绍兴市2023-2024学年高二上学期期中考试
数学试卷
一 选择题（本大题共8题，每小题5分，共40分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选 多选 错选均不得分）
1．已知向量（1，2，6），（2，y，﹣1），若⊥，则y＝（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
2．已知过，3)的直线与过的直线互相垂直，则点 有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
3． “圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的运用，最具代表性的便是园林中的门洞．如图，鲁迅故里百草园中的圆弧形门洞高为2.5m，底面宽为1m，则该门洞的半径为（ ）
A．1.2m B．1.3m
C．1.4m D．1.5m
4．已知抛物线 焦点在圆 上，则该抛物线的焦点到准线的距离为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
5．已知，，三点，直线l1：kx﹣y﹣2k＝0与直线l2：x+ky+2＝0相交于点P，则的最大值（ ）
A．72 B．80 C．88 D．100
6．已知双曲线的左焦点为F1，M为C的渐近线上一点，M关于原点的对称点为N，若，且|F1N|＝|F1M|，则C的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，由点P（﹣3，0）射出的部分光线被椭圆挡住，图中光线照不到的阴影区域（包括边界）为椭圆的“外背面”．若⊙O：（x﹣5）2+（y﹣t）2＝1位于椭圆的“外背面”，则实数t的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
8．教材44页第17题：在空间直角坐标系中，已知向量，点，点．
（1）若直线l经过点，且以为方向向量，P是直线l上的任意一点，求证：；
（2）若平面经过点，且以为法向量，P是平面内的任意一点，求证：．
利用教材给出的材料，解决下面的问题：已知平面a的方程为x﹣y+z﹣7＝0，直线l是平面x+2y-3＝0与x+z+1＝0的交线，则直线l与平面a所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
二 选择题（本大题共4题，每小题5分，共20分.在每小题列出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）
9．下列说法正确的是（ ）
A．直线的倾斜角为120°
B．经过点P（2，1），且在x，y轴上截距互为相反数的直线方程为x﹣y﹣1＝0
C．直线l：mx+y+2﹣m＝0恒过定点（1，﹣2）
D．直线l1：x+2ay+1＝0，l2：（a﹣1）x﹣y﹣4＝0，若l1⊥l2，则a＝﹣1
10．已知点P在⊙O：x2+y2＝4上，点A（3，0），B（0，4），则（ ）
A．线段AP长度的最大值是5
B．满足∠PBO＝15o的点P有且仅有2个
C．过直线AB上任意一点作⊙O的两条切线，切点分别为M，N，则直线MN过定点（12，1）
D．2|PA|+|PB|的最小值为
11．如图，已知抛物线，过抛物线焦点的直线自上而下，分别交抛物线与圆于四点，则（ ）
A． B．
C．当直线斜率为时， D．
12．已知棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为正方体内及表面上一点，且，其中m∈[0，1]，n∈[0，1]，则下列说法正确的是（ ）
A．当 时，B1P与平面ABCD所成角的最大值为
B．当m+n＝1时，A1C1⊥B1P恒成立
C．存在n∈[0，1]，对任意m∈[0，1]，CP∥平面ABB1A1恒成立
D．当m+n＝1时，PA+PC的最小值为
三 填空题（本大题共4题，每小题5分，共20分）
13．两条平行直线与间的距离 ．
14．已知（2，4，x），（2，1，2），（﹣2，2，1），且，，共面，则x的值为 ．
15．已知点，圆M：（x﹣4）2+（y﹣4）2＝r2（r＞0）上恰有两点满足，则r的取值范围是 ．
16．已知椭圆和双曲线有共同的焦点F1、F2，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则的值为 ．
四 解答题（本大题共6题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤）
17．（本题满分10分）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，．设，，．
（1）试用表示向量；
（2）若∠BAC＝∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，求MN的长．
18．（本题满分12分）如图，在平行四边形OABC中，点O是原点，点A和点C的坐标分别是（3，0）、
（1，3），D为线段AB上的动点．
（1）当D运动到AB中点时，求直线CD的一般式方程；
（2）求线段CD的中点M的轨迹方程．
19．（本题满分12分）已知圆C过点A（8，1），且圆C与两坐标轴均相切．
（1）求圆C的标准方程；
（2）若半径小于6的圆C与直线l：x﹣y+m＝0交于A，B两点，____，求m的值．
从下列两个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①：∠ACB＝120°；条件②：．
注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．
20．（本题满分12分）已知双曲线C：的离心率为，点在双曲线上．
（1）求双曲线C的方程；
（2）双曲线C上是否存在点B，使得对双曲线C上任意一点P（其中），都有为定值？若存在，请求出该定值；若不存在，请说明理由．
21．（本题满分12分）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记．
（1）求MN长度的最小值；
（2）在（1）的条件下，求平面MNA与平面MNB夹角的余弦值．
22．（本题满分12分）已知椭圆C1：（a＞b＞0）的离心率为，且过点．点P到抛物线C2：y2＝﹣2px（p＞0）的准线的距离为．
（1）求椭圆C1和抛物线C2的方程；
（2）如图过抛物线C2的焦点作F作斜率为k（k＞0）的直线交抛物线C2于A，B两点（点A在x轴下方），直线PF交椭圆C1于另一点Q．记△FBQ，△APQ的面积分别记为S1、S2．当PF恰好平分∠APB时，求的值．高二数学答案
一、单选题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D D B C C B B A
二、多选题
题号 9 10 11 12
答案 ACD AD ABC BCD
三、填空题
13． 14． 5 15． 3四、简答题
17．（Ⅰ）由图形知．
（Ⅱ）由题设条件
∵，
∴．
18．（1）∵C（1,3），D（），kCD．
∴CD所在直线方程一般式是3x+5y﹣18＝0．
（2）：设点M的坐标是（x，y），点D的坐标是（x0，y0），
由平行四边形的性质得点B的坐标是（4，3），
∵M是线段CD的中点，∴x，y，
于是有x0＝2x﹣1，y0＝2y﹣3，
∵点D在线段AB上运动，
∴3x0﹣y0﹣9＝0，（3≤x0≤4），
∴3（2x﹣1）﹣（2y﹣3）﹣9＝0
即6x﹣2y﹣9＝0，（2≤x）．
（也可以用相似三角形直接得出）
19．（1）设圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（0＜r＜6），
因为圆C过点A（8，1），所以（8﹣a）2+（1﹣b）2＝r2，
又因为圆C两坐标轴均相切，所以得a＞0，b＞0且a＝b＝r，
则（8﹣r）2+（1﹣r）2＝r2，解得r＝13或r＝5，
即a＝b＝r＝5，或者a＝b＝r＝13
所以C：（x﹣5）2+（y﹣5）2＝25或（x﹣13）2+（y﹣13）2＝169．
（2）因为圆C的半径小于6，所以C：（x﹣5）2+（y﹣5）2＝25．
如果选择条件①：
由∠ACB＝120°，|CA|＝|CB|＝5，得∠CAB＝∠CBA＝30°，
过点C作CD⊥AB于点D，则，
所以圆心C到直线l的距离，
则，解得m；
如果选择条件②：，在△ABC中，|CA|＝|CB|＝5，
由余弦定理得，所以∠ACB＝120°，
过点C作CD⊥AB于点D，则，所以圆心C到直线l的距离，
则，解得m．
20．（1）由题意得，解得，故双曲线C的方程为；
（2）存在点B，使得对双曲线上任意一点P（其中），都有为定值1，证明如下：
设P（，）在双曲线上任意一点P（其中），则，即=4
∴
21．1）如图建立空间直角坐标系，
，， ， ，
，， ．
，
所以当时，MN最小为．
（2）由（1）可知，当，为中点时，最短，
则，0，，，，，取的中点，连接，，则，，，
，，，，
是平面与平面的夹角或其补角．
，，
．
平面与平面夹角的余弦值是．
方法二
由（1）可知，当MN最小时，，
所以，，
设平面AMN的一个法向量为，
则，令x＝1，则y＝1，z＝1，所以，
又，，
设平面BMN的一个法向量为，
则，令x＝1，则y＝-1，z＝-1，所以，
，
平面与平面夹角的余弦值是．
22．（1）由于椭圆C1：（a＞b＞0）的离心率为，则a2：b2：c2＝4：3：1，
故设C1：（λ＞0），
由于椭圆C1经过点，从而，故椭圆C1的方程为C1：；
由于点P到抛物线C2：y2＝﹣2px（p＞0）的准线的距离为，则，故p＝1，
从而抛物线C2：y2＝﹣2x；
（2）由于，设，，，
设直线PA，PB的斜率为k1，k2，
由于，则，，
由于，，且A，F，B共线kAB＝kAF，故，
从而，，
从而，，
由于，则直线PF的斜率，
当PE平分∠APB时，则，即，
即，
即，从而或，
从而或﹣3，由于k＞0，故k＝2，
由此直线AB：y＝2x+1，，
由于，，，
考虑到，从而，从而，
联立，即13x2+12x﹣1＝0，从而，则，
从而，
因此，，
从而，
从而．
