余弦定理
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课件36张PPT。余弦定理 在三角形中,已知两角及一边,或已知两边及其中一边的对角,可以利用正弦定理求其他的边和角,那么,已知两边及其夹角,怎么求出此角的对边呢?已知三边,又怎么求出它的三个角呢?导入：余弦定理是什么？怎样证明？集体探究学习活动一：RTX讨论一： 在正弦定理的向量证法中，我们是如何将一个向量数量化的？还有什么方法将一个向量数量化吗？即同理可证如图所示，根据向量的数量积，可以得到cabBAC数学建构 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。余弦定理数学建构RTX讨论二： 回顾正弦定理的证明你还有没有其它的证明余弦定理的方法？（1）坐标法（2）直角三角形的边角关系（3）正弦定理（三角变换） 证 明 方 法RTX讨论三： 已知三角形三边，由余弦 定理能求三个角吗？请给出余弦定理的变形式。余弦定理变形式：数学建构1.利用余弦定理可以解决哪两类解斜三 角形的问题？
2. “已知两边及其中一边对角”能用 余弦定理求解吗？集体探究学习活动二：RTX讨论四： 利用余弦定理可以解决哪两类解斜三 角形的问题？数学建构总结：利用余弦定理，可以解决以下两
类解斜三角形的问题：(1)已知三边，求三个角(2)已知两边和它们的夹角，
求第三边和其它两个角例1. 如图，在△ABC中，已知a=5，b=4，∠C=120°，求c.解：由余弦定理，得因此数学应用：已知在ΔABC中，根据下列条件解三角形。变式训练：变式训练：已知在ΔABC中，根据下列条件解三角形。RTX讨论五： “已知两边及其中一边对角”能用余弦定理求解吗？其中蕴含什么数学思想？已知在ΔABC中，根据下列条件解三角形。变式训练：解探究：余弦定理有哪些方面的应用？集体探究学习活动三：例2. 利用余弦定理证明， 在△ABC中，数学应用：例3.如图所示，有两条直线AB和CD 相交成80 °角，交点是O，甲、乙两人同时从点O分别沿OA，OC方向出发，速度分别是4km/h，4.5km/h。3时后两人相距多远（精确到0.1km）？ODAQCBP80°解 经过3时后，甲到达点P，OP=4×3=12（km），乙到达点Q，OQ=4.5×3=13.5（km）。依余弦定理，知PQ数学应用：例4.在长江某渡口处，江水以５km/h的速度
向东流。一渡船在江南岸的Ａ码头出发，预定
要在0.1h后到达江北岸Ｂ码头，设ＡＮ为正北
方向，已知Ｂ码头在Ａ码头的北偏东１５°，
并与Ａ码头相距1.2km．该渡船应按什么方向
航行？速度是多少千米／小时？（角度精确到
0.1 ° ，速度精确到0.1km/h）数学应用：数学应用：在ΔＡＢＣ中，由余弦定理，得所以ＡＤ＝ＢＣ≈１．１７（km)因此，船的航行速度为
1.17÷0.1=11.7(km/h)在△ＡＢＣ中，由正弦定理，得所以 ∠ＡＢＣ≈２４．４°所以∠ＤＡＮ＝∠ＤＡＢ－∠ＮＡＢ＝
∠ＡＢＣ－１５ ° ≈９．４ °答：渡船按北偏西９．４ °的
方向，并以１１．７km/h的
速度航行．数学应用：思考：想想看有无其它的方法？数学应用：变式训练： 在△ABC中，若b2sin2C+c2sin2B
=2bc·cosBcosC，试判断三角形的形状。解：由正弦定理，
R为△ABC的外接圆半径，将原式化为4R2sin2Bsin2C+4R2sin2Csin2B
=8R2sinBsinCcosBcosC， 所以8R2sin2Bsin2C=8R2sinBsinCcosBcosC， 因为sinBsinC≠0，所以sinBsinC=cosBcosC，
即cos(B+C)=0， 从而∠B+∠C=90°，∠A=90°，
故△ABC为直角三角形。 解2：将已知等式变形为
b2(1－cos2C)+c2(1－cos2B)=2bccosBcosC，
由余弦定理得变式训练： 在△ABC中，若b2sin2C+c2sin2B
=2bc·cosBcosC，试判断三角形的形状。即得， 得b2+c2=a2，
故△ABC是直角三角形。 变式训练： 在△ABC中，若b2sin2C+c2sin2B
=2bc·cosBcosC，试判断三角形的形状。例6.如图，ＡＭ是三角形ＡＢＣ中ＢＣ边上
的中线，求证：证：设∠ABM＝ α ，则∠AMC＝１８０°－ α ．在△ABM中，由余弦定理，得在△ACM中，由余弦定理，得因为cos(180 ° － α）＝－cos α,BM=MC=
1/2BC,所以因此，数学应用：RTX讨论六：余弦定理的应用体现在哪些方面？本节课我有什么收获？RTX探讨七：对本三连堂内容学生个人小结和集体小结：教师课堂总结三角形中的边角关系余弦定理定理内容定理证明定理应用课堂总结(1)已知三边，求三个角(2)已知两边和它们的夹角，
求第三边和其它两个角。课堂作业：1. 第16-17页习题1、4、5、6、7题;
2.学习与评价第5、7页。拓展思维作业在△ABC中，
（1）若
求∠A；
（2若
求最大的内角。 解：（1）由正弦定理得a2=b2+c2+bc，
即b2+c2－a2=－bc，所以故∠A=120°； 解：（2）因为，
所以∠C为最大角，设a=( －1)k，b=( +1)k，c=10k，故最大内角C为120°.拓展思维作业 创新型作业或异想天开，提出新问题与方法 请给出用三角形三边表示三角形面积一个公式，并用正弦或余弦定理证明。
2. “已知两边及其中一边对角”能用 余弦定理求解吗？集体探究学习活动二：RTX讨论四： 利用余弦定理可以解决哪两类解斜三 角形的问题？数学建构总结：利用余弦定理，可以解决以下两
类解斜三角形的问题：(1)已知三边，求三个角(2)已知两边和它们的夹角，
求第三边和其它两个角例1. 如图，在△ABC中，已知a=5，b=4，∠C=120°，求c.解：由余弦定理，得因此数学应用：已知在ΔABC中，根据下列条件解三角形。变式训练：变式训练：已知在ΔABC中，根据下列条件解三角形。RTX讨论五： “已知两边及其中一边对角”能用余弦定理求解吗？其中蕴含什么数学思想？已知在ΔABC中，根据下列条件解三角形。变式训练：解探究：余弦定理有哪些方面的应用？集体探究学习活动三：例2. 利用余弦定理证明， 在△ABC中，数学应用：例3.如图所示，有两条直线AB和CD 相交成80 °角，交点是O，甲、乙两人同时从点O分别沿OA，OC方向出发，速度分别是4km/h，4.5km/h。3时后两人相距多远（精确到0.1km）？ODAQCBP80°解 经过3时后，甲到达点P，OP=4×3=12（km），乙到达点Q，OQ=4.5×3=13.5（km）。依余弦定理，知PQ数学应用：例4.在长江某渡口处，江水以５km/h的速度
向东流。一渡船在江南岸的Ａ码头出发，预定
要在0.1h后到达江北岸Ｂ码头，设ＡＮ为正北
方向，已知Ｂ码头在Ａ码头的北偏东１５°，
并与Ａ码头相距1.2km．该渡船应按什么方向
航行？速度是多少千米／小时？（角度精确到
0.1 ° ，速度精确到0.1km/h）数学应用：数学应用：在ΔＡＢＣ中，由余弦定理，得所以ＡＤ＝ＢＣ≈１．１７（km)因此，船的航行速度为
1.17÷0.1=11.7(km/h)在△ＡＢＣ中，由正弦定理，得所以 ∠ＡＢＣ≈２４．４°所以∠ＤＡＮ＝∠ＤＡＢ－∠ＮＡＢ＝
∠ＡＢＣ－１５ ° ≈９．４ °答：渡船按北偏西９．４ °的
方向，并以１１．７km/h的
速度航行．数学应用：思考：想想看有无其它的方法？数学应用：变式训练： 在△ABC中，若b2sin2C+c2sin2B
=2bc·cosBcosC，试判断三角形的形状。解：由正弦定理，
R为△ABC的外接圆半径，将原式化为4R2sin2Bsin2C+4R2sin2Csin2B
=8R2sinBsinCcosBcosC， 所以8R2sin2Bsin2C=8R2sinBsinCcosBcosC， 因为sinBsinC≠0，所以sinBsinC=cosBcosC，
即cos(B+C)=0， 从而∠B+∠C=90°，∠A=90°，
故△ABC为直角三角形。 解2：将已知等式变形为
b2(1－cos2C)+c2(1－cos2B)=2bccosBcosC，
由余弦定理得变式训练： 在△ABC中，若b2sin2C+c2sin2B
=2bc·cosBcosC，试判断三角形的形状。即得， 得b2+c2=a2，
故△ABC是直角三角形。 变式训练： 在△ABC中，若b2sin2C+c2sin2B
=2bc·cosBcosC，试判断三角形的形状。例6.如图，ＡＭ是三角形ＡＢＣ中ＢＣ边上
的中线，求证：证：设∠ABM＝ α ，则∠AMC＝１８０°－ α ．在△ABM中，由余弦定理，得在△ACM中，由余弦定理，得因为cos(180 ° － α）＝－cos α,BM=MC=
1/2BC,所以因此，数学应用：RTX讨论六：余弦定理的应用体现在哪些方面？本节课我有什么收获？RTX探讨七：对本三连堂内容学生个人小结和集体小结：教师课堂总结三角形中的边角关系余弦定理定理内容定理证明定理应用课堂总结(1)已知三边，求三个角(2)已知两边和它们的夹角，
求第三边和其它两个角。课堂作业：1. 第16-17页习题1、4、5、6、7题;
2.学习与评价第5、7页。拓展思维作业在△ABC中，
（1）若
求∠A；
（2若
求最大的内角。 解：（1）由正弦定理得a2=b2+c2+bc，
即b2+c2－a2=－bc，所以故∠A=120°； 解：（2）因为，
所以∠C为最大角，设a=( －1)k，b=( +1)k，c=10k，故最大内角C为120°.拓展思维作业 创新型作业或异想天开，提出新问题与方法 请给出用三角形三边表示三角形面积一个公式，并用正弦或余弦定理证明。