天津市第四十七中学2023-2024学年高二上学期11月期中考试数学试题（含答案）

天津市第四十七中学2023-2024学年高二上学期11月期中考试
数学试卷
一 选择题（每题5分，共45分）
1.直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2.已知直线与，则“”是“”的（ ）
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
3.已知，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
4.如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若，则（ ）
A. B.
C. D.
5.抛物线的焦点到圆上点的距离的最大值为（ ）
A.6 B.2 C.5 D.8
6.一条沿直线传播的光线经过点和，然后被直线反射，则反射光线所在的直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
7.双曲线，点均在上，若四边形为平行四边形，且直线的斜率之积为3，则双曲线的渐近线的倾斜角为（ ）
A. B.或 C. D.或
8.已知圆，点为直线上的一个动点，是圆的两条切线，是切点，当四边形（点为坐标原点）面积最小时，直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
9.已知双曲线的右焦点为，关于原点对称的两点A B分别在劝曲线的左 右两支上，，且点在双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二 填空题（每题5分，共30分）
10.抛物线的焦点到准线的距离是__________.
11.已知向量共面，则__________.
12.已知直线过点，若直线在轴上的截距是在轴上的截距的2倍，则直线的方程是__________.
13.已知点，直线过原点，且直线的方向向量是向量，则点到直线的距离是__________.
14.若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则直线的倾斜角的正切值的取值范围为__________.
15.已知动点在抛物线上，过点引圆的切线，切点分别为，则的最小值为__________.
三 解答题（共75分，解答需写出必要的文字说明推理过程或计算步骤，只有结果的不给分）
16.在锐角中，内角的对边分别为，满足.
（1）求角的大小；
（2）若，求的值；
（3）若，求的面积.
17.如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，且平面平面，在平面内过作，交于，连.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的正弦值；
（3）在线段上存在一点，使直线与平面所成的角的正弦值为，求的长.
18.已知圆的圆心在轴上，且过点和
（1）求圆的方程；
（2）直线和圆C交于A B两点求弦长；
（3）若实数满足圆的方程，求的最大值
19.椭圆经过点，且离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同两点均异于点，问：直线与的斜率之和是否为定值？若是，求出此定值：若否，请说明理由.
20.已知椭圆的离心率为，圆与轴交于点为椭圆上的动点，面积最大值为.
（1）求圆与椭圆的方程；
（2）圆的切线交椭圆于点，求的取值范围.
天津市第四十七中学2023-2024学年高二上学期11月期中考试
数学试卷答案
一 选择题
1.C 2.D 3.D 4.D 5.A 6.D 7.B 8.A 9.B
二 填空题：（本大题共6小题.每题5分共30分）
10. 11. 12.或 13. 14. 15.
三. 解答题.（共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16.（本小题满分14分）
（1）因为，所以，
即，又，所以，因此；
（2）因为，所以，所以，，
所以.
（3）由余弦定理得，
又因为，所以，
所以三角形的面积是.
17.（本小题满分15分）
（1）证明：因为平面，平面平面，
所以平面，又平面，因此.
明显四边形是矩形，所以，又，所以.
因平面，所以平面
（2）以为原点所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系
设平面的法向量是
所以令则
同理可得平面的法问量为
所以平面与平面夹角的正弦值为
（3）易知平面的法向量是，设
所以
设直线与平面所成角是
解得
所以，即
所以的长为
18.（本小题满分15分）
（1）设圆心，所以
解得所以
圆心到直线的距离是，所以
（3）设点在圆上，
即所以
易知当直线与圆相切时可取最大最小值
所以，整理得，解得
所以的最大值为
19.（本小题满分15分）
（1）由题意知，综合，解得，所以，椭圆的方程为.
（2）由题设知，直线的方程为，代入，得，
由已知，设
则，
从而直线与的斜率之和
20.（本小题满分16分）
（1）由题意得，解得，①
因为，所以，点为椭圆的焦点，所以，
设，则，所以，当时，，
代入①解得，所以，
所以，圆的方程为，椭圆的方程为.
（2）①当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
因为直线与圆相切，所以，即，
联立消去可得，
，
，
令，则，所以，
所以，所以；
②当直线的斜率不存在时，直线的方程为，解得.
综上，的取值范围是.