北京市第一七一中学2023-2024学年高二上学期期中调研数学试题（PDF版无答案）

北京市2023—2024 学年度第一学期
高二年级数学科目 期中调研试题
(时长：120 分钟 总分值：150 分 )
第一部分（选择题 共 40分）
一、填空题（每小题 4 分，共 40 分）
2 2
1. 圆 x y 2x 4y 3 0的圆心为（ ）．
A. (1, 2) B. ( 1, 2) C. (2, 4) D. ( 2,4)
2. 若直线 l1 : x y 1 0与 l2 : x ay 1 0垂直，则实数 a=（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 1
2
3. x若椭圆 y2 1上一点 P到椭圆一个焦点的距离为 6，则 P到另一个焦点的距离为（ ）
25
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

4. 已知空间向量m (3,1,3),n ( 1, , 1)，且m / /n，则实数 （ ）
1 1
A. B. 3 C. D. 6
3 3
5. 已知直线 ax y 2 a 0在两坐标轴上的截距相等，则实数a （ ）
A. 1 B. 1 C. 2或 1 D. 2或 1
6. 直线 y x b与曲线 x 4 y2 有且仅有一个公共点，则实数 b的取值范围为（ ）
A. 2 2,2 2 B. 2,2 2 2
C. 2,2 2 2 2 D. 2,2 2 2
7. 已知四面体 A BCD的所有棱长都等于 2，E是棱 AB的中点，F是棱 CD靠近 C的四等分点，

则 EF AC等于（ ）
1 5 5
A. B. 12 C. D.2 2 2
1
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8. 直线 l经过点 A(1，2)，在 x轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是（ ）

A. 1
1 1
， B. ， ∪(1，＋∞)
5 2
1 + 1 C. (－∞，－1)∪ ， D. (－∞，－1)∪ ， 5 2
9. 直线 l1 : ax y b 0与 l2 :bx y a 0（其中 a 0，b 0， ≠b），在同一坐标系中的图
象是下图中的（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中，M ，N 分别是棱 AB，BB1的中点，点 P在对角线CA1
上运动.当△PMN 的面积取得最小值时，点 P的位置是（ ）
A. 线段CA1的三等分点，且靠近点 A1
B. 线段CA1的中点
C. 线段CA1的三等分点，且靠近点C
D. 线段CA1的四等分点，且靠近点C
第二部分（非选择题 共 110分）
二、填空题（每小题 5 分，共 25 分）
11. 直线 x 1的倾斜角为___________.
12. 直线3x 2y a 0和直线3x 2y 1 0的位置关系是________.

13. 已知 i, j,k为空间两两垂直的单位向量，且 a 3i 2 j k ,b i j 2k , 则数量积

a b =_________________.
14. 若直线 x y m 0与圆 x2 y2 2相离，则m的取值范围是__________．
2
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15. 在平面直角坐标系 xOy中，将直线 l沿 x轴正方向平移 3个单位长度，沿 y轴正方向平移 5个
单位长度，得到直线 l1 .再将直线 l1沿 x轴正方向平移 1个单位长度，沿 y轴负方向平移 2个单位
长度，又与直线 l重合.若直线 l与直线 l1关于点（2，3）对称，则直线 l的方程是________________.
三、解答题（本大题共 6 小题，满分 85 分）
16. （本小题 13分）如图，在三棱柱 ABC - A1B1C1中， AA1 平面 ABC, AA1 AC BC 2，
ACB 90 ,D,E分别是 A1B1,CC1的中点.
（1）求直线 BC1与平面 A1BE 所成角的正弦值；
（2）求点C到平面 A1BE 的距离.
17.（本小题 13分） 已知圆 C经过坐标原点 O和点（4，0），且圆心在 x轴上
（1）求圆 C的方程；
（2）已知直线 l：3x 4y 11 0与圆 C相交于 A、B两点，求所得弦长 AB 的值．
18．（本小题 14分）设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为 27,9,18,先采用分层抽样
的方法从这三个协会中抽取 6名运动员参加比赛．
(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数;
(2)将抽取的 6名运动员进行编号,编号分别为 A1, A2 , A3 , A4 , A5 , A6 ,从这 6名运动员中随机抽
取 2名参加双打比赛．
(Ⅰ)用所给编号列出所有可能的结果;
(Ⅱ)设 A为事件“编号为 A5 , A6 的两名运动员至少有一人被抽到”,求事件 A发生的概率．
3
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19. （本小题 15分）如图所示，四边形 ABCD是边长为 3的正方形，DE⊥平面 ABCD，AF //DE，
DE 3AF ，BE与平面 ABCD所成角为 60°.
（1）求证： AC 平面 BDE；
（2）求二面角 F BE D的余弦值；
（3）设点 M是线段 BD上的一个动点，试确定点 M的位置，使得 AM //平面 BEF，并证明你的
结论.
2 2
20（. 本小题 15分）已知椭C :
x y
圆2 2 2 1(a b 0)的左 右焦点分别为 F1,F2，其中右焦点坐标为 1,0 ,a b
1
该椭圆的离心率为 2 .
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知点P 1, t 为椭圆上一点，过点 F2的直线 l与椭圆交于异于点 P的 A,B两点，若△PAB的面积
9 2
是 ，求直线 l的方程.
7
4
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21.（本小题 15分）“曼哈顿几何”也叫“出租车几何”,是在 19 世纪由赫尔曼·闵可夫斯基提出
来的.图 1 是抽象的城市路网，其中线段 AB 是欧式空间中定义的两点最短距离，但在城市路网
中，我们只能走有路的地方，不能“穿墙”而过，所以在“曼哈顿几何”中，这两点最短距离用 d (A,B)
表示，又称“曼哈顿距离”，即 d(A,B) AB CB ，因此
“曼哈顿两点间距离公式”：若 A x1, y1 ,B x2 , y2 ,则 d (A,B) x2 x1 y2 y1
图 1
(1) ①点 A 3,5 ,B 2, 1 ,求 d (A,B)的值.
②求圆心在原点，半径为 1 的“曼哈顿单位圆”方程.
(2) 已知点 B(1,0)，直线 2x y 2 0，求 B点到直线的“曼哈顿距离”最小值;
(3)设三维空间 4个点为 Ai xi , yi , zi ，i 1，2，3，4，且 xi , yi , zi 0,1 .设其中所有两点“曼
哈顿距离”的平均值即 d ,求d 最大值，并列举最值成立时的一组坐标.
5
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草 稿 纸
6
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