1．实验：探究小车速度随时间变化的规律
核心素养定位 科学探究 (1)进一步练习使用打点计时器． (2)会利用纸带求瞬时速度． (3)会利用v-t图像处理实验数据，并由图像计算小车的加速度和判断小车的运动情况．
一、实验思路
如图所示，把一端带有________的长木板平放在实验桌上，木板上放一个可以左右移动的________，小车一端连接穿过打点计时器的________，另一端连接绕过滑轮系有________的细绳．小车在槽码的牵引下运动，通过研究纸带上的信息，就可以知道小车运动的速度是怎样随时间变化的．
1 匀变速直线运动
物体运动的速度增大或减小时，加速度不变化，即“速度均匀增加”或“速度均匀减小”．这是一种最简单的变速运动——匀变速直线运动．
二、进行实验
1．把附有滑轮的________放在实验台上，并使滑轮伸出桌面，把____________固定在长木板没有滑轮的一端，连接好电路，如图所示．
在纸带上打更多的点
2．把小车停在靠近打点计时器的位置．先________________，后________
目的：在纸带上打出更多可利用的点．
(选填“启动打点计时器”或“放开小车”)，让小车拖着纸带运动，打点计时器就在纸带上打下一行小点．随后，立即关闭电源．
防止损坏打点计时器．
3．增减所挂的________(或在小车上放置重物)，更换纸带再做两次实验．
1 实验步骤速记
实验步骤可简化为：放置→固定→连接→先启后放再关→重复实验→数据分析．
三、数据记录及数据分析
1．采集数据
密集点易造成较大误差．
从几条纸带中选择一条比较理想的纸带，舍掉纸带开头一些过于密集的点，找一个适当的点作为________起点．可选择相隔0.1 s(或更短)的若干计数点进行测量．
如图所示，先测量出各个计数点到计时起点的距离x1、x2、x3、x4、x5…，再计算出相邻的两个计数点间的距离：Δx1＝x1，Δx2＝x2－x1，Δx3＝x3－x2，Δx4＝x4－x3，Δx5＝x5－x4，….
2．求各计数点的瞬时速度
(1)各计数点对应的瞬时速度用平均速度来代替，即v1＝________，v2＝________，…
T为相邻两个计数点间的时间间隔，若交流电源频率为50 Hz，每隔四个点取一个计数点(相邻两个计数点之间还有四个点)．则T＝0.1 s.
(2)设计表格并记录相关数据
位置编号 0 1 2 3 4 5 6 …
时刻t/s 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
v/(m·s－1)
2 实验注意事项
(1)实验前：①固定长木板时定滑轮要伸出桌面，打点计时器要固定于没有定滑轮的一端；②应让小车停在靠近打点计时器的位置，这样可以最大限度地利用纸带；③细绳应与长木板平行，保证小车的加速度不变．
(2)实验时：必须先启动打点计时器，再释放小车．
(3)实验后：必须先断开电源，再取下纸带．
(4)牵引小车的槽码个数要适当，以免加速度过大而使纸带上的点太少，或者加速度太小而使各段位移差别不大，导致误差增大．
(5)在坐标纸上画v-t图像时，注意坐标轴单位长度的选取，应使图像尽量分布在坐标平面中央．,
3．数据分析
(1)在坐标纸上建立直角坐标系，横轴表示时间，纵轴表示速度，并根据表格中的数据在坐标系中描点．
(2)画一条直线，让这条直线通过尽可能多的点，不在直线上的点均匀分布在直线的两侧，偏差比较大的点忽略不计，如右图所示．
(3)观察所得到的直线，分析物体的速度随时间的变化规律．
(4)根据所画v-t图像求出小车运动的加速度a＝________．,
2 减小长度测量的误差
纸带上开头有一些过于密集的点迹，因此通常会舍去这些点；如果逐一测量计数点之间的距离xn，就会引起较大的误差，因此使用“0刻度一次对齐法”以减小长度测量时的误差．
目标一 实验操作及数据处理
【导思】
实验装置如图为实验开始前的装置，图中错误或不妥之处有哪些？
【典例】
例 1[2023·浙江北斗联盟高一上联考]同学们利用如图1所示装置做“探究小车速度随时间变化的规律”实验．请你完成下列有关问题：
(1)关于该实验，下列仪器中需要使用的是________；
A．弹簧测力计 B．砝码
C．秒表 D．刻度尺
(2)本实验中关于轨道末端滑轮高度的调节正确的是________；
(3)小明同学选取一条点迹清晰的纸带进行研究，在纸带上选出了七个计数点，如图2所示，根据纸带提供的信息，纸带上A点对应刻度尺的读数是________ cm，计数点A对应的小车的瞬时速度是________ m/s(结果保留三位有效数字)，另测得计数点E对应的小车速度是1.03 m/s，则小车运动的加速度为________m/s2(结果保留两位有效数字)．
例 2 做“探究小车速度随时间变化的规律”的实验．
(1)用一条纸带穿过计时器，该同学发现有图甲中的两种穿法，感到有点犹豫．你认为________(选填“A”或“B”)的穿法效果更好．
(2)完成实验后，小明用刻度尺测量纸带距离时如图乙，B点的读数是________ cm，已知打点计时器每0.02 s打一个点，则B点对应的速度vB＝________m/s(vB结果保留三位有效数字)．
(3)某实验小组中的四位同学利用同一条纸带的数据作v-t图像，分别作出了如图所示的四幅v-t图像，其中最规范的是________．
目标二 实验创新
【导思】
想一想：除槽码牵引小车(拉着纸带)运动外，还有哪些方法可以获得运动物体在不同时刻的位置关系？
【典例】
例 3 一小球在桌面上从静止开始做加速直线运动，现用高速摄影机在同一底片上多次曝光，记录下小球每次曝光的位置，并将小球的位置编号．如图甲所示，1位置恰为小球刚开始运动的瞬间，作为零时刻．摄影机连续两次曝光的时间间隔均相同．
(1)小球从1位置到6位置的运动过程中经过各位置的速度如表所示，将表中的数据补充完整．
计数点序号 1 2 3 4 5
速度 vn/(m·s－1) v1＝0 v2＝ 0．060 v3＝ ______ v4＝ 0．180 v5＝ ______
(2)在图乙所示的坐标纸上作出小球的速度—时间图像(保留描点痕迹)．
(3)由v-t图像可知小球运动的规律：速度随时间________．
例 4 某同学在玩具赛车的赛车场看赛车比赛时，用相机连拍功能对经过的某玩具赛车进行了连拍，然后他把连拍后的照片对应赛道位置排列好，排列好的位置关系如图所示．已知该照相机的连拍频率是每秒10片，照片与实物的比例为1∶10.为了判断该赛车的运动情况，该同学对整理好的照片进行了研究．请根据图中数据回答下列问题：
(1)该照相机连拍时，其拍摄周期为T＝________ s．
(2)图中从左向右玩具赛车在第二个位置的速度v2＝________ m/s，赛车在第五个位置的速度v5＝________ m/s.
(3)该玩具赛车在连拍时间内的平均加速度a＝________ m/s2.
1.某同学用打点计时器做研究变速运动的实验．他按下图所示安装实验器材，准备接通电路做实验．
(1)在他所组装的器材中，有三处错误，请你指出：
①________________________________________________________________________；
②________________________________________________________________________；
③________________________________________________________________________.
(2)按照你对实验的理解，在各步骤空白处填上适当的内容，然后按实际操作的合理顺序，将各步骤的字母代号按顺序写在空白处．
A．把打点计时器接在频率为50 Hz的交流电源上．
B．把打点计时器固定在桌子上，让纸带穿过限位孔，并压在________下面．
C．用刻度尺测量并计算相邻点间的距离．
D．切断电源，取下纸带，选取n个清晰的点，则n个点记录的时间Δt＝________ s.
E．接通电路，释放钩码，在纸带上打下一系列的点．
F．利用v＝所得的平均速度代替瞬时速度．
实验步骤的合理顺序是________________．
2．在“探究小车速度随时间变化规律”的实验中，打点计时器使用的交变电源的频率为50 Hz，记录小车运动的纸带如图所示，在纸带上选择6个计数点A、B、C、D、E、F，相邻两计数点之间还有四个点未画出，各点到A点的距离依次是2.0 cm、5.0 cm、9.0 cm、14.0 cm、20.0 cm.
(1)根据学过的知识可以求出小车在B点的速度为vB＝________ m/s，C、E间的平均速度为v＝________m/s.(结果保留两位有效数字)
(2)以打A点时为计时起点，建立v-t坐标系图，请在下图中作出小车运动的速度与时间的关系图线．
(3)根据图线可得小车运动的加速度为________ m/s2.(结果保留一位有效数字)
3．如图甲所示，用打点计时器记录小车的运动情况．小车开始在水平玻璃板上运动，后来在薄布面上做减速运动．所打出的纸带及相邻两点间的距离(单位：cm)如图乙所示，纸带上相邻两点间时间间隔为0.02 s.
(1)计算打点计时器打出点2、3时小车的速度大小，填入表中；
计数点序号 1 2 3 4 5
速度 vn/(m·s－1) 0.75 ____ ____ 0.45 0.35
(2)在平面直角坐标系中作出小车在薄布上运动的v-t图像：
(3)小车在玻璃板上运动的速度大小为________m/s.
1．实验：探究小车速度随时间变化的规律
导学 掌握必备知识
一、
滑轮 小车 纸带 槽码
二、
1．长木板 打点计时器
2．启动打点计时器 放开小车
3．槽码
三、
1．计时
2．(1)
3．(4)
共研 突破关键能力
目标一
提示：(1)电源应改用约8 V的交变电源(电池提供直流电，直流电不能使电磁打点计时器打点)；
(2)牵引小车的细线没有与木板平行(小车运动的加速度不是恒定值)；
(3)小车离打点计时器太远(纸带上打的点太少)．
[例1] 解析：(1)仪器中需要使用刻度尺测量纸带上打点间的距离，故选D.
(2)调节轨道末端滑轮高度时应尽量使细线与轨道平行，故选B．
(3)纸带上A点对应刻度尺的读数是2.40 cm；相邻两计数点间的时间间隔T＝2×0.02 s＝0.04 s，vA＝＝0.625 m/s，另测得计数点E对应的小车速度是1.03 m/s，则小车运动的加速度为a＝＝2.5 m/s2.
答案：(1)D (2)B (3)2.40 0.625 2.5
[例2] 解析：(1)纸带应穿过打点计时器的限位孔，压在复写纸下面，据图甲可知B穿法正确．
(2)由图可知，B点的读数为3.00 cm，A、C之间的距离为：xAC＝5.90 cm－0.50 cm＝5.40 cm，根据匀变速直线运动中时间中点的速度等于该过程中的平均速度，可以求出B点瞬时速度的大小为vB＝＝ m/s＝1.35 m/s．
(3)描绘图像时取坐标单位的时候不能随意，要使得大部分点落在整个坐标区域中，描完点后，先大致地判断这些点是不是在一条直线上，然后画一条直线，让这些点均匀地散落在这条直线的两侧，故A正确，B、C、D错误．
答案：(1)B (2)3.00 1.35 (3)A
目标二
提示：(1)让重物牵引纸带竖直下落，如图甲所示．
(2)在重力作用下，让小车牵引纸带沿斜面下滑，如图乙所示．
(3)让小球沿斜面滚下，用频闪照相法记录小球的运动，如图丙所示．
[例3] 解析：(1)由图甲知x1＋x2＝6.0 cm－0＝0.060 m，且v2＝＝0.060 m/s，则T＝0.5 s
由图甲知x2＋x3＝13.5 cm－1.5 cm＝0.120 m，
则v3＝＝＝0.120 m/s.
由图甲知x4＋x5＝37.5 cm－13.5 cm＝0.240 m，
则v5＝＝＝0.240 m/s.
(2)其v-t图像如图所示：
(3)小球运动的v-t图像是一条斜向上的直线，表示小球的速度随时间均匀增加．
答案：(1)0.120 0.240 (2)图见解析 (3)均匀增加
[例4] 解析：(1)每秒拍10张照片，则拍摄周期T＝ s＝0.1 s.
(2)(3)设题图中前两段的位移为x1，最后两段的位移为x2，玩具赛车在第二个位置的速度为v2＝＝ m/s＝2.6 m/s，
玩具赛车的第五个位置的速度为
v5＝＝ m/s＝3.2 m/s，
则a＝＝2 m/s2.
答案：(1)0.1 (2)2.6 3.2 (3)2
精练 落实学科素养
1．答案：(1)①电压不应选2 V，应选8 V ②不应接直流输出，应接交流输出 ③小车不应靠近滑轮，应靠近打点计时器
(2)复写纸 0.02(n－1) BAEDCF
2．解析：(1)相邻两个计数点间的时间间隔为0.1 s，B点的速度可用AC段的平均速度来求解，vB＝＝ m/s＝0.25 m/s，vCE＝＝ m/s＝0.45 m/s.
(2)根据以上分析可知vC＝＝0.35 m/s，vD＝＝0.45 m/s，vE＝＝0.55 m/s；描点作v-t图像如图所示．
(3)在v-t图像中图线的斜率表示加速度，即
a＝ m/s2＝1 m/s2.
答案：(1)0.25 0.45 (2)见解析 (3)1
3．解析：(1)根据题图乙可得v2＝ cm/s＝65 cm/s＝0.65 m/s，v3＝ cm/s＝55 cm/s＝0.55 m/s.
(2)以速度为纵坐标，以时间为横坐标建立直角坐标系．用描点法作出小车在薄布上做减速运动的v-t图像．将图线延长，使其与两坐标轴相交，如图所示．
(3)由图像可知，小车做减速运动的初速度为0.85 m/s，即小车在玻璃板上运动的速度大小为0.85 m/s.
答案：(1)0.65 0.55 (2)图见解析 (3)0.852．匀变速直线运动的速度与时间的关系
核心素养定位 物理观念 (1)了解匀变速直线运动的特点及其分类． (2)知道公式v＝v0＋at的含义．
科学思维 (1)根据实验得到的v-t图像是一条倾斜直线，建构匀变速直线运动的模型． (2)能根据v-t图像得出匀变速直线运动的速度与时间的关系式v＝v0＋at.
科学态度与责任 能应用匀变速直线运动的速度与时间的关系式或图像，分析和解决生产、生活中有关的实际问题．
一、匀变速直线运动 大小、方向均不变
1．定义：沿着一条直线，且________不变的运动．
2．v-t图像：匀变速直线运动的v-t图像是一条____________．
①图线的斜率表示加速度．
②斜率的正负表示加速度方向与正方向的关系．
③纵截距为运动的初速度．
匀变速直线运动的v-t图像是一条倾斜的直线，图线a表示物体做匀加速直线运动，图线b表示物体做匀减速直线运动．
3．分类
(1)匀加速直线运动：a和v同向，速度随时间________．
(2)匀减速直线运动：a和v反向，速度随时间________．
二、速度与时间的关系
1．速度与时间的关系式：v＝________
2．意义：做匀变速直线运动的物体，在t时刻的速度v等于物体在开始时刻的速度v0加上在整个过程中速度的变化量at.
【情境思考】
如图为列车出站时的情境，请对以下结论作出判断：
(1)列车一定匀加速驶出车站．( )
(2)列车的速度随时间增加，但不一定是匀加速直线运动．( )
(3)可通过观察列车速度表的示数是否随时间均匀增大，判断列车是否做匀加速直线运动．( )
对一次函数的认识
y＝kx＋b(k、b都是常数，且k≠0)叫作一次函数，其中x是自变量．当b＝0时，把函数y＝kx叫作正比例函数．
一次函数的图像可以通过选择不同的x值计算出对应的y值，在图像中描点，可得到函数图线，如图所示．
v＝v0＋at和a＝的适用条件
公式v＝v0＋at虽然是由加速度定义式a＝变形得到的，但两式的适用条件是不同的：(1)v＝v0＋at只适用于匀变速直线运动；(2)a＝适用于任何运动形式，a可以是平均加速度．
目标一 匀变速直线运动及v-t图像
【导思】
四个做直线运动的物体的v-t图像如图所示．
(1)物体分别做什么运动？
(2)在乙、丙、丁图中，加速度不变的物体是哪个？在乙和丁图中，物体的运动有什么不同？
【归纳】
1．匀变速直线运动
加速度保持不变的直线运动．
2．匀变速直线运动的特点
(1)加速度a恒定不变；
(2)v-t图像是一条倾斜直线．
3．匀变速直线运动的v-t图像
(1)匀速直线运动的v-t图像是一条平行于时间轴的直线．
(2)匀变速直线运动的v-t图像是一条倾斜的直线，如图所示，a表示匀加速直线运动，b表示匀减速直线运动．
①v-t图线的斜率表示加速度：斜率的大小等于物体的加速度的大小，斜率的正、负表示加速度的方向．
②v-t图线与纵轴的交点的纵坐标表示物体的初速度．
(3)v-t图线是一条曲线，则物体做非匀变速直线运动，物体在某时刻的加速度等于该时刻图线切线的斜率．
图甲中，图线斜率增大，物体的加速度增大，图乙中，图线斜率减小，物体的加速度减小．
【典例】
例 1 一物体在做直线运动，则下列对其运动的描述，正确的是( )
A．当加速度为负值时，一定是匀减速直线运动
B．加速度大小不变的运动，一定是匀变速直线运动
C.加速度恒定(不为零)的直线运动一定是匀变速直线运动
D．若物体在运动的过程中，速度的方向发生改变，则一定不是匀变速直线运动
例 2 (多选)一动车做匀变速直线运动的v-t图像如图所示，从计时开始，到速度大小变为10 m/s所需时间可能为( )
A．4 s B．6 s
C．14 s D．10 s
教你解决问题
第一步：读题―→获信息
题干 信息提取
匀变速直线运动 考虑是加速还是减速运动
v-t图像 由图像可求加速度
速度大小变为10 m/s 速度大小10 m/s，其方向可能有两种情况
第二步：读图―→获信息
例 3 (多选)甲、乙两物体从同一位置出发沿同一直线运动，两物体运动的v-t图像如图所示，下列判断正确的是( )
A．甲做匀速直线运动，乙先做匀加速直线运动后做匀减速直线运动
B．两物体两次速度相同的时刻分别在1 s末和4 s末
C.乙在前2 s内的加速度为2 m/s2，2 s后的加速度为1 m/s2
D．2 s后，甲、乙两物体的速度方向相反
思维方法
分析v-t图像问题要做到“三看”“三定”和“一计算”
(1)三看
①一看轴：看清坐标轴表示的物理量．
②二看线：看清图像形状，确定两个物理量的变化规律．
③三看点：看清交点、折点、边界点，明确不同“点”的物理意义，确定物理量的变化范围及其条件．
(2)三定
①一定：图像与物体运动过程的关系．
②二定：图像与物理公式的关系．
③三定：图像中两图线的联系．
(3)一计算
把图像信息与相应的物理规律相结合，进行计算，做出判断．
目标二 速度公式的理解与应用
【导思】
在风平浪静的海面上，有一战斗机要去执行一紧急飞行任务，已知飞机的起飞速度为50 m/s(即飞机安全起飞时所需的最小速度)，而航空母舰的弹射系统出了故障，无法在短时间内修复，飞机在跑道上加速时，可能产生的最大的加速度为5 m/s2，跑道的长度经过计算只能让飞机在这些条件下加速8 s．请探究分析：飞机能安全起飞吗？
【归纳】
1．公式的适用条件
公式v＝v0＋at只适用于匀变速直线运动．
2．公式的矢量性
(1)公式v＝v0＋at中的v0、v、a均为矢量，应用公式解题时，首先应选取正方向．
(2)一般以v0的方向为正方向，此时若为匀加速直线运动，则a>0，若为匀减速直线运动，则a<0；对于计算结果v>0，说明v与v0方向相同；v<0，说明v与v0方向相反．
3．两种特殊情况
(1)当v0＝0时，v＝at.
由于匀变速直线运动的加速度恒定不变，表明由静止开始的匀加速直线运动的速度大小与其运动时间成正比．
(2)当a＝0时，v＝v0.
加速度为零的运动是匀速直线运动，也表明匀速直线运动是匀变速直线运动的特例．
【典例】
例 4 在某品牌汽车4S店，一顾客正在测试汽车的加速、减速性能．某段时间内汽车以36 km/h的速度匀速行驶．
(1)若汽车以0.6 m/s2的加速度加速，则10 s后速度能达到多少？
(2)若汽车以0.6 m/s2的加速度刹车，则10 s后和20 s后速度各为多少？
教你解决问题
画运动示意图―→展示运动情境
思维方法
刹车问题的分析思路
求解刹车类问题时，要先判断是刹车到停止，还是先减速后加速．本题为先减速后加速，可直接运用公式计算；若是刹车到停止，需注意先求刹停时间，若时间大于刹停时间，代入公式的为刹停时间，若时间小于刹停时间，代入实际时间求解．
例 5 汽车一般有五个前进挡位，对应不同的速度范围，设在每一挡汽车均做匀变速直线运动，换挡时间不计，某次行车时，一挡起步，起步后马上挂入二挡，加速度为2 m/s2，3 s后挂入三挡，再经过4 s速度达到13 m/s，随即挂入四挡，加速度为1.5 m/s2，速度达到16 m/s时挂入五挡，加速度为1 m/s2.求：
(1)汽车在三挡时的加速度大小；
(2)汽车在四挡行驶的时间；
(3)汽车挂入五挡后再过5 s的速度大小．
思维方法
多过程运动问题的求解方法
(1)解题思路
①“合”——初步了解全过程，构建大致运动图景(或v-t图像)；
②“分”——将全过程进行分解，分析每个过程的规律；
③“连”——找到子过程的联系，寻找解题方法．
(2)解题注意事项
①题目中有多少个物理过程？
②不同过程中物体做什么运动？
③各不同运动过程满足什么物理规律？
④运动过程中的一些关键位置(时刻)是哪儿？
例 6 在一平直的公路上，甲车以2 m/s2的加速度由静止启动，此时乙车正以10 m/s的速度匀速从甲车旁驶过．求甲车启动后多长时间与乙车速度相等，此时乙车运动了多远的距离？
教你解决问题
第一步，甲、乙两车分别研究，列出各自独立的运动学方程．
第二步，建立速度、时间关系方程．
第三步，解方程组．
思维方法
多物体运动问题的求解方法
(1)“多物体的运动”表面上看是多物体，实质上各个物体的运动互不相干、各自独立运动，只是它们的运动存在时间、空间(即位置，下节学习)、速度的关联．
(2)处理此类问题，还是依据运动各自独立的特点，采取“化多物体为单物体”，然后建立时间、空间和速度的关联，列出关联式，解方程组即可．
1.[2023·河北沧州市高一联考](多选)下列关于匀变速直线运动的说法正确的是( )
A．做匀变速直线运动的物体，它的速度变化越快，加速度越大
B．做匀加速直线运动的物体，它的加速度方向和速度方向相同
C．做匀变速直线运动的物体，它的速度变化量越大，加速度越大
D．做匀变速直线运动的物体，它的加速度方向和速度方向总是相同
2.
2022年12月4日20时09分，“神舟十四号”载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆．返回舱在距离地面十公里左右的高处，开始经过多次的减速，当返回舱距地面高约1 m时，四台反推发动机会同时点火，以极强的推力帮助返回舱进一步减速至2 m/s，实现软着陆．现假设返回舱软着陆过程可视为竖直下落，着陆过程中其速度随时间按v＝－(30t－8) m/s的规律变化，由此可知，在软着陆的过程中( )
A．返回舱做变加速直线运动
B．返回舱的初速度大小为30 m/s
C．返回舱的位移在不断减小
D．相同时间内，返回舱速度变化量不变
3.
如图所示，一辆汽车安装了全自动刹车系统，该车车速v＝8 m/s，当汽车与前方障碍物之间的距离小于安全距离时，该系统立即启动，启动后汽车刹车加速度大小为4～6 m/s2，在该系统控制下汽车刹车的最长时间为( )
A．1.33 s B．2 s
C．2.5 s D．4 s
4．(多选)如图所示为一火箭竖直上升的v-t图像，下列几条叙述中，符合图像所示的是( )
A．在40 s末火箭已达到上升的最大速度
B．火箭达到最高点的时刻是120 s末
C．在40 s之前，火箭上升的加速度为20 m/s2
D．在40 s之后，火箭的加速度为0
5．如图甲所示，在一次爆破演习中，爆破队员点火后立即以最大加速度a向外奔跑8 m达最大速度v，然后以速度v向外做匀速直线运动，其v-t图像如图乙所示．若导火索的火焰顺着导火索燃烧的速度是0.8 cm/s，为了使爆破队员在导火索火焰烧到爆炸物之前能够跑到离点火处120 m远的安全区，问：
(1)爆破队员奔跑时的最大加速度a的大小为多少？
(2)导火索至少需要多长才行？
2．匀变速直线运动的速度与时间的关系
导学 掌握必备知识
一、
1．加速度
2．倾斜的直线
3．(1)均匀增加 (2)均匀减小
二、
1．v0＋at
情境思考
答案：(1)× (2)√ (3)√
共研 突破关键能力
目标一
提示：(1)甲做匀速直线运动；乙做匀加速直线运动；丙做匀减速直线运动；丁做变加速直线运动．
(2)乙、丙；物体乙的v-t图线斜率不变，加速度不变，速度随时间均匀增加，物体丁的v-t图线斜率变大，加速度变大，速度增加得越来越快．
[例1] 解析：当加速度为负值时，若速度也为负值，加速度保持不变时，物体做匀加速直线运动，A项错误；加速度是矢量，加速度大小不变时，若方向改变，则加速度是变化的，物体不是做匀变速直线运动，B项错误，C项正确；速度的方向发生改变，加速度可能保持不变，即可能为匀变速直线运动，例如物体在做匀减速直线运动时，当速度减小到零后，运动的方向会发生改变，物体做反向的匀加速直线运动，D项错误．
答案：C
[例2] 解析：根据图像可知，动车的初速度为18 m/s，物体速度随时间均匀减小，做匀减速直线运动，速度—时间图线的斜率表示加速度，则有：a＝＝ m/s2＝，所以动车做初速度为18 m/s，加速度为的匀变速直线运动；速度大小变为10 m/s，则v＝±10 m/s，根据v＝v0＋at解得：t＝4 s或14 s，故A、C正确，B、D错误．
答案：AC
[例3] 解析：由v-t图像可知，甲以 2 m/s的速度做匀速直线运动，乙在0～2 s内做匀加速直线运动，加速度a1＝2 m/s2，在2～6 s内做匀减速直线运动，加速度a2＝－1 m/s2，选项A正确，C错误；t1＝1 s和t2＝4 s时两物体速度相同，选项B正确；0～6 s内甲、乙的速度方向都沿正方向，选项D错误．
答案：AB
目标二
提示：航空母舰静止时，飞机在航空母舰上做初速度为零的匀加速直线运动，最大加速度a＝5 m/s2，加速时间t＝8 s，则根据匀变速直线运动的速度公式，飞机8 s后所能达到的速度
v＝v0＋at＝0＋5×8 m/s＝40 m/s，
由于该速度小于飞机安全起飞的速度(50 m/s)，所以飞机无法安全起飞．
[例4] 解析：(1)初速度v0＝36 km/h＝10 m/s，加速度a1＝0.6 m/s2，由速度—时间公式得10 s后的速度
v1＝v0＋a1t1＝10 m/s＋0.6×10 m/s＝16 m/s.
(2)加速度a2＝－0.6 m/s2，因v＝v0＋a2t′，则汽车开始刹车至停下所需时间
t′＝＝ s≈16.7 s，
故刹车10 s后汽车的速度
v2＝v0＋a2t2＝10 m/s－0.6×10 m/s＝4 m/s，
因t3＝20 s>t′，故刹车20 s后汽车的速度为0.
答案：(1)16 m/s (2)4 m/s 0
[例5] 解析：汽车运动过程示意图如图所示．
(1)刚挂入三挡时汽车的速度v1＝a1t1＝2×3 m/s＝6 m/s，可知汽车在三挡时的加速度大小a2＝＝ m/s2＝1.75 m/s2.
(2)汽车在四挡行驶的时间t3＝＝ s＝2 s.
(3)汽车挂入五挡后再过5 s的速度v4＝v3＋a4t4＝16 m/s＋1×5 m/s＝21 m/s.
答案：(1)1.75 m/s2 (2)2 s (3)21 m/s
[例6]
解析：甲做初速度为0、加速度为2 m/s2的匀加速直线运动，满足关系式v甲＝at甲， ①
乙做匀速直线运动，满足关系式v乙＝v0， ②
其位移x＝v0t乙， ③
速度关系：v甲＝v乙， ④
时间关系：t甲＝t乙， ⑤
联立①②④⑤式，代入数据得t甲＝t乙＝5 s， ⑥
联立③⑥式，代入数据得x＝50 m.
答案：5 s 50 m
精练 落实学科素养
1．解析：物体的加速度大，表示的是速度变化快，故速度变化越快，加速度越大，故A项正确；当速度和加速度方向相同时，物体做加速运动，故B项正确；速度变化量大，若用时较长，则加速度不一定大，故C项错误；物体做匀减速直线运动时，速度方向和加速度方向相反，故D项错误．
答案：AB
2. 解析：根据v＝v0＋at，对比v＝－(30t－8)m/s，可知返回舱的初速度为v0＝8 m/s，方向向下，加速度为a＝－30 m/s2，方向向上，返回舱做匀减速直线运动，位移在不断增加，因加速度恒定，则相同时间内，返回舱速度变化量不变，故A、B、C错误，D正确．
答案：D
3．解析：车速已知，刹车加速度最小时，刹车时间最长，故有
tmax＝＝ s＝2 s.
答案：B
4．解析：A对：由题图知，在40 s末时，火箭速度最大．B对：在120 s以后，速度开始反向，所以120 s时火箭上升至最高点．C对，D错误：在前40 s，火箭做匀加速直线运动，加速度a1＝ m/s2＝20 m/s2，在40～120 s，火箭做匀减速直线运动，加速度a2＝ m/s2＝－10 m/s2.
答案：ABC
5．解析：(1)由题图可知爆破队员在0～2 s内做匀加速直线运动，其加速度大小a＝＝4 m/s2.
(2)爆破队员做匀速直线运动的距离Δx＝120 m－8 m＝112 m，所需的时间t1＝＝ s＝14 s．由此可得爆破队员跑到安全距离所用的总时间t2＝t＋t1＝2 s＋14 s＝16 s，
导火索的长度至少为s＝v1t2＝0.8×16 cm＝12.8 cm.
答案：(1)4 m/s2 (2)12.8 cm3．匀变速直线运动的位移与时间的关系
核心素养定位 物理观念 (1)了解v-t图像中图线与t轴所围成“面积”即相应时间内的位移． (2)理解位移与时间的关系式x＝v0t＋at2. (3)理解速度与位移的关系式＝2ax.
科学思维 (1)能利用v-t图像得出匀变速直线运动的位移与时间的关系式x＝v0t＋at2． (2)能推导出匀变速直线运动的速度与位移的关系式＝2ax. (3)能在实际问题情境中使用匀变速直线运动的位移公式解决问题．
科学态度与责任 (1)通过推导位移公式，体会利用图像分析物体运动规律的研究方法． (2)体会物理知识的实际应用价值． (3)初步认识应用数学方法研究物理问题，体会物理问题研究中的极限法．
一、匀变速直线运动的位移
1．位移在v-t图像中的表示
做匀变速直线运动物体的位移对应着v-t图线与时间轴所包围的________．如图所示，灰色部分的梯形面积等于物体在0～t1时间内的________．
2．位移与时间的关系
匀变速直线运动位移与时间的关系式：x＝v0t＋at2，当初速度为0时，x＝________．
既适用于匀加速直线运动，也适用于匀减速直线运动
二、速度与位移的关系
1．公式：＝________．
2．推导：由速度与时间关系式v＝________，位移时间关系式x＝________，得＝2ax．
此式是由两个基本公式推导出的，在解题时可直接应用．
【情境思考】
1．如图所示，为F1赛车在启动加速阶段的v-t图像，请对以下结论作出判断：
(1)F1赛车在启动加速阶段，速度与时间成正比．( )
(2)F1赛车在启动加速阶段，位移与时间成正比．( )
(3)F1赛车在启动加速阶段，在时间t1内的位移为v1t1.( )
2．如图所示，是“歼-15”战机在“山东舰”上起飞的画面，若已知“歼-15”战机的加速度为a，起飞时的速度为v.
(1)如果“山东舰”静止在海上，应该如何来确定飞机跑道的最小长度？
(2)如果航空母舰使用弹射系统使战斗机具有初速度v0，求飞机跑道的最小长度．
1 由v-t图像求位移
如图所示，0～t1时间内的位移x1取正值，t1～t2时间内的位移x2取负值，则0～t2时间内的总位移为x1与x2的代数和x1＋x2，总路程为|x1|＋|x2|.
匀减速直线运动中正负值的应用
物体做匀减速直线运动，a与v0反向，a取负值，位移表达式可以写成x＝v0t－at2(a代入的数值应为正值)，也可以写成x＝v0t＋at2(a代入的数值应为负值)．
2 由v－t图像比较两位移的大小
在v-t图像中，图线与时间轴所围的“面积”表示物体在时间t内的位移．已知甲、乙两汽车在一平直公路上同向行驶．在0～t1的时间内，它们的v-t图像如下图所示．在这段时间内甲、乙的位移不相等，因为v-t图像中图线与时间轴所围的面积表示位移，在0～t1时间内，甲的位移明显大于乙的位移．
目标一 公式x＝v0t＋at2的理解及应用
【导思】
如图所示，汽车由静止以加速度a1启动，行驶一段时间t1后，又以加速度a2刹车，经时间t2后停下来．请思考：
(1)汽车加速过程及刹车过程中，加速度的方向相同吗？
(2)根据位移公式求加速过程及减速过程中的位移，速度及加速度的正、负号如何确定？
【归纳】
1．公式x＝v0t＋at2是位移公式，而不是路程公式．利用该公式求的是位移，而不是路程，只有在单方向直线运动中，所求的位移大小才等于路程．
2．矢量性：位移公式为矢量式，该公式中除t外各量均为矢量，注意其方向．x、a、v0必须选取统一的正方向，一般选取初速度的方向为正方向．若取初速度方向为正方向，其情况列表如下．
若物体做匀加速直线运动 a与v0同向，a取正值
若物体做匀减速直线运动 a与v0反向，a取负值
若位移的计算结果为正值 说明这段时间内位移的方向与规定的正方向相同
若位移的计算结果为负值 说明这段时间内位移的方向与规定的正方向相反
3.此公式只适用于匀变速直线运动，对非匀变速直线运动不适用．
【典例】
例 1 一辆汽车在平直公路上做匀变速直线运动，公路边每隔15 m有一棵树，如图所示，汽车通过A、B两相邻的树用了3 s，通过B、C两相邻的树用了2 s，则汽车通过树B时的速度为( )
A．3 m/s B．3.5 m/s
C．6.5 m/s D．8.5 m/s
例 2 在水平面上有一静止的物体，现以加速度a1运动一段时间(第一阶段)后，加速度方向改为反方向，第二阶段运动的加速度大小为a2.已知以两个不同加速度运动的时间相等，物体恰好回到原处．求：
(1)运动物体的加速度a1与a2之比；
(2)第一阶段的末速度v1与第二阶段的末速度v2大小之比．
教你解决问题
对应题中叙述，作出运动草图，如图所示，A→B过程物体做初速度为0的匀加速直线运动，位移为x1，由匀变速运动位移公式和速度公式可以建立方程．
B→C→A过程，物体先向右做匀减速直线运动，然后向左做匀加速直线运动．
思维方法
位移—时间关系式的应用步骤：
(1)确定一个方向为正方向(一般以初速度的方向为正方向)．
(2)根据规定的正方向确定已知量的正、负，并用带有正、负号的数值表示．
(3)根据位移—时间关系式或其变形式列式、求解．
(4)根据计算结果说明所求量的大小和方向．
目标二 v-t图像求位移
【导思】
阅读教材43页“拓展学习”栏目，体会微元法的基本思想．
如图所示，某质点做匀变速直线运动，已知初速度为v0，在t时刻的速度为v，加速度为a，利用位移大小等于v-t图线下面梯形的面积推导匀变速直线运动的位移与时间的关系．
【归纳】
1．利用v-t图像求位移
(1)初速度为v0的匀加速直线运动的v-t图像如图甲，其中v0t与矩形面积相等，at2与三角形面积相等，所以x＝v0t＋at2.
(2)物体做匀减速直线运动时的v-t图像如图乙，公式中的a取负值．相当于从匀速直线运动的位移中“减去”了一部分．
2．v-t图像与x-t图像的比较
内容 种类 v-t图像 x-t图像
图线斜率 表示加速度 表示速度
图线与时间轴所围面积 表示位移 无意义
两图线交点坐标 表示速度相同，不一定相遇 表示相遇
相同点 表示物体做直线运动
【典例】
例 3 某一做直线运动的物体的图像如图所示，根据图像求：
(1)物体距出发点的最远距离；
(2)前4 s内物体的位移大小；
(3)前4 s内物体通过的路程．
例 4 甲、乙两车在平直的公路上行驶，t＝0时刻两车处于同一位置，其速度—时间图像如图所示，两图线交点处坐标及切线如图，则( )
A．t＝8 s末，甲、乙两车相遇
B．t＝2 s末，甲车的加速度大于乙车的加速度
C．在0～2 s内，甲车的位移小于乙车的位移
D．在2～8 s内，甲车的平均速度小于乙车的平均速度
教你解决问题——读图
目标三 公式＝2ax的理解及应用
【导思】
交通事故中，交警只要知道刹车时的加速度大小，再测出刹车痕迹的长度，就可以求得汽车开始刹车时的速度，从而判断汽车是否超速．
【归纳】
1．公式的适用条件
公式表述的是匀变速直线运动的速度与位移的关系，适用于匀变速直线运动．
2．公式的矢量性
公式中v0、v、a、x都是矢量，应用时必须选取统一的正方向，一般选v0方向为正方向．
(1)物体做加速运动时，a取正值，做减速运动时，a取负值．
(2)x＞0，说明物体通过的位移方向与初速度方向相同；x＜0，说明位移的方向与初速度的方向相反．
【典例】
例 5 某型号的舰载机在航空母舰的跑道上加速时，发动机产生的最大加速度为，所需的起飞速度为50 m/s，跑道长100 m．通过计算判断，舰载机能否靠自身的发动机从舰上起飞？为了使舰载机在开始滑行时就有一定的初速度，航空母舰装有弹射装置．对于该型号的舰载机，弹射装置必须使它具有多大的初速度？(为了尽量缩短舰载机起飞时的滑行距离，航空母舰还需逆风行驶．这里对问题做了简化．)
迁移拓展 在【例5】描述的情景中，若航空母舰上没有弹射装置，且舰载机在滑行前具有和舰相同的初速度v0，其他条件不变，要使舰载机能从舰上起飞，v0的最小值为多少？
思维方法
利用速度位移关系式解题
(1)选择匀变速直线运动的物体为研究对象，依据题意明确研究过程．
(2)分析研究对象的初末速度、加速度和位移，知道其中三个物理量，可计算第四个物理量．
(3)选择正方向，判定各物理量的正负，代入公式计算．
1.质点从静止开始做匀加速直线运动，第3 s内的位移是5 m，则第1 s末的速度为( )
A．2 m/s B．0.5 m/s
C．1 m/s D．2.5 m/s
2．[全力自动刹车]如图，装备了“全力自动刹车”安全系统的汽车，当车速v满足3.6 km/h≤v≤36 km/h、且与前方行人之间的距离接近安全距离时，如果司机未采取制动措施，系统就会立即启动“全力自动刹车”，使汽车避免与行人相撞，若该车在不同路况下“全力自动刹车”的加速度取值范围是，则该系统设置的安全距离约为( )
A．0.08 m B．1.25 m
C．8.33 m D．12.5 m
3.
(多选)某物体做直线运动的v-t图像如图所示，下列说法正确的是( )
A．物体在前2 s内的位移大小为4 m
B.物体在前3 s内通过的路程为5 m
C．物体在前3 s内的平均速度大小为 m/s
D．物体在前3 s内做非匀变速直线运动
4．[2023·江苏连云港高一上期中](多选)如图甲为某高速公路出口的ETC通道示意图，一汽车驶入通道，到达O点的速度v0＝20 m/s，此时开始减速，到达M点时速度减至v＝4 m/s，并以4 m/s的速度匀速通过MN区，汽车从O运动到N共用时10 s，v-t图像如图乙所示，下列说法正确的是( )
A．汽车做匀减速运动的加速度大小为4 m/s2
B．O、M间的距离为48 m
C．O、M间中点的速度大小为12 m/s
D．汽车在ON段的平均速度大小为7.2 m/s
5．有四个物体A、B、C、D，物体A、B运动的x-t图像如图甲所示；物体C、D从同一地点沿同一方向运动的v-t图像如图乙所示．根据图像作出的以下判断中正确的是( )
A．物体A和B均做匀变速直线运动
B．在0～3 s的时间内，物体A、B的间距逐渐减小
C．t＝3 s时，物体C、D的位移相同
D．在0～3 s的时间内，物体C与D的间距逐渐增大
6．司机王师傅驾驶汽车在一段平直路面上以v0＝72 km/h的速度匀速行驶，突然发现前方路中间有一静止的障碍物，为使汽车不撞上障碍物，司机立即刹车，制动加速度大小为5 m/s2，忽略驾驶员的反应时间，求：
(1)汽车经过多长时间停下来；
(2)为了不撞上障碍物，汽车刹车时距前方障碍物的最小距离．
3．匀变速直线运动的位移与时间的关系
导学 掌握必备知识
一、
1．面积 位移
2.at2
二、
1．2ax
2．v0＋at v0t＋at2
情境思考
1．答案：(1)√ (2)× (3)√
2．提示：(1)根据v2＝2ax，知飞机跑道的最小长度为x＝.
(2)根据v2－＝2ax，知飞机跑道的最小长度为x＝.
共研 突破关键能力
目标一
提示：(1)汽车加速时加速度的方向与运动方向相同，减速时加速度方向与运动方向相反，因此两过程中加速度方向不同．
(2)根据位移公式求位移时，如果取初速度方向为正方向，加速时，加速度取正值，减速时，加速度取负值．
[例1] 解析：汽车经过树A时的速度为vA，加速度为a，对AB段运动，有xAB＝，同理，对AC段运动，有xAC＝，两式联立代入t1＝3 s，t2＝3 s＋2 s＝5 s，xAB＝15 m，xAC＝30 m，解得vA＝3.5 m/s，a＝1 m/s2，再由vB＝vA＋at1，解得vB＝3.5 m/s＋1×3 m/s＝6.5 m/s，C正确．
答案：C
[例2] 解析：方法一 利用运动示意图求解
A→B过程：x1＝a1t2，v1＝a1t，
B→C过程：x2＝v1t′－a2t′2，
C点的速度：0＝v1－a2t′，
C→A过程，x1＋x2＝a2(t－t′)2，v2＝a2(t－t′)，
由以上各式联立可解得＝＝.
方法二 利用v-t图像求解
画出v-t图像，如图所示，O→B′→C′过程的位移与C′→A′过程的位移大小相等，即图中S△OB′C′＝S△A′QC′，得(t＋t′)＝(t－t′)，
B′→C′与C′→A′过程加速度相同，即图线B′C′与图线C′A′斜率相同，可得＝，
由以上两式可解得t′＝t，＝，
由v1＝a1t＝a2t′得＝.
答案：(1) (2)
目标二
提示：如题图所示，v-t图线下面梯形的面积
x＝(v0＋v)t， ①
又因为v＝v0＋at， ②
由①②式可得x＝v0t＋at2.
[例3] 解析：(1)t＝3 s时，物体速度方向将发生改变，则此时距出发点最远，最远距离
x1＝v1t1＝×4×3 m＝6 m.
(2)前4 s内物体的位移大小
x＝x1－x2＝v1t1－v2t2＝×4×3 m－×2×1 m＝5 m.
(3)前4 s内物体通过的路程
s＝x1＋x2＝v1t1＋v2t2＝×4×3 m＋×2×1 m＝7 m.
答案：(1)6 m (2)5 m (3)7 m
[例4] 解析：根据速度—时间图线与坐标轴所围图形的“面积”表示位移可知，在0～8 s时间内，甲车的位移大于乙车的位移，又两车的初始位置相同，故t＝8 s末，甲车在乙车前面，A错误；根据速度—时间图线的斜率表示加速度可知，在t＝2 s时，甲车的加速度大小a1 ＝5 m/s2，乙车的加速度大小a2＝5 m/s2，甲、乙两车加速度大小相等，B错误；根据速度—时间图线与坐标轴所围图形的“面积”表示位移可知，在0～2 s时间内，甲车的位移小于乙车的位移，C正确；在2～8 s时间内，甲车的位移大于乙车的位移，根据平均速度公式可知，甲车的平均速度大于乙车的平均速度，D错误．
答案：C
目标三
提示：刹车时间t是未知的，但是将公式v＝v0＋at和x＝v0t＋at2联立，消去t，可得速度与位移的关系式＝2ax，末速度v为零，测量出刹车距离x，并将已知的加速度a代入关系式，即可计算出汽车开始刹车时的速度v0.
[例5] 解析：舰载机的初速度v0＝0，amax＝5 m/s2.(v＝50 m/s和x＝100 m两个数值并不是对应条件．)
由于跑道长x＝100 m，据max
max√(v_0^2 +2amaxx)＝ m/s＝10 m/s<50 m/s，
所以不能靠自身的发动机从舰上起飞．
若要从舰上起飞，则必须使用弹射装置．
设弹射装置使飞机具有v′0的初速度，则由
＝2amaxx得
v′0＝＝ m/s＝ m/s＝10 m/s.
答案：见解析
[迁移拓展] 解析：由匀变速直线运动规律有
＝2a(l＋x)， ①
对舰载机：v－v0＝at， ②
对航空母舰：x＝v0t， ③
要求v0的最小值，则由①②③式解得
v0＝(50－10) m/s.
答案：(50－10) m/s
精练 落实学科素养
1．解析：第3 s内的位移为x3＝a×(3 s)2－a×(2 s)2＝5 m，所以a＝2 m/s2，故第1 s末的速度为v＝at＝2 m/s，故A正确．
答案：A
2．解析：由题意知，车速3.6 km/h≤v≤36 km/h即 1 m/s≤v≤10 m/s，系统立即启动“全力自动刹车”的加速度大小约为4～6 m/s2，最后末速度减为0，由推导公式v2＝2ax，可得x≤＝ m＝12.5 m，A、B、C错误，D正确．
答案：D
3．解析：v-t图像和时间轴所围成图形的面积表示位移，则前2 s内的位移x1＝×4×2 m＝4 m，A正确；物体在第3 s内位移大小x2＝×2×1 m＝1 m，物体在前3 s内通过的路程为s＝x1＋x2＝5 m，B正确；物体在前3 s内的平均速度＝＝ m/s＝1 m/s，C错误；v-t图像的斜率表示物体的加速度，图像在前3 s内是一条倾斜直线，斜率不变，物体做匀变速直线运动，D错误．
答案：AB
4．解析：由题图乙可知，汽车做匀减速运动的加速度大小为a＝＝4 m/s2，故A正确；由题图乙可知，O、M间的距离为xOM＝t＝×4 m＝48 m，故B正确；设O、M间中点的速度为v1，由速度—位移公式有＝＝－2a，联立方程代入数据解得v1＝4 m/s，故C错误；由题图乙可得，ON段的总位移为x＝×4 m＋4×6 m＝72 m，则汽车在ON段的平均速度大小为＝＝ m/s＝7.2 m/s，故D正确．
答案：ABD
5．解析：由题图甲看出：物体A和B的位移—时间图像都是倾斜的直线，斜率都不变，速度都不变，说明两物体都做匀速直线运动，故A错误；由题图甲看出，在0～3 s的时间内，物体A的位移始终大于B的位移，且从图像上可以看出两者之间的距离一直在增大，故B错误；由题图乙可以看出C、D两物体的v-t图线在t＝3 s交于一点，所以此时刻C、D的速度一定相同，根据v-t图线与t轴所围面积表示位移以及物体C、D从同一地点沿同一方向运动可知，t＝3 s时物体C、D的位移不相同，故C错误；由题图乙看出：在0～3 s的时间内，D的速度较大，C、D间距离增大，故D正确．
答案：D
6．解析：(1)v0＝72 km/h＝20 m/s，由v＝v0＋at，得t＝＝ s＝4 s.
(2)汽车刹车后做匀减速运动，根据x＝v0t＋at2，得x＝20×4 m＋×(－5)×42 m＝40 m.
答案：(1)4 s (2)40 m4．自由落体运动
核心素养定位 物理观念 (1)了解亚里士多德关于物体下落运动的主要观点． (2)知道物体做自由落体运动的条件． (3)了解重力加速度的概念，掌握其大小、方向，知道地球上不同地点的重力加速度可能会不同．
科学思维 (1)理解重力加速度的特点． (2)理解自由落体运动的规律及应用．
科学探究 (1)了解伽利略通过逻辑推理与实验相结合的方法研究自由落体运动． (2)通过实验探究自由落体运动，经历抽象概括和推理的过程．
科学态度与责任 认识伽利略的科学研究方法对科学发展和人类进步中的作用和重大意义．
一、自由落体运动
1．定义：物体只在________作用下从静止开始下落的运动．
运动特点v0＝0
2．物体的下落可看作自由落体运动的条件：空气阻力的作用________，可以________.
二、自由落体加速度
1．定义：在同一地点，一切物体自由下落的加速度都________，这个加速度叫作自由落体加速度，也叫作____________，通常用g表示．
2．方向：________．
3．大小
(1)在地球表面，g值随纬度的增大而逐渐________．
(2)一般取值：g＝________或g＝________．
三、自由落体运动的规律
1．自由落体运动的性质：自由落体运动是初速度为____的____________运动．
2．匀变速直线运动的基本公式及其推论都________自由落体运动．
3．自由落体运动的速度、位移与时间的关系式：
v＝____，x＝________．
【情境思考】
在无风的雨天，水滴从屋檐无初速度滴落，不计空气阻力．
(1)水滴做自由落体运动，下落的高度与时间成正比． ( )
(2)水滴做自由落体运动的加速度一定等于9.8 m/s2. ( )
(3)水滴下落过程中，在1T末、2T末、3T末、…、nT末的瞬时速度之比为1∶2∶3∶…∶n. ( )
自由落体运动
理想化模型
自由落体运动忽略了次要因素——空气阻力，突出了主要因素——重力．
重力加速度的方向
重力加速度g的方向是竖直向下的，而不是垂直向下的
如下图所示
重力加速度的方向与当地重力的方向相同，是竖直向下的，不能说成垂直向下，也不能说指向地心．(在必修第二册第七章会详细讲)
目标一 自由落体运动与自由落体加速度
【导思】
(1)如图甲，一个两端封闭的玻璃管(也称牛顿管)，其中一端有一个开关，玻璃管可以与外界相通．把质量不相同的铁片和羽毛放到玻璃管中，玻璃管竖直放置，让铁片和羽毛从玻璃管上方同时开始下落，物体下落的情况是怎样的？
(2)如图乙，把玻璃管里的空气抽出去，再次观察物体下落的情况．由此能得出什么结论？
(3)图甲中铁片和羽毛下落的快慢不同的原因是什么？
【归纳】
1．自由落体运动的条件：(1)从静止开始下落；(2)下落过程中只受重力．
2．自由落体运动是一种理想化的运动模型，实际物体在空中下落时若空气阻力可以忽略，物体的运动可看成自由落体运动．
3．自由落体加速度的特点
(1)大小：与所处地球上的位置及距地面的高度有关．
①在地球表面随纬度的增加而增大，在赤道处最小，在两极处最大，但差别很小．
②在地面上的同一地点，随高度的增加而减小，但在一定的高度范围内，可认为重力加速度的大小不变．
③在一般的计算中，取g＝9.8 m/s2或g＝10 m/s2.
(2)方向：竖直向下，不一定指向地心．由于地球近似是球体，各处重力加速度的方向并不相同．
【典例】
例 1 踢毽子是我国民间的一项体育活动，被人们誉为“生命的蝴蝶”．近年来，踢毽子成为全民健身活动之一．毽子由羽毛和“铜钱”组成，在下落时总是“铜钱”在下羽毛在上，如图所示，对此分析正确的是( )
A．“铜钱”重，所以总是“铜钱”在下羽毛在上
B．如果没有空气阻力，也总是出现“铜钱”在下羽毛在上的现象
C．因为空气阻力的存在，所以总是“铜钱”在下羽毛在上
D．毽子的自由下落是自由落体运动
例 2 (多选)关于重力加速度的下列说法中，正确的是( )
A．重力加速度g是标量，只有大小，没有方向，通常计算中g取9.8 m/s2
B．在地球上不同的地方，g的大小不同，但它们相差不是很大
C．在地球上同一地点，一切物体做自由落体运动的加速度g都相同
D．在地球上的同一地点，离地面高度越大，重力加速度g越小
目标二 自由落体运动的规律
【导思】
两位同学合作，用刻度尺可测人的反应时间：如图甲所示，男同学捏住刻度尺的上端，女同学在刻度尺的下部做握刻度尺的准备(但不与刻度尺接触)，当看到男同学放开手时，女同学立即握住刻度尺，若女同学做握刻度尺准备时手指位置和握住刻度尺的位置如图乙所示，计算女同学的反应时间为多少？(g取10 m/s2)
【归纳】
1．运动性质：初速度v0＝0、加速度a＝g的匀加速直线运动．
2．v-t图像是一条过原点的倾斜直线(如图所示)，斜率k＝g.
3．自由落体运动的基本公式
匀变速直线运动规律自由落体运动规律
4．自由落体运动的几个重要推论
(1)连续相等时间T内的下落高度差Δh＝gT2.
(2)平均速度＝.
(3)第1个T内，第2个T内，第3个T内，…，第n个T内下落的高度之比h1∶h2∶h3∶…∶hn＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)．
(4)下落连续相同的高度所用时间之比t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶(－1)∶()∶…∶()．
【典例】
例 3 (多选)如图所示，甲、乙两物体同时从离地高度为2H和H的位置自由下落，不计空气阻力，甲的质量是乙质量的2倍，则( )
A．甲落地的时间是乙落地时间的2倍
B．甲落地时的速率是乙落地时速率的倍
C．乙落地之前，二者之间的竖直距离保持不变
D．乙落地之前，加速度不断增大
例 4 如图是用频闪周期为Δt的照相机拍摄的一张真空中羽毛与苹果自由下落的局部频闪照片．关于提供的信息及相关数据处理，下列说法中正确的是( )
A．一定满足关系x1∶x2∶x3＝1∶4∶9
B．一定满足关系x1∶x2∶x3＝1∶3∶5
C．苹果下落的加速度大小为
D．羽毛下落的加速度大小为
目标三 自由落体运动的实验探究
【归纳】
实验器材
电磁打点计时器、纸带、复写纸、带夹子的铁架台、几个质量不同的重物、夹子、低压交流电源、毫米刻度尺等．
1．实验步骤
(1)把打点计时器竖直固定在铁架台上，连接好电源．(如图所示)
(2)把纸带穿过两个限位孔，下端通过铁夹将重物和纸带连接起来，让重物靠近打点计时器．
(3)用手捏住纸带上端，把纸带拉成竖直状态，先接通电源，再松开纸带让重物自由下落，打点计时器在纸带上打下一系列的点．
(4)重复几次，选取一条点迹清晰的纸带分析．
2．数据处理方法
(1)逐差法
利用“逐差法”求加速度，若为偶数段，假设为6段，由a＝直接求得．若为奇数段，则中间段往往不用，如5段，则不用第3段，由a＝直接求得．
(2)v-t图像法
由vn＝求出各计数点对应的瞬时速度，作出v-t图像，v-t图像是一条过原点的倾斜直线，斜率表示重力加速度．
(3)推论法：根据匀变速直线运动的推论Δh＝gT2可求出重力加速度g＝.
3．注意事项
(1)对重物的要求是：密度大、体积小(如铁球)．
空气阻力可忽略
(2)打点计时器竖直固定，整个装置不易摆动．
减小纸带与打点计时器间的阻力
(3)开始，重物靠近打点计时器，先通电后释放重物． 打出足够多的点
(4)尽量让纸带保持竖直状态，重物离地高度适当．
【典例】
例 5 如图所示，将打点计时器固定在铁架台上，使重物拖着纸带从静止开始自由下落，利用此装置可以测定重力加速度．
(1)所需器材有打点计时器(带导线)、纸带、复写纸、带铁夹的铁架台和带夹子的重物，此外还需________(填字母序号)中的器材．
A．直流电源、天平及砝码
B．直流电源、毫米刻度尺
C．交流电源、天平及砝码
D．交流电源、毫米刻度尺
(2)通过作图的方法可以剔除偶然误差较大的数据，提高实验的准确程度．为使所作图线的斜率等于重力加速度，除作v-t图像，还可作________图像，其纵轴表示的是________，横轴表示的是________．
例 6 图中甲、乙两图都是使用电磁打点计时器测量重力加速度g的装置示意图，已知该打点计时器的打点频率为50 Hz.
(1)甲、乙两图相比较，图________所示的装置更合理．
(2)丙图是采用较合理的装置并按正确的实验步骤进行实验打出的一条纸带，其中打出的第一个点标为1，后面依次打下的一系列点迹分别标为2、3、4、5…经测量，第15至第17点间的距离为11.70 cm，第1至第16点间距离为43.88 cm，则打下第16个点时，重锤下落的速度大小为________m/s，测出的重力加速度值为g＝________m/s2.(要求保留三位有效数字)
1.下列各图中，以竖直向上为正方向，其中表示物体做自由落体运动的是( )
2．如图所示，某学习小组利用直尺估测反应时间：甲同学捏住直尺上端，使直尺保持竖直，直尺零刻度线位于乙同学的两指之间．当乙看见甲放开直尺时，立即用手指捏住直尺，根据乙手指所在位置计算反应时间．为简化计算，某同学将直尺刻度进行了改进，以相等时间间隔在直尺的反面标记反应时间的刻度线，制作了“反应时间测量仪”，下列四幅图中刻度线标度正确的是( )
3．从高空悬停的直升飞机先后跳下甲、乙两名极限跳伞运动员，在打开降落伞之前，他们的运动可视为自由落体．则二者在做自由落体的过程中，若先跳下的甲向上观察，他将看到比自己后跳下的乙( )
A．与自己的距离始终保持不变，即乙相对于自己静止
B．与自己的距离不断增大，即乙相对自己向上匀速运动
C．与自己的距离不断增大，即乙相对自己向上匀加速运动
D．与自己的距离不断减小，即乙相对自己向下匀速运动
4．如图所示，将打点计时器固定在铁架台上，使重物拖着纸带从静止开始自由下落，利用此装置可以测定重力加速度．
通过作图的方法可以剔除偶然误差较大的数据，提高实验的准确程度．为了求出重力加速度，我们可作v-t图像，如图所示，图像刚好经过A(0.04，0.40)和B(0.16，1.58)这两个点，利用你学过知识可求出重力加速度g＝________；除作v-t图像外，我们还可作v2-h图像，如图所示图像刚好过C(0.05，0.96)和D(0.20，3.84)这两个点，则利用你学过的知识可求出重力加速度g＝________．(以上结果均保留两位有效数字)
5．如图所示为某小区禁止高空抛物的宣传提醒牌．从提供的信息可知：一枚50 g的鸡蛋从25楼(离地面行人80 m高)落下，能使行人当场死亡．若鸡蛋壳与行人的作用时间为4.0×10－3s，重力加速度g取10 m/s2，求：
(1)鸡蛋砸到行人时的速度为多大？
(2)鸡蛋减速时的加速度是重力加速度的多少倍？
4．自由落体运动
导学 掌握必备知识
一、
1．重力
2．比较小 忽略
二、
1．相同 重力加速度
2．竖直向下
3．(1)增大 (2)9.8 m/s2 10 m/s2
三、
1．0 匀加速直线
2．适用于
3．gt gt2
情境思考
答案：(1)× (2)× (3)√
共研 突破关键能力
目标一
提示：(1)铁片比羽毛下落得快．
(2)在真空中，铁片和羽毛下落得一样快．结论：在真空中，轻的物体和重的物体下落得一样快．
(3)空气阻力对铁片与羽毛的影响不同．如果没有空气阻力，所有物体下落的快慢都一样．
[例1] 解析：A错，C对：羽毛受到的空气阻力与自身重力相差不多，对运动的影响很大，而羽毛又和“铜钱”具有相同的运动情况，故羽毛要受“铜钱”向下的拉力作用，所以毽子下落时总是“铜钱”在下羽毛在上．“铜钱”重不是根本原因．B错：如果没有空气阻力，“铜钱”和羽毛的相对位置是随机的．D错：毽子下落过程中空气阻力不能忽略，毽子下落过程不是自由落体运动．
答案：C
[例2] 解析：自由落体加速度的大小和方向均与物体所处的地球表面的位置有关，重力加速度是矢量，方向竖直向下，与重力的方向相同，在地球表面，不同的地方，g的大小略有不同，但都在9.8 m/s2左右，故选项A错误，B正确；在地球表面同一地点，g的值都相同，但随着高度的增大，g的值逐渐减小，故选项C、D正确．
答案：BCD
目标二
提示：根据题意及图乙知，在女同学的反应时间内，刻度尺下落高度h＝20 cm，根据h＝gt2知t＝ ，解得t＝0.2 s，即女同学的反应时间为0.2 s.
[例3] 解析：甲落地的时间t甲＝ ，乙落地的时间t乙＝，所以甲落地的时间是乙落地时间的倍，故A错误；根据v＝可知，甲落地时的速率是乙落地时速率的倍，故B正确；根据h＝gt2可知，经过相等的时间两个物体下落的高度相等，所以乙落地之前，二者之间的竖直距离保持不变，故C正确；乙落地之前，加速度始终为g，故D错误．
答案：BC
[例4] 解析：A、B错：由于这是局部照片，A点并不一定是起点，故不能根据初速度为零的匀变速直线运动的位移规律求解．C对，D错：由Δx＝gΔt2可得，g＝.
答案：C
目标三
[例5] 解析：(1)打点计时器需接交流电源；重力加速度与物体的质量无关，所以不需要天平和砝码；计算速度时需要用刻度尺测量相邻计数点间的距离，故选项D正确．
(2)由自由落体运动的规律v2＝2gh可得＝gh，当纵轴表示重物下落速度平方的二分之一，横轴表示重物下落的高度h时，图线的斜率即可表示重力加速度．
答案：(1)D (2)-h 重物下落速度平方的二分之一 重物下落的高度
[例6] 解析：(1)甲图释放时更稳定，既能更有效地减小摩擦力，又能保证释放时初速度的大小为零，所以甲图更合理．
(2)自由落体运动是初速度为零的匀加速直线运动，所以v16＝≈2.93 m/s，又根据2gH＝v2，可得g≈9.78 m/s2.
答案：(1)甲 (2)2.93 9.78(±0.02均可)
精练 落实学科素养
1．解析：v的方向向下，为负，且v∝t，易知B正确．
答案：B
2．解析：由题可知，手的位置在开始时应放在0刻度处，所以0刻度要在下边．物体做自由落体运动的位移：h＝，位移与时间的平方成正比，所以随时间的增大，刻度尺上的间距增大，由以上的分析可知，只有图B是正确的．
答案：B
3．解析：设甲比乙提前t0时间跳下，并从乙跳下后开始计时有h甲＝gt0t＋gt2，
h乙＝gt2，
则先跳下的甲向上观察，他将看到比自己后跳下的乙与自己的距离Δh＝h甲－h乙＝gt0t，
即乙相对甲向上匀速运动．故选B.
答案：B
4．解析：由公式v＝gt，依据v-t图像，其斜率等于重力加速度；图像刚好经过A(0.04，0.40)和B(0.16，1.58)这两个点，则有
g＝m/s2＝9.8 m/s2.
由公式v2＝2gh，依据v2-h图像，其斜率等于重力加速度的2倍，因图像刚好过C(0.05，0.96)和D(0.20，3.84)这两个点，则有
g＝ m/s2＝9.6 m/s2.
答案：9.8 m/s2 9.6 m/s2
5．解析：(1)假设鸡蛋到达地面行人时的速度为v，鸡蛋从80 m高处自由落下，由运动学公式得v2＝2gh，代入数据解得
v＝＝ m/s＝40 m/s.
(2)鸡蛋减速时，根据速度公式有v＝at，代入数据解得减速时加速度大小
a＝＝ m/s2＝1.0×104 m/s2，
加速度与重力加速度的比值
＝＝1 000，
即鸡蛋减速时的加速度是重力加速度的1 000倍．
答案：(1)40 m/s (2)1 000拓展课二 竖直上抛运动 追及和相遇问题
目标要求
1.知道什么是竖直上抛运动，理解竖直上抛运动是匀变速直线运动．
2．会分析竖直上抛运动的运动规律．会利用分段法或全程法求解竖直上抛运动的有关问题．
3．知道竖直上抛运动的对称性．
4．会分析追及相遇问题，理解两者速度相等为临界条件．
5．会根据位移关系、时间关系列方程求解．
拓展1 竖直上抛运动
【归纳】
1．竖直上抛运动
如图1所示，将一个物体以某一初速度v0竖直向上抛出，抛出的物体只在重力作用下运动，这种运动就是竖直上抛运动．
说明：竖直上抛运动也是一种理想化运动模型，当其他力(空气阻力)远小于重力时，竖直向上抛出的物体的运动也可当作竖直上抛运动处理，如：小球被压缩的弹簧弹出(图2)，运动员原地起跳(图3)等．
2．竖直上抛运动的实质
初速度v0≠0、加速度a＝－g的匀变速直线运动(通常规定初速度v0的方向为正方向，g为重力加速度的大小)．
3．竖直上抛运动的v-t图像
4．竖直上抛运动的规律
位移公式：h＝v0t－gt2t总＝.
速度与位移关系式：＝－2ghH＝.
5．竖直上抛运动的特点
(1)对称性
①时间对称性：对同一段距离，上升过程和下降过程所用时间相等，tAB＝tBA，tOC＝tCO.
②速度对称性：上升过程和下降过程通过同一点时速度大小相等，方向相反，vB＝－v′B，vA＝.(如图所示)
(2)多解性
通过某一点可能对应两个时刻，即物体可能处于上升阶段，也可能处于下降阶段．
6．竖直上抛运动的处理方法
分段分析法 上升阶段是初速度为v0、a＝－g的匀减速直线运动；下落阶段是自由落体运动
全过程分析法 全过程看作初速度为v0、a＝－g的匀变速直线运动 (1)v>0时，上升阶段；v<0，下落阶段 (2)x>0时，物体在抛出点的上方；x<0时，物体在抛出点的下方
【典例】
例 1[2023·福建省泉州教科所高一期末]东京奥运会女子10米跳台决赛中，中
国小将全红婵以5跳3满分的超高成绩夺得金牌．如图，全红婵双手伸直站立在跳台上，以初速度v0竖直起跳，在空中抱膝向内翻腾3周半，双掌与水面距离L时身体刚好完全打开，之后笔直入水．设手伸直时其重心恰在身体的中点，v0＝2 m/s，L＝0.4 m，忽略水平方向的运动和空气阻力，取g＝.求：
(1)全红婵重心上升的最大高度；
(2)全红婵从起跳到重心上升至最大高度的时间；
(3)全红婵从起跳到身体刚好完全打开的时间．
例 2 自高为H的塔顶自由落下物体A，同时物体B自塔底以初速度v0竖直上抛，且A、B两物体在同一直线上运动，重力加速度为g.根据下面问题讨论H、v0和g的关系：
(1)在什么条件下，两物体在B的最高点相遇？
(2)在什么条件下，两物体在地面相遇？
(3)在什么条件下，B正在上升途中两物体相遇？
(4)在什么条件下，B正在下降途中两物体相遇？
拓展2 追及、相遇问题
【归纳】
1．追及、相遇问题是常见的运动学问题，其实质是研究两物体能否在相同的时刻到达相同的空间位置的问题．
2.分析追及、相遇问题时，—定要抓住以下两点：
(1)位移关系：x2＝x0＋x1.
其中x0为开始追赶时两物体之间的距离，x1表示前面被追赶物体的位移，x2表示后面物体的位移．
(2)临界状态：v1＝v2.
当两个物体的速度相等时，往往是物体间能否追上或两者距离最大、最小的状态，也是可能出现恰好追上、恰好避免相撞等临界情况的状态．
3.处理追及、相遇类问题的基本思路
(1)分别对两物体进行研究，确定运动性质；
(2)画出运动过程示意图；
(3)找出时间关系、速度关系、位移关系，列方程求解；
(4)解出结果，必要时进行讨论．
【典例】
例 3 火车A以v1＝20 m/s的速度匀速行驶，司机发现前方同轨道上相距100 m处有另一列火车B正以v2＝10 m/s的速度匀速行驶，火车A立即做加速度大小为a的匀减速直线运动．要使两火车不相撞，a应满足什么条件？
例 4 两玩具车在两条平行的车道上行驶，t＝0时两车都在同一计时线处，它们在四次比赛中的v-t图像如图所示．在0～3 s内哪幅图对应的比赛中两车可能再次相遇( )
例 5[2023·山东济南高一上检测]某天，小明在上学途中沿人行道以v1＝1 m/s的速度向一公交车站走去，发现一辆公交车正以v2＝15 m/s的速度从身旁的平直公路同向驶过，此时他距车站的距离s＝25 m．为了乘上该公交车，他匀加速向前跑去，加速度大小a1＝2.5 m/s2，达到最大速度vm＝6 m/s后匀速前进．假设公交车从相遇处开始匀减速刹车，刚好到车站停下．
(1)求公交车刹车过程中加速度a2的大小；
(2)当小明达到最大速度时，与车站相距多远？
(3)从相遇时开始计时，公交车至少需在车站停留多长时间小明才能赶上？
(4)分析小明在追赶公交车过程中与公交车相距最远的距离是多少？(不计车长)
拓展课二 竖直上抛运动 追及和相遇问题
拓展1
[例1] 解析：(1)全红婵重心上升的最大高度为h＝＝0.2 m.
(2)全红婵从起跳到重心上升至最大高度的时间为t1＝＝0.2 s.
(3)解法一(分段法)：全红婵上升到最高点后做自由落体运动，设下落时间为t2，则H＋h－L＝，
解得t2＝1.4 s，
全红婵从起跳到身体刚好完全打开的时间为t＝t1＋t2＝1.6 s.
解法二(整体法)：取竖直向上为正方向，对全红婵的整个运动过程有－(H－L)＝v0t－gt2，
解得全红婵从起跳到身体刚好完全打开的时间为t＝1.6 s(另解t＝－1.2 s舍去)．
答案：(1)0.2 m (2)0.2 s (3)1.6 s
[例2] 解析：两物体相遇应满足：H＝gt2＋v0t－gt2，相遇时间t＝，
B物体上升到最高点需时间t1＝，
落回到抛出点时间t2＝.
(1)在最高点相遇时t＝t1，v0＝；
(2)在地面相遇时t＝t2，v0＝ ；
(3)要在上升途中相遇，t；
(4)要在下降途中相遇，t1答案：(1)v0＝ (2)v0＝ (3)v0>
(4) 拓展2
[例3] 解析：解法一：用临界法求解
两火车恰好不相撞的条件是两火车速度相同时相遇．
A、B火车速度关系为v1－at＝v2，
A、B火车位移关系为v1t－at2＝v2t＋x0，
两式联立消去t可得
a＝＝m/s2＝0.5 m/s2.
因此a>0.5 m/s2.
解法二：用图像法求解
在同一个v-t图中画出火车A和火车B的速度—时间图线，根据图线与时间轴所围图形面积的物理意义，两火车位移之差等于图中梯形的面积与矩形面积之差，当t＝t0时梯形与矩形的面积之差最大，为图中阴影部分三角形的面积．根据题意，阴影部分三角形的面积表示的位移不能超过100 m．
两火车恰好不相撞时有×(20－10)m/s·t0＝100 m，可得t0＝20 s，a＝m/s2＝0.5 m/s2，因此a>0.5 m/s2.
答案：a>0.5 m/s2
[例4] 解析：t＝0时两车都在同一计时线处，根据v-t图像与t轴所围成图形的面积表示位移可知，5 s时两车再次相遇，0～3 s内减速运动的玩具车在前，没有相遇，A错误；0～3 s内匀速运动的玩具车始终在前，两车未再次相遇，B错误；2.5 s时刻，两车v-t图像与t轴所围成图形的面积相等，两车相遇，C正确；0～3 s内匀加速运动的玩具车始终在前，两车未再次相遇，D错误．故选C.
答案：C
[例5] 解析：(1)由匀变速直线运动公式v2＝2as，
解得公交车刹车过程中的加速度大小为
a2＝＝＝4.5 m/s2.
(2)小明加速到最大速度用时t1＝＝2 s，
小明加速过程中的位移为s1＝(v1＋vm)t1＝7 m，
小明与车站的距离s2＝s－s1＝18 m.
(3)小明以最大速度跑到车站的时间为t2＝＝3 s，
小明到达车站所需的时间t＝t1＋t2＝5 s，
汽车从相遇到停在车站所用时间为t3＝＝ s，
则需要汽车停在车站的最短时间为Δt＝t－t3＝ s.
(4)设经时间t4小明与公交车速度相等，则有v1＋a1t4＝v2－a2t4，解得t4＝2 s，此时小明刚好达到最大速度，公交车的位移s3＝t4＝21 m，小明在追赶公交车过程中与公交车相距最远的距离是Δs＝s3－s1＝14 m.
答案：(1)4.5 m/s2 (2)18 m (3) s (4)14 m拓展课一 匀变速直线运动的推论
目标要求
1.理解平均速度公式及应用．
2．理解中点位置的瞬时速度公式及应用．
3．理解逐差相等公式及应用．
4．理解初速度为零的匀加速直线运动的推论及应用．
拓展1 平均速度公式的理解及应用
【归纳】
1．平均速度公式：＝＝，即做匀变速直线运动的物体在任意一段时间t内的平均速度等于这段时间的中间时刻的瞬时速度，还等于这段时间初、末速度矢量和的一半．
2．推导：设物体做匀变速直线运动的初速度为v0，加速度为a，t时刻的速度为v，
由x＝v0t＋at2得，平均速度
＝＝v0＋at， ①
由v＝v0＋at知，当t′＝时有
＝v0＋a·， ②
由①②得＝，
又v＝＋a·， ③
由②③解得＝，
综上所述有＝＝.
【典例】
例 1 物体从静止开始做匀加速直线运动，3 s内通过的位移是3 m，求：
(1)3 s内物体的平均速度大小；
(2)第3 s末的速度大小．
思维方法
(1)v＝适用于任意形式的运动，而v＝＝只适用于匀变速直线运动．该表达式是联系平均速度与瞬时速度的重要表达式．
(2)巧用平均速度解题比应用基本公式解题更简捷．
例 2[2023·山东潍坊高一检测]如图所示，物块以初速度v0沿水平地面向右匀减速滑行并开始计时，第5 s内的位移是6 m，第6 s内的位移是4 m，(第6 s末仍然向右运动)选向右为正方向，则该物块( )
A.加速度为－1 m/s2
B．加速度为－2 m/s2
C．第7 s内的位移是3 m
D．第6 s末的速度是5 m/s
拓展2 中点位置的瞬时速度公式的理解及应用
【归纳】
1．中点位置的瞬时速度公式：＝，即在匀变速直线运动中，某段位移的中点位置的瞬时速度等于这段位移的初、末速度的“方、均、根”值．
2．推导：
如图所示，前一段位移＝2a·，后一段位移＝2a·，所以有＝＋v2)，即有＝.
提醒：公式＝只适用于匀变速直线运动．
【典例】
例 3[2023·河北沧州月考](多选)如图所示，光滑斜面的长度为L，一物体自斜面顶端由静止开始匀加速滑至底端，经历的时间为t，则下列说法正确的是( )
A．物体运动全过程中的平均速度是
B．物体在时的瞬时速度是
C．物体运动到斜面中点时的瞬时速度是
D．物体从顶点运动到斜面中点所需的时间是t拓展3 逐差相等公式的理解及应用
【归纳】
1．逐差相等公式：Δx＝xⅡ－xⅠ＝xⅢ－xⅡ＝…＝aT2，即做匀变速直线运动的物体，如果在各个连续相等的时间T内的位移分别为xⅠ、xⅡ、xⅢ、…、xN，则匀变速直线运动中任意两个连续相等的时间间隔内的位移差相等．
2．公式推导：如图所示
x1＝v0T＋aT2，
x2＝v0·2T＋a·T2，
x3＝v0·3T＋a·T2，…
所以xⅠ＝x1＝v0T＋aT2，
xⅡ＝x2－x1＝v0T＋aT2，
xⅢ＝x3－x2＝v0T＋aT2，…
故xⅡ－xⅠ＝aT2，xⅢ－xⅡ＝aT2，…
所以Δx＝xⅡ－xⅠ＝xⅢ－xⅡ＝…＝aT2.
提醒：(1)公式中“T”具有任意性．
(2)对于不相邻的任意两段位移：
xm－xn＝(m－n)aT2.
(3)推论只适用于匀变速直线运动．
3．应用
(1)判断物体是否做匀变速直线运动
如果Δx＝xⅡ－xⅠ＝xⅢ－xⅡ＝…＝xN－xN－1＝aT2成立，则a为一恒量，说明物体做匀变速直线运动．
(2)逐差法求加速度
①若已知连续相等时间内的两段位移．
由x2－x1＝aT2，得a＝
②若已知连续相等时间内的四段位移．
可以简化成两大段AC、CE研究
xⅠ＝x1＋x2 xⅡ＝x3＋x4 tAC＝tCE＝2T
a＝＝
③若已知连续相等时间内的六段位移
可以简化成两大段AD、DG研究
xⅠ＝x1＋x2＋x3 xⅡ＝x4＋x5＋x6
a＝
＝.
【典例】
例 4 一辆汽车行驶在平直公路上，从t＝0时开始制动，汽车在第1 s、第2 s、第3 s前进的距离分别是9 m、7 m、5 m，如图所示．某同学根据题目所提供的信息，猜想汽车在制动后做匀减速直线运动．如果他的猜想是正确的，可进一步推断，汽车开始制动时的速度大小为( )
A．4 m/s B．6 m/s
C．8 m/s D．10 m/s
例 5 [一题多解]一个做匀加速直线运动的物体，在第1个4 s内经过的位移为24 m，在第2个4 s内经过的位移是60 m，求这个物体的加速度和初速度各是多少．
思维方法
运动学问题的求解一般会有多种解法，进行一题多解训练可以熟练地掌握运动学规律，如果题中不涉及加速度a，那么选平均速度公式解题比较方便；如果涉及连续相等时间内的位移问题，用逐差法比较方便．
【典例】
例 6 在“探究小车速度随时间变化的规律”的实验中，打点计时器使用的交流电的频率为50 Hz，记录小车运动的纸带如图所示，在纸带上选择0、1、2、3、4、5这6个计数点，相邻两计数点之间还有四个点未画出，纸带旁并排放着带有分度值为1毫米的刻度尺，零刻度线跟“0”计数点对齐．
(1)由图可以读出三个计数点1、3、5跟0点的距离，将数据填入下列表格中．
距离 d1 d2 d3
测量值/cm
(2)计算打点计时器打下计数点2时小车的瞬时速度v2＝________ m/s，小车的加速度a＝________ m/s2.拓展4 初速度为零的匀加速直线运动的几个比例式的应用
【归纳】
1．等分时间(以T为时间单位)的情况
(1)1T末、2T末、3T末…nT末的瞬时速度之比：
v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n.
(2)1T内、2T内、3T内…nT内的位移之比：
x1∶x2∶x3∶…∶xn＝1∶4∶9∶…∶n2.
(3)第一个T内、第二个T内、第三个T内…第n个T内的位移之比：
xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶…∶xn＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)．
2．等分位移(以x为单位)的情况
(1)通过x，2x，3x…nx所用时间之比：
t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶∶∶…∶.
(2)通过第一个x、第二个x、第三个x…第n个x所用时间之比：
t′1∶t′2∶t′3∶…∶t′n＝1∶(－1)∶()∶…∶()．
【典例】
例 7 钢架雪车也被称为俯式冰橇，是2022年北京冬奥会的比赛项目之一．运动员需要俯身平贴在雪橇上，以俯卧姿态滑行．比赛线路由起跑区、出发区、滑行区及减速区组成．若某次运动员练习时，恰好在终点停下来，且在减速区AB间的运动视为匀减速直线运动．运动员通过减速区时间为t，其中第一个时间内的位移为x1，第四个时间内的位移为x2，则x2∶x1＝( )
A．1∶16 B．1∶7
C．1∶5 D．1∶3
例 8 [逆向思维法][2023·江苏扬州高一上测试]水球可以挡住高速运动的子弹．实验证实：如图所示，用极薄的塑料膜片制成三个完全相同的水球紧挨在一起水平排列，子弹在水球中沿水平方向做匀变速直线运动，恰好能穿出第三个水球，则可以判定(忽略薄塑料膜片对子弹的作用，子弹视为质点)( )
A．子弹穿过每个水球的的时间之比为t1∶t2∶t3＝1∶1∶1
B．子弹穿过每个水球的时间之比t1∶t2∶t3＝()∶(－1)∶1
C．子弹在穿入每个水球时的速度之比为v1∶v2∶v3＝3∶2∶1
D．子弹在穿入每个水球时的速度之比为v1∶v2∶v3＝()∶(－1)∶1
拓展课一 匀变速直线运动的推论
拓展1
[例1] 解析：(1)由＝，得3 s内物体的平均速度大小＝＝ m/s＝1 m/s.
(2)方法一 基本公式法
物体由静止开始做匀加速直线运动，由x＝at2，得a＝＝ m/s2＝ m/s2，v3＝at＝×3 m/s＝2 m/s.
方法二 平均速度法
由匀变速直线运动的平均速度v＝，可知3 s内的平均速度v＝，则v3＝2v＝2×1 m/s＝2 m/s.
方法三 中间时刻速度法
3 s内的平均速度等于第1.5 s末的瞬时速度，即v＝v1.5＝1.5 s·a，得a＝ m/s2＝ m/s2，第3 s末的速度大小v3＝at＝×3 m/s＝2 m/s.
答案：(1)1 m/s (2)2 m/s
[例2] 解析：如下图所示，设第5 s的初速度为v′0，第5 s末的速度为v1，第6 s末的速度为v2，T＝1 s.
A错，B对：由平均速度公式可知v1＝，v1＝＝5 m/s；
由x2＝v1T＋aT2，得4 m＝5 m/s×1 s＋a×(1 s)2
得a＝－2 m/s2.
D错：由x2＝T得v2＝3 m/s，故6 s末的速度是3 m/s.
C错：设7 s末的速度为v3，因为a＝－2 m/s2，故v3＝1 m/s，
则第7 s内的位移x3＝×T，x3＝2 m.
答案：B
拓展2
[例3] 解析：A对，B错：全过程的平均速度与中间时刻的瞬时速度相等，大小为v′＝.C对：知末速度v＝2v′＝，则到斜面中点的瞬时速度＝ ＝.D对：设物体的加速度为a，到达斜面中点用时t′，则L＝at2，＝，得t′＝t.
答案：ACD
拓展3
[例4] 解析：汽车制动的加速度大小为a＝＝ m/s2＝，根据x＝v0t－at2，则9 m＝(v0×1－×2×12)m，解得v0＝10 m/s，故选D.
答案：D
[例5] 解析：方法一 基本公式法
物体在前4 s内的位移x1＝v0t＋at2，在第2个4 s内的位移x2＝v0·(2t)＋a·(2t)2－(v0t＋at2)，将x1＝24 m、x2＝60 m代入上式，解得a＝2.25 m/s2，v0＝1.5 m/s．
方法二 平均速度法
物体在0～8 s内的平均速度等于中间时刻(即第4 s末)的瞬时速度，则v4＝ m/s＝10.5 m/s，且v4＝v0＋4 s·a，物体在第1个4 s内的平均速度等于第2 s末的瞬时速度，v2＝ m/s＝6 m/s，而v2＝v0＋2 s·a，联立以上各式解得a＝2.25 m/s2，v0＝1.5 m/s.
方法三 逐差法
由公式Δx＝aT2得a＝＝ m/s2＝2.25 m/s2，由于v4＝ m/s＝10.5 m/s，而v4＝v0＋4 s·a，解得v0＝1.5 m/s.
答案：2.25 m/s2 1.5 m/s
[例6] 解析：(1)用分度值为1 mm的刻度尺读数时，应估读一位数字，三个距离的读数分别为1.20 cm、5.40 cm、12.00 cm.(2)打下计数点2时小车的瞬时速度等于打下1、3两个计数点间的平均速度，即
v2＝＝ m/s＝0.21 m/s，
小车的加速度a＝＝
＝ m/s2＝0.60 m/s2.
答案：(1)1.20 5.40 12.00 (2)0.21 0.60
拓展4
[例7] 解析：由题意知，在减速区AB间的运动视为匀减速直线运动，且最终减为零，将此减速过程由逆向思维，可看作初速度为零的匀加速直线运动，则根据初速度为零的匀加速直线运动，连续相等时间内位移之比为1∶3∶5…可知，x2∶x1之比即为初速度为零的匀加速直线中第一个时间内的位移与第四个时间内的位移之比，即x2∶x1＝1∶7，故选B.
答案：B
[例8] 解析：把子弹的运动看作逆向的初速度为零的匀加速直线运动，根据匀变速直线运动相等位移的时间关系可知，子弹从右向左，通过每个水球的时间之比为1∶(－1)∶()，则子弹实际运动穿过每个水球的时间之比为t1∶t2∶t3＝()∶(－1)∶1，故B正确，A错误，根据v2＝2as可知，子弹由右向左依次“穿出”3个水球的速度之比为1∶∶.则子弹实际运动依次穿入每个水球时的速度之比v1∶v2∶v3＝∶∶1，故C、D错误．
答案：B第二章综合提升
物理思想方法
一、求解匀变速直线运动问题的常用方法
1．公式法
一般公式法指速度公式、位移公式及推论式．它们均是矢量式，使用时要注意方向，一般以v0的方向为正方向，与v0方向相同的物理量方向为正，与v0方向相反的物理量方向为负．
2．平均速度法
匀变速直线运动的平均速度＝＝.
若题目中给出物体在某段时间t内运动的位移x(或直线给出平均速度)，要求某一未知物理量的题型，巧用平均速度关系式就可以简化解题过程．
3．比例法
对于初速度为零的匀加速直线运动与末速度为零的匀减速直线运动，可利用初速度为零的匀加速直线运动的几个重要推论，用比例法求解．
4．逆向思维法
把运动过程的“末态”作为“初态”的逆向研究问题的方法，一般用于末态已知的情况，例如可将物体匀减速至零的情况看成反向的初速度为零的匀加速直线运动处理．
如图所示，可将小球的运动分成两个阶段：
(1)沿斜面向上：x＝v0t－at2，x＝，x＝t；
(2)沿斜面向下：x＝at2，x＝，x＝t.
5．图像法
应用v-t图像，可把较复杂的物理问题转变为较简单的数学问题解决，用图像定性分析问题，可避开繁杂的计算，快速求解．
6．巧用推论Δx＝xn＋1－xn＝aT2解题
在匀变速直线运动中，连续相等的时间T内的位移之差为一恒量，即xn＋1－xn＝aT2，对一般的匀变速直线运动问题，若出现连续相等的时间间隔问题，应优先考虑用Δx＝aT2求解．
例1 物体以一定的初速度从斜面底端A点冲上固定的光滑斜面，斜面总长度为l，物体到达斜面最高点C时速度恰好为零，如图所示．已知物体第一次运动到距离斜面底端l处的B点时，所用时间为t，求物体从B滑到C所用的时间．
二、运动图像的意义及应用(核心素养之物理观念
——图像法)
要学会识图．识图就是通过“看”图寻找规律及解题的突破口．为方便记忆，这里总结为六看：一看“轴”，二看“线”，三看“斜率”，四看“面”，五看“截距”，六看“特殊值”．
(1)“轴”：横、纵轴所表示的物理量，特别要注意纵轴是位移x，还是速度v.
(2)“线”；从线反映运动性质，如x-t图像为倾斜直线表示匀速运动，v-t图像为倾斜直线表示匀变速运动．
(3)“斜率”：斜率往往代表某个物理量．x-t图像的斜率表示速度；v-t图像的斜率表示加速度．
(4)“面”即“面积”：主要看横、纵轴物理量的乘积有无意义．如x-t图线与t轴所围图形的面积无意义，v-t图线与t轴所围图形的面积表示位移．
(5)“截距”：初始条件，纵轴截距表示初始位置x0或初速度v0.
(6)“特殊值”：主要看图线交点，如两物体的x-t图线的交点表示两物体相遇，两物体的v-t图线的交点表示两物体速度相等．
例 2 (多选)近期，一段特殊的“飙车”视频红遍网络，视频中，一辆和谐号动车正和一辆复兴号动车在互相追赶．两车并排做直线运动，其运动情况如图乙所示，则( )
A．10 s末和谐号的加速度比复兴号的大
B．图乙中复兴号的最大速度为78 m/s
C．0到24 s内，和谐号的平均速度大
D．0到32 s内，复兴号的平均速度大
核心素养提升
情境1 交通情境——模型建构
例 3 [酒驾]如图是《驾驶员守则》中的安全距离图示和部分安全距离表格，请根据表格计算：
车速 /(km·h－1) 反应距 离s/m 刹车距 离x/m 停车距 离L/m
40 10 10 20
60 15 22.5 37.5
80 A＝ B＝ C＝
(1)如果驾驶员的反应时间一定，请在表格中填上A的数据；
(2)如果路面情况相同，请在表格中填上B、C的数据；
(3)如果路面情况相同，一名喝了酒的驾驶员发现前面50 m处有一队学生正在横过马路，此时他的车速为72 km/h，而他的反应时间比正常时慢了0.1 s，请问他能在50 m内停下来吗？
情境2 体育运动情境——模型建构
例 42022年冬奥会在2月20日圆满闭幕．冰壶是冬奥会中最具有观赏性的项目之一．按比赛规则，投掷冰壶运动员的队友，可以用毛刷在冰壶滑行前方来回摩擦冰面，减小冰面的动摩擦因数以调节冰壶的运动．一个运动员以4 m/s的速度投掷冰壶甲，冰壶甲做加速度大小为0.25 m/s2的匀减速直线运动．另一个运动员也以4 m/s的速度将冰壶乙投出，冰壶乙滑行4 s后其队友开始在其滑行前方摩擦冰面直至冰壶停下，发现冰壶乙比甲多滑行4.5 m，g取10 m/s2，求：
(1)冰壶甲能在冰面上滑行的距离；
(2)冰壶乙在摩擦冰面后的加速度大小；
(3)冰壶乙运动的平均速度．
[教你解决问题] 模型建构
建立冰壶甲、乙的运动模型——画出运动示意图：
模型分析
冰壶甲做初速度为v0＝4 m/s，加速度大小为a1＝0.25 m/s2的匀减速直线运动，最终速度减为零．
冰壶乙先在t1＝4 s内做匀减速直线运动，摩擦冰面后，做加速度大小为a2的匀减速运动直到速度减为零．
情境3 避免相撞——科学推理、模型建构
例 5 汽车正以10 m/s的速度在平直的公路上前进，突然发现正前方有一辆自行车以4 m/s的速度做同方向的匀速直线运动，汽车立即关闭油门做加速度大小为6 m/s2的匀减速运动，汽车恰好不碰上自行车，求关闭油门时汽车离自行车多远？
例 6 强行超车是道路交通安全的极大隐患之一、如图是汽车超车过程的示意图，汽车甲和货车均以36 km/h的速度在平直路面上匀速行驶，货车在甲车前面．若甲车司机发现附近无其他车辆后开始加速从货车左侧超车，加速度大小为4 m/s2.假定货车速度保持不变，汽车超过货车4 m后完成超车，不计车辆变道的时间．求：
(1)若甲车要在4 s内完成超车，则货车最多在甲车前面多远处；
(2)若甲车开始超车时，看到道路正前方的乙车迎面驶来，乙车速度为54 km/h.甲车超车的整个过程用时4 s，乙车速度始终保持不变，则甲、乙两车之间距离至少是多少？
思维方法
解决STSE问题的方法
在解决生活和生产中的实际问题时，
(1)根据所描述的情景与匀变速直线运动相结合运动过程模型．
(2)根据运动过程的运动情况合适的运动规律．
第二章综合提升
物理思想方法
[例1] 解析：解法一：公式法
因为物体沿斜面向上做匀减速运动，设初速度为v0，物体从B滑到C所用的时间为tBC，
由匀变速直线运动的规律可得＝＝－2axAB，xAB＝xAC，
解得vB＝.
再根据vB＝v0－at，vB＝atBC，解得tBC＝t.
解法二：比例法
对于沿斜面向上的末速度为零的匀减速运动，可逆向思考为沿斜面向下的初速度为零的匀加速直线运动，在连续相等的时间内通过的位移之比为x1∶x2∶x3∶…∶xn＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)．
因为xBC∶xAB＝∶＝1∶3，而物体通过xAB的时间为t，所以通过xBC的时间tBC＝t.
解法三：中间时刻速度法
利用推论：匀变速直线运动中物体通过某段位移时，中间时刻的瞬时速度等于物体通过这段位移的平均速度＝＝.
又＝＝2axBC，xBC＝，
由以上三式解得vB＝，可以看成vB正好等于AC段的平均速度，因此B点是物体通过这段位移的中间时刻对应的位置，因此有tBC＝t.
解法四：逆向思维法
物体匀减速冲上斜面到达最高点的逆过程相当于物体由静止开始匀加速滑下斜面，设物体从B到C所用的时间为tBC，
由运动学公式得xBC＝，xAC＝，又xBC＝，由以上三式得tBC＝t.
解法五：图像法
根据匀变速直线运动规律，画出v-t图像如图所示，利用相似三角形的规律，面积之比等于对应边的平方比，得＝，且＝，OD＝t，OC＝t＋tBC，所以＝，解得tBC＝t.
答案：t
[例2] 解析：由v-t图像的斜率表示加速度，可得10 s末和谐号的加速度为a1＝＝0.5 m/s2，复兴号的加速度为a2＝＝0.75 m/s2，则10 s末和谐号的加速度比复兴号的小，故A错误；图乙中复兴号的最大速度为vm＝72 m/s＋a2×(32 s－24 s)＝78 m/s，故B正确；在0到24 s内和谐号的速度大于复兴号的速度，则和谐号的位移大，平均速度大，故C正确；由v-t图像的面积表示位移，可知在0到32 s内和谐号的位移x1＝×24 m＋72×(32－24)m＝2 160 m，复兴号的位移x2＝60×8 m＋×(32－8)m＝2 136 m，则和谐号的位移大，平均速度大，故D错误．
答案：BC
核心素养提升
[例3] 解析：(1)反应时间为t＝＝ s＝0.9 s，
则A＝v3t＝×0.9 m＝20 m.
(2)设汽车刹车时加速度大小为a，则根据运动学知识有：
a＝＝ m/s2＝ m/s2，
则B＝＝40 m，
则C＝A＋B＝60 m.
(3)驾驶员的反应距离为s′＝v′(t＋Δt)
代入数据，得s′＝20 m，
刹车距离为x′＝，
代入数值，得x′＝32.4 m，
L′＝s′＋x′＝52.4 m>50 m，
故不能在50 m内停下来．
答案：见解析
[例4] 解析：(1)冰壶甲的初速度为v0＝4 m/s，匀减速的加速度大小为
a1＝0.25 m/s2，有1
可得冰壶甲能在冰面上滑行的距离为＝32 m.
(2)冰壶乙先在t1＝4 s内做匀减速直线运动，末速度为v1，位移为x1，
v1＝v0－a1t1＝3 m/s，
位移为x1＝＝14 m，
摩擦冰面后，冰壶乙比甲多滑行4.5 m，则乙此后匀减速运动的位移为
x2＝x＋4.5 m－x1＝22.5 m.
设冰壶乙在摩擦冰面后的加速度大小为a2，则有
＝－2a2x2，
解得a2＝0.2 m/s2.
(3)冰壶乙在摩擦冰面后的运动时间为
t2＝＝15 s，
则冰壶乙全程的平均速度为
＝＝ m/s≈1.92 m/s.
答案：(1)32 m (2)0.2 m/s2 (3)1.92 m/s
[例5] 解析：解法1：在汽车做匀减速运动的过程中，自行车仍在做匀速运动．当两车速度相等时，距离最小．因此，当汽车速度减小到与自行车速度相等时没有碰撞，便不会碰撞．汽车减速到4 m/s时，发生的位移和运动的时间分别为
x汽＝＝m＝7 m，
t＝＝s＝1 s，
这段时间内自行车发生的位移为
x自＝v自t＝4×1 m＝4 m，
汽车关闭油门时离自行车的距离为
s＝x汽－x自＝(7－4)m＝3 m.
解法2：利用v-t图像进行求解，如图所示，
直线Ⅰ、Ⅱ分别是汽车与自行车的运动图线，图中阴影部分的面积表示当两车车速相等时汽车比自行车多发生的位移，即为汽车关闭油门时离自行车的距离s.图线Ⅰ的斜率即为汽车减速运动的加速度，所以应有s＝＝＝m＝3 m.
答案：3 m
[例6] 解析：(1)由题意可知x甲＝d＋x货＋4，
x甲＝，x货＝v0t1，
解得d＝28 m.
(2)甲车位移x甲＝＝72 m，
乙车位移x乙＝v乙t2＝60 m，
则甲、乙两车之间的距离至少是L＝x甲＋x乙＝132 m.
答案：(1)28 m (2)132 m
