贵州省凯里市2023-2024学年高二上学期期中考试押题数学模拟卷（含答案）

凯里市2023-2024学年高二上学期期中考试押题数学模拟卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．测试范围：选择性必修第一册第一章、第二章
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，E是CC'的中点，，，，xyz，则（　 　）
A．x＝1，y＝2，z＝3 B．x，y＝1，z＝1
C．x＝1，y＝2，z＝2 D．x，y＝1，z
2．圆心为，且过原点的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知向量，.若向量与向量平行，则实数的值是（ ）
A．2 B．-2 C．10 D．-10
4．圆与直线的位置关系( )
A．相切 B．相离 C．相交 D．不能确定
5．如图，在正四棱柱中，是棱的中点，点在棱上，且.若过点的平面与直线交于点，则（ ）
A． B． C． D．
6．若点为圆的弦的中点，则弦所在直线的方程为( )
A． B．
C． D．
7．在棱长为的正方体中， 分别是的中点，下列说法错误的是（ ）
A．四边形是菱形 B．直线与所成的角的余弦值是
C．直线与平面所成角的正弦值是 D．平面与平面所成角的正弦值是
8．平面直角坐标系xOy中，已知点P（2，4），圆O：，则下列结论正确的是（ ）
A．过点P与圆O相切的直线方程为
B．过点P的直线与圆O相切于M，N，则直线MN的方程为
C．过点P的直线与圆O相切于M，N，则|PM|=3
D．过点P的直线m与圆O相交于A，B两点，若∠AOB=90°，则直线m的方程为或
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．直线l过点且斜率为k，若与连接两点，的线段有公共点，则k的取值可以为（ ）
A． B．1 C．2 D．4
10．在正方体中，，分别是和的中点，则下列结论正确的是( )
A．平面 B．平面
C． D．点与点到平面的距离相等
11．已知圆与圆，则下列说法正确的是（ ）
A．若圆与轴相切，则
B．若，则圆C1与圆C2相离
C．若圆C1与圆C2有公共弦，则公共弦所在的直线方程为
D．直线与圆C1始终有两个交点
12．如图，在棱长为的正方体中，分别为棱，的中点，为面对角线上的一个动点，则（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．线段上存在点，使平面
C．线段上存在点，使平面平面
D．设直线与平面所成角为，则的最大值为
第ⅠⅠ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．直线过定点______；若与直线平行，则______.
14．（2020·河南省高二期末）若向量，，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围为________.
15．已知以为圆心的圆与圆相内切，则圆C的方程是________．
16．如图，在正方体中，M为线段的中点，N为线段上的动点，则直线与MN所成角的正弦值的最小值为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10分）已知直线过点.
（1）若原点到直线的距离为，求直线的方程；
（2）当原点到直线的距离最大时，求直线的方程.
18．（12分）如图，在长方体中，，，点、分别为、的中点．
（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值．
19．（12分）如图，圆，点为直线上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为
（1）求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标；
（2）若两条切线于轴分别交于两点，求面积的最小值．
20．（12分）如图，在直三棱柱A1B1C1-ABC中，AC⊥AB，AC＝AB＝4，AA1＝6，点E，F分别为CA1，AB的中点．
(1)求直线EF与直线B1F所成角的余弦值；
(2)求直线B1F与平面AEF所成角的正弦值．
(3)求平面CEF与平面AEF的夹角的余弦值．
21．（12分）如图1，平面图形由直角梯形和拼接而成，其中，，，，，与相交于点，现沿着将其折成四棱锥（如图2）．
(1)当侧面底面时，求点到平面的距离；
(2)在（1）的条件下，线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
22．（12分）已知点到的距离是点到的距离的2倍.
（1）求点的轨迹方程；
（2）若点与点关于点对称，点，求的最大值；
（3）若过的直线与第二问中的轨迹交于，两点，试问在轴上是否存在点，使恒为定值 若存在，求出点的坐标和定值；若不存在，请说明理由.
参考答案与解析
选择题
1、【答案】A
2、【答案】A
3、【答案】C
4、【答案】C
5、【答案】A
6、【答案】B
7、【答案】C
8、【答案】D
二、多选题
9、【答案】AD
10、【答案】AC
11、【答案】BD
12、【答案】ABD
三、填空题
13、【答案】
14、【答案】且
15、【答案】(x－4)2＋(y＋3)2＝36.
16、【答案】
解答题
17、【答案】（1）或；（2）
【解析】
（1）①当直线的斜率不存在时，方程符合题意；
②当直线的斜率存在时，设斜率为，则方程为，即
根据题意，得，解得，则直线的方程为
故直线的方程为或
（2）当原点到直线的距离最大时，直线
因为，所以直线的斜率
所以其方程为，即
18、【答案】(1)见证明；(2)
【解析】
(1)如图，以点A为坐标原点，分别以AB,AD,A为x,y,z轴建立空间直角坐标系
则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),E(0,0,),(1,1,),
,,
,
,
与BE是平面BDE内两条相交直线
平面BDE
（2）由（1）进一步可得F(0，)，
设平面BDE的法向量为，可取，
设平面FBE的法向量为，
由,可得，取x=1，可得(1,-2,)
.
由于二面角F-BE-D为锐二面角，故所求的二面角的余弦值为
19、【答案】（1）见解析，（2）
【解析】
（1）设，则以 为直径的圆的方程： ，
与圆，
两式相减得：，
所以直线恒过定点.
（2）设直线与的斜率分别为，
与圆相切，所以，
即．
所以，
，
所以面积的最小值为
20、【解析】（1）以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，如图，
则，
，
即直线EF与直线B1F所成角的余弦值为.
（2）由（1）知，，，
设平面AEF的法向量，
则，令，则，
设B1F与平面AEF所成角为，
则直线B1F与平面AEF所成角的正弦值为.
（3）由（1）知，，
设平面CEF的法向量，
则，令，则，，
，
，
所以平面CEF与平面AEF的夹角的余弦值为.
21、【解析】（1）∵，，∴．
如下图所示，连接，则,
所以，
所以，
结合折叠前后图形的关系可知，故四边形为正方形，
∴，即为的中点，∴，∴．
∵侧面底面，侧面底面，
∴平面，
易知，，两两垂直．
以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，
建立空间直角坐标系，如下图所示，
则，，，，，
∴，，．
设平面的法向量为，
则，取，得，，
则为平面的一个法向量，
则点到平面的距离．
（2）假设存在满足题意的点，且（）．
∵，∴，
∴，
∴．
设平面的法向量为，
又∵，，
∴，
取，则，，
取为平面的一个法向量．
易知平面的一个法向量为，
∵二面角的余弦值为，
∴，
化简，得，
解得或（舍去）．
∴线段上存在满足题意的点，且．
22、【解析】（1）设点，由題意可得，即，
化简可得.
（2）设，由(1)得点满足的方程，
又点是点与点的中点，则，代入上式消去可得，即的轨迹为.
令，则，可视为直线在y轴上的截距，
的最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最小值，即直线与圆相切时在y轴上的截距，由直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径，
所以，，所以.
因此的最大值为138.
（3）存在点，使得为定值.
当直线的斜率存在时，设其斜率为，则直线的方程为，
由，消去，得，显然，
设，则，，
又，，
则
要使上式恒为定值，需满足，解得，此时，为定值.
当直线的斜率不存在时，，，由可得.
所以存在点，使得为定值