河南省郑州市中牟县2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 河南省郑州市中牟县2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 701.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-12 12:15:10 | ||
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文档简介
中牟县2023-2024学年高二上学期期中考试
数学试题
考试须知：I试卷分I II卷，共四大题22小题；2.满分150分，答题时间120分钟.
第I卷（选择题共60分）
一 单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分.请将每小题四个选项中唯一正确的答案填在答题卷的相应位置上.）
1.已知直线经过两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的两倍，则直线的斜率是（ ）
A.0 B.1 C.-2 D.不存在
2.如图，分别是长方体的棱的中点，下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3.若点满足方程，则点的轨迹是（ ）
A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线
4.双曲线过点，离心率为2，则该双曲线的标准方程为（ ）
A. B.
C. D.
5.当方程所表示的圆取最大面积时，圆心到直线的距离为（ ）
A. B. C. D.
6.已知点，则点到直线的距离是（ ）
A. B. C. D.
7.已知椭圆的左右焦点分别为，直线过点，且与椭圆交于两点，若的周长为的面积为，则椭圆的焦距为（ ）
A.8 B.10 C.12 D.14
8.将地球看作半径为的球体，如图所示，将空间直角坐标系的原点置于球心，赤道位于平面上，轴的正方向为球心指向正北极方向，本初子午线（弧，是0度经线）位于平面上，且交轴于点.已知赤道上一点位于东经60度，则地球上位于西经60度，北纬30度的空间点的横坐标约为（ ）（结果保留整数，参考数值：.）
A.-2755 B.2755 C.-2246 D.2246
二 多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选或不选的得0分.）
9.已知平面过点，其法向量，则下列点不在内的是（ ）
A. B. C. D.
10.若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的值可以是（ ）
A. B.1 C. D.
11.已知焦点在轴上的椭圆C：的离心率为分别为C的左右焦点，为上一动点，则（ ）
A.焦距为
B.左顶点为
C.的面积的最大值为
D.满足的面积为的点恰有2个
12.已知圆，则下列说法正确的是（ ）
A.若点为圆上一点，则的最大值为
B.点在圆内
C.圆与圆的公共弦长为
D.直线与圆相切
第II卷（非选择题共90分）
三 填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分.请把答案直接填在答题卷的相应位置上.）
13.已知是空间的一个单位正交基底，，若，则__________.
14.已知抛物线的准线过双曲线的一个焦点，则__________.
15.已知点在过且与直线垂直的直线上，则圆上的点到点的轨迹的距离的最小值为__________.
16.设直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，若点满足，则该双曲线的渐近线方程是__________.
四 解答题（本题共6个小题，共70分.请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分10分）已知直线过点，且倾斜角的余弦值是，直线与平行，与两坐标轴围成的三角形的面积为1，求直线与的方程.
18.（本小题满分12分）已知双曲线的一条渐近线过点.
（1）求双曲线的离心率；
（2）若双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，求双曲线的方程.
19.（本小题满分12分）如图，四棱锥中，底面，底面是直角梯形，为侧棱上靠近点的四等分点.
（1）证明：平面；
（2）求二面角的平面角的余弦值.
20.（本小题满分12分）已知圆的圆心在直线上，且过圆上一点的切线方程为.
（1）求圆的方程；
（2）设过点的直线与圆交于另一点，以为直径的圆过原点，求直线的方程.
21.（本小题满分12分）如图，已知四棱锥的底面是菱形，对角线交于点，底面，设点满足.
（1）求直线与平面所成角的正弦值；
（2）求点到平面的距离.
22.（本小题满分12分）已知椭圆的右焦点为，上顶点为，直线的斜率为，且原点到直线的距离为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若不经过点的直线与椭圆交于两点，且与圆相切，试探究的周长是否为定值.若是，求出定值；若不是，请说明理由.
中牟县2023-2024学年高二上学期期中考试
数学试题
参考答案及评分标准
一 二选择题（每小题5分，共60分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B A D B C B C B BCD BC AC BC
三 填空题（每小题5分，共20分）
13.4 14.4 15.1 16.
四 解答题（第17题10分，第18 19 20 21 22题每小题12分，共70分）
17.解：设直线的倾斜角为
直线过点
直线的方程为，即
直线与平行
可设直线的方程为
令得，令得
故三角形的面积
，解得
直线的方程是或
即直线的方程是或
18.解：（1）双曲线的渐近线为，
将点代入得，于是，
因为，所以，得，
所以双曲线的离心率.
（2）抛物线的准线为.
因为双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，所以，
又因为，所以，
故双曲线的方程为.
19.（1）证明：取上一点，使，连接，
由题知，所以.
又因为，所以，
所以四边形为平行四边形，所以.
因为平面平面，
所以直线平面.
（2）解：因为平面，
以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
所以，
设平面的法向量为，
则，取，则，
易知平面的一个法向量为，
所以，.
由图可知，二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为.
20.解：（1）由题意，过点的直径所在直线方程为
解得圆心坐标为
半径
圆的方程为
（2）以为直径的圆过原点，
又
直线方程为
由，可得点坐标为
直线方程为
即直线的方程为
21.解：（1）因为平面是菱形，所以，
又因为底面，且面，所以，
所以两两垂直，
以为坐标原点，以所在的直线分别为轴 轴和轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
因为，则
所以，
又因为，
所以，
设平面的法向量，则，
取，可得，所以，
设直线与平面所成角为，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为
（2）由（1）中的空间直角坐标系，可得，
可得，
所以与平面所成角的正弦值为，
则到平面的距离
22.解：（1）由题可知，则①
又直线的方程为，即
②
联立①②解得：
又
椭圆的标准方程为
（2）因为直线与圆相切
所以，即
设
联立得：，
所以
则由根与系数的关系可得：
所以
又，
所以
因为点在椭圆上
所以，
同理
所以，所以
故的周长为定值.
数学试题
考试须知：I试卷分I II卷，共四大题22小题；2.满分150分，答题时间120分钟.
第I卷（选择题共60分）
一 单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分.请将每小题四个选项中唯一正确的答案填在答题卷的相应位置上.）
1.已知直线经过两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的两倍，则直线的斜率是（ ）
A.0 B.1 C.-2 D.不存在
2.如图，分别是长方体的棱的中点，下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3.若点满足方程，则点的轨迹是（ ）
A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线
4.双曲线过点，离心率为2，则该双曲线的标准方程为（ ）
A. B.
C. D.
5.当方程所表示的圆取最大面积时，圆心到直线的距离为（ ）
A. B. C. D.
6.已知点，则点到直线的距离是（ ）
A. B. C. D.
7.已知椭圆的左右焦点分别为，直线过点，且与椭圆交于两点，若的周长为的面积为，则椭圆的焦距为（ ）
A.8 B.10 C.12 D.14
8.将地球看作半径为的球体，如图所示，将空间直角坐标系的原点置于球心，赤道位于平面上，轴的正方向为球心指向正北极方向，本初子午线（弧，是0度经线）位于平面上，且交轴于点.已知赤道上一点位于东经60度，则地球上位于西经60度，北纬30度的空间点的横坐标约为（ ）（结果保留整数，参考数值：.）
A.-2755 B.2755 C.-2246 D.2246
二 多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选或不选的得0分.）
9.已知平面过点，其法向量，则下列点不在内的是（ ）
A. B. C. D.
10.若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的值可以是（ ）
A. B.1 C. D.
11.已知焦点在轴上的椭圆C：的离心率为分别为C的左右焦点，为上一动点，则（ ）
A.焦距为
B.左顶点为
C.的面积的最大值为
D.满足的面积为的点恰有2个
12.已知圆，则下列说法正确的是（ ）
A.若点为圆上一点，则的最大值为
B.点在圆内
C.圆与圆的公共弦长为
D.直线与圆相切
第II卷（非选择题共90分）
三 填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分.请把答案直接填在答题卷的相应位置上.）
13.已知是空间的一个单位正交基底，，若，则__________.
14.已知抛物线的准线过双曲线的一个焦点，则__________.
15.已知点在过且与直线垂直的直线上，则圆上的点到点的轨迹的距离的最小值为__________.
16.设直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，若点满足，则该双曲线的渐近线方程是__________.
四 解答题（本题共6个小题，共70分.请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分10分）已知直线过点，且倾斜角的余弦值是，直线与平行，与两坐标轴围成的三角形的面积为1，求直线与的方程.
18.（本小题满分12分）已知双曲线的一条渐近线过点.
（1）求双曲线的离心率；
（2）若双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，求双曲线的方程.
19.（本小题满分12分）如图，四棱锥中，底面，底面是直角梯形，为侧棱上靠近点的四等分点.
（1）证明：平面；
（2）求二面角的平面角的余弦值.
20.（本小题满分12分）已知圆的圆心在直线上，且过圆上一点的切线方程为.
（1）求圆的方程；
（2）设过点的直线与圆交于另一点，以为直径的圆过原点，求直线的方程.
21.（本小题满分12分）如图，已知四棱锥的底面是菱形，对角线交于点，底面，设点满足.
（1）求直线与平面所成角的正弦值；
（2）求点到平面的距离.
22.（本小题满分12分）已知椭圆的右焦点为，上顶点为，直线的斜率为，且原点到直线的距离为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若不经过点的直线与椭圆交于两点，且与圆相切，试探究的周长是否为定值.若是，求出定值；若不是，请说明理由.
中牟县2023-2024学年高二上学期期中考试
数学试题
参考答案及评分标准
一 二选择题（每小题5分，共60分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B A D B C B C B BCD BC AC BC
三 填空题（每小题5分，共20分）
13.4 14.4 15.1 16.
四 解答题（第17题10分，第18 19 20 21 22题每小题12分，共70分）
17.解：设直线的倾斜角为
直线过点
直线的方程为，即
直线与平行
可设直线的方程为
令得，令得
故三角形的面积
，解得
直线的方程是或
即直线的方程是或
18.解：（1）双曲线的渐近线为，
将点代入得，于是，
因为，所以，得，
所以双曲线的离心率.
（2）抛物线的准线为.
因为双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，所以，
又因为，所以，
故双曲线的方程为.
19.（1）证明：取上一点，使，连接，
由题知，所以.
又因为，所以，
所以四边形为平行四边形，所以.
因为平面平面，
所以直线平面.
（2）解：因为平面，
以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
所以，
设平面的法向量为，
则，取，则，
易知平面的一个法向量为，
所以，.
由图可知，二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为.
20.解：（1）由题意，过点的直径所在直线方程为
解得圆心坐标为
半径
圆的方程为
（2）以为直径的圆过原点，
又
直线方程为
由，可得点坐标为
直线方程为
即直线的方程为
21.解：（1）因为平面是菱形，所以，
又因为底面，且面，所以，
所以两两垂直，
以为坐标原点，以所在的直线分别为轴 轴和轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
因为，则
所以，
又因为，
所以，
设平面的法向量，则，
取，可得，所以，
设直线与平面所成角为，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为
（2）由（1）中的空间直角坐标系，可得，
可得，
所以与平面所成角的正弦值为，
则到平面的距离
22.解：（1）由题可知，则①
又直线的方程为，即
②
联立①②解得：
又
椭圆的标准方程为
（2）因为直线与圆相切
所以，即
设
联立得：，
所以
则由根与系数的关系可得：
所以
又，
所以
因为点在椭圆上
所以，
同理
所以，所以
故的周长为定值.
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