2024版新教材高中数学 第一章集合与常用逻辑用语(课件共9份打包)

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名称 2024版新教材高中数学 第一章集合与常用逻辑用语(课件共9份打包)
格式 zip
文件大小 6.4MB
资源类型 教案
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2023-11-11 15:12:58

文档简介

(共34张PPT)
第1课时 集合的概念
预学案
共学案
预学案
一、元素与集合的概念
1.元素:一般地,把________统称为元素.元素常用小写的拉丁字母a,b,c,…表示.
2.集合:把一些元素组成的________叫做集合(简称为集).集合通常用大写的拉丁字母A,B,C,…表示.
3.集合相等:只要构成两个集合的________是一样的,就称这两个集合是相等的.
4.元素的特性:______、_____、______.
研究对象
总体
元素
确定性、无序性、互异性
【即时练习】 下列所给的对象能构成集合的是(  )
A.中央电视台著名节目主持人
B.我市跑得快的汽车
C.我校所有的男生
D.数学必修第一册课本中所有的难题
答案:C
解析:∵构成集合的元素具有确定性,选项A、B、D中没有明确标准,不符合集合定义,选项C正确.故选C.
微点拨
(1)集合含义中的“研究对象”指的是集合的元素,研究集合问题的核心即研究集合中的元素,因此在解决集合问题时,首先要明确集合中的元素是什么.集合中的元素可以是点,也可以是一些人或一些物.
(2)集合是一个整体,已暗含“所有”“全部”“全体”的含义,因此一些对象一旦组成集合,那么这个集合就是全体,而非个别对象了.
二、元素与集合的关系
给定一个集合A,如果a是集合A的元素,就说a________集合A,记作________;如果a不是集合A中的元素,就说a________集合A,记作________.
属于
a∈A
不属于
a A
【即时练习】 设集合B是小于的所有实数的集合,则2________B,1+________B(用符号“∈”或“ ”填空).


解析:∵2=>,∴2 B.
∵1+<3<,∴1+∈B.
微点拨
(1)符号“∈”“ ”刻画的是元素与集合之间的关系.对于一个元素a与一个集合A而言,只有“a∈A”与“a A”这两种结果.
(2)∈和 具有方向性,左边是元素,右边是集合,例如R∈0是错误的.,
三、常用的数集及其记法
常用的数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
记法 ________ ________ ______ ______ ______
N
N*或N+
Z
Q
R
【即时练习】 用符号“∈”或“ ”填空:
________N;-4________Z;________Q;π________R.,




微点拨
共学案
【学习目标】 
(1)通过实例了解集合的含义,并掌握集合中元素的三个特性.
(2)体会元素与集合间的“从属关系”.
(3)记住常用数集的表示符号并会应用.
题型 1 对集合概念的进一步理解
【问题探究1】 分别由元素1,2,3和3,2,1组成的两个集合有何关系?集合中的元素有没有先后顺序?
提示:两个集合相等.只有构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等的.也就是说集合中的元素没有先后顺序(无序性).
例1 考察下列每组对象能否构成一个集合:
(1)不超过20的非负数;
(2)方程x2-9=0在实数范围内的解;
(3)某校2022年在校的所有矮个子同学;
(4)的近似值的全体.
解析:(1)对任意一个实数能判断出是不是“不超过20的非负数”,所以能构成集合;
(2)能构成集合,方程只有两个实根3和-3;
(3)“矮个子”无明确的标准,对于某个人算不算矮个子无法客观地判断,因此不能构成一个集合;
(4)“的近似值”不明确精确到什么程度,因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值,所以不能构成集合.
学霸笔记:判断一组对象能否组成集合的标准:判断一组对象能否组成集合,关键看该组对象是否满足确定性,如果此组对象满足确定性,就可以组成集合;否则,不能组成集合.同时还要注意集合中元素的互异性、无序性.
跟踪训练1 考察下列每组对象,能构成集合的是(  )
①中国各地的美丽乡村;②直角坐标系中横、纵坐标相等的点;③不小于3的自然数;④截止到2022年1月1日,参与“一带一路”的国家.
A.③④  B.②③④  C.②③  D.②④
答案:B
解析:对于①,“美丽”标准不明确,不符合集合中元素的确定性,∴①中对象不能构成集合;对于②③④,每组对象的标准明确,都符合集合中元素的确定性,∴②③④中对象可以构成集合.故选B.
题型 2 元素与集合的关系
【问题探究2】 设集合A表示“1~10之间的所有奇数”,3和4与集合A是何关系?
提示:3是集合A中的元素,即3属于集合A,记作3∈A;4不是集合A中的元素,即4不属于集合A,记作4 A.
例2 (1)(多选)下列关系中,正确的是(  )
A.- Z B.π R
C.|-|∈Q D.0∈N
答案:AD
解析:因为Z是整数集,故- Z,所以A正确;因为R是实数集,故π∈R,所以B错误;因为Q是有理数集,故|-|= Q,所以C错误;因为N是自然数集,故0∈N,所以D正确,故选AD.
(2)已知集合A含有三个元素2,4,6,且当a∈A,有6-a∈A,那么a为(  )
A.2 B.2或4
C.4 D.0
答案:B
解析:集合A含有三个元素2,4,6,且当a∈A,有6-a∈A,a=2∈A,6-a=4∈A,所以a=2,或者a=4∈A,6-a=2∈A,所以a=4,综上所述,a=2或4.故选B.
题后师说
判断元素与集合关系的2种方法
跟踪训练2 (1)下列所给关系中,正确关系的个数是(  )
①π∈Z ②∈Q ③2∈N ④|-4| R
A.1   B.2   C.3   D.4
答案:A
解析:对于①,π是无理数,所以π Z,故①错误;对于②,是无理数,所以 Q,故②错误;对于③,2∈N,故③正确;对于④,|-4|=4∈R,故④错误.故选A.
(2)已知集合M有两个元素3和a+1,且4∈M,则实数a=________.
3
解析:因为4∈M,且集合M有两个元素3和a+1,所以4=3或4=a+1,又4=3不成立,所以4=a+1,∴a=3.
题型 3 集合中元素的特性及应用
【问题探究3】 英文单词good的所有字母能否组成一个集合?若能组成一个集合,则该集合中有几个元素?为什么?
提示:能,因为集合中的元素是确定的(确定性);3个元素,因为集合中的元素是互不相同的(互异性).
例3 已知集合A含有两个元素a和a2,若1∈A,则实数a的值为________.
-1
解析:若1∈A,则a=1或a2=1,即a=±1.
当a=1时,集合A有重复元素,不符合元素的互异性,∴a≠1;
当a=-1时,集合A含有两个元素1,-1,符合元素的互异性.∴a=-1.
一题多变 本例若将条件“1∈A”改为“2∈A”,其他条件不变,求实数a的值.
解析:若a=2,则a2=4,符合元素的互异性;若a2=2,则a=或a=-,符合元素的互异性.所以a的取值为2,,-.
题后师说
由集合中元素的特性求解字母取值的一般步骤
跟踪训练3 已知集合A中含有a-2,a2+4a,12三个元素,且-3∈A,则a=(  )
A.-3或-1 B.-1
C.3 D.-3
答案:D
解析:因为-3∈A,当a-2=-3,得a=-1,则A={-3,12},不合题意,故舍去.
当a2+4a=-3,故a=-1(舍去)或a=-3,此时A={-5,-3,12},满足.故选D.
随堂练习
1.(多选)下列说法中,正确的是(  )
A.若a∈Z,则-a∈Z
B.R中最小的元素是0
C.的近似值的全体构成一个集合
D.一个集合中不可以有两个相同的元素
答案:AD
解析:若a∈Z,则-a也是整数,即-a∈Z,故A正确;因为实数集中没有最小的元素,所以B错误;因为“的近似值”不具有确定性,所以不能构成集合,故C错误;同一集合中的元素是互不相同的,故D正确.故选AD.
2.设不等式2x-3>0的解构成的集合为M,则下列表示正确的是(  )
A.0∈M,2∈M B.0 M,2∈M
C.0∈M,2 M D.0 M,2 M
答案:B
解析:由2x-3>0得x>,因为0<,2>,所以0 M,2∈M,故选B.
3.用“∈”或“ ”填空.
________Q,π________Q,________R,________R.




解析:∈Q,π Q,∈R,∈R.
4.已知集合A是由0,m,m2-3m+2三个元素构成的集合,且2∈A,则实数m=________.
3
解析:由题意知,m=2或m2-3m+2=2,解得m=2或m=0或m=3,经验证,当m=0或m=2时,不满足集合中元素的互异性,当m=3时,满足题意,故m=3.
课堂小结
1.研究对象能否构成集合,就要看是否有一个确定的标准,能确定一个个体是否属于这个总体.
2.集合元素的三个特征
(1)确定性:给定的集合,它的元素必须是确定的.
(2)互异性:给定的集合,它的任何两个元素都是不同的.
(3)无序性:集合中元素没有顺序.(共29张PPT)
第2课时 集合的表示
预学案
共学案
预学案
一、列举法
把集合的元素________出来,并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法.
微点拨
列举法表示集合时的注意事项:
(1)元素与元素之间必须用“,”隔开.
(2)集合中的元素必须是明确的.
(3)集合中的元素不能重复.
(4)集合中的元素可以是任何事物.
一一列举
【即时练习】 
1.方程x2-4x+3=0的所有实数根组成的集合为(  )
A.{1,3}  B.{1}  C.{x2-4x+3=0}  D.{x=1,x=3}
答案:A
解析:由x2-4x+3=0,得x=1或x=3,所以用列举法表示实根的集合为{1,3}.故选A.
2.集合{x∈N*|x<5}用列举法表示为____________.
{1,2,3,4}
解析:集合{x∈N*|x<5}用列举法表示为{1,2,3,4}.
二、描述法
1.定义:用集合所含元素的________表示集合的方法.
2.具体方法:在花括号内先写上表示这个集合元素的________及______________,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的________.
共同特征
一般符号
取值(或变化)范围
共同特征
微点拨
描述法表示集合时的注意事项:
(1)写清楚集合中元素的符号,如数或点等.
(2)说明该集合中元素的共同特征,如方程、不等式、函数式或几何图形等.
(3)不能出现未被说明的字母.
【即时练习】 
1.在数轴上与原点距离不大于3的点表示的数的集合是(  )
A. {x|x≤-3或x≥3} B.{x|-3≤x≤3}
C. {x|x≤-3} D.{x|x≥3}
答案:B
解析:由题意,满足|x|≤3的集合,可得:{x|-3≤x≤3},故选B.
2.用描述法表示集合“被4除余1的所有自然数”______________.
{x|x=4k+1,k∈N}
解析:由题意得,被4除余1的所有自然数的集合为{x|x=4k+1,k∈N}.
共学案
【学习目标】 
(1)掌握集合的两种表示方法(列举法、描述法).
(2)能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合.
题型 1 用列举法表示集合
【问题探究1】 设集合M是小于6的正整数组成的集合,集合M中的元素能一一列举出来吗?
提示:能.1,2,3,4,5.
例1 用列举法表示下列集合.
(1)不大于10的非负偶数组成的集合;
(2)方程x3=x的所有实数解组成的集合;
(3)直线y=2x+1与y轴的交点所组成的集合.
解析:(1)因为不大于10是指小于或等于10,非负是大于或等于0的意思,所以不大于10的非负偶数集是{0,2,4,6,8,10}.
(2)方程x3=x的解是x=0或x=1或x=-1,所以方程的解组成的集合为{0,1,-1}.
(3)将x=0代入y=2x+1,得y=1,即交点是(0,1),故两直线的交点组成的集合是{(0,1)}.
题后师说
用列举法表示集合的步骤
跟踪训练1 用列举法表示下列集合:
(1)方程x2=2x的所有实数解组成的集合;
(2)一次函数y=x+3与y=-2x+6的图象的交点组成的集合D;
(3)由所有正整数构成的集合.
解析:(1)方程x2=2x的解是x=0或x=2,
所以方程的解组成的集合为{0,2}.
(2)由得
所以一次函数y=x+3与y=-2x+6的交点为(1,4),所以D={(1,4)}.
(3)正整数有1,2,3,…,所求集合为{1,2,3,…}.
题型 2 用描述法表示集合
【问题探究2】 你能用列举法表示不等式x-7<3的解集吗?该如何表示?
提示:不等式x-7<3的解是x<10,因为满足x<10的实数有无数个,所以x-7<3的解集无法用列举法表示,但是,我们可以利用解集中元素的共同特征,即x是实数,且x<10,把解集表示为{x∈R|x<10}.
例2 用描述法表示下列集合:
(1)比1大又比10小的实数组成的集合;
(2)不等式3x+4≥2x的所有解;
(3)到两坐标轴距离相等的点的集合.
解析:(1)根据描述用不等式表示出即可,可以表示成{x∈R|1(2)先表示成{x|3x+4≥2x},解不等式即{x|x≥-4}.
(3)到两坐标轴距离相等的点在坐标轴的角平分线上,即y=x,或y=-x,可以表示成{(x,y)|y=±x}.
题后师说
用描述法表示集合的步骤
跟踪训练2 用描述法表示下列集合:
(1)被3除余1的正整数的集合.
(2)坐标平面内第一象限内的点的集合.
(3)大于4的所有偶数.
解析:(1)因为集合中的元素除以3余数为1,所以集合表示为:{x|x=3n+1,n∈N};
(2)第一象限内的点,其横坐标、纵坐标均大于0,所以集合表示为:{(x,y)|x>0,y>0};
(3)大于4的所有偶数都是正整数,所以集合表示为:{x|x=2n,n≥3,n∈Z}.
题型 3 集合表示法的综合应用
例3 已知集合A={x|ax2-3x+2=0,x∈R,a∈R}.若A中只有一个元素,求a的值,并求集合A.
解析:当a=0时,集合A={x|-3x+2=0}={},
当a≠0时,Δ=0,∴9-8a=0,解得a=,此时集合A={},
综上所求,a的值为0或,当a=0时,集合A={},当a=时,集合A={}.
一题多变 在本例条件下,若A中至多有一个元素,求a的取值范围.
解析:A中至多有一个元素,即A中有一个元素或没有元素,当A中只有一个元素时,由例题可知,a=0或a=.当A中没有元素时,Δ=9-8a<0,且a≠0,即a>.故当A中至多有一个元素时,a的取值范围为{a|a=0或a≥}.
学霸笔记:
根据已知的集合求参数的关注点
(1)若已知集合是用描述法给出的,读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键,如例3集合A中的元素就是所给方程的根,由此便把集合的元素个数问题转化为方程的根的个数问题.
(2)a=0这种情况极易被忽视,对于方程“ax2+2x+1=0”有两种情况:一是a=0,即它是一元一次方程;二是a≠0,即它是一元二次方程,也只有在这种情况下,才能用判别式Δ来解决问题.
跟踪训练3 已知集合A={m-2,2m,m2-4},若0∈A,求实数m的值.
解析:分情况讨论:
①若m-2=0,则m=2,2m=4,m2-4=0,不符合集合元素的互异性原则;
②若2m=0,则m=0,m-2=-2,m2-4=-4,
此时A={-2,0,-4},符合题意;
③若m2-4=0,则m=2或-2,
当m=2时,m-2=0,2m=4,不符合集合元素的互异性原则;
当m=-2时,m-2=-4,2m=-4,不符合集合元素的互异性原则.
综上:m=0.
随堂练习
1.集合{x∈N*|x-3<2}另一种表示方法为(  )
A.{0,1,2,3,4} B.{1,2,3,4}
C.{0,1,2,3,4,5} D.{1,2,3,4,5}
答案:B
解析:{x∈N*|x-3<2}={x∈N*|x<5}={1,2,3,4}.故选B.
2.集合A={(x,y)|xy≤0,x∈R,y∈R}表示的是(  )
A.第二象限的点
B.第四象限的点
C.第二和第四象限的点
D.不在第一象限也不在第三象限的点
答案:D
解析:A={(x,y)|xy≤0,x∈R,y∈R}的元素满足xy<0或xy=0,
当xy=0时,表示两个坐标轴上的点,
当xy<0时,表示第二象限或者第四象限的点.故选D.
3.设集合A={1,-2,a2-1},B={1,a2-3a,0},若A,B相等,则实数a=________.
1
解析:由集合相等的概念得解得a=1.
4.选择适当的方法表示下列集合:
(1)不小于1且不大于17的质数组成的集合A;
(2)所有正奇数组成的集合B;
(3)绝对值不大于3的所有整数组成的集合C;
(4)直角坐标平面上,抛物线y=x2上的点组成的集合D.
解析:(1)不小于1且不大于17的质数有2,3,5,7,11,13,17,用列举法表示:A={2,3,5,7,11,13,17};
(2)所有正奇数有无数个,用描述法表示:B={x|x=2k+1,k∈N};
(3)绝对值不大于3的所有整数只有-3,-2,-1,0,1,2,3,用列举法表示:C={-3,-2,-1,0,1,2,3};
(4)直角坐标平面上,抛物线y=x2上的点,用描述法表示:D={(x,y)|y=x2}.
课堂小结
1.表示集合的要求:
(1)根据要表示的集合元素的特点,选择适当方法表示集合,一般要符合最简原则.
(2)一般情况下,元素个数无限的集合不宜用列举法表示,描述法既可以表示元素个数无限的集合,也可以表示元素个数有限的集合.
2.在用描述法表示集合时应注意:
(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么),是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式.
(2)元素具有怎样的属性.当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时,要去伪存真,而不能被表面的字母形式所迷惑.(共37张PPT)
1.2 集合间的基本关系
预学案
共学案
预学案
一、子集
定义 一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,就称集合A为集合B的________
记法与读法 记作________(或B A),读作“________”(或“B包含A”)
图示
结论 (1)任何一个集合是它本身的子集,即________;
(2)对于集合A,B,C,若A B,且B C,则________
子集
A B
A包含于B
A A
A C
微点拨
(1)子集是刻画两个集合之间关系的,它反映的是局部与整体之间的关系(而元素与集合之间的关系是个体与整体之间的关系).
(2)“A是B的子集”的含义是:集合A中的任何一个元素都是集合B的元素,即任意x∈A都能推出x∈B.
【即时练习】 已知集合M={x∈N|x<3},则下列关系正确的是(  )
A.0 M  B.-1∈M  C.{1,2}=M  D.{0,1} M
答案:D
解析:因为集合M={x∈N|x<3}={0,1,2},所以0∈M,A错误;-1 M,B错误;{1,2}≠M,C错误;{0,1} M,D正确.故选D.
二、集合相等
如果集合A的________元素都是集合B的元素,同时集合B的________元素都是集合A的元素,那么集合A与集合B相等.
微点拨
(1)若A B,又B A,则A=B;反之,如果A=B,则A B,且B A.
(2)若两集合相等,则两集合所含元素完全相同,与元素排列顺序无关.

任何一个
任何一个
【即时练习】 下列集合与集合A={2023,1}相等的是(  )
A.(1,2 023)
B.{(x,y)|x=2 023,y=1}
C.{x|x2-2 024x+2 023=0}
D.{(2 023,1)}
答案:C
解析:(1,2 023)表示一个点,不是集合,A不符;集合{(x,y)|x=2 023,y=1}的元素是点,与集合A不相等,B不符;{x|x2-2 024x+2 023=0}={2 023,1}=A,故C符合题意;集合{(2 023,1)}的元素是点,与集合A不相等,D不符题意.故选C.
三、真子集
定义 如果集合A B,但存在元素x∈B,且x A,我们称集合A是集合B的________
记法 记作________(或B A)
图示
结论 (1)A B且B C,则________;
(2)A B且A≠B,则________
真子集
微点拨
在真子集的定义中,A?B首先要满足A B,其次至少有一个x∈B,但x A.
【即时练习】 设集合M={1,2,3},N={-2,-1,0,1,2,3}.下列表示正确的是(  )
A.M∈N   B.M N   C.M N   D.N∈M

答案:B
四、空集
定义 我们把不含任何元素的集合,叫做________
记法 ________
规定 空集是任何集合的子集,即 A
特性 (1)空集只有一个子集,即它的本身,
(2)A≠ ,则 A
空集

微点拨
{0}与 的区别:{0}表示一个集合,且集合中有且仅有一个元素0;而 表示空集,其不含有任何元素,故{0}≠ .
【即时练习】 下列集合表示空集的是(  )
A.{x∈R|x2+1=0}  B.{ }  C.{0}  D.0
答案:A
解析:对于A:因为方程x2+1=0无实数根,所以{x∈R|x2+1=0}= ,故A正确;
对于B:集合{ }含有一个元素 的集合,故B错误;
对于C:集合{0}含有一个元素0的集合,故C错误;
对于D:0不是一个集合,故D错误.故选A.
共学案
【学习目标】 
(1)理解集合之间的包含和相等的含义,能识别给定集合的子集.(2)在具体情境中,了解全集与空集的含义.

题型 1 集合间关系的判断
【问题探究1】 集合间的关系有几种?
提示:3种.包含、真包含、相等.
例1 指出下列各对集合之间的关系:
(1)A={-1,1},B={(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)};
(2)A={x|x是等边三角形},B={x|x是等腰三角形};
(3)A={x|-1(4)A={x|x=2m+1,m∈Z},B={x|x=2n-1,n∈Z}.
解析:(1)集合A的元素是数,集合B的元素是有序实数对,故A与B之间无包含关系.
(2)等边三角形是三边相等的三角形,等腰三角形是两边相等的三角形,故A B.
(3)集合B={x|x<5},用数轴表示集合A,B,如图所示,由图可知A B.
(4)因为A={x|x=2m+1,m∈Z},B={x|x=2n-1,n∈Z},
所以集合A与集合B中的元素都是全体奇数,所以A=B.
题后师说
判断集合间关系的3种常用方法
跟踪训练1 (1)若集合A={x|x=3k-1,k∈Z},B={y|y=6m+5,m∈Z},则集合A与B的关系是(  )
A.A=B B.A B
C.B A D.不确定
答案:C 
解析:B={y|y=6m+5,m∈Z}={x|x=6m+5,m∈Z},任意x∈B,则存在m∈Z,使x=6m+5,而x=6m+5=3(2m+2)-1∈A,故B A,又∵2∈A,2 B,∴A=B,A B都不正确,故选C.
答案:A
解析:集合A,B,C,D,E之间的关系可用Venn图表示,结合下图可知,应选A.
题型 2 子集、真子集的个数问题
【问题探究2】 请写出集合{3,5,8}的所有子集和它的真子集.
提示:集合{3,5,8}的所有子集为 ,{3},{5},{8},{3,5},{3,8},{5,8},{3,5,8};
集合{3,5,8}的所有真子集为 ,{3},{5},{8},{3,5},{3,8},{5,8}.
例2 (1)集合A={x∈N|∈N}的真子集个数为________,非空真子集个数为________.
31
30
解析:∵∈N,x∈N,∴x=5,4,3,2,0,∴集合A={0,2,3,4,5},∴集合A的真子集个数为25-1=31,非空真子集个数为25-2=30.
解析:由题意可以确定集合M必含有元素1,2,
且至少含有元素3,4,5中的一个,因此依据集合M的元素个数分类如下:
含有3个元素:{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5};
含有4个元素:{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5};
含有5个元素:{1,2,3,4,5}.
故满足条件的集合M为{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},
{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5}.
题后师说
(1)求集合子集、真子集个数的3个步骤
(2)与子集、真子集个数有关的3个结论
假设集合A中含有n个元素,则有:
①A的子集的个数为2n个;
②A的真子集的个数为2n-1个;
③A的非空真子集的个数为2n-2个.
跟踪训练2 (1)集合A={x∈N|-5<2x-1<5}的子集个数为(  )
A.4 B.7
C.8 D.16
答案:C
解析:因为A={x∈N|-5<2x-1<5}={x∈N|-2答案:B
解析: M {1,2,3},可按元素个数分类依次写出集合M为{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3},共7个.故选B.
题型 3 由集合间的关系求参数范围
例3 已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m-6≤x≤2m-1},若A B,求实数m的取值范围.
解析:∵A B,∴解得
故3≤m≤4.
∴实数m的取值范围是{m|3≤m≤4}.
一题多变 本例中若将“A B”改为“B A”,其他条件不变,求m的取值范围.
解析:当B= 时,m-6>2m-1,即m<-5.
当B≠ 时,
即m∈ .
故实数m的取值范围是{m|m<-5}.
题后师说
根据集合的包含关系求参数的策略
跟踪训练3 已知集合A={3,m2},B={-1,3,2m-1},若A B,求实数m的值.
解析:因为A B,所以m2=2m-1,即(m-1)2=0,所以m=1,当m=1时,B={-1,3,1},A={3,1}满足A B.
随堂练习
1.下列各式中关系符号运用正确的是(  )
A.0= B. ∈{0,1,2}
C.1∈{0,1,2} D.{1}∈{0,1,2}
答案:C
解析:因为 是集合,0是数字,所以选项A错误;
因为{0,1,2}是集合,所以 {0,1,2},故选项B错误;
因为1是{0,1,2}中的元素,所以选项C正确;
因为{1} {0,1,2},所以选项D错误.故选C.
2.已知a=,A={x|x>,x∈R},则(  )
A.a A B.{a} A
C.{a}∈A D.{a}=A
答案:B
解析:因为a=,A={x|x>,x∈R},所以a∈A或{a} A.故选B.
3.已知集合A={x|2A.3 B.4
C.7 D.8
答案:D
解析:集合A={x|24.已知集合A={x|-2≤x≤2},B={x|x≥a},且A B,则实数a的取值范围是________.
{a|a≤-2}
解析:因为集合A={x|-2≤x≤2},B={x|x≥a},且A B,所以a≤-2.
课堂小结
1.对子集、真子集有关概念的理解.
2.集合子集的个数问题.
3.由集合间的关系求参数问题.(共35张PPT)
第1课时 并集、交集
预学案
共学案
预学案
一、并集
文字语言 一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合,称为集合A与B的________
符号语言
图形语言
运算性质
并集
{x|x∈A,或x∈B}
微点拨
(1)符号语言“x∈A或x∈B”包括三种情况:①x∈A,但x B;②x A,但x∈B;③x∈A且x∈B.
(2)对于A不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合.因为A与B可能有公共元素,每一个公共元素只能算一个元素.
【即时练习】 
1.设集合A={1,2,3},B={2,3,4},则A=(  )
A.{1,2,3,4}  B.{1,2,3}  
C.{2,3,4}   D.{1,3,4}
答案:A
解析:∵A={1,2,3},B={2,3,4},根据并集的定义可知:={1,2,3,4},选项A正确,选项B、C、D错误.故选A.
2.设参加某会议的代表构成集合A,其中全体女代表构成集合B,全体男代表构成集合C,则B=________.(填“A”或“B”或“C”)
A
解析:B表示参加该会议的全体女代表和全体男代表构成的集合即为集合A,故B=A.
二、交集
文字语言 一般地,由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合,称为A与B的________
符号语言 ____________________(读作“A交B”)
图形语言
运算性质
交集
A={x|x∈A,且x∈B}
B
微点拨
(1)交集概念中的“且”即“同时”的意思,两个集合交集中的元素必须同时是两个集合中的元素.
(2)交集概念中的“所有”两字不能省略,否则将会漏掉一些元素,一定要将相同的元素全部找出来.如A={1,2,3,4},B={2,3,4,5},则A={2,3,4},而不是{2,3},{2,4}或{3,4}.
【即时练习】 
1.设A={x|x是等腰三角形}和B={x|x是等边三角形},则A=(  )
A.{x|x是等腰三角形}  B.{x|x是等边三角形}
C. D.{x|x是三角形}
答案:B
解析:若A={x|x是等腰三角形}和B={x|x是等边三角形},则A={x|x是等边三角形}.故选B.
2.已知集合A={-1,-2,-3,4,5},B=N,则A=________.
{4,5}
解析:已知B=N,则B表示自然数集,所以A={4,5}.
共学案
【学习目标】 
(1)掌握并集、交集的定义.
(2)会进行简单的并集、交集运算.
题型 1 并集的运算
【问题探究1】 某超市进了两次货,第一次进的货是圆珠笔、钢笔、橡皮、笔记本、方便面、汽水共6种,第二次进的货是圆珠笔、铅笔、火腿肠、方便面共4种,我们用集合A表示第一次进货的品种,用集合B表示第二次进货的品种,通过观察,你能用集合C表示两次一共进货的品种吗?并讨论集合A,集合B与集合C的关系.

提示:A={圆珠笔,钢笔,橡皮,笔记本,方便面,汽水},B={圆珠笔,铅笔,火腿肠,方便面},则C={圆珠笔,钢笔,橡皮,笔记本,方便面,汽水,铅笔、火腿肠},容易发现集合C是由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的.
例1 (1)若集合A={-1,2},B={x|x2-2x=0},则集合A=(  )
A.{-1,2} B.{0,1,2}
C.{0,2} D.{-1,0,2}
解析:A={-1,2},B={x|x2-2x=0}={0,2},={-1,0,2},故选D.
答案:D
(2)已知集合M={x|-35},则M=(  )
A.{x|x<-5或x>-3}
B.{x|-5C.{x|-3D.{x|x<-3或x>5}
答案:A
解析: 将集合M和N在数轴上表示出来,如图所示,
可知M={x|x<-5或x>-3}.故选A.
题后师说
集合并集运算的策略
跟踪训练1 (1)已知集合A={1,2,3},B={x∈N|x≤2},则A=(  )
A.{2,3} B.{0,1,2,3}
C.{1,2} D.{1,2,3}
答案:B
解析:因为A={1,2,3},B={0,1,2},所以={0,1,2,3}.故选B.
(2)已知集合A={x|1≤x≤3},B={x|2A.{x|2C.{x|1≤x<4} D.{x|2≤x<4}
答案:C
解析:因为集合A={x|1≤x≤3},B={x|2题型 2 交集的运算
【问题探究2】 对于问题探究1中的集合A与集合B,你能用集合D表示两次进货一样的品种吗?并讨论集合A,B与集合D的关系.
提示:由A={圆珠笔,钢笔,橡皮,笔记本,方便面,汽水},B={圆珠笔,铅笔,火腿肠,方便面}知,集合D={圆珠笔,方便面},可见,集合D是由所有既属于集合A又属于集合B的元素组成的.
例2 (1)设集合A={x|-2A.{2}   B.{2,3}
C.{3,4}  D.{2,3,4}
解析:由题设有A={2,3},故选B.
答案:B
(2)若集合A={x|-2≤x≤3},B={x|x<-1或x>4},则集合A=(  )
A.{x|x≤3或x>4}  B.{x|-1C.{x|3≤x<4}   D.{x|-2≤x<-1}
答案:D
解析:将集合A、B表示在数轴上,由数轴可得A={x|-2≤x<-1},故选D.
题后师说
求集合交集的一般步骤
跟踪训练2 (1)设集合A={x|-1A.{x|0C.{1,2} D.{0,1,2}
答案:D
解析:B={0,1,2,3},A={0,1,2}.故选D.
(2)已知集合A={x|x<2},B={x|0<x≤3},则A=(  )
A.{x|0<x<2} B.{x|0<x≤2}
C.{x|2<x<3} D.{x|2<x≤3}
答案:A
解析:∵A={x|x<2},B={x|0<x≤3},∴A={x|0<x<2}.故选A.
题型 3 根据并集与交集运算求参数范围
例3 已知集合A={x|-3
解析:∵A=A,∴B A,
①当B= 时,k+1>2k-1,∴k<2.
②当B≠ ,则根据题意如图所示: 根据数轴可得解得2≤k≤.
综合①②可得k的取值范围为{k|k≤}.
一题多变 把本例中的条件“A=A”换为“A=A”,求k的取值范围.
解析:∵A=A,∴A B.
又A={x|-3由数轴可知解得k∈ ,
即当A=A时,k不存在.
题后师说
利用并集、交集性质求参数的策略
跟踪训练3 (1)设集合A={x|-1≤x<2},B={x|xA.{a|a<2} B.{a|a>-2}
C.{a|a>-1} D.{a|-1解析:由集合A={x|-1≤x<2},B={x|x-1.故选C.
答案:C 
(2)已知集合P={x|x≤3},Q={x|x>a},若P=R,则a的取值范围是________.

解析:由题意,在P={x|x≤3},Q={x|x>a}中,P=R,∴a≤3,∴a的取值范围为{a|a≤3}.
{a|a≤3}
随堂练习
1.已知集合A={x|2A.{x|2≤x<4} B.{x|2C.{2,3} D.{3}
答案:D
解析:B={x|2≤x<4,x∈Z}={2,3},又A={x|22.已知集合A={x|x<2},B={x|x>1},则A=(  )
A.R B.{x|1C.{x|x<2} D.{x|x>1}
答案:A
解析:由A={x|x<2},B={x|x>1},可得A={x|x<2}>1}=R,故选A.
3.设集合A={x|-2≤x≤2},B={x|x≤-},且A={x|-2≤x≤1},则a=(  )
A.-4 B.-2
C.2 D.4
答案:B
解析:集合A={x|-2≤x≤2},B={x|x≤-},且A={x|-2≤x≤1}.则-=1,解得a=-2.故选B.
4.(多选)若集合M N,则下列结论正确的是(  )
A.M=M B.M=N
C.N (M
答案:ABD
解析:∵M N,Venn图如图所示:
∴M=M,M=N,(M故选ABD.
课堂小结
1.对并集、交集概念的理解.
2.对于元素个数有限的集合,可直接根据集合的“交”“并”定义求解,但要注意集合元素的互异性.
3.对于元素个数无限的集合,进行交、并运算时,可借助数轴,利用数轴分析法求解,但要注意端点值能否取到.
4.由集合间的运算求参数范围问题.(共31张PPT)
第2课时 补集及综合应用
预学案
共学案
预学案
一、全集
1.定义:如果一个集合含有所研究问题中涉及的________,那么就称这个集合为全集.
2.符号表示:全集通常记作________.

微点拨
全集是一个相对概念,会因研究问题的不同而变化.如在实数范围内解不等式,全集为实数集R;在整数范围内解不等式,全集为整数集Z.
所有元素
U
二、补集
定义 文字语言 对于一个集合A,由全集U中__________的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,简称为集合A的补集,记作________
符号语言 UA=________________
图形语言
定义 (1) UA U;(2) UU= , U =U; (3) U( UA)=A;(4)A∪( UA)=U;A∩( UA)= 不属于集合A
UA
{x|x∈U,且x A}
微点拨
(1)补集是相对于全集而言的,它与全集不可分割.一方面,若没有定义全集,则不存在补集的说法;另一方面,补集的元素逃不出全集的范围.
(2)补集既是集合之间的一种关系,同时也是集合之间的一种运算.求集合A的补集的前提是A为全集U的子集,随着所选全集的不同,得到的补集也是不同的.
(3)符号 UA有三层意思:
①A是U的子集,即A U;② UA表示一个集合,且( UA) U;③ UA是U中不属于A的所有元素组成的集合,即 UA={x|x∈U,且x A}.
(4)若x∈U,则x∈A或x∈ UA,二者必居其一.
【即时练习】 
1.已知全集U={a,b,c,d},集合M={a,c},则 UM=(  )
A.   B.{a,c}  C.{b,d}  D.{a,b,c,d}
答案:C
解析: UM={b,d}.故选C.
2.设全集为U,M={0,2,4}, UM={6},则U=(  )
A.{0,2,4,6} B.{0,2,4} C.{6} D.
答案:A
解析:U={0,2,4,6}.
3.已知全集U={0,1,2},且 UA={2},则A=________.
{0,1}
解析:因为全集U={0,1,2},且 UA={2},则A={0,1}.
共学案
【学习目标】 
(1)理解补集的含义.(2)会求给定子集的补集.
题型 1 补集的运算
【问题探究】 如果把我们班每个同学看成集合的元素,所有同学组成集合U,男同学组成集合A,女同学组成集合B,这三个集合间有何关系?
提示:集合U是我们研究对象的全体,A U,B U,A= ,A=U.其中集合A与集合B有一种“互补”的关系.
例1 (1)若全集U={x∈R|-2≤x≤2},则集合A={x∈R|-2≤x≤0}的补集 UA为(  )
A.{x∈R|0<x<2}
B.{x∈R|0≤x<2}
C.{x∈R|0<x≤2}
D.{x∈R|0≤x≤2}
答案:C 
解析:借助数轴易得 UA={x∈R|0<x≤2}.
故选C.
(2)设U={x|-5≤x<-2,或2<x≤5,x∈Z},A={x|x2-2x-15=0},B={-3,3,4},则 UA=________________, UB=____________.
{-5,-4,3,4}
{-5,-4,5}
解析:方法一 在集合U中,因为x∈Z,则x的值为-5,-4,-3,3,4,5,
所以U={-5,-4,-3,3,4,5}.
又A={x|x2-2x-15=0}={-3,5},B={-3,3,4},
所以 UA={-5,-4,3,4}, UB={-5,-4,5}.
方法二 可用Venn图表示:
则 UA={-5,-4,3,4}, UB={-5,-4,5}.
题后师说
求解补集的策略
跟踪训练1 (1)已知全集U={x∈N|x≤6},A={1,2,3,4},则 UA=(  )
A.{1,5,6} B.{0,5,6}
C.{2,5,6} D.{1,2,3,4,5,6}
答案:B
解析:因为U={x∈N|x≤6}={0,1,2,3,4,5,6},A={1,2,3,4},所以 UA={0,5,6},故选B.
(2)已知U={x|-3≤x<3},A={x|-1≤x<3},则图中阴影部分表示的集合是(  )
A.{x|-3≤x≤-1} B.{x|x<-3或x≥3}
C.{x|x≤0} D.{x|-3≤x<-1}
答案:D
解析:由图可得,所求为集合A关于全集U的补集 UA,则 UA={x|-3≤x<-1}.故选D.
题型 2 并、交、补的综合运算
例2 已知集合A={x|-1≤x≤4},B={x|x<1或x>5}.
(1)若全集U=R,求A、( UA);
(2)若全集U=Z,求A∩( UB).
解析:(1)由题意可得,A={x|x≤4或x>5},
且 UA={x|x<-1或x>4},则( UA)={x|x<-1或x>5}.
(2)根据题意,且U=Z,则可得 UB={1,2,3,4,5},
则A∩( UB)={1,2,3,4}.
题后师说
并、交、补运算的解题策略
跟踪训练2 (1)已知全集U={-2,-1,0,1,2,4},A={0,1,2},B={-2,1,4},则( UA)=(  )
A.{-2,4} B.{-2,1}
C.{-2,1,4} D.{-2,-1,1,4}
答案:A
解析:因为U={-2,-1,0,1,2,4},A={0,1,2},B={-2,1,4},所以 UA={-2,-1,4},( UA)={-2,4}.故选A.
(2)集合A={x|14},则集合A∪( RB)=(  )
A.R B.{x|2≤x<3}
C.{x|1答案:C
解析:由题意,集合B={x|x<2或x>4},可得 RB={x|2≤x≤4},又由A={x|1题型 3 与补集有关的参数值的求解
例3 设集合A={x|x+m≥0},B={x|-2解析:由已知A={x|x≥-m},
得 UA={x|x<-m},
因为B={x|-2所以-m≤-2,即m≥2,
所以m的取值范围是{m|m≥2}.
一题多变 (1)本例将条件“( UA)= ”改为“( UA)”,其他条件不变,则m的取值范围又是什么?
(2)本例将条件“( UA)= ”改为“( UB)=R”,其他条件不变,则m的取值范围又是什么?
解析:(1)由已知得A={x|x≥-m},
所以 UA={x|x<-m},
又( UA)
所以-m>-2,解得m<2.
(2)由已知A={x|x≥-m}, UB={x|x≤-2或x≥4}.
又( UB)=R,
所以-m≤-2,解得m≥2.
题后师说
由集合的补集求参数的策略
跟踪训练3 已知集合A={x|xA.{a|a≤1} B.{a|a<1}
C.{a|a≥2} D.{a|a>2}
答案:C
解析:∵B={x|1又∵A={x|x∴实数a的取值范围是{a|a≥2}.故选C.
随堂练习
1.已知集合A={1,4},全集U={1,2,3,4,5},则 UA=(  )
A. B.{1,3}
C.{2,3,5} D.{1,2,3,5}
答案:C
解析: UA={2,3,5}.故选C.
2.已知全集U=R,集合A={x|0≤x≤1},B={-1,1,2,4},那么阴影部分表示的集合为(  )
A.{-1,4} B.{1,2,4}
C.{1,4} D.{-1,2,4}
答案:D
解析:由题图,阴影部分为( RA)而 RA={x|x<0或x>1},且B={-1,1,2,4},所以( RA)={-1,2,4}.故选D.
3.设全集U=R,集合A={x|x>3},B={x|-2≤x≤5},则( UA)=(  )
A.{x|3≤x≤5} B.{x|-2≤x<3}
C.{x|0答案:D
解析:因为A={x|x>3},故 UA={x|x≤3},所以( UA)={x|-2≤x≤3}.故选D.
4.已知全集U={3,7,a2-2a-3},A={7,|a-7|}, UA={5},则a=________.

4
解析:因为U={3,7,a2-2a-3},A={7,|a-7|}, UA={5},所以5∈U,3∈A,则,解得a=4.
课堂小结
1.对集合中含参数的元素,要由条件先求出参数再作集合的运算.
2.集合是实数集的真子集时,其交、并、补运算要结合数轴进行.
3.有些较复杂的集合的运算可以先化简再进行.(共31张PPT)
1.4.1 充分条件与必要条件
预学案
共学案
预学案
一、命题
1.定义:一般地,我们把用语言、符号或式子表达的,可以判断________的陈述句叫做命题.
2.分类:判断为真的语句是真命题;判断为假的语句是假命题.
3.结构形式:“若p,则q”“如果p,那么q”等形式的命题中,其中________称为命题的条件,________称为命题的结论.
真假
p
q
微点拨
要判断一个命题是真命题,一般需要经过严格的推理论证,在判断时要有理有据,有时应综合各种情况作出正确的判断.而判断一个命题是假命题,只需举出一个反例即可.
【即时练习】 下列语句中,为真命题的是(  )
A.直角的补角是直角
B.同旁内角互补
C.过直线l外一点A作直线AB⊥l于点B
D.两个锐角的和是钝角
答案:A
解析:直角的补角是直角,所以A选项为真命题;只有两直线平行时同旁内角才互补,所以B选项为假命题;C选项中的语句是祈使句,不是命题;30°与20°的和为锐角,所在D选项为假命题.
二、充分条件与必要条件
“若p,则q”为真命题 “若p,则q”为假命题
推出关系 p________q p________q
条件关系 p是q的________条件 q是p的________条件 p不是q的________条件
q不是p的________条件
定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件
充分
必要
充分
必要
微点拨
(1)对充分条件的理解:充分条件是某一个结论成立应具备的条件,当命题具备此条件时,就可以得出此结论;或要使此结论成立,只要具备此条件就足够了,当命题不具备此条件时,结论也有可能成立.例如,x=6 x2=36,但是,当x≠6时,x2=36也可以成立,所以“x=6”是“x2=36成立”的充分条件.
(2)对必要条件的理解:①必要条件是在充分条件的基础上得出的,真命题的条件是结论成立的充分条件,但不一定是结论成立的必要条件;假命题的条件不是结论成立的充分条件,但有可能是结论成立的必要条件;②“p是q的必要条件”的理解:推出关系为q p,若有q,则必须有p;而具备了p,则不一定有q.
【即时练习】 
1.“两个三角形全等”是“两个三角形相似”的___________条件.(填“充分不必要”、“必要不充分”)
充分不必要
2.“四边形的四条边相等”是“四边形是正方形”的____________条件.(填“充分不必要”、“必要不充分”)
必要不充分
共学案
【学习目标】 
(1)理解充分条件、必要条件的概念.
(2)会判断充分条件、必要条件.
题型 1 充分条件的判断
【问题探究1】 
在如图所示电路图中,闭合开关K1是灯泡L亮的什么条件?
提示:闭合开关K1或闭合开关K2,都可以使灯泡L亮;反之,若要灯泡L亮,不一定非要闭合开关K1.因此,闭合开关K1是灯泡L亮的充分不必要条件.
例1 指出下列各题中,p是q的什么条件,并说明原因.
(1)p:x>3,q:x>0;
(2)p:m<-2,q:方程x2-x-m=0无实根;
(3)p:a>2且b>2,q:a+b>4,ab>4.
解析:(1)x>3则x>0一定成立,即p q,q p;故p是q的充分不必要条件.
(2)∵m<-2,∴12+4m<0,∴方程x2-x-m=0无实根,但1+4m<0即m<-时不一定m<-2,∴p是q的充分不必要条件.
(3)由a>2且b>2 a+b>4,ab>4,但a+b>4,ab>4时,取a=,b=9,a>2且b>2不成立,∴p是q的充分不必要条件.
题后师说
充分条件的3种判断方法
跟踪训练1 指出下列哪个命题中p是q的充分条件?
(1)在△ABC中,p:∠B>∠C,q:AC>AB.
(2)已知x,y∈R,p:x=1,q:(x-1)(x-2)=0.
解析:(1)在△ABC中,由大角对大边知,∠B>∠C AC>AB,
所以p是q的充分条件.
(2)由x=1 (x-1)(x-2)=0,
故p是q的充分条件.
故(1)(2)命题中p是q的充分条件.
题型 2 必要条件的判断
【问题探究2】 
在如图所示电路图中,闭合开关K1是灯泡L亮的什么条件?
提示:闭合开关K1而不闭合开关K2,灯泡L不亮;反之,若要灯泡L亮,开关K1必须闭合,说明闭合开关K1是灯泡L亮的必要不充分条件.
例2 指出下列各题中,p是q的什么条件,并说明原因.
(1)p:x2>0,q:x>0;
(2)p:(a-2)(a-3)=0,q:a=3;
(3)p:一元二次方程x2-2x+c=0有两个实数根,q:c<0.
解析:(1)由于p q,q p,p是q的必要不充分条件.
(2)由(a-2)(a-3)=0可以推出a=2或a=3,不一定有a=3;由a=3可以得出(a-2)(a-3)=0,因此,p是q的必要不充分条件.
(3)对于p,一元二次方程x2-2x+c=0有两个实数根,则Δ=4-4c≥0,c≤1,
所以p是q的必要不充分条件.
题后师说
必要条件的3种判断方法
跟踪训练2 指出下列哪些命题中p是q的必要条件?
(1)p:数a能被3整除,q:数a能被6整除;
(2)p:xy>0,q:x>0,y>0.
解析:(1)“数a能被6整除”能推出“数a能被3整除”,所以q p,所以p是q的必要条件.
(2)若x>0,y>0,则xy>0,故q p,
所以p是q的必要条件.
题型 3 充分条件与必要条件的应用
例3 已知p:-1解析:设A={x|-1可得,解之得m≥3,则实数m的取值范围为m≥3.
一题多变 本例中条件不变,若p是q的必要条件,求实数m的取值范围.
解析:当m<-1时,1-m>3+m,q:x∈ ,此时,p是q的必要条件,符合要求;
当m≥-1时,由p是q的必要条件,
可得,解之得-1≤m<2,
综上,实数m的取值范围为m<2.
题后师说
利用充分条件、必要条件求参数范围的一般步骤
跟踪训练3 已知p:x>2,q:x>m.若p的一个充分不必要条件是q,则实数m的取值范围是________.
m>2
解析:由题意,在p:x>2,q:x>m中,p的一个充分不必要条件是q,∴m>2.
随堂练习
1.(多选)如果命题:p q是真命题,那么下列说法一定正确的是(  )
A.p是q的充分条件 B.p是q的必要条件
C.q是p的必要条件 D.q是p的充分条件
答案:AC
解析:因为命题“p q是真命题,所以p是q的充分条件,q是p的必要条件,故A、C正确,B、D错误.故选AC.
2.设a∈R,则“a=-1”是“a2=1”的(  )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.既是充分条件又是必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案:A
解析:由a2=1,可得a=±1,故“a=-1”是“a2=1”的充分不必要条件.故选A.
3.在△ABC中,“△ABC是钝角三角形”是“∠A+∠C<90°”的(  )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.既是充分条件又是必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案:B
解析:由∠A+∠C<90°,得∠B>90°,可以推出△ABC是钝角三角形,由△ABC是钝角三角形,不能推出∠A+∠C<90°,如∠A为钝角,则∠A+∠C>90°,所以“△ABC是钝角三角形”是“∠A+∠C<90°”的必要不充分条件.故选B.
4.若“x>k”是“-3≤x<2”的必要不充分条件,则实数k的取值范围是________.
k<-3
解析:根据题意,{x|-3≤x<2}是{x|x>k}的真子集,故可得k<-3.
课堂小结
1.对充分条件、必要条件概念理解.
2.充分条件、必要条件的判断.
3.充分条件、必要条件的应用.
(共32张PPT)
1.4.2 充要条件
预学案
共学案
预学案
一、逆命题
将命题“若p,则q”中的条件p和结论q互换,就得到一个新的命题“____________”,称这个命题为原命题的逆命题.
若q,则p
【即时练习】 
1.命题“若x>1,则x>0”的逆命题是____________.
若x>0,则x>1
2.命题“正三角形都相似”的逆命题是______.
答案:若三角形相似,则这些三角形是正三角形
解析:原命题:若三角形是正三角形,则这些三角形相似.
逆命题:若三角形相似,则这些三角形是正三角形.
二、充要条件
如果“若p,则q”和它的逆命题“若q,则p”均是真命题,即既有________,又有________,就记作________,此时,p既是q的充分条件,也是q的必要条件,我们说p是q的充分必要条件,简称为________条件.
p q
q p
p q
充要
微点拨
(1)p是q的充要条件意味着“p成立,则q一定成立;p不成立,则q一定不成立”.
(2)如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.概括地说,如果p q,那么p与q互为充要条件.
(3)命题p与q的四个关系
①若p q,则p与q互为充要条件;②若p q,但q p,则p是q的充分不必要条件;③若q p,但p q,则p是q的必要不充分条件;④若p q,且q p,则p是q的既不充分也不必要条件.
【即时练习】 
1.在△ABC中,“a>b”是“A>B”的(  )
A.充分不必要条件  B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案:C
解析:在△ABC中,a>b A>B,所以“a>b”是“A>B”的充要条件.故选C.
2.“x=1”是“(x-1)2=0”的(  )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案:C
解析:将x=1代入方程(x-1)2=0中,显然方程成立;解方程(x-1)2=0,可得x=1;故“x=1”为方程“(x-1)2=0”的充要条件.故选C.
共学案
【学习目标】 
(1)理解充要条件的意义.
(2)会判断一些简单的充要条件问题.
(3)能对充要条件进行证明.
【问题探究】 
在如图所示电路图中,闭合开关K1是灯泡L亮的什么条件?
提示:闭合开关K1可使灯泡L亮;而灯泡L亮,开关K1一定是闭合的.因此,闭合开关K1是灯泡L亮的充要条件.
题型 1 充要条件的判断
例1 指出下列各组命题中,p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”).
(1)p:x=1,q:x-1=;
(2)p:-1≤x≤5,q:x≥-1且x≤5;
(3)p:x+2≠y,q:(x+2)2≠y2;
(4)p:a是自然数;q:a是正数.
解析:(1)当x=1时,x-1=成立;
当x-1=时,x=1或x=2.
∴p是q的充分不必要条件.
(2)∵-1≤x≤5 x≥-1且x≤5,
∴p是q的充要条件.
(3)由q:(x+2)2≠y2,
得x+2≠y且x+2≠-y,又p:x+2≠y,
故p是q的必要不充分条件.
(4)0是自然数,但0不是正数,故pD /q;又是正数,但不是自然数,故qD /p.故p是q的既不充分也不必要条件.
题后师说
判定充要条件常用方法
跟踪训练1 (1)三角形两边上的高相等是这个三角形为等腰三角形的(  )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案:C
解析:当三角形两边上的高相等时,由三角形面积公式可得这两边也相等,所以这个三角形为等腰三角形,当三角形为等腰三角形时,同样由三角形的面积公式可知,两腰上的高相等,所以三角形两边上的高相等是这个三角形为等腰三角形的充要条件,故选C.
(2)(多选)下列命题中为假命题的是(  )
A.“x>4”是“x>5”的必要不充分条件
B.“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的既不充分也不必要条件
C.“关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实根”的充要条件是“Δ=b2-4ac>0”
D.若集合A B,则“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件
答案:BCD
解析:“x>4”不能推出“x>5”,故充分性不成立;“x>5”则一定有“x>4”,故必要性成立,所以“x>4”是“x>5”的必要不充分条件,所以A正确;正三角形一定是等腰三角形,等腰三角形不一定是正三角形,所以“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的充分不必要条件,故B错误;“关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实根”的充要条件是“Δ=b2-4ac≥0,故C错误;当集合A=B时,应为充要条件,故D错误.故选BCD.
题型 2 充要条件的证明
例2 求证:关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
证明:充分性:由ac<0可得b2-4ac>0及x1·x2=<0,
∴方程ax2+bx+c=0有两不相等的实根,且两根异号,即方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根.
必要性:由于方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根,
∴Δ=b2-4ac>0,x1·x2=<0,∴ac<0.
综上可知,关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
学霸笔记
有关充要条件的证明问题,要分清哪个是条件,哪个是结论,由“条件 结论”是证明命题的充分性,由“结论 条件”是证明命题的必要性.证明要分两个环节:一是证明充分性;二是证明必要性.
跟踪训练2 求证:一次函数y=kx+b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b=0.
证明:①充分性:如果b=0,那么y=kx,
x=0时y=0,函数图象过原点.
②必要性:因为y=kx+b(k≠0)的图象过原点,
所以x=0时y=0,得0=k·0+b,b=0.
综上,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b=0.
题型 3 充分不必要、必要不充分、充要条件的应用
例3 已知p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0),若p是q的必要不充分条件,求实数m的取值范围.
解析:p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0).
因为p是q的必要不充分条件,
所以q是p的充分不必要条件,
即{x|1-m≤x≤1+m}?{x|-2≤x≤10},
故有或
解得m≤3.又m>0,
所以实数m的取值范围为{m|0一题多变 本例中p,q不变,是否存在实数m使p是q的充要条件?若存在,求出m的值;若不存在,说明理由.
解析:因为p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0).
若p是q的充要条件,则方程组无解.
故不存在实数m,使得p是q的充要条件.
题后师说
应用充分不必要、必要不充分及充要条件
求参数值(范围)的一般步骤
跟踪训练3 请在①充分不必要条件;②必要不充分条件;③充要条件.这三个条件中任选一个补充在下面问题中的横线部分.若问题中的a存在,求出a的取值范围,若问题中的a不存在,请说明理由.
问题:已知集合A={x|0≤x≤4},B={x|1-a≤x≤1+a}(a>0),是否存在实数a,使得x∈A是x∈B成立的________?
解析:选①,则A是B的真子集,则1-a≤0且1+a≥4(两等号不同时取),
又a>0,解得a≥3,
∴存在a,a的取值集合M={a|a≥3}.
选②,则B是A的真子集,则1-a≥0且1+a≤4(两等号不同时取),
又a>0,解得0∴存在a,a的取值集合M={a|0选③,则A=B,则1-a=0且1+a=4,又a>0,方程组无解.
∴不存在满足条件的a.
随堂练习
1.“x∈Q”是“x∈N”的(  )
A.必要不充分条件 B.充要条件
C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
答案:A
解析:因为x∈Q不能推出x∈N,且x∈N可以推出x∈Q,所以“x∈Q”是“x∈N”的必要不充分条件,故选A.
2.设 “-1A.充要条件 B.必要不充分条件
C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
答案:A
解析:因为|x|<1 -13.已知a∈R,则“a2>4”是“a≥2”的(  )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案:D
解析:a2>4 a>2或a<-2,因此a2>4是a≥2的既不充分也不必要条件,故选D.
4.若“不等式x-m<1成立”的充要条件为“x<2”,则实数m的值为________.
1
解析:解不等式x-m<1得x课堂小结
1.对充要条件概念的理解.
2.充要条件的证明分充分性的证明和必要性的证明.
3.充分不必要、必要不充分、充要条件的应用.
(共29张PPT)
1.5.1 全称量词与存在量词
预学案
共学案
预学案
一、全称量词与全称量词命题
全称量词 所有的、任意一个、一切、每一个、任给
符号 ________
全称量词命题 含有________的命题
形式 “对M中________一个x,有p(x)成立”,可用符号简记为______________

全称量词
任意
x∈M,p(x)
微点拨
(1)从集合的观点看,全称量词命题是陈述某集合中的所有元素都具有某种性质的命题.
(2)全称量词命题含有全称量词,有些全称量词命题中的全称量词是省略的,理解时需要把它补充出来.例如命题“平行四边形的对角线相互平分”应理解为“所有的平行四边形的对角线相互平分”.
【即时练习】 下列命题是全称量词命题的是(  )
A.有一个偶数是素数
B.一元二次方程不总有实数根
C.每个四边形的内角和都是360°
D.有些三角形是直角三角形
答案:C
解析:根据全称量词命题和存在量词命题的定义可知,A、B、D是存在量词命题,C是全称量词命题.故选C.
二、存在量词与存在量词命题
存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的
符号表示 __________
存在量词命题 含有________的命题
形式 “存在M中的一个x,使p(x)成立”可用符号简记为_____________

存在量词
x∈M,p(x)
微点拨
(1)从集合的观点看,存在量词命题是陈述某集合中有(存在)一些元素具有某种性质的命题.
(2)含有存在量词“存在”“有一个”等命题,或虽然没有写出存在量词,但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题.
【即时练习】 已知命题:①任何实数的平方都是非负数;②有些三角形的三个内角都是锐角;③每一个实数都有相反数;④所有数与0相乘,都等于0.其中含存在量词的命题的个数是(  )
A.1     B.2     C.3     D.4

答案:A
解析:①任何实数的平方都是非负数,含全称量词“任何”,不符;②有些三角形的三个内角都是锐角,含存在量词“有些”,符合;③每一个实数都有相反数,含全称量词“每一个”,不符;④所有数与0相乘,都等于0,含全称量词“所有”,不符.故选A.
共学案
【学习目标】 
(1)理解全称量词、全称量词命题的定义.
(2)理解存在量词、存在量词命题的定义.
(3)会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题,并会判断它们的真假.
题型 1 全称量词命题与存在量词命题的辨析
【问题探究1】 下列语句是命题吗?比较(1)和(3),(2)和(4),它们之间有什么关系?
(1)2x+1是整数;
(2)x能被2和3整除;
(3)对任意一个x∈Z,2x+1是整数;
(4)至少有一个x∈Z,x能被2和3整除.
提示:语句(1)(2)中含有变量x,由于不知道变量x代表什么数,无法判断他们的真假,所以他们不是命题.语句(3)在(1)的基础上,用短语“任意一个”对变量x进行限定,从而使(3)成为可以判断真假的语句,因此(3)是命题.语句(4)在(2)的基础上,用“至少有一个”对变量x的取值进行限定,从而使(4)成为可以判断真假的语句,因此(4)是命题.
例1 判断下列命题是全称量词命题,还是存在量词命题.
(1)存在x,使得x-2≤0;
(2)矩形的对角线互相垂直平分;
(3)三角形的两边之和大于第三边;
(4)有些质数是奇数.
解析:(1)命题:“存在x,使得x-2≤0”中含有存在量词“存在”,它是存在量词命题;
(2)命题:“矩形的对角线互相垂直平分”省略了全称量词“所有”,它是全称量词命题;
(3)命题:“三角形的两边之和大于第三边”省略了全称量词“所有”,它是全称量词命题;
(4)命题:“有些质数是奇数”中含有存在量词“有些”,它是存在量词命题.
题后师说
判断一个语句是全称量词命题
还是存在量词命题的一般步骤
跟踪训练1 判断下列命题是全称量词命题,还是存在量词命题,用量词符号“ ”“ ”表示下列命题.
(1)自然数的平方大于零;
(2)存在一对整数x0,y0,使2x0+4y0=3;
(3)存在一个无理数,它的立方是有理数.
解析:(1)全称量词命题, x∈N,x2>0.
(2)存在量词命题, x0,y0∈Z,2x0+4y0=3.
(3)存在量词命题, x0∈{无理数∈Q.
题型 2 全称量词命题和存在量词命题的真假判断
【问题探究2】 对于【问题探究1】中的(3)(4),你能判断真假吗?
提示:(3)中,任意x∈Z,则2x为整数,所以2x+1是整数,是真命题;(4)是真命题.
例2 判断下列命题的真假.
(1) x∈Z,x3<1;
(2)存在一个四边形不是平行四边形;
(3)在平面直角坐标系中,任意有序实数对(x,y)都对应一点P;
(4) x∈N,x2>0.
解析:(1)因为-1∈Z,且(-1)3=-1<1,
所以“ x∈Z,x3<1”是真命题.
(2)真命题,如梯形.
(3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知,它是真命题.
(4)因为0∈N,02=0,所以命题“ x∈N,x2>0”是假命题.
题后师说
判断全称量词命题、存在量词命题真假的思路
跟踪训练2 (多选)下列命题中假命题是(  )
A. x∈Z,x4≥1
=3
C. x∈R,x2-x-1>0
D. x0∈N,|x0|≤0
答案:ABC
解析:对于A,取x=0,可知04<1,即A错误;
对于B,由=3,可得x0=±,显然±不是有理数,即B错误;
对于C,因为在一元二次不等式x2-x-1>0中,Δ=2+4>0,所以该不等式存在解,不是恒成立,比如取x=0时,不等式不成立,即C错误;
对于D,当x0=0时,|x0|≤0成立,即D正确.故选ABC.
题型 3 根据含量词命题的真假求参数的取值范围
例3 已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},且B≠ .若命题p:“ x∈B,x∈A”是真命题,求m的取值范围.

解析:由于命题p:“ x∈B,x∈A”是真命题,
所以B A,B≠ ,
所以解得2≤m≤3.
一题多变 本例中的条件不变,若命题p改为q:“ x∈A,x∈B”是真命题,求m的取值范围.
解析:q为真,则A
因为B≠ ,所以m≥2.
所以解得2≤m≤4.
题后师说
根据含量词命题的真假求参数范围的策略
跟踪训练3 若命题“ x∈R,x2-4x+a=0”为真命题,求实数a的取值范围.
解析:∵命题“ x∈R,x2-4x+a=0”为真命题,
∴方程x2-4x+a=0存在实数根,
则Δ=(-4)2-4a≥0,解得a≤4.
即实数a的取值范围为{a|a≤4}.
随堂练习
1.已知命题:“ x∈R,方程x2+4x+a=0有解”是真命题,则实数a的取值范围是(  )
A.a<4 B.a≤4
C.a>4 D.a≥4
答案:B
解析:“ x∈R,方程x2+4x+a=0有解”是真命题,故Δ=16-4a≥0,解得:a≤4.
2.下列语句不是存在量词命题的是(  )
A.至少有一个x,使x2+x+1=0成立
B.有的无理数的平方不是有理数
C.存在x∈R,3x+2是偶数
D.梯形有两边平行
答案:D
解析:对于A,至少有一个x,使x2+x+1=0成立,有存在量词“至少有一个”,是存在量词命题;对于B,有的无理数的平方不是有理数,有存在量词“有的”,是存在量词命题;对于C,存在x∈R,3x+2是偶数,有存在量词“存在”,是存在量词命题;对于D,梯形有两边平行,为梯形几何性质,省略了全称量词“所有”,是全称量词命题.故选D.
3.下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是(  )
A. x∈R,x2+2x+1>0
B.所有菱形的4条边都相等
C.若2x为偶数,则x∈N
D.π是无理数
答案:B
解析:四个选项中AB是全称量词命题,对于A: x∈R,x2+2x+1>0,当x=-1时,不成立,为假命题.对于B:根据菱形定义知:所有菱形的4条边都相等,为真命题.故选B.
4.对每一个x1∈R,x2∈R,且x1全称

解析:含有全称量词“每一个”,是全称量词命题,令x1=-1,x2=0,则,故此命题是假命题.
课堂小结
1.对全称量词、全称量词命题、存在量词、存在量词命题概念的理解.
2.含量词的命题的真假的判断.
3.依据含量词命题的真假求参数的范围.(共32张PPT)
1.5.2 全称量词命题与存在量词命题的否定
预学案
共学案
预学案
一、命题的否定
一般地,对一个命题进行______,就可以得到一个新的命题,这一新命题称为原命题的否定.
微点拨
一个命题和它的否定不能同时为真命题,也不能同时为假命题,只能一真一假.

否定
【即时练习】 “空集是任何集合的真子集”的否定为________________________.
空集不是任何集合的真子集
二、全称量词命题的否定
对于含有一个量词的全称量词命题的否定,有下面的结论:全称量词命题: x∈M,p(x),它的否定:______________.也就是说,全称量词命题的否定是_____________.
x∈M, p(x)
存在量词命题
微点拨
(1)全称量词命题的否定是一个存在量词命题,给出全称量词命题的否定时,既要改变全称量词,又要否定结论,所以找出全称量词,明确命题所提供的结论是对全称量词命题否定的关键.
(2)对于省去了全称量词的全称量词命题的否定,一般要先改写为含有全称量词的命题,再写出命题的否定.

【即时练习】 命题p:“ x∈Q,有x2∈Q”的否定形式 p为(  )
A. x Q,有x2 Q
B. x∈Q,有x2 Q
C. x Q,使x2 Q
D. x∈Q,使x2 Q
答案:D
解析:根据全称量词命题的否定是存在量词命题得:命题p:“ x∈Q,有x2∈Q”的否定形式 p为 x∈Q,使x2 Q,故选D.
三、存在量词命题的否定
对于含有一个量词的存在量词命题的否定,有下面的结论:存在量词命题: x∈M,p(x),它的否定:____________.也就是说,存在量词命题的否定是_____________.
微点拨
存在量词命题的否定是一个全称量词命题,给出存在量词命题的否定时,既要改变存在量词,又要否定结论,所以找出存在量词,明确命题所提供的结论是对存在量词命题否定的关键.
x∈M, p(x)
全称量词命题
【即时练习】 命题p: x∈R,x2-x+1=0的否定为(  )
A. x∈R,x2-x+1=0
B. x∈R,x2-x+1≠0
C. x∈R,x2-x+1≠0
D. x R,x2-x+1≠0,
答案:B
解析:命题p: x∈R,x2-x+1=0的否定为 x∈R,x2-x+1≠0.故选B.
共学案
【学习目标】 
(1)能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定.
(2)能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定.
题型 1 全称量词命题的否定
【问题探究1】 写出下列命题的否定:
(1)所有的矩形都是平行四边形;
(2)每一个素数都是奇数;
(3) x∈R,x+|x|≥0.
它们与原命题在形式上有什么变化?
提示:上面三个命题都是全称量词命题,即具有“ x∈M,p(x)”的形式.其中命题(1)的否定是“并非所有的矩形都是平行四边形”,也就是说,存在一个矩形不是平行四边形;命题(2)的否定是“并非每一个素数都是奇数”,也就是说,存在一个素数不是奇数;命题(3)的否定是“并非所有的x∈R,x+|x|≥0”,也就是说, x∈R,x+|x|<0.从命题形式看,这三个全称量词命题的否定都变成了存在量词命题.
例1 写出下列全称量词命题的否定,并判断所得命题真假.
(1)所有的矩形都是平行四边形;
(2)三角形的两边之和大于第三边;
(3) m>0,方程x2+x-m=0有实数根.
解析:(1)命题的否定:有些矩形不是平行四边形.它为假命题.
(2)“三角形的两边之和大于第三边”可改写为“任意三角形的两边之和都大于第三边”,故它的否定是“存在一个三角形的两边之和不大于第三边”.它为假命题.
(3)命题的否定: m>0,方程x2+x-m=0没有实数根.它为假命题.
学霸笔记:(1)全称量词命题: x∈M,p(x),它的否定: x∈M, p(x).
(2)全称量词命题的否定是存在量词命题时,对省略全称量词的全称量词命题可补上量词后进行否定.
跟踪训练1 (1)设命题p:所有的等边三角形都是等腰三角形,则p的否定为(  )
A.所有的等边三角形都不是等腰三角形
B.有的等边三角形不是等腰三角形
C.有的等腰三角形不是等边三角形
D.不是等边三角形的三角形不是等腰三角形
答案:B
解析:因为全称量词命题的否定为存在量词命题,所以命题p的否定为:有的等边三角形不是等腰三角形.故选B.
(2)若命题p: x∈R,x2>0,则命题p的否定是(  )
A. x∈R,x2≤0 B. x∈R,x2≤0
C. x∈R,x2>0 D. x R,x2≤0
答案:B
解析:全称量词命题的否定是存在量词命题,命题p的否定是: x∈R,x2≤0.故选B.
(3)若命题p: x>0,x2+x-1>0,则p的否定形式为________________.
x>0,x2+x-1≤0
解析:根据全称量词命题的否定形式,命题p: x>0,x2+x-1>0的否定为: x>0,x2+x-1≤0.
题型 2 存在量词命题的否定
【问题探究2】 写出下列命题的否定:
(1)存在一个实数的绝对值是正数;
(2)有些平行四边形是菱形;
(3) x∈R,x2-2x+3=0.
它们与原命题在形式上有什么变化?
提示:这三个命题都是存在量词命题,即具有“ x∈M,p(x)”的形式.其中命题(1)的否定是“不存在一个实数,它的绝对值是正数”,也就是说,所有实数的绝对值都不是正数;命题(2)的否定是“没有一个平行四边形是菱形”,也就是说,每一个平行四边形都不是菱形;命题(3)的否定是“不存在x∈R,x2-2x+3=0”,也就是说, x∈R,x2-2x+3≠0.从命题形式看,这三个存在量词命题的否定都变成了全称量词命题.
例2 写出下列存在量词命题的否定,并判断所得命题真假.
(1)实数的绝对值是非负数;
(2)矩形的对角线相等;
(3) x∈R,x2+1<0.
解析:(1)命题“实数的绝对值是非负数”可改写成“所有实数的绝对值都是非负数”,所以它的否定为“存在一个实数,它的绝对值不是非负数”.它为假命题;
(2)命题“矩形的对角线相等”可改写成“所有矩形的对角线都相等”,所以它的否定为“存在一个矩形,它的对角线不相等”.它为假命题;
(3)命题的否定是“ x∈R,x2+1≥0”.它为真命题.
学霸笔记:(1)存在量词命题的否定是全称量词命题,写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词,即 x∈M,p(x),它的否定: x∈M, p(x).
(2)存在量词命题的否定是全称量词命题,对省略存在量词的存在量词命题可补上量词后进行否定.
跟踪训练2 (1)命题“存在一个三角形,它的内角和小于180°”的否定形式是(  )
A.任何一个三角形,它的内角和不大于180°
B.存在一个三角形,它的内角和大于180°
C.任何一个三角形,它的内角和不小于180°
D.存在一个三角形,它的内角和不小于180°
答案:C
解析:由题意得“存在一个三角形,它的内角和小于180°”的否定是“任何一个三角形,它的内角和不小于180°”,故选C.
(2)命题“ x≥3,x2-2x+3<0”的否定是(  )
A. x≥3,x2-2x+3>0
B. x≥3,x2-2x+3≥0
C. x<3,x2-2x+3≥0
D. x<3,x2-2x+3≥0
答案:B
解析:因为命题“ x≥3,x2-2x+3<0”为存在量词命题,所以其否定为: x≥3,x2-2x+3≥0.故选B.
(3)命题“ x∈R,x2+1>3x”的否定是________________.
x∈R,x2+1≤3x
解析:“ x∈R,x2+1>3x”的否定是 x∈R,x2+1≤3x.
题型 3 含有量词命题的否定的应用
例3 若“ x∈R,x2+2x+2=m”的否定是假命题,求实数m的取值范围.
解析:因为“ x∈R,x2+2x+2=m”的否定是假命题,
所以“ x∈R,x2+2x+2=m”是真命题,
因此关于x的方程x2+2x+2-m=0有实根,
所以Δ=22-4×1×(2-m)≥0,解得m≥1.
因此实数m的取值范围是{m|m≥1}.
学霸笔记:
(1)命题和它的否定的真假性只能一真一假,解决问题时可以相互转化.
(2)求参数范围问题,通常根据有关全称量词和存在量词命题的意义列不等式求范围.
跟踪训练3 命题“存在x>a,使得2x+a<3”是假命题,求实数a的取值范围.
解析:因为命题“存在x>a,使得2x+a<3”是假命题,
所以此命题的否定“任意x>a,使得2x+a≥3”是真命题,
因为对任意x>a有2x+a>3a,所以3a≥3,解得a≥1.
所以实数a的取值范围是{a|a≥1}.
随堂练习
1.命题“对任意一个实数x,都有3x+5≥0”的否定是(  )
A.存在实数x,使得3x+5<0
B.对任意一个实数x,都有3x+5≤0
C.存在实数x,使得3x+5≤0
D.对任意一个实数x,都有3x+5<0
答案:A
解析:命题“对任意一个实数x,都有3x+5≥0”的否定是:存在实数x,使得3x+5<0.故选A.
2.命题“ x∈R,x2≠1”的否定是(  )
A. x∈R,x2=1 B. x R,x2=1
C. x∈R,x2=1 D. x R,x2=1
答案:A
解析:根据存在量词命题的否定是全称量词命题,可知命题“ x∈R,x2≠1”的否定是“ x∈R,x2=1”.故选A.
3.下列说法正确的是(  )
A.命题“ n∈N,n∈Z”是假命题
B.命题“ n∈N,n∈Z”的否定是“ n∈N,n∈Z”
C.命题“ x∈R,x-1<0”是真命题
D.命题“ x∈R,x-1<0”的否定是“ x∈R,x-1>0”
答案:C
解析:A选项,自然数都是整数,所以命题“ n∈N,n∈Z”是真命题,A选项错误.
B选项,命题“ n∈N,n∈Z”的否定是“ n∈N,n Z”,B选项错误.
C选项,当x=0时,x-1=-1<0,所以“ x∈R,x-1<0”是真命题,C选项正确.
D选项,命题“ x∈R,x-1<0”的否定是“ x∈R,x-1≥0”,D选项错误.故选C.
4.用符号语言表示命题:对于所有的正实数x,满足x2-x+1=0:________________;该命题的否定为:________________.
x>0,x2-x+1=0
x>0,x2-x+1≠0
解析:用符号语言表示原命题为: x>0,x2-x+1=0,该命题的否定为: x>0,x2-x+1≠0.
课堂小结
1.全称量词命题、存在量词命题的否定.
2.含量词命题的否定的应用.