课时作业51 诱导公式二、三、四
基础强化
1.如果α＋β＝180°，那么下列等式中成立的是( )
A．cosα＝cosβB．cosα＝－cosβ
C．sinα＝－sinβD．sinα＝cosβ
2．tan (－)＝( )
A．B．
C．－D．－
3．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P(－，－)，则cos (π－α)的值是( )
A．－B．
C．－D．
4．若sin (π＋α)＝，α∈(π，)，则tan (3π－α)＝( )
A．－B．－
C．－D．－
5．(多选)已知cos (π－α)＝－，则sin (－2π－α)＝( )
A．－B．－
C．D．
6．(多选)在△ABC中，下列关系一定成立的是( )
A．sinA＋sinC＝sinB
B．sin (A＋B)＝sinC
C．cos (B＋C)＝－cosA
D．tan (A＋C)＝－tanB
7．计算sin2(π－θ)＋cos2(－θ)＝________．
8．已知sinα＝，则sin (α－2π)sin (π＋α)＝________.
9．求值：
(1)sin·cos·tan；
(2)cos＋cos＋cos＋cos.
10．化简：
(1)；
(2).
能力提升
11.已知＝3，则tanα＝( )
A．－2B．2
C．－3D．3
12．已知sin (－x)＝－，则sin (＋x)＝( )
A．B．
C．－D．－
13．化简：＝( )
A．sin2＋cos2B．cos2－sin2
C．sin2－cos2D．±(cos2－sin2)
14．(多选)已知n∈Z则下列三角函数中，与sin数值相同的是( )
A．sin (nπ＋)
B．cos (2nπ＋)
C．sin (2nπ＋)
D．cos
15.已知cos (＋α)＝，则cos (－α)＝________．
16．已知f(α)＝
.
(1)化简f(α)；
(2)若α为第四象限角且sinα＝－，求f(α)的值；
(3)若α＝－π，求f(α).
课时作业51
1．解析：∵α＋β＝180°，∴α＝180°－β，
由cosα＝cos (180°－β)＝－cosβ，故A错误，B正确；
由sinα＝sin＝sinβ，故C错误，D错误．故选B.
答案：B
2．解析：tan (－)＝tan (－π)＝tan＝.故选A.
答案：A
3．解析：因为角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P(－，－)，
所以cosα＝－，因此cos (π－α)＝－cosα＝.故选B.
答案：B
4．解析：∵sin (π＋α)＝，α∈(π，)，
∴－sinα＝ sinα＝－，
cosα＝－＝－，tanα＝，
∴tan (3π－α)＝tan (－α)＝－tanα＝－.故选D.
答案：D
5．解析：由cos (π－α)＝－cosα＝－，即cosα＝，
又sin (－2π－α)＝－sin (2π＋α)＝－sinα，
而sinα＝±＝±，
所以sin(－2π－α)＝±.故选BC.
答案：BC
6．解析：对于A，若A＝B＝C＝，则sinA＋sinC＝≠sinB，A错误；对于B，sin (A＋B)＝sin (π－C)＝sinC，B正确；对于C，cos (B＋C)＝cos (π－A)＝－cosA，C正确；对于D，tan (A＋C)＝tan (π－B)＝－tanB，D正确．故选BCD.
答案：BCD
7．解析：sin2(π－θ)＋cos2(－θ)＝sin2θ＋cos2θ＝1.
答案：1
8．解析：原式＝sinα·(－sinα)＝－sin2α＝－.
答案：－
9．解析：(1)sin·cos·tan＝sin (π＋)·cos (3×2π＋)·tan (π－)＝－sin·cos·(－tan)＝－××(－)＝.
(2)cos＋cos＋cos＋cos＝cos＋cos＋cos (π－)＋cos (π－)＝cos＋cos－cos－cos＝0.
10．解析：(1)＝＝1．
(2)原式＝＝－cosθ.
11．解析：＝＝＝3，∴－tanα－1＝－3tanα＋3，可得tanα＝2.故选B.
答案：B
12．解析：sin (＋x)＝sin＝sin (－x)＝－.故选C.
答案：C
13．解析：＝＝
＝＝|sin2－cos2|，
又因为角2是第二象限角，所以sin2>0，cos2<0，所以|sin2－cos2|＝sin2－cos2.故选C.
答案：C
14．解析：对于A，当n＝2k，k∈Z时，sin (nπ＋)＝sin (2kπ＋)＝sin＝sin (π＋)＝－sin，所以A错误，对于B, cos (2nπ＋)＝cos＝sin，所以B正确，对于C，sin (2nπ＋)＝sin，所以C正确，对于D, cos＝cos (2nπ＋π－)＝cos (π－)＝－cos＝－sin，所以D错误．故选BC.
答案：BC
15．解析：cos (－α)＝cos＝－cos (＋α)＝－.
答案：－
16．解析：(1)f(α)＝＝＝－cosα.
(2)因为α为第四象限角且sinα＝－，所以cosα＝＝，所以f(α)＝－cosα＝－.
(3)因为α＝－π，f(α)＝－cosα，
所以f(α)＝f(－)＝－cos (－π)＝－cos (－5×2π－π)＝－cos＝－.课时作业52 诱导公式五、六
基础强化
1.已知cos (＋α)＝，那么sinα＝( )
A．－B．
C．－D．
2．已知角α的终边经过点P(－3，－4)，则cos (－α)＝( )
A．－B．－
C．D．
3．若cos (＋θ)>0，且sin (－θ)<0，则θ是( )
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D．第四象限角
4．若sin (α＋)＝，则cos (α＋)＝( )
A．B．－
C．D．－
5．(多选)下列选项中与cosθ的值不恒相等的有( )
A．cos (－θ) B．cos (π＋θ)
C．sin (θ－) D．sin (π－θ)
6．(多选)已知sinx＝，x∈(0，)，则( )
A．sin (π－x)＝B．sin (x－π)＝
C．sin (－x)＝D．sin (x－)＝
7．已知sin (＋α)＝－，那么cosα的值为________．
8．已知角θ的终边经过点(，－)，则cos (θ＋)＝________．
9．已知α为第二象限角，sin (－α)＝－.
(1)求sinα的值；
(2)若f(α)＝，求f(α)的值．
10．已知函数f(x)＝.
若f(θ)＝－f(－θ)，求＋10sin2θ的值．
能力提升
11.若cos(－α)＝，则sin (＋α)＝( )
A．B．－
C．D．－
12．已知cos (－α)＝，则sin (α＋)＝( )
A．B．
C．－D．－
13．已知sin (53°－α)＝且－270°<α<－90°，则sin (37°＋α)＝( )
A．B．－
C．D．－
14．(多选)已知sin (－x)＝－，且
A．sin (＋x)＝－
B．cos (＋x)＝－
C．tan (x－)＝
D．cos (－x)＝
15.已知cos (－α)＝，则sin (＋α)＋cos (＋α)＝________．
16．已知sin (－α)＝.
(1)求cos (α－)；
(2)若－<α<，求cos (＋α).
课时作业52
1．解析：∵cos (＋α)＝，cos (＋α)＝－sinα，可得－sinα＝，那么sinα＝－.故选C.
答案：C
2．解析：根据题意sinα＝－，cosα＝－，所以cos (－α)＝－sinα＝.故选D.
答案：D
3．解析：∵cos (＋θ)＝－sinθ>0，
即sinθ<0，又sin (－θ)＝cosθ<0，
∴θ是第三象限角．故选C.
答案：C
4．解析：因为sin (α＋)＝，
所以cos (α＋)＝cos＝－sin (＋α)＝－.故选B.
答案：B
5．解析：cos (－θ)＝cosθ，cos (π＋θ)＝－cosθ，sin (θ－)＝－cosθ，sin (π－θ)＝－cosθ.故选BCD.
答案：BCD
6．解析：由已知sinx＝，x∈(0，)，
得cosx＝＝＝，
对于A：sin (π－x)＝sinx＝，A正确；
对于B：sin (x－π)＝－sinx＝－，B错误；
对于C：sin (－x)＝cosx＝，C正确；
对于D：sin (x－)＝cosx＝，D正确．故选ACD.
答案：ACD
7．解析：∵sin (＋α)＝sin (3π＋＋α)＝－sin (＋α)＝－cosα＝－，∴cosα＝.
答案：
8．解析：由题意得：cos (θ＋)＝sinθ＝＝－.
答案：－
9．解析：(1)sin (－α)＝cosα＝－，因为α为第二象限角，
∴sinα＝＝.
(2)∵f(α)＝＝＝，
∴f(α)＝－＝.
10．解析：f(x)＝＝＝－cosx，
由f(θ)＝－f(－θ)得cosθ＝sinθ，tanθ＝3，
所以＋10sin2θ＝＋＝－7＋9＝2.
11．解析：因为(－α)＋(＋α)＝，
所以＋α＝－(－α)，
因为cos(－α)＝，
所以sin (＋α)＝sin＝cos (－α)＝.故选A.
答案：A
12．解析：因为cos (－α)＝，
所以sin (α＋)＝－sin (α＋)，
＝－sin [－(－α)]＝－cos (－α)＝－.故选D.
答案：D
13．解析：因为－270°<α<－90°，所以90°<－α<270°，
所以143°<53°－α<323°，
因为sin (53°－α)＝>0，所以143°<53°－α<180°，
所以cos (53°－α)＝－＝－＝－，
所以sin(37°＋α)＝cos [90°－(37°＋α)]＝cos (53°－α)＝－.故选D.
答案：D
14．解析：由则cos (－x)＝＝，
tan(－x)＝－.
sin (＋x)＝sin＝cos (－x)＝，故A错误；
cos (＋x)＝cos [π－(－x)]＝－cos (－x)＝－，故B正确；
tan (x－)＝－tan (－x)＝，故C正确；
cos (－x)＝cos＝－sin (－x)＝，故D正确．故选BCD.
答案：BCD
15．解析：sin (＋α)＋cos (＋α)＝sin [－]＋cos [π－]＝cos (－α)－cos (－α)＝0.
答案：0
16．解析：(1)cos (α－)＝cos＝sin (－α)＝.
(2)∵－<α<，
∴－<－α<，∴<－α<π，
∴cos (－α)<0，cos (－α)＝－＝－＝－，
cos (＋α)＝cos＝－cos (－α)＝.课时作业53 习题课 诱导公式与三角函数的概念、同角三角函数的基本关系的综合应用
基础强化
1.已知α为锐角，sin (π－α)＝，则cosα＝( )
A．B．－
C．D．－
2．在△ABC中，若cosB＝sin (90°－C)＝，则△ABC是( )
A．等腰三角形B．等边三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
3．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos (－θ)＝( )
A．±B．
C．D．±
4．若sin (－110°)＝a，则tan70°＝( )
A．B．－
C．D．－
5．(多选)下列各式的值等于1的有( )
A．sin2(－x－1)＋cos2(x＋1)
B．sin(－)
C．cos (－5π)
D．
6．(多选)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P(－，－)，以下说法正确的是( )
A．tanα＝－
B．sinα＝－
C．sin (α－)＝－
D．cos (α＋)·cos (π－α)＝－
7．在△ABC中，cos (B＋C)＝，则sinA＝________．
8．已知函数f(x)＝tanx－ksinx＋2(k∈R)，若f()＝－1，f(－)＝________．
9．已知α为第三象限角，且sinα＝－.
(1)求tanα的值；
(2)求的值．
10．在平面直角坐标系xOy中，角α的始边为x轴的非负半轴，终边在第二象限且与单位圆交于点P，点P的纵坐标为.
(1)求sinα＋cosα和tanα的值；
(2)若将射线OP绕点O逆时针旋转，得到角β，求.
能力提升
11.已知sin (π－α)＋sin (α－)＝，则的值为( )
A．－B．
C．－D．
12．在△ABC中，sin (＋A)＋sin (2π＋A)＝，则tanA＝( )
A．－B．
C．－D．
13．定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ＋φ＝，则称θ与φ“广义互余”．已知sinα＝，下列角β中，可能与角α“广义互余”的是( )
A.sinβ＝B．cos (π＋β)＝
C．tanβ＝D．tanβ＝
14．(多选)质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的⊙O上逆时针作匀速圆周运动，同时出发．P的角速度大小为2rad/s，起点为⊙O与x轴正半轴的交点；Q的角速度大小为5rad/s，起点为点(，－).则当Q与P重合时，Q的坐标可以为( )
A．(cos，sin)
B．(－cos，－sin)
C．(cos，－sin)
D．(－cos，sin)
15.sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝________．
16．已知f(α)＝＋cos (2π－α).
(1)化简f(α)；
(2)若f(α)＝，求＋的值．
课时作业53
1．解析：因为sin (π－α)＝，所以sinα＝，
又α为锐角，所以cosα＝＝.故选C.
答案：C
2．解析：因为在△ABC中，cosB＝sin (90°－C)＝，也即cosB＝cosC＝，
因为B∈(0，π)，C∈(0，π)，所以B＝C＝，则△ABC为等边三角形．故选B.
答案：B
3．解析：角θ终边在直线y＝2x上，则角θ为第一象限角或者第三象限角，tanθ＝2，
根据?tanθ＝
sin2θ＋cos2θ＝1?，得sinθ＝±，cos (－θ)＝sinθ＝±.故选D.
答案：D
4．解析：∵sin (－110°)＝－sin110°＝－sin (180°－70°)＝－sin70°＝a，∴sin70°＝－a，
∴cos70°＝＝，
∴tan70°＝＝－.故选B.
答案：B
5．解析：对于A，sin2(－x－1)＋cos2(x＋1)＝sin2(x＋1)＋cos2(x＋1)＝1，故A正确，对于B，sin(－)＝sin (－＋2π)＝sin (－)＝－sin ()＝－1，故B错误，对于C，cos (－5π)＝cos5π＝cosπ＝－1，故C错误，对于D，＝＝＝1，故D正确．故选AD.
答案：AD
6．解析：因为角α的终边过点P(－，－)，所以sinα＝－，cosα＝－，tanα＝，故A错误，B正确；
对于C，sin (α－)＝－cosα＝，故C错误；
对于D，cos (α＋)·cos (π－α)＝sinα·(－cosα)＝－，故D正确．故选BD.
答案：BD
7．解析：在△ABC中，cos (B＋C)＝cos (π－A)＝，
所以cosA＝－，则sinA＝.
答案：
8．解析：因为函数f(x)＝tanx－ksinx＋2(k∈R)，
所以f()＝tan－ksin＋2＝－1，
即tan－ksin＝－3，
所以f(－)＝tan (－)－ksin (－)＋2
＝－tan＋ksin＋2＝5.
答案：5
9．解析：(1)因为α为第三象限角，且sinα＝－，
所以cosα＝－＝－；tanα＝＝.
(2)
＝＝，
由(1)得tanα＝，
所以＝＝－7.
10．解析：(1)由三角函数的定义可得sinα＝，
又因为α为第二象限角，则cosα＝－＝－，
所以sinα＋cosα＝，tanα＝＝－.
(2)由题知β＝α＋，则sinβ＝sin (α＋)＝cosα
＝－，cosβ＝cos (α＋)＝－sinα＝－，
则＝＝＝－4．
11．解析：由已知得sinα－cosα＝，两边平方得1－2sinαcosα＝，解得sinαcosα＝，
则原式＝＝＝＝－．故选A.
答案：A
12．解析：在△ABC中，sin (＋A)＋sin (2π＋A)＝sinA＋cosA＝，
平方得1＋2sinAcosA＝，2sinAcosA＝－，
因为A为三角形的一个内角，所以sinA>0，cosA<0，
所以sinA－cosA>0，(sinA－cosA)2＝1－2sinAcosA＝，
所以sinA－cosA＝，结合sinA＋cosA＝，可得sinA＝，cosA＝－，所以tanA＝＝－.故选A.
答案：A
13．解析：若α＋β＝，则β＝－α，所以sinβ＝sin (－α)＝cosα＝±，故选项A符合条件；cos (π＋β)＝－cos (－α)＝－sinα＝－，故选项B不符合条件；tanβ＝，即sinβ＝cosβ，又sin2β＋cos2β＝1，∴sinβ＝±，故选项C不符合条件；
tanβ＝，即sinβ＝cosβ，又sin2β＋cos2β＝1，
∴sinβ＝±，故选项D不符合条件．故选A.
答案：A
14．解析：点Q的初始位置Q1的坐标为(，－)，锐角∠Q1Ox＝，
设t时刻两点重合，则5t－2t＝＋2kπ(k∈N)，即t＝＋(k∈N)，此时点Q(cos (－＋5t)，sin (－＋5t))，
即Q(cos (＋)，sin (＋))(k∈N)，
当k＝0时，Q(cos，sin)，故A正确；
当k＝1时，Q(cos，sin)，即Q(－cos，－sin)，故B正确；
当k＝2时，Q(cos，sin)，即Q(－cos，sin)，故D正确．故选ABD.
答案：ABD
15．解析：设S＝sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°，
因为sin21°＝cos289°，sin22°＝cos288°，sin23°＝cos287°，…，sin289°＝cos21°，
所以S＝cos289°＋cos288°＋cos287°＋…＋cos21°，
两式相加得：2S＝1×89，
所以S＝44.5.
答案：44.5
16．解析：(1)f(α)＝＋cosα＝sinα＋cosα.
(2)因为f(α)＝，所以sinα＋cosα＝，
两边平方得(sinα＋cosα)2＝，所以sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝，
所以1＋2sinαcosα＝，所以sinαcosα＝－，
所以＋＝＝＝－.课时作业54 正弦函数、余弦函数的图象
基础强化
1.用五点法画y＝3sinx，x∈[0，2π]的图象时，下列哪个点不是关键点( )
A．B．
C．D．
2．函数y＝1＋cosx(x∈[0，2π])的简图是( )
3．正弦函数y＝sinx，(x∈[0，2π))的图象与直线y＝1交点的个数为( )
A．0B．1
C．2D．3
4．使不等式－2sinx≥0成立的x的取值集合是( )
A．
B．
C．
D．
5．(多选)函数y＝－cosx的图象中与y轴最近的最高点的坐标为( )
A．(，1) B．(π，1)
C．(0，1) D．(－π，1)
6．(多选)下列在(0，2π)上的区间能使cosx>sinx成立的是( )
A．B．
C．D．∪
7．已知余弦函数过点(－，m)，则m的值为________．
8．方程x2－cosx＝0的实数解的个数是________．
9．用“五点法”作出函数y＝1－sinx，x∈[0，2π]的大致图象，并写出使得1≤y≤2的x的取值范围．
10．根据y＝cosx的图象解不等式：－≤cosx≤，x∈.
能力提升
11.方程sinx＝lgx的实数根的个数是( )
A．1B．2
C．3D．无穷多
12．函数y＝＋的定义域为( )
A．RB．[0，π]
C．[－4，－π] D．[－4，－π]∪[0，π]
13．设a为常数，且满足a＝sinx＋1，且x∈的x的值只有一个，则实数a的值为( )
A．0B．1
C．2D．0或2
14．(多选)关于函数f(x)＝1＋cosx，x∈(，2π)的图象与直线y＝t(t为常数)的交点情况，下列说法正确的是( )
A．当t<0或t≥2时，有0个交点
B．当t＝0或≤t<2时，有1个交点
C．当0D．当015.若方程cosx＝在x∈[－，π]上有两个不同的实数根，则实数a的取值范围为________.
16．函数f(x)＝sinx＋2|sinx|，x∈[0，2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，求实数k的取值范围．
课时作业54
1．解析：y＝3sinx五点作图法在内的五个关键点为(0，0)，(，3)，(π，0)，(，－3)，(2π，0)，可知(，)不是关键点．故选A.
答案：A
2．解析：把y＝cosx的图象向上平移1个单位即可．故选D.
答案：D
3．解析：令sinx＝1 x＝＋2kπ，k∈Z，因为x∈[0，2π)，所以x＝，故只有一个交点．故选B.
答案：B
4．解析：因为－2sinx≥0，
所以sinx≤，2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
故x的取值集合是.故选C.
答案：C
5．解析：y＝－cosx的最大值为1，即－cosx＝1，解得x＝π＋2kπ，k∈Z.因为要与y轴最近，所以x＝π或x＝－π，即坐标为(π，1)或(－π，1).故选BD.
答案：BD
6．解析：在同一平面直角坐标系中画出y＝sinx和y＝cosx的图象，在(0，2π)上，当cosx＝sinx时，x＝或x＝，结合图象可知满足cosx>sinx的是(0，)和(，2π).
故选AC.
答案：AC
7．解析：设余弦函数为y＝cosx，
由函数过点(－，m)可得m＝cos (－)＝.
答案：
8．解析：作出函数y＝cosx与y＝x2的图象，如图所示，由图象可知原方程有两个实数解．
答案：2
9．解析：列出函数图象上的五个关键点，如下表所示．
x 0 π π 2π
y＝1－sinx 1 0 1 2 1
画出函数图象，如图所示：
令y＝1，有1－sinx＝1，x∈[0，2π]，
解得：x1＝0，x2＝π，x3＝2π，
令y＝2，有1－sinx＝2，x∈[0，2π]，
解得：x＝，
由图可知：当x∈{0}∪[π，2π]时，有1≤y≤2.
10．解析：函数y＝cosx，x∈[0，2π]的图象如图所示：
根据图象可得不等式的解集为或≤x≤.
11．解析：在同一直角坐标系中作出函数y＝sinx与y＝lgx的图象，由图可以看出两函数图象有3个交点，即sinx＝lgx有3个实数根．故选C.
答案：C
12．解析：由题意得16－x2≥0且sinx≥0，
由16－x2≥0，得－4≤x≤4，
由sinx≥0，得2kπ≤x≤π＋2kπ，k∈Z，
所以－4≤x≤－π或0≤x≤π，
所以函数的定义域为[－4，－π]∪[0，π].故选D.
答案：D
13．解析：因为y＝sinx＋1，列表：
x 0 π － －π
y 1 2 1 0 1
描点、连线，函数图象如图所示：
因为a＝sinx＋1，且x∈[－π，π]的x的值只有一个，
所以y＝a与y＝sinx＋1在x∈[－π，π]上只有1个交点，
结合图象可知a＝0或a＝2.故选D.
答案：D
14.
解析：根据函数的解析式作出函数f(x)的图象如图所示，
对于选项A，当t<0或t≥2时，有0个交点，故A正确；对于选项B，当t＝0或≤t<2时，有1个交点，故B正确；对于选项C，当t＝时，只有1个交点，故C错误；对于选项D，当≤t<2时，只有1个交点，故D错误．故选AB.
答案：AB
15．解析：作出y＝cosx，x∈[－，π]与y＝的大致图象，如图所示．
由图象，可知≤<1，即－1答案：(－1，0]
16．解析：f(x)＝sinx＋2|sinx|＝，
其图象如图所示．
若使f(x)的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，
根据图象，可得实数k的取值范围是(1，3).课时作业55 正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性
基础强化
1.下列函数中，周期为的是( )
A．y＝sinB．y＝sin2x
C．y＝cosD．y＝cos (－4x)
2．函数y＝4sin的图象关于( )对称
A．原点B．直线x＝
C．y轴D．直线y＝x
3．已知函数y＝－xcosx，则其部分大致图象是( )
4．函数y＝4cos(x∈R)是( )
A．最小正周期为4π的奇函数
B．最小正周期为4π的偶函数
C．最小正周期为π的奇函数
D．最小正周期为π的偶函数
5．(多选)以下函数是偶函数的是( )
A．y＝2sinxB．y＝cos2x
C．y＝x3sinxD．y＝|sinx|cosx
6．(多选)下列关于函数y＝cos2(x＋)的说法中正确的是( )
A．最小正周期为πB．最小正周期为2π
C．为偶函数D．为奇函数
7．写出一个最小正周期为3的偶函数f(x)＝________.
8．设函数f(x)＝x3cosx＋1，若f(2023)＝－2022，则f(－2023)＝________．
9．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝cos (＋2x)cos (π＋x)；
(2)f(x)＝cos (2π－x)－x3sinx.
10．若函数f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x＋π)＝f(x)，当x∈[0，)时，f(x)＝2sinx，求f(－)＋f()的值．
能力提升
11.若x1＝，x2＝是函数f(x)＝sinωx(ω>0)两个相邻的最值点，则ω＝( )
A．2B．
C．1D．
12．“φ＝”是“函数y＝cos (x＋φ)为奇函数”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
13．已知函数y＝2cos (x＋)－5的周期不大于2，则正整数k的最小值为( )
A．10B．11
C．12D．13
14．(多选)已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)，则( )
A．存在φ的值，使得f(x)是奇函数
B．存在φ的值，使得f(x)是偶函数
C．不存在φ的值，使得f(x)是奇函数
D．不存在φ的值，使得f(x)是偶函数
15.已知函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，x∈R，且当x∈[－2，0)时，f(x)＝log3(－x＋2)，则f(2023)＝________．
16．已知f(x)＝sinax(a>0)的最小正周期为12.
(1)求a的值；
(2)求f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2023).
课时作业55
1．解析：根据公式T＝，y＝sin的周期为T＝4π，故A错误；y＝sin2x的周期为T＝π，故B错误；y＝cos的周期为T＝8π，故C错误；y＝cos (－4x)的周期为T＝，故D正确．故选D.
答案：D
2．解析：函数y＝4sin＝4cos2x，
所以其图象关于y轴对称．故选C.
答案：C
3．解析：函数y＝－xcosx的定义域为R, 设f(x)＝－xcosx.
因为f(－x)＝xcos (－x)＝xcosx＝－f(x)，
所以函数为奇函数，图象关于原点对称，所以排除选项A，C.
当x∈时，cosx>0，
所以f(x)＝－xcosx<0，故D正确．故选D.
答案：D
4．解析：由题意知：函数的最小正周期T＝＝4π；
∵4cos (－)＝4cos，y＝4cos(x∈R)为偶函数，
所以y＝4cos(x∈R)是最小正周期为4π的偶函数．故选B.
答案：B
5．解析：四个选项中函数的定义域均为全体实数，满足关于原点对称，
对于A：f(x)＝2sinx，f(－x)＝2sin (－x)＝－2sinx＝－f(x)，
所以y＝2sinx为奇函数，故A错误；
对于B：g(x)＝cos2x，g(－x)＝cos (－2x)＝cos2x＝g(x)，
所以g(x)＝cos2x为偶函数，故B正确；
对于C：h(x)＝x3sinx，h(－x)＝(－x)3sin (－x)＝－x3(－sinx)＝x3sinx＝h(x)，
所以h(x)＝x3sinx为偶函数，故C正确；
对于D：t(x)＝|sinx|cosx，t(－x)＝|sin (－x)|cos (－x)＝|－sinx|cosx＝|sinx|cosx＝t(x)，
所以t(x)＝|sinx|cosx为偶函数，故D正确．故选BCD.
答案：BCD
6．解析：f(x)＝cos2(x＋)＝cos (2x＋)＝sin2x，
故最小正周期为π，f(x)＝－f(－x)为奇函数．故选AD.
答案：AD
7．解析：由余弦函数性质知：y＝cos (kx)为偶函数且k为常数，
又最小正周期为3，则＝3，即k＝，
所以f(x)＝cos (x)满足要求．
答案：cos (x)(答案不唯一)
8．解析：函数f(x)＝x3cosx＋1的定义域为R，令g(x)＝x3cosx，x∈R，
则g(－x)＝(－x)3cos (－x)＝－x3cosx＝－g(x)，所以g(x)为奇函数，
又f(2023)＝g(2023)＋1＝－2022，所以g(2023)＝－2023，
所以f(－2023)＝g(－2023)＋1＝－g(2023)＋1＝2024.
答案：2024
9．解析：(1)函数f(x)的定义域为R，
f(x)＝cos (＋2x)cos (π＋x)＝(－sin2x)(－cosx)＝sin2xcosx，
故f(－x)＝sin (－2x)cos (－x)＝－sin2xcosx＝－f(x)，
故函数f(x)为奇函数．
(2)函数的定义域为R，关于原点对称，
∵f(x)＝cosx－x3sinx，
∴f(－x)＝cos (－x)－(－x)3sin (－x)
＝cosx－x3sinx＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．
10．解析：∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
又∵f(x＋π)＝f(x)，∴函数f(x)的周期为π，
由于x∈[0，)时，f(x)＝2sinx，
∴f(－)＋f()＝f(－4π－)＋f(2π＋)
＝f(－)＋f()＝－f()＋f()＝－2sin＋2sin＝－.
11．解析：因为x1＝，x2＝是函数f(x)＝sinωx(ω>0)两个相邻的最值点，
所以＝－＝，T＝π，ω＝＝2.故选A.
答案：A
12．解析：当φ＝时，y＝cos (x＋)＝－sinx为奇函数，故充分性成立；
当函数y＝cos (x＋φ)为奇函数，故φ＝＋kπ，k∈Z，故必要性不成立；
则“φ＝”是“函数y＝cos (x＋φ)为奇函数”的充分不必要条件．故选A.
答案：A
13．解析：由题设T＝＝≤2，∴k≥4π，
又k∈Z，∴正整数k的最小值为13.故选D.
答案：D
14．解析：因为f(x)＝sin (ωx＋φ)，所以f(0)＝sinφ.因为0<φ<π，所以f(0)＝sinφ>0≠0，所以f(x)不可能是奇函数，则A错误，C正确．
当φ＝时，f(x)＝sin (ωx＋)＝cosωx是偶函数，则B正确，D错误．故选BC.
答案：BC
15．解析：因f(x＋2)＝－f(x)，x∈R，则f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，得f(x)周期为4，
则f(2023)＝f(－1＋4×506)＝f(－1)，
又x∈[－2，0)时，f(x)＝log3(－x＋2)，
则f(－1)＝log33＝1.
答案：1
16．解析：(1)∵f(x)＝sinax(a>0)，ω＝a，T＝12，
∴T＝＝12，∴a＝.
(2)由(1)可知a＝，∴f(x)＝sinx，
∴f(1)＝sin＝，
f(2)＝sin (×2)＝sin＝，
f(3)＝sin (×3)＝sin＝1，
f(4)＝sin (×4)＝sin＝，
f(5)＝sin (×5)＝，
f(6)＝sin (×6)＝sinπ＝0，
f(7)＝sin (×7)＝－，
f(8)＝sin (×8)＝－，f(9)＝sin (×9)＝－1，
f(10)＝sin (×10)＝－，
f(11)＝sin (×11)＝－，
f(12)＝sin (×12)＝0.
∵f(x)＝sinx的最小正周期为12，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(12)＝0.
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2023)＝0＋f(2017)＋f(2018)＋f(2019)＋f(2020)＋f(2021)＋f(2022)＋f(2023)
＝0＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)
＝＋＋1＋＋＋0＋(－)＝＋.课时作业56 正弦函数、余弦函数的单调性与最值
基础强化
1.下列四个命题中，正确的命题是( )
A．y＝cosx在第一、三象限内单调递减
B．y＝sinx在第一、三象限内单调递增
C．y＝cosx在[－，]上单调递减
D．y＝sinx在[－，]上单调递增
2．设M和m分别表示函数y＝cosx－1的最大值和最小值，则M＋m＝( )
A．B．－
C．－D．－2
3．函数y＝－3sinx＋4(x∈[－π，π])的一个单调递增区间为( )
A．[－，] B．[0，π]
C．[，π] D．[－π，0]
4．函数f(x)＝sin (2x－)(0≤x≤)的值域是( )
A．[－1，1] B．[－，1]
C．[－，] D．[，1]
5．(多选)下列不等式中成立的是( )
A．sin1B．sin>sin
C．cos>cos2
D．cos (－70°)>sin18°
6．(多选)已知函数f(x)＝cosx，则下列函数在区间(0，)上单调递增的是( )
A．f(x－π) B．f(x＋π)
C．f(x－) D．f(x＋)
7．函数y＝3－sin取最小值时x的集合是________．
8．若函数f(x)＝－cos2x，则f(x)的一个递增区间为________．
9．已知函数f(x)＝cos (2x＋).
(1)求f(x)取得最大值时x的值；
(2)求f(x)的单调递减区间．
10．已知函数f(x)＝2sin (x＋)＋a的最大值为1.
(1)求函数f(x)的单调递减区间；
(2)若x∈[0，]，求函数f(x)的值域．
能力提升
11.已知函数f(x)＝22sin3x在[a，b]上的值域为[0，11]，则b－a＝( )
A．B．
C．D．
12．使cosx＝1－m有意义的m的取值范围为( )
A．m≥0B．0≤m≤2
C．－1＜m＜1D．m＜－1或m＞1
13．若函数f(x)＝sinωx(ω＞0)在区间[0，]上单调递增，在区间[，]上单调递减，则ω＝( )
A．B．
C．2D．3
14．(多选)已知函数f(x)＝sinωx(ω>0)在(－，)上单调，则ω的可能值为( )
A．2B．3
C．4D．5
15.函数y＝asinx＋1的最大值是2，则实数a的值等于________．
16．已知函数f(x)＝sin (2ωx＋φ)(其中ω>0，|φ|<π)的最小正周期为，当x＝时，f(x)取到最大值．
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)当a>0时，若函数g(x)＝af(x)＋b在区间[，]上的值域为[1，3]，求实数a，b的值．
课时作业56
1．解析：因为第一和第三象限对应不同的角的范围，所以选项AB的说法错误；
根据余弦函数的单调性，函数y＝cosx在区间[－π，0]上单调递增，在区间 [0，π]单调递减．
所以选项C错误；
根据正弦函数的单调性，函数y＝sinx在区间[－，]上单调递增，选项D正确．故选D.
答案：D
2．解析：因为－1≤cosx≤1，所以－≤cosx－1≤－，
所以M＝－，m＝－，所以M＋m＝－2.故选D.
答案：D
3．解析：函数y＝－3sinx＋4的增区间，即y＝sinx的减区间，
为[2kπ＋，2kπ＋]，k∈Z.结合x∈[－π，π]，可得y＝sinx的减区间为[，π].故选C.
答案：C
4．解析：由0≤x≤，∴0≤2x≤π，∴－≤2x－≤，
利用正弦函数的性质知f(x)∈[－，1].故选B.
答案：B
5．解析：对A，因为0<1<<，y＝sinx在(0，)单调递增，所以sin1对于B，sin＝sin，sin＝sin>sin，故B错误；
对C，因为<2<<π，y＝cosx在(，π)单调递减，所以cos对于D，cos (－70°)＝cos70°＝sin20°>sin18°，故D正确．故选AD.
答案：AD
6．解析：对于A：因为f(x－π)＝cos (x－π)＝cos (π－x)＝－cosx，
且f(x)＝cosx在区间(0，)上单调递减，
所以f(x－π)在区间(0，)上单调递增，即选项A正确；
对于B：因为f(x＋π)＝cos (x＋π)＝－cosx，
且f(x)＝cosx在区间(0，)上单调递减，
所以f(x－π)在区间(0，)上单调递增，即选项B正确；
对于C：因为f(x－)＝cos (x－)＝cos (－x)＝sinx，
且y＝sinx在区间(0，)上单调递增，
所以f(x－)在区间(0，)上单调递增，即选项C正确；
对于D：因为f(x＋)＝cos (x＋)＝－sinx，
且y＝sinx在区间(0，)上单调递增，
所以f(x＋)在区间(0，)上单调递减，
即选项D错误．故选ABC.
答案：ABC
7．解析：依题可知，y＝3－sin，
当sin＝1 ＝2kπ＋，k∈Z，即
x＝4kπ＋π，k∈Z时，函数取得最小值3－1＝2；
综上所述，函数y＝3－sin取最小值时x的集合是{x|x＝4kπ＋π，k∈Z}．
答案：{x|x＝4kπ＋π，k∈Z}
8．解析：因为f(x)＝－cos2x，令2kπ≤2x≤2kπ＋π，k∈Z，
∴kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，所以函数的单调递增区间为[kπ，＋kπ]，k∈Z，
当k＝0时，则函数f(x)的一个单调递增区间为[0，].
答案：[0，](答案不唯一)
9．解析：(1)由余弦函数性质可得函数f(x)＝cos (2x＋)的最大值为1.
令f(x)＝cos (2x＋)＝1，则2x＋＝2kπ(k∈Z)，
∴x＝kπ－(k∈Z).
(2)∵函数y＝cosx的单调递减区间为[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)，
令2kπ≤2x＋≤π＋2kπ(k∈Z)，则－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z).
∴f(x)的单调递减区间为[－＋kπ，＋kπ](k∈Z).
10．解析：(1)函数f(x)＝2sin (x＋)＋a，由2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，k∈Z得：2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z，
所以函数f(x)的单调递减区间是[2kπ＋，2kπ＋](k∈Z).
(2)依题意，函数f(x)＝2sin (x＋)＋a的最大值2＋a＝1，解得a＝－1，f(x)＝2sin (x＋)－1，
当x∈[0，]时，则x＋∈[，]，即有≤sin (x＋)≤1，于是得0≤2sin (x＋)－1≤1，
所以函数f(x)的值域为[0，1].
11．解析：因为x∈[a，b]，所以3x∈[3a，3b].又因为f(x)的值域为[0，11]，所以3b－3a＝，则b－a＝.故选C.
答案：C
12．解析：∵－1≤cosx≤1且cosx＝1－m有意义，
∴－1≤1－m≤1，∴0≤m≤2.故选B.
答案：B
13．解析：由题意可知函数在x＝时确定最大值，就是＝2kπ＋，k∈Z，所以ω＝6k＋；只有k＝0时，ω＝满足选项．故选B.
答案：B
14．解析：因为x∈(－，)，ω>0故可得ωx∈(－ω，ω)，
又y＝sinx的单调增区间为[2kπ－，2kπ＋]，k∈Z，
故－ω≥2kπ－，ω≤2kπ＋，
解得ω≤－12k＋3且ω≤12k＋3，k∈Z
又ω>0，故k＝0，ω≤3.故选AB.
答案：AB
15．解析：因为函数y＝asinx＋1的最大值是2，
所以asinx的最大值为1，
当a>0时，sinx取最大值1时，asinx取得最大值，则a＝1，
当a<0时，sinx取最小值－1时，asinx取得最大值，则－a＝1，得a＝－1，综上a＝±1.
答案：±1
16．解析：(1)∵函数f(x)＝sin (2ωx＋φ)(其中ω>0，|φ|<π)的最小正周期为，
∴ω＝＝，则f(x)＝sin (3x＋φ)，
又∵当x＝时，f(x)取到最大值，
∴3×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
解得φ＝2kπ－，k∈Z，
∵|φ|<π，∴φ＝－，则f(x)＝sin (3x－)，
令－＋2kπ≤3x－≤＋2kπ，k∈Z，
解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
故函数f(x)的单调递增区间为[－＋kπ，＋kπ]，k∈Z.
(2)∵x∈[，]，∴3x－∈[－，]，
∴sin (3x－)∈[－，1]，∴－a＋b≤g(x)≤a＋b，
∵函数g(x)＝af(x)＋b在区间[，]上的值域为[1，3]，
∴，解得a＝，b＝.课时作业57 习题课 正弦函数、余弦函数的性质的综合问题
基础强化
1.函数f(x)＝cos2x的图象中，相邻两条对称轴之间的距离是( )
A．2πB．π
C．D．
2．函数y＝sin (2x＋)的图象的一个对称轴方程是( )
A．x＝－B．x＝－
C．x＝D．x＝
3．已知函数f(x)＝sin (x＋)，下列结论错误的是( )
A．函数f(x)最小正周期为2π
B．函数f(x)在区间(0，π)上是减函数
C．函数f(x)的图象关于(kπ，0)(k∈Z)对称
D．函数f(x)是偶函数
4．若函数f(x)＝3sin (ωx＋φ)对任意的x都有f(＋x)＝f(－x)，则f()＝( )
A．3或0B．－3或0
C．0D．－3或3
5．(多选)已知函数f(x)＝2sinx，则( )
A．f(x)是R上的奇函数
B．f(x)的最小正周期为2π
C．f(x)有最大值1
D．f(x)在[0，π]上单调递增
6．(多选)已知函数f(x)＝2sin (2x－)(x∈R)，下面结论正确的是( )
A．函数f(x)的最小正周期为π
B．函数f(x)在区间[0，]上单调递增
C．函数f(x)是奇函数
D．函数f(x)的图象关于y轴对称
7．在函数y＝2sin (2x－)的图象中，离坐标原点最近的一条对称轴的方程为________．
8．函数y＝3－3sinx－2cos2x的最小值是________．
9．设函数f(x)＝cos(2x＋φ)(0<φ<π)，y＝f(x)图象的一个对称中心是(，0).
(1)求φ的值；
(2)求函数y＝f(x)的单调递增区间．
10．已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ) ，其中ω>0，φ∈(0，).
条件①：函数f(x)最小正周期为π；
条件②：函数f(x)图象关于点(－，0)对称；
条件③：函数f(x)图象关于x＝对称．
从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知条件，求：
(1)f(x)的单调递增区间；
(2)f(x)在区间[0，]的最大值和最小值．
能力提升
11.已知f(x)＝sin (x－)，下列命题中错误的是( )
A．函数y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称
B．函数y＝f(x)在[－，]上单调递增
C．函数y＝f(x)的图象关于点(，0)对称
D.函数y＝f(x)在[－，π]上的值域是[－1，]
12．已知函数f(x)＝sin (2x＋φ)的图象关于点(，0)中心对称，则|φ|的最小值为( )
A．B．
C．D．
13．已知函数f(x)＝cos (ωx＋)(ω>0)在(0，)单调递减，在(，2π)单调递增，则f(x)的最小正周期为( )
A．B．π
C．2πD．4π
14．(多选)已知函数f(x)＝sin (2x＋φ)(－<φ<)的图象关于直线x＝对称，则( )
A．函数f(x)在[，]上单调递减
B．函数f(x＋)为偶函数
C．由f(x1)＝f(x2)＝可得x1－x2是π的整数倍
D．函数f(x)在区间(0，2π)上有3个零点
15.试写出一个同时满足下列三个条件的函数f(x)＝________．
①f(x)是奇函数；
②f(x)的最小正周期为π；
③f(x)在(，)上单调递减．
16．已知函数f(x)＝3sin (2x－).
(1)求f(x)的最小正周期和对称中心；
(2)求f(x)的单调递增区间；
(3)若函数y＝f(x)－a在x∈[，]存在零点，求实数a的取值范围．
课时作业57
1．解析：函数的最小正周期是T＝＝π，因此相邻两条对称轴之间的距离是＝.故选C.
答案：C
2．解析：对于函数y＝sin (2x＋)，令2x＋＝＋kπ，k∈Z，
解得x＝＋，k∈Z，故函数的对称轴方程为x＝＋，k∈Z，
令k＝0，可知函数的一条对称轴为x＝.故选C.
答案：C
3．解析：f(x)＝sin (x＋)＝cosx，
由余弦函数的性质可知，
函数的最小正周期T＝＝2π，即A正确；
在区间(0，π)上单调递减，即B正确；
关于(＋kπ，0)(k∈Z)对称，即C错误；
是偶函数，即D正确．故选C.
答案：C
4．解析：∵任意实数x都有f(＋x)＝f(－x)恒成立，
∴x＝是f(x)的一条对称轴，∴当x＝时，f(x)取得最大值3或最小值－3.故选D.
答案：D
5．解析：A：函数的定义域为R，且f(－x)＝2sin (－x)＝－2sinx＝－f(x)，为奇函数，故A正确；
B：函数的最小正周期为T＝＝2π，故B正确；
C：－1≤sinx≤1，得f(x)＝2sinx的最大值为2，故C错误；
D：函数f(x)＝2sinx的单调增区间为[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)，
当k＝0时，[－＋2kπ，＋2kπ]＝[－，]，即函数在[0，]上单调递增，故D错误．故选AB.
答案：AB
6．解析：f(x)＝2sin (2x－)＝2sin(2x－)＝－2cos2x，
所以函数f(x)的最小正周期为＝π，故A正确；
当x∈[0，] 时，2x∈[0，π]，所以y＝cos2x在区间[0，]上单调递减，
所以函数f(x)在区间[0，]上单调递增，故B正确；
因为f(－x)＝－2cos2x＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数，故C错误；
函数f(x)的图象关于y轴对称，故D正确．故选ABD.
答案：ABD
7．解析：由2x－＝＋kπ(k∈Z)得对称轴的方程为x＝＋(k∈Z)，其中离坐标原点最近时，k＝－1，即x＝－.
答案：x＝－
8．解析：y＝3－3sinx－2cos2x＝2sin2x－3sinx＋1＝2(sinx－)2－，所以当sinx＝时，ymin＝－.
答案：－
9．解析：(1)∵y＝f(x)图象的一个对称中心是(，0)，
∴cos (2×＋φ)＝0，
∴2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，即φ＝kπ＋，k∈Z，
又∵0<φ<π，∴φ＝.
(2)由(1)得函数f(x)＝cos (2x＋)，
∴2kπ－π≤2x＋≤2kπ，k∈Z，
即kπ－≤x≤kπ－，k∈Z；
故y＝f(x)的单调递增区间为[kπ－，kπ－]，k∈Z.
10．解析：(1)若选条件①②时，则ω＝＝2，即：f(x)＝sin (2x＋φ) ，
又∵f(x) 关于(－，0) 对称，
∴f(－)＝0，即：2×(－)＋φ＝kπ，k∈Z，解得：φ＝＋kπ，k∈Z，
又∵φ∈(0，)，∴φ＝，∴f(x)＝sin (2x＋)，
令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
整理得：－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
∴f(x)的单调递增区间为[－＋kπ，＋kπ]，k∈Z，
若选条件①③时，则ω＝＝2，即：f(x)＝sin (2x＋φ) ，
又∵f(x) 关于x＝对称，
∴f()＝±1，即：2×＋φ＝＋kπ，k∈Z，解得：φ＝＋kπ，k∈Z，
又∵φ∈(0，)，∴φ＝，∴f(x)＝sin (2x＋)，
令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
整理得：－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
∴f(x)的单调递增区间为[－＋kπ，＋kπ]，k∈Z，
若选条件②③时，则
不能确定函数的最小正周期，无法确定ω，所以无法确定函数解析式．
(2)若选条件①②或选条件①③时，f(x)＝sin (2x＋)，
∵0≤x≤，∴≤2x＋≤，
∴当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值为1，
当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最小值为－.
11．解析：对于A，因为f(－)＝sin (－)＝－1为最小值，
所以函数y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称，故A正确；
对于B，因为x∈[－，]，所以x－∈[－，－]，
所以函数y＝f(x)在[－，]上单调递增，故B正确；
对于C，因为f()＝sin＝1，
所以点(，0)不是函数f(x)的对称中心，故C错误；
对于D，因为[－，π]，所以x－∈[－π，]，
所以f(x)∈[－1，]，故D正确．故选C.
答案：C
12．解析：因为函数f(x)＝sin (2x＋φ)的图象关于点(，0)中心对称，
所以sin (2×＋φ)＝0，则2×＋φ＝kπ，k∈Z，即φ＝－＋kπ，k∈Z，故|φ|的最小值为.故选B.
答案：B
13．解析：由题意结合余弦函数图象可得ω＋＝π，∴ω＝，
最小正周期T＝＝4π.故选D.
答案：D
14．解析：因为函数f(x)的图象关于直线x＝对称，
所以2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，可得φ＝kπ－，k∈Z，
又－<φ<，所以φ＝－，所以f(x)＝sin (2x－).
对于A，当x∈[，]时，2x－∈[，]，由正弦函数性质知f(x)在上单调递减，故A正确；
对于B，f(x＋)＝sin [2(x＋)－]＝sin (2x＋)＝cos2x是偶函数，故B正确；
对于C，当x1＝，x2＝时，f(x1)＝f(x2)＝，但x1－x2＝－不是π的整数倍，故C错误；
对于D，令f(x)＝sin (2x－)＝0，则2x－＝kπ，k∈Z，即x＝＋，k∈Z，
由0<＋<2π，解得－答案：AB
15．解析：因为f(x)的最小正周期为π，
故f(x)可为三角函数，且ω＝＝2.
又因为f(x)是奇函数，
故f(x)＝sin2x.
再观察到sin2x在(，)上单调递减，
故f(x)可确定为f(x)＝sin2x.
答案：sin 2x或其他合理答案
16．解析：(1)由题意可得：函数f(x)的最小正周期T＝＝π，
令2x－＝kπ，k∈Z，解得x＝＋，k∈Z，
所以函数f(x)的对称中心为(＋，0)，k∈Z.
(2)令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以函数f(x)的单调递增区间为[－＋kπ，＋kπ]，k∈Z.
(3)令f(x)－a＝3sin (2x－)－a＝0，则sin (2x－)＝，
原题意等价于方程sin (2x－)＝在x∈[，]上有解，
当x∈[，]时，2x－∈[0，]，故sin (2x－)∈[0，1]，
所以0≤≤1，解得0≤a≤3，
故实数a的取值范围为[0，3].课时作业58 正切函数的性质与图象
基础强化
1.函数f(x)＝－2tan (2x＋)的定义域是( )
A．{x}
B．{x}
C．{x}
D．{x}
2．函数y＝tanx(－A．(－1，1) B．(－1，)
C．(－1，) D．[－1，]
3．已知函数f(x)＝tan2x，则下列结论正确的是( )
A．f(x)是最小正周期为的偶函数
B．f(x)是最小正周期为2π的偶函数
C．f(x)是最小正周期为的奇函数
D．f(x)是最小正周期为2π的奇函数
4．已知函数f(x)＝tan (ωx＋)(ω>0)的最小正周期为，则ω的值是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
5．(多选)与函数y＝tan (2x＋)的图象相交的直线是( )
A．x＝B．y＝
C．x＝D．x＝
6．(多选)下列结论正确的是( )
A．tan>tan
B．tan>tan
C．tan (－)>tan (－)
D．tan (－)>tan (－)
7．直线y＝m(m为常数)与函数y＝tanωx(ω>0)的图象相交，相邻两交点的距离为2π，则ω＝________．
8．已知函数y＝f(x)，其中f(x)＝atan3x＋4，若f(5)＝6，则f(－5)＝________．
9．求函数y＝tan2x的定义域、值域和最小正周期，并作出它在区间(－π，π)内的图象．
10．求函数y＝－2tan (3x＋)的定义域、值域，并指出它的周期、奇偶性和单调性．
能力提升
11.已知0≤x≤π，且|tanx|≥1，则x的取值范围是( )
A．[0，]∪[，π]
B．[，)∪(，]
C．[0，]∪(，]
D．[，)∪[，π]
12．已知f(x)＝tanωx(0<ω<1)在区间[0，]上的最大值为，则ω＝( )
A．B．
C．D．
13．已知函数y＝tanωx在(－，)上单调递减，则ω的取值范围为( )
A．(－2，0) B．[－1，0)
C．(0，1] D．[1，2]
14．(多选)已知函数f(x)＝|tanx|，则下列结论正确的是( )
A．f(－)＝f()
B．2π是f(x)的一个周期
C．f(x)的图象关于点(，0)对称
D．f(x)的定义域是{x|x≠＋kπ，k∈Z}
15.函数y＝－2tan2x＋3tanx－1，x∈[－，]的值域为________．
16．设函数f(x)＝tan (ωx＋φ)(ω>0，0<φ<)，已知函数y＝f(x)的图象与x轴相邻两个交点的距离为，且图象关于点M(－，0)对称．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)求不等式－1≤f(x)≤的解集．
课时作业58
1．解析：由正切函数的定义域，令2x＋≠kπ＋，k∈Z，即x≠＋(k∈Z)，所以函数f(x)＝－2tan (2x＋)的定义域为{x}．故选D.
答案：D
2．解析：因为函数y＝tanx在(－，)单调递增，
且tan＝，tan (－)＝－1，
则所求的函数的值域是(－1，).故选C.
答案：C
3．解析：f(x)＝tan2x的最小正周期为T＝，
令2x≠kπ＋，k∈Z，∴x≠＋，k∈Z，
所以函数的定义域为{x|x≠＋，k∈Z}关于原点对称．
又f(－x)＝tan (－2x)＝－tan2x＝－f(x)，
所以函数是奇函数．故选C.
答案：C
4．解析：由题意，＝ ω＝2.故选B.
答案：B
5．解析：对于A，当x＝时，y＝tan (2×＋)＝tan＝1，所以直线x＝与函数y＝tan (2x＋)交于点(，1)；
对于B，由正切函数的图象可知直线y＝与函数y＝tan (2x＋)的图象相交；
对于C，当x＝时，y＝tan (2×＋)＝tan＝－1，所以直线x＝与函数y＝tan (2x＋)交于点(，－1)；
对于D，当x＝时，y＝tan (2×＋)＝tan无意义，所以直线x＝与函数y＝tan (2x＋)的图象无交点．故选ABC.
答案：ABC
6．解析：对于A，因为0<<<，函数y＝tanx在(－，)上单调递增，所以tan>tan.故A正确；
对于B, tan<0对于C，tan (－)＝tan (－＋2π)＝tan，tan (－)＝tan (－＋2π)＝tan.又0<<<，函数y＝tanx在(－，)上单调递增，所以tan对于D，tan (－)＝tan (－＋4π)＝tan，tan (－)＝tan (－＋3π)＝tan (－).
又－<－<<，函数y＝tanx在(－，)上单调递增，
所以tan>tan (－)，即tan (－)>tan (－).故D正确．故选AD.
答案：AD
7．解析：由题意，函数y＝tanωx(ω>0)的最小正周期T＝＝2π，解得ω＝.
答案：
8．解析：设g(x)＝atan3x，则f(x)＝g(x)＋4，
因为g(－x)＝－atan3x＝－g(x)，所以g(x)＝atan3x为奇函数，
f(5)＝g(5)＋4＝6，所以g(5)＝2，则g(－5)＝－2，
所以f(－5)＝g(－5)＋4＝2.
答案：2
9．解析：由2x≠＋kπ，k∈Z，得x≠＋，k∈Z，
即函数的定义域为{x|x≠＋，k∈Z}，
值域为(－∞，＋∞)，最小正周期为T＝，对应图象如图所示．
10．解析：由3x＋≠kπ＋，得x≠＋，k∈Z，
即函数的定义域为{x|x≠＋，k∈Z}，
由y＝－2tan (3x＋)可知，函数的值域为R，函数的周期T＝，
∵函数的定义域关于原点不对称，
∴函数为非奇非偶函数，
由－＋kπ<3x＋<＋kπ，k∈Z，
得－＋∴函数y＝－2tan (3x＋)在区间(－＋，＋)(k∈Z)上单调递减．
11．解析：|tanx|≥1等价于tanx≥1或tanx≤－1，
如图所示：
由正切函数图象知x∈[，)∪(，].故选B.
答案：B
12．解析：因为x∈[0，]，即0≤x≤，
又0<ω<1，所以0≤ωx≤<，所以f(x)max＝tan＝tan＝，
所以＝，ω＝.故选A.
答案：A
13．解析：由函数y＝tanωx在(－，)上单调递减，可得ω<0，
由x∈(－，)，可得ωx∈(，－)，
则，所以－1≤ω<0.故选B.
答案：B
14．解析：画出函数f(x)＝|tanx|的图象，易得f(x)的周期为T＝kπ，k∈Z，且是偶函数，定义域是{x|x≠＋kπ，k∈Z}，故A，B，D正确；
点(，0)不是函数f(x)＝|tanx|的对称中心，C错误．
故选ABD.
答案：ABD
15．解析：因为x∈[－，]，所以tanx∈[－1，1]，
y＝－2tan2x＋3tanx－1＝－2(tanx－)2＋，
则当tanx＝时，f(x)max＝，
当tanx＝－1时，f(x)min＝－6，
所以函数f(x)的值域为[－6，].
答案：[－6，]
16．解析：(1)由题意知，函数f(x)的最小正周期为T＝，
即＝，因为ω>0，所以ω＝2，从而f(x)＝tan (2x＋φ)，
因为函数y＝f(x)的图象关于点M(－，0)对称，
所以2×(－)＋φ＝，k∈Z，即φ＝＋，k∈Z.
因为0<φ<，所以φ＝，故f(x)＝tan (2x＋).
令－＋kπ<2x＋<＋kπ，k∈Z，得－＋kπ<2x即－＋所以函数的单调递增区间为(－＋，＋)，k∈Z，无单调递减区间．
(2)由(1)知，f(x)＝tan (2x＋).由－1≤tan (2x＋)≤，
得－＋kπ≤2x＋≤＋kπ，k∈Z，即－＋≤x≤＋，k∈Z，
所以不等式－1≤f(x)≤的解集为{x|－＋≤x≤＋，k∈Z}．课时作业59 两角差的余弦公式
基础强化
1.sin20°cos10°＋sin70°sin10°＝( )
A．－B．
C．－D．
2．满足cosαcosβ＝－sinαsinβ的一组α，β的值是( )
A．α＝π，β＝πB．α＝，β＝
C．α＝，β＝D．α＝，β＝
3．在△ABC中，若cosA＝，cosB＝－，则cos (A－B)＝( )
A．－B．
C．D．－
4．已知α为锐角，β为第三象限角，且cosα＝，sinβ＝－，则cos (α－β)＝( )
A．－B．－
C．D．
5．在直角坐标系中，若角α的终边绕原点O逆时针旋转得到角θ.已知角θ的终边经过P(－，)，则cosα＝( )
A．B．
C．D．
6．(多选)若α∈[0，2π]，sinsin＋coscos＝0，则α的值是( )
A．B．
C．D．
7．化简cos20°cos (α＋20°)－sin200°sin (α＋20°)，得其结果为________．
8．若cos＝1，则cosθ＝________．
9.
如图，在平面直角坐标系xOy中，以x为始边的锐角α的终边与单位圆O交于点A，且点A的纵坐标是，求cos (α－)的值．
10．已知sinα＝，cosβ＝－，且α∈(，π)，β∈(，π)，求cos (α－β)的值．
能力提升
11.若cosαcosβ＝－sinαsinβ，且α∈(0，)，β∈(，π)，则α－β的值是( )
A．－B．－
C．D．
12．已知sinα＋sinβ＝，cosα＋cosβ＝，则cos (α－β)＝( )
A．－B．－
C．D．
13．已知α∈(，π)，且sin (α＋)＝，则cosα＝( )
A．B．
C．D．
14．(多选)《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为α、β，其中小正方形的面积为4，大正方形面积为9，则下列说法正确的是( )
A．每一个直角三角形的面积为
B．3sinβ－3cosα＝2
C．3sinβ－3sinα＝2
D．cos (α－β)＝
15.已知sin (α＋2β)＝，cos (2α＋β)＝－，α∈(，)，β∈(－，0)，则α－β＝________．
16．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P(－6，8).
(1)求sin (α＋)的值；
(2)若角β满足cos (α＋β)＝，求cosβ的值．
课时作业59
1．解析：sin20°cos10°＋sin70°sin10°＝cos70°cos10°＋sin70°sin10°＝cos (70°－10°)＝cos60°＝.故选D.
答案：D
2．解析：由cosαcosβ＝－sinαsinβ，
得cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos (α－β)＝，
选项A，α＝π，β＝π，cos (α－β)＝cos＝cos＝，所以不正确；
选项B，α＝，β＝，cos (α－β)＝cos＝，所以正确；
选项C，α＝，β＝，cos (α－β)＝cos＝，所以不正确；
选项D，α＝，β＝，cos (α－β)＝cos≠，所以不正确．故选B.
答案：B
3．解析：因为在△ABC中，cosA＝，cosB＝－，则sinA＝，sinB＝，cos (A－B)＝cosAcosB＋sinAsinB＝×＋×＝.故选B.
答案：B
4．解析：∵α为锐角，且cosα＝，∴sinα＝＝.∵β为第三象限角，且sinβ＝－，∴cosβ＝－＝－，∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝×＋×＝－.故选A.
答案：A
5．解析：依题意，r＝|OP|＝＝1，因此sinθ＝，cosθ＝－，又角α的终边绕原点O逆时针旋转得到角θ，则α＝θ－，所以cosα＝cos (θ－)＝cosθcos＋sinθsin＝－×＋×＝.故选B.
答案：B
6．解析：因为α∈[0，2π]，sinsin＋coscos＝cos＝cosα＝0，则α＝π或α＝.故选CD.
答案：CD
7．解析：cos20°cos (α＋20°)－sin200°sin (α＋20°)
＝cos20°cos (α＋20°)－sin (180°＋20°)sin (α＋20°)
＝cos20°cos (α＋20°)＋sin20°sin (α＋20°)
＝cos [(α＋20°)－20°]
＝cosα.
答案：cosα
8．解析：因为cos (θ＋)＝1，所以sin (θ＋)＝0，所以cosθ＝cos (θ＋－)＝cos (θ＋)cos＋sin (θ＋)sin＝1×＋0×＝.
答案：
9．解析：由已知得sinα＝，从而cosα＝＝，
于是cos(α－)＝cosαcos＋sinαsin＝×(－)＋×＝－.
10．解析：∵sinα＝，α∈(，π)，∴cosα＝－.
又cosβ＝－，β∈(，π)，∴sinβ＝.
∴cos (α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝－×＋×＝.
11．解析：由cosαcosβ＝－sinαsinβ，可得cosαcosβ＋sinαsinβ＝，即cos (α－β)＝，因为α∈(0，)，β∈(，π)，所以α－β∈(－π，0)，所以α－β＝－.故选A.
答案：A
12．解析：因为sinα＋sinβ＝，所以sin2α＋sin2β＋2sinαsinβ＝ ①，
因为cosα＋cosβ＝，所以cos2α＋cos2β＋2cosαcosβ＝ ②，
①＋②得2＋2cos (α－β)＝1，
∴cos (α－β)＝－.故选A.
答案：A
13．解析：因为α∈(，π)，所以α＋∈(，).
又sin (α＋)＝，
所以cos (α＋)＝－＝－，
故cosα＝cos [(α＋)－]
＝cos (α＋)cos＋sin (α＋)sin
＝－×＋×＝.故选A.
答案：A
14．解析：对于A，4个直角三角形的面积之和为9－4＝5，故每个直角三角形的面积为，故A正确；
对于B、C，由题意可知大的正方形的边长为3，小正方形的边长为2，可得3sinβ－3cosβ＝2，由于α，β互余，所以3sinβ－3sinα＝2，故B错误，C正确；
对于D，3cosα－3sinα＝2 ①，3sinβ－3cosβ＝2 ②，且cosα＝sinβ，sinα＝cosβ，4＝9cosαsinβ＋9sinαcosβ－9cosαcosβ－9sinαsinβ＝9sin2β＋9cos2β－9cos(α－β)＝9－9cos (α－β)，故cos (α－β)＝，故D正确．故选ACD.
答案：ACD
15．解析：因为α∈(，)，β∈(－，0)，
则<2α＋β<π，－<α＋2β<，<α－β<，
所以，cos (α＋2β)＝＝，
sin(2α＋β)＝＝，
所以，cos(α－β)＝cos [(2α＋β)－(α＋2β)]
＝cos (2α＋β)cos (α＋2β)＋sin (2α＋β)sin (α＋2β)
＝－×＋×＝，
因此，α－β＝.
答案：
16．解析：(1)由角α的终边过点P(－6，8)，
可得sinα＝，cosα＝－，
所以sin (α＋)＝cosα＝－.
(2)由cos (α＋β)＝，可得sin (α＋β)＝±，
由β＝(α＋β)－α，得cosβ＝cos [(α＋β)－α]＝cos (α＋β)cosα＋sin (α＋β)sinα，
当sin (α＋β)＝时，cosβ＝×＋×＝－，
当sin (α＋β)＝－时，cosβ＝×＋×＝－，
所以cosβ＝－或cosβ＝－.课时作业60 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
基础强化
1.cos75°－sin75°＝( )
A．－B．
C．－D．
2．在△ABC中，若sinAsinBA．等边三角形B．直角三角形
C．锐角三角形D．钝角三角形
3．已知tan (－θ)＝－，则tanθ＝( )
A．1B．2
C．－1D．
4．已知sin (α＋β)＝，sin (α－β)＝－，则sinαcosβ的值为( )
A．0B．
C．－D．0或±
5．(多选)下列正确的是( )
A．sin158°cos48°＋cos22°sin48°＝1
B．sin20°cos110°＋cos160°sin70°＝1
C．＝
D．sin74°cos14°－cos74°sin14°＝
6．(多选)cosα－sinα化简的结果可以是( )
A．cos (－α) B．2cos (＋α)
C．sin (－α) D．2sin (－α)
7．求值：sin20°＋sin40°＋sin60°－cos10°＝________．
8．由sin210°＋sin220°＋sin20°sin10°＝，sin25°＋sin225°＋sin5°sin25°＝，sin2(－10°)＋sin240°＋sin(－10°)sin40°＝，……，归纳出sin2α＋sin2β＋sinαsinβ＝________．(其中α＋β＝30°).
9．已知sinα＝，α为钝角，角β终边上的一点为(－3，4)，求：
(1)cosα的值；
(2)tan (α－β)的值．
10．已知α，β为锐角，cosα＝，cos (α＋β)＝－.
(1)求sin (α＋)的值；
(2)求cos (2α＋β)的值．
能力提升
11.已知α、β为锐角，tanα＝，tan (β－α)＝，则tanβ＝( )
A．B．
C．3D．
12．已知sin (α＋)＝，α∈(－，)，则sinα的值为( )
A．B．
C．D．
13．已知sinα＝，cos (α＋β)＝－，则β的值可能为( )
A．πB．
C．－D．
14．(多选)已知sin (α－β)cosα－cos (α－β)sinα＝，则cos (β＋)的值可能为( )
A．－B．－
C．D．
15.若cosα＋cosβ＝m，sinα－sinβ＝n，且m2＋n2＝2，则sin2(α＋β)－cos(α＋β)＝________.
16．已知锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P(1，4).
(1)求sin (α＋)的值；
(2)若sin (α＋β)＝，0<β<，求角β的值．
课时作业60
1．解析：cos75°－sin75°＝cos (45°＋30°)－sin (45°＋30°)＝cos45°cos30°－sin45°sin30°－(sin45°cos30°＋cos45°sin30°)＝－sin45°sin30°－cos45°sin30°＝－.故选A.
答案：A
2．解析：∵sinAsinB0，∴cos (A＋B)>0，∵A，B，C为三角形的内角，∴A＋B为锐角，∴C为钝角．故选D.
答案：D
3．解析：由tan (－θ)＝＝－，解得：tanθ＝2.故选B.
答案：B
4．解析：由sin (α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝，
sin (α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝－，
得sinαcosβ＝0.故选A.
答案：A
5．解析：对于A选项，sin158°cos48°＋cos22°sin48°＝sin (180°－22°)cos48°＋cos22°sin48°＝sin22°cos48°＋cos22°sin48°＝sin (22°＋48°)＝sin70°≠1，A错；
对于B选项，sin20°cos110°＋cos160°sin70°＝sin20°cos (90°＋20°)＋cos (180°－20°)sin (90°－20°)＝－sin220°－cos220°＝－1，B错；
对于C选项，＝＝tan (45°＋15°)＝tan60°＝，C对；
对于D选项，sin74°cos14°－cos74°sin14°＝sin (74°－14°)＝sin60°＝，D对．故选CD.
答案：CD
6．解析：cosα－sinα＝2(cosα－sinα)
＝2(sincosα－cossinα)＝2sin (－α)
＝2(coscosα－sinsinα)＝2cos (＋α).故选BD.
答案：BD
7．解析：原式＝sin (30°－10°)＋sin (30°＋10°)＋sin60°－cos10°
＝sin30°cos10°－sin10°cos30°＋sin30°cos10°＋sin10°cos30°＋sin60°－cos10°
＝cos10°＋sin60°－cos10°＝sin60°＝.
答案：
8．解析：因为α＋β＝30°，得β＝30°－α，
代入sin2α＋sin2β＋sinαsinβ
＝sin2α＋sin2(30°－α)＋sinαsin (30°－α)
＝sin2α＋(cosα－sinα)2＋sinα(cosα－sinα)
＝sin2α＋cos2α＋sin2α－sinαcosα＋sinαcosα－sin2α＝sin2α＋cos2α＝.
答案：
9．解析：(1)sinα＝，α为钝角，
∴cosα＝－＝－.
(2)由(1)得tanα＝＝－，
角β终边上的一点为(－3，4)，tanβ＝－，
tan (α－β)＝＝＝.
10．解析：(1)因为α为锐角，且cosα＝，
所以sinα＝＝＝.
所以sin (α＋)＝sinαcos＋cosαsin＝×＋×＝.
(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π).
所以sin (α＋β)＝＝＝.
所以cos (2α＋β)＝cos [(α＋β)＋α]
＝cos (α＋β)cosα－sin (α＋β)sinα
＝－×－×＝－.
11．解析：由题设可得tanβ＝tan [(β－α)＋α]＝＝＝.故选A.
答案：A
12．解析：因为α∈(－，)，所以α＋∈(－，)，所以cos (α＋)＝＝＝；
sinα＝sin (α＋－)＝sin (α＋)cos－cos (α＋)sin＝×－×＝.故选A.
答案：A
13．解析：由sinα＝，cos (α＋β)＝－，
得cosα＝±，sin (α＋β)＝±，
而sinβ＝sin [(α＋β)－α]＝sin (α＋β)cosα－cos (α＋β)sinα，
从而sinβ＝1或sinβ＝－，
当sinβ＝1时，只有B符合；当sinβ＝－时，四个选项均不符合．
答案：B
14．解析：因为sin (α－β)cosα－cos (α－β)sinα＝，
所以sin (α－β－α)＝ sin (－β)＝ sinβ＝－，
所以当β在第三象限时，
有cosβ＝－＝－＝－，
所以cos (β＋)＝cosβcos－sinβsin＝－×＋×＝－；
当β在第四象限时，有cosβ＝＝＝，
所以cos (β＋)＝cosβcos－sinβsin＝×＋×＝.故选BD.
答案：BD
15．解析：∵m2＋n2＝(cosα＋cosβ)2＋(sinα－sinβ)2＝cos2α＋2cosαcosβ＋cos2β＋sin2α－2sinαsinβ＋sin2β＝2＋2(cosαcosβ－sinαsinβ)＝2＋2cos (α＋β)＝2，
∴cos (α＋β)＝0，∴sin2(α＋β)－cos(α＋β)＝1－cos2(α＋β)－cos(α＋β)＝1.
答案：1
16．解析：(1)由角α的终边过点P(1，4)，
得sinα＝，cosα＝，
所以sin (α＋)＝sinαcos＋cosαsin
＝×＋×＝.
(2)由(1)知，sinα＝>，
则α∈(，)，有α＋∈(，)，
因为β∈(0，)，所以α＋β∈(，π)，
由(1)知，sin (α＋)＝，又sin (α＋β)＝，
所以sin (α＋β)＝sin (α＋)，
得α＋β＝α＋或α＋β＝π－(α＋)，
解得β＝或β＝－2α，
又2α∈(，π)，所以β＝－2α<0，舍去，
综上，β＝.