(共37张PPT)
5.1.2 弧度制
预学案
共学案
预学案
一、弧度制
1．度量角的两种单位制
角度制 定义 用____作为单位来度量角的单位制
1度的角
1度的角等于周角的________
弧度制 定义 以______作为单位来度量角的单位制
1弧度的角 长度等于________的圆弧所对的圆心角
度
弧度
半径长
2.弧度数的计算
(1)正角：正角的弧度数是一个________．
(2)负角：负角的弧度数是一个________．
(3)零角：零角的弧度数是________．
(4)如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝.
正数
负数
0
3．角度制与弧度制的换算
角度化弧度 弧度化角度
360°＝________ 2π rad＝________
180°＝________ π rad＝________
2π rad
360°
π rad
180°
【即时练习】
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)1 rad的角和1°的角大小相等．( )
(2)用弧度来表示的角都是正角．( )
(3)用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径无关．( )
×
×
√
2．把60°化为弧度是( )
A． B． C． D．
答案：A
解析：∵1°＝，∴60°＝60×＝.故选A.
微点拨
(1)用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”或“rad”可以略去不写，只写这个角对应的弧度数即可，如角α＝－3.5 rad可写成α＝－3.5.而用角度为单位表示角的大小时，“度”或“°”不可以省略．
(2)不管是以弧度还是以度为单位的角的大小，都是一个与半径的大小无关的定值．
二、弧度制下的弧长与扇形面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l，α(0＜α＜2π)为其圆心角，则
(1)弧长公式：l＝________．
(2)扇形面积公式：S＝___________．
α·R
lR＝α·R2
【即时练习】
1．已知扇形的半径为2，弧长为4，则扇形圆心角的弧度数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案：B
解析：设扇形圆心角的弧度数为θ，
因为l＝rθ，
所以θ＝＝＝2.故选B.
2．已知扇形的圆心角为π，半径为5，则扇形的面积为________．
解析：由扇形的面积公式可得S＝×π×52＝.
微点拨
(1)在应用扇形面积公式S＝时，要注意α的单位是“弧度”．
(2)在弧度制下的扇形面积公式S＝lR，与三角形面积公式S＝ah(其中h是三角形底边a上的高)的形式较相似，可类比记忆．
共学案
【学习目标】
(1)理解弧度制的概念．
(2)能进行角度与弧度的互化．
(3)会利用弧度制证明并应用扇形周长及面积公式．
题型 1 角度制与弧度制的互化
【问题探究1】 (1)在初中几何里，我们学习过角的度量，1°的角是怎样定义的呢？
(2)我们从度量长度和重量上知道，不同的单位制能给我们解决问题带来方便，那么角的度量是否也能用不同的单位制呢？
(3)一个圆周角以度为单位度量是多少度？以弧度为单位度量是多少弧度？由此可得度与弧度有怎样的换算关系？
提示：(1)周角的为1度的角
(2)能
(3)360° 2π 度数×＝弧度，弧度数×()°＝度数
例1 将下列角度与弧度进行互化．
(1)20°；(2)－15°；(3)；(4)－.
解析：(1)20°＝20×＝；
(2)－15°＝－15×＝－；
(3)＝＝105°；
(4)－＝－＝－396°.
学霸笔记：角度与弧度的互化技巧
在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad＝180 °是关键，由它可以得到：度数×＝弧度数，弧度数×() °＝度数．一般情况下，省略弧度单位rad.
跟踪训练1 (多选)下列转化结果正确的是( )
A. 67°30′化成弧度是 B．－化成角度是－600°
C．－150°化成弧度是 D．化成角度是5°
答案：AB
解析：对于A，67°30′＝＝，故A正确；对于B，－＝－＝－600°，故B正确；对于C ，－150°＝－150°×＝－，故C错误；对于D，＝＝15°，故D错误．故选AB.
题型 2 用弧度制表示角是集合
例2 已知角α＝1 200°.
(1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z，0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限的角；
(2)在区间[－2π，2π]上找出与α终边相同的角．
解析：(1)α＝1 200°＝π＝＋6π，
因为为第二象限，所以α是第二象限角．
(2)与α终边相同的角可以写成γ＝＋2kπ，k∈Z，
由γ＝＋2kπ∈[－2π，2π]，
得当k＝0时，γ＝，
当k＝－1时，γ＝－，
所以在区间[－2π，2π]上与α终边相同的角为和－.
题后师说
用弧度制表示终边相同角的2个关注点
跟踪训练2 (1)下列与45°角的终边相同的角的表达式中正确的是( )
A. 2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋(k∈Z)
C．k·360°＋45°(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z)
答案：C
解析：对于A，B，终边相同的角的表达式中弧度与角度混用，不正确；又与45°角的终边相同的角的表达式可以为k·360°＋45°(k∈Z)或2kπ＋(k∈Z)，
对于kπ＋，令k＝0，表示的角为与45°角的终边不相同，故C正确，D错误，故选C.
(2)如图，用弧度制表示终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合(用弧度制表示)：____________________________．
解析：因为75°＝75×＝，－30°＝－，
结合图象可看作范围内的角，结合任意角的概念可表示为.
题型 3 弧长公式与面积公式的应用
【问题探究2】 请你说出初中学过的扇形的弧长和面积公式．
提示：初中我们已学习过，圆心角为n°的扇形的弧长公式和面积公式分别为l＝，S＝，由弧度与角度的换算关系，我们可以知道α＝.
例3 已知扇形的周长为8 cm.
(1)若该扇形的圆心角为0.5 rad，求该扇形的面积；
(2)求该扇形的面积的最大值，并指出对应的圆心角．
解析：设扇形的半径为r，弧长为l，扇形的面积为S.
(1)由题意，得2r＋l＝8，l＝0.5r，
解得r＝3.2 cm，l＝1.6 cm，
所以S＝lr＝2.56(cm2)．
(2)由2r＋l＝8，得l＝8－2r，r∈(0，4)，
则S＝lr＝(8－2r)r＝4r－r2＝－(r－2)2＋4，
当r＝2 cm时，Smax＝4 cm2，
此时l＝4 cm，圆心角α＝＝2.
一题多变 在本例的条件中，若“周长为8 cm”改为“面积为8 cm2”，在(1)的条件下求该扇形的弧长．
解析：设扇形的半径为r，弧长为l，面积为S，则由S＝αr2，得8＝×r2，所以r＝4 cm.
所以l＝αr＝×4＝2(cm)．
题后师说
扇形的弧长和面积的求解策略
跟踪训练3 (1)已知扇形的圆心角为，面积为3π，则该扇形的弧长为( )
A．π B．2π
C．3 D．6
答案：B
解析：设扇形的弧长为l，半径为r，根据已知扇形的圆心角α＝，面积S＝3π，由扇形的面积公式S＝αr2，得3π＝×r2，解得r＝3，由弧长公式l＝αr＝×3＝2π.故选B.
(2)若扇形圆心角为135°，扇形面积为3π，则扇形半径为________．
2
解析：依题意可知，圆心角的弧度数为，设扇形半径为r，则S＝r2＝3π，r＝2.
随堂练习
1.下面关于弧度的说法，错误的是( )
A．弧长与半径的比值是圆心角的弧度数
B．一个角的角度数为n，弧度数为α，则＝
C．长度等于半径的倍的弦所对的圆心角的弧度数为
D．航海罗盘半径为10 cm，将圆周32等分，每一份的弧长为 cm.
答案：D
解析：A.根据弧度数定义可知A正确；B.根据弧度与角度的转化关系，可知B正确；C.设半径为r，则弦长为r，设圆心角为θ，由余弦定理有cos θ＝＝－，故θ＝，故C正确；D.圆周长为2πr＝20π cm，32等分后，每一份弧长为 cm，故D错误．故选D.
2．时针经过四个小时，转过了( )
A． rad B．－ rad
C． rad D．－ rad
答案：B
解析：时针顺时针旋转，转过一圈(12小时)的弧度为－2π rad，则时针经过四个小时，转过了·(－2π) rad＝－ rad.故选B.
3．若角α＝3 rad，则角α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
答案：B
解析：因为<3<π，所以3 rad是第二象限角．故选B.
4．已知扇形的半径为2，面积为3π，那么该扇形的弧长为________．
3π
解析：因为扇形的面积公式为S＝lR，
所以l＝＝＝3π.
课堂小结
1.对弧度制概念的理解．
2．弧度制与角度制的互化．
3．掌握特殊角的度数与弧度数的对应关系．
4．利用扇形的弧长公式和面积公式进行计算．(共33张PPT)
第1课时 三角函数的概念
预学案
共学案
预学案
一、三角函数的定义(单位圆法)
1．在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)，那么：sin α＝________；cos α＝________；tan α＝________．
y
x
(x≠0)
2．正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数．
记作：正弦函数y＝sin x，x∈R；
余弦函数y＝cos x，x∈R；
正切函数y＝tan x，x≠＋kπ，k∈Z.
【即时练习】
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)同一个三角函数值只能有唯一的一个角与之对应．( )
(2)如图所示，sin α＝y.( )
(3)若角的终边落在y轴上，则角的余弦值为0.( )
×
×
√
2．若α的终边与单位圆的交点为(－)，则cos α的值为( )
A．－ B．
C． D．－
答案：A
解析：∵角α的终边与单位圆的交点为(－，)，
∴cos α＝＝－.故选A.
微点拨
(1)单位圆是指圆心在原点，半径为单位长度的圆；
(2)任意角的三角函数是在坐标系中定义的，角的范围是使函数有意义的实数集．
(3)当α＝＋kπ(k∈Z)时，α的终边在y轴上，这时点P的横坐标x＝0，所以tan α＝无意义．
(4)三角函数的记号是一个整体，离开α的sin ，cos ，tan 等是无意义的，如sin α表示的是一个比值而不是sin 与α的积．
二、三角函数的定义(坐标法)
设α是一个任意角，它的终边上任意一点P(不与原点O重合)的坐标为(a，b)，点P与原点的距离为r，则r＝|OP|＝________，sin α＝＝________，cos α＝＝________，tan α＝＝________．
【即时练习】
1．角α的终边过点(2，－)，则cos α＝( )
A． B．－
C． D．－
答案：A
解析：已知角α的终边经过点(2,)，所以cos α＝＝.故选A.
2．已知角α的终边经过点(2，－1)，则tan α＝________．
－
解析：因为角α的终边经过点(2，－1)，则tan α＝＝＝－.
微点拨
三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小与点P(a，b)在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关．
共学案
【学习目标】
(1)借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．
(2)会利用任意角的三角函数的定义求值．
题型 1 利用单位圆法求三角函数
【问题探究1】 (1)角α的始边在x轴非负半轴，终边与单位圆交于点P.当α＝时，点P的坐标是什么？当α＝或时，点P的坐标又是什么？它们唯一确定吗？
(2)一般地，任意给定一个角α，它的终边OP与单位圆交点P的坐标能唯一确定吗？
提示：(1)当α＝时，点P的坐标为()．
当α＝时，点P的坐标为(0，1)．
当α＝时，点P的坐标为(－)．它们都唯一确定．
(2)点P的横、纵坐标都能唯一确定．
例1 (1)在平面直角坐标系中，以x轴的非负半轴为角的始边，如果角α，β的终边分别与单位圆交于点()和(－)，那么cos αsin β＝( )
A．－ B．－ C． D．
答案：D
解析：∵角α，β的终边分别与单位圆交于点()和(－)，
∴cos α＝，sin β＝，
∴cos αsin β＝＝，故选D.
(2)已知α＝π，则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________．
解析：角α的终边与单位圆的交点为(－)，
∴sin α＝，cos α＝－，tan α＝－.
－
－
题后师说
利用单位圆求三角函数的步骤
跟踪训练1 已知角α的终边与单位圆交于点P(－，y)(y>0)，则sin α＝( )
A． B．－
C．－ D．
答案：D
解析：∵角α的终边与单位圆交于点P(－，y)(y>0)，
∴(－)2＋y2＝1，求得y＝，∴sin α＝y＝.故选D.
题型 2 利用坐标法求三角函数
【问题探究2】 在平面直角坐标系Oxy中，使锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P(不与原点O重合)，作PM⊥x轴于点M.设点P(x，y)．
当|OP|＝r时，sin α，cos α，tan α的值怎样表示？
提示：sin α＝，cos α＝，tan α＝.
例2 已知角α的终边过点P(－3a，4a)(a≠0)，求2sin α＋cos α的值．
解析：r＝＝5|a|，
①若a>0，则r＝5a，角α在第二象限，sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－，所以2sin α＋cos α＝＝1.
②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限，sin α＝＝－，cos α＝＝.
所以2sin α＋cos α＝－＝－1.
综上可得2sin α＋cos α的值为±1.
学霸笔记：利用坐标法求三角函数
(1)已知角α的终边上一点P(x，y)求三角函数值时，先求r＝|OP|，再根据定义sin α＝，cos α＝，tan α＝确定三角函数值；
(2)若条件中含有参数，要注意对参数进行讨论．
跟踪训练2 设α为第四象限角，其终边上的一个点是P(x，－)，且cos α＝x，求sin α和tan α.
解析：依题意，α为第四象限角，其终边上的一个点是P(x，－)，则x>0，
cos α＝＝x，解得x＝，则P(，－)，
所以sin α＝＝＝－，
tan α＝＝－.
题型 3 三角函数概念的综合应用
例3 在平面直角坐标系中，角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sin α－3cos α＋tan α的值．
解析：当角α的终边在射线y＝－x(x>0)上时，取终边上一点P(4，－3)，所以点P到坐标原点的距离r＝|OP|＝5，
所以sin α＝＝＝－，cos α＝＝，tan α＝＝－.
所以sin α－3cos α＋tan α＝－＝－.
当角α的终边在射线y＝－x(x<0)上时，取终边上一点P′(－4，3)，
所以点P′到坐标原点的距离r＝|OP′|＝5，
所以sin α＝＝，cos α＝＝－，tan α＝＝－.
所以sin α－3cos α＋tan α＝－3×＝＝.
综上，sin α－3cos α＋tan α的值为－或.
学霸笔记：已知终边位置求值
(1)当角的终边落在射线上时，在射线上取一个异于端点的点，利用点的坐标求值；
(2)当角的终边落在直线上时，将直线以原点为端点分为两条射线，分别在两条射线上取点求值．
跟踪训练3 已知角α的终边落在直线y＝－3x上，求2sin α＋3cos α的值．
解析：在y＝－3x(x＞0)上取点P1(1，－3)，
|OP1|＝r1＝＝，sin α＝＝－，cos α＝＝，
2sin α＋3cos α＝－＝－，
在y＝－3x(x＜0)上取P2(－1，3)，
|OP2|＝r2＝，sin α＝，cos α＝－，
2sin α＋3cos α＝＝，
于是2sin α＋3cos α＝±.
随堂练习
1.点A(x，y)是60°角的终边与单位圆的交点，则的值为( )
A． B．－ C． D．－
答案：A
解析：因为tan 60°＝，所以＝.故选A.
2．已知角θ的终边经过点P(1，－)，则cos θ的值为( )
A．－ B． C．－ D．
答案：D
解析：因为角θ的终边经过点P(1，－)，所以cos θ＝＝.故选D.
3．已知角θ的终边经过点P(x，3)，且cos θ＝－，则x＝( )
A．－4 B．4 C．－ D．
答案：A
解析：∵角θ的终边经过点P(x，3)，
∴cos θ＝＝－，∵x＜0，解得：x＝－4.故选A.
4．已知角α的终边落到射线y＝2x(x≤0)上，求cos α＝________．
－
解析：在射线y＝2x(x≤0)取一点P(－1，－2)，
由三角函数的定义可得cos α＝＝－.
课堂小结
1.对三角函数定义的理解．
2．利用单位圆法和坐标法求三角函数．(共30张PPT)
第1课时 诱导公式二、三、四
预学案
共学案
预学案
诱导公式二、三、四
终边关系 图示 公式
角π＋α与角α的终边关于原点对称 sin (π＋α)＝________
cos (π＋α)＝________
tan (π＋α)＝________
角－α与角α的终边关于x轴对称 sin (－α)＝________
cos (－α)＝________
tan (－α)＝________
角π－α与角α的终边关于y轴对称 sin (π－α)＝________
cos (π－α)＝________
tan (π－α)＝________
－sin α
－cos α
tan α
－sin α
cos α
－tan α
sin α
－cos α
－tan α
【即时练习】
1．(多选)下列式子中正确的是( )
A．sin (π－α)＝－sin α B．cos (π＋α)＝cos α
C．tan (－α)＝－tan α D．sin (2π＋α)＝sin α
答案：CD
2．sin ＝( )
A． B．－ C． D．－
答案：D
解析：sin ＝sin (π＋)＝－sin ＝－.故选D.
3．cos 135°＝( )
A． B． C．－ D．－
答案：C
解析：cos 135°＝cos (180°－45°)＝－cos 45°＝－.故选C.
微点拨
(1)公式二～四中的角α可以是任意角，如sin [π＋(2x－3)]＝－sin (2x－3)．
(2)判断函数值的符号时，虽然把角α当作锐角，但实际上，对于正弦与余弦的诱导公式，角α可以为任意角；对于正切的诱导公式，α的终边不能落在y轴上，即α≠kπ＋(k∈Z)．
(3)诱导公式既可以用弧度制表示，也可以用角度制表示．
共学案
【学习目标】
(1)借助圆的对称性理解诱导公式二、三、四的推导过程．
(2)掌握诱导公式一～四并能运用诱导公式进行求值、化简与证明．
【问题探究】 (1)①角π＋α与α的终边有何位置关系？
②角－α与α的终边有何位置关系？
③角π－α与α的终边有何位置关系？
(2)已知任意角α的终边与单位圆相交于点P(x, y)，请同学们思考回答点P关于原点、x轴、y轴对称的三个点的坐标是什么？
(3)知道了终边与单位圆的交点坐标，你能根据三角函数的定义写出角π＋α与α、 角－α与α、角π－α与α的三角函数值之间的关系吗？
提示：(1)①关于原点对称 ②关于x轴对称 ③关于y轴对称
(2)点P(x，y)关于原点的对称点的坐标为(－x，－y)；
关于x轴的对称点的坐标为(x，－y)；
关于y轴的对称点的坐标为(－x，y)．
(3)见预学案44
题型 1 给角求值
例1 利用公式求三角函数值：
(1)tan 780°cos (－1 140°)；
(2)cos ＋cos ＋tan (－)＋sin .
解析：(1)原式＝tan 60°cos 60°＝＝.
(2)cos ＋cos ＋tan (－)＋sin
＝cos (4π＋)＋cos (8π＋)＋tan (－6π－)＋sin (π－)＝cos ＋cos ＋tan (－)＋sin ＝－1＋＝.
题后师说
利用诱导公式解决给角求值问题的步骤
跟踪训练1 求值：sin (－π)＋cos π·tan 4π.
解析：原式＝－sin (4π＋)＋cos (2π＋)·tan 0＝－sin ＋cos ×0＝－sin ＝－.
题型 2 给值(式)求值
例2 (1)已知sin (π＋α)＝，且α是第四象限角，则cos (α－2π)的值是( )
A．－ B． C．－ D．
答案：B
解析：因为sin (π＋α)＝，所以sin α＝－.
又α是第四象限角，所以cos α＝ ＝，所以cos (α－2π)＝cos α＝.故选B.
(2)已知cos (－α)＝，求cos (＋α)－sin2(α－)的值．
解析：因为cos (＋α)＝cos [π－(－α)]
＝－cos (－α)＝－，
sin2(α－)＝sin2(－α)＝1－cos2(－α)＝，
所以cos(＋α)－sin2(α－)＝－＝－.
一题多变 若本例(2)中条件不变，如何求sin2(＋α)－cos(α－)的值？
解析：因为cos(＋α)＝cos [π－(－α)]
＝－cos (－α)＝－，
所以sin2(＋α)＝1－cos2(＋α)
＝1－(－)2＝.
又因为cos(α－)＝cos [－(－α)]＝cos (－α)＝，
所以sin2(＋α)－cos(α－)＝＝.
题后师说
解决给值求值问题的策略
跟踪训练2 (1)已知cos (π－α)＝－，且α是第一象限角，则sin (－2π－α)的值是( )
A． B．－
C．± D．
答案：B
解析：因为cos (π－α)＝－cos α＝－，所以cos α＝，
因为α是第一象限角，所以sin α>0，所以sin α＝＝＝.
所以sin (－2π－α)＝sin (－α)＝－sin α＝－.故选B.
(2)若cos (－α)＝，则cos (＋α)＝( )
A．－ B．
C． D．－
答案：A
解析：cos (＋α)＝cos ＝－cos (－α)＝－.故选A.
题型 3 利用诱导公式化简
例3 化简下列各式：
(1)；
(2)sin (2kπ＋)cos (kπ＋)(k∈Z)．
解析：(1)原式＝
＝＝－＝－tan α.
(2)当k为偶数时，
原式＝sin cos ＝sin (π－)cos (π＋)
＝－sin cos ＝－.
当k为奇数时，原式＝sin cos (π＋)
＝sin (π－)cos (2π＋)＝sin cos ＝.
学霸笔记：三角函数式化简的常用方法
(1)依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为另一个角的三角函数．
(2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数．
(3)注意“1”的应用：1＝sin2α＋cos2α＝tan.
(4)用诱导公式进行化简时，若遇到kπ±α的形式，需对k进行分类讨论，然后再运用诱导公式进行化简．
跟踪训练3 化简下列各式：
(1)；
(2)(k∈Z)．
解析：(1)原式＝＝＝tan α.
(2)当k＝2n(n∈Z)时，
原式＝
＝＝＝－1.
当k＝2n＋1(n∈Z)时，
原式＝
＝＝＝－1.
综上，原式＝－1.
随堂练习
1.sin (－660°)的值是( )
A． B．－
C． D．－
答案：C
解析：sin (－660°)＝sin (－660°＋720°)＝sin 60°＝.故选C.
2．已知cos (π－θ)＝，则cos (－θ)＝( )
A．－ B．－
C． D．
答案：B
解析：由cos (π－θ)＝－cos θ，得cos θ＝－，
所以cos (－θ)＝cos θ＝－.故选B.
3．化简的结果为( )
A．tan α B．cos α
C．sin α D．－sin α
答案：C
解析：
＝
＝sin α，故选C.
4．已知cos (－α)＝，则cos (＋α)＝________．
－
解析：cos (＋α)＝cos [π－(－α)]＝－cos (－α)＝－.
课堂小结
1.诱导公式二、三、四的推导与记忆．
2．利用诱导公式二、三、四求值与化简．(共30张PPT)
第2课时 诱导公式五、六
预学案
共学案
预学案
诱导公式五、六
终边关系 公式
公式五
公式六
cos α
sin α
cos α
－sin α
微点拨
(1)从公式五和公式六还可以推出以下结论：
sin (x＋)＝cos (－x)＝cos (x－)；
cos (x＋)＝sin (－x)．
(2)公式一到公式六都叫做诱导公式，利用这六组公式，可以将任意一个角表示为k·＋α(其中k∈Z，|α|≤)的形式，从而其三角函数可化为0～的角的三角函数(函数名可能会改变)，再求其函数值．
可概括为“奇变偶不变，符号看象限”：
①“变”与“不变”是针对互余关系的函数名而言的，正弦变余弦、余弦变正弦．
②“奇”“偶”是对k·±α(α∈Z)中的整数k来讲的．
③“象限”指k·±α(k∈Z)中，将α看成锐角时，k·±α(k∈Z)所在的象限，根据“一全正，二正弦，三正切，四余弦”的符号规律确定原函数值的符号．
【即时练习】
1．已知sin (＋α)＝，那么cos α＝( )
A．－ B．－ C． D．
答案：C
解析：由已知sin (＋α)＝cos α＝.故选C.
2．已知sin 25.3°＝a，则cos 64.7°＝( )
A．a B．－a C．a2 D．
答案：A
解析：∵sin 25.3°＝a，
∴cos 64.7°＝sin (90°－64.7°)
＝sin 25.3°＝a.故选A.
3．已知对任意x∈R，有cos x＝sin (x＋φ)，写出一个符合题意的φ的值：________．
解析：由sin (x＋)＝cos x，可知对任意x∈R，有cos x＝sin (x＋)，则一个符合题意的φ的值为.
共学案
【学习目标】
(1)了解诱导公式五和公式六的推导方法．
(2)能够准确记忆公式五和公式六．
(3)掌握公式五和公式六，并能灵活应用所有诱导公式化简求值．
【问题探究】
(1)观察如图单位圆及角α与－α的终边．
①角α的终边与－α的终边有何关系？
②若设任意角α的终边与单位圆的交点P1的坐标为(x，y)，那么角－α的终边与单位圆的交点P2的坐标是什么？
(2)利用诱导公式五如何推导出角＋α与角α三角函数值之间的关系？
提示：(1)①两角的终边关于直线y＝x对称．
②点P1与P2关于直线y＝x对称，点P2的坐标为(y，x)．
(2)以－α代替α，
得sin [－(－α)]＝sin (＋α)＝cos (－α)＝cos α，
cos [－(－α)]＝cos (＋α)＝sin (－α)＝－sin α.
题型 1 利用诱导公式化简
例1 化简：.
解析：
＝＝.
学霸笔记
利用诱导公式化简时，要特别注意函数名称和符号的确定．
跟踪训练1 化简：.
解析：原式＝＝1.
题型 2 利用诱导公式证明恒等式
例2 求证：＝－tan α.
解析：左边＝＝－tan α＝右边，所以原等式成立．
学霸笔记
在证明时一般从左边到右边，或从右边到左边，或左右归一，应遵循化繁为简的原则．
跟踪训练2 求证：·sin (α－2π)·cos (2π－α)＝sin2α.
证明：左边＝·[－sin (2π－α)]cos α
＝[－(－sin α)]cos α＝·sin α·cos α＝sin2α＝右边，故原式成立．
题型3 利用诱导公式求值
例3 (1)若sin (α＋)＝，且α是第三象限角，则cos (α＋)＝( )
A． B．－ C． D．－
答案：C
解析：(1)∵sin(α＋)＝－cos α＝，∴cos α＝－，又α是第三象限角，
∴sin α＝－＝－，∴cos(α＋)＝－sin α＝.故选C.
(2)已知sin (－x)＝，且0
解析：cos (＋x)＝cos [－(－x)]
＝sin (－x)＝.
一题多变 将本例(2)中的条件不变，求sin (＋x)．
解析：sin (－x)＝，0∴cos (－x)＝ ＝，
sin(＋x)＝sin
＝cos (－x)＝.
学霸笔记：利用诱导公式求值的策略
(1)对给值求值时，要注意要求角与已知角之间的关系，并结合诱导公式进行转化，特别要注意角的范围．
(2)常见的互余的角：－α与＋α，＋α与－α等，常见的互补的角：＋α与－α，＋α与－α，＋α与－α等．
跟踪训练3 (1)已知cos (π－α)＝－，则sin (α＋)＝( )
A． B．
C．－ D．－
答案：B
解析：因为cos (π－α)＝－，所以－cos α＝－，所以cos α＝，所以sin (α＋)＝cos α＝.故选B.
(2)已知sin (α－)＝，则cos (＋α)＝( )
A．－ B．
C．－ D．
答案：A
解析：因为sin (α－)＝，所以cos (＋α)＝sin ＝－sin (α－)＝－.故选A.
随堂练习
1.已知sin α＝，则cos (α－)＝( )
A． B．－
C．－ D．
答案：D
解析：cos (α－)＝sin α＝.故选D.
2．已知cos (π－α)＝－，则cos (α＋)＝( )
A．± B．±
C． D．
答案：A
解析：由cos (π－α)＝－cos α可得cos α＝，
而cos (α＋)＝－sin α，sin α＝±＝±，
所以cos(α＋)＝±.故选A.
3．已知cos 28°＝a，则cos (－602°)＝( )
A．a B．－a
C． D．－
答案：D
解析：cos (－602°)＝cos (2×360°－602°)＝cos 118°
＝cos (90°＋28°)＝－sin 28°＝－＝－.
故选D.
4．化简：＝________．
－tan α
解析：原式＝＝－tan α.
课堂小结
1.诱导公式五、六的推导与记忆．
2．利用诱导公式五、六求值与化简．(共39张PPT)
5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
预学案
共学案
预学案
正弦函数、余弦函数的图象
函数 y＝sin x y＝cos x
图象
图象画法 五点法 关键五点 ____________
________
正(余) 弦曲线 正(余)弦函数的图象叫做正(余)弦曲线，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线 (0，0)，(，1)，(π，0)，
(，－1)，(2π，0)
(0，1)，(，0)，(π，－1)，(，0)，(2π，1)
【即时练习】
1．观察正弦函数y＝sin x，x∈R的图象，下列说法错误的是( )
A．过原点
B．与y＝cos x的图象形状相同，只是位置不同
C．与x轴有无数个交点
D．关于y轴对称
答案：D
解析：观察题图可得，正弦函数y＝sin x，x∈R的图象不关于y轴对称．故选D.
2．下列图象中，是y＝－sin x在[0，2π]上的图象的是( )
答案：D
解析：由y＝sin x在[0，2π]上的图象作关于x轴的对称图形，知y＝－sin x在[0，2π]上的图象为选项D中的图象．故选D.
3．(多选)下列对y＝cos x的图象描述正确的是( )
A．在[0，2π]和[4π，6π]上的图象形状相同，只是位置不同
B．介于直线y＝1与直线y＝－1之间
C．关于x轴对称
D．与y轴仅有一个交点
答案：ABD
解析：对A，由余弦函数的周期T＝2π，则区间[0，2π]和[4π，6π]相差4π，
故图象形状相同，只是位置不同，A正确；
对B，由余弦函数的值域为[－1，1]，故其图象介于直线y＝1与直线y＝－1之间，B正确；
由余弦函数的图象可得C错误，D正确．故选ABD.
微点拨
(1)作正弦函数、余弦函数图象时，函数自变量的取值要用弧度制，以保证自变量的取值与函数值都为实数．
(2)在精确度要求不高的情况下，“五点法”是一种实用、高效的作图方法，需要注意这五个点要用平滑的曲线连接，而不能用线段连接．
(3)五个关键点是利用“五点法”作图的关键，要熟记并区分正弦函数、余弦函数图象中的五个关键点．
(4)将y＝sin x，x∈R的图象向左平移个单位长度得y＝cos x，x∈R的图象，因此y＝sin x，x∈R与y＝cos x，x∈R的图象形状相同，只是在直角坐标系中的位置不同．
(5)“五点法”只是画出y＝sin x和y＝cos x在[0，2π]上的图象；若x∈R，可先作出正弦函数、余弦函数在[0，2π]上的图象，然后通过不断向左、右平移可得到y＝sin x，x∈R和y＝cos x，x∈R的图象．
共学案
【学习目标】
(1)了解利用单位圆作正弦函数图象的方法．
(2)会用“五点法”画正弦函数、余弦函数的图象．
(3)会用正弦函数、余弦函数的图象解决简单问题．
题型 1 正弦函数、余弦函数的图象的初步认识
【问题探究1】 (1)在[0，2π]上任取一个值x0，如何利用正弦函数的定义，确定正弦函数值sin x0并画出点T(x0，sin x0)，进而画出函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象？
(2)根据函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象，你能想象函数y＝sin x，x∈R的图象吗？
(3)你认为应该利用正弦函数和余弦函数的哪些关系，通过怎样的图形变换，才能将正弦函数的图象变换为余弦函数的图象？
提示：(1)如图，在[0，2π]上任取一个值x0，根据正弦函数的定义可知y0＝sin x0，此时弧AB的长度为x0，结合之前每一个角的弧度数与实数的一一对应关系，可得点T(x0，sin x0)．
如图，借助单位圆，在x轴上把[0，2π]12等分，它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周12等分，就可画出自变量取这些值时对应的函数图象上的点，当然把圆周等分的份数越多，将这些点用光滑的曲线连接起来，可得到比较精确的正弦函数图象(通过信息技术展示)．
(2)把y＝sin x，x∈[0，2π]的图象沿着x轴向左和向右连续的平行移动，每次移动的距离为2π，就得到函数y＝sin x，x∈R的图象．
(3)sin (x＋)＝cos x 函数y＝sin x(x∈R)的图象向左平移个单位长度得到y＝cos x(x∈R)的图象．
例1 (多选)下列关于正弦函数、余弦函数的图象描述正确的是( )
A．都可由[0，2π]内的图象向上、向下无限延展得到
B．都是对称图形
C．都与x轴有无数个交点
D．y＝sin (－x)的图象与y＝sin x的图象关于x轴对称
答案：BCD
解析：A.正弦函数、余弦函数的图象是将[0，2π]内的图象向左、向右无限“重复”得到，是“重复”不是延展，因为延展可能是拉伸，不符合，故A选项错误；B.正弦函数关于原点对称，余弦函数关于y轴对称，故都是对称图形，故B选项正确；C.由函数图象可知，图象与x轴有无数个交点，故C选项正确；D.正弦函数是奇函数，故y＝sin (－x)＝－sin x，故其图象与y＝sin x关于x轴对称，故D选项正确．
学霸笔记
对于正弦、余弦函数的图象问题，要画出正确的正弦曲线、余弦曲线，掌握两者的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到．
跟踪训练1 给出下列命题：
①y＝sin x，x∈R的图象关于点P(π，0)成中心对称；②y＝cos x，x∈R的图象关于直线x＝π成轴对称；③y＝sin x，y＝cos x的图象不超过两直线y＝1和y＝－1所夹的范围．
其中正确的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案：D
解析：由于正弦曲线的对称中心为(kπ，0)，k∈Z，可得y＝sin x，x∈R的图象关于点P(π，0)成中心对称，即①正确；
由于余弦曲线的对称轴为x＝kπ，k∈Z，可得y＝cos x，x∈R的图象关于直线x＝π成轴对称，即②正确；
由于－1≤sin x≤1，－1≤cos x≤1，可得y＝sin x，y＝cos x的图象不超过两直线y＝1和y＝－1所夹的范围，即③正确．故正确的个数为3个．故选D.
题型 2 利用“五点法”作三角函数的图象
【问题探究2】 在确定正弦函数的图象形状时，应抓住哪些关键点？
提示：(0，0)，(，1)，(π，0)，(，－1)，(2π，0)
例2 用“五点法”作出下列函数的图象：
(1)y＝－sin x－1，x∈[0，2π]；
(2)y＝－2cos x＋3，x∈[0，2π].
解析：(1)①列表：
②描点并用光滑曲线连接可得其图象如图所示．
x 0 π 2π
y －1 －2 －1 0 －1
(2)由条件列表如下：
描点、连线得出函数y＝－2cos x＋3(0≤x≤2π)的图象如图所示．
x 0 π 2π
－2cos x －2 0 2 0 －2
－2cos x＋3 1 3 5 3 1
题后师说
用五点法作函数y＝a sin x＋b(或y＝a cos x＋b)，
x∈[0，2π]的图象的一般步骤
跟踪训练2 用“五点法”在同一坐标系下画出下列函数在[－π，π]上的图象：
(1)y＝－sin x；(2)y＝2－cos x.
解析：列表：
x －π 0 π
－sin x 0 1 0 －1 0
2－cos x 3 2 1 2 3
题型 3 正弦函数、余弦函数图象的应用
例3 函数y＝的定义域为________________________．
解析：由2sin x－1≥0得sin x≥，画出y＝sin x的图象和直线y＝.
可知sin x≥的解集为y＝sin x图象与直线y＝的交点及上方部分的集合，即函数定义域为.
一题多变 将本例中的“sin x”改为“cos x”，再求解．
解析：由2cos x－1≥0得cos x≥，画出y＝cos x的图象和直线y＝.
观察图象可知函数的定义域为{x|2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z}．
题后师说
利用正弦函数、余弦函数图象解三角不等式的步骤
跟踪训练3 (1)在[0，2π]内不等式sin x<－的解集是( )
A．(0，π) B．()
C．() D．(，2π)
答案：C
解析：(1)画出y＝sin x，x∈[0，2π]的草图如下：
因为sin ＝，所以sin (π＋)＝－，
sin (2π－)＝－.
即在[0，2π]内，满足sin x＝－的是x＝或x＝.
可知不等式sin x<－的解集是()．
(2)函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象与直线y＝－的交点有________个．
2
解析：作出y＝cos x，x∈[0，2π]与y＝－的图象(图略)，由图象可知，函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象与直线y＝－有两个交点．
随堂练习
1.已知点(，m)在余弦曲线上，则m＝( )
A． B．－ C． D．－
答案：B
解析：因为点(，m)在余弦函数y＝cos x的图象上，所以m＝cos ＝－.故选B.
2．用五点法作函数y＝2sin x－1的图象时，首先应描出的五点的横坐标可以是( )
A．0，，π，，2π B．0，，π
C．0，π，2π，3π，4π D．0，
答案：A
解析：由五点作图法可知，首先描出的五个点的横坐标为：x＝0，，π，，2π.故选A.
3．根据函数y＝sin x的图象，可得方程sin x＝0的解为( )
A．x＝2kπ(k∈Z) B．x＝kπ(k∈Z)
C．x＝＋kπ(k∈Z) D．x＝＋2kπ(k∈Z)
答案：B
解析：由题意和正弦函数y＝sin x的图象可知，sin x＝0可得x＝kπ(k∈Z)．故选B.
4．函数y＝的定义域为_____________________________．
解析：由题知，－cos x≥0，即cos x≤0，
而cos x≤0的解集为，
所以函数y＝的定义域为.
课堂小结
1.正弦函数、余弦函数图象的作法及初步认识．
2．“五点法”作函数的图象．
3．利用正弦函数、余弦函数的图象解不等式(方程)．(共38张PPT)
第2课时 正弦函数、余弦函数的单调性与最值
预学案
共学案
预学案
一、正弦函数、余弦函数的单调性
1．正弦函数的单调性
正弦函数y＝sin x，x∈R在每一个闭区间__________________上都单调递增，其值从－1增大到1；在每一个闭区间____________________上单调递减，其值从1减小到 －1.
2．余弦函数的单调性
函数y＝cos x，x∈R在每一个闭区间_________________上都单调递增，其值从－1增大到1；在每一个闭区间_________________ 上单调递减，其值从1减小到 －1.
[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)
[2kπ＋，2kπ＋](k∈Z)
[2kπ－π，2kπ](k∈Z)
[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)
【即时练习】
1．在下列区间中，使函数y＝sin x为增函数的是 ( )
A．[0，π] B．[，π] C．[0，] D．[π，2π]
答案：C
解析：由正弦曲线知y＝sin x在[0，]上是增函数．故选C.
2．函数y＝－cos x的单调递增区间是________________，单调递减区间是________________．
[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z
[2kπ－π，2kπ](k∈Z)
解析：根据复合函数的单调性知，
函数y＝－cos x的单调增区间对应函数y＝cos x的单调减区间，根据余弦函数的单调性知，函数y＝cos x的单调增区间为 [2kπ－π，2kπ](k∈Z) ，单调减区间为[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)，
所以函数y＝－cos x的单调增区间为[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)，
单调减区间为[2kπ－π，2kπ](k∈Z) .
微点拨
(1)正弦、余弦函数在定义域R上均不是单调函数，但存在单调区间．
(2)求解(或判断)正弦函数、余弦函数的单调区间(或单调性)是求值域(或最值)的关键一步．
(3)确定含有正弦函数或余弦函数的较复杂的函数单调性时，要注意使用复合函数的判断方法来判断．
二、正弦函数、余弦函数的最大值与最小值
1．正弦函数y＝sin x，x∈R当且仅当x＝____________时取得最大值1，当且仅当x＝_____________时取得最小值－1.
2．余弦函数y＝cos x，x∈R当且仅当x＝____________时取得最大值1，当且仅当x＝_____________时取得最小值－1.
＋2kπ(k∈Z)
－＋2kπ(k∈Z)
2kπ(k∈Z)
2kπ＋π(k∈Z)
【即时练习】
1．函数y＝－2cos x的最小值为( )
A．1 B．－1 C．2 D．－2
答案：D
解析：因为y＝cos x的最大值是1，
所以函数y＝－2cos x的最小值是－2.故选D.
2．函数f(x)＝1＋2sin x的最大值为______，此时x＝____________．
3
＋2kπ(k∈Z)
解析：由题f(x)＝1＋2sin x，
∵－1≤sin x≤1，∴－1≤1＋2sin x≤3，
则最大值为3，此时x＝＋2kπ(k∈Z) .
微点拨
(1)正弦曲线(余弦曲线)的对称轴一定过正弦曲线(余弦曲线)的最高点或最低点，即此时的正弦值(余弦值)取最大值或最小值．
(2)函数y＝sin x的最大值唯一，取最大值时的x的值不唯一．
(3)明确正弦、余弦函数的有界性，即|sin x|≤1，|cos x|≤1.
共学案
【学习目标】
(1)掌握y＝sin x，y＝cos x的单调性，并能利用单调性比较大小．
(2)会求函数y＝A sin (ωx＋φ)及y＝A cos (ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的单调区间．
(3)掌握y＝sin x，y＝cos x的最大值与最小值，并会求简单函数的值域和最值．
题型 1 正弦函数、余弦函数的单调性
【问题探究1】 (1)观察正弦函数y＝sin x，x∈[－，]的图象，正弦函数在区间[－]上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？
提示：(1)观察图象可知，当x∈[－]时，曲线逐渐上升，可知y＝sin x在区间[－]上单调递增，sin x的值由－1增大到1；当x∈[]时，曲线逐渐下降，可知y＝sin x在区间[]上单调递减，sin x的值由1减小到－1.
推广到整个定义域可得，
当x∈[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)时，正弦函数y＝sin x，x∈R单调递增，函数值由－1增大到1；
当x∈[＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)时，正弦函数y＝sin x，x∈R单调递减，函数值由1减小到－1.
(2)观察余弦函数y＝cos x，x∈[－π，π]的图象，余弦函数在区间[－π，π]上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？
提示：观察图象可知，当x∈[－π，0]时，曲线逐渐上升，函数y＝cos x在区间[－π，0]上单调递增，cos x的值由－1增大到1；
当x∈[0，π]时，曲线逐渐下降，函数y＝cos x在区间[0，π]上单调递减，cos x的值由1减小到－1.
推广到整个定义域可得，
当 ∈[(2k－1)π，2kπ]，k∈Z时，余弦函数y＝cos x单调递增，函数值由－1增大到1；
当x∈[2kπ，(2k＋1)π]，k∈Z时，余弦函数y＝cos x单调递减，函数值由1减小到－1.
例1 求函数f(x)＝2sin (2x－)的单调区间．
解析：因为f(x)的单调递增区间满足
－＋2kπ≤2x－＋2kπ，k∈Z，
解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
即单调递增区间是[－＋kπ，＋kπ]，k∈Z；
因为f(x)的单调递减区间满足
＋2kπ≤2x－＋2kπ，k∈Z，
解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
即单调递减区间是[＋kπ，＋kπ]，k∈Z.
一题多变 将函数改为f(x)＝2sin (－2x)，结果如何？
解析：f(x)＝2sin (－2x)＝－2sin (2x－)
所以f(x)的单调递增区间满足＋2kπ≤2x－＋2kπ，k∈Z，
解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
即单调递增区间是[＋kπ，＋kπ]，k∈Z；
因为f(x)的单调递减区间满足－＋2kπ≤2x－＋2kπ，k∈Z，
解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
即单调递减区间是[－＋kπ，＋kπ]，k∈Z.
题后师说
求与正、余弦函数有关的单调区间的策略
跟踪训练1 (1)函数y＝3sin 的一个递减区间是( )
A． B．
C． D．
解析：对于函数y＝3sin (x＋)，令2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，求得2kπ＋≤x≤2kπ＋，可得函数的减区间为[2kπ＋，2kπ＋]，k∈Z，
当 k＝0时，可得该函数的一个减区间为[]，故选B.
答案：B
(2)求函数y＝cos 的单调区间．
解析：当－π＋2kπ≤≤2kπ，k∈Z时，
解得－＋4kπ≤x≤－＋4kπ，k∈Z，
故函数的单调递增区间是[－＋4kπ，－＋4kπ]，k∈Z；
令2kπ≤≤π＋2kπ，k∈Z，
解得－＋4kπ≤x≤＋4kπ，k∈Z，
故函数的单调递减区间是，k∈Z.
题型 2 利用正弦函数、余弦函数的单调性比较大小
例2 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：
(1)sin 3，sin 4；
(2)cos 2，cos 3；
(3)sin ，cos .
解析：(1)因为0<3<π，π<4<，所以sin 3>0，sin 4<0，故sin 3>sin 4.
(2)因为<2<3<π，且y＝cos x在(，π)上单调递减，故cos 2>cos 3；
(3)sin ＝sin (＋π)＝－sin ，
cos ＝cos (＋π)＝－cos ＝－sin ，
因为0<<<，且y＝sin x在(0，)上单调递增，
所以sin －sin ，故sin >cos .
题后师说
利用单调性比较三角函数值大小的步骤
跟踪训练2 下列各式中正确的是( )
A．sin B．cos 2C．cos (－)>cos (－)
D．sin (－)答案：C
解析：由于y＝sin x在(0，)上递增，
所以sin ＝sin (π－)＝sin >sin ，A选项错误．
由于y＝cos x在(，π)上递减，
所以cos 2>cos 3，B选项错误．
cos (－)＝cos ＝cos (4π＋)＝cos >0，
cos (－)＝cos ＝(4π＋)＝cos <0，
所以cos (－)>cos (－)，C选项正确．
y＝sin x在(－，0)上递增，
所以sin (－)>sin (－)，D选项错误．故选C.
题型 3 正弦函数、余弦函数的最值(值域)
【问题探究2】 观察下图中的正弦曲线和余弦曲线．
正弦曲线：
余弦曲线：
(1)从正弦曲线、余弦曲线上很容易看出正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R，值域是什么？
(2)当x取何值时，正弦函数y＝sin x，x∈R分别取得最大值1和最小值－1
提示：(1)[－1，1]
(2)当且仅当x＝＋2kπ，k∈Z时，函数取得最大值1；当且仅当x＝－＋2kπ，k∈Z时，函数取得最小值－1.
例3 (1)函数f(x)＝sin (2x＋)在(－)上的值域为( )
A．(0，1] B．(－，0)
C．(－，1] D．[－1，1]
答案：C
解析：当x∈(－)时，2x＋∈(－，π)，当2x＋＝时，即x＝时，f(x)＝sin (2x＋)取最大值1，当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)＝sin (2x＋)取最小值大于－，故值域为(－，1].故选C.
(2)求函数f(x)＝2cos (2x－)，x∈R取得最大值、最小值的自变量x的集合，并求出最大值、最小值．
解析：对于函数f(x)＝2cos (2x－)，x∈R，
当2x－＝2kπ，k∈Z，即x∈{x|x＝＋kπ，k∈Z}时，函数f(x)取得最大值2；
当2x－＝π＋2kπ，k∈Z，即x∈{x|x＝＋kπ，k∈Z}时，函数f(x)取得最小值－2.
学霸笔记：三角函数的值域(最值)问题的求解方法
(1)形如y＝A sin x(或y＝A cos x)型，可利用正弦函数、余弦函数的有界性，注意对A正、负的讨论．
(2)形如y＝A sin (ωx＋φ)＋b(或y＝A cos (ωx＋φ)＋b)型，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得sin (ωx＋φ)(或cos (ωx＋φ))的范围，最后求得值域(最值)．
(3)求给定区间上最值(值域)的问题，可利用换元思想，设t＝ωx＋φ，转换成y＝A sin x(或y＝A cos x)型的函数求值．
跟踪训练3 求函数f(x)＝3sin (2x＋)在[0，]上的值域．
解析：令t＝2x＋，由0≤x≤可得≤t≤，
又因为函数y＝sin t在[]单调递增，在(]单调递减，
所以y＝sin t在t＝时有最大值1，
又sin ＝sin ＝，
所以sin t∈[，1]，所以函数f(x)在[0，]上的值域为[，3].
随堂练习
1.设a＝sin 33°，b＝sin 35°，c＝cos 40°，则( )
A．a>b>c B．b>c>a
C．c>b>a D．c>a>b
答案：C
解析：因为函数y＝sin x在(0，)上单调递增，又c＝cos 40°＝sin 50°，且50°>35°>33°，则sin 50°>sin 35°>sin 33°，即c>b>a.故选C.
2．函数y＝cos x和y＝sin x都是增函数的区间是( )
A．[，π] B．[0，]
C．[－，0] D．[－π，－]
答案：C
解析：函数y＝cos x和y＝sin x在[－π，π]上的图象如图所示，
则由图象可知C选项符合题意，故选C.
3．函数y＝1＋2sin x，x∈[－]的值域是( )
A．[－1，1] B．[0，1]
C．[] D．[0，2]
答案：D
解析：∵－≤x≤，∴－≤sin x≤，∴0≤1＋2sin x≤2，所以函数的值域为[0，2].故选D.
4．函数f(x)＝2cos (－2x)的递增区间为____________________．
[－＋kπ，＋kπ]，k∈Z
解析：因为f(x)＝2cos (－2x)＝2cos (2x－)，
令－π＋2kπ≤2x－≤2kπ，k∈Z，
解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以递增区间为[－＋kπ，＋kπ]，k∈Z.
课堂小结
1.熟记正、余弦函数的单调区间；正、余弦函数的最值及取最值时自变量x的值．
2．求函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω≠0)的单调区间的一般步骤．
3．利用正弦函数、余弦函数的单调性比较大小．
4．求三角函数最值(值域)常用方法．(共33张PPT)
第2课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
预学案
共学案
预学案
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
名称 公式 简记符号 使用条件
两角和的余弦 cos (α＋β)＝____________ C(α＋β) α，β∈R
两角和的正弦 sin (α＋β)＝____________ S(α＋β) α，β∈R
两角差的正弦 sin (α－β)＝____________ S(α－β) α，β∈R
两角和的正切 tan (α＋β)＝___________ T(α＋β)
两角差的正切 tan (α－β)＝___________ T(α－β)
cos αcos β－sin αsin β
sin αcos β＋cos αsin β
sin αcos β－cos αsin β
微点拨
(1)记忆口诀：
对于公式C(α－β)，C(α＋β)，可记为“余余正正，符号异”．
对于公式S(α－β)，S(α＋β)，可记为“正余余正，符号同”．
对于公式T(α－β)，T(α＋β)，可记为“分子同，分母异”．
(2)在应用两角和与差的正切公式时，只要tan α，tan β，tan (α＋β)(或tan (α－β))中任一个的值不存在，就不能使用两角和(或差)的正切公式解决问题，应改用诱导公式或其他方法解题．
(3)要学会顺用、逆用公式：
①顺用公式，如：
cos (2α＋β)＝cos [α＋(α＋β)]＝cos αcos (α＋β)－sin αsin (α＋β)；
cos (2α＋β)＝cos 2αcos β－sin 2αsin β；
cos α＝cos [(α＋β)－β]＝cos (α＋β)cos β＋sin (α＋β)sin β.
②逆用公式，如：
cos (α＋β)cos (α－β)－sin (α＋β)sin (α－β)＝cos [(α＋β)＋(α－β)]＝cos 2α.
＝＝tan (＋α)．
【即时练习】
1．计算sin 75°的值为( )
A． B．
C．－ D．－
答案：B
解析：sin 75°＝sin (45°＋30°)＝×＋×＝.故选B.
2．若tan α＝2，则tan (－α)的值为( )
A．－ B．
C．－3 D．3
答案：A
解析：∵tan α＝2，∴tan (－α)＝＝＝－.故选A.
3．sin 80°cos 40°＋cos 80°sin 40°＝________．
解析：由正弦的两角和公式逆运算可得sin 80°cos 40°＋cos 80°sin 40°＝sin (80°＋40°)＝sin 120°＝.
共学案
【学习目标】
(1)能由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式、两角和与差的正弦公式及正切公式，了解它们的内在联系．
(2)掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并能灵活运用这些公式进行简单的化简、求值．
【问题探究】 (1)在两角差的余弦公式cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β中，以－β代换β，你会得到什么公式？
(2)在两角差的余弦公式cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β中，以－α代换α，你会得到什么公式？
(3)在两角和的正弦公式中，sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，以－β代换β，你会得到什么公式？
(4)请你用两角和与差的正弦、余弦公式化简和，结果都用正切表示．
提示：(1)cos (α＋β)＝cos αcos (－β)＋sin αsin (－β)＝cos αcos β－sin αsin β.
(2)sin (α＋β)＝cos [(－α)－β]＝cos (－α)cos β＋sin (－α)sin β＝sin αcos β＋cos αsin β.
(3)sin (α－β)＝sin αcos (－β)＋cos αsin (－β)＝sin αcos β－cos αsin β.
(4)＝
＝＝，
即tan (α＋β)＝.
同理可得tan (α－β)＝.
题型 1 公式的简单应用
例1 求下列各式的值：
(1)；
(2)sin 110°·cos 40°－cos 70°·sin 40°；
(3)tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°.
解析：(1)∵sin 47°＝sin (30°＋17°)＝sin 30°cos 17°＋cos 30°sin 17°，
∴原式＝＝sin 30°＝.
(2)sin 110°·cos 40°－cos 70°·sin 40°
＝sin (180°－70°)·cos 40°－cos 70°·sin 40°
＝sin 70°·cos 40°－cos 70°·sin 40°
＝sin (70°－40°)＝sin 30°＝.
(3)∵＝tan (12°＋33°)＝tan 45°＝1.
∴tan 12°＋tan 33°＝1－tan 12°tan 33°，
∴tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°＝1.
题后师说
给角求值问题的解题策略
跟踪训练1 (1)已知黄金三角形是一个等腰三角形，其底与腰的长度的比值为黄金比值(即黄金分割值，该值恰好等于2sin 18°)，则下列式子的结果不等于的是( )
A．sin 10°cos 8°＋cos 10°sin 8°
B．cos 40°cos 32°－sin 40°sin 32°
C．sin 100°cos 26°＋cos 100°sin 26°
D．sin 92°sin 16°－cos 92°cos 16°
答案：C
解析：(1)对于A，sin 10°cos 8°＋cos 10°sin 8°＝sin (10°＋8°)＝sin 18°＝，A正确；
对于B，cos 40°cos 32°－sin 40°sin 32°＝cos (40°＋32°)＝cos 72°＝sin 18°＝，B正确；
对于C，sin 100°cos 26°＋cos 100°sin 26°＝sin (100°＋26°)＝sin 126°＝sin 54°≠，C错误；
对于D，sin 92°sin 16°－cos 92°cos 16°＝－cos (92°＋16°)＝－cos 108°＝sin 18°＝，D正确．故选C.
(2)计算：＝________．
解析：＝＝tan (45°－15°)＝.
题型 2 给值求值
例2 (1)已知tan α＝2，tan β＝4，则tan (α＋β)＝( )
A． B．－
C．－ D．
答案：B
解析：因为tan α＝2，tan β＝4，所以tan (α＋β)＝＝＝－.故选B.
(2)已知sin (＋α)＝，cos (－β)＝，且0<α<<β<，求cos (α＋β).
解析：∵0<α<<β<，∴<＋α<π，－<－β<0.
又∵sin (＋α)＝，cos (－β)＝，
∴cos (＋α)＝－，sin (－β)＝－.
∴cos (α＋β)＝sin [＋(α＋β)]
＝sin [(＋α)－(－β)]
＝sin (＋α)cos (－β)－cos (＋α)sin (－β)
＝＝－.
一题多变 本例(2)条件不变，求sin (α－β).
解析：由本例(2)知，
sin (α－β)＝－sin [(＋α)＋(－β)]
＝－[sin (＋α)cos (－β)＋cos (＋α)sin (－β)]
＝－[＋(－)×(－)]＝－.
题后师说
给值求值的解题策略
跟踪训练2 已知α为钝角，β为锐角，sin α＝，cos (α－β)＝.
(1)求tan α，tan (α－)；
(2)求sin β.
解析：(1)∵<α<π，sin α＝，
∴cos α＝－＝－，∴tanα＝＝－，
∴tan (α－)＝＝＝7.
(2)∵<α<π，0<β<，
∴0<α－β<π，又cos (α－β)＝，
∴sin (α－β)＝＝，
∴sinβ＝sin [α－(α－β)]＝sin αcos (α－β)－cos αsin (α－β)
＝＝.
题型 3 给值求角
例3 已知sin α＝，sin β＝，且α，β∈(0，)，求角α＋β的大小．
解析：∵sin α＝，sin β＝，且α，β∈(0，)，
∴cos α＝＝，cosβ＝＝，
∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
＝＝，
又由已知可得α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝.
学霸笔记：给值求角的方法
一般先求出该角的某个三角函数值，再确定该角的取值范围，最后得出该角的大小．至于求该角的哪一个三角函数值，这要取决于该角的取值范围，然后结合三角函数值在不同象限的符号来确定，一般地，若θ∈(0，π)，则通常求cos θ，若θ∈(－，)，则通常求sin θ，否则容易导致增解．
跟踪训练3 已知α，β均为锐角，且(1－tan α)(1－tan β)＝4，求α＋β.
解析：由(1－tan α)(1－tan β)＝4，
得1－tan β－tan α＋3tan αtan β＝4，
所以－(tan β＋tan α)＝3(1－tan αtan β)，
所以＝－＝－，
所以tan (α＋β)＝－，
因为α，β∈(0，)，所以(α＋β)∈(0，π)，
所以α＋β＝.
随堂练习
1.sin 40°sin 50°－cos 40°cos 50°＝( )
A．－1 B．1
C．0 D．－cos 10°
答案：C
解析：由两角和的余弦公式得：sin 40°sin 50°－cos 40°cos 50°＝－(cos 40°cos 50°－sin 40°sin 50°)＝－cos (40°＋50°)＝－cos 90°＝0，故选C.
2．若cos θ＝－且θ∈(，π)，则sin (θ＋)的值为( )
A． B．－
C． D．
答案：A
解析：θ∈(，π)，故sin θ>0，因为cos θ＝－，所以sin θ＝＝，所以sin(θ＋)＝sin θcos ＋cos θsin ＝＝.故选A.
3. sin 15°＋cos 15°＝( )
A． B．
C． D．1
答案：C
解析：由两角和正弦公式，可得sin 15°＋cos 15°＝cos 30°sin 15°＋sin 30°cos 15°＝sin (15°＋30°)＝sin 45°＝.故选C.
4．已知tan (α－β)＝－2，tan (β＋)＝3，则tan (＋α)＝________．
解析：tan (＋α)＝tan [(α－β)＋(β＋)]
＝
＝＝.
课堂小结
1.使用两角和与差的正弦、余弦、正切公式时，不仅要会正用，还要能够逆用公式，要先从化简式子的结构出发，确定是正用、逆用还是变形用，并注意整体代换．
2．利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式主要解决给角求值、给值求值、给值求角．(共32张PPT)
第3课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式
预学案
共学案
预学案
二倍角公式
三角函数 公式 简记
正弦 sin 2α＝________ S2α
余弦 cos 2α＝________ ＝________ ＝________ C2α
正切 tan 2α＝________ T2α
2sin αcos α
2cos2α－1
1－2sin2α
cos2α－sin2α
微点拨
(1)二倍角的“广义理解”：二倍角是相对的，如4α是2α的二倍角，α是的二倍角等，“倍”是描述两个数量之间关系的，这里蕴含着换元思想．
(2)对于S2α和C2α，α∈R，但是在使用T2α时，要保证分母1－tan2α≠0且tanα有意义，即α≠＋kπ且α≠－＋kπ且α≠＋kπ(k∈Z)．当α＝＋kπ及α＝－＋kπ(k∈Z)时，tan 2α的值不存在；当α＝＋kπ(k∈Z)时，tan α的值不存在，故不能用二倍角公式求tan 2α，此时可以利用诱导公式直接求出tan 2α＝tan (π＋2kπ)＝0.
(3)二倍角的余弦公式的三种形式容易混淆，尤其是后两种．若对后两种形式不确定，可以记住第一种，再结合同角三角函数的平方关系推导出后两种．
(4)一般情况下，sin 2α≠2sin α，cos 2α≠2cos α，tan 2α≠2tan α.
(5)倍角公式的逆用能开拓思路，我们要熟悉这组公式的逆用形式．例如，sin 3αcos 3α＝sin 6α.
【即时练习】
1．已知sin α＝，cos α＝，则sin 2α＝ ( )
A． B．
C． D．
答案：D
解析：sin2α＝2sin αcos α＝2××＝.故选D.
2．已知sin α＝－，则cos 2α的值为( )
A．－ B．
C． D．－
答案：C
解析：cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×＝.故选C.
3．已知tan α＝－，则tan 2α＝________．
－
解析：因为tanα＝－，所以tan 2α＝＝＝－.
共学案
【学习目标】
(1)会用两角和(差)的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式．
(2)能熟练运用二倍角的公式进行简单的三角恒等变换并能灵活地将公式变形运用．
【问题探究】 (1)请同学们写出两角和的正弦、余弦、正切公式．
(2)令β＝α，你会得到怎样的结果？
(3)在cos 2α＝cos2α－sin2α中，能否只用sinα或cos α表示cos 2α？
提示：(1)sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β
cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
tan (α＋β)＝
(2)sin 2α＝2sin αcos α
cos 2α＝cos2α－sin2α
tan2α＝
(3)cos2α＝cos2α－(1－cos2α)＝2cos2α－1＝(1－sin2α)－sin2α＝1－2sin2α
题型 1 二倍角公式的简单应用
例1 求下列各式的值：
(1)sin2π－cos2π；
(2)；
(3)cos 20°·cos 40°·cos 80°.
解析：(1)原式＝－(cos2π－sin2π)＝－cosπ
＝－cos (π－)＝cos ＝.
(2)原式＝＝＝2×＝2．
(3)原式＝
＝＝
＝＝＝.
题后师说
利用二倍角公式解决给角求值问题的策略
跟踪训练1 求下列各式的值：
(1)；(2)cos4－sin4；(3)sin18°cos 36°.
解析：(1)＝
＝tan 150°＝×(－)＝－.
(2)原式＝(cos2－sin2)(cos2＋sin2)
＝cos2－sin2＝cos＝.
(3)sin 18°cos 36°＝cos 72°cos 36°＝
＝＝＝＝.
题型 2 给值求值
例2 (1)已知角α终边在第四象限，且2sin 2α＋1＝cos 2α，则tan α＝( )
A．－ B．－
C．－3 D．－2
答案：D
解析：由题知，角α终边在第四象限，
所以sin α<0，cos α>0，
因为2sin 2α＋1＝cos 2α，
即4sin αcos α＋sin2α＋cos2α＝cos2α－sin2α，
化简可得：2sinαcos α＋sin2α＝0，
即tanα＝－2，故选D.
(2)已知cos (α＋)＝≤α<，求cos (2α＋)的值．
解析：∵≤α<，∴≤α＋<.
∵cos (α＋)>0，∴<α＋<
∴sin (α＋)＝－ ＝－＝－.
∴cos 2α＝sin (2α＋)＝2sin (α＋)cos (α＋)＝2×＝－，
sin 2α＝－cos (2α＋)＝1－2cos2(α＋)＝1－2×＝.
∴cos(2α＋)＝cos 2α－sin 2α
＝×(－)＝－.
一题多变 本例(2)中的条件不变，求的值．
解析：原式＝＝(cos α－sin α)＝2cos (α＋)＝.
学霸笔记：解决给值求值问题的方法
(1)给值求值问题，注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向：
①有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；
②寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系．
(2)注意几种公式的灵活应用，如：
①sin 2x＝cos (－2x)＝cos [2(－x)]＝2cos2(－x)－1＝1－2sin2(－x)．
②cos2x＝sin (－2x)＝sin [2(－x)]＝2sin (－x)cos (－x)．
跟踪训练2 (1)设α是第二象限角，P(x，4)为其终边上一点，且cos α＝，则tan 2α＝________．
解析：根据题意，cos α＝＝，解得x＝0或3或－3，又α是第二象限角，故x＝－3；
则tan α＝－，则tan 2α＝＝＝.
(2)已知sin (α－)＝，则sin (2α＋)＝________．
解析：sin(2α＋)＝cos (－(2α＋))＝cos (－2α)＝cos (2α－)＝1－2sin2(α－)－1＝1－2×＝.
题型 3 利用二倍角公式化简、证明
例3 化简：.
解析：方法一 原式＝＝
＝＝＝1.
方法二 原式＝＝
＝＝＝1.
学霸笔记：(1)化简的方法：①弦切互化，异名化同名，异角化同角；②降幂或升幂．
(2)证明恒等式，要观察恒等式两端的结构形式，处理原则是从复杂到简单，高次到低次，复角化单角；如果两端都比较复杂，那么将两端都化简，即采用“两头凑”的思想．
跟踪训练3 求证：＝tan θ.
证明：左边＝
＝
＝tan θ＝右边．
随堂练习
1.2sin 75°cos 75° 的值是( )
A． B． C． D．
答案：A
解析：2sin 75°cos 75°＝sin 150°＝＝.故选A.
2．已知cos α＋3sin α＝0，则tan 2α＝( )
A． B．－ C．－ D．－
答案：B
解析：由cos α＋3sin α＝0，可得tan α＝－，则tan 2α＝＝＝－.故选B.
3．若sin α＝－，则cos 4α＝( )
A．－ B． C．－ D．
答案：A
解析：由sinα＝－得cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×＝，因此cos4α＝2cos22α－1＝2×－1＝－.故选A.
4．已知sin (－x)＝，且x∈(0，)，那么sin 2x＝________．
解析：sin2x＝cos (－2x)＝cos 2(－x)＝1－2sin2(－x)＝1－2×＝.
课堂小结
1.二倍角公式的推导．
2．利用二倍角公式的正用、逆用进行求值、化简、证明．
3．求值、化简应从“角”、“函数名”、“幂”、“形”四个方面着手分析，消除差异．(共39张PPT)
5.7 三角函数的应用
预学案
共学案
预学案
一、简谐振动
在物理学中，把物体受到的力(总是指向平衡位置)正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”，可以用函数y＝A sin (ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)表示，其中A>0，ω>0.
1．________就是简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离．
2．简谐运动的周期是T＝________，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间．
3．简谐运动的频率由公式f＝＝________给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数．
4．________称为相位；x＝0时的相位________称为初相．
A
ωx＋φ
φ
【即时练习】
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝－2sin (3x＋2)的振幅为－2.( )
(2)一个弹簧振子做简谐振动的周期为0.4 s，振幅为5 cm，则该振子在2 s内通过的路程为50 cm.( )
(3)电流强度I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝5sin (100πt＋)，则当t＝ s时，电流强度I为 A．( )
×
×
√
2．简谐运动y＝4sin (5x－)的相位与初相是( )
A．5x－ B．5x－，4
C．5x－，－ D．4，
答案：C
解析：相位是5x－，当x＝0时的相位为初相即－.故选C.
二、三角函数模型的应用
1．匀速圆周运动、简谐运动和交变电流都是理想化的运动变化现象，可以用____________准确地描述它们的运动变化规律．
2．函数模型的应用：利用搜集到的数据，先画出相应的“散点图”，观察散点图，然后进行函数拟合获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题．
三角函数模型
【即时练习】 已知某种交流电电流I(A)随时间t(s)的变化规律可以拟合为函数I＝5sin (100πt－)，t∈[0，＋∞)，则这种交流电在0.5 s内往复运动的次数为________．
25
解析：因为f＝＝＝＝50，所以0.5 s内往复运动的次数为0.5×50＝25.
微点拨
初相的确定方法：
若A<0或ω<0，φ就不是初相，此时应先利用诱导公式将x的系数或三角函数符号前的数化为正数，再确定初相．如函数y＝－sin (2x－)的初相不是－.
∵A＝－1<0，y＝－sin (2x－)＝sin [π＋(2x－)]＝sin (2x＋)，∴初相为.
一般地，有：
若A<0，ω>0，则f(x)＝A sin (ωx＋φ)＝－A sin (ωx＋φ＋π)；若A>0，ω<0，则f(x)＝A sin (ωx＋φ)＝A sin [π－(ωx＋φ)]＝A sin (－ωx＋π－φ)；若A<0，ω<0，则f(x)＝A sin (ωx＋φ)＝－A sin [－(ωx＋φ)]＝－A sin (－ωx－φ).
共学案
【学习目标】
(1)了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，并会用三角函数模型解决一些简单的实际问题．
(2)能将某些实际问题抽象为三角函数模型．
题型 1 三角函数在物理中的应用
【问题探究】一个弹簧振子做简谐振动，在完成一次全振动的过程中，时间t(单位：s)与位移y(单位：mm)之间的关系如图所示．
若用函数y＝A sin (ωt＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)来刻画位移y随时间t的变化规律，你能写出y关于t的函数解析式吗？
提示：由题图可知，ω＝＝，A＝20.
又t＝0时，y＝20sin φ＝－20，
解得φ＝－＋2kπ，k∈Z.
又|φ|<π，所以φ＝－.
故y＝20sin (t－)．
例1 某用电器电流I(mA)随时间t(s)变化的关系式为I(t)＝A sin (ωt＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)，如图是其部分图象．
(1)求I(t)＝A sin (ωt＋φ)的解析式；
(2)若该用电器核心部件有效工作的电流|I|必须大于150 mA，则在1个周期内，该用电器核心部件的有效工作时间是多少？(电流的正负表示电流的正反方向)
解析：(1)∵周期T＝2×[]＝，
∴ω＝＝150π，
又A＝300，∴I(t)＝300sin (150πt＋φ)，
将点(－，0)代入上式，得sin (φ－)＝0，
又|φ|<，∴φ－＝0，φ＝，
∴I(t)＝300sin (150πt＋)．
(2)当t∈[0，]时，此时150πt＋∈[]，
令|I(t)|＝|300sin (150πt＋)|>150，
则sin (150πt＋)>或sin (150πt＋)<－，
所以<150πt＋<或<150πt＋<，
解得0由－0＝＝，
得在1个周期内，该用电器核心部件的有效工作时间是＝ s．
题后师说
处理物理学问题的策略
跟踪训练1 已知挂在弹簧下方的小球上下振动，小球在时间t(单位：s)时相对于平衡位置(即静止时的位置)的距离h(单位：cm)由函数解析式h(t)＝A sin (ωt＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<)决定，其部分图象如图所示．
(1)求小球在振动过程中的振幅、最小正周期和初相；
(2)若t∈[0，t0]时，小球至少有101次速度为0 cm/s，则t0的最小值是多少？
解析：(1)由图易知小球的振幅A＝3，
最小正周期T＝2()＝π，所以ω＝＝2，
∴h(t)＝3sin (2t＋φ)，
∴代入(，3)可得3＝3sin (2×＋φ)，
∴＋φ＝＋2kπ，k∈Z，即φ＝＋2kπ，k∈Z，
又0<φ<，∴初相φ＝.
(2)∵小球在振动过程中位于最高、最低位置时的速度为0 cm/s，
∴小球有100次速度为0 cm/s等价于函数h(t)有100次取得最值，
∵函数h(t)在一个周期内取得一次最大值、一次最小值，＝50，
∴函数h(t)经过50个周期时小球有100次速度为0 cm/s，
∴t∈[0，50π]时，小球有100次速度为0 cm/s，
又∵当t＝时，小球速度为0 cm/s，
∴t0的最小值为50π＋＝.
题型 2 三角函数在生活中的应用
例2 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上升，可以俯瞰四周景色，某摩天轮最高点距离地面的高度为110 m，最低点距离地面10 m，已知摩天轮共有40个座舱，开动后摩天轮按逆时针方向匀速旋转，转动一周的时间大约为20 min.游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转完一周后下舱．
(1)当游客距离地面高度不低于85 m时，可以看到游乐园全貌，问在游客乘坐摩天轮旋转一周的过程中，有多少分钟可以看到游乐园全貌？
(2)当甲、乙两人先后坐上相邻的座舱，何时二人距离地面的高度相等？
解析：(1)以摩天轮轴心为原点，与地面平行的直线为x轴，建立平面直角坐标系，设座舱距离地面最近的位置为点P，游客坐上座舱开始转动t min后距离地面的高度为H m，
当t＝0 min时，游客位于点P(0，－50)，以OP为终边的角为－，
因为摩天轮半径r＝＝50 m，旋转角速度为ω＝＝(rad/min)，
所以H＝50sin (t－)＋60，0≤t≤20，
当H＝50sin (t－)＋60≥85，
即sin (t－)≥，cos t≤－，
解得：t≤，解得：≤t≤，
因为＝ min，
故摩天轮旋转一周的过程中，有分钟可以看到游乐园全貌．
(2)设游客甲坐上座舱开始转动t min后，甲乙距离地面的高度分别为H1 m和H2 m，
H1＝50sin (t－)＋60，0≤t≤20，
因为摩天轮共有40个座舱，故相邻两个座舱之间的圆心角为＝，
故H2＝50sin (t－)＋60＝50sin (t－)＋60，0≤t≤20，
因为H1＝H2，所以sin (t－)＝sin (t－)，
因为0≤t≤20，所以(t－)＋(t－)＝π，解得：t＝ min，
所以当甲、乙两人先后坐上相邻的座舱， min时二人距离地面的高度相等．
题后师说
解三角函数应用问题的一般步骤
跟踪训练2 如图，某地一天从4～18时的温度变化曲线近似满足f(x)＝A sin (ωx＋φ)＋b，其中A>0，ω>0，0<φ<π.
(1)求A，b，ω，φ；
(2)求这一天4～12时的最大温差近似值．
参考数据：≈1.4，≈1.7.
解析：(1)由图象可知：f(x)max＝30，f(x)min＝10，f(x)最小正周期T＝2×(14－6)＝16，
∴A＝＝10，b＝＝20，ω＝＝；
∵f(14)＝10sin (×14＋φ)＋20＝30，∴sin (＋φ)＝1，
∴＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，解得：φ＝－＋2kπ(k∈Z)，
又0<φ<π，∴φ＝.
(2)由图象可知：f(x)在[4，6)上单调递减，在(6，12]上单调递增，
∴f(x)min＝f(6)＝10，f(x)max＝f(12)＝10sin ＋20＝5＋20，
∴f(x)max－f(x)min＝10＋5≈10＋5×1.4＝17，
即这一天4～12时的最大温差近似值为17.
题型 3 三角函数中的拟合问题
例3 某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y(米)随着时间t(0≤t≤24，单位：小时)而周期性变化．每天各时刻t的浪高数据的平均值如下表：
(1)试在图中描出所给点；
(2)观察图，从y＝at＋b，y＝A sin (ωt＋φ)＋b，y＝A cos (ωt＋φ)中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式；
(3)如果确定在一天内的7时至19时之间，当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排恰当的训练时间．
t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y(米) 1.0 1.4 1.0 0.6 1.0 1.4 0.9 0.4 1.0
解析：(1)散点图如下，
(2)由散点图可知：应选择y＝A sin (ωt＋φ)＋b，
则A＝＝，b＝1，T＝＝12，即ω＝，
将(0，1)代入可得：1＝sin φ＋1，解得：φ＝0，
∴该模型的解析式为：y＝sin ＋1(0≤t≤24)．
(3)令y＝sin ＋1≥0.8，则sin ≥－，
∵0≤t≤24，∴0≤t≤4π，∴0≤t≤或t≤或t≤4π，解得：0≤t≤7或11≤t≤19或23≤t≤24，∴应在白天11点到19点之间训练．
题后师说
解答三角函数模型中的拟合问题的步骤
跟踪训练3 “八月十八潮，壮观天下无．”——苏轼，该诗展现了湖水涨落的壮阔画面，某中学数学兴趣小组进行潮水涨落与时间的关系的数学建模活动，通过实地考察某港口水深y(米)与时间0≤t≤24(单位：小时)的关系，经过多次测量筛选，最后得到下表数据：
该小组成员通过查阅资料、咨询老师等工作，以及现有知识储备，再依据上述数据描成曲线，经拟合，该曲线可近似地看成函数图象．
t(小时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y(米) 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.1
(1)试根据数据表和曲线，求出近似函数的表达式；
(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于3.5米是安全的，如果某船舶公司的船的吃水度(船底与水面的距离)为8米，请你运用上面兴趣小组所得数据，结合所学知识，给该船舶公司提供安全进此港时间段的建议．
解析：(1)画出散点图，连线如图所示：
设y＝A sin ωt＋b，根据最大值13，最小值7，可列方程为： ，
再由T＝＝12，得ω＝，
y＝3sin t＋10(0≤t≤24)．
(2)3sin t＋10－8≥3.5 sin t≥.
∵0≤t≤24，∴0≤t≤4π，
∴t≤，或＋2π≤t≤＋2π，
解得1≤t≤5，或13≤t≤17，
所以请在1：00至5：00和13：00至17：00进港是安全的．
随堂练习
1.函数f(x)＝sin (x＋)的周期，振幅，初相分别是( )
A．π， B．4π，－2，－
C．4π， D．2π，2，
答案：C
解析：函数f(x)＝sin (x＋)的周期为T＝＝4π，振幅为A＝，初相为φ＝.故选C.
2.如图所示，单摆离开平衡位置O的位移s(单位：cm)和时间t(单位：s)的函数关系为s＝6sin (2πt＋)，则单摆在摆动时，从最右边到最左边的时间为( )
A．2 s B．1 s
C． s D． s
答案：C
解析：T＝＝1，所以从最右边到左边的时间为半个周期，即 s．故选C.
3．心脏每跳动一次，就完成一次收缩和舒张．心脏跳动时，血压在增大或缩小，并呈周期性变化，血压的最大值和最小值分别称为收缩压和舒张压．某人的血压满足函数p(t)＝110＋25sin (150πt)，其中p(t)为血压(单位：mmHg)，t为时间(单位：min)，则相邻的收缩压和舒张压的时间间隔是( )
A． B．
C． D．
答案：A
解析：由题知，血压的最大值与最小值分别为收缩压和舒张压，又血压函数为正弦三角函数，则相邻的收缩压和舒张压即血压函数的半个周期，则T＝＝，时间间隔为T＝.故选A.
4．海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐．一般早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节某天的时间与水深值(单位：m)记录表．
试用一个三角函数来近似地描述这个港口的水深值y与时间t∈[0，24]的函数关系，则这个函数关系式是________________________．
时刻 0：00 3：00 6：00 9：00 12：00 15：00 18：00 21：00 24：00
水深值 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0
y＝sin t＋5，t∈[0，24]
解析：设y与t之间的函数关系式为y＝A sin (ωt＋φ)＋B(A>0，ω>0)，
则由表中数据可得T＝12，且，
故ω＝＝且B＝5，A＝，所以y＝sin (t＋φ)＋5.
因为当t＝3时，y＝7.5，所以×3＋φ＝2kπ＋，k∈Z，解得φ＝2kπ，k∈Z，
故y＝sin t＋5，其中0≤t≤24.
课堂小结
1.三角函数在物理中的应用．
2．三角函数在生活中的应用．(共36张PPT)
第1课时 函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象
预学案
共学案
预学案
A，ω，φ对函数y＝A sin (ωx＋φ)图象的影响
1．φ对y＝sin (x＋φ)，x∈R的图象的影响
y＝sin (x＋φ) (φ≠0)的图象可以看作是把正弦曲线y＝sin x上所有的点________(当φ>0时)或________(当φ<0时)平行移动________个单位长度而得到．
2．ω(ω>0)对y＝sin (ωx＋φ)的图象的影响
函数y＝sin (ωx＋φ)的图象，可以看作是把y＝sin (x＋φ)的图象上所有点的横坐标________(当ω>1时)或________(当0<ω<1时)到原来的________倍(纵坐标________)而得到．
向左
向右
|φ|
缩短
伸长
不变
3．A(A>0)对y＝A sin (ωx＋φ)的图象的影响
函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象，可以看作是把y＝sin (ωx＋φ)图象上所有点的纵坐标________(当A>1时)或________(当04．函数y＝sin x的图象到函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象的变换过程
函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象，可以看作用下面的方法得到：先把正弦曲线y＝sin x上所有的点________(当φ>0时)或________(当φ<0时)平行移动________个单位长度，再把所得各点的横坐标________(当ω>1时)或________(当0<ω<1)到原来的______倍(纵坐标不变)，再把所得各点的纵坐标________(当A>1时)或________(当0伸长
缩短
A
向左
向右
|φ|
缩短
伸长
伸长
缩短
【即时练习】
1．把函数y＝sin x的图象向左平移个单位长度后所得图象的解析式为( )
A．y＝sin x－ B．y＝sin x＋
C．y＝sin (x－) D．y＝sin (x＋)
答案：D
解析：根据图象变换的方法，y＝sin x的图象向左平移个单位长度后得到y＝sin (x＋)的图象．故选D.
2．函数y＝sin 4x的图象可由函数y＝sin x的图象经过怎样的变换得到( )
A．所有点的横坐标变为原来的4倍
B．所有点的横坐标变为原来的倍
C．所有点的纵坐标变为原来的4倍
D．所有点的纵坐标变为原来的倍
答案：B
解析：将函数y＝sin x的图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝sin 4x的图象．
3．y＝sin x的图象向左平移φ个单位与y＝cos x重合，则正数φ的最小值为________．
解析：要得到y＝cos x＝sin (x＋)的图象，可把y＝sin x的图象向左平移个单位．
微点拨
(1)函数y＝A sin (ωx＋φ)图象平移变换的注意点
①y＝sin (x＋φ)与y＝sin x的图象形状是完全一样的，y＝sin (x＋φ)的图象可以由y＝sin x的图象向左或向右平移得到．
②左右平移是对x本身而言的，如果x前面的系数不是1，应提取系数，然后进行左右平移．
(2)ω对函数y＝A sin (ωx＋φ)图象影响的注意点
①ω(ω>0)影响函数y＝sin (ωx＋φ)的周期．
②y＝sin (ωx＋φ)(ω≠1)与y＝sin (x＋φ)的图象形状不同，此变换称为横向伸缩变换．
(3)A对函数y＝A sin (ωx＋φ)图象影响的注意点
①若A>0，则函数y＝A sin (ωx＋φ)的值域是[－A，A]，最大值是A，最小值是－A；若A<0，则函数y＝A sin (ωx＋φ)的值域是[A，－A]，最大值是－A，最小值是A.
②|A|的大小反映了曲线y＝A sin (ωx＋φ)波动幅度的大小．
③y＝A sin (ωx＋φ)与y＝sin (ωx＋φ)的图象形状不同，此变换称为纵向伸缩变换．
共学案
【学习目标】
(1)理解y＝A sin (ωx＋φ)中ω，φ，A对图象的影响．
(2)掌握y＝sin x与y＝A sin (ωx＋φ)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤．
题型 1 φ对y＝sin (x＋φ)，x∈R图象的影响
【问题探究1】 用五点法在同一坐标系下画出函数y＝sin x，y＝sin (x＋)的图象，观察它们的关系．
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 －1 0
0 π 2π
x
提示：
0 π 2π
x
0 1 0 －1 0
例1 函数y＝sin (2x－)的图象可以看成是将函数y＝sin 2x的图象( )得到的．
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
答案：B
解析：因为y＝sin (2x－)＝sin [2(x－)]，所以函数y＝sin (2x－)的图象可以看成是将函数y＝sin 2x的图象向右平移个单位得到，故选B.
一题多变 将本例中的“y＝sin (2x－)”与“y＝sin 2x”互换位置，结果如何？
解析：y＝sin (2x－)＝sin [2(x－)]向左平移个单位得到y＝sin 2x.故选A.
学霸笔记：平移变换的思路
对平移变换应先观察函数名是否相同，若函数名不同，则先化为同名函数，再观察x的系数，当x的系数不为1时，应提取系数确定平移的单位长度和方向，方向遵循左加右减，且从ωx到ωx＋φ的平移量为个单位长度．
跟踪训练1 要得到函数y＝cos (x－)的图象，只需将函数y＝sin x的图象( )
A．向左平移 B．向右平移
C．向右平移 D．向左平移
答案：D
解析：因为y＝cos (x－)＝sin [＋(x－)]＝sin (x＋)，要得到函数y＝cos (x－)的图象，只需将函数y＝sin x的图象向左平移个单位即可．故选D.
题型 2 ω(ω>0)对y＝sin (ωx＋φ)的图象的影响
【问题探究2】 (1)观察下图，你能发现什么？
提示：由图象我们可以看到，函数的周期从2π变成了4π(或π)，即函数的图象拉长(缩短)了，对于同一个y值，y＝sin (y＝sin 2x)的图象上的点的横坐标总是等于y＝sin x的图象上对应点的横坐标的2倍，这说明y＝sin (y＝sin 2x)的图象可以看作是把正弦曲线y＝sin x上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的2倍(纵坐标不变)而得到的．
(2)借助多媒体，在同一坐标系下画出y＝sin (x－)和y＝sin (2x－)的函数图象如图所示，结合(1)，你能得到什么？
提示：可以发现，对于同一个y值，y＝sin (2x－)的图象上的点的横坐标总是等于y＝sin (x－)的图象上的点的横坐标的，这说明y＝sin (2x－)的图象可以看作是把正弦曲线y＝sin (x－)上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)而得到的．
例2 为了得到函数y＝sin ()的图象，只需将y＝sin (x＋)的图象上的所有点( )
A．横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变
B．横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变
C．纵坐标伸长为原来的2倍，横坐标不变
D．纵坐标缩短为原来的倍，横坐标不变
答案：A
解析：将函数y＝sin (x＋)的图象上所有的点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，可得y＝sin ()的图象．
学霸笔记
在研究ω(ω>0)对y＝sin (ωx＋φ)图象的影响时，由y＝sin (x＋φ)图象上所有点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，即可得到y＝sin (ωx＋φ).
跟踪训练2 将函数f(x)图象上所有点的横坐标都伸长到原来的2倍，得到函数g(x)＝cos 2x的图象，则f(x)的解析式是( )
A．f(x)＝cos x B．f(x)＝cos 2x
C．f(x)＝cos 4x D．f(x)＝cos 8x
答案：C
解析：将函数g(x)图象上所有点的横坐标都缩短到原来的倍，可得到函数f(x)的图象，因为g(x)＝cos 2x，所以f(x)＝cos 4x.故选C.
题型 3 由y＝sin x的图象得到y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的变换过程
【问题探究3】 根据以上内容探究如何由y＝sin x得到y＝3sin (2x－)的图象？
方法一
方法二
提示：方法一 方法二
例3 将函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0，－≤φ<)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y＝sin x的图象，则f(x)＝____________．
sin (x＋)
解析：将函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0，－≤φ<)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，可得y＝sin (2ωx＋φ)的图象，
再向右平移个单位长度得到y＝sin (2ωx－2ω·＋φ)＝sin x的图象，
∴2ω＝1，且－2ω·＋φ＝2kπ，k∈Z，
解得ω＝，φ＝，∴函数f(x)＝sin (x＋)．
学霸笔记：由y＝sin x的图象得到函数y＝A sin (ωx＋φ)，(A＞0，ω＞0)的图象变化方法
(1)y＝sin xy＝sin (x＋φ)y＝sin (ωx＋φ)y＝A sin (ωx＋φ)．
(2)y＝sin xy＝sin ωxy＝sin [ω(x＋)]＝sin (ωx＋φ)y＝A sin (ωx＋φ)．
特别提醒：两种变换方法顺序不同，其中变换的量也有所不同：(1)是先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位．(2)是先周期变换后相位变换，平移个单位，这是很易出错的地方，应特别注意．
跟踪训练3 已知函数f(x)＝2sin (2x＋)．则能够使得y＝2sin x变成函数f(x)的变换为( )
A．先纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，再向左平移
B．先纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再向左平移
C．先向左平移，再纵坐标不变，横坐标变为原来的倍
D．先向左平移，再纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍
答案：C
解析：A选项，y＝2sin x→y＝2sin 2x→y＝2sin 2(x＋)＝2sin (2x＋)，故A错误；
B选项，y＝2sin x→y＝2sin →y＝2sin ＝2sin ()，故B错误；
C选项，y＝2sin x→y＝2sin (x＋)→y＝2sin (2x＋)，故C正确；
D选项，y＝2sin x→y＝2sin (x＋)→y＝2sin ()，故D错误．故选C.
随堂练习
1.为了得到函数y＝sin (3x－)的图象，需将函数y＝sin (x－)的图象( )
A．纵坐标变为原来的3倍，横坐标不变
B．横坐标变为原来的3倍，纵坐标不变
C．横坐标变为原来的，纵坐标不变
D．纵坐标变为原来的，横坐标不变
答案：C
解析：将函数y＝sin (x－)的图象横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，即可得到函数y＝sin (3x－)的图象，故选C.
2．将函数f(x)＝sin 2x的图象向左平移个单位长度得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)＝( )
A．cos 2x B．－cos 2x
C．sin (2x＋) D．sin (2x－)
答案：A
解析：把函数f(x)＝sin 2x的图象向左平移个单位长度后可得：y＝sin 2(x＋)＝sin (2x＋)＝cos 2x，故选A.
3．要得到函数y＝sin (2x－)的图象，只要将函数y＝cos 2x的图象( )
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
答案：D
解析：∵y＝sin (2x－)＝cos [－(2x－)]＝cos (2x－)＝cos [2(x－)]，∴将y＝cos 2x的图象向右平移个单位，可得函数y＝sin (2x－)的图象，故选D.
4．函数f(x)＝cos (2x＋φ)(0<φ<π)的图象向左平移个单位后与函数y＝－cos 2x的图象重合，则φ＝________．
解析：－cos 2x＝cos (2x＋π)，f(x＋)＝cos [2(x＋)＋φ]＝cos (2x＋＋φ)，因为平移后图象重合，故＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，因为0<φ<π，故φ＝.
课堂小结
理清三角函数图象变换的两种途径．