2023 学年第一学期台州山海协作体高二期中联考
高二年级数学学科参考答案
一、单项选择题（本题共 8小题，每小题 5分，共 40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选
项是符合题目要求的）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A D A B A C B
二、多项选择题（本题共 4小题，每小题 5分，共 20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分）
题号 9 10 11 12
答案 AD BCD AC ACD
三、填空题（本题共 4小题，每小题 5分，共 20分）
13. 2,1 14. 1 15. 3 16. x 4 y 0 （算出 x=4就给 5分）
8.【详解】延长QF2与双曲线交于点 P ，
因为 F1P∥F2P ，根据对称性可知 F1P F2P ，
设 F1P F2P ' =2t，则 F2P 5t， F2Q 10t
可得 F 22P F1P 3t 2a，即 t a，3
所 以 P Q 12t 24 a ， 则 QF 26 1 QF ，3 2
2a a
3
F P F P 10 a，1 2 3
即 P Q 2 F1P
2 QF 21 ，可知 F1P Q F PF 90
1 2 ，
在 P F 2 2 21F2中，由勾股定理得 F2P F1P F1F2 ，
2
即 10 a 4
2
a 4c2，解得 e c 29 .
3 3 a 3
16. 由题知MN不与 x轴重合，设直线MN的方程为 x my 1，
x2
y2 1 2 2 2 2 2
联立方程组 4 ，消 x整理得 m 4 y 2my 3 0， 4m 12 m 4 48 m 1 0 ，
x my 1
高二数学学科 试题参考答案 第 1页(共 8页)
{#{QQABCYYQggCgAABAAAhCQwWACEAQkAACCAoGQAAEsAABARFABAA=}#}
设M x1, y1 、 N x2 , y2 ，则 y y
2m y y 31 2 ， .m2 4 1 2 m2 4
y y
因为 AM 1 2的方程为 y x 2 y x 2 x1 2
， AN的方程为 x2 2
x 2 y1 x2 2 y 1 my2 1 2 my y 1 2 y1两直线方程联立得： x 2 y2 x1 2 y2 my1 1 2 my1y2 3y2
3 y y y 1 y 31 2 1 1 y2
因为my y
3m 3 y x 2 11 2 2 1 y2 .所以 2 2 2 ，解得 x 4 .m 4 2 x 2 3 y1 y 3y
3 y 92 2 1 y
3
2 2 2 2
所以动点T的轨迹方程为 x 4 y 0
四、解答题（本题共 6小题，共 70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（1）∵A(1,1)，B(3,3) ,∴AB中点为 (2,2)，---------------------------------------------------------------2分
所以中线斜率为 2 ( 1) 3 ，由 y 3 2 (x 2)，（两点式同等给分）---------------------------4分
2 4 2 2
得边 AB上的中线所在直线的方程为：3x 2y 10 0 .---------------------------------------------------5分
（2） AB (3 1)2 (3 1)2 2 2 ,---------------------------------------------------------------------6分
4+1
边 AB所在的直线方程为： x y 0 5 2，点C(4, 1)到直线 AB的距离d ------8分
12 12 2
S 1 AB d 1 5 2所以 ABC 2 2 =5 -------------------------------10分（公式 1分，结果 1分）2 2 2
18.（1）由已知O(0，0）, A 2,0 ,B 4,4 ．----------------------------1分（A、B两点写对一个就给分）
解法 1：设圆C的一般方程为 x2 y2 Dx Ey F 0，将O, A,B三点代入得
F 0
4 2D F 0 --------------------------------------------------------------------------------------------3 分
32 4D 4E F 0
D 2
解得 E 6，----------------------------------------------------------------------------------------------------5 分
F 0
圆C的方程为 x2 y2 2x 6y 0 --------------------------------------------------------------------6 分
高二数学学科 试题参考答案 第 2页(共 8页)
{#{QQABCYYQggCgAABAAAhCQwWACEAQkAACCAoGQAAEsAABARFABAA=}#}
解法 2：设圆C方程为 (x a)2 (y b)2 r 2(r 0) ，将O, A,B三点代入得
a2 b2 r 2
2 a 2 0 2 b r 2 -------------------------------------------------------------------------------------------3 分
4 2 a 4 b 2 r 2
a 1
解得 b 3 ，----------------------------------------------------------------------------------------------------5 分
r
2 10
C 2 2圆 的方程为 x 1 y 3 10 -----------------------------------------------------------------6 分
（2）由已知该船初始位置为点D 2, 2 3 ，且该船航线所在直线 l的斜率为 3．
海船行驶路线 l : y 2 3 3（x 2) 即 3x y 4 3 0 ---------------------------------------------9 分
（斜率对 1分，直线方程对 2分）
3 3 4 3
圆心C(1,3) 3 3 3到 l的距离d --------------------------------------11分（圆心对给 1分）
2 2
d 3 3 3 r 10 ， 没有触礁危险．----------------------------------------------------------------12分
2
19. (1)∵D , F分别是 A1B1， A1C1的中点,∴DF∥B1C1，------------------------------------------------2 分
又∵DF 平面CC1B1B， B1C1 平面CC1B1B ，∴DF∥平面 CC1B1B .-----------------------3分
（坐标法同等给分）
1 1
(2) 解法 1：取 BC中点 E，连接 EF，∵ CC1B1B中 BC∥B1C1，且BE= BC B2 2 1
C1 ；又
∵DF∥B 11C1 ,且DF= B1C1，∴四边形 EFDB是平行四边形，∴BD∥EF，2
∴∠AFE是异面直线 BD与 AF 所成角或补角。---------------------------------------------------------5分
高二数学学科 试题参考答案 第 3页(共 8页)
{#{QQABCYYQggCgAABAAAhCQwWACEAQkAACCAoGQAAEsAABARFABAA=}#}
B D 11 A1B1 2 , AF 5 , AE 5 , EF BD 6 ,2
AF 2 2 2
∴ cos AFE EF AE 5 6 5 30 ,
2AF EF 2 5 6 10
30
∴异面直线 BD与 AF 所成角的余弦值为 .-----------------------------------------------------------7分
10
解法 2：如图所示，以 C1为原点，C1A,C1B1,C1C分别为 x,y,z轴，建立空间直角坐标系。
∴C1(0,0,0), A1(2,0,0),B1(0, 2,0),B(0, 2, 2),D(1,1,0), A (2,0,2),F (1,0,0), ----------------------5分
（建系有点坐标就给两分）
∴ BD (1, 1, 2)， AF ( 1,0, 2)，
BD AF 1 0 4
设异面直线 BD与 AF 所成角为 ，则 cos cos BD, AF 30 ,
BD AF 6 5 10
30
∴异面直线 BD与 AF 所成角的余弦值为 .-------------------------------------------------------7分
10
(3)C1B (0, 2, 2) ,C1D (1,1,0) ,设平面C1BD的一个法向量为 n (x, y, z)，
C 1
B n 0 2y 2z 0
，即 ，取 x=1,则 y=－1，z=1, n (1, 1,1) ----------10分（公式对就给 2分）
C D n 0 x y 01
设直线 AF与平面C1BD所成角为 ，
AF n 1 0 2
sin cos AF, n 15
AF n 5 3 5
15
∴直线 AF与平面C1BD所成角的正弦值为 .----------------------------12分（公式对就给 1分）5
20. (1)设动圆圆心C(x, y)，设C到直线 x=－1的距离为 d,则 r CF d ,
∴点C的轨迹是以 F (1,0)为焦点，直线 x=－1为准线的抛物线.-----------------------------------2分
2
设抛物线方程为： y 2px(p 0) p，由 1，得 p 2，
2
∴点 C 2的轨迹方程为： y 4x .-----------------------------------------------------4分（单答案只给 2分）
高二数学学科 试题参考答案 第 4页(共 8页)
{#{QQABCYYQggCgAABAAAhCQwWACEAQkAACCAoGQAAEsAABARFABAA=}#}
(2)设 A(x1, y1),B(x2 , y2 )，x1 x2 ,
∵ x1 x2 ，显然直线 AB斜率存在，∴设直线 AB的方程为： y kx m(k 0) ------------------5分
y kx m
，消 x得： ky2 4y 4m 0
y2 4x
y y 4 4m1 2 , y1y2 ------------------------------------------------------------------------------------------7分k k
设OA的斜率为 k1，OB的的斜率为 k2，∵ = 2
则 k1= tan , k2= tan = tan(
) 1 1 ，∴ k1k2=1，--------------------------------------9分2 tan k1
y1y2 =1 y1y2 = y1y2 16 16 4k∴ ，∴ 2 2 4m 1，∴m 4k -------------------------------11分x1x2 x1x2 y1 y2 y1y2 m
，
4 4 k
∴直线 AB的方程为： y kx 4k ，即 y k (x 4)，恒过定点 ( 4,0) ----------------------------12分
（其他解法同等给分）
21．（1）证明：在三棱柱 BCD－B1C1D1中，
BB1 / /DD1， BB1 CD， DD1 CD，-----------------------------------------------------------------------2分
AD 2,DD1 BB1 1, AD1 5， AD
2 DD 2 21 AD1 DD1 AD，----------------------------------4分
又 AD DC D DD1 平面ABCD --------------------------------------------------------------------------5分
(2) 连接 AC交 BD于点O，∵四边形 ABCD为菱形， AC BD
高二数学学科 试题参考答案 第 5页(共 8页)
{#{QQABCYYQggCgAABAAAhCQwWACEAQkAACCAoGQAAEsAABARFABAA=}#}
以O为原点，OA,OB为 x, y轴，向上方向为 z轴建立空间直角坐标系，
则 A 3,0,0 ，B 0,1,0 ，设 P 0, ,1 -----------------------------------------------------------------------7分
∴ AB 3,1,0 ， BP 0, 1,1 ，
PAB n AB 0 设 n x, y, z 为平面 的一个法向量，由 1 ，得 3x y 01 ，
n1 BP 0 1 y z 0
取 y 3，则 n1 1, 3, 3(1 ) .----------------------------------------------------------------------------9分
∵CA 2 3,0, 0 是平面BDD1B1的一个法向量，---------------------------------------------------------10分
设平面 PAB与平面DBB1D1所成角为
n1 AC
∴cos 2 3 1 1 .
n1 AC 1 3 3 1 2 2 3 3 1 2 4 2
平面 PAB与平面DBB1D
1
1所成角的余弦值的取值范围为
0,
2
.---------------------------------------12分
22.（1）由题意得2p=4， p 2,焦点 F (1,0)，准线方程为 x 1 .---------------------------------2分
（2）先证明出抛物线 y2 2px在其上一点 x0 , y0 处的切线方程为 y0 y p x x0 ，
证明如下：由于点 x0 , y0 在抛物线 y2 2px上，则 y20 2 px0，
y2 2px 2 2 2
联立 ，消去 x得， y 2y0 y 2px0 0，即 y 2yy y p x x 0
y y0 0，
0 0
y22 2
所以，关于 y的方程 y 2y0 y y0 0有两个相等的实根 y y0，此时 x 0 x ，2p 0
因此，直线 y0 y p x x0 与抛物线 y2 2px相切，且切点为 x0 , y0 .
设点 A x1, y1 、 B x2 , y2 ， P 1, t
高二数学学科 试题参考答案 第 6页(共 8页)
{#{QQABCYYQggCgAABAAAhCQwWACEAQkAACCAoGQAAEsAABARFABAA=}#}
则以 A为切点的切线方程为 y1y 2 x x1 ，同理以 B为切点的切线方程为 y2 y 2 x x2 ，
ty1 2 1 x1 2x1 ty1 2 0 两条切线均过点 P 1, t ， ，即 ，
ty2 2 1 x2
2x2 ty2 2 0
所以，点 A、 B的坐标满足直线 2x ty 2 0的方程，
所以，直线 AB的方程为 2x ty 2 0，--------------------------------------------------------------------4分
在直线 AB的方程中，令 y 0，可得 x 1，所以，直线 AB过定点 1,0 ；-----------------------5分
(二级结论不证不扣分）
由题意可知，直线 AB不与 x轴重合，可设直线 AB的方程为 x my 1，
y2 4x
由 ，得 y2 4my 4 0， 16 m2 1 0恒成立，
x my 1
由韦达定理得 y1 y2 4m， y1y2 4，
由弦长公式可得 AB 1 m 2 y1 y
2
2 1 m y1 y
2
2 4y
2
1y2 4 m 1 ，
当 m=0时，弦 AB长的最小值为 4.-----------------------------------------------------------------------------6分
(二级结论不证不扣分）
1 d AB AB
（3）设点 P到直线 AB的距离为 d S，则 △PAB 2 ----------------------------------7分
S 1△PCD d CD CD
2
设C x3 , y3 、D x4 , y4 ，
x2 y2
1
由 5 4 ，得 4m2 5 y2 8my 16 0，
x my 1
64m2 64 4m2 5 320 m2 1 0恒成立.
8m 16
由韦达定理得 y3 y4 2 ， y4m 5 3
y4 2 ，4m 5
8 5 m2 12 2 2
由弦长公式得 CD 1 m y3 y4 1 m y3 y4 4y3y4 .4m2 5
高二数学学科 试题参考答案 第 7页(共 8页)
{#{QQABCYYQggCgAABAAAhCQwWACEAQkAACCAoGQAAEsAABARFABAA=}#}
AB 1 m 2 y 2 2 21 y2 1 m y1 y2 4y1y2 4 m 1 ---------------------------------10分
（两个弦长对 1个给 2分，对 2个给 3分）
S AB 4 m2 1 4m2△PAB 5 2 5 m2 5 5 ，
S△PCD CD 8 5 m2 1 2 5 5 2 2
4m2 5
当且仅当m 0时，等号成立.
S 5
因此， 1 的最小值为 .-------------------------------------------------------------------------------------12分
S2 2
高二数学学科 试题参考答案 第 8页(共 8页)
{#{QQABCYYQggCgAABAAAhCQwWACEAQkAACCAoGQAAEsAABARFABAA=}#}绝密★考试结束前
2023 学年第一学期台州山海协作体期中联考
高二年级数学学科 试题
考生须知：
1．本卷共 6页满分 150分，考试时间 120分钟。
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。
4．考试结束后，只需上交答题纸。
一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一
个选项是符合题目要求的）
1.直线 x 的倾斜角是（ ）
3
2
A. B. C. D. 0
3 3 2
x2 y2
2. 已知双曲线C : 1，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
5 20
1 1
A. y 2x B. y x C. y 4x D. y x
2 4
3. 平面 的一个法向量为m 2,1,-1 ，一条直线 l的方向向量 AP 0,0，3 ，则这条直
线 l与平面 所成的角为( )
2
A. B. C. D.
3 3 2 6
4. 如图，在四面体 OABC中，OA a,OB b,OC c,点 M在 OA上，且 M,N分别为 OA,BC
中点，则MN （ ）
1 1 1 1 1 1
A. a b c B. a b c
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
C. a b c D. a b 1 c
2 2 2 2 2 2
5. 设 A(1, 1), B(5,1)，则以线段 AB为直径的圆的方程是（ ）
A. (x 3)2 y2 20 B. (x 3)2 y2 5
C. (x+3)2 y2 20 D. (x+3)2 y2 5
高二数学学科 试题 第 1页(共 6页)
{#{QQABCYYQggCgAABAAAhCQwWACEAQkAACCAoGQAAEsAABARFABAA=}#}
6 P,Q O : x2 2．已知点 是圆 y 2上的两个动点，点 A在直线 l : x 3y 4 0上，若∠PAQ
的最大值为 90°，则点 A的坐标是（ ）
A． (1, 3) B． (2, 2 3) (4,0) (0, 4 3C． D． )
3 3
7．在长方体 ABCD A1B1C1D1中，AD =AA1=3，AB=4，E,F,G分别是棱 C1D1, BC, CC1的中点，M
是平面 ABCD内一动点，若直线 D1M与平面 EFG平行，则MB1 MD1 的最小值为（ ）
11 5
A. 2 3 B. 9 C. D.
4 2
（第 7题图） （第 8题图）
2
8 x y
2
．如图，已知 F1,F2是双曲线C: 2 2 1的左 右焦点，P,Q为双曲线C上两点，满足 F1P∥Fa b 2
Q，
且 F2Q 2 F2P 5 F1P ，则双曲线C的离心率为（ ）
A． 29 B． 29 C． 19 D． 19
2 3 2 3
二、多项选择题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分）
9.己知 A( 2,0)、B(2,0)，则下列命题中正确的是（ ）
A.平面内满足 | PA | | PB | 6的动点 P的轨迹为椭圆
B.平面内满足 | PA | | PB | 4的动点 P的轨迹为双曲线的一支
C.平面内满足 | PA | | PB |的动点 P的轨迹为抛物线
D.平面内满足 | PA | 2 | PB |的动点 P的轨迹为圆
高二数学学科 试题 第 2页(共 6页)
{#{QQABCYYQggCgAABAAAhCQwWACEAQkAACCAoGQAAEsAABARFABAA=}#}
10. 正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 1，E，F，G分别为 BC，CC1，
BB1的 中 点 ． 则正确的是（ ）
A． BB1×AF = 0
B． A1G∥平面AEF
C．点 B、C到平面 AEF 的距离相等
D．若 P为底面 ABCD内一点，且 A1C C1P，则点 P的轨迹是线段
11．瑞士著名数学家欧拉在 1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这
条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．若 ABC满足 AB AC，顶点 B(0, 2)，C(4,0)，且其“欧
拉线”与圆M :(x 4)2 y2 r2相切，则下列结论正确的是（ ）
A．题中的“欧拉线”的方程为： 2x y 3 0
B．圆 M上的点到直线 2x+y 0的最小距离为 8 5
5
C．若点 (x, y)在圆 M上，则 y 的最大值是 1
x 1 2
D 2．若圆 M与圆 (x 1) (y a)2 20有公共点，则 a [2,6]
12. 如图，在四棱锥 P－ABCD中，底面 ABCD为菱形，∠DAB=60°，AB=2，PB= 6，侧面 PAD
为正三角形，则下列说法正确的是（ ）
A．平面 PAD⊥平面 ABCD
B．二面角 P－BC－A的大小为 30°
C．异面直线 AD与 PB所成的角为 90°
D 20．三棱锥 P－ABD外接球的表面积为
3
三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13. 已知直线 l 21： x ay 1 0 ,直线 l2 : (a 2)x y 2 0 若 l1 l2，则a ___________.
14. 已知 P为空间中任意一点,A、B、C、D四点满足任意三点均不共线,但四点共面,且
5 1 PA PB xPC PD ,则实数 x的值为__________.
3 3
15. 已知点 A 1,2 ,B 4, 2 ，则满足点 A到直线 l的距离为 2，点 B到直线 l距离为 3的直线 l
的条数有_____条.
2
16. 已知椭圆C : x y 2 1，点 P(1,0)，M 为椭圆上任意一点，A,B为椭圆的左，右顶点，当
4
M 不与 A,B重合时，射线MP交椭圆C于点 N，直线 AM ，BN 交于点T，则动点T的轨迹方程
为 .
高二数学学科 试题 第 3页(共 6页)
{#{QQABCYYQggCgAABAAAhCQwWACEAQkAACCAoGQAAEsAABARFABAA=}#}
四、解答题（本题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题共 10分）已知 ABC 的三个顶点是 A(1,1)，B(3,3)，C(4, 1) ．
(1)求边 AB上的中线所在直线的方程；
(2)求 ABC 的面积．
18．（本小题共 12分）如图，某海面有O, A,B三个小岛（小岛可视为质点，不计大小），A岛在
O岛正东方向距O岛 20千米处，B岛在O岛北偏东 45 方向距O岛 40 2千米处．以O为坐标原
点，O的正东方向为 x轴的正方向，10千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系．圆C经
过O , A,B三点．
(1)求圆C的方程；
(2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一渔船D在O岛的南偏东30 方向距O岛40千米处，正沿着
北偏东30 方向行驶，若不改变方向，试问该渔船是否有触礁的危险？请说明理由．
高二数学学科 试题 第 4页(共 6页)
{#{QQABCYYQggCgAABAAAhCQwWACEAQkAACCAoGQAAEsAABARFABAA=}#}
19.（本小题共 12 分）在直三棱柱 ABC - A1B1C1中， BCA = 90°，D , F 分别是 A1B1 , A1C1的中
点，BC CA CC1=2，
(1)求证:DF∥平面 CC1B1B；
(2)求异面直线 BD与 AF 所成角的余弦值；
(3)求直线 AF与平面C1BD所成角的正弦值.
20.（本小题共 12分）已知动圆过定点 F (1,0)，且与直线 x=－1相切.
(1)求动圆圆心C的轨迹的方程.
(2)设 A、B是轨迹 C上异于原点O的两个不同点，直线OA和OB的倾斜角分别为 和 ，当 ,
变化且 为定值 ，证明直线 AB恒过定点，并求出该定点的坐标．
2
高二数学学科 试题 第 5页(共 6页)
{#{QQABCYYQggCgAABAAAhCQwWACEAQkAACCAoGQAAEsAABARFABAA=}#}
21．（本小题共 12 分）如图，在三棱柱 BCD－B1C1D1与四棱锥 A－BB1D1D的组合体中，已知
BB1⊥CD，四边形 ABCD是菱形，∠ABC＝120°，AD＝ 2，BB1＝1，AD1＝ 5．
(1)求证：DD1⊥平面 ABCD．
(2)点 P为直线 B1D1上的动点，求平面 PAB与平面DBB1D1所成角的余弦值的取值范围.
22. （本小题共 12分）已知点 P是抛物线C1 : y
2 4x的准线上任意一点，过点 P作抛物线C1的
两条切线 PA、PB，其中 A、B为切点.
(1)写出抛物线C1焦点及准线方程；
(2)求弦 AB长的最小值；
x2 y2
(3)若直线 AB交椭圆C2 : + =1于C、D两点， S 、 S 分别是 PAB、 PCD的面积，5 4 1 2
S
求 1 的最小值.
S2
高二数学学科 试题 第 6页(共 6页)
{#{QQABCYYQggCgAABAAAhCQwWACEAQkAACCAoGQAAEsAABARFABAA=}#}
