黑龙江省哈尔滨市第三十二中学校2023-2024学年高二上学期11月期中考试数学试题（含答案）

2023-2024学年度上学期高二数学期中考试试卷
(考试范围：选择性必修一前三章；考试时间：90分钟，试卷满分：100分)
一、选择题：本题共14小题，每小题4分，共56分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．在三棱柱中，为中点，若，，，则下列向量中与相等的是（ ）
A． B．
C． D．
2．椭圆：的焦点在轴上，其离心率为，则
A．椭圆的短轴长为 B．椭圆的长轴长为4
C．椭圆的焦距为4 D．
3．双曲线的渐近线方程是（ ）
A．y=4x B． C．y=±2x D．
4.已知直线y＝kx﹣2与圆（x﹣1）2+y2＝1相交，则实数k的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
5.已知直线，，则过和的交点且与直线垂直的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．若椭圆：的一个焦点坐标为，则的长轴长为（ ）
A． B．2 C． D．
7.圆与圆的位置关系为（ ）
A．内切 B．相切 C．相交 D．外离
8.已知直线l：mx+y+1＝0，A（1，0），B（3，1），则下列结论正确的是（　　）
A．直线l恒过定点（0，1）
B．当m＝1时，直线l的倾斜角为
C．当m＝0时，直线l的斜率不存在
D．当m＝2时，直线l与直线AB不垂直
9.抛物线的准线方程是（ ）
A． B． C． D．
10.抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，其上的点到焦点的距离为4，则抛物线方程为（ ）
A． B． C． D．
11.圆和圆的交点为A，B，则有（ ）
A．公共弦AB所在直线的方程为
B．公共弦AB所在直线的方程为
C．公共弦AB的长为
D．P为圆上一动点，则P到直线AB距离的最大值不是
12.若方程所表示的曲线为，则下面四个命题中正确的是（ ）
A．若为椭圆，则 B．若为双曲线，则或
C．曲线不可能是圆 D．若为椭圆，且长轴在轴上，则
13.设双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为．是上一点，且．若△的面积为，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
14.已知双曲线的渐近线方程为，则的离心率（ ）
A．3 B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 把答案填在题中的横线上.
15.直线被圆截得的弦长为　 　．
16．当点A在曲线上运动时，连接A与定点，则AB的中点P的轨迹方程为　 　．
17.过椭圆的右焦点作椭圆长轴的垂线，交椭圆于A，B两点，为椭圆的左焦点，若为正三角形，则该椭圆的离心率为　 　．
18.直线过抛物线的焦点，且与交于两点，则　 　．
三、解答题：本大题共2小题，共28分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算
步骤.
19.如图，直三棱柱中，，，，点是的中点．
（1）求证∶平面；
（2）求与平面所成角的正弦值及直线到面的距离。
20.已知椭圆的短轴长为，焦点坐标分别为和.
(1)求椭圆的标准方程. (2)直线与椭圆交于两点，若线段的中点，求直线的方程.（3)与椭圆相交于C、D两点并求出弦长CD
1A 2B 3C 4D 5D 6D 7C 8B 9A 10C 11B 12B 13A 14B
15.2
16．
17.
18.8
19.(1)在直三棱柱中，连接A1C交AC1于点N，连接MN，如图，
则点N是线段A1C中点，而M是线段A1B1中点，从而有MN//B1C，又平面，平面，
所以平面；
(2)依题意，平面ABC，又，则以点C为原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，
则，
，
令为平面的法向量，则，令，得，
设直线与平面所成角为，则，
所以与平面所成角的正弦值是；
由(1)知，平面，则直线到平面的距离等于点B1到平面的距离d，
因此，，所以直线到平面的距离是.
20.(1)由题意可设椭圆方程为：，
则，解得：，椭圆的标准方程为：.
(2)设，，则，
两式作差得：，
直线斜率，
又中点为，，，，
直线方程为：，即.
（3）弦长CD=
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