合肥六校联盟 2023-2024 学年第一学期期中联考
高三年级数学试卷
(考试时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共计 40分.每小题只有一个正确答案，请把正确答案涂在答题
卡上.
1.设集合U x N x 6 ， A 0,2,4 ，B 1,2,5 ，则（CU A） B ( )
A. 5 B. 0,1,5 C. 1,5 D. 0,1,3,5
x 2
2.“ x 1”是“ 0”的( )条件
x 1
A.必要不充分 B.充分不必要 C. 充要 D.既不充分也不必要
x 2, x 10,
3.设 f (x) 则 f (9) ( )
f ( f (x 7)), x 10,
A.10 B.11 C.12 D.13
已知a 0.40.5 ，b 0.50.44. ， c log0.5 0.4，则( )
A. a b c B. c a b C. c b a D.b a c
5.已知函数 f (x) 的部分图象如图所示，则 f (x) 的解析式可能是( )
ln x ln x
A. f (x) B. f (x) C. f (x) cos x ln x D. f (x) sin x ln x
2 cos x 2 sin x
6.将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中， t ntmin 后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线 y ae .假设过 5min
a
后甲桶和乙桶的水量相等，若再等m min 甲桶中的水只有 升，则m 的值为( )
8
A. 5 B. 6 C.8 D.10
7.定义域为 R 的可导函数 y f (x) 的导函数为 f (x) ，满足 f (x) f (x) ，且 f (0) 3 ，则不等式
f (x) 3ex 的解集为( )
A. ( ,0) B. ( ,2) C. (0, ) D. (2, )
2
8.点P ，Q分别是函数 f (x) 3x 4， g(x) x
2 2ln x图象上的动点，则 PQ 的最小值为( )
高三年级数学试卷 第 1 页 共 4 页
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3 2 3 2 2 2
A. (2 ln 2) 2 2B. (2 ln 2) C. (1 ln 2) D. (1 ln 2)
5 5 5 5
二、多选题：本题共 4 小题，每小题 5分，共计 20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，
全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分，请把正确答案涂在答题卡上.
9.下列命题为真命题的是( )
1 1
A. 若a b，则 B.若a b 0，则a2 ab b2
b a
2 1 1
C. “a b”是“ac bc2 ”的必要条件 D.若a b 0，c d 0，则
a c b d
10.函数 y x ln x 2在下列哪个区间内有零点( )
A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4)
11.已知4a b ab(a 0,b 0) ，则下列结论正确的是( )
2 1 1 4 1
A. ab的最小值为16 B. a b 的最小值为9 C. 的最大值为2 D. 的最小值为
a b a2 b2 5
12.已知函数 f (x) ， g(x)的定义域为R ， g (x)为 g(x) 的导函数且 f (x) g (x) 3， f (x) g (4 x) 3 ,
若 g(x) 为偶函数，则下列结论一定成立的是( )
A. f ( 1) f ( 3) B. f (1) f (3) 6 C. g (2) 3 D. f (4) 3
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分.
2 m2 4m 2
13.已知幂函数 f (x) (m 1) x 在 (0, )上单调递减，则m
1
3 4 log 314.计算8 2 2
e2x
15.设函数 f (x) ，若 f (0) 1，则a
x a
4
x 2 , x 1,
2
16.已知函数 f (x) ，g(x) x ax 2，若函数 y g( f (x)) 有 6个零点，则实数a 的取
3 x, x 1,
值范围为
四、解答题：本题共 6 小题，共计 70 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. (本题满分 10 分)
3
设函数 y lg( x
2 5x 4)的定义域为集合 A，函数 y ， x (0,m) 的值域为集合B .
x 1
(1)当m 1时，求 A B；
(2)若“ x A”是“ x B”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.
高三年级数学试卷 第 2 页 共 4 页
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18. (本题满分 12 分)
已知二次函数 f (x) 满足 f (x 1) f (x) 2x，且 f (0) 1.
(1)求 f (x) 的解析式；(2)求 g(x) xf (x)， x 1,2 的值域.
19. (本题满分 12 分)
x x 3
设函数 f (x) a ka （a 0且a 1）为奇函数，且 f (1) .
2
(1)求 a ， k 的值；
1
(2) x , 2
2
2
，使得不等式 f (2x ) f (1 mx) 0 成立，求m 的取值范围.
20. (本题满分 12 分)
如图所示，一座小岛距离海岸线上的点P 的距离是 2km，从点 P 沿海岸正东 12km 处有一个城镇.一个人
驾驶的小船的平均速度为 3km/h，步行的速度是 5km/h， t (单位：h)表示他从小岛到城镇所用的时间， x
(单位：km)表示小船停靠点距点P 的距离.
(1)将 t 表示为 x 的函数，并注明定义域；
(2)此人将船停在海岸线上何处时，所用时间最少？
高三年级数学试卷 第 3 页 共 4 页
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21. (本题满分 12 分)
1
已知 f (x) x2 ax ln x， (a 0)
2
(1)当a 1时，求函数 f (x) 在 x 1处的切线方程；
1
(2)设 x0 是函数 f (x) 的极值点，证明： f (x . 0 )
2
22. (本题满分 12 分)
x
设函数 f (x) e ax ，a R .
(1)讨论 f (x) 的单调性；
(2)若 f (x) 2x对 x R恒成立，求实数a 的取值范围.
高三年级数学试卷 第 4 页 共 4 页
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高三年级数学参考答案
(考试时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.每小题只有一个正确答案，请把正确答案涂在答题卡
上.
1.【答案】C 2.【答案】B 3.【答案】C 4.【答案】A
5.【答案】D 6.【答案】D 7.【答案】A 8.【答案】D
二、多选题：本题共 4小题，每小题 5分，共计 20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，
全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分，请把正确答案涂在答题卡上.
9.【答案】BCD 10.【答案】AD 11.【答案】ABD 12.【答案】BD
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分.
13.【答案】2 14.【答案】50 15.【答案】1 16.【答案】 3 a 2 2
四、解答题：本题共 6 小题，共计 70 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. (本题满分 10 分)
解：(1)由 x2 5x 4 0得 A (1,4)，………………………………………………………2 分
3 3
函数 y 在 (0,1) 上递减，所以B ( ,3) ，…………………………………………4分
x 1 2
所以 A B (1,4)；……………………………………………………………………………5分
(2)由题意可知B A，………………………………………………………7分
3 3
函数 y 在 (0,m)上递减，所以B ( ,3)，………………………………………8分
x 1 m 1
3
1
则 m 1 ，解得0 m 2 .……………………………………………………………………10分
m 0
18. (本题满分 12 分)
2
解：(1)令 f (x) ax bx c, (a 0)
则 f (x 1) f (x) 2ax a b 2x ……………………………………………………2分
f (0) c 1 c 1
所以 2a 2 a 1 ，………………………………………………………………4 分
a b 0
b 1
故 f (x) x
2 x 1；………………………………………………………………5分
3 2
(2) g(x) x x x， x 1,2
高三年级数学参考答案 第 1页 共 5 页
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1
g (x) 3x2 2x 1 (3x 1)(x 1)， g (x) (3x 1)(x 1) 0 , x ，1,……………7 分
3
列表如下：
x 1 1 1 1 1 2
( 1, ) ( ，1) (1,2)
3 3 3
g (x) + 0 - 0 +
-1 单调递增 5 单调递减 极小值-1 单调递增 2
g(x) 极大值
27
………11分
所以 g(x)的值域为 1,2 .………12分
19. (本题满分 12 分)
解：(1) f (x) 是 R 上的奇函数, f (0) 0 1 k 0 k 1,
经检验 k 1符合题意. …………………………………………3分
3 1
f (1) a a 1 ,即2a2 3a 2 0,解得a (舍去),a 2 .………………5 分
2 2
故a 2， k 1.
1 2 2
(2) x , 2 ，使得 f (2x ) f (1 mx)，即 f (2x ) f ( 1 mx)，……………7分
2
1 1
f (x) 2x 在 R 上单调递增， x , 2 2 ，使得2x 1 mx ，……………9 分 2x 2
1 1 1
即 x , 2 ，使得m 2x ，所以m (2x ) ， min
2 x x
1 1 2
又因2x 2 2x 2 2 ，当且仅当 x 时取“=”，……………11 分
x x 2
所以m 2 2 .…………12 分
20. (本题满分 12 分)
x2 4 12 x
解：(1) t ， x 0 x 12 .………5分
3 5
x 1 x 1 3
(2) t ,由 t 0解得 x ,………9分
3 x2 4 5 3 x2 4 5 2
高三年级数学参考答案 第 2页 共 5 页
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x 1 1 1
t 在 0，12 上递增，列表如下：………11 分
3 x2 4 5 4 5
3 1
x2
3 3 3
x (0, ) ( ,12)2 2 2
t － 0 ＋
t 单调递减 最小值 单调递增
3
所以此人将船停在点P 沿海岸正东 km 处，所用时间最少. ………12分
2
备注：
4 x 1
第 2问，还可以用“ t 0 , t 在 0，12 上递增，”
3( x2 4)3 3 x
2 4 5
21. (本题满分 12 分)
1
(1) 解： 当a 1时， f (x) x 1 ，………1分
x
1
f (1) 1，切点为 (1, )，………3分
2
1 1
所以在 x 1处的切线方程为 y ( ) (x 1)，即 y x ；………5分
2 2
(2)证明： f (x) 的定义域为 x x 0 ，
1 1
f (x) x a ，令 f (x) x a 0 ，
x x
则 x2 ax 1 0，记此方程的实数根为 x1 ， x2 ，且 x1 x2 ，………7分
2
记 (x) x ax 1，由 (0) 1 0 ， (1) a 0，
则知 x1 0 1 x2 .
当 x x 2时， f (x) 0；当0 x x2 时， f (x) 0，
所以 f (x) 在 (0, x2 ) 上递减，在 (x2 , )上递增，
则 x2 是函数 f (x) 唯一的极值点， x2 x0 .………9分
1 2
f (x ) x 2 ax ln x ，其中ax x 1， x0 1， 0 0 0 0 0 0
2
1 1
所以 f (x0 ) x
2
0 ln x0 1，记g(x) x
2 ln x 1， x 1
2 2
1 1
g (x) x 0，所以g(x)在 1, 单调递减，g(x) g(1) ，
x 2
高三年级数学参考答案 第 3页 共 5 页
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1
故 f (x ) .……………………………………12 分 0
2
22. (本题满分 12 分)
解：(1) f (x) ex a ， x R.………………………1分
① 当a 0时 f (x) 0， f (x) 在R 上单调递增；………………………3分
② 当a 0时 f (x) 0， x ln a， x ln a时， f (x) 0；
x ln a时， f (x) 0，所以 f (x) 在 ( , ln a)上单调递减，
f (x) 在 (ln a, ) 上单调递增. ………………………………………5分
综上所述，当a 0时， f (x) 在R 上单调递增；
当a 0时， f (x) 在 ( , ln a)上单调递减， f (x) 在 (ln a, ) 上单调递增.
x
(2) 方法一： f (x) 2x 0在 R 上恒成立，记 g(x) f (x) 2x e (a 2)x ，
g (x) ex (a 2)，
①当a 2 0时，即a 2时， g (x) 0， g(x) 在 R 上单调递增，
1
1
g( ) ea 2 1 0 ，所以a 2不符合题意；(用极限说明，不扣分) …………7 分
a 2
②当a 2 0时，即a 2 , g(x) ex 0恒成立，所以a 2符合题意；………8分
③当a 2 0时，即a 2时，由(1)知g(x) g(ln(a 2))，
故只要g(ln(a 2)) 0， (a 2) (a 2) ln(a 2) 0，
所以 ln(a 2) 1， 2 a e 2.………………………11分
综上所述， 2 a e 2.………………………12分
方法二：
ex (a 2)x 在 R 上恒成立，
①当 x 0时，a R ；…………6 分
ex ex ex (x 1)
②当 x 0时，a 2 ( )min ，记 g(x) ， g (x) ，
x x x
x 1时， g (x) 0，0 x 1时， g (x) 0，所以 g(x) 在 (0,1) 上递减，在 (1, )上递增，
高三年级数学参考答案 第 4页 共 5 页
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所以a 2 g(1) e ，a e 2…………9分
ex ex
③ 当 x 0 时，a 2 ，由②知 g(x) ，在 ( ,0)上递减， g(x) 0，
x x
且 x 时， g(x) 0 ，所以a 2 0，a 2…………11 分
综上所述， 2 a e 2.………………………12分
高三年级数学参考答案 第 5页 共 5 页
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