平面向量综合练习
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2006学年高三数学训练题(由课本例、习题选编或改编)
（三） 平 面 向 量
番禺区教育局教研室 严运华
A 组
（1）如果，是两个单位向量，则下列结论中正确的是 （ ）
(A) (B) (C) (D)
（2）在四边形中，若，则四边形的形状一定是 ( )
(A) 平行四边形 (B) 菱形 (C) 矩形 (D) 正方形
（3）若平行四边形的3个顶点分别是（4，2），（5，7），（3，4），则第4个顶点的坐标不可能是（ ）
(A)（12，5） (B)（-2，9） (C) （3，7） (D) （-4，-1）
（4）已知正方形的边长为1，，，， 则等于 ( )
(A) 0 (B) 3 (C) (D)
（5）已知，，且向量，不共线，若向量与向量互相垂直，则实数 的值为 ．
（6）在平行四边形ABCD中，，，O为AC与BD的交点，点M在BD上，，
则向量用，表示为 ；用，表示为 ．
（7）在长江南岸渡口处，江水以12.5km/h的速度向东流，渡船的速度为25 km/h．渡船要垂直地渡过长江，则航向为 ．
（8）三个力，，的大小相等，且它们的合力为0，则力与的夹角为 ．
（9）用向量方法证明：三角形的中位线定理．
（10）已知平面内三点、、三点在一条直线上，，，，且，求实数，的值．
B 组
（11）已知点、、不在同一条直线上，点为该平面上一点，且，则 ( )
(A) 点P在线段AB上 (B) 点P在线段AB的反向延长线上
(C) 点P在线段AB的延长线上 (D) 点P不在直线AB上
（12）已知D、E、F分别是三角形ABC的边长的边BC、CA、AB的中点，且，，，则①，②，③，④中正确的等式的个数为 ( )
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
（13）已知向量，，则向量在方向上的投影为 ．
（14）已知，，点M关于点A的对称点为S，点S关于点B的对称点为N，则向量用、表示为 ．
（15）已知向量，，若向量与的夹角为直角，则实数的值为 ；若向量与的夹角为钝角，则实数的取值范围为 ．
（16）已知，，，点为坐标原点，点是直线上一点，
求的最小值及取得最小值时的值．
（17）如图，点、是线段的三等分点，求证： （1）
一般地，如果点，，…是的等分点，请写出一个结论，使（1）为所写结论的一个特例．并证明你写的结论．
（18）已知等边三角形的边长为2，⊙的半径为1，为⊙的任意一条直径，
（Ⅰ）判断的值是否会随点的变化而变化，请说明理由；
（Ⅱ）求的最大值．
参考答案或提示：
（三）平 面 向 量
A组
（1）D （2）A （3）C （4）D （5） （6）； （7）北偏西300
（8） （9）略 （10）或
略解或提示：
由单位向量的定义即得，故选（D）．
由于，∴，即，∴线段与线段平行且相等，∴为平行四边形，选（A）．
估算：画草图知符合条件的点有三个，这三个点构成的三角形三边的中点分别为已知的三点．由
于符合条件的三点分别位于第一象限、第二象限和第三象限，则排除（B）、（D），而符合条件的点第一象限只有一个点，且位于点（5，7）的右侧，则该点的横坐标要大于5，∴排除（A），选（C）．
由于∴，∴选（D）．
向量与向量互相垂直，则（(,∴,
而, ,∴．
∵，而，∴；
∴ ．
如图，渡船速度，水流速度，船实际垂直过江的速度，
依题意，，，由于为平行四边形，则，又，∴在直角三角形中，∠=，∴航向为北偏西．
过点作向量、、，使之分别与力，，相等，由于，，
的合力为，则以、为邻边的平行四边形的对角线与的长度相等，又由于力，，的大小相等，∴，则三角形和三角形均为正三角形，∴，即任意两个力的夹角均为．
解：由于，而，
∴，
则∥，且，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边长的一半．
（10）由于O、A、B三点在一条直线上，则∥，而，
∴，又，∴
联立方程组解得或．
B组
（11）B （12）C （13） （14）2 （15）或2；
（16） （17）答案不唯一，如或 （18）（Ⅰ）（Ⅱ）．
略解或提示：
（11）由于，∴，即，∴，则点P在线段AB的反向延长线上，选（B）．
（12）∵，又，∴，即①是错误的；
由于，即②是正确的；同理，而，则，∴,即③是正确的；同理，∴；即④是正确的．选（C）．
（13）设与的夹角为，则向量在方向上的投影为．
（14）由于为中点，为中点，∴，，两式相减得，
∴，∴2．
也可直接根据中位线定理2．
（15）若与的夹角为直角，则，即,∴或2；
若向量与的夹角为钝角，则，且与不共线，则，且，解得或．
（16）由于点是直线上一点，设点C，∴,,
，∴时，的最小值为；而时，，，．
（17）解：∵，∴
同理，则；
一般结论为
证明：∵，∴，
而
∴
注：也可以将结论推广为 证明类似，从略．
（18）（Ⅰ）由于，而，
则
∵，
∴，即的值不会随点的变化而变化；
（Ⅱ）由于，∴，∵ ∴（等号当且仅当与同向时成立），∴的最大值为3．
（三） 平 面 向 量
番禺区教育局教研室 严运华
A 组
（1）如果，是两个单位向量，则下列结论中正确的是 （ ）
(A) (B) (C) (D)
（2）在四边形中，若，则四边形的形状一定是 ( )
(A) 平行四边形 (B) 菱形 (C) 矩形 (D) 正方形
（3）若平行四边形的3个顶点分别是（4，2），（5，7），（3，4），则第4个顶点的坐标不可能是（ ）
(A)（12，5） (B)（-2，9） (C) （3，7） (D) （-4，-1）
（4）已知正方形的边长为1，，，， 则等于 ( )
(A) 0 (B) 3 (C) (D)
（5）已知，，且向量，不共线，若向量与向量互相垂直，则实数 的值为 ．
（6）在平行四边形ABCD中，，，O为AC与BD的交点，点M在BD上，，
则向量用，表示为 ；用，表示为 ．
（7）在长江南岸渡口处，江水以12.5km/h的速度向东流，渡船的速度为25 km/h．渡船要垂直地渡过长江，则航向为 ．
（8）三个力，，的大小相等，且它们的合力为0，则力与的夹角为 ．
（9）用向量方法证明：三角形的中位线定理．
（10）已知平面内三点、、三点在一条直线上，，，，且，求实数，的值．
B 组
（11）已知点、、不在同一条直线上，点为该平面上一点，且，则 ( )
(A) 点P在线段AB上 (B) 点P在线段AB的反向延长线上
(C) 点P在线段AB的延长线上 (D) 点P不在直线AB上
（12）已知D、E、F分别是三角形ABC的边长的边BC、CA、AB的中点，且，，，则①，②，③，④中正确的等式的个数为 ( )
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
（13）已知向量，，则向量在方向上的投影为 ．
（14）已知，，点M关于点A的对称点为S，点S关于点B的对称点为N，则向量用、表示为 ．
（15）已知向量，，若向量与的夹角为直角，则实数的值为 ；若向量与的夹角为钝角，则实数的取值范围为 ．
（16）已知，，，点为坐标原点，点是直线上一点，
求的最小值及取得最小值时的值．
（17）如图，点、是线段的三等分点，求证： （1）
一般地，如果点，，…是的等分点，请写出一个结论，使（1）为所写结论的一个特例．并证明你写的结论．
（18）已知等边三角形的边长为2，⊙的半径为1，为⊙的任意一条直径，
（Ⅰ）判断的值是否会随点的变化而变化，请说明理由；
（Ⅱ）求的最大值．
参考答案或提示：
（三）平 面 向 量
A组
（1）D （2）A （3）C （4）D （5） （6）； （7）北偏西300
（8） （9）略 （10）或
略解或提示：
由单位向量的定义即得，故选（D）．
由于，∴，即，∴线段与线段平行且相等，∴为平行四边形，选（A）．
估算：画草图知符合条件的点有三个，这三个点构成的三角形三边的中点分别为已知的三点．由
于符合条件的三点分别位于第一象限、第二象限和第三象限，则排除（B）、（D），而符合条件的点第一象限只有一个点，且位于点（5，7）的右侧，则该点的横坐标要大于5，∴排除（A），选（C）．
由于∴，∴选（D）．
向量与向量互相垂直，则（(,∴,
而, ,∴．
∵，而，∴；
∴ ．
如图，渡船速度，水流速度，船实际垂直过江的速度，
依题意，，，由于为平行四边形，则，又，∴在直角三角形中，∠=，∴航向为北偏西．
过点作向量、、，使之分别与力，，相等，由于，，
的合力为，则以、为邻边的平行四边形的对角线与的长度相等，又由于力，，的大小相等，∴，则三角形和三角形均为正三角形，∴，即任意两个力的夹角均为．
解：由于，而，
∴，
则∥，且，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边长的一半．
（10）由于O、A、B三点在一条直线上，则∥，而，
∴，又，∴
联立方程组解得或．
B组
（11）B （12）C （13） （14）2 （15）或2；
（16） （17）答案不唯一，如或 （18）（Ⅰ）（Ⅱ）．
略解或提示：
（11）由于，∴，即，∴，则点P在线段AB的反向延长线上，选（B）．
（12）∵，又，∴，即①是错误的；
由于，即②是正确的；同理，而，则，∴,即③是正确的；同理，∴；即④是正确的．选（C）．
（13）设与的夹角为，则向量在方向上的投影为．
（14）由于为中点，为中点，∴，，两式相减得，
∴，∴2．
也可直接根据中位线定理2．
（15）若与的夹角为直角，则，即,∴或2；
若向量与的夹角为钝角，则，且与不共线，则，且，解得或．
（16）由于点是直线上一点，设点C，∴,,
，∴时，的最小值为；而时，，，．
（17）解：∵，∴
同理，则；
一般结论为
证明：∵，∴，
而
∴
注：也可以将结论推广为 证明类似，从略．
（18）（Ⅰ）由于，而，
则
∵，
∴，即的值不会随点的变化而变化；
（Ⅱ）由于，∴，∵ ∴（等号当且仅当与同向时成立），∴的最大值为3．