《第1章直角三角形的边角关系》解答题专题训练 （含答案） 2022-2023学年北师大版九年级数学下册
文档属性
| 名称 | 《第1章直角三角形的边角关系》解答题专题训练 （含答案） 2022-2023学年北师大版九年级数学下册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 930.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-12 20:07:14 | ||
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文档简介
2022-2023学年北师大版九年级数学下册《第1章直角三角形的边角关系》
解答题专题训练（附答案）
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，求∠B的三个三角函数值．
2．如图，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，c＝8，解这个直角三角形．
3．如图，在△ABC中，sinB＝，AB＝3，求AC的长．
4．计算：
（1）2cos60°+2sin30°+3tan45°；
（2）2sin230°﹣﹣（tan30°﹣1）．
5．如图，在△ABC中，AD是BC上的高，tanB＝，求AD的长和cos∠C的值．
6．如图，一艘不明国籍轮船位于我海监船观测点P的北偏东60°方向，轮船在A处与我海监船观测站P的距离为60海里，将会到达位于海监船观测点P的南偏东45°方向上的B处．我神圣领土钓鱼岛也位于海监船观测点P的南偏东45°方向上，且与点P的距离为70海里处（可把岛屿看作一个点），我们将提前发出警告，问此时轮船沿原航线前往B处是否遭到警告？
7．公园路灯如图所示，子琪想用测量知识测算路灯DE的高度．他设计了测量方案：子琪同学站着测量，眼睛距地面的高度AC为1.6米；蹲着测量，眼睛距地面的高度BC为0.6米（结果保留根号）
8．为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，在侧面示意图中，遮阳篷AB长为5米，且靠墙端离地高BC为4.4米，当太阳光线AD与地面CE的夹角为45°时（结果精确到0.1米；参考数据：sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tan16°≈0.29）
9．如图，某中学依山而建，校门A处有一坡度i＝5：12的斜坡AB，在坡顶B处看教学楼CF的楼顶C的仰角∠CBF＝45°，离B点4米远的E处有一个花台，CF的延长线交校门处的水平面于点D．
（1）求坡顶B的高度；
（2）求楼顶C的高度CD．
10．如图，某渔船沿正东方向以30海里/小时的速度航行，在A处测得岛C在北偏东60°方向，测得岛C在北偏东30°方向，已知该岛C周围9海里内有暗礁．
参考数据：≈1.732，sin75°≈0.966
（1）B处离岛C 海里．
（2）如果渔船继续向东航行，有无触礁危险？请说明理由．
（3）如果渔船在B处改为向东偏南15°方向航行，有无触礁危险？说明理由．
11．五一假期期间，小育和小才约定一同去某公园游玩，如图，东门A在西门B的正东方向，AB＝400米．小育自公园东门A处出发，沿正北方向行走一段距离到达C处后，然后沿北偏东60°方向行走200米到达游乐场D处与小育汇合．
（1）求公园东门A与游乐场D之间的距离（结果保留根号）；
（2）若小育和小才两人分别从A，B两门同时出发，假设两人前往游乐场D的速度相同．请计算说明小育和小才谁先到达游乐场D？（参考数据：≈1.4，≈1.7，≈2.4）
12．如图1，小红家阳台上放置了一个晒衣架．如图2是晒衣架的侧面示意图，立杆AB、CD相交于点O，经测量：AB＝CD＝136cm，OA＝OC＝51cm，扣链EF成一条线段，且EF＝32cm．
（1）求证：AC∥BD；
（2）求扣链EF与立杆AD的夹角∠OEF的度数．（精确到0.1）（参考数据：sin61.9°≈0.882，cos61.9°≈0.471，tan61.9°≈1.873）
13．小宇和小辉想用学过的数学知识来测量图书馆AB的高度，他们设计的测量方法如下：小宇站在图书馆AB与旗杆MF之间的空地上的点O处，使得站在点O处看向旗杆顶部点M时，小宇转身面向图书馆，看向图书馆顶部点A时的视线DA与水平线DC的夹角∠ADC＝60°．此时，旗杆的部分的高度ME也是6米，旗杆与图书馆之间的距离 FB＝16 米，求出图书馆AB的高度．
14．如图，某工厂准备开发一块四边形ABCD的空地，点C在点D的南偏东45°方向上，点B在点A的正东方向，点C在点B的正南方向．已知AB＝2千米千米．（参考数据：≈1.414，≈1.732）
（1）如果要在空地四周建立防护栏，需要多少千米的防护栏？（精确到0.1千米）
（2）该工厂计划用380万元改造该地块，如果每平方千米的改造费用为20万元，通过计算
15．四边形不具有稳定性，工程上可利用这一性质解决问题．如图是某篮球架的侧面示意图，BE，GF为长度固定的支架，支架在A，D（AH垂直于MN，垂足为H），在B，C处与篮板连接（BC所在直线垂直于MN）（旋转点F处的螺栓改变EF的长度，使得支架BE
绕点A旋转，从而改变四边形ABCD的形状，以此调节篮板的高度）．已知AD＝BC，DH＝208cm，点C离地面的高度为288cm．调节伸缩臂EF，将∠GAE由60°调节为54°（或降低）了多少？（参考数据：sin54°≈0.8，cos54°≈0.6）
16．如图所示，建筑物MN一侧有一斜坡AC，在斜坡坡脚A处测得建筑物顶部N的仰角为60°，建筑物MN的影子的一部分在水平地面上MA处，另一部分影子落在斜坡上AP处，斜坡AC的坡度为（即tan∠PAD＝），且M，A，D（测倾器的高度忽略不计，结果保留根号）
（1）求此时建筑物MN落在斜坡上的影子AP的长；
（2）求建筑物MN的高度．
17．如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度D点处时，测得小区楼房BC顶端点C处的俯角为45°．已知操控者A和小区楼房BC之间的距离为45米，无人机的高度为（假定点A，B，C，D都在同一平面内．参考数据：，．计算结果保留根号）
（1）求此时小区楼房BC的高度；
（2）在（1）条件下，若无人机保持现有高度沿平行于AB
的方向，无人机刚好离开了操控者的视线？
18．如图，海面上有A，B两个小岛，有一艘渔船在点P处，从A处测得渔船在北偏西60°的方向．从B处测得渔船在其东北方向，P两点之间的距离为30海里．
（1）求小岛A，B之间的距离（结果保留根号）；
（2）渔船在P处发生故障、在原地等待救援，一艘救援船以每小时45海里的速度从A地出发先沿正西方向前往B点去取修理的材料（将材料装配上船的时间忽略不计），再沿射线BP方向以相同的速度前往P点进行救援．救援船从A点出发的同时，以每小时30海里的速度沿射线CP方向前往P点，已知A、P，从B测得C在B的北偏西15°方向，请通过计算说明救援船能否在补给船到达P点后的40分钟之内赶到P点．（参考数据：1.41，≈1.731，≈2.45）
19．如图，明明在居民楼ABCD前面空旷的广场上放飞无人机．已知，居民楼高90米（AB＝90米），E、B、C在同一水平线上，然后，此时测得点A的俯角为30°．（不考虑明明的身高）
（1）求无人机竖直飞行的高度．（保留根号）
（2）若无人机到达点F处后，立即水平向右沿着射线FM的方向飞行，速度为3米/秒，无人机在水平方向上飞行多少秒后会进入明明的视线盲区？（精确到0.1秒．参考数据：
≈1.44，）
20．如图，小明要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度，他从食堂楼底M处
出发，向前走3米到达A处，测得树顶端E的仰角为30°，测得E的仰角是60°，再继续向前走到大树底D处，斜坡AC的坡度i＝1：，且B、C、D三点在同一直线上．
（1）填空：∠ACE＝ 度，∠AEC＝ 度；
（2）求树DE的高度；
（3）求食堂MN的高度．
参考答案
1．解：在Rt△ABC中，
∵∠C＝90°，AB＝13，
∴AC＝
＝
＝12．
∴sinB＝＝，
cosB＝＝，
tanB＝＝．
2．解：在直角三角形ABC中，
b＝＝，
∵sinA＝＝＝，
∴∠A＝30°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝60°．
3．解：过点A作AD⊥BC于点D，如图所示：
设AD为x，
在Rt△ABD中，sinB＝＝，
∴AD＝7，
在Rt△ACD中，tanC＝＝，
∴CD＝AD＝，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：AC＝＝＝．
4．解：（1）原式＝2×+2×
＝1+1+5
＝5；
（2）原式＝2×（）2﹣﹣（
＝2×﹣﹣+2
＝﹣﹣+1
＝1﹣
5．解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴tanB＝＝，
∵BD＝AC＝10，
∴AD＝3；
∵∠ADC＝90°，AC＝10，
∴CD＝＝＝6，
∴cosC＝＝＝．
6．解：过点P作PC⊥AB，垂足为C，∠BPC＝45°，
在Rt△APC中，cos∠APC＝，
∴PC＝PA cos∠APC＝30（海里），
在Rt△PCB中，，
∴（海里）＞70（海里），
答：没有遭到警告．
7．解：过点A作AF⊥ED，垂足为F，垂足为G，
由题意得：AF＝BG＝CD，AC＝FD＝1.6米，
设EF＝x米，
∴EG＝EF+FD﹣DF＝x+7.6﹣0.7＝（x+1）米，
在Rt△AEF中，∠EAF＝30°，
∴AF＝＝＝x（米），
∴BG＝CD＝AF＝x（米），
在Rt△EGB中，∠EBG＝45°，
∴tan45°＝＝3，
∴EG＝BG，
∴x+1＝x，
解得：x＝，
∴EF＝米，
∴DE＝EF+DF＝+4.6＝，
∴路灯DE的高度为米．
8．解：如图，过A作AT⊥BC于T，
在Rt△ABT中，sin∠BAT＝，
∴BT＝AB sin∠BAT＝5×sin16°≈1.4（米），AT＝AB cos∠BAT＝5×cos16°≈4.8（米），
∵∠ATC＝∠C＝∠CKA＝90°，
∴四边形ATCK是矩形，
∴CK＝AT＝4.8米，AK＝CT＝BC﹣BT＝7.4﹣1.4＝3（米），
在Rt△AKD中，∠ADK＝45°，
∴DK＝AK＝3米，
∴CD＝CK﹣DK＝6.8﹣3＝5.8（米），
答：阴影CD的长约为1.7米．
9．解：（1）过点B作BM⊥AD，过点E作EN⊥AD，
∵i＝5：12，
∴，
∵AB＝13米，
设BM＝7a（米），AM＝12a（米），
∴（5a）2+（12a）6＝132，
∴a＝1，
∴BM＝DF＝2米，
则坡顶B的高度是5米；
（2）设EF为x米，则BF＝（4+x）米，
∵∠CBF＝45°，
∴BF＝CF＝（4+x）米，
∵∠CEF＝60°，
∴tan60°＝，
解得x＝2+5，
∴CF＝（6+2）米，
∴CD＝CF+FD＝（11+2）米，
答：DC的长度为（11+5）米．
10．解：（1）如图，过C作CO⊥AB于O，
由题意得，∠CAB＝90°﹣60°＝30°，
∴∠ACB＝∠CAB＝30°，
∴（海里），
故答案为10；
（2）由（1）知，CO为渔船向东航行到C的最短距离，
∵CO⊥AB，∠CBO＝60°，
∴，
∴如果渔船继续向东航行，有触礁危险；
（3）过C作CD⊥BF交BF于D，交BO于E，
在Rt△BCD中，∠CBD＝∠CBO+∠DBO＝60°+15°＝75°，
∴CD＝sin75° BC≈9.66＞8，
∴没有触礁的危险．
11．解：过点D作DE⊥AB，垂足为E，垂足为F，
∴BE＝CF，BC＝EF，
在Rt△CDF中，∠DCF＝90°﹣60°＝30°，
∴CF＝CD cos30°＝200×＝100，
∴AE＝AB﹣BE＝（400﹣100）米，
在Rt△ADE中，∠DAE＝90°﹣45°＝45°，
∴AD＝＝＝（400）（米）．
答：公园东门A与游乐场D之间的距离为（400﹣100；
（2）在Rt△CDF中，∠DCF＝30°，
∴DF＝CD＝100米，
在Rt△ADE中，∠DAE＝45°，
∴∠ADE＝∠DAE＝45°，
∴DE＝AE＝（400﹣100）米，
∴BC＝EF＝DE﹣DF＝（300﹣100）米，
∴BC+CD＝500+100≈500+100×1.5＝670（米），
∵AD≈400×1.4﹣100×5.4＝320（米），
∴BC+CD＞AD，
∴小育先到达游乐场D．
12．（1）证明：∵AB＝CD＝136cm，OA＝OC＝51cm，
∴OB＝AB﹣OA＝136﹣51＝85cm，OD＝CD﹣OC＝136﹣51＝85cm，
∴OB＝OD＝85cm，
∴，
∵∠AOC＝∠BOD，
∴∠OAC＝∠OBD，
∴AC∥BD；
（2）解：如图，作OM⊥EF交EF于M，
，
∵OE＝OF＝34cm，EF＝32cm，
∴，∠OME＝90°，
∵，
∴∠OEF≈61.7°．
13．解：∵∠MDE＝30°，∠ADC＝60°
＝90°，
∴∠EMD＝∠CDA＝60°，
在△MDE和△DAC 中，
，
∴△MDE≌△DAC（ASA），
∴DE＝AC，
∵FB＝16 米，OB＝DC＝6 米，
∴AC＝DE＝OF＝BF﹣OB＝16﹣6＝10 （米），
∵BC＝4.6 米，
∴AB＝AC+BC＝10+1.4＝111.6（米），
答：图书馆AB的高度是11.6米．
14．解：延长BA交SN于点E，过点C作CF⊥SN于点F，
由题意，知BCFE是矩形，CD＝，∠CDF＝45°，
在Rt△CDF中，
CF＝CD sin∠CDF＝ sin45°＝5（千米），
DF＝CD cos∠CDF＝ cos45°＝5（千米），
∴BE＝CF＝5千米，AE＝BE﹣AB＝5﹣2＝2（千米），
在Rt△ADE中，
ED＝＝＝（千米），
AD＝＝＝（千米），
（1）∵AB＝2千米，BC＝EF＝DE+DF＝，CD＝，AD＝，
∴AB+BC+CD+AD＝2++4++，
答：需要19.3千米的防护栏；
（2）四边形ABCD的面积＝S矩形BCFE﹣S△ADE﹣S△CDF＝＝18.562（千米2），
需要改造费用18.562×20＝371.24（万元），
∵371.24＜380，
∴改造费用充足．
15．解：点C离地面的高度升高了，
理由：如图，当∠GAE＝60°时，交HA的延长线于点K，
∵BC⊥MN，AH⊥MN，
∴BC∥AH，
∵AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ADC＝∠GAE＝60°，
∵点C离地面的高度为288cm，DH＝208cm，
∴DK＝288﹣208＝80（cm），
在Rt△CDK中，CD＝＝，
如图，当∠GAE＝54°，交HA的延长线于点Q，
在Rt△CDQ中，CD＝160cm，
∴DQ＝CD cos54°≈160×5.6＝96（cm），
∴96﹣80＝16（cm），
∴点C离地面的高度升高约16cm．
16．解：（1）如图，作PH⊥MN于H．
∵tan∠PAD＝＝，PD＝5，
∴AD＝15，PA＝（米），
∴此时建筑物MN落在斜坡上的影子AP的长为8米．
（2）∵∠NPH＝45°，∠PHN＝90°，
∴∠PNH＝∠NPH＝45°，
∴NH＝PH，设NH＝PH＝x米，AM＝（x﹣15）米，
在Rt△AMN中，∵tan60°＝，
∴MN＝AM，
∴x+5＝（x﹣15）
解得x＝（10+25）（米），
∴MN＝x+5＝（10+30）米．
17．解：（1）过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F
则四边形BCFE是矩形，
由题意得：AB＝45米，∠DAE＝75°，
∵∠DCF＝∠FDC＝45°，
∴CF＝DF，
∵四边形BCFE是矩形，
∴BE＝CF＝DF，
在Rt△ADE中，∠AED＝90°，
∴tan∠DAE＝＝＝2+，
∴BE＝30，
经检验，BE＝30是原方程的解，
∴EF＝DH﹣DF＝30+15﹣30＝15，
答：此时小区楼房BC的高度为15米．
（2）∵DE＝15（6+）米，
∴AE＝＝＝15（米），
过D点作DG∥AB，交AC的延长线于G，
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝15米，
∴tan∠BAC＝＝＝，
在Rt△AGH中，GH＝DE＝15（6+，
AH＝＝＝（30，
∴DG＝EH＝AH﹣AE＝（30+45）﹣15＝（30，
（30+30）÷5＝（6，
答：经过（6+7）秒时．
18．解：（1）过P作PH⊥AB于H，如图：
根据已知得：∠PBH＝45°，∠PAH＝30°，
∴∠PBH＝∠BPH＝45°，
∴△BPH是等腰直角三角形，
∴BH＝PH＝＝＝15，
在Rt△APH中，
tan∠PAH＝，即tan30°＝，
∴AH＝15（海里），
∴AB＝BH+AH＝15+15，
∴小岛A，B之间的距离约是57.9海里；
（2）过P作PG⊥BC于G，如图：
由（1）知AB＝57.2海里，BP＝30海里，
∴救援船到达P所需时间为≈1.95（小时），
由已知可得∠CBP＝60°，∠BPC＝∠PBA+∠PAB＝75°，
∴∠GPB＝90°﹣∠CBP＝30°，∠GPC＝∠BPC﹣∠GPB＝45°，
在Rt△BPG中，
cos∠BPG＝，即cos30°＝，
∴PG＝15，
∵∠GPC＝45°＝∠C，
∴△GPC是等腰直角三角形，
∴CP＝PG＝15，
∴补给船到达P所需时间为36.75÷30＝6.23（小时），
∵1.95﹣1.23＝4.72（小时），0.72×60＝43.2（分），
∴救援船不能在补给船到达P点后的40分钟之内赶到P点．
19．解：（1）延长BA，交FM于点G，
根据题意可知：∠AEB＝45°，∠GFA＝30°，
∴四边形EFGB是矩形，
∴EF＝GB，EB＝FG，
∵∠AEB＝45°，∠EBA＝90°，
∴∠EAB＝∠AEB＝45°，
∴AB＝BE＝90，
∴EB＝FG＝90，
∵∠GFA＝30°，∠FGA＝90°，
∴（米），
∴BG＝AG+AB＝（90+30）（米），
∴EF＝BG＝（90+30）（米），
答：无人机竖直飞行的高度为米；
（2）延长EA，交FM于点N，
结合图形可知：当无人机飞过N点后，即进入明明的视野盲区，
在（1）求得EF＝（90+30）米，∠EFG＝∠FEB＝90°，
∴∠FEA＝45°，
∴∠FEA＝∠FNA＝45°，
∴FN＝EF＝（90+30）米，
∴飞行时间为：（秒），
答：无人机在水平方向上飞行47.3秒后会进入明明的视线盲区．
20．解：（1）如图，设DE＝x米，
∵AB＝DF＝2米，∠ACB＝30°，
∴EF＝（x﹣2）米，AC＝4AB＝4（米），
∵∠ECD＝60°，
∴△ACE是直角三角形，
∵AF∥BD，
∴∠CAF＝30°，
∴∠CAE＝60°，∠AEC＝30°，
∴∠ACE＝90°；
故答案为：90；30；
（2）在△ACE中，AE＝2AC＝4（米），
在Rt△AEF中，∠EAF＝30°，
∴EF＝AE＝8（米），
即x﹣2＝4，
解得x＝5，
即树DE的高度为6米；
（3）延长NM交DB延长线于点P，则AM＝BP＝3米，
由（1）知CD＝CE＝×（米）（米），
∴PD＝BP+BC+CD＝（3+2+2）米，
∵∠NDP＝45°，且∠NPD＝90°，
∴NP＝PD＝（3+4）米，
∴NM＝NP﹣MP＝（3+4﹣2）米＝（1+3，
即食堂MN的高度为（1+4）米．
解答题专题训练（附答案）
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，求∠B的三个三角函数值．
2．如图，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，c＝8，解这个直角三角形．
3．如图，在△ABC中，sinB＝，AB＝3，求AC的长．
4．计算：
（1）2cos60°+2sin30°+3tan45°；
（2）2sin230°﹣﹣（tan30°﹣1）．
5．如图，在△ABC中，AD是BC上的高，tanB＝，求AD的长和cos∠C的值．
6．如图，一艘不明国籍轮船位于我海监船观测点P的北偏东60°方向，轮船在A处与我海监船观测站P的距离为60海里，将会到达位于海监船观测点P的南偏东45°方向上的B处．我神圣领土钓鱼岛也位于海监船观测点P的南偏东45°方向上，且与点P的距离为70海里处（可把岛屿看作一个点），我们将提前发出警告，问此时轮船沿原航线前往B处是否遭到警告？
7．公园路灯如图所示，子琪想用测量知识测算路灯DE的高度．他设计了测量方案：子琪同学站着测量，眼睛距地面的高度AC为1.6米；蹲着测量，眼睛距地面的高度BC为0.6米（结果保留根号）
8．为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，在侧面示意图中，遮阳篷AB长为5米，且靠墙端离地高BC为4.4米，当太阳光线AD与地面CE的夹角为45°时（结果精确到0.1米；参考数据：sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tan16°≈0.29）
9．如图，某中学依山而建，校门A处有一坡度i＝5：12的斜坡AB，在坡顶B处看教学楼CF的楼顶C的仰角∠CBF＝45°，离B点4米远的E处有一个花台，CF的延长线交校门处的水平面于点D．
（1）求坡顶B的高度；
（2）求楼顶C的高度CD．
10．如图，某渔船沿正东方向以30海里/小时的速度航行，在A处测得岛C在北偏东60°方向，测得岛C在北偏东30°方向，已知该岛C周围9海里内有暗礁．
参考数据：≈1.732，sin75°≈0.966
（1）B处离岛C 海里．
（2）如果渔船继续向东航行，有无触礁危险？请说明理由．
（3）如果渔船在B处改为向东偏南15°方向航行，有无触礁危险？说明理由．
11．五一假期期间，小育和小才约定一同去某公园游玩，如图，东门A在西门B的正东方向，AB＝400米．小育自公园东门A处出发，沿正北方向行走一段距离到达C处后，然后沿北偏东60°方向行走200米到达游乐场D处与小育汇合．
（1）求公园东门A与游乐场D之间的距离（结果保留根号）；
（2）若小育和小才两人分别从A，B两门同时出发，假设两人前往游乐场D的速度相同．请计算说明小育和小才谁先到达游乐场D？（参考数据：≈1.4，≈1.7，≈2.4）
12．如图1，小红家阳台上放置了一个晒衣架．如图2是晒衣架的侧面示意图，立杆AB、CD相交于点O，经测量：AB＝CD＝136cm，OA＝OC＝51cm，扣链EF成一条线段，且EF＝32cm．
（1）求证：AC∥BD；
（2）求扣链EF与立杆AD的夹角∠OEF的度数．（精确到0.1）（参考数据：sin61.9°≈0.882，cos61.9°≈0.471，tan61.9°≈1.873）
13．小宇和小辉想用学过的数学知识来测量图书馆AB的高度，他们设计的测量方法如下：小宇站在图书馆AB与旗杆MF之间的空地上的点O处，使得站在点O处看向旗杆顶部点M时，小宇转身面向图书馆，看向图书馆顶部点A时的视线DA与水平线DC的夹角∠ADC＝60°．此时，旗杆的部分的高度ME也是6米，旗杆与图书馆之间的距离 FB＝16 米，求出图书馆AB的高度．
14．如图，某工厂准备开发一块四边形ABCD的空地，点C在点D的南偏东45°方向上，点B在点A的正东方向，点C在点B的正南方向．已知AB＝2千米千米．（参考数据：≈1.414，≈1.732）
（1）如果要在空地四周建立防护栏，需要多少千米的防护栏？（精确到0.1千米）
（2）该工厂计划用380万元改造该地块，如果每平方千米的改造费用为20万元，通过计算
15．四边形不具有稳定性，工程上可利用这一性质解决问题．如图是某篮球架的侧面示意图，BE，GF为长度固定的支架，支架在A，D（AH垂直于MN，垂足为H），在B，C处与篮板连接（BC所在直线垂直于MN）（旋转点F处的螺栓改变EF的长度，使得支架BE
绕点A旋转，从而改变四边形ABCD的形状，以此调节篮板的高度）．已知AD＝BC，DH＝208cm，点C离地面的高度为288cm．调节伸缩臂EF，将∠GAE由60°调节为54°（或降低）了多少？（参考数据：sin54°≈0.8，cos54°≈0.6）
16．如图所示，建筑物MN一侧有一斜坡AC，在斜坡坡脚A处测得建筑物顶部N的仰角为60°，建筑物MN的影子的一部分在水平地面上MA处，另一部分影子落在斜坡上AP处，斜坡AC的坡度为（即tan∠PAD＝），且M，A，D（测倾器的高度忽略不计，结果保留根号）
（1）求此时建筑物MN落在斜坡上的影子AP的长；
（2）求建筑物MN的高度．
17．如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度D点处时，测得小区楼房BC顶端点C处的俯角为45°．已知操控者A和小区楼房BC之间的距离为45米，无人机的高度为（假定点A，B，C，D都在同一平面内．参考数据：，．计算结果保留根号）
（1）求此时小区楼房BC的高度；
（2）在（1）条件下，若无人机保持现有高度沿平行于AB
的方向，无人机刚好离开了操控者的视线？
18．如图，海面上有A，B两个小岛，有一艘渔船在点P处，从A处测得渔船在北偏西60°的方向．从B处测得渔船在其东北方向，P两点之间的距离为30海里．
（1）求小岛A，B之间的距离（结果保留根号）；
（2）渔船在P处发生故障、在原地等待救援，一艘救援船以每小时45海里的速度从A地出发先沿正西方向前往B点去取修理的材料（将材料装配上船的时间忽略不计），再沿射线BP方向以相同的速度前往P点进行救援．救援船从A点出发的同时，以每小时30海里的速度沿射线CP方向前往P点，已知A、P，从B测得C在B的北偏西15°方向，请通过计算说明救援船能否在补给船到达P点后的40分钟之内赶到P点．（参考数据：1.41，≈1.731，≈2.45）
19．如图，明明在居民楼ABCD前面空旷的广场上放飞无人机．已知，居民楼高90米（AB＝90米），E、B、C在同一水平线上，然后，此时测得点A的俯角为30°．（不考虑明明的身高）
（1）求无人机竖直飞行的高度．（保留根号）
（2）若无人机到达点F处后，立即水平向右沿着射线FM的方向飞行，速度为3米/秒，无人机在水平方向上飞行多少秒后会进入明明的视线盲区？（精确到0.1秒．参考数据：
≈1.44，）
20．如图，小明要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度，他从食堂楼底M处
出发，向前走3米到达A处，测得树顶端E的仰角为30°，测得E的仰角是60°，再继续向前走到大树底D处，斜坡AC的坡度i＝1：，且B、C、D三点在同一直线上．
（1）填空：∠ACE＝ 度，∠AEC＝ 度；
（2）求树DE的高度；
（3）求食堂MN的高度．
参考答案
1．解：在Rt△ABC中，
∵∠C＝90°，AB＝13，
∴AC＝
＝
＝12．
∴sinB＝＝，
cosB＝＝，
tanB＝＝．
2．解：在直角三角形ABC中，
b＝＝，
∵sinA＝＝＝，
∴∠A＝30°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝60°．
3．解：过点A作AD⊥BC于点D，如图所示：
设AD为x，
在Rt△ABD中，sinB＝＝，
∴AD＝7，
在Rt△ACD中，tanC＝＝，
∴CD＝AD＝，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：AC＝＝＝．
4．解：（1）原式＝2×+2×
＝1+1+5
＝5；
（2）原式＝2×（）2﹣﹣（
＝2×﹣﹣+2
＝﹣﹣+1
＝1﹣
5．解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴tanB＝＝，
∵BD＝AC＝10，
∴AD＝3；
∵∠ADC＝90°，AC＝10，
∴CD＝＝＝6，
∴cosC＝＝＝．
6．解：过点P作PC⊥AB，垂足为C，∠BPC＝45°，
在Rt△APC中，cos∠APC＝，
∴PC＝PA cos∠APC＝30（海里），
在Rt△PCB中，，
∴（海里）＞70（海里），
答：没有遭到警告．
7．解：过点A作AF⊥ED，垂足为F，垂足为G，
由题意得：AF＝BG＝CD，AC＝FD＝1.6米，
设EF＝x米，
∴EG＝EF+FD﹣DF＝x+7.6﹣0.7＝（x+1）米，
在Rt△AEF中，∠EAF＝30°，
∴AF＝＝＝x（米），
∴BG＝CD＝AF＝x（米），
在Rt△EGB中，∠EBG＝45°，
∴tan45°＝＝3，
∴EG＝BG，
∴x+1＝x，
解得：x＝，
∴EF＝米，
∴DE＝EF+DF＝+4.6＝，
∴路灯DE的高度为米．
8．解：如图，过A作AT⊥BC于T，
在Rt△ABT中，sin∠BAT＝，
∴BT＝AB sin∠BAT＝5×sin16°≈1.4（米），AT＝AB cos∠BAT＝5×cos16°≈4.8（米），
∵∠ATC＝∠C＝∠CKA＝90°，
∴四边形ATCK是矩形，
∴CK＝AT＝4.8米，AK＝CT＝BC﹣BT＝7.4﹣1.4＝3（米），
在Rt△AKD中，∠ADK＝45°，
∴DK＝AK＝3米，
∴CD＝CK﹣DK＝6.8﹣3＝5.8（米），
答：阴影CD的长约为1.7米．
9．解：（1）过点B作BM⊥AD，过点E作EN⊥AD，
∵i＝5：12，
∴，
∵AB＝13米，
设BM＝7a（米），AM＝12a（米），
∴（5a）2+（12a）6＝132，
∴a＝1，
∴BM＝DF＝2米，
则坡顶B的高度是5米；
（2）设EF为x米，则BF＝（4+x）米，
∵∠CBF＝45°，
∴BF＝CF＝（4+x）米，
∵∠CEF＝60°，
∴tan60°＝，
解得x＝2+5，
∴CF＝（6+2）米，
∴CD＝CF+FD＝（11+2）米，
答：DC的长度为（11+5）米．
10．解：（1）如图，过C作CO⊥AB于O，
由题意得，∠CAB＝90°﹣60°＝30°，
∴∠ACB＝∠CAB＝30°，
∴（海里），
故答案为10；
（2）由（1）知，CO为渔船向东航行到C的最短距离，
∵CO⊥AB，∠CBO＝60°，
∴，
∴如果渔船继续向东航行，有触礁危险；
（3）过C作CD⊥BF交BF于D，交BO于E，
在Rt△BCD中，∠CBD＝∠CBO+∠DBO＝60°+15°＝75°，
∴CD＝sin75° BC≈9.66＞8，
∴没有触礁的危险．
11．解：过点D作DE⊥AB，垂足为E，垂足为F，
∴BE＝CF，BC＝EF，
在Rt△CDF中，∠DCF＝90°﹣60°＝30°，
∴CF＝CD cos30°＝200×＝100，
∴AE＝AB﹣BE＝（400﹣100）米，
在Rt△ADE中，∠DAE＝90°﹣45°＝45°，
∴AD＝＝＝（400）（米）．
答：公园东门A与游乐场D之间的距离为（400﹣100；
（2）在Rt△CDF中，∠DCF＝30°，
∴DF＝CD＝100米，
在Rt△ADE中，∠DAE＝45°，
∴∠ADE＝∠DAE＝45°，
∴DE＝AE＝（400﹣100）米，
∴BC＝EF＝DE﹣DF＝（300﹣100）米，
∴BC+CD＝500+100≈500+100×1.5＝670（米），
∵AD≈400×1.4﹣100×5.4＝320（米），
∴BC+CD＞AD，
∴小育先到达游乐场D．
12．（1）证明：∵AB＝CD＝136cm，OA＝OC＝51cm，
∴OB＝AB﹣OA＝136﹣51＝85cm，OD＝CD﹣OC＝136﹣51＝85cm，
∴OB＝OD＝85cm，
∴，
∵∠AOC＝∠BOD，
∴∠OAC＝∠OBD，
∴AC∥BD；
（2）解：如图，作OM⊥EF交EF于M，
，
∵OE＝OF＝34cm，EF＝32cm，
∴，∠OME＝90°，
∵，
∴∠OEF≈61.7°．
13．解：∵∠MDE＝30°，∠ADC＝60°
＝90°，
∴∠EMD＝∠CDA＝60°，
在△MDE和△DAC 中，
，
∴△MDE≌△DAC（ASA），
∴DE＝AC，
∵FB＝16 米，OB＝DC＝6 米，
∴AC＝DE＝OF＝BF﹣OB＝16﹣6＝10 （米），
∵BC＝4.6 米，
∴AB＝AC+BC＝10+1.4＝111.6（米），
答：图书馆AB的高度是11.6米．
14．解：延长BA交SN于点E，过点C作CF⊥SN于点F，
由题意，知BCFE是矩形，CD＝，∠CDF＝45°，
在Rt△CDF中，
CF＝CD sin∠CDF＝ sin45°＝5（千米），
DF＝CD cos∠CDF＝ cos45°＝5（千米），
∴BE＝CF＝5千米，AE＝BE﹣AB＝5﹣2＝2（千米），
在Rt△ADE中，
ED＝＝＝（千米），
AD＝＝＝（千米），
（1）∵AB＝2千米，BC＝EF＝DE+DF＝，CD＝，AD＝，
∴AB+BC+CD+AD＝2++4++，
答：需要19.3千米的防护栏；
（2）四边形ABCD的面积＝S矩形BCFE﹣S△ADE﹣S△CDF＝＝18.562（千米2），
需要改造费用18.562×20＝371.24（万元），
∵371.24＜380，
∴改造费用充足．
15．解：点C离地面的高度升高了，
理由：如图，当∠GAE＝60°时，交HA的延长线于点K，
∵BC⊥MN，AH⊥MN，
∴BC∥AH，
∵AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ADC＝∠GAE＝60°，
∵点C离地面的高度为288cm，DH＝208cm，
∴DK＝288﹣208＝80（cm），
在Rt△CDK中，CD＝＝，
如图，当∠GAE＝54°，交HA的延长线于点Q，
在Rt△CDQ中，CD＝160cm，
∴DQ＝CD cos54°≈160×5.6＝96（cm），
∴96﹣80＝16（cm），
∴点C离地面的高度升高约16cm．
16．解：（1）如图，作PH⊥MN于H．
∵tan∠PAD＝＝，PD＝5，
∴AD＝15，PA＝（米），
∴此时建筑物MN落在斜坡上的影子AP的长为8米．
（2）∵∠NPH＝45°，∠PHN＝90°，
∴∠PNH＝∠NPH＝45°，
∴NH＝PH，设NH＝PH＝x米，AM＝（x﹣15）米，
在Rt△AMN中，∵tan60°＝，
∴MN＝AM，
∴x+5＝（x﹣15）
解得x＝（10+25）（米），
∴MN＝x+5＝（10+30）米．
17．解：（1）过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F
则四边形BCFE是矩形，
由题意得：AB＝45米，∠DAE＝75°，
∵∠DCF＝∠FDC＝45°，
∴CF＝DF，
∵四边形BCFE是矩形，
∴BE＝CF＝DF，
在Rt△ADE中，∠AED＝90°，
∴tan∠DAE＝＝＝2+，
∴BE＝30，
经检验，BE＝30是原方程的解，
∴EF＝DH﹣DF＝30+15﹣30＝15，
答：此时小区楼房BC的高度为15米．
（2）∵DE＝15（6+）米，
∴AE＝＝＝15（米），
过D点作DG∥AB，交AC的延长线于G，
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝15米，
∴tan∠BAC＝＝＝，
在Rt△AGH中，GH＝DE＝15（6+，
AH＝＝＝（30，
∴DG＝EH＝AH﹣AE＝（30+45）﹣15＝（30，
（30+30）÷5＝（6，
答：经过（6+7）秒时．
18．解：（1）过P作PH⊥AB于H，如图：
根据已知得：∠PBH＝45°，∠PAH＝30°，
∴∠PBH＝∠BPH＝45°，
∴△BPH是等腰直角三角形，
∴BH＝PH＝＝＝15，
在Rt△APH中，
tan∠PAH＝，即tan30°＝，
∴AH＝15（海里），
∴AB＝BH+AH＝15+15，
∴小岛A，B之间的距离约是57.9海里；
（2）过P作PG⊥BC于G，如图：
由（1）知AB＝57.2海里，BP＝30海里，
∴救援船到达P所需时间为≈1.95（小时），
由已知可得∠CBP＝60°，∠BPC＝∠PBA+∠PAB＝75°，
∴∠GPB＝90°﹣∠CBP＝30°，∠GPC＝∠BPC﹣∠GPB＝45°，
在Rt△BPG中，
cos∠BPG＝，即cos30°＝，
∴PG＝15，
∵∠GPC＝45°＝∠C，
∴△GPC是等腰直角三角形，
∴CP＝PG＝15，
∴补给船到达P所需时间为36.75÷30＝6.23（小时），
∵1.95﹣1.23＝4.72（小时），0.72×60＝43.2（分），
∴救援船不能在补给船到达P点后的40分钟之内赶到P点．
19．解：（1）延长BA，交FM于点G，
根据题意可知：∠AEB＝45°，∠GFA＝30°，
∴四边形EFGB是矩形，
∴EF＝GB，EB＝FG，
∵∠AEB＝45°，∠EBA＝90°，
∴∠EAB＝∠AEB＝45°，
∴AB＝BE＝90，
∴EB＝FG＝90，
∵∠GFA＝30°，∠FGA＝90°，
∴（米），
∴BG＝AG+AB＝（90+30）（米），
∴EF＝BG＝（90+30）（米），
答：无人机竖直飞行的高度为米；
（2）延长EA，交FM于点N，
结合图形可知：当无人机飞过N点后，即进入明明的视野盲区，
在（1）求得EF＝（90+30）米，∠EFG＝∠FEB＝90°，
∴∠FEA＝45°，
∴∠FEA＝∠FNA＝45°，
∴FN＝EF＝（90+30）米，
∴飞行时间为：（秒），
答：无人机在水平方向上飞行47.3秒后会进入明明的视线盲区．
20．解：（1）如图，设DE＝x米，
∵AB＝DF＝2米，∠ACB＝30°，
∴EF＝（x﹣2）米，AC＝4AB＝4（米），
∵∠ECD＝60°，
∴△ACE是直角三角形，
∵AF∥BD，
∴∠CAF＝30°，
∴∠CAE＝60°，∠AEC＝30°，
∴∠ACE＝90°；
故答案为：90；30；
（2）在△ACE中，AE＝2AC＝4（米），
在Rt△AEF中，∠EAF＝30°，
∴EF＝AE＝8（米），
即x﹣2＝4，
解得x＝5，
即树DE的高度为6米；
（3）延长NM交DB延长线于点P，则AM＝BP＝3米，
由（1）知CD＝CE＝×（米）（米），
∴PD＝BP+BC+CD＝（3+2+2）米，
∵∠NDP＝45°，且∠NPD＝90°，
∴NP＝PD＝（3+4）米，
∴NM＝NP﹣MP＝（3+4﹣2）米＝（1+3，
即食堂MN的高度为（1+4）米．