2023 学年第一学期嘉兴八校期中联考
高二年级数学 试题（2023 年 11 月）
考生须知：
1.本试题卷分选择题和非选择题两部分，共 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟。
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号。
3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效。
4.考试结束后，只需上交答题卷。
选择题部分
一、选择题Ⅰ：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1．直线 3x y+1 0的倾斜角是（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
2．两条平行直线 l1：3x 4y 5 0与 l2：6x 8y 5 0之间的距离是（ ）
1 3
A．0 B． C．1 D．
2 2
3．已知平面内两定点 A，B及动点P，设命题甲是： “ PA PB 是定值”，命题乙是：“点
P的轨迹是以 A，B为焦点的椭圆”，那么甲是乙的（ ）
A．充分必要条件 B．既不充分也不必要条件
C．充分不必要条件 D．必要不充分条件
4. 在空间直角坐标系O xyz中， A 1,0,0 ，B 1,2, 2 ，C 2,3, 2 ，则平面 ABC 的
一个法向量为（ ）
A． 1,-1,0 B． 1,-1,1 C． 1,0, -1 D． 0,1,1
2 2 2 2
5．已知圆C1： x 1 y 2 r
2 r 0 与圆C2 ： x 4 y 2 16外切，则 r 的
值为（ ）
A．1 B．5 C．9 D．21
6．如图，在三棱锥 O-ABC 中，点 P，Q 分别是 OA，BC 的中点，
点D为线段PQ上一点，且PD 2DQ，若记OA a，OB b，OC c，
则OD 等于（ ）
1 1 1 1 1 1
A． a b c B． a b c
6 3 3 3 3 3
1 1 1 1 1 1
C． a b c D． a b c
3 6 3 3 3 6
2 2 2 2
7．圆O1 : (x 1) (y 1) 28与O2 : x (y 4) 18的公共弦长为（ ）
试卷第 1 页，共 4 页
{#{QQABIYaQggAgAgAAAAgCQwEQCkMQkAACAKoGxAAMsAABQAFABAA=}#}
A． 2 3 B． 2 6 C．3 2 D．6 2
x2
2
y2 a
8．已知椭圆 1 a b 0 的右焦点为F c,0 ，点P,Q在直线 x 上，
a2 b2 c
2
FP FQ，O为坐标原点，若OP OQ 3OF ，则该椭圆的离心率为（ ）
2 6 2 3
A． B． C． D．
3 3 2 2
二、选择题Ⅱ：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 在每小题给出的选项中，有
多项符合题目要求. 全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分.
x2 y2
9. 已知椭圆C : 1，在下列结论中正确的是（ ）
16 4
A．长轴长为 8 B．焦距为4 3
C．焦点坐标为 30, 2 3 D．离心率为
2
10．下列利用方向向量 法向量判断线 面位置关系的结论中，正确的是（ ）
A．两条不重合直线 l1, l2的方向向量分别是a 4,6,2 ,b 2,3,1 ，则 l1∥l2
B．两个不同的平面 , 的法向量分别是u 2,2, 1 ,v 3,4,2 ，则
C．直线 l的方向向量为a 1, 1,2 ，平面 的法向量为u 6,4, 1 ，则 l
D．直线 l的方向向量a 0,3,0 ，平面 的法向量是u 0, 5,0 ，则 l∥
11. 已知圆 (x 1)2 (y 2)2 4与直线 x my m 2 0，下列选项正确的是（ ）
A．直线过定点 2,1 B．圆的圆心坐标为 1,2
C．直线与圆相交且所截最短弦长为2 2 D．直线与圆可以相切
x2 y2
12. 已知椭圆Q : 1，O是坐标原点，P是椭圆 Q 上的动点，F1, F2 是 Q 的两个
9 4
焦点（ ）
A．若△PF1F2 的面积为 S，则 S 的最大值为 9
4 2
B．若 P的坐标为 1, ，则过 P的椭圆 Q 的切线方程为 x 3 2y 9 0
3
4
C．若过 O的直线 l交 Q 于不同两点 A，B，设 PA，PB 的斜率分别为k1,k2，则k1k2
9
D．若 A，B是椭圆 Q的长轴上的两端点，P不与 A, B重合，且 AR AP 0,BR BP 0，
则 R 点的轨迹方程为9x2 4y2 81
非选择题部分
试卷第 2 页，共 4 页
{#{QQABIYaQggAgAgAAAAgCQwEQCkMQkAACAKoGxAAMsAABQAFABAA=}#}
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
圆的方程为 x213. y2 2x 6y 4 0，则该圆的半径为 ▲ ．
x2 y2
14. 已知椭圆 1的左、右焦点分别为点F 、F2，若椭圆上顶点为点B ，且 F1BF1 2
4 m
为等边三角形，则m 是 ▲ .
15. 已知空间向量a 2,3,2 ，b 1,1,2 ，则向量a 在向量b 上投影向量的坐标是
▲ .
16. 在正方体 ABCD A1B1C1D1中，动点M 在线段 A1C 上，E, F 分别为D1D，AD的中点.
若异面直线EF 与BM 所成角为 ，则 的取值范围为 ▲ .
四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本题 10 分）已知直线 l1：ax 2y 3 0，直线 l ：2x by 1 02 .其中a,b均不为
0.
a
(1)若 l1 l2，求 的值；
b
(2)若 l1∥l2 ，求a b的值.
18．（本题 12 分）已知a 3,2, 1 ，b 2,1,2 ．
(1)求 a 与b 夹角的余弦值；
(2)当 ka b a kb 时，求实数 k 的值．
19. （本题 12 分）如图，在四棱锥 S ABCD 中，ABCD是边长为 4 的正方形，SD 平
面 ABCD，E ， F 分别为 AB ， SC 的中点．
（1）证明： EF / / 平面 SAD；
（2）若 SD 8，求平面DEF 与平面EFS 所成角的余弦值．
试卷第 3 页，共 4 页
{#{QQABIYaQggAgAgAAAAgCQwEQCkMQkAACAKoGxAAMsAABQAFABAA=}#}
x2 y2
20.（本题 12 分）给定椭圆C : 1 a b 0 ，称圆心在原点 O，半径是 a2 b2
a2 b2
的圆为椭圆 C 的“准圆”．已知椭圆 C 的一个焦点为F 2,0 ，其短轴的一个端点到点 F
的距离为 3．
(1)求椭圆 C 和其“准圆”的方程；
(2)若点 A, B是椭圆 C 的“准圆”与 x 轴的两交点，P 是椭圆 C 上的一个动点，求 AP BP
的取值范围.
21.（本题 12 分）已知圆C 的圆心在直线 l：y x 上，并且经过点 A 2，1 和点B 3，2 ．
（1）求圆C 的标准方程；
（2）若直线m：x y t 0 上存在点P ，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为M，N ，
且 MPN 90 ，求实数 t 的取值范围．
22.（本题 12 分）已知点M 到直线 l：x 2 的距离和它到定点 F (1，0) 的距离之比为常数
2 ．
（1）求点M 的轨迹E 的方程；
（2）若点 P 是直线 l 上一点，过 P 作曲线 E 的两条切线分别切于点 A与点 B ，试求三
角形PAB 面积的最小值．（二次曲线 Ax2 By 2 C 0在其上一点Q x0，y0 处的切线为
Ax0x By0 y C 0）
试卷第 4 页，共 4 页
{#{QQABIYaQggAgAgAAAAgCQwEQCkMQkAACAKoGxAAMsAABQAFABAA=}#}2023 学年第一学期嘉兴八校期中联考
高二年级数学 参考答案（2023 年 11 月）
一、选择题Ⅰ（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）
1．B； 2．B； 3．D； 4．A； 5．A；
6．A； 7．D； 8．C．
二、选择题Ⅱ（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求。全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分）
9．ABD； 10．AB； 11．BC； 12．BD．
三、填空题（本大题有 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
3 3
13． 6 ； 14．3； 15． ，，3 ； 16． ， ．
2 2 6 3
16.以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，
设 DA = 2，B(2,2,0),C (0,2,0),E (0,0,1),F (1,0,0)， A1 (2,0,2)，
设CM = tCA1 = (2t, 2t,2t )(0 t 1)，则BM = BC +CM = (2t 2, 2t,2t )，
则 2 1cos = cos BM , EF = = (0 t 1) .
2 2
2 (2t 2) +8t 2 1 2
2 3 t +
3 3
1 3 1
当 t = 时，cos 取到最大值 ，此时 = ；当 t =1时，cos 取到最大值 ，此时 = .
3 2 6 2 3
所以 的取值范围为 ， . 6 3
四、解答题（本大题有 6 小题， 共 70 分）
17．（本题满分 10 分）
a 2
解：（1）∵ l ⊥ l ，∴ - - =-11 2 …………3 分
2 b
a
可得： = 1 …………5 分
b
a 2 3
（2）∵ l1∥l2 ，∴ = ， …………8 分
2 b 1
2
∴a b = 4，其中b （或a 6）. …………10 分
3
18．（本题满分 12 分）
解：（1）a b = 6+2 2 = 6 …………2 分
1
{#{QQABIYaQggAgAgAAAAgCQwEQCkMQkAACAKoGxAAMsAABQAFABAA=}#}
a = 14, b = 9 = 3 …………4 分
a b 6 14
cos a,b = = = . …………6 分
a b 14 9 7
（2）由于 (ka +b) ⊥ (a kb)
所以 (ka +b) (a kb) = 0 …………8 分
2 2
所以 ka + (1 k 2 )a b kb = 0，
14k + 6(1 k 2 ) 9k = 0,6k 2 5k 6 = 0， …………10 分
3 2
解得 k = 或 k = . …………12 分
2 3
19. （本题满分 12 分）
解：（1）证明：取 SD 中点M ，连接 AM ， MF ，
M ， F 分别为 SD ， SC 的中点
1
MF / /CD ，且MF = CD
2
又底面 ABCD为正方形，且 E 为 AB 中点
MF / / AE ，且MF = AE
四边形 AEMF 为平行四边形
EF / / AM …………3 分
EF 不在平面 SAD内， AM 在平面 SAD内 …………4 分
EF / / 平面 SAD …………5 分
（2）以点 D 为坐标原点，DA，DC ，DS 所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立如图所示
的空间坐标系D xyz ，
则 D(0,0,0), E (4,2,0), F (0,2,4),S (0,0,8)，
故 EF = ( 4,0,4) , DE = (4,2,0) , FS = (0, 2,4) …………6 分
设平面 DEF 的一个法向量为m = (x, y, z)，
m EF = 4x + 4z = 0
则 ，可取m = (1,-2,1)， …………8 分
m DE = 4x + 2y = 0
设平面EFS 的一个法向量为n = (a,b,c)，
2
{#{QQABIYaQggAgAgAAAAgCQwEQCkMQkAACAKoGxAAMsAABQAFABAA=}#}
n EF = 4a + 4c = 0
则 ，可取n = (1,2,1)， …………10 分
n FS = 2b+ 4c = 0
设平面DEF 与平面EFS 所成角为 ，
1 4+1 1
则 cos = cos m,n = =
1+ 4+1 1+ 4+1 3
1
平面 与平面 所成角的余弦值为 ． …………12 分
3
20. （本题满分 12 分）
解（1）由题意知c = 2，且a = b2 + c2 = 3 2 2，可得b = a c =1，…………1 分
x2
故椭圆 C的方程为 + y2 =1， …………3 分
3
其“准圆”方程为 x2 + y2 = 4． …………5 分
（2）由题意，可设P (m，n)( 3 m 3)，
m2
则有 + n2 =1，又A 点坐标为 (2,0)， B( 2,0)， …………7 分
3
所以 AP = (m 2,n)，BP = (m+ 2,n)，
m2 2m2
所以 AP BP = m2 4+ n2 = m2 4+1 = 3， …………10 分
3 3
2m2
又 3 m 3 ，所以 3 3，-1 ，
3
所以 AP BP 的取值范围是 3，-1 . …………12 分
21. （本题满分 12 分）
5 3
解（1）因为 AB 的中点为D , ，
2 2
且 kAB =1，所以 AB 的垂直平分线为 x + y 4 = 0 ， …………2 分
y = x
由 得圆心C (2,2)， …………4 分
x + y 4 = 0
2 2
所以半径 r = AC =1，所以C : (x 2) + ( y 2) =1． …………6 分
3
{#{QQABIYaQggAgAgAAAAgCQwEQCkMQkAACAKoGxAAMsAABQAFABAA=}#}
（2）如图，由 MPN = 90 可得 CPM = 45 ，所以CP = 2 ， …………8 分
4+ t
所以圆心C(2，2)到直线m 的距离 d = 2 ， …………10 分
2
所以 t 的取值范围为 6，-2 ． …………12 分
22. （本题满分 12 分）
解（1）设M (x，y)，则 2x 2 = 2 (x 1) + y2 ， …………2 分
x2
化简得 E： + y2 =1． …………5 分
2
（2）设 P(2，t )， A(x1，y1)， B(x2，y2 )，
x x x x
则切线 AP为 1 + y1y =1，切线 BP为
2 + y2 y =1， …………7 分
2 2
x + ty =1
将点 P 分别代入得 1 1 ，所以直线
2
AB为m：x + ty =1，点 P 到m 的距离 d = t +1 ，
x2 + ty2 =1
当 t = 0 时， dmin =1． …………9 分
2t
x + ty =1 y1 + y2 = t 2 + 2
另一方面，联立直线 AB 与 E 2 2 x2 得 (t + 2)y 2ty 1= 0，所以 ，2
+ y =1 1
2 y1y2 = t
2 + 2
2 2(t 2 +1) 1
则 AB = 1+ t 2 y1 y2 = = 2 2 1 ， …………11 分
t 2 + 2 t
2 + 2
1 2
当 t = 0 时， AB = 2 ．所以 S ABP = AB d ． …………12 分 min 2 2
4
{#{QQABIYaQggAgAgAAAAgCQwEQCkMQkAACAKoGxAAMsAABQAFABAA=}#}
