首页
高中语文
高中数学
高中英语
高中物理
高中化学
高中历史
高中道德与法治(政治)
高中地理
高中生物
高中音乐
高中美术
高中体育
高中信息技术
高中通用技术
资源详情
高中数学
人教A版(2019)
必修 第一册
第一章 集合与常用逻辑用语
本章复习与测试
2024版新教材高中数学 第一章集合与常用逻辑用语(课件共9份打包)
文档属性
名称
2024版新教材高中数学 第一章集合与常用逻辑用语(课件共9份打包)
格式
zip
文件大小
6.4MB
资源类型
教案
版本资源
人教A版(2019)
科目
数学
更新时间
2023-11-11 15:12:58
点击下载
文档简介
(共34张PPT)
第1课时 集合的概念
预学案
共学案
预学案
一、元素与集合的概念
1.元素:一般地,把________统称为元素.元素常用小写的拉丁字母a,b,c,…表示.
2.集合:把一些元素组成的________叫做集合(简称为集).集合通常用大写的拉丁字母A,B,C,…表示.
3.集合相等:只要构成两个集合的________是一样的,就称这两个集合是相等的.
4.元素的特性:______、_____、______.
研究对象
总体
元素
确定性、无序性、互异性
【即时练习】 下列所给的对象能构成集合的是( )
A.中央电视台著名节目主持人
B.我市跑得快的汽车
C.我校所有的男生
D.数学必修第一册课本中所有的难题
答案:C
解析:∵构成集合的元素具有确定性,选项A、B、D中没有明确标准,不符合集合定义,选项C正确.故选C.
微点拨
(1)集合含义中的“研究对象”指的是集合的元素,研究集合问题的核心即研究集合中的元素,因此在解决集合问题时,首先要明确集合中的元素是什么.集合中的元素可以是点,也可以是一些人或一些物.
(2)集合是一个整体,已暗含“所有”“全部”“全体”的含义,因此一些对象一旦组成集合,那么这个集合就是全体,而非个别对象了.
二、元素与集合的关系
给定一个集合A,如果a是集合A的元素,就说a________集合A,记作________;如果a不是集合A中的元素,就说a________集合A,记作________.
属于
a∈A
不属于
a A
【即时练习】 设集合B是小于的所有实数的集合,则2________B,1+________B(用符号“∈”或“ ”填空).
∈
解析:∵2=>,∴2 B.
∵1+<3<,∴1+∈B.
微点拨
(1)符号“∈”“ ”刻画的是元素与集合之间的关系.对于一个元素a与一个集合A而言,只有“a∈A”与“a A”这两种结果.
(2)∈和 具有方向性,左边是元素,右边是集合,例如R∈0是错误的.,
三、常用的数集及其记法
常用的数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
记法 ________ ________ ______ ______ ______
N
N*或N+
Z
Q
R
【即时练习】 用符号“∈”或“ ”填空:
________N;-4________Z;________Q;π________R.,
∈
∈
∈
微点拨
共学案
【学习目标】
(1)通过实例了解集合的含义,并掌握集合中元素的三个特性.
(2)体会元素与集合间的“从属关系”.
(3)记住常用数集的表示符号并会应用.
题型 1 对集合概念的进一步理解
【问题探究1】 分别由元素1,2,3和3,2,1组成的两个集合有何关系?集合中的元素有没有先后顺序?
提示:两个集合相等.只有构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等的.也就是说集合中的元素没有先后顺序(无序性).
例1 考察下列每组对象能否构成一个集合:
(1)不超过20的非负数;
(2)方程x2-9=0在实数范围内的解;
(3)某校2022年在校的所有矮个子同学;
(4)的近似值的全体.
解析:(1)对任意一个实数能判断出是不是“不超过20的非负数”,所以能构成集合;
(2)能构成集合,方程只有两个实根3和-3;
(3)“矮个子”无明确的标准,对于某个人算不算矮个子无法客观地判断,因此不能构成一个集合;
(4)“的近似值”不明确精确到什么程度,因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值,所以不能构成集合.
学霸笔记:判断一组对象能否组成集合的标准:判断一组对象能否组成集合,关键看该组对象是否满足确定性,如果此组对象满足确定性,就可以组成集合;否则,不能组成集合.同时还要注意集合中元素的互异性、无序性.
跟踪训练1 考察下列每组对象,能构成集合的是( )
①中国各地的美丽乡村;②直角坐标系中横、纵坐标相等的点;③不小于3的自然数;④截止到2022年1月1日,参与“一带一路”的国家.
A.③④ B.②③④ C.②③ D.②④
答案:B
解析:对于①,“美丽”标准不明确,不符合集合中元素的确定性,∴①中对象不能构成集合;对于②③④,每组对象的标准明确,都符合集合中元素的确定性,∴②③④中对象可以构成集合.故选B.
题型 2 元素与集合的关系
【问题探究2】 设集合A表示“1~10之间的所有奇数”,3和4与集合A是何关系?
提示:3是集合A中的元素,即3属于集合A,记作3∈A;4不是集合A中的元素,即4不属于集合A,记作4 A.
例2 (1)(多选)下列关系中,正确的是( )
A.- Z B.π R
C.|-|∈Q D.0∈N
答案:AD
解析:因为Z是整数集,故- Z,所以A正确;因为R是实数集,故π∈R,所以B错误;因为Q是有理数集,故|-|= Q,所以C错误;因为N是自然数集,故0∈N,所以D正确,故选AD.
(2)已知集合A含有三个元素2,4,6,且当a∈A,有6-a∈A,那么a为( )
A.2 B.2或4
C.4 D.0
答案:B
解析:集合A含有三个元素2,4,6,且当a∈A,有6-a∈A,a=2∈A,6-a=4∈A,所以a=2,或者a=4∈A,6-a=2∈A,所以a=4,综上所述,a=2或4.故选B.
题后师说
判断元素与集合关系的2种方法
跟踪训练2 (1)下列所给关系中,正确关系的个数是( )
①π∈Z ②∈Q ③2∈N ④|-4| R
A.1 B.2 C.3 D.4
答案:A
解析:对于①,π是无理数,所以π Z,故①错误;对于②,是无理数,所以 Q,故②错误;对于③,2∈N,故③正确;对于④,|-4|=4∈R,故④错误.故选A.
(2)已知集合M有两个元素3和a+1,且4∈M,则实数a=________.
3
解析:因为4∈M,且集合M有两个元素3和a+1,所以4=3或4=a+1,又4=3不成立,所以4=a+1,∴a=3.
题型 3 集合中元素的特性及应用
【问题探究3】 英文单词good的所有字母能否组成一个集合?若能组成一个集合,则该集合中有几个元素?为什么?
提示:能,因为集合中的元素是确定的(确定性);3个元素,因为集合中的元素是互不相同的(互异性).
例3 已知集合A含有两个元素a和a2,若1∈A,则实数a的值为________.
-1
解析:若1∈A,则a=1或a2=1,即a=±1.
当a=1时,集合A有重复元素,不符合元素的互异性,∴a≠1;
当a=-1时,集合A含有两个元素1,-1,符合元素的互异性.∴a=-1.
一题多变 本例若将条件“1∈A”改为“2∈A”,其他条件不变,求实数a的值.
解析:若a=2,则a2=4,符合元素的互异性;若a2=2,则a=或a=-,符合元素的互异性.所以a的取值为2,,-.
题后师说
由集合中元素的特性求解字母取值的一般步骤
跟踪训练3 已知集合A中含有a-2,a2+4a,12三个元素,且-3∈A,则a=( )
A.-3或-1 B.-1
C.3 D.-3
答案:D
解析:因为-3∈A,当a-2=-3,得a=-1,则A={-3,12},不合题意,故舍去.
当a2+4a=-3,故a=-1(舍去)或a=-3,此时A={-5,-3,12},满足.故选D.
随堂练习
1.(多选)下列说法中,正确的是( )
A.若a∈Z,则-a∈Z
B.R中最小的元素是0
C.的近似值的全体构成一个集合
D.一个集合中不可以有两个相同的元素
答案:AD
解析:若a∈Z,则-a也是整数,即-a∈Z,故A正确;因为实数集中没有最小的元素,所以B错误;因为“的近似值”不具有确定性,所以不能构成集合,故C错误;同一集合中的元素是互不相同的,故D正确.故选AD.
2.设不等式2x-3>0的解构成的集合为M,则下列表示正确的是( )
A.0∈M,2∈M B.0 M,2∈M
C.0∈M,2 M D.0 M,2 M
答案:B
解析:由2x-3>0得x>,因为0<,2>,所以0 M,2∈M,故选B.
3.用“∈”或“ ”填空.
________Q,π________Q,________R,________R.
∈
∈
∈
解析:∈Q,π Q,∈R,∈R.
4.已知集合A是由0,m,m2-3m+2三个元素构成的集合,且2∈A,则实数m=________.
3
解析:由题意知,m=2或m2-3m+2=2,解得m=2或m=0或m=3,经验证,当m=0或m=2时,不满足集合中元素的互异性,当m=3时,满足题意,故m=3.
课堂小结
1.研究对象能否构成集合,就要看是否有一个确定的标准,能确定一个个体是否属于这个总体.
2.集合元素的三个特征
(1)确定性:给定的集合,它的元素必须是确定的.
(2)互异性:给定的集合,它的任何两个元素都是不同的.
(3)无序性:集合中元素没有顺序.(共29张PPT)
第2课时 集合的表示
预学案
共学案
预学案
一、列举法
把集合的元素________出来,并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法.
微点拨
列举法表示集合时的注意事项:
(1)元素与元素之间必须用“,”隔开.
(2)集合中的元素必须是明确的.
(3)集合中的元素不能重复.
(4)集合中的元素可以是任何事物.
一一列举
【即时练习】
1.方程x2-4x+3=0的所有实数根组成的集合为( )
A.{1,3} B.{1} C.{x2-4x+3=0} D.{x=1,x=3}
答案:A
解析:由x2-4x+3=0,得x=1或x=3,所以用列举法表示实根的集合为{1,3}.故选A.
2.集合{x∈N*|x<5}用列举法表示为____________.
{1,2,3,4}
解析:集合{x∈N*|x<5}用列举法表示为{1,2,3,4}.
二、描述法
1.定义:用集合所含元素的________表示集合的方法.
2.具体方法:在花括号内先写上表示这个集合元素的________及______________,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的________.
共同特征
一般符号
取值(或变化)范围
共同特征
微点拨
描述法表示集合时的注意事项:
(1)写清楚集合中元素的符号,如数或点等.
(2)说明该集合中元素的共同特征,如方程、不等式、函数式或几何图形等.
(3)不能出现未被说明的字母.
【即时练习】
1.在数轴上与原点距离不大于3的点表示的数的集合是( )
A. {x|x≤-3或x≥3} B.{x|-3≤x≤3}
C. {x|x≤-3} D.{x|x≥3}
答案:B
解析:由题意,满足|x|≤3的集合,可得:{x|-3≤x≤3},故选B.
2.用描述法表示集合“被4除余1的所有自然数”______________.
{x|x=4k+1,k∈N}
解析:由题意得,被4除余1的所有自然数的集合为{x|x=4k+1,k∈N}.
共学案
【学习目标】
(1)掌握集合的两种表示方法(列举法、描述法).
(2)能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合.
题型 1 用列举法表示集合
【问题探究1】 设集合M是小于6的正整数组成的集合,集合M中的元素能一一列举出来吗?
提示:能.1,2,3,4,5.
例1 用列举法表示下列集合.
(1)不大于10的非负偶数组成的集合;
(2)方程x3=x的所有实数解组成的集合;
(3)直线y=2x+1与y轴的交点所组成的集合.
解析:(1)因为不大于10是指小于或等于10,非负是大于或等于0的意思,所以不大于10的非负偶数集是{0,2,4,6,8,10}.
(2)方程x3=x的解是x=0或x=1或x=-1,所以方程的解组成的集合为{0,1,-1}.
(3)将x=0代入y=2x+1,得y=1,即交点是(0,1),故两直线的交点组成的集合是{(0,1)}.
题后师说
用列举法表示集合的步骤
跟踪训练1 用列举法表示下列集合:
(1)方程x2=2x的所有实数解组成的集合;
(2)一次函数y=x+3与y=-2x+6的图象的交点组成的集合D;
(3)由所有正整数构成的集合.
解析:(1)方程x2=2x的解是x=0或x=2,
所以方程的解组成的集合为{0,2}.
(2)由得
所以一次函数y=x+3与y=-2x+6的交点为(1,4),所以D={(1,4)}.
(3)正整数有1,2,3,…,所求集合为{1,2,3,…}.
题型 2 用描述法表示集合
【问题探究2】 你能用列举法表示不等式x-7<3的解集吗?该如何表示?
提示:不等式x-7<3的解是x<10,因为满足x<10的实数有无数个,所以x-7<3的解集无法用列举法表示,但是,我们可以利用解集中元素的共同特征,即x是实数,且x<10,把解集表示为{x∈R|x<10}.
例2 用描述法表示下列集合:
(1)比1大又比10小的实数组成的集合;
(2)不等式3x+4≥2x的所有解;
(3)到两坐标轴距离相等的点的集合.
解析:(1)根据描述用不等式表示出即可,可以表示成{x∈R|1
(2)先表示成{x|3x+4≥2x},解不等式即{x|x≥-4}.
(3)到两坐标轴距离相等的点在坐标轴的角平分线上,即y=x,或y=-x,可以表示成{(x,y)|y=±x}.
题后师说
用描述法表示集合的步骤
跟踪训练2 用描述法表示下列集合:
(1)被3除余1的正整数的集合.
(2)坐标平面内第一象限内的点的集合.
(3)大于4的所有偶数.
解析:(1)因为集合中的元素除以3余数为1,所以集合表示为:{x|x=3n+1,n∈N};
(2)第一象限内的点,其横坐标、纵坐标均大于0,所以集合表示为:{(x,y)|x>0,y>0};
(3)大于4的所有偶数都是正整数,所以集合表示为:{x|x=2n,n≥3,n∈Z}.
题型 3 集合表示法的综合应用
例3 已知集合A={x|ax2-3x+2=0,x∈R,a∈R}.若A中只有一个元素,求a的值,并求集合A.
解析:当a=0时,集合A={x|-3x+2=0}={},
当a≠0时,Δ=0,∴9-8a=0,解得a=,此时集合A={},
综上所求,a的值为0或,当a=0时,集合A={},当a=时,集合A={}.
一题多变 在本例条件下,若A中至多有一个元素,求a的取值范围.
解析:A中至多有一个元素,即A中有一个元素或没有元素,当A中只有一个元素时,由例题可知,a=0或a=.当A中没有元素时,Δ=9-8a<0,且a≠0,即a>.故当A中至多有一个元素时,a的取值范围为{a|a=0或a≥}.
学霸笔记:
根据已知的集合求参数的关注点
(1)若已知集合是用描述法给出的,读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键,如例3集合A中的元素就是所给方程的根,由此便把集合的元素个数问题转化为方程的根的个数问题.
(2)a=0这种情况极易被忽视,对于方程“ax2+2x+1=0”有两种情况:一是a=0,即它是一元一次方程;二是a≠0,即它是一元二次方程,也只有在这种情况下,才能用判别式Δ来解决问题.
跟踪训练3 已知集合A={m-2,2m,m2-4},若0∈A,求实数m的值.
解析:分情况讨论:
①若m-2=0,则m=2,2m=4,m2-4=0,不符合集合元素的互异性原则;
②若2m=0,则m=0,m-2=-2,m2-4=-4,
此时A={-2,0,-4},符合题意;
③若m2-4=0,则m=2或-2,
当m=2时,m-2=0,2m=4,不符合集合元素的互异性原则;
当m=-2时,m-2=-4,2m=-4,不符合集合元素的互异性原则.
综上:m=0.
随堂练习
1.集合{x∈N*|x-3<2}另一种表示方法为( )
A.{0,1,2,3,4} B.{1,2,3,4}
C.{0,1,2,3,4,5} D.{1,2,3,4,5}
答案:B
解析:{x∈N*|x-3<2}={x∈N*|x<5}={1,2,3,4}.故选B.
2.集合A={(x,y)|xy≤0,x∈R,y∈R}表示的是( )
A.第二象限的点
B.第四象限的点
C.第二和第四象限的点
D.不在第一象限也不在第三象限的点
答案:D
解析:A={(x,y)|xy≤0,x∈R,y∈R}的元素满足xy<0或xy=0,
当xy=0时,表示两个坐标轴上的点,
当xy<0时,表示第二象限或者第四象限的点.故选D.
3.设集合A={1,-2,a2-1},B={1,a2-3a,0},若A,B相等,则实数a=________.
1
解析:由集合相等的概念得解得a=1.
4.选择适当的方法表示下列集合:
(1)不小于1且不大于17的质数组成的集合A;
(2)所有正奇数组成的集合B;
(3)绝对值不大于3的所有整数组成的集合C;
(4)直角坐标平面上,抛物线y=x2上的点组成的集合D.
解析:(1)不小于1且不大于17的质数有2,3,5,7,11,13,17,用列举法表示:A={2,3,5,7,11,13,17};
(2)所有正奇数有无数个,用描述法表示:B={x|x=2k+1,k∈N};
(3)绝对值不大于3的所有整数只有-3,-2,-1,0,1,2,3,用列举法表示:C={-3,-2,-1,0,1,2,3};
(4)直角坐标平面上,抛物线y=x2上的点,用描述法表示:D={(x,y)|y=x2}.
课堂小结
1.表示集合的要求:
(1)根据要表示的集合元素的特点,选择适当方法表示集合,一般要符合最简原则.
(2)一般情况下,元素个数无限的集合不宜用列举法表示,描述法既可以表示元素个数无限的集合,也可以表示元素个数有限的集合.
2.在用描述法表示集合时应注意:
(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么),是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式.
(2)元素具有怎样的属性.当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时,要去伪存真,而不能被表面的字母形式所迷惑.(共37张PPT)
1.2 集合间的基本关系
预学案
共学案
预学案
一、子集
定义 一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,就称集合A为集合B的________
记法与读法 记作________(或B A),读作“________”(或“B包含A”)
图示
结论 (1)任何一个集合是它本身的子集,即________;
(2)对于集合A,B,C,若A B,且B C,则________
子集
A B
A包含于B
A A
A C
微点拨
(1)子集是刻画两个集合之间关系的,它反映的是局部与整体之间的关系(而元素与集合之间的关系是个体与整体之间的关系).
(2)“A是B的子集”的含义是:集合A中的任何一个元素都是集合B的元素,即任意x∈A都能推出x∈B.
【即时练习】 已知集合M={x∈N|x<3},则下列关系正确的是( )
A.0 M B.-1∈M C.{1,2}=M D.{0,1} M
答案:D
解析:因为集合M={x∈N|x<3}={0,1,2},所以0∈M,A错误;-1 M,B错误;{1,2}≠M,C错误;{0,1} M,D正确.故选D.
二、集合相等
如果集合A的________元素都是集合B的元素,同时集合B的________元素都是集合A的元素,那么集合A与集合B相等.
微点拨
(1)若A B,又B A,则A=B;反之,如果A=B,则A B,且B A.
(2)若两集合相等,则两集合所含元素完全相同,与元素排列顺序无关.
任何一个
任何一个
【即时练习】 下列集合与集合A={2023,1}相等的是( )
A.(1,2 023)
B.{(x,y)|x=2 023,y=1}
C.{x|x2-2 024x+2 023=0}
D.{(2 023,1)}
答案:C
解析:(1,2 023)表示一个点,不是集合,A不符;集合{(x,y)|x=2 023,y=1}的元素是点,与集合A不相等,B不符;{x|x2-2 024x+2 023=0}={2 023,1}=A,故C符合题意;集合{(2 023,1)}的元素是点,与集合A不相等,D不符题意.故选C.
三、真子集
定义 如果集合A B,但存在元素x∈B,且x A,我们称集合A是集合B的________
记法 记作________(或B A)
图示
结论 (1)A B且B C,则________;
(2)A B且A≠B,则________
真子集
微点拨
在真子集的定义中,A?B首先要满足A B,其次至少有一个x∈B,但x A.
【即时练习】 设集合M={1,2,3},N={-2,-1,0,1,2,3}.下列表示正确的是( )
A.M∈N B.M N C.M N D.N∈M
答案:B
四、空集
定义 我们把不含任何元素的集合,叫做________
记法 ________
规定 空集是任何集合的子集,即 A
特性 (1)空集只有一个子集,即它的本身,
(2)A≠ ,则 A
空集
微点拨
{0}与 的区别:{0}表示一个集合,且集合中有且仅有一个元素0;而 表示空集,其不含有任何元素,故{0}≠ .
【即时练习】 下列集合表示空集的是( )
A.{x∈R|x2+1=0} B.{ } C.{0} D.0
答案:A
解析:对于A:因为方程x2+1=0无实数根,所以{x∈R|x2+1=0}= ,故A正确;
对于B:集合{ }含有一个元素 的集合,故B错误;
对于C:集合{0}含有一个元素0的集合,故C错误;
对于D:0不是一个集合,故D错误.故选A.
共学案
【学习目标】
(1)理解集合之间的包含和相等的含义,能识别给定集合的子集.(2)在具体情境中,了解全集与空集的含义.
题型 1 集合间关系的判断
【问题探究1】 集合间的关系有几种?
提示:3种.包含、真包含、相等.
例1 指出下列各对集合之间的关系:
(1)A={-1,1},B={(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)};
(2)A={x|x是等边三角形},B={x|x是等腰三角形};
(3)A={x|-1
(4)A={x|x=2m+1,m∈Z},B={x|x=2n-1,n∈Z}.
解析:(1)集合A的元素是数,集合B的元素是有序实数对,故A与B之间无包含关系.
(2)等边三角形是三边相等的三角形,等腰三角形是两边相等的三角形,故A B.
(3)集合B={x|x<5},用数轴表示集合A,B,如图所示,由图可知A B.
(4)因为A={x|x=2m+1,m∈Z},B={x|x=2n-1,n∈Z},
所以集合A与集合B中的元素都是全体奇数,所以A=B.
题后师说
判断集合间关系的3种常用方法
跟踪训练1 (1)若集合A={x|x=3k-1,k∈Z},B={y|y=6m+5,m∈Z},则集合A与B的关系是( )
A.A=B B.A B
C.B A D.不确定
答案:C
解析:B={y|y=6m+5,m∈Z}={x|x=6m+5,m∈Z},任意x∈B,则存在m∈Z,使x=6m+5,而x=6m+5=3(2m+2)-1∈A,故B A,又∵2∈A,2 B,∴A=B,A B都不正确,故选C.
答案:A
解析:集合A,B,C,D,E之间的关系可用Venn图表示,结合下图可知,应选A.
题型 2 子集、真子集的个数问题
【问题探究2】 请写出集合{3,5,8}的所有子集和它的真子集.
提示:集合{3,5,8}的所有子集为 ,{3},{5},{8},{3,5},{3,8},{5,8},{3,5,8};
集合{3,5,8}的所有真子集为 ,{3},{5},{8},{3,5},{3,8},{5,8}.
例2 (1)集合A={x∈N|∈N}的真子集个数为________,非空真子集个数为________.
31
30
解析:∵∈N,x∈N,∴x=5,4,3,2,0,∴集合A={0,2,3,4,5},∴集合A的真子集个数为25-1=31,非空真子集个数为25-2=30.
解析:由题意可以确定集合M必含有元素1,2,
且至少含有元素3,4,5中的一个,因此依据集合M的元素个数分类如下:
含有3个元素:{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5};
含有4个元素:{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5};
含有5个元素:{1,2,3,4,5}.
故满足条件的集合M为{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},
{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5}.
题后师说
(1)求集合子集、真子集个数的3个步骤
(2)与子集、真子集个数有关的3个结论
假设集合A中含有n个元素,则有:
①A的子集的个数为2n个;
②A的真子集的个数为2n-1个;
③A的非空真子集的个数为2n-2个.
跟踪训练2 (1)集合A={x∈N|-5<2x-1<5}的子集个数为( )
A.4 B.7
C.8 D.16
答案:C
解析:因为A={x∈N|-5<2x-1<5}={x∈N|-2
答案:B
解析: M {1,2,3},可按元素个数分类依次写出集合M为{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3},共7个.故选B.
题型 3 由集合间的关系求参数范围
例3 已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m-6≤x≤2m-1},若A B,求实数m的取值范围.
解析:∵A B,∴解得
故3≤m≤4.
∴实数m的取值范围是{m|3≤m≤4}.
一题多变 本例中若将“A B”改为“B A”,其他条件不变,求m的取值范围.
解析:当B= 时,m-6>2m-1,即m<-5.
当B≠ 时,
即m∈ .
故实数m的取值范围是{m|m<-5}.
题后师说
根据集合的包含关系求参数的策略
跟踪训练3 已知集合A={3,m2},B={-1,3,2m-1},若A B,求实数m的值.
解析:因为A B,所以m2=2m-1,即(m-1)2=0,所以m=1,当m=1时,B={-1,3,1},A={3,1}满足A B.
随堂练习
1.下列各式中关系符号运用正确的是( )
A.0= B. ∈{0,1,2}
C.1∈{0,1,2} D.{1}∈{0,1,2}
答案:C
解析:因为 是集合,0是数字,所以选项A错误;
因为{0,1,2}是集合,所以 {0,1,2},故选项B错误;
因为1是{0,1,2}中的元素,所以选项C正确;
因为{1} {0,1,2},所以选项D错误.故选C.
2.已知a=,A={x|x>,x∈R},则( )
A.a A B.{a} A
C.{a}∈A D.{a}=A
答案:B
解析:因为a=,A={x|x>,x∈R},所以a∈A或{a} A.故选B.
3.已知集合A={x|2
A.3 B.4
C.7 D.8
答案:D
解析:集合A={x|2
4.已知集合A={x|-2≤x≤2},B={x|x≥a},且A B,则实数a的取值范围是________.
{a|a≤-2}
解析:因为集合A={x|-2≤x≤2},B={x|x≥a},且A B,所以a≤-2.
课堂小结
1.对子集、真子集有关概念的理解.
2.集合子集的个数问题.
3.由集合间的关系求参数问题.(共35张PPT)
第1课时 并集、交集
预学案
共学案
预学案
一、并集
文字语言 一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合,称为集合A与B的________
符号语言
图形语言
运算性质
并集
{x|x∈A,或x∈B}
微点拨
(1)符号语言“x∈A或x∈B”包括三种情况:①x∈A,但x B;②x A,但x∈B;③x∈A且x∈B.
(2)对于A不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合.因为A与B可能有公共元素,每一个公共元素只能算一个元素.
【即时练习】
1.设集合A={1,2,3},B={2,3,4},则A=( )
A.{1,2,3,4} B.{1,2,3}
C.{2,3,4} D.{1,3,4}
答案:A
解析:∵A={1,2,3},B={2,3,4},根据并集的定义可知:={1,2,3,4},选项A正确,选项B、C、D错误.故选A.
2.设参加某会议的代表构成集合A,其中全体女代表构成集合B,全体男代表构成集合C,则B=________.(填“A”或“B”或“C”)
A
解析:B表示参加该会议的全体女代表和全体男代表构成的集合即为集合A,故B=A.
二、交集
文字语言 一般地,由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合,称为A与B的________
符号语言 ____________________(读作“A交B”)
图形语言
运算性质
交集
A={x|x∈A,且x∈B}
B
微点拨
(1)交集概念中的“且”即“同时”的意思,两个集合交集中的元素必须同时是两个集合中的元素.
(2)交集概念中的“所有”两字不能省略,否则将会漏掉一些元素,一定要将相同的元素全部找出来.如A={1,2,3,4},B={2,3,4,5},则A={2,3,4},而不是{2,3},{2,4}或{3,4}.
【即时练习】
1.设A={x|x是等腰三角形}和B={x|x是等边三角形},则A=( )
A.{x|x是等腰三角形} B.{x|x是等边三角形}
C. D.{x|x是三角形}
答案:B
解析:若A={x|x是等腰三角形}和B={x|x是等边三角形},则A={x|x是等边三角形}.故选B.
2.已知集合A={-1,-2,-3,4,5},B=N,则A=________.
{4,5}
解析:已知B=N,则B表示自然数集,所以A={4,5}.
共学案
【学习目标】
(1)掌握并集、交集的定义.
(2)会进行简单的并集、交集运算.
题型 1 并集的运算
【问题探究1】 某超市进了两次货,第一次进的货是圆珠笔、钢笔、橡皮、笔记本、方便面、汽水共6种,第二次进的货是圆珠笔、铅笔、火腿肠、方便面共4种,我们用集合A表示第一次进货的品种,用集合B表示第二次进货的品种,通过观察,你能用集合C表示两次一共进货的品种吗?并讨论集合A,集合B与集合C的关系.
提示:A={圆珠笔,钢笔,橡皮,笔记本,方便面,汽水},B={圆珠笔,铅笔,火腿肠,方便面},则C={圆珠笔,钢笔,橡皮,笔记本,方便面,汽水,铅笔、火腿肠},容易发现集合C是由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的.
例1 (1)若集合A={-1,2},B={x|x2-2x=0},则集合A=( )
A.{-1,2} B.{0,1,2}
C.{0,2} D.{-1,0,2}
解析:A={-1,2},B={x|x2-2x=0}={0,2},={-1,0,2},故选D.
答案:D
(2)已知集合M={x|-3
5},则M=( )
A.{x|x<-5或x>-3}
B.{x|-5
C.{x|-3
D.{x|x<-3或x>5}
答案:A
解析: 将集合M和N在数轴上表示出来,如图所示,
可知M={x|x<-5或x>-3}.故选A.
题后师说
集合并集运算的策略
跟踪训练1 (1)已知集合A={1,2,3},B={x∈N|x≤2},则A=( )
A.{2,3} B.{0,1,2,3}
C.{1,2} D.{1,2,3}
答案:B
解析:因为A={1,2,3},B={0,1,2},所以={0,1,2,3}.故选B.
(2)已知集合A={x|1≤x≤3},B={x|2
A.{x|2
C.{x|1≤x<4} D.{x|2≤x<4}
答案:C
解析:因为集合A={x|1≤x≤3},B={x|2
题型 2 交集的运算
【问题探究2】 对于问题探究1中的集合A与集合B,你能用集合D表示两次进货一样的品种吗?并讨论集合A,B与集合D的关系.
提示:由A={圆珠笔,钢笔,橡皮,笔记本,方便面,汽水},B={圆珠笔,铅笔,火腿肠,方便面}知,集合D={圆珠笔,方便面},可见,集合D是由所有既属于集合A又属于集合B的元素组成的.
例2 (1)设集合A={x|-2
A.{2} B.{2,3}
C.{3,4} D.{2,3,4}
解析:由题设有A={2,3},故选B.
答案:B
(2)若集合A={x|-2≤x≤3},B={x|x<-1或x>4},则集合A=( )
A.{x|x≤3或x>4} B.{x|-1
C.{x|3≤x<4} D.{x|-2≤x<-1}
答案:D
解析:将集合A、B表示在数轴上,由数轴可得A={x|-2≤x<-1},故选D.
题后师说
求集合交集的一般步骤
跟踪训练2 (1)设集合A={x|-1
A.{x|0
C.{1,2} D.{0,1,2}
答案:D
解析:B={0,1,2,3},A={0,1,2}.故选D.
(2)已知集合A={x|x<2},B={x|0<x≤3},则A=( )
A.{x|0<x<2} B.{x|0<x≤2}
C.{x|2<x<3} D.{x|2<x≤3}
答案:A
解析:∵A={x|x<2},B={x|0<x≤3},∴A={x|0<x<2}.故选A.
题型 3 根据并集与交集运算求参数范围
例3 已知集合A={x|-3
解析:∵A=A,∴B A,
①当B= 时,k+1>2k-1,∴k<2.
②当B≠ ,则根据题意如图所示: 根据数轴可得解得2≤k≤.
综合①②可得k的取值范围为{k|k≤}.
一题多变 把本例中的条件“A=A”换为“A=A”,求k的取值范围.
解析:∵A=A,∴A B.
又A={x|-3
由数轴可知解得k∈ ,
即当A=A时,k不存在.
题后师说
利用并集、交集性质求参数的策略
跟踪训练3 (1)设集合A={x|-1≤x<2},B={x|x
A.{a|a<2} B.{a|a>-2}
C.{a|a>-1} D.{a|-1
解析:由集合A={x|-1≤x<2},B={x|x
-1.故选C.
答案:C
(2)已知集合P={x|x≤3},Q={x|x>a},若P=R,则a的取值范围是________.
解析:由题意,在P={x|x≤3},Q={x|x>a}中,P=R,∴a≤3,∴a的取值范围为{a|a≤3}.
{a|a≤3}
随堂练习
1.已知集合A={x|2
A.{x|2≤x<4} B.{x|2
C.{2,3} D.{3}
答案:D
解析:B={x|2≤x<4,x∈Z}={2,3},又A={x|2
2.已知集合A={x|x<2},B={x|x>1},则A=( )
A.R B.{x|1
C.{x|x<2} D.{x|x>1}
答案:A
解析:由A={x|x<2},B={x|x>1},可得A={x|x<2}>1}=R,故选A.
3.设集合A={x|-2≤x≤2},B={x|x≤-},且A={x|-2≤x≤1},则a=( )
A.-4 B.-2
C.2 D.4
答案:B
解析:集合A={x|-2≤x≤2},B={x|x≤-},且A={x|-2≤x≤1}.则-=1,解得a=-2.故选B.
4.(多选)若集合M N,则下列结论正确的是( )
A.M=M B.M=N
C.N (M
答案:ABD
解析:∵M N,Venn图如图所示:
∴M=M,M=N,(M故选ABD.
课堂小结
1.对并集、交集概念的理解.
2.对于元素个数有限的集合,可直接根据集合的“交”“并”定义求解,但要注意集合元素的互异性.
3.对于元素个数无限的集合,进行交、并运算时,可借助数轴,利用数轴分析法求解,但要注意端点值能否取到.
4.由集合间的运算求参数范围问题.(共31张PPT)
第2课时 补集及综合应用
预学案
共学案
预学案
一、全集
1.定义:如果一个集合含有所研究问题中涉及的________,那么就称这个集合为全集.
2.符号表示:全集通常记作________.
微点拨
全集是一个相对概念,会因研究问题的不同而变化.如在实数范围内解不等式,全集为实数集R;在整数范围内解不等式,全集为整数集Z.
所有元素
U
二、补集
定义 文字语言 对于一个集合A,由全集U中__________的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,简称为集合A的补集,记作________
符号语言 UA=________________
图形语言
定义 (1) UA U;(2) UU= , U =U; (3) U( UA)=A;(4)A∪( UA)=U;A∩( UA)= 不属于集合A
UA
{x|x∈U,且x A}
微点拨
(1)补集是相对于全集而言的,它与全集不可分割.一方面,若没有定义全集,则不存在补集的说法;另一方面,补集的元素逃不出全集的范围.
(2)补集既是集合之间的一种关系,同时也是集合之间的一种运算.求集合A的补集的前提是A为全集U的子集,随着所选全集的不同,得到的补集也是不同的.
(3)符号 UA有三层意思:
①A是U的子集,即A U;② UA表示一个集合,且( UA) U;③ UA是U中不属于A的所有元素组成的集合,即 UA={x|x∈U,且x A}.
(4)若x∈U,则x∈A或x∈ UA,二者必居其一.
【即时练习】
1.已知全集U={a,b,c,d},集合M={a,c},则 UM=( )
A. B.{a,c} C.{b,d} D.{a,b,c,d}
答案:C
解析: UM={b,d}.故选C.
2.设全集为U,M={0,2,4}, UM={6},则U=( )
A.{0,2,4,6} B.{0,2,4} C.{6} D.
答案:A
解析:U={0,2,4,6}.
3.已知全集U={0,1,2},且 UA={2},则A=________.
{0,1}
解析:因为全集U={0,1,2},且 UA={2},则A={0,1}.
共学案
【学习目标】
(1)理解补集的含义.(2)会求给定子集的补集.
题型 1 补集的运算
【问题探究】 如果把我们班每个同学看成集合的元素,所有同学组成集合U,男同学组成集合A,女同学组成集合B,这三个集合间有何关系?
提示:集合U是我们研究对象的全体,A U,B U,A= ,A=U.其中集合A与集合B有一种“互补”的关系.
例1 (1)若全集U={x∈R|-2≤x≤2},则集合A={x∈R|-2≤x≤0}的补集 UA为( )
A.{x∈R|0<x<2}
B.{x∈R|0≤x<2}
C.{x∈R|0<x≤2}
D.{x∈R|0≤x≤2}
答案:C
解析:借助数轴易得 UA={x∈R|0<x≤2}.
故选C.
(2)设U={x|-5≤x<-2,或2<x≤5,x∈Z},A={x|x2-2x-15=0},B={-3,3,4},则 UA=________________, UB=____________.
{-5,-4,3,4}
{-5,-4,5}
解析:方法一 在集合U中,因为x∈Z,则x的值为-5,-4,-3,3,4,5,
所以U={-5,-4,-3,3,4,5}.
又A={x|x2-2x-15=0}={-3,5},B={-3,3,4},
所以 UA={-5,-4,3,4}, UB={-5,-4,5}.
方法二 可用Venn图表示:
则 UA={-5,-4,3,4}, UB={-5,-4,5}.
题后师说
求解补集的策略
跟踪训练1 (1)已知全集U={x∈N|x≤6},A={1,2,3,4},则 UA=( )
A.{1,5,6} B.{0,5,6}
C.{2,5,6} D.{1,2,3,4,5,6}
答案:B
解析:因为U={x∈N|x≤6}={0,1,2,3,4,5,6},A={1,2,3,4},所以 UA={0,5,6},故选B.
(2)已知U={x|-3≤x<3},A={x|-1≤x<3},则图中阴影部分表示的集合是( )
A.{x|-3≤x≤-1} B.{x|x<-3或x≥3}
C.{x|x≤0} D.{x|-3≤x<-1}
答案:D
解析:由图可得,所求为集合A关于全集U的补集 UA,则 UA={x|-3≤x<-1}.故选D.
题型 2 并、交、补的综合运算
例2 已知集合A={x|-1≤x≤4},B={x|x<1或x>5}.
(1)若全集U=R,求A、( UA);
(2)若全集U=Z,求A∩( UB).
解析:(1)由题意可得,A={x|x≤4或x>5},
且 UA={x|x<-1或x>4},则( UA)={x|x<-1或x>5}.
(2)根据题意,且U=Z,则可得 UB={1,2,3,4,5},
则A∩( UB)={1,2,3,4}.
题后师说
并、交、补运算的解题策略
跟踪训练2 (1)已知全集U={-2,-1,0,1,2,4},A={0,1,2},B={-2,1,4},则( UA)=( )
A.{-2,4} B.{-2,1}
C.{-2,1,4} D.{-2,-1,1,4}
答案:A
解析:因为U={-2,-1,0,1,2,4},A={0,1,2},B={-2,1,4},所以 UA={-2,-1,4},( UA)={-2,4}.故选A.
(2)集合A={x|1
4},则集合A∪( RB)=( )
A.R B.{x|2≤x<3}
C.{x|1
答案:C
解析:由题意,集合B={x|x<2或x>4},可得 RB={x|2≤x≤4},又由A={x|1
题型 3 与补集有关的参数值的求解
例3 设集合A={x|x+m≥0},B={x|-2
解析:由已知A={x|x≥-m},
得 UA={x|x<-m},
因为B={x|-2
所以-m≤-2,即m≥2,
所以m的取值范围是{m|m≥2}.
一题多变 (1)本例将条件“( UA)= ”改为“( UA)”,其他条件不变,则m的取值范围又是什么?
(2)本例将条件“( UA)= ”改为“( UB)=R”,其他条件不变,则m的取值范围又是什么?
解析:(1)由已知得A={x|x≥-m},
所以 UA={x|x<-m},
又( UA)
所以-m>-2,解得m<2.
(2)由已知A={x|x≥-m}, UB={x|x≤-2或x≥4}.
又( UB)=R,
所以-m≤-2,解得m≥2.
题后师说
由集合的补集求参数的策略
跟踪训练3 已知集合A={x|x
A.{a|a≤1} B.{a|a<1}
C.{a|a≥2} D.{a|a>2}
答案:C
解析:∵B={x|1
又∵A={x|x
∴实数a的取值范围是{a|a≥2}.故选C.
随堂练习
1.已知集合A={1,4},全集U={1,2,3,4,5},则 UA=( )
A. B.{1,3}
C.{2,3,5} D.{1,2,3,5}
答案:C
解析: UA={2,3,5}.故选C.
2.已知全集U=R,集合A={x|0≤x≤1},B={-1,1,2,4},那么阴影部分表示的集合为( )
A.{-1,4} B.{1,2,4}
C.{1,4} D.{-1,2,4}
答案:D
解析:由题图,阴影部分为( RA)而 RA={x|x<0或x>1},且B={-1,1,2,4},所以( RA)={-1,2,4}.故选D.
3.设全集U=R,集合A={x|x>3},B={x|-2≤x≤5},则( UA)=( )
A.{x|3≤x≤5} B.{x|-2≤x<3}
C.{x|0
答案:D
解析:因为A={x|x>3},故 UA={x|x≤3},所以( UA)={x|-2≤x≤3}.故选D.
4.已知全集U={3,7,a2-2a-3},A={7,|a-7|}, UA={5},则a=________.
4
解析:因为U={3,7,a2-2a-3},A={7,|a-7|}, UA={5},所以5∈U,3∈A,则,解得a=4.
课堂小结
1.对集合中含参数的元素,要由条件先求出参数再作集合的运算.
2.集合是实数集的真子集时,其交、并、补运算要结合数轴进行.
3.有些较复杂的集合的运算可以先化简再进行.(共31张PPT)
1.4.1 充分条件与必要条件
预学案
共学案
预学案
一、命题
1.定义:一般地,我们把用语言、符号或式子表达的,可以判断________的陈述句叫做命题.
2.分类:判断为真的语句是真命题;判断为假的语句是假命题.
3.结构形式:“若p,则q”“如果p,那么q”等形式的命题中,其中________称为命题的条件,________称为命题的结论.
真假
p
q
微点拨
要判断一个命题是真命题,一般需要经过严格的推理论证,在判断时要有理有据,有时应综合各种情况作出正确的判断.而判断一个命题是假命题,只需举出一个反例即可.
【即时练习】 下列语句中,为真命题的是( )
A.直角的补角是直角
B.同旁内角互补
C.过直线l外一点A作直线AB⊥l于点B
D.两个锐角的和是钝角
答案:A
解析:直角的补角是直角,所以A选项为真命题;只有两直线平行时同旁内角才互补,所以B选项为假命题;C选项中的语句是祈使句,不是命题;30°与20°的和为锐角,所在D选项为假命题.
二、充分条件与必要条件
“若p,则q”为真命题 “若p,则q”为假命题
推出关系 p________q p________q
条件关系 p是q的________条件 q是p的________条件 p不是q的________条件
q不是p的________条件
定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件
充分
必要
充分
必要
微点拨
(1)对充分条件的理解:充分条件是某一个结论成立应具备的条件,当命题具备此条件时,就可以得出此结论;或要使此结论成立,只要具备此条件就足够了,当命题不具备此条件时,结论也有可能成立.例如,x=6 x2=36,但是,当x≠6时,x2=36也可以成立,所以“x=6”是“x2=36成立”的充分条件.
(2)对必要条件的理解:①必要条件是在充分条件的基础上得出的,真命题的条件是结论成立的充分条件,但不一定是结论成立的必要条件;假命题的条件不是结论成立的充分条件,但有可能是结论成立的必要条件;②“p是q的必要条件”的理解:推出关系为q p,若有q,则必须有p;而具备了p,则不一定有q.
【即时练习】
1.“两个三角形全等”是“两个三角形相似”的___________条件.(填“充分不必要”、“必要不充分”)
充分不必要
2.“四边形的四条边相等”是“四边形是正方形”的____________条件.(填“充分不必要”、“必要不充分”)
必要不充分
共学案
【学习目标】
(1)理解充分条件、必要条件的概念.
(2)会判断充分条件、必要条件.
题型 1 充分条件的判断
【问题探究1】
在如图所示电路图中,闭合开关K1是灯泡L亮的什么条件?
提示:闭合开关K1或闭合开关K2,都可以使灯泡L亮;反之,若要灯泡L亮,不一定非要闭合开关K1.因此,闭合开关K1是灯泡L亮的充分不必要条件.
例1 指出下列各题中,p是q的什么条件,并说明原因.
(1)p:x>3,q:x>0;
(2)p:m<-2,q:方程x2-x-m=0无实根;
(3)p:a>2且b>2,q:a+b>4,ab>4.
解析:(1)x>3则x>0一定成立,即p q,q p;故p是q的充分不必要条件.
(2)∵m<-2,∴12+4m<0,∴方程x2-x-m=0无实根,但1+4m<0即m<-时不一定m<-2,∴p是q的充分不必要条件.
(3)由a>2且b>2 a+b>4,ab>4,但a+b>4,ab>4时,取a=,b=9,a>2且b>2不成立,∴p是q的充分不必要条件.
题后师说
充分条件的3种判断方法
跟踪训练1 指出下列哪个命题中p是q的充分条件?
(1)在△ABC中,p:∠B>∠C,q:AC>AB.
(2)已知x,y∈R,p:x=1,q:(x-1)(x-2)=0.
解析:(1)在△ABC中,由大角对大边知,∠B>∠C AC>AB,
所以p是q的充分条件.
(2)由x=1 (x-1)(x-2)=0,
故p是q的充分条件.
故(1)(2)命题中p是q的充分条件.
题型 2 必要条件的判断
【问题探究2】
在如图所示电路图中,闭合开关K1是灯泡L亮的什么条件?
提示:闭合开关K1而不闭合开关K2,灯泡L不亮;反之,若要灯泡L亮,开关K1必须闭合,说明闭合开关K1是灯泡L亮的必要不充分条件.
例2 指出下列各题中,p是q的什么条件,并说明原因.
(1)p:x2>0,q:x>0;
(2)p:(a-2)(a-3)=0,q:a=3;
(3)p:一元二次方程x2-2x+c=0有两个实数根,q:c<0.
解析:(1)由于p q,q p,p是q的必要不充分条件.
(2)由(a-2)(a-3)=0可以推出a=2或a=3,不一定有a=3;由a=3可以得出(a-2)(a-3)=0,因此,p是q的必要不充分条件.
(3)对于p,一元二次方程x2-2x+c=0有两个实数根,则Δ=4-4c≥0,c≤1,
所以p是q的必要不充分条件.
题后师说
必要条件的3种判断方法
跟踪训练2 指出下列哪些命题中p是q的必要条件?
(1)p:数a能被3整除,q:数a能被6整除;
(2)p:xy>0,q:x>0,y>0.
解析:(1)“数a能被6整除”能推出“数a能被3整除”,所以q p,所以p是q的必要条件.
(2)若x>0,y>0,则xy>0,故q p,
所以p是q的必要条件.
题型 3 充分条件与必要条件的应用
例3 已知p:-1
解析:设A={x|-1
可得,解之得m≥3,则实数m的取值范围为m≥3.
一题多变 本例中条件不变,若p是q的必要条件,求实数m的取值范围.
解析:当m<-1时,1-m>3+m,q:x∈ ,此时,p是q的必要条件,符合要求;
当m≥-1时,由p是q的必要条件,
可得,解之得-1≤m<2,
综上,实数m的取值范围为m<2.
题后师说
利用充分条件、必要条件求参数范围的一般步骤
跟踪训练3 已知p:x>2,q:x>m.若p的一个充分不必要条件是q,则实数m的取值范围是________.
m>2
解析:由题意,在p:x>2,q:x>m中,p的一个充分不必要条件是q,∴m>2.
随堂练习
1.(多选)如果命题:p q是真命题,那么下列说法一定正确的是( )
A.p是q的充分条件 B.p是q的必要条件
C.q是p的必要条件 D.q是p的充分条件
答案:AC
解析:因为命题“p q是真命题,所以p是q的充分条件,q是p的必要条件,故A、C正确,B、D错误.故选AC.
2.设a∈R,则“a=-1”是“a2=1”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.既是充分条件又是必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案:A
解析:由a2=1,可得a=±1,故“a=-1”是“a2=1”的充分不必要条件.故选A.
3.在△ABC中,“△ABC是钝角三角形”是“∠A+∠C<90°”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.既是充分条件又是必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案:B
解析:由∠A+∠C<90°,得∠B>90°,可以推出△ABC是钝角三角形,由△ABC是钝角三角形,不能推出∠A+∠C<90°,如∠A为钝角,则∠A+∠C>90°,所以“△ABC是钝角三角形”是“∠A+∠C<90°”的必要不充分条件.故选B.
4.若“x>k”是“-3≤x<2”的必要不充分条件,则实数k的取值范围是________.
k<-3
解析:根据题意,{x|-3≤x<2}是{x|x>k}的真子集,故可得k<-3.
课堂小结
1.对充分条件、必要条件概念理解.
2.充分条件、必要条件的判断.
3.充分条件、必要条件的应用.
(共32张PPT)
1.4.2 充要条件
预学案
共学案
预学案
一、逆命题
将命题“若p,则q”中的条件p和结论q互换,就得到一个新的命题“____________”,称这个命题为原命题的逆命题.
若q,则p
【即时练习】
1.命题“若x>1,则x>0”的逆命题是____________.
若x>0,则x>1
2.命题“正三角形都相似”的逆命题是______.
答案:若三角形相似,则这些三角形是正三角形
解析:原命题:若三角形是正三角形,则这些三角形相似.
逆命题:若三角形相似,则这些三角形是正三角形.
二、充要条件
如果“若p,则q”和它的逆命题“若q,则p”均是真命题,即既有________,又有________,就记作________,此时,p既是q的充分条件,也是q的必要条件,我们说p是q的充分必要条件,简称为________条件.
p q
q p
p q
充要
微点拨
(1)p是q的充要条件意味着“p成立,则q一定成立;p不成立,则q一定不成立”.
(2)如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.概括地说,如果p q,那么p与q互为充要条件.
(3)命题p与q的四个关系
①若p q,则p与q互为充要条件;②若p q,但q p,则p是q的充分不必要条件;③若q p,但p q,则p是q的必要不充分条件;④若p q,且q p,则p是q的既不充分也不必要条件.
【即时练习】
1.在△ABC中,“a>b”是“A>B”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案:C
解析:在△ABC中,a>b A>B,所以“a>b”是“A>B”的充要条件.故选C.
2.“x=1”是“(x-1)2=0”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案:C
解析:将x=1代入方程(x-1)2=0中,显然方程成立;解方程(x-1)2=0,可得x=1;故“x=1”为方程“(x-1)2=0”的充要条件.故选C.
共学案
【学习目标】
(1)理解充要条件的意义.
(2)会判断一些简单的充要条件问题.
(3)能对充要条件进行证明.
【问题探究】
在如图所示电路图中,闭合开关K1是灯泡L亮的什么条件?
提示:闭合开关K1可使灯泡L亮;而灯泡L亮,开关K1一定是闭合的.因此,闭合开关K1是灯泡L亮的充要条件.
题型 1 充要条件的判断
例1 指出下列各组命题中,p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”).
(1)p:x=1,q:x-1=;
(2)p:-1≤x≤5,q:x≥-1且x≤5;
(3)p:x+2≠y,q:(x+2)2≠y2;
(4)p:a是自然数;q:a是正数.
解析:(1)当x=1时,x-1=成立;
当x-1=时,x=1或x=2.
∴p是q的充分不必要条件.
(2)∵-1≤x≤5 x≥-1且x≤5,
∴p是q的充要条件.
(3)由q:(x+2)2≠y2,
得x+2≠y且x+2≠-y,又p:x+2≠y,
故p是q的必要不充分条件.
(4)0是自然数,但0不是正数,故pD /q;又是正数,但不是自然数,故qD /p.故p是q的既不充分也不必要条件.
题后师说
判定充要条件常用方法
跟踪训练1 (1)三角形两边上的高相等是这个三角形为等腰三角形的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案:C
解析:当三角形两边上的高相等时,由三角形面积公式可得这两边也相等,所以这个三角形为等腰三角形,当三角形为等腰三角形时,同样由三角形的面积公式可知,两腰上的高相等,所以三角形两边上的高相等是这个三角形为等腰三角形的充要条件,故选C.
(2)(多选)下列命题中为假命题的是( )
A.“x>4”是“x>5”的必要不充分条件
B.“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的既不充分也不必要条件
C.“关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实根”的充要条件是“Δ=b2-4ac>0”
D.若集合A B,则“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件
答案:BCD
解析:“x>4”不能推出“x>5”,故充分性不成立;“x>5”则一定有“x>4”,故必要性成立,所以“x>4”是“x>5”的必要不充分条件,所以A正确;正三角形一定是等腰三角形,等腰三角形不一定是正三角形,所以“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的充分不必要条件,故B错误;“关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实根”的充要条件是“Δ=b2-4ac≥0,故C错误;当集合A=B时,应为充要条件,故D错误.故选BCD.
题型 2 充要条件的证明
例2 求证:关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
证明:充分性:由ac<0可得b2-4ac>0及x1·x2=<0,
∴方程ax2+bx+c=0有两不相等的实根,且两根异号,即方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根.
必要性:由于方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根,
∴Δ=b2-4ac>0,x1·x2=<0,∴ac<0.
综上可知,关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
学霸笔记
有关充要条件的证明问题,要分清哪个是条件,哪个是结论,由“条件 结论”是证明命题的充分性,由“结论 条件”是证明命题的必要性.证明要分两个环节:一是证明充分性;二是证明必要性.
跟踪训练2 求证:一次函数y=kx+b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b=0.
证明:①充分性:如果b=0,那么y=kx,
x=0时y=0,函数图象过原点.
②必要性:因为y=kx+b(k≠0)的图象过原点,
所以x=0时y=0,得0=k·0+b,b=0.
综上,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b=0.
题型 3 充分不必要、必要不充分、充要条件的应用
例3 已知p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0),若p是q的必要不充分条件,求实数m的取值范围.
解析:p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0).
因为p是q的必要不充分条件,
所以q是p的充分不必要条件,
即{x|1-m≤x≤1+m}?{x|-2≤x≤10},
故有或
解得m≤3.又m>0,
所以实数m的取值范围为{m|0
一题多变 本例中p,q不变,是否存在实数m使p是q的充要条件?若存在,求出m的值;若不存在,说明理由.
解析:因为p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0).
若p是q的充要条件,则方程组无解.
故不存在实数m,使得p是q的充要条件.
题后师说
应用充分不必要、必要不充分及充要条件
求参数值(范围)的一般步骤
跟踪训练3 请在①充分不必要条件;②必要不充分条件;③充要条件.这三个条件中任选一个补充在下面问题中的横线部分.若问题中的a存在,求出a的取值范围,若问题中的a不存在,请说明理由.
问题:已知集合A={x|0≤x≤4},B={x|1-a≤x≤1+a}(a>0),是否存在实数a,使得x∈A是x∈B成立的________?
解析:选①,则A是B的真子集,则1-a≤0且1+a≥4(两等号不同时取),
又a>0,解得a≥3,
∴存在a,a的取值集合M={a|a≥3}.
选②,则B是A的真子集,则1-a≥0且1+a≤4(两等号不同时取),
又a>0,解得0
∴存在a,a的取值集合M={a|0
选③,则A=B,则1-a=0且1+a=4,又a>0,方程组无解.
∴不存在满足条件的a.
随堂练习
1.“x∈Q”是“x∈N”的( )
A.必要不充分条件 B.充要条件
C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
答案:A
解析:因为x∈Q不能推出x∈N,且x∈N可以推出x∈Q,所以“x∈Q”是“x∈N”的必要不充分条件,故选A.
2.设 “-1
A.充要条件 B.必要不充分条件
C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
答案:A
解析:因为|x|<1 -1
3.已知a∈R,则“a2>4”是“a≥2”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案:D
解析:a2>4 a>2或a<-2,因此a2>4是a≥2的既不充分也不必要条件,故选D.
4.若“不等式x-m<1成立”的充要条件为“x<2”,则实数m的值为________.
1
解析:解不等式x-m<1得x
课堂小结
1.对充要条件概念的理解.
2.充要条件的证明分充分性的证明和必要性的证明.
3.充分不必要、必要不充分、充要条件的应用.
(共29张PPT)
1.5.1 全称量词与存在量词
预学案
共学案
预学案
一、全称量词与全称量词命题
全称量词 所有的、任意一个、一切、每一个、任给
符号 ________
全称量词命题 含有________的命题
形式 “对M中________一个x,有p(x)成立”,可用符号简记为______________
全称量词
任意
x∈M,p(x)
微点拨
(1)从集合的观点看,全称量词命题是陈述某集合中的所有元素都具有某种性质的命题.
(2)全称量词命题含有全称量词,有些全称量词命题中的全称量词是省略的,理解时需要把它补充出来.例如命题“平行四边形的对角线相互平分”应理解为“所有的平行四边形的对角线相互平分”.
【即时练习】 下列命题是全称量词命题的是( )
A.有一个偶数是素数
B.一元二次方程不总有实数根
C.每个四边形的内角和都是360°
D.有些三角形是直角三角形
答案:C
解析:根据全称量词命题和存在量词命题的定义可知,A、B、D是存在量词命题,C是全称量词命题.故选C.
二、存在量词与存在量词命题
存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的
符号表示 __________
存在量词命题 含有________的命题
形式 “存在M中的一个x,使p(x)成立”可用符号简记为_____________
存在量词
x∈M,p(x)
微点拨
(1)从集合的观点看,存在量词命题是陈述某集合中有(存在)一些元素具有某种性质的命题.
(2)含有存在量词“存在”“有一个”等命题,或虽然没有写出存在量词,但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题.
【即时练习】 已知命题:①任何实数的平方都是非负数;②有些三角形的三个内角都是锐角;③每一个实数都有相反数;④所有数与0相乘,都等于0.其中含存在量词的命题的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案:A
解析:①任何实数的平方都是非负数,含全称量词“任何”,不符;②有些三角形的三个内角都是锐角,含存在量词“有些”,符合;③每一个实数都有相反数,含全称量词“每一个”,不符;④所有数与0相乘,都等于0,含全称量词“所有”,不符.故选A.
共学案
【学习目标】
(1)理解全称量词、全称量词命题的定义.
(2)理解存在量词、存在量词命题的定义.
(3)会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题,并会判断它们的真假.
题型 1 全称量词命题与存在量词命题的辨析
【问题探究1】 下列语句是命题吗?比较(1)和(3),(2)和(4),它们之间有什么关系?
(1)2x+1是整数;
(2)x能被2和3整除;
(3)对任意一个x∈Z,2x+1是整数;
(4)至少有一个x∈Z,x能被2和3整除.
提示:语句(1)(2)中含有变量x,由于不知道变量x代表什么数,无法判断他们的真假,所以他们不是命题.语句(3)在(1)的基础上,用短语“任意一个”对变量x进行限定,从而使(3)成为可以判断真假的语句,因此(3)是命题.语句(4)在(2)的基础上,用“至少有一个”对变量x的取值进行限定,从而使(4)成为可以判断真假的语句,因此(4)是命题.
例1 判断下列命题是全称量词命题,还是存在量词命题.
(1)存在x,使得x-2≤0;
(2)矩形的对角线互相垂直平分;
(3)三角形的两边之和大于第三边;
(4)有些质数是奇数.
解析:(1)命题:“存在x,使得x-2≤0”中含有存在量词“存在”,它是存在量词命题;
(2)命题:“矩形的对角线互相垂直平分”省略了全称量词“所有”,它是全称量词命题;
(3)命题:“三角形的两边之和大于第三边”省略了全称量词“所有”,它是全称量词命题;
(4)命题:“有些质数是奇数”中含有存在量词“有些”,它是存在量词命题.
题后师说
判断一个语句是全称量词命题
还是存在量词命题的一般步骤
跟踪训练1 判断下列命题是全称量词命题,还是存在量词命题,用量词符号“ ”“ ”表示下列命题.
(1)自然数的平方大于零;
(2)存在一对整数x0,y0,使2x0+4y0=3;
(3)存在一个无理数,它的立方是有理数.
解析:(1)全称量词命题, x∈N,x2>0.
(2)存在量词命题, x0,y0∈Z,2x0+4y0=3.
(3)存在量词命题, x0∈{无理数∈Q.
题型 2 全称量词命题和存在量词命题的真假判断
【问题探究2】 对于【问题探究1】中的(3)(4),你能判断真假吗?
提示:(3)中,任意x∈Z,则2x为整数,所以2x+1是整数,是真命题;(4)是真命题.
例2 判断下列命题的真假.
(1) x∈Z,x3<1;
(2)存在一个四边形不是平行四边形;
(3)在平面直角坐标系中,任意有序实数对(x,y)都对应一点P;
(4) x∈N,x2>0.
解析:(1)因为-1∈Z,且(-1)3=-1<1,
所以“ x∈Z,x3<1”是真命题.
(2)真命题,如梯形.
(3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知,它是真命题.
(4)因为0∈N,02=0,所以命题“ x∈N,x2>0”是假命题.
题后师说
判断全称量词命题、存在量词命题真假的思路
跟踪训练2 (多选)下列命题中假命题是( )
A. x∈Z,x4≥1
=3
C. x∈R,x2-x-1>0
D. x0∈N,|x0|≤0
答案:ABC
解析:对于A,取x=0,可知04<1,即A错误;
对于B,由=3,可得x0=±,显然±不是有理数,即B错误;
对于C,因为在一元二次不等式x2-x-1>0中,Δ=2+4>0,所以该不等式存在解,不是恒成立,比如取x=0时,不等式不成立,即C错误;
对于D,当x0=0时,|x0|≤0成立,即D正确.故选ABC.
题型 3 根据含量词命题的真假求参数的取值范围
例3 已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},且B≠ .若命题p:“ x∈B,x∈A”是真命题,求m的取值范围.
解析:由于命题p:“ x∈B,x∈A”是真命题,
所以B A,B≠ ,
所以解得2≤m≤3.
一题多变 本例中的条件不变,若命题p改为q:“ x∈A,x∈B”是真命题,求m的取值范围.
解析:q为真,则A
因为B≠ ,所以m≥2.
所以解得2≤m≤4.
题后师说
根据含量词命题的真假求参数范围的策略
跟踪训练3 若命题“ x∈R,x2-4x+a=0”为真命题,求实数a的取值范围.
解析:∵命题“ x∈R,x2-4x+a=0”为真命题,
∴方程x2-4x+a=0存在实数根,
则Δ=(-4)2-4a≥0,解得a≤4.
即实数a的取值范围为{a|a≤4}.
随堂练习
1.已知命题:“ x∈R,方程x2+4x+a=0有解”是真命题,则实数a的取值范围是( )
A.a<4 B.a≤4
C.a>4 D.a≥4
答案:B
解析:“ x∈R,方程x2+4x+a=0有解”是真命题,故Δ=16-4a≥0,解得:a≤4.
2.下列语句不是存在量词命题的是( )
A.至少有一个x,使x2+x+1=0成立
B.有的无理数的平方不是有理数
C.存在x∈R,3x+2是偶数
D.梯形有两边平行
答案:D
解析:对于A,至少有一个x,使x2+x+1=0成立,有存在量词“至少有一个”,是存在量词命题;对于B,有的无理数的平方不是有理数,有存在量词“有的”,是存在量词命题;对于C,存在x∈R,3x+2是偶数,有存在量词“存在”,是存在量词命题;对于D,梯形有两边平行,为梯形几何性质,省略了全称量词“所有”,是全称量词命题.故选D.
3.下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是( )
A. x∈R,x2+2x+1>0
B.所有菱形的4条边都相等
C.若2x为偶数,则x∈N
D.π是无理数
答案:B
解析:四个选项中AB是全称量词命题,对于A: x∈R,x2+2x+1>0,当x=-1时,不成立,为假命题.对于B:根据菱形定义知:所有菱形的4条边都相等,为真命题.故选B.
4.对每一个x1∈R,x2∈R,且x1
全称
假
解析:含有全称量词“每一个”,是全称量词命题,令x1=-1,x2=0,则,故此命题是假命题.
课堂小结
1.对全称量词、全称量词命题、存在量词、存在量词命题概念的理解.
2.含量词的命题的真假的判断.
3.依据含量词命题的真假求参数的范围.(共32张PPT)
1.5.2 全称量词命题与存在量词命题的否定
预学案
共学案
预学案
一、命题的否定
一般地,对一个命题进行______,就可以得到一个新的命题,这一新命题称为原命题的否定.
微点拨
一个命题和它的否定不能同时为真命题,也不能同时为假命题,只能一真一假.
否定
【即时练习】 “空集是任何集合的真子集”的否定为________________________.
空集不是任何集合的真子集
二、全称量词命题的否定
对于含有一个量词的全称量词命题的否定,有下面的结论:全称量词命题: x∈M,p(x),它的否定:______________.也就是说,全称量词命题的否定是_____________.
x∈M, p(x)
存在量词命题
微点拨
(1)全称量词命题的否定是一个存在量词命题,给出全称量词命题的否定时,既要改变全称量词,又要否定结论,所以找出全称量词,明确命题所提供的结论是对全称量词命题否定的关键.
(2)对于省去了全称量词的全称量词命题的否定,一般要先改写为含有全称量词的命题,再写出命题的否定.
【即时练习】 命题p:“ x∈Q,有x2∈Q”的否定形式 p为( )
A. x Q,有x2 Q
B. x∈Q,有x2 Q
C. x Q,使x2 Q
D. x∈Q,使x2 Q
答案:D
解析:根据全称量词命题的否定是存在量词命题得:命题p:“ x∈Q,有x2∈Q”的否定形式 p为 x∈Q,使x2 Q,故选D.
三、存在量词命题的否定
对于含有一个量词的存在量词命题的否定,有下面的结论:存在量词命题: x∈M,p(x),它的否定:____________.也就是说,存在量词命题的否定是_____________.
微点拨
存在量词命题的否定是一个全称量词命题,给出存在量词命题的否定时,既要改变存在量词,又要否定结论,所以找出存在量词,明确命题所提供的结论是对存在量词命题否定的关键.
x∈M, p(x)
全称量词命题
【即时练习】 命题p: x∈R,x2-x+1=0的否定为( )
A. x∈R,x2-x+1=0
B. x∈R,x2-x+1≠0
C. x∈R,x2-x+1≠0
D. x R,x2-x+1≠0,
答案:B
解析:命题p: x∈R,x2-x+1=0的否定为 x∈R,x2-x+1≠0.故选B.
共学案
【学习目标】
(1)能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定.
(2)能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定.
题型 1 全称量词命题的否定
【问题探究1】 写出下列命题的否定:
(1)所有的矩形都是平行四边形;
(2)每一个素数都是奇数;
(3) x∈R,x+|x|≥0.
它们与原命题在形式上有什么变化?
提示:上面三个命题都是全称量词命题,即具有“ x∈M,p(x)”的形式.其中命题(1)的否定是“并非所有的矩形都是平行四边形”,也就是说,存在一个矩形不是平行四边形;命题(2)的否定是“并非每一个素数都是奇数”,也就是说,存在一个素数不是奇数;命题(3)的否定是“并非所有的x∈R,x+|x|≥0”,也就是说, x∈R,x+|x|<0.从命题形式看,这三个全称量词命题的否定都变成了存在量词命题.
例1 写出下列全称量词命题的否定,并判断所得命题真假.
(1)所有的矩形都是平行四边形;
(2)三角形的两边之和大于第三边;
(3) m>0,方程x2+x-m=0有实数根.
解析:(1)命题的否定:有些矩形不是平行四边形.它为假命题.
(2)“三角形的两边之和大于第三边”可改写为“任意三角形的两边之和都大于第三边”,故它的否定是“存在一个三角形的两边之和不大于第三边”.它为假命题.
(3)命题的否定: m>0,方程x2+x-m=0没有实数根.它为假命题.
学霸笔记:(1)全称量词命题: x∈M,p(x),它的否定: x∈M, p(x).
(2)全称量词命题的否定是存在量词命题时,对省略全称量词的全称量词命题可补上量词后进行否定.
跟踪训练1 (1)设命题p:所有的等边三角形都是等腰三角形,则p的否定为( )
A.所有的等边三角形都不是等腰三角形
B.有的等边三角形不是等腰三角形
C.有的等腰三角形不是等边三角形
D.不是等边三角形的三角形不是等腰三角形
答案:B
解析:因为全称量词命题的否定为存在量词命题,所以命题p的否定为:有的等边三角形不是等腰三角形.故选B.
(2)若命题p: x∈R,x2>0,则命题p的否定是( )
A. x∈R,x2≤0 B. x∈R,x2≤0
C. x∈R,x2>0 D. x R,x2≤0
答案:B
解析:全称量词命题的否定是存在量词命题,命题p的否定是: x∈R,x2≤0.故选B.
(3)若命题p: x>0,x2+x-1>0,则p的否定形式为________________.
x>0,x2+x-1≤0
解析:根据全称量词命题的否定形式,命题p: x>0,x2+x-1>0的否定为: x>0,x2+x-1≤0.
题型 2 存在量词命题的否定
【问题探究2】 写出下列命题的否定:
(1)存在一个实数的绝对值是正数;
(2)有些平行四边形是菱形;
(3) x∈R,x2-2x+3=0.
它们与原命题在形式上有什么变化?
提示:这三个命题都是存在量词命题,即具有“ x∈M,p(x)”的形式.其中命题(1)的否定是“不存在一个实数,它的绝对值是正数”,也就是说,所有实数的绝对值都不是正数;命题(2)的否定是“没有一个平行四边形是菱形”,也就是说,每一个平行四边形都不是菱形;命题(3)的否定是“不存在x∈R,x2-2x+3=0”,也就是说, x∈R,x2-2x+3≠0.从命题形式看,这三个存在量词命题的否定都变成了全称量词命题.
例2 写出下列存在量词命题的否定,并判断所得命题真假.
(1)实数的绝对值是非负数;
(2)矩形的对角线相等;
(3) x∈R,x2+1<0.
解析:(1)命题“实数的绝对值是非负数”可改写成“所有实数的绝对值都是非负数”,所以它的否定为“存在一个实数,它的绝对值不是非负数”.它为假命题;
(2)命题“矩形的对角线相等”可改写成“所有矩形的对角线都相等”,所以它的否定为“存在一个矩形,它的对角线不相等”.它为假命题;
(3)命题的否定是“ x∈R,x2+1≥0”.它为真命题.
学霸笔记:(1)存在量词命题的否定是全称量词命题,写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词,即 x∈M,p(x),它的否定: x∈M, p(x).
(2)存在量词命题的否定是全称量词命题,对省略存在量词的存在量词命题可补上量词后进行否定.
跟踪训练2 (1)命题“存在一个三角形,它的内角和小于180°”的否定形式是( )
A.任何一个三角形,它的内角和不大于180°
B.存在一个三角形,它的内角和大于180°
C.任何一个三角形,它的内角和不小于180°
D.存在一个三角形,它的内角和不小于180°
答案:C
解析:由题意得“存在一个三角形,它的内角和小于180°”的否定是“任何一个三角形,它的内角和不小于180°”,故选C.
(2)命题“ x≥3,x2-2x+3<0”的否定是( )
A. x≥3,x2-2x+3>0
B. x≥3,x2-2x+3≥0
C. x<3,x2-2x+3≥0
D. x<3,x2-2x+3≥0
答案:B
解析:因为命题“ x≥3,x2-2x+3<0”为存在量词命题,所以其否定为: x≥3,x2-2x+3≥0.故选B.
(3)命题“ x∈R,x2+1>3x”的否定是________________.
x∈R,x2+1≤3x
解析:“ x∈R,x2+1>3x”的否定是 x∈R,x2+1≤3x.
题型 3 含有量词命题的否定的应用
例3 若“ x∈R,x2+2x+2=m”的否定是假命题,求实数m的取值范围.
解析:因为“ x∈R,x2+2x+2=m”的否定是假命题,
所以“ x∈R,x2+2x+2=m”是真命题,
因此关于x的方程x2+2x+2-m=0有实根,
所以Δ=22-4×1×(2-m)≥0,解得m≥1.
因此实数m的取值范围是{m|m≥1}.
学霸笔记:
(1)命题和它的否定的真假性只能一真一假,解决问题时可以相互转化.
(2)求参数范围问题,通常根据有关全称量词和存在量词命题的意义列不等式求范围.
跟踪训练3 命题“存在x>a,使得2x+a<3”是假命题,求实数a的取值范围.
解析:因为命题“存在x>a,使得2x+a<3”是假命题,
所以此命题的否定“任意x>a,使得2x+a≥3”是真命题,
因为对任意x>a有2x+a>3a,所以3a≥3,解得a≥1.
所以实数a的取值范围是{a|a≥1}.
随堂练习
1.命题“对任意一个实数x,都有3x+5≥0”的否定是( )
A.存在实数x,使得3x+5<0
B.对任意一个实数x,都有3x+5≤0
C.存在实数x,使得3x+5≤0
D.对任意一个实数x,都有3x+5<0
答案:A
解析:命题“对任意一个实数x,都有3x+5≥0”的否定是:存在实数x,使得3x+5<0.故选A.
2.命题“ x∈R,x2≠1”的否定是( )
A. x∈R,x2=1 B. x R,x2=1
C. x∈R,x2=1 D. x R,x2=1
答案:A
解析:根据存在量词命题的否定是全称量词命题,可知命题“ x∈R,x2≠1”的否定是“ x∈R,x2=1”.故选A.
3.下列说法正确的是( )
A.命题“ n∈N,n∈Z”是假命题
B.命题“ n∈N,n∈Z”的否定是“ n∈N,n∈Z”
C.命题“ x∈R,x-1<0”是真命题
D.命题“ x∈R,x-1<0”的否定是“ x∈R,x-1>0”
答案:C
解析:A选项,自然数都是整数,所以命题“ n∈N,n∈Z”是真命题,A选项错误.
B选项,命题“ n∈N,n∈Z”的否定是“ n∈N,n Z”,B选项错误.
C选项,当x=0时,x-1=-1<0,所以“ x∈R,x-1<0”是真命题,C选项正确.
D选项,命题“ x∈R,x-1<0”的否定是“ x∈R,x-1≥0”,D选项错误.故选C.
4.用符号语言表示命题:对于所有的正实数x,满足x2-x+1=0:________________;该命题的否定为:________________.
x>0,x2-x+1=0
x>0,x2-x+1≠0
解析:用符号语言表示原命题为: x>0,x2-x+1=0,该命题的否定为: x>0,x2-x+1≠0.
课堂小结
1.全称量词命题、存在量词命题的否定.
2.含量词命题的否定的应用.
点击下载
同课章节目录
第一章 集合与常用逻辑用语
1.1 集合的概念
1.2 集合间的基本关系
1.3 集合的基本运算
1.4 充分条件与必要条件
1.5 全称量词与存在量词
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.1 等式性质与不等式性质
2.2 基本不等式
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
第三章 函数概念与性质
3.1 函数的概念及其表示
3.2 函数的基本性质
3.3 幂函数
3.4 函数的应用(一)
第四章 指数函数与对数函数
4.1 指数
4.2 指数函数
4.3 对数
4.4 对数函数
4.5 函数的应用(二)
第五章 三角函数
5.1 任意角和弧度制
5.2 三角函数的概念
5.3 诱导公式
5.4 三角函数的图象与性质
5.5 三角恒等变换
5.6 函数 y=Asin( ωx + φ)
5.7 三角函数的应用
点击下载
VIP下载