垂径定理与第三定义
【知识框架】
1. 椭圆的垂径定理
2
, y
2
如图 已知直线 l 与椭圆 E：x2 + 2 =1(a> b> 0) 相交于 A、B 两a b
点，点 M 为线段 AB 的中点，O 为原点，且 kOM ,kAB 存在，则
2
kOM · kAB= b = e2 1.
a2
2. 椭圆的第三定义
2 y2
如图，已知直线 l 过椭圆 E：x2 + 2 =1(a> b> 0) 中心的且与椭圆a b
交于 A，B 两点，P 为椭圆上异于 A，B 的点，则
2
kPA · k bPB= 2 = e2 1.a
3. 双曲线的垂径定理
如图,已知直线 l 与双曲线 E：x
2 y2
2 2 =1(a> 0，b> 0)相交于 A、Ba b
两点，点 M 为线段 AB 的中点，O 为原点，且 kOM ,kAB 存在，则
2
kOM · k = b 2AB
a2
= e 1.
4. 双曲线的第三定义
x2 y2如图，已知直线 l 过双曲线 E： 2 2 =1(a> 0，b> 0)中心的且与a b
椭圆交于 A，B 两点，P 为双曲线上异于 A，B 的点，则
2
k · k = b = e2PA PB 2 1.a
5. 两种特殊情形
(1)P 为椭圆的切点，则 k · k = b
2
OP 切线 2 = e
2 1.
a
2
(2)P 为线段 AB 的中点（A、B 分别在双曲线的两条渐近线上），则 kOP · k = b 2AB
a2
= e 1.
【经典例题】
一、垂径定理
例 1 (HHIII)
2 y2
如图，已知椭圆 x2 + 2 =1(a> b> 0)的右焦点为 F (1, 0)，且离心a b
率为 1， ABC 的三个顶点都在椭圆上，设 ABC 三条边 AB、
2
BC，CA 的中点分别为 D，E，M，三条边所在直线的斜率分别
为 k1，k2，k3，且 k1，k2，k3 均不为 0，O 为坐标原点，若直线
OD，OE，OM 的斜率之和为 1，则 1 + 1 + 1 = .
k1 k2 k3
【简要答案】 4
3
【解答】由椭圆的垂径定理知：k · k = e2 1= 3，所以 1 = 4AB OD · k4 k 3 OD.AB
同理： 1 = 4 · k ； 1 = 4 · k ，所以 1 + 1 + 1 = 4(k + k + k )= 4 .
kBC 3
OE k 3 OM k k k OD OE OMAC 1 2 3 3 3
例 2 ( )
2 2
设直线 x y3y+m=0(m= 0) 与双曲线 x2 2 =1(a> 0，b> 0) 的两条渐近线分别交于 A，a b
B，若点 P (m√, 0) 满足 |PA|= |PB|，则双曲线的离心率为 .
5
【简要答案】
2
【解答】设线段AB的中点为M，如图，因为 |PA|= |PB|，所以 PM ⊥AB.
所以 kPM =
1 = 3，所以直线 PM 的方程为 y= 3(x m).
kAB 4m
x 3y+m=0由 可得 5M(4m, 3m)，所以 kOM = = 3 .5 5 3m 4y= 3(x m)
√ 5
5
由垂径定理得：k 2AB · kOM = e 1，所以 e= .2
例 3 ( )
2 y2
如图，已知椭圆 x2 + 2 =1(a> b> 0) 内有一点 M(1, 2)，过 Ma b
的两条直线 l1, l2 分别与椭圆交于 A,C 和 B,D 两点，且满足
# # # #
MN =λMC，BM =λMD，（其中，λ> 0 且 λ= 1），若 λ 变化
时，AB 的斜率总为 1，则椭圆的离心率为
2
( )
√ √ √
A. 1 B. 5 1 C. 2 D. 3
2 2 2 2
【简要答案】 D
第 2 页 共 7 页
【解答】由题意可知 AM = B M ，所以 AB//CD.分别取 AB,CD 的中点MC M D kOE · k 2AB = e 1
E,F，连结 OE,OF . kOF · kCD = e
2 1 ，得 kOE = kOF，所以
AB//CD
O,E, F 三点共线. 由易证 EAM ∽ FCM，∠EMA=∠FMC，
所以 E,M√, F 三点共线.所以 k
2
OE = kOM . 于是 kOM · kAB = e 1，
3
解得 e= .
2
练 3.1 ( )
已知椭圆 C：x
2 y2
+ =1，存在一直线 l : y=4x+m，椭圆 C 上有不同的两点关于直线 l 对
4 3
称，则 m 的取值范√围为√ .
( 2 13 2 13【简要答案】 , ).
13 13
【解答】设 A,B 是椭圆上关于直线 l对称的不同的两点，弦 AB 的中点为M(x0, y0)，椭圆的离
心率为 e= 1，由垂径定理 得 kAB · k
3
OM = . 所以 kOM =3，即 y0 =3x0. 又因为 M 在直线 l2 43x0 =4x0 +m, √ √2 2 13 2 13
上，且在椭圆内部，所以 .可得 m +3m2 < 1.解得
. 4 3
二、第三定义
例 4 ( )
x2 y2已知椭圆 + =1 的左右顶点分别为 A，B，点 P 为椭圆上不同于 A,B 两点的动点，若
8 6
直线 PA 斜率的取值范围是 [1, 2]，则直线 PB 斜率的取值范围是 ( )
A. [ 2, 1] B. [ 3 , 3] C. [ 1, 1] D. [ 3 , 3]
2 4 2 4 8
【简要答案】 D
2
【解答】由 k b 3 3 1PA · kPB = 2 = ，得 kPB = · . 所以 k
3 3
PB ∈ [ , ]，故选 D.
a 4 4 kPA 4 8
例 5 ( )
2 y2
已知双曲线 x2 2 =1(a> 0，b> 0) 的一条渐近线为 x 2y=0，A，B 是双曲线上关于原a b
点对称的两点，M 是双曲线上异于 A，B 的动点，直线 MA，MB 的斜率分别是 k1，k2，若
1 k1 2，则 k2 的取值范围为 ( )
A. [1 , 1] B. [1 , 1] C. [ 1 , 1] D. [ 1 , 1]
8 4 4 2 4 8 2 4
【简要答案】 A
第 3 页 共 7 页
2
【解答】由 k · k = b = 1，得 k = 11 2 2 2 . 所以 k2 ∈ [
1 , 1]，故选 A.
a 4 4k1 8 4
练 5.1 ( )
x2 y2已知双曲线 2 2 =1(a> 0，b> 0)，M，N 是双曲线上关于原点对称的两点，P 是双曲线a b
上的动点，直线 PM，PN 的斜率分别是 k1，k2(k1 · k2 =0)，若 |k1|+ |k2| 的最小值为 2，则
双曲线的离心率为 ( )
√ √ √
A. B. 5 32 C. D. 3
2 3 2
【简要答案】 A.
√ √ √ √
【解答】由 k · k == e21 2 1，得 |k1|+ |k | 2 k 2 22 1 · k2 =2 e 1，所以 2 e 1=2，即 e= 2，
故选 A.
例 6 ( )
x2 y2已知椭圆 2 + 2 =1(a> b> 0) 的左焦点为 F , 右顶点为 A，若椭圆上存在一点 P 使得a b
PF ⊥PA，则椭圆的离心率的取值范围是 .
【简要答案】 (1 , 1)
2 2kPA · kPB = b2 k 2 x + a
【解答】设 P (x0, y a0)，椭圆的左顶点为 B，由 可得 PF = b ，即 0k 2 =PB a x· 0 + ckPA kPF = 1
b2 a(b
2 ca)
2，所以 x0 = 2 2 ca< c2. 则 2e2 + e 1> 0，所以 e∈ (1 , 1).
a c 2
例 7 ( )
已知双曲线 x
2 2
2
y
=1(a> 0，b> 0) 的左右顶点分别为 A，B，圆 P：x2 +(y a)2 =2a2 与
a b2
双曲线在第一象限的交点为 M，记直线 MA，MB 的斜率分别为 m，n，且 n m=3，则双
曲线的离心率为 .
√
【简要答案】 3.
k k
【解答】因为 ∠AMB= 1∠APB=45 ，由 tan∠AMB= MB MA ，得 n m =1，又因
2 √ 1+ kMBkMA 1+mn
为 n m=3，nm= e2 1=2，所以 e= 3.
练 7.1 ( )
x2 y2点 M，N 是椭圆 + =1 的顶点，过原点的直线交椭圆与 P，A 两点，其中 P 在第一
4 2
象限，过 P 作 x 轴的垂线，垂足为 C，连接 AC，并延长交椭圆于点 B，设直线 PA 的斜率
为 k.
求证：对任意 k > 0，PA⊥PB.
第 4 页 共 7 页
【简要答案】详见解析.
【解答】设 P (x1, y1)，A( x1, y1)，C(x1, 0)，由垂径定理 kAB · kPB = 1，所以 k 12 PB = =2kAB
1 = x1 = 1 . 所以 k · kPB = 1，故 PA⊥PB.2kAC y1 k
第 5 页 共 7 页
【课后练习】
1. ( )
x2 y2双曲线 2 2 =1(a> 0，b> 0) 的左右顶点分别为 A1，A2，P 为双曲线上任一点，若直线a b
PA1，PA2 的斜率之积为 4，则双曲线的离心率为 ( ).
√ √
A. 5 B. 5 C. 2 D. 5
2
【简要答案】 B.
√
【解答】由第三定义可知 kPA1 · kPA2 = e2 1=4，所以 e= 5.
2. ( )
2 y2
已知 A x1，A2 为椭圆 + =1 的短轴端点，点 M 在椭圆上运动，且点 M 不与 A18 9 1
，A2 重
⊥ ⊥ S合，点 N 满足 NA1 MA1，NA2 MA2，则 MA1A2 = ( ).S NA1A2
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
2
【简要答案】 A
【解答】由第三定义可知 k 1MA1 · kMA2 = ，设 kMA1 = k，因为 NA1 ⊥MA2 1，NA2 ⊥MA2，所
以 k = 1 ，k 1 12kMA2 2k NA1 = ，kk NA2 =2k 联立 MA1 与 MA2，解得 x1 = 2 . 联立 NA1 与2k +1
S x
NA2，解得 x =
6k . MA1A21 2 = |
1 |=2. 故选 A.
2k +1 S NA1A2 x2
3. ( )
x2 y2已知椭圆 E： 2 + 2 =1(a> b> 0) 的右焦点为 F (3, 0)，过点 F 的直线交 E 于 A，B 两点，a b
若 AB 的中点坐标为 (1, 1), 则椭圆的离心率为 ( )
2
√ √ √
A. 3 B. 13 C. 14 D. 15
4 4 4 4
【简要答案】 C
1 0 1 0 √
14
【解答】设直线 AB 的中点为 2M，则 kMF · kOM = ×
2
= e2 1，所以 e= ，故1 3 1 0 4
选 C.
4. ( )
2 2
已知双曲线 x2
y
2 =1(a> 0，b> 0)，过 x轴上点 P 的直线 l与双曲线的右支交于M，N 两点a b
（M 在第一象限），直线MO交双曲线的左支于点Q，连结QN，若 ∠MPO=60 ,∠MNQ=30 ，
则该双曲线的离心率为
第 6 页 共 7 页
( )
√ √
A. 2 B. 3 C. 2 D. 4
【简要答案】 A
【解答】设弦MN 的中点为 R，连结 OR，则 ∠MRO=∠MNQ=30 ，注意到 ∠MPO=6, 0 ，
可得 ∠POR=30 ，即直线 OR 的倾斜角为 150 ，又因为弦 MN 所在直线的倾斜角为 120 ，
√
于是 k 2MN · kOR = e 1，从而 e= 2，故选 A.
5. ( )
2 y2
过原点 O 的直线 l 与椭圆 x2 + 2 =1(a> b> 0) 交于 M,N 两点，P 是椭圆上异于 M,N 的a b
任一点，若直线 PM,PN 的斜率之积为 1，则椭圆的离心率为 ( )
3
√ √
A. 2 B. 6 C. 3 D. 1
3 3 3 2
【简要答案】 B.
【解答】 √
2 6
由 k b 1 2PM · kPN = 2 = = e 1，得 e= ，故选 B.a 3 3
6. ( )
x2 y2已知椭圆 2 + 2 =1(a> b> 0) 的左右顶点分别为 A，B，直线 l 过点 B 且与 x 轴垂直，点a b
P 是椭圆上异于 A，B 的动点，直线 AP 与直线 l 交于点 M，若 OM ⊥PB，则椭圆的离心
率为 . √
2
【简要答案】
2
2
【解答】因为 k · k = e2PA PB 1，所以 k = e 1PB . 又因为 OM ⊥ kPB，所以 k PAk OM = 2PA √ e
.
1
k a 2
联立 lAP 与 lOM，可得 2K a+
AP
AP 2 =0，解得 e= .e 1 2
第 7 页 共 7 页垂径定理与第三定义
【知识框架】
1. 椭圆的垂径定理
2
, y
2
如图 已知直线 l 与椭圆 E：x2 + 2 =1(a> b> 0) 相交于 A、B 两a b
点，点 M 为线段 AB 的中点，O 为原点，且 kOM ,kAB 存在，则
2
kOM · kAB= b = e2 1.
a2
2. 椭圆的第三定义
2 y2
如图，已知直线 l 过椭圆 E：x2 + 2 =1(a> b> 0) 中心的且与椭圆a b
交于 A，B 两点，P 为椭圆上异于 A，B 的点，则
2
kPA · k bPB= 2 = e2 1.a
3. 双曲线的垂径定理
如图,已知直线 l 与双曲线 E：x
2 y2
2 2 =1(a> 0，b> 0)相交于 A、Ba b
两点，点 M 为线段 AB 的中点，O 为原点，且 kOM ,kAB 存在，则
2
kOM · k = b 2AB
a2
= e 1.
4. 双曲线的第三定义
x2 y2如图，已知直线 l 过双曲线 E： 2 2 =1(a> 0，b> 0)中心的且与a b
椭圆交于 A，B 两点，P 为双曲线上异于 A，B 的点，则
2
k · k = b = e2PA PB 2 1.a
5. 两种特殊情形
(1)P 为椭圆的切点，则 k · k = b
2
OP 切线 2 = e
2 1.
a
2
(2)P 为线段 AB 的中点（A、B 分别在双曲线的两条渐近线上），则 kOP · k = b 2AB
a2
= e 1.
【经典例题】
一、垂径定理
例 1 (HHIII)
x2 y2如图，已知椭圆 2 + 2 =1(a> b> 0)的右焦点为 F (1, 0)，且离心a b
率为 1， ABC 的三个顶点都在椭圆上，设 ABC 三条边 AB、
2
BC，CA 的中点分别为 D，E，M，三条边所在直线的斜率分别
为 k1，k2，k3，且 k1，k2，k3 均不为 0，O 为坐标原点，若直线
OD，OE，OM 的斜率之和为 1，则 1 + 1 + 1 = .
k1 k2 k3
例 2 ( )
2 y2
设直线 x 3y+m=0(m =0) 与双曲线 x2 2 =1(a> 0，b> 0) 的两条渐近线分别交于 A，a b
B，若点 P (m, 0) 满足 |PA|= |PB|，则双曲线的离心率为 .
例 3 ( )
如图，已知椭圆 x
2 y2
2 + 2 =1(a> b> 0) 内有一点 M(1, 2)，过 Ma b
的两条直线 l1, l2 分别与椭圆交于 A,C 和 B,D 两点，且满足
# # # #
MN =λMC，BM =λMD，（其中，λ> 0 且 λ =1），若 λ 变化
时，AB 的斜率总为 1，则椭圆的离心率为
2
( )
√ √ √
A. 1 B. 5 1 C. 2 D. 3
2 2 2 2
练 3.1 ( )
x2 y2已知椭圆 C： + =1，存在一直线 l : y=4x+m，椭圆 C 上有不同的两点关于直线 l 对
4 3
称，则 m 的取值范围为 .
二、第三定义
例 4 ( )
2 y2
已知椭圆 x + =1 的左右顶点分别为 A，B，点 P 为椭圆上不同于 A,B 两点的动点，若
8 6
直线 PA 斜率的取值范围是 [1, 2]，则直线 PB 斜率的取值范围是 ( )
A. [ 2, 1] B. [ 3 , 3] C. [ 1, 1] D. [ 3 , 3]
2 4 2 4 8
第 2 页 共 5 页
例 5 ( )
x2 y2已知双曲线 2 2 =1(a> 0，b> 0) 的一条渐近线为 x 2y=0，A，B 是双曲线上关于原a b
点对称的两点，M 是双曲线上异于 A，B 的动点，直线 MA，MB 的斜率分别是 k1，k2，若
1 k1 2，则 k2 的取值范围为 ( )
A. [1 , 1] B. [1 , 1] C. [ 1 , 1] D. [ 1 , 1]
8 4 4 2 4 8 2 4
练 5.1 ( )
已知双曲线 x
2
y
2
2 2 =1(a> 0，b> 0)，M，N 是双曲线上关于原点对称的两点，P 是双曲线a b
上的动点，直线 PM，PN 的斜率分别是 k1，k2(k1 · k2 =0)，若 |k1|+ |k2| 的最小值为 2，则
双曲线的离心率为 ( )
√ √ √
A. B. 52 C. 3 D. 3
2 3 2
例 6 ( )
已知椭圆 x
2 y2
2 + 2 =1(a> b> 0) 的左焦点为 F , 右顶点为 A，若椭圆上存在一点 P 使得a b
PF ⊥PA，则椭圆的离心率的取值范围是 .
例 7 ( )
x2 y2已知双曲线 2 2 =1(a> 0，b> 0) 的左右顶点分别为 A，B，圆 P：x2 +(y a)2 =2a2 与a b
双曲线在第一象限的交点为 M，记直线 MA，MB 的斜率分别为 m，n，且 n m=3，则双
曲线的离心率为 .
练 7.1 ( )
2 y2
点 M，N 是椭圆 x + =1 的顶点，过原点的直线交椭圆与 P，A 两点，其中 P 在第一
4 2
象限，过 P 作 x 轴的垂线，垂足为 C，连接 AC，并延长交椭圆于点 B，设直线 PA 的斜率
为 k.
求证：对任意 k > 0，PA⊥PB.
第 3 页 共 5 页
【课后练习】
1. ( )
x2 y2双曲线 2 2 =1(a> 0，b> 0) 的左右顶点分别为 A1，A2，P 为双曲线上任一点，若直线a b
PA1，PA2 的斜率之积为 4，则双曲线的离心率为 ( ).
√ √
A. B. C. D. 55 5 2
2
2. ( )
2 y2
已知 A1，A2 为椭圆
x + =1 的短轴端点，点 M 在椭圆上运动，且点 M 不与 A1，A18 9 2
重
S
合，点 N 满足 NA1 ⊥MA1，NA MA1A22 ⊥MA2，则 = ( ).S NA1A2
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
2
3. ( )
2 y2
已知椭圆 E：x2 + 2 =1(a> b> 0) 的右焦点为 F (3, 0)，过点 F 的直线交 E 于 A，B 两点，a b
若 AB 的中点坐标为 (1, 1), 则椭圆的离心率为 ( )
2
√ √ √
A. 3 B. 13 C. 14 D. 15
4 4 4 4
4. ( )
2 y2
已知双曲线 x2 2 =1(a> 0，b> 0)，过 x轴上点 P 的直线 l与双曲线的右支交于M，N 两点a b
（M 在第一象限），直线MO交双曲线的左支于点Q，连结QN，若 ∠MPO=60 ,∠MNQ=30 ，
则该双曲线的离心率为
( )
√ √
A. 2 B. 3 C. 2 D. 4
5. ( )
2 y2
过原点 O 的直线 l 与椭圆 x2 + 2 =1(a> b> 0) 交于 M,N 两点，P 是椭圆上异于 M,N 的a b
任一点，若直线 PM,PN 的斜率之积为 1，则椭圆的离心率为 ( )
3
√ √
A. 2 B. 6 C. 3 D. 1
3 3 3 2
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6. ( )
2 y2
已知椭圆 x2 + 2 =1(a> b> 0) 的左右顶点分别为 A，B，直线 l 过点 B 且与 x 轴垂直，点a b
P 是椭圆上异于 A，B 的动点，直线 AP 与直线 l 交于点 M，若 OM ⊥PB，则椭圆的离心
率为 .
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