2023 学年第一学期宁波金兰教育合作组织期中考试
高二年级数学学科参考答案及评分标准
命题：柴桥中学
审稿：龙赛中学
一、选择题：（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A D B C C B A
二、选择题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 在每小题给出的四个
选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对
的得 2 分）
题号 9 10 11 12
答案 ACD AC ABD ABD
三、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
4 4 6
13.y = x； 14.[3,+ ) ( , ]； 15.150m； 16. ；
3 3 3
四、解答题: （本题共 6 个小题，其中 17 题 10 分，18 至 22 题每题 12 分，共
70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
1
17.(1)因为kBH = ,由AC ⊥ BH ,则kAC = 2,
2
直线AC的方程为2x + y 11= 0................2'
2x + y 11= 0
则 ，得顶点C的坐标为(4,3)..........2'
2x y 5 = 0
x + 5 y +1 x + 5 y +1
(2)设点B(x, y),则M ( , ), M在CM上，即2 5 = 0，
2 2 2 2
即2x y 1= 0,............2'
1
BH的方程为y + 2 = (x 1)
2
2x y 1= 0
则 ,得B的坐标为( 1, 3),..........2'
x 2y 5 = 0
又C(4,3),所以直线BC的方程为6x 5y 9 = 0............2'
1
→ → → →
18.(1)由AC' = AB+ AD+ AA'，...........2'
2
→ → → →
AC' = AB+ AD+ AA' ..........1'
→ 2 → 2 → 2 → → → → → →
= AB + AD + AA' + 2 AB AD+ 2 AB AA'+ 2 AD AA'
1 1 1
= 4+ 4+1+ 2 2 2 + 2 2 1 + 2 2 1
2 2 2
= 3..............2'
→ → → → →
(2) AB, AD, AA' 构成空间的一个基底，用它们表示BD '，AC，
→ → → →
BD ' = AB+ AD+ AA'
→ → →
AC = AB+ AD
→ → → → → → →
BD ' AC = AB+ AD+ AA' AB+ AD
→ 2 → → → → → 2 → → → →
= AB AB AD+ AD AB+ AD + AA' AB+ AA' AD
1 1
= 4+ 4+1 2 +1 2
2 2
= 2..............2'
2
→ → → →
BD ' = AB+ AD+ AA' = 5
2
→ → →
AC = AB+ AD = 2 3.................2'
→ →
→ → BD ' AC 2 15
cos BD '，AC = = = ,...........2'
→ → 5 2 3 15
BD ' AC
15
所以直线BD '与AC所成角的余弦值为 ...........1'
15
19.(1)设圆C的半径为r,若选条件①，圆C与直线3x+4y+17 = 0相切，所以圆C
6+ 4+17
到直线3x + 4y +17 = 0的距离是圆C的半径，则r = = 3........2'
5
( 2 2所以圆C的方程为 x + 2) + (y 1) = 9............2'
2 2
若选条件②，与圆M : (x 2) + (y 4) = 4相外切，圆M的圆心为(2，4)，半径为2，
2
所以r +2 = (2+2) + (4 1)2 = 5,所以r = 3..........2'
2
2 2
所以圆C的方程为(x + 2) + (y 1) = 9............2'
若选条件③，经过直线3x+ y+2 = 0与直线x 3y+14= 0的交点，
3x + y + 2 = 0 x = 2
,得 ,所以r = 3......2'
x y +14 = 0 y = 4
2
所以圆C的方程为(x + 2) + (y 1)2 = 9............2'
(2)圆N : (x m)2 + y2 = m2 (m 0)的圆心为(m,0),半径为m,
两个圆有公共弦，则m 3 CN m+ 3...........2'
2 2
即m 3 (m+ 2) +1 m+3,解得m ...........2'
5
(x + 2)2 + (y 1)2 = 9
由 ,得两圆公共弦所在直线方程为
(x m)
2 + y2 = m2
(m+ 2)x y 2 = 0...........................2'
又两圆的公共弦长为2，则圆心C到公共弦所在直线的距离为
2m 4 1 2 2m+ 7
d = = ,且2 9 d 2 = 2,
(m+ 2)2 +1 m2 + 4m+5
10 1
解得m = ,经检验符合题意...........................2'
2
20.（1）以A 为原点，以 AD, AB, AP 分别为 x, y, z建立空间直角坐标系O xyz，
由 AB = 2,CD =1, AD = 2, PA = 4PQ = 4，M , N 分别是PD, PB的中点，可得：
2
A(0,0,0), B(0,2,0),C( 2,1,0), D( 2,0,0), P(0,0,4),Q(0,0,3), M ,0,2 , N (0,1,2)
2
2
∴BC = ( 2, 1,0) , PB = (0,2, 4)，MQ = ,0,1 ......2’
2
3
设平面的PBC 的法向量为 n0 = (x1, y1, z1 )，
n 0 BC = 0 2x y = 0
则有： 1 1 ，
n0 PB = 0 2y1 4z1 = 0
令 z =1，则 x1 = 2, y1 = 2 n0 = 2,2,11 ( )， .......2’
2
∴MQ n0 = ,0,1 ( 2,2,1) = 0，又MQ 平面PCB，
2
∴MQ / /平面PCB.........2’
（2）设平面的MCN 的法向量为n = (x, y, z)，
2
又CM = , 1,2 ,CN = ( 2,0,2 )
2
2
n CM = 0 x y + 2z = 0
则有： 2 ，
n CN = 0
2x + 2z = 0
令 z =1，则 x = 2, y =1， 所以n = ( 2,1,1)........2’
又BC = ( 2, 1,0)，.......1’
设直线BC与平面MCN 所成角为 ，
n BC 1 3
∴ sin = cosn BC = = = ，.......2’
n BC 2 3 6
3
∴求直线BC与平面MCN 所成的角的正弦值为 6 ........1’
21.(1)设点A(x1,b), B(x2 ,b)
x2
由 + y2 =1解得x 21,2 = 2 1 b ,
4
AB = x1 x
2
2 = 4 1 b ..........2'
1
S = b 4 1 b2 = 2b 1 b2 = 2 b2 b4 ,.......1'
2
1 2 3 1 b ,当b2 = 时，Smax =1
4 4 2
3
所以S ( ,1]..........2'
2
4
y = kx+ b
(2)由 2 2 x
2
2 得(1+ 4k )x +8kbx+ 4(b
2 1) = 0
+ y =1
4
=16(1+ 4k 2 b2 )
8kb 4(b2 1)
x1 + x2 = , x1x2 = ...........1'
1+ 4k 2 1+ 4k 2
2 16(1+ 4k
2 b2 )
AB = 1+ k x1 x2 = 1+ k
2 .........2'
1+ 4k 2
b
点O到直线AB的距离d = .........1'
1+ k 2
4 2 2
由AB = , S = ，得d = 2
3 3
所以b2 = 2(1+ k 2 )..........1'
2 16(1+ 4k
2 b2 ) 4
AB = 1+ k =
1+ 4k 2 3
所以k 2 = 2,即k = 2,b = 6,
所以AB的方程为y = 2x + 6或y = 2x + 6
或y = 2x 6或y = 2x 6..........2'
1
22.(1)设AB : y + 4 = (x + 2 2)
k
2 2 2 2
A( 4k 2 2,0), B(0, 4 ), P( 4k 2 2, 4 )
k k
4k 2 2 = 10 2
2 2 ,可得k = 2 2,.
4 = 5 k
又因为直线l : y = kx+m过M ,则m = 4,
所以l：y = 2 2x + 4...........2'
又因为l与双曲线相切，所以
y = 2 2x + 4
x2 y
2
=12 2
a b
(b2 8a2 )x2 16 2a2x 16a2 a2b2 = 0
2
b2 8a2 0，且 = 0,即( 16 2a2 ) + 4(b2 8a2 )(16a2 + a2b2 )= 0
即8b2 16a2 = a2b（2 1）,...........2'
5
8 16
又因为点M在双曲线上，所以 =1(2),
a2 b2
由(1)(2)式可得a2 = 4,b2 =16
x2 y2
所以双曲线的标准方程为 =1.......2'
4 16
y = kx+m
(2) x2 y2 ，(4 k
2 )x2 2kmx (m2 +16) = 0(k 2),
=1
4 16
M是双曲线与直线l的唯一公共点，所以
( 2 2km) + 4(4 k 2 )(m2 +16) = 0，即m2 = 4(k 2 4（) 3）,
km 4m 4k 16
解得M ( , ),即M ( , ),其中km 0,........2'
4 k 2 4 k 2 m m
16 1 4k
于是过点M且与l垂直的直线为y + = (x + ),
m k m
20k 20 20k 20
可得A( ,0), B(0, ), P( , ),
m m m m
20k
x =
所以 m ,...........2'20
y =
m
将（3）式代入可得：
2 400k
2 400 m2 1600
x = = ( + 4) =100+ =100+ 4y2
m2 m2 4 m2
x2 y2
即 =1，其中y 0,
100 25
x2 y2
所以，点P的轨迹方程为 =1(y 0),
100 25
轨迹是焦点在x轴上，实轴长为20，虚轴长为10的双曲线（去掉两个顶点）.........2'
6绝密★考试结束前
2023学年第一学期宁波金兰教育合作组织期中联考
高二年级数学学科试题
本卷共 6页，满分 150分，考试时间 120分钟.
选择题部分（共 60分）
一、选择题：（本大题共 8 小题，每小题 5分，共 40分. 在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.直线x 3y 1 0的倾斜角是（ ）
. . C. 2 D. 5
6 3 3 6
2.如图所示，空间四边形OABC中,OA a,OB b,OC c,点M在OA上，点N在BC上
且M是OA中点，N为BC中点，则MN等于（ ）
1 1 1
A． a b c
1
B． a
1
b 1 c
2 2 2 2 2 2
C 1
a 1
1 b c D. 1 a 1 b 1
． c
2 2 2 2 2 2
3.抛物线y ax2 (a 0)的焦点坐标是（ ）
A. a ,0 B. 1 ,0 a 1 C. 0, D. 0,
4 4a 4 4a
x2 y24.已知P是椭圆 1在第一象限上的点，且以点P及焦点F1,F2为顶点的三角形5 4
面积等于1，则点P的坐标为（ ）
15 15 15 1 A. ,1 B. ,1 C. , D.
15
, 1
2 2 2 2 2
5.已知空间向量 a 3,0,4 ,b 3,2,5 ,则向量 b在向量 a上的投影向量是（ ）
A. 11 3,2,5 B. 11 3,2,5 C. 11 3,0,4 D. 11 3,0,4
25 38 25 38
6. x
2 y2
若方程 1表示双曲线，则下列方程表示椭圆时，与双曲线有相同焦点的是( )
p q
x2 y2 x2 y2 2 2 2A. 1 B. 1 C. x y 1 D. x y
2
1
2q p p 2q p q 2p q p 2p q q
1
7.定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的
最小值.在棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1中，直线A1C1与AD1之间的距离是（ ）
. 2 . 2 3 C.1 D. 2 2
3 3
8.如图 1，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆。许多人从纯几何的角
度对这个问题进行研究，其中比利时数学家 Germinal dandelion(1794-1847)的方
法非常巧妙，极具创造性。在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆
锥的侧面、截面相切，两个球分别与截面切于 E、F，在截口曲线上任取一点
A，过 A 作圆锥的母线，分别与两个球切于 C、B，由球和圆的几何性质，可以
知道，AE=AC，AF=AB，于是 AE+AF=AB+AC=BC,由 B、C 的产生方法可
知，它们之间的距离 BC 是定值，由椭圆定义可知，截口曲线是以 E、F 为焦点
的椭圆。如图 2，一个半径为 1 的球放在桌面上，桌面上方有一点光源 P，则球
在桌面上的投影是椭圆，已知 1 2是椭圆的长轴， 1垂直于桌面且与球相
切， 1 = 3，则椭圆的离心率为（ ）
A 1． B 3 2． C． D 3．
2 2 3 5
图 1
二、选择题：（本大题共 4 小题，每小题 5分，共 20分. 在每小题给出的四个
选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得 5 分，有选错的得 0分，部分选对
的得 2 分）
9.如图，过焦点 F的直线与抛物线 y2 2px ( p 0)交于 A (x1 ，y1)，B (x2 ，y2 )两
点，则下列说法正确的是（ ） y
A. AB x1 x2 p B. MON 90
M A
C. 以弦 AB为直径的圆与准线相切 D.A，O，N三点共线 O F x
N B
2
10.已知直线l1 : ax (a 2)y 2 0, l2 : (a 2)x 3ay 2 0,则下列说法正确的是（ ）
A.l1恒过点 -1，-1 B.若l1 // l2 ,则a 1
C.若l1 l2 ,则a 0或a 4, D.若l2不经过第三象限，则a 0.
11. P x, y C x 2 2若点 是圆 ： (y 1)2 1上的动点，则下列说法正确的是( )
A. y 4
x max 3
B. y x min 1 2
C.[x2 (y 1)2 ]max 3
D.若点Q是直线3x 4y 5 0上的动点，则 PQ 2
min
12.如图,AB是底面圆 O的直径,点 C是圆 O上异于 A、B的
点,PO垂直于圆 O所在的平面且 PO OB 1,BC 2 ,点 E在
线段 PB上,则下列说法正确的是（ ）
A.当E为PB中点时，PB 平面CEO
B.记直线CE与平面BOP所成角为 ，则 tan 1, 2
C.存在点E,使得平面CEO与平面BEC 夹角为
6
D.CE OE 6 2 的最小值为
2
非选择题部分（共 90分）
三、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5分，共 20分）
13.已知双曲线的方程是 16x2 9y2 144,则该双曲线的渐近线方程为______.
14.已知点A( 3,4),B(2,2),直线mx y m 2 0与线段AB相交，则m的取值范围为 _____ .
15.如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区.规
划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上，并与BC相
切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m.经测量，点A位
4
于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸), tan BCO ,
3
则新桥BC的长度为 _______ .
3
x2 y216.已知椭圆 1，过点E(0,1)且斜率为k的直线l与x轴相交于点M ,与椭圆相
6 4
交于A,B两点.若MA BE，则k的值为 _______ .
四、解答题: （本题共 6 个小题，其中 17 题 10分，18 至 22题每题 12分，共
70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.已知 ABC的顶点A(5,1)，边AB上的中线CM所在直线方程为2x y 5 0,
边AC上的高BH所在直线过点(1, 2),且直线BH的一个方向向量为( 2, 1).
(1)求顶点C的坐标；
(2)求直线BC的方程.
18.如图，在平行六面体ABCD A'B'C 'D'中，底面ABCD是边长为2的菱形，
侧棱AA' 1, ABC A'AD A'AB 120 .
(1)求AC '的长；
(2)求直线BD'与AC所成角的余弦值.
4
19.已知圆C的圆心为( 2,1),且圆C _____ .在下列所给的三个条件中任选
一个，填在直线上，并完成解答(注：若选择多个条件分别解答，按第
一个解答计分)
①与直线3x 4y 17 0相切；② 2 2与圆M : x 2 y 4 4相外切；
③经过直线3x y 2 0与直线x 3y 14 0的交点.
（1）求圆C的方程；
（2）圆N：(x m)2 y2 m2 (m 0),是否存在实数m,使得圆N与圆C公共弦的
长度为2，若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由.
20．如图，己知在四棱锥P ABCD中， PA 平面 ABCD，点Q在棱 PA上，且
PA 4PQ 4，底面为直角梯形， CDA BAD 90 ， AB 2,CD 1,AD 2,M ,N
分别是PD,PB的中点．
(1)求证：MQ / / 平面 PCB；
(2)求直线BC与平面MCN所成角的正弦值.
5
2
21.直线y kx b x与椭圆 y2 1交于A,B两点，记 AOB的面积为S.
4
(1)当k 0 1 b 3 ， 时，求S的取值范围；
2 2
(2) AB 4 ,S 2 2当 时，求直线AB的方程。
3 3
2 2
22. x y b已知双曲线 2 2 1(a 0,b 0)与直线l : y kx m(k )有唯一的公共点M ,a b a
过点M且与l垂直的直线分别交x轴、y轴与A(x,0),B(0, y)两点。点P的坐标为(x, y)，当
M点的坐标为( 2 2， 4)时，P点坐标为( 10 2, 5).
(1)求双曲线的标准方程；
(2)当点M运动时，求P点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。
命题学校：柴桥中学
审题学校：龙赛中学
6
