安徽省合肥市包河区2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 安徽省合肥市包河区2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-11 22:57:13 | ||
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文档简介
合肥市包河区2023-2024学年高二上学期期中考试
数学
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章、第二章.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若，，则直线不经过的象限是（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.若点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
3.已知，，，为空间中不共面的四点，且，若，，，四点共面，则函数的最小值是（ ）
A.2 B.1 C. D.
4.已知是平面内一点，是平面的法向量，若点是平面外一点，则点到平面的距离为（ ）
A. B. C. D.
5.已知点，，直线与线段有公共点，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
6.已知圆，点在圆上，点，为的中点，为坐标原点，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
7.如图，在四面体中，平面，，，为的中点，为上靠近的三等分点，则直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
8.已知圆和两点，，若圆上至少存在一点，使得，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.如图，在四棱锥中，，，，若，，则（ ）
A. B.
C. D.
10.已知直线，直线，则（ ）
A.当时，与的交点为 B.直线恒过点
C.若，则 D.存在，使
11.已知，满足，则（ ）
A.的最小值为 B.的最大值为
C.的最小值为 D.的最小值为5
12.如图，在正三棱柱中，侧棱长为3，，空间中一点满足，则（ ）
A.若，则三棱锥的体积为定值
B.若，则点的轨迹长度为3
C.若，则的最小值为
D.若，则点到的距离的最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知直线过点，且在轴上的截距是在轴上截距的2倍，则直线的方程为______.
14.已知点，，，四点共圆，则______.
15.如图，已知二面角的大小为60°，，，，，，且，，则______.
16.在中，顶点，点在直线上，点在轴上，则周长的最小值为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
已知的三个顶点是，，.
（1）求边上的高所在直线的方程；
（2）求的角平分线所在直线的方程.
18.（本小题满分12分）
已知圆.
（1）直线过点，且与圆相切，求直线的方程；
（2）设直线与圆相交于，两点，点为圆上的一动点，求的面积的最大值.
19.（本小题满分12分）
不同材质的楔形零配件广泛应用于生产生活中，例如，制作桌凳时，利用楔形木块可以防止松动，使构件更牢固.如图是从棱长为3的正方体木块中截出的一个楔形体，将正方体的上底面平均分成九个小正方形，其中，，，是中间的小正方形的顶点.
（1）求楔形体的表面积；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值.
20.（本小题满分12分）
已知圆过，两点，且圆心已在直线上.
（1）求圆的方程；
（2）设直线与圆交于，两点，在直线上是否存在定点，使得直线，的倾斜角互补？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
21.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面为等边三角形，顶点在底面上的射影在正方形外部，设点，分别为，的中点，连接，.
（1）证明：平面；
（2）若四棱锥的体积为，设点为棱上的一个动点（不含端点），求直线与平面所成角的正弦值的最大值.
22.（本小题满分12分）
已知点，，动点满足，设动点的轨迹为曲线，过曲线与轴的负半轴的交点作两条直线分别交曲线于点，（异于），且直线，的斜率之积为.
（1）求曲线的方程；
（2）证明：直线过定点.
合肥市包河区2023-2024学年高二上学期期中考试
数学
参考答案、提示及评分细则
1.A. 由得，又，，所以直线的斜率，在轴上的截距，所以直线经过二、三、四象限，不经过第一象限.故选A.
2.B 由题意得解得.故选B.
3.D 因为，，，四点共面，所以，所以，所以，所以函数的最小值为.故选D.
4.C 由题意得，故点到平面的距离.故选C.
5.C 由题意知直线过定点，易求的斜率，的斜率，直线的斜率，所以，或，即，或.故选C.
6.A 由题意知圆的方程为，设，，则所以又在圆上，所以，即，即的轨迹方程为.如图所示，当与圆相切时，取得最大值，此时，，所以的最大值为.故选A.
7.D 以为坐标原点，为轴，为轴，过垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系（如图所示），设，则，，，，所以，，，所以.设直线与所成角的大小为，则.故选D.
8.B 圆的圆心，半径为，因为圆上至少存在一点，使得，则，所以圆与圆的位置关系为相交、内切或内含，所以，又因为，所以，即.故选B.
9.BC ，故A错误；，故B正确；，故C正确；，故D错误.故选BC.
10.ABC 对于A，当时，直线，直线，由解得所以两直线的交点为，故A正确；对于B，直线，令解得即直线恒过点，故B正确；对于C：若，则，解得，故C正确；对于D，假设存在，使，则，解得或，当时，，，两直线重合，舍去，当时，直线，直线，两直线重合，舍去，所以不存在，使，故D错误.故选ABC.
11.BCD 由题意知表示以为圆心，以3为半径的圆，设点，则表示圆上的点到原点的距离的平方，点到原点的距离的最小值为，故的最小值为，故A错误；设，则，由题意知与圆有公共点，则，解得，即的最大值为，故B正确；设，即，由题意知直线与圆有公共点，所以，解得，故的最小值为，故C正确；因为，所以，易求得的最小值为2，故的最小值为5，故D正确.故选BCD.
12.ACD 若，分别作棱，的中点，，连接，则在线段上，易知平面，故点到平面的距离为定值，又的面积为定值，所以三棱锥的体积为定值，故A正确；若，分别作，的中点，，则点的轨迹为线段，易知，故B错误；若，则，，三点共线，即点在线段上，易求点到的距离为，故的最小值为，故C正确；若，则点在线段上，易证，，两两垂直，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，，，所以，，，，，所以，所以，所以点到的距离，所以当时，，故D正确.故选ACD.
13.或 设在轴上的截距为，则在轴上的截距为，若，则过原点，故的方程为，即；若，则的方程为，所以，所以，所以的方程为，即.综上所述，直线的方程为，或.
14.1 设过，，的圆的方程为，则解得所以过，，的圆的方程为，又点在此圆上，所以，即，所以.
15. 因为二面角的大小为60°，所以与的夹角为120°，又，所以，所以.
16. 设关于直线的对称点为，关于轴的对称点为，与的交点即为，与轴的交点即为.的长即为周长的最小值.设，则解得即，关于轴的对称点为，周长的最小值为.
17.解：（1）设边上的高所在直线的斜率为，直线的斜率，……1分
所以，所以，……3分
故所求直线方程为，即.……5分
（2）由题意得，，……6分
设，分别为与，同向的单位向量，则，，……8分
所以，所以的平分线所在直线的斜率为，
（或：所以，的中点为，故，
由等腰三角形的性质知，的平分线所在的直线斜率为，）
故所求直线方程为，即.……10分
18.解：（1）由题意得，圆的半径为3.……1分
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，……3分
由直线与圆相切，得，解得，所以直线的方程为.……5分
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，显然与圆相切.
综上，直线的方程为或.……6分
（2）由题意得圆心到直线的距离，……8分
所以，……10分
点到直线的距离的最大值为，
则的面积的最大值.……12分
19.解：（1）易得该楔形体的上底面为边长为1的正方形，下底面是边长为3的正方形，侧面是等腰梯形，其上底面边长为1，下底面边长为3，侧面等腰梯形的高为，所以该楔形体的表面积为.……4分
（2）以点为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示：则，，，，，
则，，，.……6分
设平面的法向量为，平面的法向量为，
则即令，则，，
所以平面的一个法向量为，同理得平面的一个法向量为.……10分
设平面与平面的夹角为，则，
所以平面与平面的夹角的余弦值为.……12分
20.解：（1）由题意得的中点的坐标为，直线的斜率为，……1分
因为，所以直线的斜率为1，所以直线的方程为，即，……2分
解方程组得故，……3分
所以圆的半径，所以圆的方程为.……4分
（2）由消去整理得.……6分
设，，则，.（*）……7分
设，则，（，分别为直线，的斜率）.
因为直线，的倾斜角互补，……9分
所以，即，即，
即，将（*）式代入得，对任意实数恒成立，故，解得，故点的坐标为.
所以在直线上存在定点满足条件. ……12分
21.（1）证明：取的中点，连接，，如图所示：
因为为的中点，所以，又因为平面，平面，所以平面.……2分
又，且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，……3分
因为，，平面，所以平面平面，
又平面，所以平面.……5分
（2）解：连接，设该四棱锥的高为，则体积为，.……7分
以点为坐标原点，分别以，所在直线为轴，轴，过点作平面的垂线，以向上的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示：
易得，，，，，
则，，，……8分
设，则，
所以，所以.
设平面的一个法向量为，
则即取，得.……10分
设直线与平面所成的角为，则
，
令，则且，
所以，
所以当，即时，取得最大值，且最大值为.……12分
22.（1）解：设，由，得，所以，…2分
两边平方并化简，得曲线的方程为.……4分
（2）证明：由（1）得，设直线、的斜率分别为，，
当不垂直于轴时，因为，联立方程得
整理得，解得（舍）或，……5分
当时，，所以，
同理得，……6分
所以的斜率.……8分
故的方程为，
所以，故过定点.……10分
当轴时，，又，所以，，
所以直线的方程为.
联立方程得解得或（舍），故.
由对称性知，所以的方程为，过点.
综上，直线过定点.……12分
数学
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章、第二章.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若，，则直线不经过的象限是（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.若点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
3.已知，，，为空间中不共面的四点，且，若，，，四点共面，则函数的最小值是（ ）
A.2 B.1 C. D.
4.已知是平面内一点，是平面的法向量，若点是平面外一点，则点到平面的距离为（ ）
A. B. C. D.
5.已知点，，直线与线段有公共点，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
6.已知圆，点在圆上，点，为的中点，为坐标原点，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
7.如图，在四面体中，平面，，，为的中点，为上靠近的三等分点，则直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
8.已知圆和两点，，若圆上至少存在一点，使得，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.如图，在四棱锥中，，，，若，，则（ ）
A. B.
C. D.
10.已知直线，直线，则（ ）
A.当时，与的交点为 B.直线恒过点
C.若，则 D.存在，使
11.已知，满足，则（ ）
A.的最小值为 B.的最大值为
C.的最小值为 D.的最小值为5
12.如图，在正三棱柱中，侧棱长为3，，空间中一点满足，则（ ）
A.若，则三棱锥的体积为定值
B.若，则点的轨迹长度为3
C.若，则的最小值为
D.若，则点到的距离的最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知直线过点，且在轴上的截距是在轴上截距的2倍，则直线的方程为______.
14.已知点，，，四点共圆，则______.
15.如图，已知二面角的大小为60°，，，，，，且，，则______.
16.在中，顶点，点在直线上，点在轴上，则周长的最小值为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
已知的三个顶点是，，.
（1）求边上的高所在直线的方程；
（2）求的角平分线所在直线的方程.
18.（本小题满分12分）
已知圆.
（1）直线过点，且与圆相切，求直线的方程；
（2）设直线与圆相交于，两点，点为圆上的一动点，求的面积的最大值.
19.（本小题满分12分）
不同材质的楔形零配件广泛应用于生产生活中，例如，制作桌凳时，利用楔形木块可以防止松动，使构件更牢固.如图是从棱长为3的正方体木块中截出的一个楔形体，将正方体的上底面平均分成九个小正方形，其中，，，是中间的小正方形的顶点.
（1）求楔形体的表面积；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值.
20.（本小题满分12分）
已知圆过，两点，且圆心已在直线上.
（1）求圆的方程；
（2）设直线与圆交于，两点，在直线上是否存在定点，使得直线，的倾斜角互补？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
21.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面为等边三角形，顶点在底面上的射影在正方形外部，设点，分别为，的中点，连接，.
（1）证明：平面；
（2）若四棱锥的体积为，设点为棱上的一个动点（不含端点），求直线与平面所成角的正弦值的最大值.
22.（本小题满分12分）
已知点，，动点满足，设动点的轨迹为曲线，过曲线与轴的负半轴的交点作两条直线分别交曲线于点，（异于），且直线，的斜率之积为.
（1）求曲线的方程；
（2）证明：直线过定点.
合肥市包河区2023-2024学年高二上学期期中考试
数学
参考答案、提示及评分细则
1.A. 由得，又，，所以直线的斜率，在轴上的截距，所以直线经过二、三、四象限，不经过第一象限.故选A.
2.B 由题意得解得.故选B.
3.D 因为，，，四点共面，所以，所以，所以，所以函数的最小值为.故选D.
4.C 由题意得，故点到平面的距离.故选C.
5.C 由题意知直线过定点，易求的斜率，的斜率，直线的斜率，所以，或，即，或.故选C.
6.A 由题意知圆的方程为，设，，则所以又在圆上，所以，即，即的轨迹方程为.如图所示，当与圆相切时，取得最大值，此时，，所以的最大值为.故选A.
7.D 以为坐标原点，为轴，为轴，过垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系（如图所示），设，则，，，，所以，，，所以.设直线与所成角的大小为，则.故选D.
8.B 圆的圆心，半径为，因为圆上至少存在一点，使得，则，所以圆与圆的位置关系为相交、内切或内含，所以，又因为，所以，即.故选B.
9.BC ，故A错误；，故B正确；，故C正确；，故D错误.故选BC.
10.ABC 对于A，当时，直线，直线，由解得所以两直线的交点为，故A正确；对于B，直线，令解得即直线恒过点，故B正确；对于C：若，则，解得，故C正确；对于D，假设存在，使，则，解得或，当时，，，两直线重合，舍去，当时，直线，直线，两直线重合，舍去，所以不存在，使，故D错误.故选ABC.
11.BCD 由题意知表示以为圆心，以3为半径的圆，设点，则表示圆上的点到原点的距离的平方，点到原点的距离的最小值为，故的最小值为，故A错误；设，则，由题意知与圆有公共点，则，解得，即的最大值为，故B正确；设，即，由题意知直线与圆有公共点，所以，解得，故的最小值为，故C正确；因为，所以，易求得的最小值为2，故的最小值为5，故D正确.故选BCD.
12.ACD 若，分别作棱，的中点，，连接，则在线段上，易知平面，故点到平面的距离为定值，又的面积为定值，所以三棱锥的体积为定值，故A正确；若，分别作，的中点，，则点的轨迹为线段，易知，故B错误；若，则，，三点共线，即点在线段上，易求点到的距离为，故的最小值为，故C正确；若，则点在线段上，易证，，两两垂直，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，，，所以，，，，，所以，所以，所以点到的距离，所以当时，，故D正确.故选ACD.
13.或 设在轴上的截距为，则在轴上的截距为，若，则过原点，故的方程为，即；若，则的方程为，所以，所以，所以的方程为，即.综上所述，直线的方程为，或.
14.1 设过，，的圆的方程为，则解得所以过，，的圆的方程为，又点在此圆上，所以，即，所以.
15. 因为二面角的大小为60°，所以与的夹角为120°，又，所以，所以.
16. 设关于直线的对称点为，关于轴的对称点为，与的交点即为，与轴的交点即为.的长即为周长的最小值.设，则解得即，关于轴的对称点为，周长的最小值为.
17.解：（1）设边上的高所在直线的斜率为，直线的斜率，……1分
所以，所以，……3分
故所求直线方程为，即.……5分
（2）由题意得，，……6分
设，分别为与，同向的单位向量，则，，……8分
所以，所以的平分线所在直线的斜率为，
（或：所以，的中点为，故，
由等腰三角形的性质知，的平分线所在的直线斜率为，）
故所求直线方程为，即.……10分
18.解：（1）由题意得，圆的半径为3.……1分
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，……3分
由直线与圆相切，得，解得，所以直线的方程为.……5分
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，显然与圆相切.
综上，直线的方程为或.……6分
（2）由题意得圆心到直线的距离，……8分
所以，……10分
点到直线的距离的最大值为，
则的面积的最大值.……12分
19.解：（1）易得该楔形体的上底面为边长为1的正方形，下底面是边长为3的正方形，侧面是等腰梯形，其上底面边长为1，下底面边长为3，侧面等腰梯形的高为，所以该楔形体的表面积为.……4分
（2）以点为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示：则，，，，，
则，，，.……6分
设平面的法向量为，平面的法向量为，
则即令，则，，
所以平面的一个法向量为，同理得平面的一个法向量为.……10分
设平面与平面的夹角为，则，
所以平面与平面的夹角的余弦值为.……12分
20.解：（1）由题意得的中点的坐标为，直线的斜率为，……1分
因为，所以直线的斜率为1，所以直线的方程为，即，……2分
解方程组得故，……3分
所以圆的半径，所以圆的方程为.……4分
（2）由消去整理得.……6分
设，，则，.（*）……7分
设，则，（，分别为直线，的斜率）.
因为直线，的倾斜角互补，……9分
所以，即，即，
即，将（*）式代入得，对任意实数恒成立，故，解得，故点的坐标为.
所以在直线上存在定点满足条件. ……12分
21.（1）证明：取的中点，连接，，如图所示：
因为为的中点，所以，又因为平面，平面，所以平面.……2分
又，且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，……3分
因为，，平面，所以平面平面，
又平面，所以平面.……5分
（2）解：连接，设该四棱锥的高为，则体积为，.……7分
以点为坐标原点，分别以，所在直线为轴，轴，过点作平面的垂线，以向上的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示：
易得，，，，，
则，，，……8分
设，则，
所以，所以.
设平面的一个法向量为，
则即取，得.……10分
设直线与平面所成的角为，则
，
令，则且，
所以，
所以当，即时，取得最大值，且最大值为.……12分
22.（1）解：设，由，得，所以，…2分
两边平方并化简，得曲线的方程为.……4分
（2）证明：由（1）得，设直线、的斜率分别为，，
当不垂直于轴时，因为，联立方程得
整理得，解得（舍）或，……5分
当时，，所以，
同理得，……6分
所以的斜率.……8分
故的方程为，
所以，故过定点.……10分
当轴时，，又，所以，，
所以直线的方程为.
联立方程得解得或（舍），故.
由对称性知，所以的方程为，过点.
综上，直线过定点.……12分
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