(共36张PPT)
第1课时 函数的概念(一)
预学案
共学案
预学案
函数的概念
概念 一般地，设A，B是非空的________，如果对于集合A中的____________，按照某种________的对应关系f，在集合B中都有________的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
三要素 对应关系 y＝f(x)，x∈A
定义域 ________的取值范围A
值域 与x的值相对应的________的值的集合{f(x)|x∈A}
实数集
任意一个数x
确定
唯一确定
自变量x
y
微点拨
(1)A，B是非空的实数集．
(2)定义域是非空的实数集A，但函数的值域不一定是非空实数集B，而是集合B的子集．
(3)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空实数集A中的任意一个(任意性)元素x，在非空实数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应．
(4)函数符号“y＝f(x)”是数学符号之一，不表示y等于f与x的乘积，f(x)也不一定是解析式，还可以是图象或表格，或其他的对应关系．
(5)除f(x)外，有时还用g(x)，u(x)，F(x)，G(x)等符号表示函数．
【即时练习】
1．图中给出的四个对应关系，其中构成函数的是( )
A．①② B．①④ C．①②④ D．③④
答案：B
解析：对于①和④，第一个集合中的数在第二个集合中都有唯一确定的数和它对应，符合函数的概念，故①④满足函数关系．
对于②：第一个集合中的1，4在第二个集合中无元素对应，不是函数关系；
对于③：第一个集合中的1，2在第二个集合中都有两个数和它对应，出现一对多的情况，不是函数关系；
只有①④满足函数关系．故选B.
2．函数y＝的定义域是________．
{x|x≠2}
解析：函数y＝的定义域满足x－2≠0，即x≠2，
所以函数y＝的定义域为{x|x≠2}．
共学案
【学习目标】
(1)通过丰富的实例进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型．
(2)用集合与对应的思想理解函数的概念．
(3)理解函数的三要素．
(4)会求具体函数的定义域．
题型 1 函数关系的判断
【问题探究1】 仔细阅读教材3.1.1中的四个问题，找到问题1～4中涉及的变量，写出各类变量构成的集合，分析两类变量的对应关系．并归纳4个不同问题中对应关系所具有的共性．
(1)变量1：时间t，变量1构成的集合：A1＝{t|0≤t≤0.5}
变量2: 路程s，变量2构成的集合：B1＝{s|0≤s≤175}
变量1与变量2之间的对应关系或对应方式：对于数集A中的任一时刻t，根据对应关系s＝350 t在数集B中都有唯一确定的路程s和它对应．
(2)变量1：______，变量1构成的集合：____________________．
变量2：________，
变量2构成的集合：____________________________________．
变量1与变量2之间的对应关系或对应方式：
_________________________________________________________
_____________________．
(3)变量1：________，变量1构成的集合：_______________．
变量2：____________，变量2构成的集合：_______________．
变量1与变量2之间的对应关系或对应方式：
_________________________________________________________
_________________________________________________________．
天数d
A2＝{1，2，3，4，5，6}
工资ω
B2＝{350，700，1 050，1 400，1 750，2 100}
对于数集A2中的任一工作天数d，根据对应关系ω＝350d，在数集B2中都有唯一确定的工资ω与它对应．
时刻t
A3＝{t|0≤t≤24}
空气质量指数I
B3＝{I|0
对于数集A3中的任一时刻t，根据图中曲线所给定的对应关系，在数集B3中都有唯一确定的AQI的值与之对应．
(4)变量1：________，变量1构成的集合：
________________________________________________________．
变量2：______________，变量2构成的集合：______________．
变量1与变量2之间的对应关系和对应方式：
_________________________________________________________
________________________________．
年份y
A4＝{2006，2007，2008，2009，2010，2011，2012，2013，2014，2015}
恩格尔系数r(%)
B4＝{r|0对于数集A4中的任意一个年份y，根据表格所给定的对应关系，在数集B4中都有唯一确定的恩格尔系数r与之对应．
例1 (1)(多选题)下列对应关系是集合A到集合B的函数的是( )
A．A＝R，B＝{x|x≥0}，f：x→y＝|x|
B．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2
C．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝
D．A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{0}，f：x→y＝0
答案：ABD
解析：(1)选项A中，对于A中的任意一个实数x，在B中都有唯一确定的数y与之对应，故是A到B的函数．
选项B中，对于集合A中的任意一个整数x，按照对应关系f：x→y＝x2在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与其对应，故是集合A到集合B的函数．
选项C中，集合A中的负整数没有平方根，在集合B中没有对应的元素，故不是集合A到集合B的函数．
选项D中，对于集合A中任意一个实数x，按照对应关系f：x→y＝0在集合B中都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合A到集合B的函数．故选ABD.
(2)函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{x|0≤x≤2}，则y＝f(x)图象可能是( )
答案：B
解析：由题意，函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{x|0≤x≤2}，
对于A中，函数的定义域为[－2，0]，不符合题意；
对于B中，函数的定义域为[－2，2]，值域为[0，2]，符合题意；
对于C中，根据函数的概念，一对一对应和多对一对应是函数，而C项中出现一对多对应，所以不是函数，不符合题意；
对于D中，函数的定义域为[－2，2]，但值域为[0，1]，不符合题意．故选B.
题后师说
(1)判断一个对应关系是否为函数的方法
(2)根据图形判断对应关系是否为函数的一般步骤
跟踪训练1 中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function”译做“函数”沿用至今，已知集合M＝{－1，1，2，4}，N＝{1，2，4}，给出下列四个对应关系，请由函数定义判断，其中能构成从M到N的函数的是( )
A．y＝|x| B．y＝x＋1
C．y＝2x D．y＝x2
答案：A
解析：在A中，任取x∈M，总有y＝|x|∈N，故A正确；
在B中，当x＝－1，2，4时，y N，故B错误；
在C中，当x＝－1，4时，y N，故C错误；
在D中，当x＝4时，y N，故D错误．故选A.
题型 2 函数的三要素
【问题探究2】 你知道初中学的几个函数的对应关系、定义域、值域分别是什么吗？
函数 对应关系 定义域 值域
一次函数
反比例函数
二次函数
提示：
函数 对应关系 定义域 值域
一次函数 y＝ax＋b(a≠0) R R
反比例函数 {x|x∈R， 且x≠0} {y|y∈R，且y≠0}
二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0) R
例2 (1)已知f(x)＝，则f(x)的定义域是( )
A．{x|x<0} B．{x|x≤1且x≠0}
C．{x|x<1且x≠0} D．{x|x>1}
答案：B
解析：要使f(x)＝有意义，则需 ，解得x≤1且x≠0，
所以定义域为{x|x≤1且x≠0}．故选B.
(2)若已知函数f(x)＝x2，x∈{－1，0，1}，则函数的值域为________．
{0，1}
解析：当x＝－1时，f(－1)＝1；当x＝0时，f(0)＝0；当x＝1时，f(1)＝1.
所以函数的值域为{0，1}．
学霸笔记
(1)求函数定义域的依据：分式分母不为0，二次根式的被开方数不小于0.
(2)如果解析式中含有多个式子，则用大括号将x满足的条件列成不等式组，求交集．
跟踪训练2 (1)函数f(x)＝的定义域是( )
A．{x|x≥－1且x≠0}
B．{x|x≥－1}
C．{x|x≠0}
D．{x|x≤－1且x≠0}
答案：A
解析：由，解得：x≥－1且x≠0.
∴函数f(x)＝的定义域是{x|x≥－1且x≠0}．故选A.
(2)若函数y＝x2－3x的定义域为{－1，0，2，3}，则其值域为___________．
{－2，0，4}
解析：依题意，当x＝－1时，y＝4；当x＝0时，y＝0；当x＝2时，y＝－2；当x＝3时，y＝0，所以函数y＝x2－3x的值域为{－2，0，4}．
题型 3 构建问题情境
例3 已知矩形的面积为10，如图所示，试借助该图形构建问题情境描述下列变量关系．
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝2x＋.
解析：(1)设矩形的长为x，宽为f(x)，那么f(x)＝.
其中x的取值范围A＝{x|x＞0}，
f(x)的取值范围B＝{f(x)|f(x)＞0}，对应关系f把每一个矩形的长x，对应到唯一确定的宽.
(2)设矩形的长为x，周长为f(x)，那么f(x)＝2x＋，其中x的取值范围A＝{x|x＞0}，
f(x)的取值范围B＝{f(x)|f(x)＞0}，对应关系f把每一个矩形的长x，对应到唯一确定的周长2x＋.
题后师说
构建问题情境的步骤
跟踪训练3 构建一个问题情境，使其中的变量关系能用解析式y＝2来描述．
解析：某企业生产一种产品的利润是投资额的算术平方根的2倍，设投资额为x，利润为y，那么y＝2.其中x的取值范围A＝{x|x≥0}，y的取值范围B＝{y|y≥0}，对应关系f把每一笔投资对应到唯一确定的利润2.
随堂练习
1.下列说法中正确的是( )
A．函数的定义域和值域一定是无限集
B．函数值域中的每一个数，在定义域中都有唯一的数与之对应
C．函数的定义域和值域确定后，函数的对应关系也就确定了
D．若函数的定义域中只含有一个元素，则值域中也只含有一个元素
答案：D
解析：函数的定义域和值域也可以是有限集，A错误．对于定义域中的每一个数x，在值域中都有唯一的数y和它对应，反之则不然，故B错误，D正确，C显然错误．故选D.
2．已知集合A＝{0，1，2}，B＝{－1，1，3}，下列对应关系中，从A到B的函数为( )
A．f：x→y＝x B．f：x→y＝x2
C．f：x→y＝2x D．f：x→y＝2x－1
答案：D
解析：对A：当x＝0，1，2时，对应的y＝x为0，1，2，所以选项A不能构成函数；
对B：当x＝0，1，2时，对应的y＝x2为0，1，4，所以选项B不能构成函数；
对C：当x＝0，1，2时，对应的y＝2x为0，2，4，所以选项C不能构成函数；
对D：当x＝0，1，2时，对应的y＝2x－1为－1，1，3，所以选项D能构成函数．故选D.
3．函数f(x)＝x2＋1(0A．{x|x≥1} B．{x|x>1}
C．{2，3} D．{2，5}
答案：D
解析：∵0∴f(1)＝2，f(2)＝5.故函数的值域为{2，5}．故选D.
4．函数y＝的定义域为________．
{x|x>1}
解析：因为y＝，所以x－1>0，即x>1，所以定义域为{x|x>1}．
课堂小结
1.会判断函数关系．
2．会求函数的定义域．
3．会构建问题情境．(共34张PPT)
第2课时 函数的概念(二)
预学案
共学案
预学案
一、区间的概念
设a，b∈R，且a符号 定义 名称 数轴表示
[a，b] {x|a≤x≤b} 闭区间
(a，b) {x|a[a，b) {x|a≤x(a，b] {x|a[a，＋∞) {x|x≥a}
(a，＋∞) {x|x>a}
(－∞，b] {x|x≤b}
(－∞，b) {x|x实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”． 微点拨
(1)区间的左端点必小于右端点；
(2)区间符号里面的两个字母(或数字)之间用“，”隔开；
(3)用数轴表示区间时，要特别注意属于这个区间端点的实数用实心点表示，不属于这个区间端点的实数用空心点表示；
(4)无穷大(∞)是一个符号，不是一个数，因此它不具备数的一些性质和运算法则；
(5)包含端点用闭区间，不包含端点用开区间，以“＋∞”或“－∞”为区间的一个端点时，这一端必须是小括号．
【即时练习】
1．区间(0，1]等于( )
A．{0，1} B．{(0，1]}
C．{x|0答案：C
解析：区间(0，1]表示由02．集合{x|x<－2}表示的区间是___________．
(－∞，－2)
解析：根据区间的定义集合{x|x<－2}表示的区间是(－∞，－2)．
二、同一个函数
如果两个函数的________相同，并且_________完全一致，即相同的自变量对应的函数值相同，那么这两个函数是同一个函数．
定义域
对应关系
微点拨
(1)两个函数是不是同一个函数，与函数用什么字母表示无关．例如，函数y＝f(x)＝x2，x∈A与函数u＝f(t)＝t2，t∈A表示的是同一个函数．
(2)f(x)＝x2和f(x－1)＝x2由于对应关系f所施加的对象不同(前者为x，后者为x－1)，因此两者不是同一个函数．
(3)即使两个函数的定义域和值域都分别相同，它们也不一定是同一个函数，因为函数的定义域和值域不能唯一确定函数的对应关系．如函数f(x)＝x2，x∈[0，2]和函数g(x)＝2x，x∈[0，2]，它们的定义域相同，都是[0，2]，值域也相同，都是[0，4]，但它们不是同一个函数．
【即时练习】 下列函数中哪个与函数y＝x相等( )
A．y＝()2 B．y＝
C．y＝ D．y＝
答案：B
解析：对于A，函数的定义域为{x|x≥0}，两个函数的定义域不同．
对于B，函数的定义域为R，两个函数的定义域和对应关系相同，是同一函数．
对于C，函数的定义域为R，y＝|x|，对应关系不一致．
对于D，函数的定义域为{x|x≠0}，两个函数的定义域不同．故选B.
共学案
【学习目标】
(1)知道闭区间、开区间、半开半闭区间的定义，会用区间表示取值范围．
(2)理解f的含义并会求对应关系下的函数值．
(3)知道同一个函数的定义，会判断两个函数是否为同一个函数．
题型 1 区间的应用
【问题探究1】 区间与集合之间有什么关系？区间的左端点与右端点的关系？
提示：在数集范围内，能用集合的地方，也能用区间来表示，除非这个集合中有零散的数字而不是一个数字范围．区间的左端点一定小于右端点．
例1 (1)设集合A＝{x|－3≤x≤0}，B＝{x|x≥－1}，则A＝( )
A．[－1，0] B．[－3，＋∞)
C．(－∞，0] D．[－1，＋∞)
答案：B
解析：因为集合A＝{x|－3≤x≤0}，B＝{x|x≥－1}，
所以A＝[－3，＋∞)．故选B.
(2)若函数f(x)的定义域为[2a－1，a＋1]，值域为[a＋3，4a]，则a的取值范围是________．
(1，2)
解析：由区间的定义知，解得1学霸笔记：(1)区间是数集，区间的左端点小于右端点．
(2)在用区间表示集合时，开和闭不能混淆．
(3)用数轴表示区间时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心圈表示不包括在区间内的端点．
跟踪训练1 (1)已知集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2A．(2，7) B．(2，10)
C．[3，7) D．[3，10)
答案：C
解析：A＝[3，7)＝[3，7)．
故选C.
(2)集合{x|－2(－2，0)
解析：集合{x|－2题型 2 求函数的值
例2 已知函数f(x)＝.
(1)求f(f(3))的值；
(2)当f(2a＋3)＝8时，求a的值．
解析：(1)因为f(x)＝，所以f(3)＝＝，
所以 f(f(3))＝f()＝＝－；
(2)因为f(2a＋3)＝＝8，
解得a＝－.
题后师说
求函数值的2种策略
跟踪训练2 已知f(x)＝(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)．
(1)求f(2)，g(2)的值；
(2)求f(g(3))的值．
解析：(1)∵f(x)＝，
∴f(2)＝＝.
又∵g(x)＝x2＋2，∴g(2)＝22＋2＝6.
(2)∵g(3)＝32＋2＝11，∴f(g(3))＝f(11)＝＝.
题型 3 同一函数的判断
【问题探究2】 函数的三要素是什么？什么样的两个函数是相同函数？
提示：函数的三要素：定义域、对应关系、值域．有确定的定义域和对应关系，则此时值域唯一确定．
例3 (多选)下列各组函数中是同一函数的是( )
A．f(x)＝x＋2，g(x)＝＋2
B．f(x)＝，g(x)＝()2－3
C．f(x)＝x2＋(x－1)0，g(x)＝x2＋
D．f(x)＝，g(t)＝
答案：CD
解析：选项A中两个函数定义域都是R，但g(x)＝|x|＋2与f(x)的对应法则不相同，不是同一函数；
选项B中，f(x)定义域是{x|x≠－3}，g(x)的定义域是{x|x≥0}，不是同一函数；
选项C中，定义域都是{x|x≠1}，化简后f(x)＝x2＋1，g(x)＝x2＋1，是同一函数；
选项D中，两个函数定义域都是(－∞，0)对应法则也相同，是同一函数．故选CD.
题后师说
判断同一函数的三个步骤
跟踪训练3 下列各组函数中，表示同一函数的是( )
A．f(x)＝x，g(x)＝
B．f(x)＝，g(x)＝()2
C．f(x)＝，g(x)＝·
D．f(x)＝x2，g(x)＝
答案：D
解析：对选项A，因为f(x)＝x定义域为R，g(x)＝定义域为{x|x≠0}，定义域不同，所以f(x)，g(x)不是同一函数，故A错误．
对选项B，因为f(x)＝定义域为R，g(x)＝()2定义域为{x|x≥0}，定义域不同，所以f(x)，g(x)不是同一函数，故B错误．
对选项C，因为f(x)＝定义域为{x|x≥0或x≤－1}，g(x)＝·定义域为{x|x≥0}，定义域不同，
所以f(x)，g(x)不是同一函数，故C错误．
对选项D，因为f(x)＝x2定义域为R，g(x)＝定义域为R，g(x)＝＝x2＝f(x)，所以f(x)，g(x)是同一函数，故D正确．故选D.
随堂练习
1.已知区间A＝(－3，1)，B＝(－2，3)，则A＝( )
A．(－3，3) B．(－3，－2)
C．(－2，1) D．(1，3)
答案：C
解析：因为A＝(－3，1)，B＝(－2，3)，由交集的定义，所以A＝(－2，1)．故选C.
2．已知函数f(x)＝2x－5，则f(f(1))＝( )
A．－11 B．－3
C．11 D．3
答案：A
解析：因为函数f(x)＝2x－5，所以f(1)＝2×1－5＝－3，
所以f(f(1))＝f(－3)＝2×(－3)－5＝－11.故选A.
3．下列每组函数是同一函数的是( )
A．f(x)＝1，g(x)＝x0
B．f(x)＝，g(x)＝x＋3
C．f(x)＝|x＋3|，g(x)＝
D．f(x)＝，g(x)＝
答案：C
解析：A：因为函数f(x)＝1的定义域为全体实数，g(x)＝x0的定义域为{x|x≠0}，所以两个函数不是同一函数；
B：因为函数f(x)＝的定义域为不等于3的全体实数，函数g(x)＝x＋3的定义域为全体实数，所以两个函数不是同一函数；
C：因为g(x)＝＝|x＋3|，所以两个函数是同一函数；
D：由f(x)＝ (x－1)(x－3)≥0 x≥3或x≤1，
由g(x)＝ x≥3，
因为两个函数的定义域不相同，所以两个函数不是同一函数．故选C.
4．设函数f(x)＝x2－2x－1，若f(a)＝2，则实数a＝________．
－1或3
解析：由f(a)＝2，得a2－2a－1＝2，解得a＝－1或a＝3.
课堂小结
1.区间的表示方法及应用．
2．会求函数的值以及给定函数值求自变量．
3．根据函数的定义域及对应关系判断两个函数是否是同一函数．(共35张PPT)
第1课时 函数的表示法
预学案
共学案
预学案
函数的表示法
表示法 定义
解析法 用__________表示两个变量之间的对应关系
图象法 用________表示两个变量之间的对应关系
列表法 列出________来表示两个变量之间的对应关系
数学表达式
图象
表格
微点拨
(1)并不是所有的函数都可以用解析法表示，不仅如此，图象法也不适用于所有函数，如D(x)＝列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段．
(2)函数的三种表示法的优缺点
优点 缺点
解析法 一是简明、全面地概括了变量间的对应关系；二是可以利用解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值 不够形象、直观，而且并不是所有函数都有解析式
列表法 不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值 仅能表示自变量取较少的有限值时的对应关系
图象法 能形象、直观地表示随着自变量的变化，相应的函数值的变化情况 只能近似求出自变量的值所对应的函数值，且有时误差较大
【即时练习】
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)任何一个函数都可以用列表法表示．( )
(2)任何一个函数都可以用解析法表示．( )
(3)函数的图象一定是其定义区间上的一条连续不断的曲线．( )
×
×
×
解析：(1)如果函数的定义域是连续的数集，则该函数就不能用列表法表示；
(2)有些函数无解析式，如某地一天24小时内的气温变化情况；
(3)反例：f(x)＝的图象就不是连续的曲线．
2．函数y＝f(x)的图象如图所示，则f(9)＝( )
A．5 B．4 C．3 D．2
答案：C
解析：由图象可知，当x＝9时，y＝3，故f(9)＝3.故选C.
3．已知函数f(x)由下表给出，则f(f(1))＝( )
A.1 B．2 C．3 D．4
x 1 2 3 4
f(x) 3 2 4 1
答案：D
解析：由题干中表格可知f(1)＝3，
∴f(f(1))＝f(3)＝4.故选D.
共学案
【学习目标】
(1)在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．(2)能用图象法表示函数并能通过函数图象得到函数的值域．(3)掌握求函数解析式的常见方法．
题型 1 函数的三种表示法
【问题探究】 根据初中所学知识，请判断教材3.1.1中的问题1，问题3，问题4分别是函数的哪种表示法？
提示：解析法、图象法、列表法
例1 某问答游戏的规则是：共5道选择“题”，基础分为50分，每答错一道题扣10分，答对不扣分，试分别用列表法、图象法、解析法表示一个参与者的得分y与答错题目道数x(x∈{0，1，2，3，4，5})之间的函数关系．
解析：该函数关系用列表表示为：
x/道 0 1 2 3 4 5
y/分 50 40 30 20 10 0
该函数关系用图象表示，如图所示，
该函数关系用解析式表示为y＝50－10x(x∈{0，1，2，3，4，5})．
学霸笔记：用三种表示法表示函数的注意点
(1)解析法必须注明函数的定义域；
(2)列表法必须罗列出所有自变量的值与函数值的对应关系；
(3)图象法必须清楚函数的图象是“点”还是“线”．
跟踪训练1 某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来．
解析：(1)列表法：
x/台 1 2 3 4 5
y/元 3 000 6 000 9 000 12 000 15 000
x/台 6 7 8 9 10
y/元 18 000 21 000 24 000 27 000 30 000
(2)图象法：
(3)解析法：y＝3 000x，x∈{1，2，3，…，10}．
题型 2 作函数的图象
例2 作出下列函数的图象并求出其值域．
(1)y＝2x＋1，x∈Z且0≤x≤2；
(2)y＝，x∈[2，＋∞)；
(3)y＝x2＋2x，x∈[－2，2].
解析：(1)由已知得y＝2x＋1的定义域为{0，1，2}，列表如下：
x 0 1 2
y 1 3 5
其图象是离散的点，如图所示，值域为{1，3，5}．
(2)列表如下：
x 2 3 4 5 …
y 1 …
当x∈[2，＋∞)时，其图象是反比例函数y＝图象的一部分，如图所示，观察图象知其值域为(0，1].
(3)列表如下：
x －2 －1 0 1 2
y 0 －1 0 3 8
其图象是抛物线y＝x2＋2x在－2≤x≤2之间的部分，如图所示，观察图象知其值域为[－1，8].
学霸笔记：函数图象的作法及注意点
(1)作函数图象最基本的方法是描点法：主要有三个步骤——列表、描点、连线．作图象时一般先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，最后列表画出图象．
(2)函数的图象可能是平滑的曲线，也可能是一群孤立的点，画图时要注意特殊点，如图象与坐标轴的交点、区间端点、二次函数的顶点等，还要分清这些特殊点的实心点还是空心圈．
跟踪训练2 作出下列函数的图象并求其值域．
(1)y＝1－x(x∈Z且|x|≤2)；
(2)y＝2x2－4x－3(0≤x<3)．
解析：(1)因为x∈Z且|x|≤2，
所以x∈{－2，－1，0，1，2}，
当x＝－2时，y＝1－x＝3；
当x＝－1时，y＝1－x＝2；
当x＝0时，y＝1－x＝1；
当x＝1时，y＝1－x＝0；
当x＝2时，y＝1－x＝－1.
所以该函数图象为一条直线上孤立的点，如图：
由图象可知，y∈{－1，0，1，2，3}，
所以该函数的值域为{－1，0，1，2，3}．
(2)因为y＝2x2－4x－3＝2(x－1)2－5，
所以当x＝0时，y＝2(x－1)2－5＝－3；
当x＝1时，y＝2(x－1)2－5＝－5；
当x＝3时，y＝2(x－1)2－5＝3；
因为0≤x<3，所以该函数图象为抛物线的
一部分，如图：
由图象可知，y∈[－5，3)，
所以该函数的值域为[－5，3)．
题型 3 求函数的解析式
例3 根据下列条件，求f的解析式．
(1)已知f(＋2)＝2x＋8＋5；
(2)已知f(x)是二次函数，且满足f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x；
(3)已知f(x)＋2f(－x)＝3x2－2x.
解析：(1)令t＝＋2(t≥2)，则＝t－2，x＝(t－2)2，
所以由f(＋2)＝2x＋8＋5，得f(t)＝2(t－2)2＋8(t－2)＋5＝2t2－3，
所以f(x)＝2x2－3(x≥2)．
(2)由题意设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
因为f(0)＝1，所以c＝1，因为f(x＋1)－f(x)＝2x，
所以a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c－(ax2＋bx＋c)＝2x，
所以2ax＋a＋b＝2x，所以，得a＝1，b＝－1，
所以f(x)＝x2－x＋1.
(3)由f(x)＋2f(－x)＝3x2－2x，
得f(－x)＋2f(x)＝3(－x)2－2(－x)＝3x2＋2x，
所以f(－x)＝3x2＋2x－2f(x)，所以f(x)＋2[3x2＋2x－2f(x)]＝3x2－2x，
解得f(x)＝x2＋2x.
题后师说
求函数解析式的方法
跟踪训练3 (1)已知函数f(x＋1)＝2x2＋5x＋2，求函数f(x)的解析式；
(2)已知f(x)为一次函数，若f(f(x))＝4x＋8，求f(x)的解析式；
(3)若对任意实数x，均有f(x)－2f(－x)＝9x＋2，求f(x)的解析式．
解析：(1)函数f(x＋1)＝2x2＋5x＋2＝2(x2＋2x＋1)＋x＝2(x＋1)2＋(x＋1)－1，则f(x)＝2x2＋x－1，
所以函数f(x)的解析式是f(x)＝2x2＋x－1.
(2)因f(x)为一次函数，设f(x)＝ax＋b，a≠0，
则f(f(x))＝af(x)＋b＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋(a＋1)b，而f(f(x))＝4x＋8，
于是得，解得或，
所以f(x)＝－2x－8或f(x)＝2x＋.
(3)因为f(x)－2f(－x)＝9x＋2 ①，
所以f(－x)－2f(x)＝－9x＋2 ②，
由①＋2×②得：－3f(x)＝－9x＋6，
解得：f(x)＝3x－2.
随堂练习
1.已知函数f(x－1)＝x2－1，则f(－1)＝( )
A．－2 B．－1 C．0 D．3
答案：B
解析：函数f(x－1)＝x2－1，令x－1＝－1，解得x＝0，
则f(－1)＝02－1＝－1.故选B.
2．已知函数y＝f(x)的对应关系如下表所示，函数y＝g(x)的图象是如图所示的曲线ABC，则f(g(2)＋1)的值为( )
A.3 B．0 C．1 D．2
x 1 2 3
f(x) 2 3 0
答案：A
解析：根据题意，由函数y＝g(x)的图象，可得g(2)＝1，
则f(g(2)＋1)＝f(2)＝3.故选A.
3．如图是函数f(x)的图象，则下列说法不正确的是( )
A．f(0)＝－2
B. f(x)的定义域为[－3，2]
C．f(x)的值域为[－2，2]
D．若f(x)＝0，则x＝或2
答案：C
解析：由图象知f(0)＝－2，故A正确；
函数的定义域为[－3，2]，故B正确；
函数的最小值为－3，最大值为2，即函数的值域为[－3，2]，故C错误；
若f(x)＝0，则x＝或2，故D正确．故选C.
4．已知f(x)是一次函数，且其图象过点A(－2，0)、B(1，5)，则f(x)＝____________．
x＋
解析：设f(x)＝kx＋b(k≠0)，则，
解得k＝，b＝，因此，f(x)＝x＋.
课堂小结
1.会用函数的三种表示方法表示函数．
2．作函数的图象以及根据图象求函数的值域．
3．掌握求函数解析式的四种方法．(共34张PPT)
第2课时 分段函数
预学案
共学案
预学案
分段函数
1．分段函数的定义
在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．
2．分段函数的定义域、值域
分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的________；各段函数的定义域的交集是________．
3．分段函数的图象
分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成．在同一直角坐标系中，根据每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意每段图象的端点是空心点还是实心点，将每段图象组合到一起就得到整个分段函数的图象．
并集
空集
微点拨
(1)分段函数是一个函数，而不是几个函数．
(2)求分段函数的函数值的关键是分段归类，即自变量的取值属于哪个区间，就只能用哪个区间上的解析式来进行计算．
(3)写分段函数的定义域时，区间端点应不重不漏．分段函数的定义域是各个自变量取值区间的并集．
(4)分段函数值域的求法是分别求出各段上的因变量的取值集合取并集；分段函数的最大(小)值的求法是先求出每段函数的最大(小)值，然后比较各段的最大(小)值，其中最大(小)的为分段函数的最大(小)值．
【即时练习】
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)分段函数由几个函数构成．( )
(2)分段函数有多个定义域．( )
(3)函数f(x)＝是分段函数．( )
×
×
×
2．已知f(x)＝，则f(－3)＝( )
A．－3 B．3 C．－9 D．9
答案：B
解析：由f(x)＝可得f(－3)＝－(－3)＝3.
故选B.
共学案
【学习目标】
(1)通过实例了解简单的分段函数．
(2)掌握分段函数的应用．
题型 1 分段函数求值
【问题探究】 为了保护水资源，提倡节约用水，我市对居民用水实行“阶梯水价”，计算方法如下表：
假如你家本月用了15 m3水，请你算一算你家本月交了多少水费？
每户每月用水量 水价
不超过12 m3的部分 3元/m3
超过12 m3的部分但不超过18 m3的部分 6元/m3
超过18 m3的部分 9元/m3
提示：3×12＋3×6＝54(元)．
例1 已知函数f(x)＝
(1)求f(f(－2))的值；
(2)若f(a)＝，求a.
解析：(1)∵－2<－1，∴f(－2)＝2×(－2)＋3＝－1，∴f(f(－2))＝f(－1)＝2.
(2)当a>1时，f(a)＝1＋＝，∴a＝2>1；
当－1≤a≤1时，f(a)＝a2＋1＝，∴a＝±∈[－1，1]；
当a<－1时，f(a)＝2a＋3＝，∴a＝－>－1(舍去)．
综上，a＝2或a＝±.
一题多变 将本例中函数f(x)的解析式改为已知f(x)＝，求f(10)的值．
解析：由题知，f(10)＝f(10－3)＝f(7)，f(7)＝f(7－3)＝f(4)，f(4)＝f(4－3)＝f(1)，f(1)＝f(1－3)＝f(－2)，f(－2)＝3×(－2)2－5＝7，∴f(10)＝7.
题后师说
(1)分段函数求值的步骤
注意：若题目是含有多层“f”的问题，要按照“由里到外”的顺序，层层处理．
(2)已知函数值求字母取值的步骤
跟踪训练1 (1)已知函数f(x)＝，则f(－2)＝( )
A．6 B．3 C．2 D．－1
答案：B
解析：由题意，
在f(x)＝中，
f(－2)＝|－2|＋1＝3.故选B.
(2)已知函数f(x)＝，若f(a)＝10，则a＝________．
答案：－3
解析：当a≤0时，由f(a)＝a2＋1＝10可得a＝－3；
当a>0时，由f(a)＝－2a<0，此时f(a)＝10无解．
综上所述，a＝－3.
题型 2 分段函数的图象及应用
例2 已知函数f(x)＝－x2＋2，g(x)＝x，令φ(x)＝min{f(x)，g(x)}(即f(x)和g(x)中的较小者)．
(1)分别用图象和解析式表示φ(x)；
(2)求函数φ(x)的定义域，值域．
解析：(1)在同一个坐标系中画出函数f(x)，g(x)的图象如图①.
由图①中函数取值的情况，结合函数φ(x)的定义，可得函数φ(x)的图象如图②.
令－x2＋2＝x，得x＝－2或x＝1.
结合图②，得出φ(x)的解析式为
φ(x)＝
(2)由图②知，φ(x)的定义域为R，
φ(1)＝1，
∴φ(x)的值域为(－∞，1].
学霸笔记：分段函数图象的画法
(1)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．
(2)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意衔接点处点的虚实，保证不重不漏．
跟踪训练2 (1)函数f(x)＝x＋的图象是( )
答案：B
解析：依题意，原函数化为：f(x)＝ ，其定义域为{x∈R|x≠0}，
显然当x>0时，图象是经过点(0，1)的直线y＝x＋1在y轴右侧部分，
当x<0时，图象是是经过点(0，－1)的直线y＝x－1在y轴左侧部分，
根据一次函数图象知，符合条件的只有选项B.故选B.
(2)已知函数f(x)的图象如图所示，在区间[0，4]上是抛物线的一段，求f(x)的解析式．
解析：由图可知，当x<0时，f(x)＝3，
当0≤x≤4时，设f(x)＝a(x－2)2－1(a≠0)，
把点(1，0)代入得a－1＝0，解得a＝1，
所以f(x)＝(x－2)2－1，
当x>4时，设f(x)＝kx＋b(k≠0)，
把(4，3)，(5，0)代入得，
，解得，
所以f(x)＝－3x＋15，
所以f(x)＝.
题型 3 分段函数的实际应用
例3 “活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，把每尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)表示为养殖密度x(单位：尾/立方米)的函数．当0(1)当0(2)当x为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)f(x)＝x·v(x)可以达到最大？并求出最大值．
解析：(1)依题意，当0当4则，解得，
所以v(x)＝.
(2)当0当4当x＝－＝10时，f(x)取得最大值f(10)＝12.5.
因为12.5>8，所以当x＝10时，鱼的年生长量f(x)可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米．
学霸笔记：
分段函数的实际应用
(1)当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画．
(2)分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点，即明确自变量的取值区间，对每一个区间进行分类讨论，从而写出相应的函数解析式．
跟踪训练3 某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：①5公里以内(含5公里)，票价2元；②5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里的按5公里计算)．如果某条线路的总里程为20公里，
(1)请根据题意，写出票价与里程之间的函数关系式；
(2)画出该函数的图象．
解析：(1)依题意，令x为里程数(单位：公里)，
f(x)为行驶x公里的票价(单位：元)，
当0当10所以票价与里程之间的函数关系式为f(x)＝．
(2)由(1)得函数f(x)的图象，如图：
随堂练习
1.函数y＝|x－1|＋1可表示为( )
A．y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝
答案：D
解析：当x<1时，y＝1－x＋1＝2－x，当x≥1时，y＝x－1＋1＝x，即y＝，A，B，C都不正确，D正确．故选D.
2．函数f(x)＝的图象是( )
答案：C
解析：∵f(x)＝＝，∴C选项图象满足．故选C.
3．函数f(x)＝，则f(f(3))＝( )
A．1 B．3 C．－1 D．－3
答案：D
解析：因为f(x)＝，则f(3)＝－＝－1，
故f(f(3))＝f(－1)＝－1－2＝－3.故选D.
4．已知函数f(x)＝，若f(m)＝4，则m＝________．
2
解析：根据题意，函数f(x)＝，若f(m)＝4，
则有 或，
解可得：m＝2.
课堂小结
1.会用解析法和图象法表示分段函数．
2．解决分段函数的求值问题．
3．能用分段函数解决生活中的问题．(共30张PPT)
第2课时 函数的最大(小)值
预学案
共学案
预学案
函数的最大值与最小值
最大值 最小值
条件 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： x∈I，都有 f(x)____M f(x)____M
x0∈I，使得________ 结论 M是函数y＝f(x)的最大值 M是函数y＝f(x)的最小值
几何意义 f(x)图象上最高点的__________ f(x)图象上最低点的__________
≤
≥
f(x0)＝M
纵坐标
纵坐标
微点拨
(1)最大(小)值必须是一个函数值，是值域中的一个元素，如函数y＝x2(x∈R)的最小值是0，有f(0)＝0.
(2)最大(小)值定义中的“任意”是说对于定义域内的每一个值都必须满足不等式，即对于定义域内的全部元素，都有f(x)≤M(f(x)≥M)成立，也就是说，函数y＝f(x)的图象不能位于直线y＝M的上(下)方．
(3)最大(小)值定义中的“存在”是说定义域中至少有一个实数满足等号成立，也就是说y＝f(x)的图象与直线y＝M至少有一个交点．
【即时练习】
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)任何函数都有最大(小)值．( )
(2)函数f(x)取最大值时，对应的x可能有无限多个．( )
(3)如果f(x)的最大值、最小值分别为M，m，则f(x)的值域为[m，M].( )
×
√
×
2.函数f(x)在[－2，＋∞)上的图象如图所示，则此函数的最大值和最小值分别为( )
A．3，0 B．3，1
C．3，无最小值 D．3，2
答案：C
解析：由图可知，f(x)在[－2，＋∞)上的最大值为3，最小值取不到．故选C.
3．已知函数y＝，x∈[1，2]，则此函数的最大值是________，最小值是________．
2
1
解析：因为函数y＝在区间[1，2]上为减函数，所以当x＝1时，函数y有最大值2；当x＝2时，函数y有最小值1.
共学案
【学习目标】
(1)理解函数的最大值和最小值的概念及其几何意义．
(2)能借助函数的图象和单调性，求一些简单函数的最值．
题型 1 利用图象求函数的最值
【问题探究1】 (1)观察下列两个函数的图象，回答有关问题：
①比较两个函数的图象，它们是否都有最高点？
②通过观察图1你能发现什么？
提示：(1)①题图1中函数f(x)＝－x2的图象上有一个最高点；题图2中函数g(x)＝－x的图象上没有最高点．
②对任意x∈R，都有f(x)≤f(0)．
(2)观察下面两个函数的图象，回答下列问题．
①比较两个函数的图象，它们是否都有最低点？
②通过观察图3你能发现什么？
提示：①题图3中函数f(x)＝x2的图象有一个最低点．
题图4中函数y＝x的图象没有最低点．
②对任意x∈R，都有f(x)≥f(0)．
例1 已知函数f(x)＝求函数f(x)的最大值、最小值．
解析：作出f(x)的图象如图：
由图象可知，当x＝2时，f(x)取最大值2；当x＝时，f(x)取最小值－.
所以f(x)的最大值为2，最小值为－.
题后师说
图象法求最值的一般步骤
跟踪训练1 若x∈R，f(x)是y＝2－x2，y＝x这两个函数中的较小者，求f(x)的最大值.
解析：在同一坐标系中，作出函数的图象(如图中的实线部分)，则f(x)max＝f(1)＝1.
题型 2 利用函数的单调性求函数的最值
【问题探究2】 (1)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值分别是多少？
(2)若f(x)＝－x2的定义域为[－1，2]，则f(x)的最大值和最小值一定在端点上取到吗？
提示：(1)最大值为f(b)，最小值为f(a)．
(2)不一定，需要考虑函数的单调性．
例2 已知f(x)＝.
(1)用定义证明f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增；
(2)求该函数在区间[2，4]上的最大值．
解析：(1)证明：任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1则f(x1)－f(x2)＝＝.
∵x10，x2＋1>0，
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增．
(2)由(1)知，f(x)在区间[2，4]上单调递增，
∴f(x)max＝f(4)＝＝.
学霸笔记
运用函数单调性求最值是求函数最值的常用方法，特别是当函数图象不易作出时，单调性几乎成为首选方法．首先判断函数的单调性，再利用单调性求出最值．
注意：(1)求最值勿忘求定义域．
(2)闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误，求解时一定注意．
跟踪训练2 已知函数f(x)＝x＋，其中x∈[1，＋∞)．
(1)用定义证明f(x)的单调性；
(2)求f(x)的最小值．
解析：(1)证明：设任意x1，x2∈[1，＋∞)，
且x1>x2≥1，
则有x1－x2>0，x1x2>1，
又因为f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－＝(x1－x2)(1－)>0，∴f(x1)＞f(x2)，
∴函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增．
(2)由(1)知函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，
所以当x＝1时，函数f(x)取最小值，最小值为f(1)＝.
题型 3 函数最值的实际应用
例3 某家庭进行网上理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的年收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的年收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的年收益分别为0.125万元和0.5万元(如图)．
(1)分别写出两种产品的年收益与投资的函数关系式；
(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大年收益，其最大年收益是多少万元？
解析：(1)由题意设投入x万元，稳健型产品的年收益f(x)＝mx，风险型产品的年收益g(x)＝n，
由图知，函数f(x)和g(x)的图象分别过点(1，0.125)和(1，0.5)，
代入解析式可得m＝0.125，n＝0.5，
所以f(x)＝0.125x，g(x)＝0.5.
(2)设用于投资稳健型产品的资金为x，用于投资风险型产品的资金为20－x，年收益为y，
则y＝0.125x＋0.5＝(x＋4)，x∈[0，20]，
令t＝，则y＝－(t2－4t－20)＝－[(t－2)2－24]，t∈[0，2]，
当t＝2，即x＝16时，ymax＝3，
所以当投资稳健型产品的资金为16万元，风险型产品的资金为4万元时年收益最大，最大值为3万元．
学霸笔记：
在实际问题中利用二次函数求最值的解题步骤
(1)审清题意；
(2)建立数学模型，将实际问题转化为数学问题；
(3)总结结论，回归题意．
跟踪训练3 某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场试销中发现，该商品销售单价x(不低于进价，单位：元)与日销售量y(单位：件)之间有如下关系：
(1)确定x与y的一个一次函数关系式y＝f(x)(注明函数定义域)．
(2)若日销售利润为P元，根据(1)中的关系式写出P关于x的函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大的日销售利润？
x 45 50
y 27 12
解析：(1)因为f(x)是一次函数，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，由表格得方程组 ，所以y＝f(x)＝－3x＋162.
又y≥0，所以30≤x≤54，故所求函数关系式为f(x)＝－3x＋162，x∈[30，54].
(2)由题意得，P＝(x－30)y＝(x－30)(162－3x)＝－3x2＋252x－4 860
＝－3(x－42)2＋432，x∈[30，54].
当x＝42时，最大的日销售利润P＝432，即当销售单价为42元时，获得最大的日销售利润．
随堂练习
1.函数f(x)的图象如图所示，则最大、最小值分别为( )
A.f()，f(－)
B．f(0)，f()
C．f(0)，f(－)
D．f(0)，f(3)
答案：C
解析：根据图象的最高点与最低点，可得函数的最大、最小值分别为f(0)，f(－)．故选C.
2．函数y＝－在区间[1，2]上的最大值为( )
A．－ B．－
C．－1 D．不存在
答案：A
解析：因为函数y＝－在(0，＋∞)上单调递增，y＝－是由y＝－向左平移一个单位后得到的函数，
所以y＝－在(－1，＋∞)上单调递增，则y＝－在区间[1，2]上单调递增，
所以最大值为ymax＝－＝－.故选A.
3．若函数f(x)＝x2－2x，x∈[－1，4]，则f(x)的值域为( )
A．[－1，3] B．[－1，16]
C．[－1，8] D．[3，8]
答案：C
解析：∵f(x)＝(x－1)2－1，所以，函数y＝f(x)在区间[－1，1)上单调递减，在区间(1，4]上单调递增，∴f(x)min＝f(1)＝－1，
∵f(－1)＝3，f(4)＝8，∴f(x)max＝f(4)＝8.
因此，函数y＝f(x)在区间[－1，4]上的值域为[－1，8].故选C.
4．用长度为24 m的材料围成一个中间加两道隔墙的矩形场地，要使矩形场地的面积最大，则隔墙的长为________ m．
3
解析：设隔墙的长为x m，场地面积为S m2，则S＝x·＝12x－2x2＝－2(x－3)2＋18，
所以当x＝3时，S有最大值，为18 m2，故隔墙的长为3 m时，矩形场地的面积最大．
课堂小结
1.函数最大值、最小值的定义．
2．求函数最值的方法．(共36张PPT)
第1课时 奇偶性的概念
预学案
共学案
预学案
函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有_________，那么函数f(x)是偶函数 关于____对称
奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有___________，那么函数f(x)是奇函数 关于____对称
f(－x)＝f(x)
y轴
f(－x)＝－f(x)
原点
微点拨
(1)函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质，只有对其定义域内的每一个x，都有f(－x)＝－f(x)(或f(－x)＝f(x))，才能说f(x)是奇(偶)函数．
(2)函数y＝f(x)是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件：定义域关于原点对称．若所给函数的定义域不关于原点对称，则这个函数是非奇非偶函数．例如，函数y＝x2在区间(－∞，＋∞)上是偶函数，但在区间[－1，2]上无奇偶性可言．
(3)若f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数，这样的函数有且只有一类，即f(x)＝0，x∈D，D是关于原点对称的实数集．若f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，则f(x)是非奇非偶函数．
【即时练习】
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)f(x)是定义在R上的函数，若f(－1)＝f(1)，则f(x)一定是偶函数．( )
(2)对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数.( )
(3)若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数就是偶函数．( )
×
×
×
2．下列函数既是偶函数，又在(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．y＝x B．y＝－x2
C．y＝|x| D．y＝
答案：C
解析：对于A，y＝x为奇函数，所以A不符合题意；
对于B，y＝－x2为偶函数，在(0，＋∞)上单调递减，所以B不符合题意；
对于C，y＝|x|既是偶函数，又在(0，＋∞)上单调递增，所以C符合题意；
对于D，y＝为奇函数，所以D不符合题意．故选C.
3．以下函数图象中为奇函数的一项是( )
答案：A
解析：因为奇函数的图象关于原点对称，所以只有选项A符合，故选A.
共学案
【学习目标】
(1)理解奇函数、偶函数的定义．
(2)了解奇函数、偶函数的图象特征．
(3)能用定义判断函数的奇偶性．
【问题探究1】 观察下列两个函数的图象，据此回答下列问题：
(1)这两个函数的图象有何共同特征？
(2)对于上述两个函数， f(1) 与 f(－1) , f(2) 与 f(－2)，f(a) 与 f(－a) 有什么关系？由此可得到什么一般性的结论？
提示：(1)都关于y轴对称．
(2)f(1)＝f(－1)，f(2)＝f(－2)，f(a)＝f(－a)．一般地，若函数y＝f(x)的图象关于y轴对称，当自变量任取定义域中的一对相反数时，对应的函数值相等．即f(－x)＝f(x)，满足这种性质的函数叫作偶函数．
【问题探究2】 观察下列两个函数的图象，据此回答下列问题：
(1)这两个函数的图象有何共同特征？
(2)对于上述两个函数， f(1) 与 f(－1) , f(2) 与 f(－2)，f(a) 与 f(－a) 有什么关系？由此可得到什么一般性的结论？
提示：(1)都关于原点对称．
(2)f(1)＝－f(－1)，f(2)＝－f(－2)，f(a)＝－f(－a)．一般地，若函数y＝f(x)的图象关于原点对称，当自变量任取定义域中的一对相反数时，对应的函数值相反，f(－x)＝－f(x)，满足这种性质的函数叫做奇函数．
题型 1 函数奇偶性的判断
例1 (1)f(x)＝x3＋x；
(2)f(x)＝|x＋2|＋|x－2|；
(3)f(x)＝x2＋；
(4)f(x)＝.
解析：(1)函数定义域为R，且f (－x)＝(－x)3＋(－x)＝－x3－x＝－(x3＋x)＝－f (x)，所以该函数是奇函数．
(2)函数定义域为R，且f (－x)＝|－x＋2|＋|－x－2|＝|x－2|＋|x＋2|＝f (x)，所以该函数是偶函数．
(3)函数定义域是{x|x≥0}，不关于原点对称，因此它是非奇非偶函数．
(4)要使函数有意义，需满足解得x＝±2，即函数的定义域是{2，－2}，这时f (x)＝0.
所以f (－x)＝f (x)，f (－x)＝－f (x)，因此该函数既是奇函数又是偶函数．
题后师说
判断函数奇偶性的3种方法
跟踪训练1 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝.
解析：(1)函数定义域为R，且f (－x)＝＝＝－f (x)，故该函数是奇函数．
(2)函数定义域为{x|x≠±1}，关于原点对称，且f (－x)＝＝＝f (x)，故该函数是偶函数．
题型 2 奇、偶函数的图象及应用
例2 已知函数f(x)为定义在[－3，3]上的偶函数，其部分图象如图所示．
(1)请作出函数f(x)在[0，3]上的图象；
(2)根据函数图象写出函数f(x)的单调区间及最值．
解析：(1)画图如图：
(2)根据函数图象，f(x)的单调递增区间为[－3，－2]，[0，2]，
f(x)的单调递减区间为(－2，0)，(2，3]，
f(x)的最大值为2，f(x)的最小值为－2.
学霸笔记：
利用奇、偶函数的图象求解问题
(1)依据：奇函数 图象关于原点对称，偶函数 图象关于y轴对称．
(2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求值、比较大小及解不等式问题．
跟踪训练2 已知奇函数f(x)定义域为[－5，5]且在[0，5]上的图象如图所示，求使f(x)<0的x的取值范围．
解析：由题可知：函数是[－5，5]上的奇函数，
则函数在[－5，5]上图象如下：
所以f(x)<0的解集为(－3，0)
题型 3 利用函数的奇偶性求值
例3 (1)已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，若f(－3)＝10，则f(3)＝( )
A．26 B．18
C．10 D．－26
答案：D
解析：方法一 由f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，得f(x)＋8＝x5＋ax3＋bx.
令G(x)＝x5＋ax3＋bx＝f(x)＋8，∵G(－x)＝＋b(－x)＝－(x5＋ax3＋bx)＝－G(x)，
∴G(x)是奇函数，∴G(－3)＝－G(3)，
即f(－3)＋8＝－f(3)－8.又f(－3)＝10，
∴f(3)＝－f(－3)－16＝－10－16＝－26.
方法二 由已知条件，
得
①＋②得f(3)＋f(－3)＝－16，又f(－3)＝10，
∴f(3)＝－26.故选D.
(2)设函数f(x)＝为奇函数，则a＝________．
－1
解析：方法一(定义法) 由已知f(－x)＝－f(x)，
即＝－.
显然x≠0得，x2－(a＋1)x＋a＝x2＋(a＋1)x＋a，
故a＋1＝0，得a＝－1.(经检验满足题意)
方法二(特值法) 由f(x)为奇函数得
f(－1)＝－f(1)，即＝－，
整理得a＝－1(经检验满足题意)．
一题多变 (1)将本例(2)中的函数改为f(x)＝是奇函数，则a＝________．
0
解析：∵f(x)＝是奇函数，
∴f(0)＝＝0，
∴a＝0，
检验，当a＝0时，f(－x)＝＝－f(x)，
f(x)＝是奇函数．
(2)将本例(2)中的函数改为函数f(x)＝x2－(2－m)x＋3为偶函数，则m的值是________．
2
解析：方法一 f(－x)＝(－x)2－(2－m)(－x)＋3＝x2＋(2－m)x＋3，由函数y＝f(x)为偶函数，知f(－x)＝f(x)，即x2＋(2－m)x＋3＝x2－(2－m)x＋3，∴2－m＝－(2－m)，∴m＝2.
方法二 由f(－1)＝f(1)得4＋(2－m)＝4－(2－m)，解得m＝2.
题后师说
1．利用函数奇偶性求值的方法
(1)未知的值不在已知的范围内，可利用函数的奇偶性将未知的值或区间转化为已知的值或区间；
(2)有些函数虽然是非奇非偶函数，但观察表达式可以发现其间存在奇偶性的表达式，所以可用奇函数或偶函数表达出此函数，从而间接地求值．
2．已知函数的奇偶性求参数的2种方法
跟踪训练3 (1)已知函数f(x)为R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝x＋2，则f(0)＋f(3)＝( )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
答案：C
解析：因为函数f(x)为R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝x＋2，
所以f(3)＝－f(－3)＝－(－3＋2)＝1.
而f(0)＝0，∴f(0)＋f(3)＝1.故选C.
(2)已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，则a＋b＝( )
A．1 B．
C．－1 D．3
答案：B
解析：因为f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，则a－1＋2a＝0，解得a＝，
且有－＝0，可得b＝0，因此，a＋b＝.故选B.
随堂练习
1.下列图象表示的函数中具有奇偶性的是( )
答案：B
解析：选项A中的图象关于原点或y轴均不对称，故排除；选项C、D中的图象所示的函数的定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，故排除；选项B中的图象关于y轴对称，其表示的函数是偶函数．故选B.
2．下列函数中为偶函数的是( )
A．y＝ B．y＝(x＋2)2
C．y＝2x D．y＝|x|
答案：D
解析：A：f(－x)＝＝－＝－f(x)且定义域为{x|x≠0}，为奇函数；
B：f(－x)＝(－x＋2)2≠±f(x)，为非奇非偶函数；
C：f(－x)＝－2x＝－f(x)且定义域为R，为奇函数；
D：f(－x)＝|－x|＝|x|＝f(x)且定义域为R，为偶函数．
故选D.
3．如图，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，则2f(－1)＋3f(－2)的值为( )
A．－7 B．7
C．5 D．－5
答案：A
解析：依题意，f(x)是奇函数，
结合图象可知2f(－1)＋3f(－2)＝－2f(1)－3f(2)＝－2×1－3×＝－7.故选A.
4．若函数f(x)＝x3－bx2＋ax在[3a，2＋a]上为奇函数，则a＋b＝________．
－
解析：因为函数f(x)＝x3－bx2＋ax在[3a，2＋a]上为奇函数，
所以3a＋2＋a＝0，得a＝－，
又f(－x)＝－f(x)，即(－x)3－b(－x)2－(－x)＝＋bx2＋x，即2bx2＝0恒成立，
所以b＝0，所以a＋b＝－.
课堂小结
1.函数的奇偶性
(1)定义域特点：关于原点对称；
(2)图象特点：偶函数关于y轴对称；奇函数关于原点对称；
(3)解析式特点：偶函数满足f(－x)＝f(x)或f(x)－f(－x)＝0，奇函数满足f(－x)＝－f(x)或f(x)＋f(－x)＝0.
2．判断函数奇偶性的方法
(1)定义法；(2)图象法．
3．利用函数奇偶性求值的方法
(1)定义法；(2)特值法．(共26张PPT)
第2课时 奇偶性的应用
预学案
共学案
预学案
函数奇偶性与单调性的关系
(1)若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a＜b)上单调递增，则f(x)在[－b，－a]上________，即在对称区间上单调性________．
(2)若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a＜b)上单调递增，则f(x)在[－b，－a]上________，即在对称区间上单调性________．
(3)若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a(4)若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a以上a，b符号相同．
单调递增
一致(相同)
单调递减
相反
－M
N
【即时练习】
1．如果奇函数f(x)在区间[3，7]上单调递增，且f(4)＝5，那么函数f(x)在区间[－7，－3]上是( )
A．单调递增，且f(－4)＝5
B．单调递增，且f(－4)＝－5
C．单调递减，且f(－4)＝－5
D．单调递减，且f(－4)＝5
答案：B
解析：奇函数图象关于原点中心对称，在对称的区间上具有相同的单调性，
故f(x)在区间[－7，－3]上单调递增，且f(－4)＝－f(4)＝－5.故选B.
2．如果奇函数f(x)在区间[2，6]上单调递增且最大值为8，那么f(x)在区间[－6，－2]上是( )
A.单调递增且最大值是－8
B．单调递增且最小值是－8
C．单调递减且最大值是－8
D．单调递减且最小值是－8
答案：B
解析：f(x)在区间[2，6]上单调递增且最大值为8，且f(x)是奇函数，
则f(x)在[－6，－2]是增函数，且最小值是－8，故选B.
共学案
【学习目标】
(1)掌握利用奇偶性求函数解析式的方法．
(2)理解奇偶性对单调性的影响并能用以比较大小、求最值和解不等式．
题型 1 利用奇偶性求函数的解析式
例1 (1)函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－2x2－1.
当x<0时，求f(x)的解析式．
(2)设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋2x，求函数f(x)，g(x)的解析式．
解析：(1)当x<0时，－x>0，
由于f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(－x)＝－2(－x)2－1＝－2x2－1＝－f(x)，
即f(x)＝2x2＋1(x＜0)．
(2)因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
所以f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，
由f(x)＋g(x)＝2x＋x2. ①
用－x代替x得f(－x)＋g(－x)＝－2x＋(－x)2，
所以f(x)－g(x)＝－2x＋x2， ②
(①＋②)÷2，得f(x)＝x2.
(①－②)÷2，得g(x)＝2x.
一题多变 将本例(1)中条件改为“已知y＝f(x)是定义在R上的偶函数，当x≤ 0时，f(x)＝x2＋2x ”
求f(x)的解析式．
解析：当x>0，则－x<0，所以f(－x)＝x2－2x，
因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(x)＝f(－x)，
所以x>0时，f(x)＝x2－2x，
所以f(x)＝
题后师说
1．利用函数奇偶性求函数解析式的一般步骤
2．已知函数f(x)，g(x)组合运算与奇偶性，则把x换为－x，构造方程组求解．
跟踪训练1 已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－.
求f(x)的解析式．
解析：因为y＝f(x)是定义在R上的奇函数，
当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－，
所以f(x)＝，即f(x)＝－.
题型 2 利用函数奇偶性与单调性比较大小
【问题探究】 如果奇函数在(－2，－1)上单调递减，那么它在(1，2)上的单调性如何？如果偶函数在(－2，－1)上单调递减，那么它在(1，2)上的单调性如何？
提示：奇函数在(1，2)上单调递减，偶函数在(1，2)上单调递增．
例2 已知奇函数f(x)的定义域为(－∞，0)且对任意两个不相等的正实数x1，x2，都有x1f(x1)＋x2f(x2)>x1f(x2)＋x2f(x1)，在下列不等式中，一定成立的是( )
A．f(－1)>f(－2) B．f(－1)C．f(－2)>f(1) D．f(－2)答案：A
解析：对任意两个不相等的正实数x1，x2，x1f(x1)＋x2f(x2)>x1f(x2)＋x2f(x1)可得(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，即f(x)在(0，＋∞)单调递增，
所以f(1)因为f(x)是定义域为(－∞，0)的奇函数，
且f(1)＝－f(－1)，f(2)＝－f(－2)，
所以－f(－1)<－f(－2)即f(－1)>f(－2)，故选A.
题后师说
利用奇偶性与单调性比较大小的2种策略
跟踪训练2 设函数y＝f(x) 是R上的偶函数，在[0，＋∞)上是减函数，则f(－)，f(π)，f(－3) 的大小关系为( )
A．f(π)>f(－3)>f(－)
B．f(－3)>f(－)>f(π)
C．f(－)>f(－3)>f(π)
D．f(π)>f(－)>f(－3)
答案：C
解析：函数y＝f(x)是R上的偶函数，在[0，＋∞)上是减函数，
可得f(－x)＝f(x) ，所以f(－)＝f()，f(－3)＝f(3) ，
由<3<π ，可得f()>f(3)>f(π)，即有f(－)>f(－3)>f(π)，故选C.
题型 3 利用函数的奇偶性与单调性解不等式
例3 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，若对于任意不等实数x1，x2∈[ 0，＋∞)，不等式<0恒成立，求不等式f(2x)>f(x－1)的解集．
解析：因为对于任意不等实数x1，x2∈[ 0，＋∞)，不等式<0恒成立，
所以f(x)在[ 0，＋∞)上递减，又函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以函数f(x)在R上单调递减，所以2x一题多变 将本例条件“奇函数”改为“偶函数”，其它条件不变，求不等式f(2x)>f(x－1)的解集．
解析：因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(2x)>f(x－1)，
所以f(|2x|)>f(|x－1|)，
又因为对于任意不等实数x1，x2∈[0，＋∞)，不等式<0恒成立，
所以f(x)在[ 0，＋∞)上递减，所以|2x|<|x－1|，
解得－1所以不等式的解集为.
题后师说
利用奇偶性与单调性解不等式的步骤
跟踪训练3 已知函数y＝f(x)在定义域[－1，1]上是奇函数，又是减函数，若f(1－a2)＋f(1－a)<0，则实数a的取值范围是________．
[0，1)
解析：由f(1－a2)＋f(1－a)<0，得f(1－a2)<－f(1－a)．
∵y＝f(x)在[－1，1]上是奇函数，∴－f(1－a)＝f(a－1)，∴f(1－a2)又f(x)在[－1，1]上单调递减，
∴解得
∴0≤a<1.∴a的取值范围是[0，1)．
随堂练习
1.下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( )
A．y＝x B．y＝|x|＋1
C．y＝－x2＋1 D．y＝
答案：B
解析：AD选项为奇函数，故AD错；
B选项为偶函数，当x>0时，y＝x＋1，单调递增，故B正确；
C选项为偶函数，但在(0，＋∞)上单调递减，故C错．故选B.
2．已知偶函数f(x)，当x>0时，f(x)＝x2＋x，则当x<0时，f(x)＝( )
A．－x2＋x B．－x2－x
C．x2＋x D．x2－x
答案：D
解析：当x<0 ，则－x>0 ，f(－x)＝(－x)2＋(－x)＝x2－x，
又f(x)为偶函数，∴当x < 0时，f(x)＝f(－x)＝x2－x.
故选D.
3．若偶函数f(x)在(－∞，－1]上单调递减，则( )
A．f(－2.5)B．f(－1)C．f(3)D．f(3)答案：B
解析：f(x)是偶函数，所以f(－2.5)＝f(2.5)，f(－1)＝f(1)，
f(x)在(－∞，－1]上单调递减，所以f(x)在[1，＋∞)上单调递增，
所以f(1)故选B.
4．已知f(x)是定义在区间[－1，1]上的奇函数且为增函数，则不等式f[0，)
解析：∵f(x)为定义在[－1，1]上的增函数，
∴，解得0≤x<，
∴不等式f课堂小结
1.掌握利用奇偶性求函数解析式的方法．
2．利用奇偶性和单调性比较大小、解不等式．(共31张PPT)
3.3 幂函数
预学案
共学案
预学案
一、幂函数
一般地，函数________叫做幂函数，其中________是自变量，________是常数．
y＝xα
x
α
微点拨
幂函数的特征：
(1)xα的系数是1；
(2)xα的底数x是自变量；
(3)xα的指数α为常数．
只有同时满足这三个条件，才是幂函数．形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6的函数都不是幂函数．
【即时练习】 下列函数是幂函数的是( )
A．y＝－ B．y＝x＋1
C．y＝ D．y＝2x2
答案：C
解析：根据幂函数的定义：形如y＝xα，而y＝＝，符合幂函数的定义，正确．
ABD在形式上都不符合幂函数定义，错误．故选C.
二、幂函数的图象与性质
函数 y＝x y＝x2 y＝x3
定义域 R R R ________ ________
值域 R ________ R ________ ________
奇偶性 奇函数 ________ ______ 非奇非偶函数 ________
单调性 在R上递增 在________上递减，在________上递增 在R上递增 在_______上递增 在(－∞，0)和(0，＋∞)上递减
{x|x≥0}
{x|x≠0}
{y|y≥0}
{y|y≥0}
{y|y≠0}
偶函数
奇函数
奇函数
(－∞，0)
(0，＋∞)
[0，＋∞)
函数 y＝x y＝x2 y＝x3
图象
过定点 ________________________________ ________
(0，0)，(1，1)
(1，1)
微点拨
(1)α＞0时，幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．
(2)α＜0时，幂函数在区间(0，＋∞)上是减函数，在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于＋∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴．
(3)任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点，或不相交，任何幂函数的图象都不过第四象限．
(4)任何两个幂函数的图象最多有三个公共点．除(1，1)，(0，0)，(－1，1)，(－1，－1)外，其他任何一点都不是两个幂函数的公共点．
【即时练习】
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)幂函数的图象都过点(0，0)，(1，1)．( )
(2)幂函数的图象一定不能出现在第四象限，但可能出现在第二象限．( )
(3)若幂函数y＝xα的图象关于原点对称，则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大．( )
×
√
×
2．若幂函数f(x)＝xα的图象经过第三象限，则α的值可以是( )
A．－2 B．2 C． D．
答案：D
解析：当α＝－2时，f(x)＝x－2为偶函数，图象在第一和第二象限，不经过第三象限，A不合题意；
当α＝2时，f(x)＝x2为偶函数，图象过原点分布在第一和第二象限，图象不经过第三象限，B不合题意；
当α＝时，f(x)＝，x∈[0，＋∞)，图象过原点分布在第一象限，不经过第三象限，C不合题意；
当α＝时，f(x)＝，x∈R为奇函数，图象经过原点和第一、三象限，D符合题意，故选D.
共学案
【学习目标】
(1)了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式．
(2)结合幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的图象，掌握它们的性质．
(3)能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小．
题型 1 与幂函数概念有关的问题
【问题探究1】 下面几个实例，观察它们得出的函数解析式，有什么共同特征？
(1)如果张红以1元/kg的价格购买了某种蔬菜w kg，那么她需要支付p＝w元，这里p是w的函数；
(2)如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S＝a2，这里S是a的函数；
(3)如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积V＝b3，这里V是b的函数；
(4)如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长c＝，这里c是S的函数；
(5)如果某人t s内骑车行进了1 km，那么他骑车的平均速度v＝ km/s，即v＝t－1，这里v是t的函数．
提示：这些活动的解析式都具有幂的形式，而且都是以幂的底数为自变量，幂的指数都是常数．
例1 已知函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3，m为何值时，f(x)是幂函数．
解析：因为函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3为幂函数，则m2－m－1＝1，
解得m＝－1或m＝2.
学霸笔记
判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式．
跟踪训练1 若f(x)是幂函数，且f(2)＝，则f＝________．
9
解析：因为f(x)是幂函数，记f(x)＝xα，因为f(2)＝，
所以2α＝，解得α＝－2，故f(x)＝x－2，
所以f()＝()－2＝9.
题型 2 幂函数的图象及应用
【问题探究2】 你能在同一平面直角坐标系内作出y＝x、y＝x2、y＝x3、y＝、y＝x－1的图象吗？
提示：
例2 图中C1、C2、C3为三个幂函数y＝xα在第一象限内的图象，则解析式中指数α的值依次可以是( )
A．、3、－1 B．－1、3、
C．、－1、3 D．－1、、3
答案：D
解析：由幂函数y＝xα在第一象限内的图象，结合幂函数的性质，
可得：图中C1对应的α<0，C2对应的0<α<1，C3对应的α>1，
结合选项知，指数α的值依次可以是－1，，3.故选D.
题后师说
解决幂函数图象问题应把握的2个原则
跟踪训练2 如图是幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象，则( )
A．－1B．n<－1，0C．－11
D．n<－1，m>1
答案：B
解析：在(0，1)内取同一值x0，作直线x＝x0，与各图象有交点，如图所示．根据点低指数大，有0故选B.
题型 3 幂函数的性质及应用
例3 若幂函数f(x)＝(2m2＋m－2)x2m＋1在其定义域上是增函数．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若f(2－a)解析：(1)因为f(x)＝(2m2＋m－2)x2m＋1是幂函数，所以2m2＋m－2＝1，解得m＝－或m＝1，
又f(x)是增函数，2m＋1>0即m>－，∴m＝1，则f(x)＝x3.
(2)因为f(x)为增函数，所以由f(2－a)2或a<－3，
∴a的取值范围是{a|a>2或a<－3}．
学霸笔记：解决幂函数的综合问题，应注意以下两点：
(1)充分利用幂函数的图象、性质，如图象所过定点、单调性、奇偶性等；
(2)注意运用常见的思想方法，如分类讨论、数形结合思想．
跟踪训练3 已知幂函数f(x)＝(m∈R)为奇函数．
(1)求f()的值；
(2)若f(2a＋1)>f(a)，求实数a的取值范围．
解析：(1)由m2－5m＋7＝1，得m＝2或m＝3，
当m＝2时，f(x)＝x－3是奇函数，满足题意，
当m＝3时，f(x)＝x－4是偶函数，不满足题意，
所以f(x)＝x－3，f()＝()－3＝8；
(2)因为f(x)＝x－3的定义域为(－∞，0)单调减区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，
由f(2a＋1)>f(a)，可得2a＋10>a，
解得a<－1或－所以实数a的取值范围为a<－1或－随堂练习
1.若幂函数f(x)的图象过点(4，2)，则f(2)的值为( )
A． B．
C． D．2
答案：C
解析：设f(x)＝xα，因为幂函数f(x)的图象过点(4，2)，所以4α＝2，解得α＝，所以f(x)＝，所以f(2)＝＝.故选C.
2．如图，①②③④对应四个幂函数的图象，其中①对应的幂函数是( )
A．y＝x3 B．y＝x2
C．y＝x D．y＝
答案：D
解析：根据函数图象可得：①对应的幂函数y＝xα在[0，＋∞)上单调递增，且增长速度越来越慢，故α∈(0，1)，故D选项符合要求．故选D.
3．设a＝，b＝ ，c＝，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>b>c B．c>a>b
C．ac>a
答案：B
解析：构造幂函数y＝，x>0，由该函数在定义域内单调递增，知1>a>b；又c＝>1，知aa>b.故选B.
4．若幂函数f(x)＝(m2－m－5)xm在(0，＋∞)单调递减，则m＝________．
－2
解析：根据幂函数的定义和性质，得
，解得m＝－2.
经检验m＝－2，符合题意．
所以m＝－2.
课堂小结
1.根据幂函数的概念求函数的解析式．
2．幂函数的图象的应用．
3．幂函数的性质及简单应用．(共31张PPT)
3.4 函数的应用(一)
预学案
共学案
预学案
常见的函数模型
常用函数模型 (1)一次函数模型 y＝_______(k，b为常数，k≠0)
(2)二次函数模型 y＝___________(a，b，c为常数，a≠0)
(3)幂函数模型 y＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0)
(4)分段函数模型
kx＋b
ax2＋bx＋c
微点拨
(1)在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位．可利用配方法、换元法、单调性法等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题．
(2)建立分段函数模型的关键是确定分段的各边界点，即明确自变量的取值区间，对每一区间进行分类讨论，从而写出函数的解析式．
【即时练习】
1.给如图的容器甲注水，下面图象中哪一个图象可以大致刻画容器中水的高度与时间的函数关系( )
答案：B
解析：容器下端较窄，上端较宽，当均匀的注入水时，刚开始的一段时间高度变化较快，随着时间的推移，高度的变化速度开始减慢，即高度变化不太明显，四个图象中只有B项符合特点．故选B.
2．某机器总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝x2－75x，若每台机器售价为25万元，则该厂获利润最大时应生产的机器台数为( )
A．30 B．40 C．50 D．60
答案：C
解析：设安排生产x台，则获得利润f(x)＝25x－y＝－x2＋100x＝－(x－50)2＋2 500.
故当x＝50台时，获利润最大．故选C.
3.一辆汽车在行驶过程中，路程y(千米)与时间x(小时)之间的函数关系如图所示，当0≤x≤1时，y关于x的函数解析式为y＝60x，当1≤x≤2时，y关于x的函数解析式为___________．
y＝100x－40
解析：由图可设当1≤x≤2时，y关于x的函数解析式为y＝mx＋n(m≠0)，
∵当x＝1时，y＝60，当x＝2时，y＝160，
代入解析式可得解得
∴当1≤x≤2时，y＝100x－40.
共学案
【学习目标】
(1)初步体会一次函数、二次函数、幂函数、分段函数模型的广泛应用．
(2)能将实际问题转化为熟悉的模型，建立合适的数学模型解决简单的实际问题．
题型 1 一次函数模型的应用
例1 为了发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费用y(元)的关系如图所示．
(1)分别求出通话费用y1，y2与通话时间x之间的函数解析式；
(2)请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜．
解析：(1)由图象可设y1＝k1x＋30(k1≠0)，y2＝k2x(k2≠0)，把点B(30，35)，C(30，15)分别代入y1＝k1x＋30，y2＝k2x，得k1＝，k2＝.
∴y1＝x＋30(x≥0)，y2＝x(x≥0)．
(2)令y1＝y2，即x＋30＝x，则x＝90.
当x＝90时，y1＝y2，两种卡收费一致；
当x＜90时，y1＞y2，使用便民卡便宜；
当x＞90时，y1＜y2，使用如意卡便宜．
学霸笔记：
一次函数模型的解题策略
(1)一次函数模型问题，常设函数模型为y＝kx＋b(k≠0)，然后用待定系数法求出k，b的值．
(2)一次函数模型的突出特点是其图象是一条直线．
(3)用一次函数解决实际问题时，对于给出图象的应用题可先结合图象利用待定系数法求出解析式．主要步骤是：设元、列式、求解．对于一次函数y＝ax＋b(a≠0)，当a＞0时为增函数，当a＜0时为减函数．另外，要结合题目理解(0，b)和(－，0)这些特殊点的意义．
跟踪训练1 某列火车从北京西站开往石家庄，全程277 km.火车出发10 min开出13 km，之后以120 km/h的速度匀速行驶．试写出火车行驶的总路程s(km)与匀速行驶的时间t(h)之间的函数关系式，并求火车离开北京2 h时火车行驶的路程．
解析：因为火车匀速行驶的总时间为(277－13)÷120＝(h)，所以0≤t≤.
因为火车匀速行驶t h所行驶的路程为120t km，所以火车行驶的总路程s与匀速行驶的时间t之间的函数关系式为s＝13＋120t(0≤t≤)．火车离开北京2 h时火车匀速行驶的时间为2－＝(h)，
此时火车行驶的路程s＝13＋120×＝233 (km)．
题型 2 二次函数模型的应用
例2 某超市经销一种销售成本为每件40元的商品．据市场调查分析，如果按每件50元销售，一周能售出500件；若销售单价每涨1元，每周销量就减少10件．设销售单价为x元(x≥50)，一周的销售量为y.
(1)写出y与x的函数关系式；
(2)设一周的销售利润为S，写出S与x的函数关系式，并确定当单价在什么范围内变化时，利润随着单价的增大而增大？
(3)在超市对该种商品投入不超过10 000元的情况下，使得一周销售利润达到8 000元，销售单价应定为多少？
解析：(1)根据题意，按每件50元销售，一周售出500件，若销售单价每涨1元，每周销售量就减少10件，可得y与x的函数关系式为y＝500－10(x－50)＝1 000－10x，x∈[50，100].
(2)由题意，可得S＝(x－40)y＝(x－40)(1 000－10x)
＝－10x2＋1 400x－40 000＝－10(x－70)2＋9 000，当x∈[50，70]时，利润随着单价的增大而增大．
(3)由题意，令S＝8 000，可得－10x2＋1 400x－40 000＝8 000，
解得x＝60或x＝80.
当x＝60时，成本＝40×[500－10(60－50)]＝16 000＞10 000不符合要求，舍去；当x＝80时，成本＝40×[500－10(80－50)]＝8 000＜10 000符合要求．所以销售单价应定为80元，才能使一周销售利润达到8 000元的同时，投入不超过10 000元．
学霸笔记：
二次函数模型的应用
根据实际问题建立二次函数模型后，可利用配方法、换元法以及函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题．
跟踪训练2 如图，某中学准备在校园里利用院墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD，已知院墙MN长为25米，篱笆长50米(篱笆全部用完)，设篱笆的一面AB的长为x米．
(1)当AB的长为多少米时，矩形花园的面积为300平方米？
(2)若围成的矩形ABCD的面积为 S 平方米，当 x 为何值时， S 有最大值，最大值是多少？
解析：(1)设篱笆的一面AB的长为 x 米，则BC＝(50－2x)m，
由题意得，x(50－2x)＝300，
解得x1＝15，x2＝10，
∵50－2x≤25，∴x≥12.5，∴x＝15，
∴AB的长为15米时，矩形花园的面积为300平方米．
(2)由题意得，S＝x(50－2x)＝－2x2＋50x＝－2(x－12.5)2＋312.5，12.5≤x<25，
∴x＝12.5时， S 取得最大值，此时，S＝312.5，
∴当 x 为12.5米时， S 有最大值，最大值是312.5平方米．
题型 3 分段函数模型的应用
例3 某企业开发了一种大型电子产品，生产这种产品的年固定成本为2 500万元，每生产x百件，需另投入成本c(x)(单位：万元)，当年产量不足30百件时，c(x)＝10x2＋100x；当年产量不小于30百件时，c(x)＝501x＋－4 500.若每百件电子产品的售价为500万元，通过市场分析，该企业生产的电子产品能全部销售完．
(1)求年利润y(万元)关于年产量x(百件)的函数关系式；
(2)年产量为多少百件时，该企业在这一电子产品的生产中获利最大？
解析：(1)当0当x≥30时，y＝500x－501x－＋4 500－2 500＝2 000－(x＋)，
∴y＝.
(2)当0∴当x＝20时，ymax＝1 500，
当x≥30时，y＝2 000－(x＋)≤2 000－2＝2 000－200＝1 800，
当且仅当x＝，即x＝100时，ymax＝1 800>1 500，
∴年产量为100百件时，该企业获得利润最大，最大利润为1 800万元．
题后师说
应用分段函数时的三个关注点
跟踪训练3 某厂生产某种零件，每个零件的成本为30元，出厂单价定为52元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于41元．
(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰好降为41元？
(2)设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数P＝f(x)的表达式；
(3)当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？(工厂售出一个零件的利润＝实际出厂单价－成本)
解析：(1)设每个零件的实际出厂价恰好降为41元时，一次订购量为x0个，
则x0＝100＋＝650.
(2)当0当100当x≥650时，P＝41.
∴P＝f(x)＝
(3)设工厂获得的利润为L元，则L＝(54－－30)×500＝7 000，
即销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是7 000元．
随堂练习
1.在自然界中，某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表所示：
下面的函数关系式中，能表达这种关系的是( )
A．y＝2x－1 B．y＝x2－1
C．y＝2x＋1 D．y＝1.5x2－2.5x＋2
x 1 2 3 …
y 1 3 5 …
答案：A
解析：根据表中数据可判断函数为一次函数，
将各数据代入y＝2x－1中均成立，故选A.
2．国内快递1 000 g以内的包裹的邮资标准如下表：
如果某人在西安要快递800 g的包裹到距西安1 200 km的某地，那么他应付的邮资是( )
A．5.00元 B．6.00元
C．7.00元 D．8.00元
运送距离 x(km) 0＜x ≤500 500＜x ≤1 000 1 000＜x ≤1 500 …
邮资y(元) 5.00 6.00 7.00 …
答案：C
解析：通过邮资标准表可得到，当x＝1 200时，y＝7.00元．
故选C.
3．某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝x2＋4x＋10(万元)，一万件售价是30万元，若商品能全部卖出，则该企业一个月生产该商品的最大利润为( )
A．139万元 B．149万元
C．159万元 D．169万元
答案：C
解析：利润L(x)＝30x－(x2＋4x＋10)＝－x2＋26x－10＝－(x－13)2＋159，
故最大利润为159万元．故选C.
4．某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x(万元)与药品利润y(万元)存在的关系为y＝xα(α为常数)，其中x不超过5万元．已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为________万元．
125
解析：由已知投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，代入y＝xα中，即3α＝27，解得α＝3，故函数关系式为y＝x3.所以当x＝5时，y＝125.
课堂小结
1.解决具体函数模型问题时，要有建模意识，求解函数解析式时要综合应用图形、待定系数法等．
2．解决函数模型应用题时，一要注意自变量的取值范围；二要检验所得结果是否符合实际问题的要求．(共38张PPT)
第三章 章末复习课
·
·
考点一 求函数的定义域
1．函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．
2．通过对函数的定义域的求解，提升学生的数学运算素养．
例1 (1)函数y＝＋(2x＋1)0的定义域为( )
A．(－∞，－)
B．(－∞，－)
C．(，＋∞)
D．(－∞，－]
答案：B
解析：依题意，，解得x<且x≠－，
所以函数y＝＋(2x＋1)0的定义域为(－∞，－)．故选B.
(2)已知函数f(x＋2)的定义域为(－1，1)，则函数y＝f(2x－1)的定义域为( )
A．(－1，1) B．(－3，1)
C．(0，1) D．(1，2)
答案：D
解析：设x＋2＝t，则f(x＋2)＝f(t)，
因为函数f(x＋2)的定义域为(－1，1)，所以当－1所以1所以函数f(t)的定义域为(1，3)，
由函数f(2x－1)有意义可得1<2x－1<3，所以1所以函数f(2x－1)的定义域为(1，2)．故选D.
跟踪训练1 (1)已知函数f(x)的定义域为[0，2]，则函数y＝的定义域为( )
A．[－1，1) B．(1，3]
C．[－1，0)
答案：A
解析：因为函数f(x)的定义域为[0，2]且分式的分母不等于零，
所以，解得－1≤x<1，
故函数y＝的定义域为[－1，1)．故选A.
(2)函数f(x)＝＋(x－2)0的定义域为_________________.
(1，2)
解析：函数f(x)＝＋(x－2)0的定义域为，
解得：x>1且x≠2.
所以f(x)的定义域为(1，2)
考点二 分段函数
1．分段函数在定义域的不同部分上有不同的表达式，主要考查与分段函数有关的求值、求参数、单调性、奇偶性等问题．
2．通过对分段函数的考查，提升学生的数学运算素养．
例2 (1)已知函数f(x)＝则f(6)＝( )
A．－2 B．0
C．1 D．2
答案：A
解析：根据分段函数可知：f(6)＝f(5)＝f(4)＝f(3)＝f(2)＝f(1)＝－2.故选A.
(2)已知f(x)＝，若f(a)＝10，则a＝( )
A．－3或3 B．3或5
C．－3或5 D．3
答案：D
解析：由题意，当a≥0时，f(a)＝a2＋1＝10，解得a＝3或a＝－3(舍去)；
当a<0，f(a)＝2a＝10，解得a＝5(舍去)；
综上，a＝3.故选D.
跟踪训练2 (1)已知函数f(x)＝，则f(f())＝( )
A．－ B．－
C．－ D．－
答案：B
解析：因为f(x)＝，1≤≤3，
所以f()＝()2－3×＝－，
因为－3≤－<1，
所以f(－)＝3＋3×(－)＝－.故选B.
(2)已知函数f(x)＝，若f(f(9))＝6，则m＝________．
4
解析：∵f(9)＝－1＝2，
∴f(f(9))＝f(2)＝|2－4|＋m＝6，
所以m＝4.
考点三 求函数的解析式
1．求函数解析式的题型与相应的解法
(1)已知形如f(g(x))的解析式求f(x)的解析式，使用换元法或配凑法．
(2)已知函数的类型(往往是一次函数或二次函数)，使用待定系数法．
(3)含f(x)与f(－x)或f(x)与f，使用解方程组法．
(4)已知一个区间的解析式，求另一个区间的解析式，可用奇偶性转移法．
2．通过对函数解析式的求解，提升学生的逻辑推理、数学运算素养．
例3 (1)已知函数f()＝，则f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝(x≠－1)
B．f(x)＝－(x≠－1)
C．f(x)＝(x≠－1)
D．f(x)＝－(x≠－1)
答案：A
解析：令t＝，则x＝(t≠－1)，
所以f(t)＝＝(t≠－1)，
所以f(x)＝(x≠－1)，故选A.
(2)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，则当x<0时，f(x)＝________.
－x2－2x
解析：x<0时，－x>0，f(x)是奇函数，
此时f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋2x)＝－x2－2x.
跟踪训练3 (1)已知一次函数f(x)满足f(x＋2)－2f(2x＋1)＝－9x－4，则f(x)解析式为( )
A．f(x)＝－2x－4 B．f(x)＝－2x＋3
C．f(x)＝3x＋4 D．f(x)＝－3x＋2
答案：C
解析：设一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则f(x＋2)－2f(2x＋1)＝ax＋2a＋b－4ax－2a－2b＝－9x－4，
即－3ax－b＝－9x－4，所以解得，
所以f(x)＝3x＋4.故选C.
(2)已知f(x)是偶函数，当x>0时，f(x)＝x2－x－2，则当x<0时，f(x)＝__________．
x2＋x－2
解析：由题意，当x>0时，f(x)＝x2－x－2，
设x<0，则－x>0，此时f(－x)＝(－x)2－(－x)－2＝x2＋x－2，
又函数f(x)是偶函数，可得f(x)＝f(－x)，
所以f(x)＝x2＋x－2(x<0)．
考点四 函数的图象及应用
1．会根据函数的解析式及性质判断函数的图象，利用函数的图象可以直观的观察函数值域、最值、单调性、奇偶性等，重点是一次函数、二次函数、反比例函数、分段函数和幂函数的图象．
2．通过对函数图象的考查，提升学生的直观想象和数据分析素养．
例4 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，函数图象为抛物线的一部分．
(1)请画出当x>0时函数f(x)的图象；
(2)写出函数f(x)的解析式，值域，单调增区间．
解析：(1)x>0时函数的图象如图所示：
(2)由题设中的图象可得x≤0，f(x)＝0有两个解，
它们分别为－2，0，
故可设f(x)＝ax(x＋2)，而f(－1)＝－1，
故a×(－1)×1＝－1，解得a＝1，故当x≤0时，
f(x)＝x(x＋2)．
而当x>0时，－x<0，f(－x)＝－x(－x＋2)＝x(x－2)，
因f(x)为偶函数，故f(x)＝f(－x)＝x2－2x，
所以f(x)＝.
从题设的函数图象可得，当x≤0时，f(x)的取值范围为[－1，＋∞)，
因为f(x)为偶函数，故f(x)的值域为[－1，＋∞)，
当x≤0时，f(x)在(－1，0)上为增函数，在(－∞，－1)为减函数，
因为f(x)为偶函数，故f(x)在(0，1)上为减函数，在(1，＋∞)为增函数，
故f(x)的单调增区间为(－1，0)，(1，＋∞)．
跟踪训练4 已知函数f(x)＝|x－1|·(x＋3)．
(1)将函数解析式写成分段函数的形式，然后在坐标系中画出f(x)的图象；
(2)根据图象直接写出f(x)的单调增区间．
解析：(1)当x≥1时，f(x)＝x2＋2x－3，
当x<1时，f(x)＝－x2－2x＋3，
所以f(x)＝.
其图象如图所示：
(2)由图象知，f(x)的单调增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)．
考点五 函数的性质及应用
1．函数的单调性与奇偶性是函数最重要的性质，从命题形式看，求单调区间、单调性与奇偶性的判定，利用单调性求最值或参数的取值范围是命题的重点与热点．
2．通过对函数性质的考查，提升学生的逻辑推理、数学运算素养．
例5 已知函数f(x)＝是定义在[－1，1]上的奇函数．
(1)求a的值；
(2)判断函数f(x)的单调性并用定义加以证明；
(3)求使f(m－1)－f(1－2m)<0成立的实数m的取值范围．
解析：(1)因为f(x)是定义在[－1，1]上的奇函数，
所以f(0)＝－a＝0，所以a＝0，
此时f(x)＝，则f(－x)＝＝－＝－f(x)，满足题设，
所以a＝0.
(2)f(x)在[－1，1]上是增函数，
证明：设 x1，x2∈[－1，1]且x1则f(x1)－f(x2)＝＝＝；
因为 x1，x2∈[－1，1]且x1所以＋1)>0，
所以f(x1)－f(x2)<0，所以f(x1)所以f(x)在[－1，1]上是增函数．
(3)由(2)知f(x)＝，f(x)在[－1，1]上是增函数，
所以，
即，
解得0≤m<.
所以实数m的取值范围是[0，)．
跟踪训练5 已知函数f(x)＝是奇函数，且f(2)＝.
(1)求实数m和n的值；
(2)用单调性定义证明函数f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数；
(3)求函数f(x)在区间[－2，－1]上的最值，并指出最值点．
解析：(1)依题意，函数f(x)＝是奇函数，
由3x＋n≠0得x≠－，奇函数的定义域关于原点对称，所以n＝0.
f(x)＝，由f(2)＝得＝＝，m＝2.
则f(x)＝，f(－x)＝－＝－f(x)，f(x)是奇函数，符合题意．即m＝2，n＝0.
(2)由(1)得f(x)＝，
任取x1＝，
其中x1x2－1>0，x1－x2<0，x1x2>0，所以f(x1)－f(x2)<0，f(x1)所以f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数．
(3)由(2)可知，函数f(x)在区间[－2，－1]上递增，
所以，最小值点为－2，最小值为f(－2)＝＝－；
最大值点为－1，最大值为f(－1)＝＝－.
考点六 函数模型的应用
1．以现实生活为背景，解决生活中的成本最少、利润最高等问题，一般是通过构造一次函数、二次函数、幂函数、分段函数等数学模型，能运用函数思想处理现实生活中的简单应用问题．
2．通过对函数模型在实际问题中的掌握，提升学生的数学建模、逻辑推理素养．
例6 首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题．某单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关，采取了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似的表示为y＝x2－200x＋80 000 ，且处理每吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．
(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？
解析：(1)由题意知，平均每吨二氧化碳的处理成本为＝x＋－200≥2－200＝200；
当且仅当x＝ ，即x＝400 时等号成立，
故当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低为200元．
(2)不获利，设该单位每个月获利为S元，则S＝100x－y＝100x－(x2－200x＋80 000)＝－x2＋300x－80 000 ＝－(x－300)2－35 000，
因为x∈[400，600]，则S∈[－80 000，－40 000]，
故当该单位每月不获利，需要国家每个月至少补贴40 000元才能不亏损．
跟踪训练6 甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：
甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费3 000元，那么50辆汽车可以全部租出．如果每辆汽车的月租费每增加50元，那么将少租出1辆汽车．另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元．
乙公司经理：我公司每辆汽车月租费3 500元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计1 850元．
说明：①汽车数量为整数；②月利润＝月租车费－月维护费；③两公司月利润差＝月利润较高公司的利润－月利润较低公司的利润．
在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：
(1)当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是________元；当每个公司租出的汽车为________辆时，两公司的月利润相等；
(2)甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出a元(a>0)给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，当且仅当两公司租出的汽车均为17辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求a的取值范围．
解析：(1)由题意可得[(50－10)×50＋3 000]×10－200×10＝48 000元，
当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是48 000元；
设每个公司租出的汽车为x辆，设两公司的月利润分别为y甲，y乙，月利润差为y，
则y甲＝[(50－x)×50＋3 000]x－200x, y乙＝3 500x－1 850，
由题意可得：y甲＝y乙，∴－50x2＋5 300x＝3 500x－1 850，
解得：x＝37或x＝－1(舍)，
∴当每个公司租出的汽车为37辆时，两公司的月利润相等．
(2)∵捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，
则此时利润差为y＝－50x2＋1 800x＋1 850－ax＝－50x2＋(1 800－a)x＋1 850，
函数图象对称轴为直线x＝，
∵x只能取整数，且仅当两公司租出的汽车均为17辆时，月利润之差最大，
∴16.5<<17.5，
解得：50故a的取值范围为50