江阴市四校2023-2024学年高二上学期11月期中联考
数学
考生注意：客观题请用2B铅笔填涂在答题卡上，主观题用黑色的水笔书写在答题卷上。
一．单项选择题：（本题包括8小题，每小题5分，共40分）
1. 已知直线的方程为，则直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2.已知向量，若，则实数的值为（ ）
A. 8 B. 7 C. D. 14
3.若圆与圆有3条公切线，则（ ）
A. 3 B. 3 C. 3或3 D. 5 （题4图）
4. 国家体育场（又名鸟巢）将再次承办奥运会开幕式．在手工课上，张老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为40cm，短轴长为20cm，小椭圆的短轴长为12cm，则小椭圆的长轴长为（ ）cm
A. 12 B. 24 C. 10 D.
5．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A. B. C． D．
6.若直线y＝-x＋b与曲线恰有一个公共点，则b的取值范围是( )
A． B． C． D．
7. 设F是椭圆上的右焦点，是椭圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（ ）
A． B．3 C． D．
8. 长方体中，，，上底面的中心为，当点在线段上从移动到时，点在平面上的射影的轨迹长度为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：（本题包括4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有错选的得0分）．
9．下列说法错误的是（ ）
A．过点且在两坐标轴上截距相等的直线l方程为
B．直线在y轴上的截距为3
C．若直线l的一个方向向量是，则直线l的斜率为
D．过两点，的直线的方程都可以表示为
下面四个结论正确的是（ ）
A．若，，三点不共线，面外任一点，有，则，，，四点共面
B．有两个不同的平面，的法向量分别为，，且，，则∥
C．已知向量，，若，则为钝角
D．已知为平面的一个法向量，为直线的一个方向向量，若，则与所成角为
11．已知点为圆(为圆心)上的动点，点为直线上的动点，则下列说法正确的是( )
A．若直线平分圆的周长，则
B．点到直线的最大距离为5
C．若圆上至少有三个点到直线的距离为，则
D．若，过点作圆的两条切线，切点为，，当最小时，则直线的方程为
12．如图，在直三棱柱中，是直角三角形，且，，为的中点，点是棱上的动点，点是线段上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．三棱柱的外接球的表面积是
B．异面直线与所成角的余弦值是
C．当点是线段的中点时，三棱锥的体积是
D．的最小值是2
填空题：（本题包含4小题，每小题5分，共20分）．
13．已知，若，则 ．
14．已知圆:过点的直线被圆截得的弦长为4，则直线的方程为 . .
15．已知椭圆，若圆心在坐标原点，直径为的圆与该椭圆有四个交点，则称该椭圆为“圆椭圆”，请写出一个以(±3，0)为焦点的“圆椭圆”方程 ．
16． 经过椭圆的左焦点作倾斜角为60°的直线，交椭圆于，两点，若，则椭圆的离心率为 ．
解答题：（本大题包含6大题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）．
（本小题满分10分）
已知 的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为．
(1)求顶点的坐标. （2）求直线的方程.
（本小题满分12分）
已知椭圆：的左、右焦点分别为、，是椭圆上一动点，的最大面积为，.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆交于、B两点，、为椭圆上两点，且，求的最大值.
（本小题满分12分）
如图，在矩形和中，，，，，，，记.
将用，，表示出来；
当时求与夹角的余弦值；
(2)是否存在使得平面？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.
（本小题满分12分）
已知圆C：，直线l：．
（1）若直线l被圆C截得的弦为AB，求弦AB长度的最小值；
（2）已知点P是圆C上任意一点，在直线上是否存在两个定点M，N，使得？若存在，分别求出点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．
（本小题满分12分）
如图，在三棱锥中，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，，，为中点，为内的动点（含边界）.
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)若平面，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围.
22．（本小题满分12分）
已知椭圆，过点且与x轴平行的直线与椭圆恰有一个公共点，过点且与y轴平行的直线被椭圆截得的线段长为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设过点的动直线与椭圆交于，两点，为y轴上的一点，设直线和的斜率分别为和，若为定值，求点的坐标．江阴市四校2023-2024学年高二上学期11月期中联考
答案
单选
D 2.B 3.C 4.B 5.D 6.C 7.D 8.A
多选
9.ABC 10.AD 11.ACD 12.BC
填空题：
2 ．
14． x=3或3x+4y-9=0 . .
15． （答案不唯一） ．
16． ．
解答题：
17.⑴ 边上的高所在直线方程为
,且，……………2分
的顶点，直线方程;,即
与联立，,解得：，顶点的坐标为…………… 5分
⑵所在直线方程为，设点
是中点，，
在所在直线方程为上
,解得：,…………… 8分
的方程为：,即…………… 10分
18.解：（1）设椭圆的半焦距为，，，
的最大面积为，，
，....................................................2分
，
椭圆的方程为；................................4分
（2）由题知，设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得：，
∴，得，......................6分
，，.................................................8分
∴，
设，，
在上单调递增，在单调递减，
∴当时，，
故..............................................................12分
19.解：（1）因为，，，
记，所以，且，，
由空间向量的线性运算法则，可得
...........................................................................2分
（2）当时，
..............................................................................6分
（3）假设存在使得平面，故，，
由（1）知，,
可得.................................................8分
由，得............................................10分
化简得，解得，满足条件.
故存在，使得平面.................................................................................12分
解：（1）因为直线l：，即，可知直线l过定点....1分
且，即定点在圆C内，直线l与圆C相交，
又因为圆C：，即，则圆心，半径，
如图，易得．..................................................5分
（2）满足题意的定点M，N存在，证明如下：
设，，，
因为，等式两边平方得．
又因为，整理得．........................8分
所以，解得或，
所以满足题意的定点为，或，．.....................12分
（本小题满分12分）
（1）证明：因为平面平面，平面平面，，平面，
所以平面............................................................................................................3分
（2）在三棱锥中，连接，
因为为中点，是以为斜边的等腰直角三角形，则，
由（1）知，平面，所以以为原点，分别以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示，
由题意知，，又，则，
则，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
则，
取，则，，则，
设平面的法向量为，
则，
取，则，，则，............................................................................5分
设平面与平面夹角为，
则，
即平面与平面夹角的余弦值为.................................................................................6分
（3）如（2）建系及图可知，平面的法向量为，平面的法向量为，，
设，则，，
因为平面，面，
所以，解得，
所以，
又因为平面，
所以是平面的一个法向量，
设直线与平面所成角为，
则，..................................8分
又为内的动点（含边界），
所以，解得，
所以（），............................................................................9分
令，则，（） ，
所以=
=
因为
所以直线PH与平面ABC所成角的正弦值的取值范围为......................................12分
22．（本小题满分12分）
解：（1）由题意可得b＝1，且，可得，由题意可得，
可得，所以椭圆的方程为：；.....................................................................2分
（2）设，显然直线的斜率不为0，
设直线的方程为：，设，，
联立，整理可得：，
，即，
，，..............................................................6分
由题意可得
..............................................................................................8分
=
＝，因为其值为定值，所以时，定值为－8，
所以..........................................................................................................................12分
