤75
答案：C
解析：由题意可得(300－2x)x－(500＋30x)≥8 600，即x2－135x＋4 550≤0，则(x－65)(x－70)≤0，故65≤x≤70.故选C.
4．已知不等式ax2－x＋6>0的解集为{x|－3{x|－2解析：因为不等式ax2－x＋6>0的解集为{x|－3课堂小结
1.解简单分式不等式的关键是等价转化．
2．解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型．
3．二次函数与一元二次方程、不等式间的关系及应用．(共17张PPT)
习题课 不等式恒成立、能成立问题
【学习目标】
掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法．
题型 1 在R上的恒成立问题
例1 若不等式ax2＋(1－a)x＋a－2≥－2对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围．
解析：由题意，ax2＋(1－a)x＋a≥0恒成立，
当a＝0时，不等式可化为x≥0，不满足题意；
当a≠0时，满足，
即，解得a≥；
故实数a的取值范围是a≥.
学霸笔记：(1)不等式ax2＋bx＋c>0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c>0；当a≠0时，
(2)不等式ax2＋bx＋c<0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c<0；当a≠0时，
(3)不等式ax2＋bx＋c≥0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c≥0；当a≠0时，
(4)不等式ax2＋bx＋c≤0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c≤0；当a≠0时，
跟踪训练1 已知关于x的不等式2kx2＋kx－<0的解集为R，求实数k的取值范围．
解析：不等式2kx2＋kx－<0的解集为R，
若k＝0，不等式为－<0，符合题意；
若k≠0，则有，解得－3所以不等式的解集为R，实数k的取值范围为－3题型 2 在给定范围内恒成立的问题
例2 当－1≤x≤2时，不等式x2＋(m－4)x－5≤0恒成立，求实数m的取值范围．
解析：令y＝x2＋(m－4)x－5，
∵y≤0在－1≤x≤2上恒成立，
y＝0的根一个小于等于－1，一个大于等于2，
如图可得，即，
∴实数m的取值范围为{m|0≤m≤}．
一题多变 当x>0时，不等式x2－5x＋4>kx恒成立，求实数k的取值范围．
解析：由题意得，k<在x>0上恒成立，令y＝，只需k由基本不等式得g(x)＝x＋－5≥2－5＝－1，当且仅当x＝，即x＝2时等号成立．
所以k<－1，则k的取值范围是{k|k<－1}．
学霸笔记：
(1)转化为对应的二次函数图象与x轴的交点问题．
①当a>0时，ax2＋bx＋c<0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立 y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时小于0.
②当a<0时，ax2＋bx＋c>0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立 y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时大于0.
(2)用分离参数法转化为相应二次函数的最值或用基本不等式求最值．
跟踪训练2 已知关于x的方程x2＋x－a－1>0在0≤x≤1上恒成立，求实数a的取值范围．
解析：由题可知a令y＝x2＋x－1，只需a所以a<－1.
题型 3 不等式能成立问题
例3 已知关于x的方程x2＋x－a－1>0在0≤x≤1上有解，求实数a的取值范围．
解析：由x2＋x－a－1>0可得a所以a因为y＝x2＋x－1＝(x＋)2－，0≤x≤1，
所以ymax＝1，所以a<1.
学霸笔记
(1)结合二次函数图象，将问题转化为端点值的问题解决．
(2)对一些简单的问题，可转化为m>ymin或m跟踪训练3 若存在≤x≤2，使得>(k>0)成立，求实数k的取值范围．
解析：依题意，存在≤x≤2，使得>成立，由于k>0，
所以3x>x2＋k，k<－x2＋3x，
由于函数y＝－x2＋3x的开口向下，对称轴为x＝，
所以k<－＋3×＝，
即k的取值范围是{k|k<}．
随堂练习
1. x∈R，不等式ax2＋4x－1<0恒成立，则a的取值范围为( )
A．a<－4 B．a<－4或a＝0
C．a≤－4 D．－4答案：A
解析： x∈R，不等式ax2＋4x－1<0恒成立，当a＝0时，显然不恒成立，所以，解得：a<－4.故选A.
2．已知不等式x2－ax＋1≥0，在0A．a≤2 B．a≤1
C．0答案：A
解析：依题意得x2－ax＋1≥0，ax≤x2＋1，a≤x＋，在03．若关于x的不等式x2－6x＋11－a<0在2A．a>－2 B．a>3
C．a>6 D．a>2
答案：D
解析：设y＝x2－6x＋11，开口向上，对称轴为直线x＝3，所以要使不等式x2－6x＋11－a<0在2ymin即可，即a>f(3)＝2，得a>2，所以实数a的取值范围为a>2.故选D.
4．若关于x的不等式x2－x＋m<0的解集是 ，则实数m的取值范围是____________．
{m|m≥}
解析：因为不等式x2－x＋m<0的解集是 ，∴x2－x＋m≥0在x∈R上恒成立，∴Δ＝b2－4ac＝1－4×1×m≤0，即m≥.
课堂小结
1.会使用判别式法、分离参数法、数形结合等方法解决不等式恒成立、能成立问题．
2．正确区分不等式恒成立与能成立问题．
(共28张PPT)
第二章 章末复习课
·
·
考点一 不等式性质的应用
1．利用不等式的性质可以比较两个数或式的大小，可以证明不等式等．另外，作差法、作商法也是常用的比较大小和证明不等式的方法．
2．通过对不等式性质的考查，提升学生的逻辑推理素养．
例1 (多选)下列不等式中不成立的是( )
A．若a>b>0，则ac2>bc2
B．若a>b>0，则a2>b2
C．若aD．若a
答案：AC
解析：A.若a>b>0，当c＝0时，ac2＝bc2，故A满足题意；
B．若a>b>0，则a2－b2＝(a＋b)(a－b)>0，即a2>b2，故B不满足题意；
C．若aab，ab>b2，即a2>ab>b2，故C满足题意；
D．若a0，即>，故D不满足题意．故选AC.
跟踪训练1 已知a、b、c、d∈R，下列命题正确的是( )
A．若a>b，则ac>bc
B．若a>b，c>d，则ac>bd
C．若a>b，则<
D．若<，则|a|>|b|
答案：D
解析：对于A，当c≤0时不成立；
对于B，当a＝1，b＝－2，c＝0，d＝－1时，显然不成立；
对于C，当a＝1，b＝－2时不成立；
对于D，因为0<<，所以有|a|>|b|>0，即|a|>|b|成立．故选D.
考点二 基本不等式
1．基本不等式为，其变式为ab≤等．基本不等式可用来比较代数式的大小、证明不等式、求函数的最值、求字母参数的取值范围、解实际应用题等．
2．通过对基本不等式考查，提升学生的逻辑推理、数学运算素养．
例2 (多选)下列结论中，所有正确的结论是( )
A．当x>0时，≥2
B．当x<0时，x＋的最小值是－2
C．当x>－3时，y＝x＋的最小值为－1
D．当x<时，y＝4x－2＋的最小值是5
答案：AC
解析：对于A，因为x>0，所以≥2当且仅当x＝1时取等号，故选项A正确；
对于B，因为x<0，所以x＋＝－(－x)－≤－2 ＝－2，当且仅当x＝－1时取等号，则x＋的最大值是－2，故选项B错误；
对于C，因为x>－3，则x＋3>0，所以y＝x＋＝x＋3＋－3≥2 －3＝－1当且仅当x＋3＝，即x＝－2时取等号，所以当x>－3时y＝x＋的最小值为－1，故选项C正确；
对于D，因为x<，则4x－5<0，所以y＝4x－2＋＝4x－5＋＋3＝－(5－4x)－＋3≤－2 ＋3＝1当且仅当5－4x＝，即x＝1时取等号，所以当x<时，y＝4x－2＋的最大值是1，故选项D错误．故选AC.
跟踪训练2 已知x，y都是正实数，且x＋2y＝xy，则x＋y的最小值为________．
3＋2
解析：因为x＋2y＝xy，x，y都是正实数，所以＝1，所以x＋y＝(x＋y)()＝2＋＋1≥3＋2，当且仅当＝，x＋2y＝xy时等号成立，即x＝2＋，y＝＋1时等号成立；所以x＋y的最小值为3＋2.
考点三 一元二次不等式的解法
1．解一元二次不等式需熟悉一元二次方程、二次函数和一元二次不等式三者之间的关系，其中二次函数的图象与x轴交点的横坐标是联系这三个“二次”的枢纽．
(1)确定ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)在判别式Δ＞0时解集的结构是关键．在未确定a的取值情况下，应先分a＝0和a≠0两种情况进行讨论．
(2)若给出了一元二次不等式的解集，则可知二次项系数a的符号和方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，再由根与系数的关系就可知a，b，c之间的关系．
(3)解含有参数的一元二次不等式，要注意对参数的取值进行讨论：①对二次项系数与0的大小进行讨论；②在转化为标准形式的一元二次不等式后，对判别式与0的大小进行讨论；③当判别式大于0，但两根的大小不确定时，对两根的大小进行讨论．
2．通过对一元二次不等式解法的考查，提升学生逻辑推理、数学运算素养．
例3 (1)已知不等式ax2＋bx＋c>0的解是αα>0，求不等式cx2＋bx＋a<0的解集；
(2)解关于x的不等式ax2－(a＋4)x＋4<0(a∈R)．
解析：(1)由已知不等式可得a<0，α、β为方程ax2＋bx＋c＝0的两根，
所以，
由cx2＋bx＋a<0得x2＋x＋1>0，
则有αβx2－(α＋β)x＋1>0即(αx－1)(βx－1)>0，
因为β>α>0，所以0<<，
所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集为{x|x<或x>}．
(2)不等式ax2－(a＋4)x＋4<0等价于(ax－4)(x－1)<0，其中a∈R，
当a＝0时，不等式化为4x－4>0，解得x>1，则不等式的解集为{x|x>1}；
当a>0时，不等式等价于(x－)(x－1)<0，
若>1，即0若＝1，即a＝4，不等式的解集为空集；
若0<<1，即a>4，不等式的解集为{x|当a<0时，不等式等价于(x－)(x－1)>0，且<0<1，则不等式的解集为{x|x<或x>1}，
综上所述，当a<0时，不等式的解集为{x|x<或x>1}；
当a＝0时，不等式的解集为{x|x>1}；
当0当a＝4时，不等式的解集为空集；
当a>4时，不等式的解集为{x|跟踪训练3 已知关于x的不等式x2－x＋a－a2≤0.
(1)若a＝2时，求不等式的解集；
(2)求不等式的解集．
解析：(1)当a＝2时，x2－x－2≤0，(x＋1)(x－2)≤0，得－1≤x≤2，
所以不等式的解集为{x|－1≤x≤2}．
(2)由x2－x＋a－a2≤0，得(x－a)[x－(1－a)]≤0，
当a<1－a，即a<时，不等式的解集为{x|a≤x≤1－a}，
当a＝1－a，即a＝时，不等式的解集为，
当a>1－a，即a>时，不等式的解集为{x|1－a≤x≤a}，
综上，当a<时，不等式的解集为{x|a≤x≤1－a}，当a＝时，不等式的解集为，当a>时，不等式的解集为{x|1－a≤x≤a}．
考点四 不等式恒成立问题
1．熟练掌握一元二次不等式恒成立的等价条件，理解不等式恒成立与最值的关系，对于含参的不等式要注意对参数进行讨论，做到不重不漏．
2．通过对不等式恒成立问题的考查，提升学生逻辑推理和数学运算素养．
例4 已知关于x的不等式mx2＋mx－2<0.
(1)当x∈R时不等式恒成立，求实数m的取值范围．
(2)当x∈{x|－3≤x≤－1}时不等式恒成立，求实数m的取值范围．
解析：(1)∵关于x的不等式mx2＋mx－2<0，当x∈R时不等式恒成立，
∴当m＝0时，－2<0，显然成立；
当m≠0时，要使x∈R时不等式恒成立，
∴，解得－8综上所述，实数m的取值范围为{m|－8(2)当－3≤x≤－1时，关于x的不等式mx2＋mx－2<0恒成立，
(ⅰ)当m＝0时，－2<0，显然成立；
(ⅱ)当m≠0时，①当m>0时，令y＝mx2＋mx－2，二次函数f(x)的图象开口向上，且对称轴为直线x＝－，
∴y在－3≤x≤－1上随x的增大而减小，
要使当－3≤x≤－1时，关于x的不等式mx2＋mx－2<0恒成立，则即9m－3m－2<0，解得0②当m<0时，令y＝mx2＋mx－2，二次函数f(x)的图象开口向下，且对称轴为直线x＝－，
∴y在－3≤x≤－1上随x的增大而增大，
要使当－3≤x≤－1时，关于x的不等式mx2＋mx－2<0恒成立，即m－m－2<0，显然恒成立，
综上所述，实数m的取值范围为{m|m<}．
跟踪训练4 已知函数y＝x2＋ax＋2.
(1)若对 x∈{x|1≤x≤2}，有x2＋ax＋2≥－2恒成立，求实数a的取值范围；
(2)若 x∈{x|1≤x≤2}，有x2＋ax＋2≥－2成立，求实数a的取值范围．
解析：(1)依题意x2＋ax＋4≥0在x∈{x|1≤x≤2}恒成立，
所以a≥－＝－(x＋)在1≤x≤2上恒成立，
所以a≥，
由－(x＋)≤－4，当且仅当x＝2时等号成立，
所以a≥－4，即a∈{a|a≥－4}．
(2)依题意x2＋ax＋4≥0在x∈{x|1≤x≤2}有解，
所以a≥－＝－(x＋)在1≤x≤2上有解，
所以a≥，所以当x＝1时，＝－5，
所以a≥－5，即a∈{a|a≥－5}．
考点五 不等式在实际问题中的应用
1．不等式的实际问题常以函数为背景，多以解决实际生活、生产中的优化问题，在解题中主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值．
2．通过对不等式实际问题的考查，提升学生数学建模和数学运算素养．
例5 某市为推动美丽乡村建设，发展农业经济，鼓励某食品企业生产一种饮料，该饮料每瓶成本为10元，售价为15元，月销售8万瓶．
(1)据市场调查，若每瓶售价每提高1元，月销售量将减少8 000瓶，要使下月总利润不低于原来的月总利润，该饮料每瓶售价最多为多少元？
(2)为提高月总利润，企业决定下月调整营销策略，计划每瓶售价x(x≥16)元，并投入(x－16)万元作为调整营销策略的费用．据市场调查，每瓶售价每提高1元，月销售量将相应减少万瓶，则当每瓶售价x为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月的最大总利润．(提示：月总利润＝月销售总收入－月总成本)
解析：(1)设提价a元，由题意，每瓶饮料的利润为(a＋5)元，月销售量为(8－0.8a)万瓶，
所以提价后月销售总利润为(a＋5)(8－0.8a)万元．
因为原来月销售总利润为5×8＝40(万元)，月利润不低于原来月利润，
所以(a＋5)(8－0.8a)≥40，即a2－5a≤0，
所以0≤a≤5，所以售价最多为5＋15＝20(元)，
故该饮料每瓶售价最多为20元．
(2)由题意，每瓶利润为(x－10)元，月销售量为8－(x－15)＝(8－)万瓶，设下月总利润为y＝(x－10)(8－)－(x－16)，x≥16，
整理得y＝－x－＋51.2
＝－[(x－15)＋]＋47.45，
因为x≥16，所以x－15≥1，
所以y≤－2＋47.45＝45.45，
当且仅当x＝19时取到等号，
故当每瓶售价为19元时，下月的最大总利润为45.45万元．
跟踪训练5
某学校欲在广场旁的一块矩形空地上进行绿化．如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围(斜线部分)均种满宽度相同的鲜花．已知两块绿草坪的面积均为200平方米．
(1)若矩形草坪的长比宽至少多10米，求草坪宽的最大值；
(2)若草坪四周及中间的宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值．
解析：(1)设草坪的宽为x米，长为y米，由面积均为200平方米，得y＝，
因为矩形草坪的长比宽至少多10米，
所以≥x＋10，又x>0，
所以x2＋10x－200≤0，解得0所以宽的最大值为10米．
(2)记整个绿化面积为S平方米，由题意得，
S＝(2x＋6)(y＋4)＝(2x＋6)(＋4)＝424＋8(x＋)≥424＋80，当且仅当x＝5米时，等号成立，所以整个绿化面积的最小值为(424＋80)平方米．