深圳市罗湖区2023-2024学年高二上学期期中考试
数学试题卷
本试卷共4页，22小题，满分150分，考试时间120分钟
一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知向量，且，则x的值为（ ）
A．4 B．2 C．3 D．1
2．图中的直线的斜率分别为，则有（ ）
A． B．
C． D．
3．已知圆的方程圆心坐标为，则它的半径为（ ）
A． B． C． D．
4．在平行六面体中，M为AC与BD的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）．
A． B．
C． D．
5．若方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（ ）
A．(0，＋∞) B．(0，2) C．(0，1) D．(1，＋∞)
6．已知双曲线的两个焦点，，是双曲线上一点，且，，则双曲线的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
7．如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截得到的，其中，，，，则点到平面的距离为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知实数满足，则的最大值是（ ）
A． B．4 C． D．7
二、多选题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求的，错选不得分，漏选得2分.
9．已知直线与圆有两个交点，则实数的值可能是（ ）
A． B．1 C． D．2
10．设椭圆的左右焦点为，，P是C上的动点，则下列结论正确的是（ ）．
A．P到最小的距离是 B．
C．面积的最大值为6 D．P到最大的距离是9
11．如图，在正方体中，分别为的中点，则（ ）
A．
B． 平面
C．平面
D．直线与直线所成角的余弦值为
12．已知 分别是双曲线 的左、右焦点，A为左顶点，P为双曲线右支上一点，若且的最小内角为，则（ ）
A．双曲线的离心率 B．双曲线的渐近线方程为
C． D．直线与双曲线有两个公共点
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.
13．已知与，若两直线平行，则的值为
14．如图，在正方体中，、分别是、的中点，则异面直线与所成角的大小是____________．
15．已知双曲线E：–=1（a>0，b>0）．矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是 ．
16．已知、分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的动点，点关于直线的对称点为，点关于直线的对称点为，则当最大时，的面积为 .
四、解答题：本大题共70分。其中17题10分，18～22每小题12分,解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤.
17．已知直线l经过两条直线和的交点．
(1)若直线l与直线垂直，求直线l的方程；
(2)若直线l在两个坐标轴上的截距相同，求直线l的方程．
18．如图，四棱锥的底面是矩形，⊥平面，，.
(1)求证：⊥平面；
(2)求二面角余弦值的大小；
19．如图，若是双曲线的两个焦点.
(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；
(2)若P是双曲线左支上的点，且，试求的面积.
20．如图是一个直三棱柱（以为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为．已知，，，，．
(1)设点是的中点，证明：∥平面；
(2)求与平面所成的角的余弦值；
(3)求此几何体的体积．
21．在平面直角坐标系中，以O为圆心的圆与直线相切．
（1）求圆O的方程：
（2）已知圆O与x轴相交于两点，圆O内的动点P满足，求的取值范围．
22．已知椭圆的右焦点为，且经过点.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设O为原点，直线与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，若|OM|·|ON|=2，求证：直线l经过定点.深圳市罗湖区2023-2024学年高二上学期期中考试
数学试题卷 答案
一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知向量，且，则x的值为（ ）
A．4 B．2 C．3 D．1
【答案】A
【分析】根据可知，代入坐标公式即可求解．
【详解】因为，所以，
因为向量，，
所以，解得，所以x的值为4，
故选：A．
2．图中的直线的斜率分别为，则有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据直线斜率的概念，结合图象，可直接得出结果.
【详解】由图象可得，，
故选：B
3．已知圆的方程圆心坐标为，则它的半径为
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】分析：先根据圆心坐标求出a的值，再求圆的半径.
详解：由题得所以圆的半径为
故答案为D
点睛：(1)本题主要考查圆的一般方程，意在考查学生对该基础知识的掌握能力. (2) 当时，表示圆心为，半径为的圆.
4．在平行六面体中，M为AC与BD的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用空间向量线性运算法则进行运算即可.
【详解】因为在平行六面体中，，
所以.
故选：B.
5．若方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（ ）
A．(0，＋∞) B．(0，2) C．(0，1) D．(1，＋∞)
【答案】C
【分析】要利用条件椭圆焦点在轴上，应将椭圆的方程化为标准方程，由椭圆的焦点在轴上，可得，进而可解得实数的取值范围．
【详解】因为方程，即 表示焦点在轴上的椭圆，
所以 ，即 ，
所以实数的取值范围是．
故选：C．
【点睛】本题考查椭圆的标准方程，要判断椭圆焦点的位置，应将椭圆的方程化为标准方程．对于椭圆，①表示焦点在x轴上的椭圆 ；②表示焦点在y轴上的椭圆 ．；③表示椭圆 ．
6．已知双曲线的两个焦点，，是双曲线上一点，且，，则双曲线的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据条件设，，由条件求得，即可求得双曲线方程.
【详解】设，则由已知得，，又，，又，，双曲线的标准方程为.
故选：D
7．如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截得到的，其中，，，，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】建立空间直角坐标系，计算平面AEC1F的法向量，利用点到面距离的向量公式即得解
【详解】以D为原点，分别以DA，DC，DF所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D-xyz，
则，
∴，.
设为平面的法向量，，
由，得，
令z=1，∴，
所以.
又，
∴点C到平面AEC1F的距离d=.
故选：C.
8．已知实数满足，则的最大值是（ ）
A． B．4 C． D．7
【答案】A
【分析】法一：令，利用判别式法即可；法二：通过整理得，利用三角换元法即可，法三：整理出圆的方程，设，利用圆心到直线的距离小于等于半径即可.
【详解】法一：令，则，
代入原式化简得，
因为存在实数，则，即，
化简得，解得，
故 的最大值是，
法二：，整理得，
令，，其中，
则，
，所以，则，即时，取得最大值，
法三：由可得，
设，则圆心到直线的距离，
解得
故选：A.
二、多选题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求的，错选不得分，漏选得2分.
9．已知直线与圆有两个交点，则实数的值可能是（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】ABC
【分析】由圆心到直线的距离小于半径可得的范围．
【详解】圆的圆心为，半径为，依题意得，解得．
故选：ABC．
10．设椭圆的左右焦点为，，P是C上的动点，则下列结论正确的是（ ）．
A．P到最小的距离是 B．
C．面积的最大值为6 D．P到最大的距离是9
【答案】BD
【分析】根据椭圆的定义和性质逐项运算分析即可.
【详解】由椭圆方程可得：，则，
对A：根据椭圆性质可知当P是椭圆的左顶点时，P到的距离最小，
最小值为，B错误；
对B：根据椭圆的定义可得，A正确；
对C：根据椭圆性质可知当P是椭圆的上顶点时，的面积最大，
最大值为，C错误；
对D：根据椭圆性质可知当P是椭圆的右顶点时，P到的距离最大，
最小值为，D正确.
故选：BD.
11．如图，在正方体中，分别为的中点，则（ ）
A．
B． 平面
C．平面
D．直线与直线所成角的余弦值为
【答案】AD
【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，由空间向量的关系判断空间位置关系，A选项，根据得到A正确；B选项，求出平面的法向量，由得到B错误；C选项，根据，得到直线与直线不垂直；D选项，利用空间向量夹角余弦公式进行计算.
【详解】以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，
则.
.
A选项，因为，所以，A正确.
B选项，设平面的法向量为，
则，
令得，，故，
因为，
所以与不垂直，则直线与平面不平行，错误.
C选项，若平面，则.
因为，所以直线与直线不垂直，矛盾，C错误.
D选项，，D正确.
故选：AD
12．已知 分别是双曲线 的左、右焦点，A为左顶点，P为双曲线右支上一点，若且的最小内角为，则（ ）
A．双曲线的离心率 B．双曲线的渐近线方程为
C． D．直线与双曲线有两个公共点
【答案】ABD
【解析】A．根据以及对应的余弦定理计算出离心率的值；B．根据离心率的值，计算出的值，即可求解出双曲线的渐近线方程；C．根据的大小关系判断出三角形的形状，再根据长度关系判断是否成立；D．联立直线与双曲线，利用一元二次方程的，判断出直线与双曲线的交点个数.
【详解】A．因为，，所以，，
又因为，所以，
所以，所以，所以，故结论正确；
B．，所以，所以，所以渐近线方程为，故结论正确；
C．因为，所以，所以，
又因为，所以，所以，所以结论不成立；
D．因为，所以，所以，
所以，
所以直线与双曲线有两个公共点，所以结论正确.
故选：ABD.
【点睛】本题考查双曲线性质的综合运用，对分析与计算能力要求较高，难度较难.(1)双曲线渐近线的斜率与离心率之间的关系：；(2)平行于双曲线渐近线的直线(不重合)与双曲线仅有一个交点，斜率绝对值小于渐近线斜率的绝对值的直线，其与双曲线有两个交点.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.
13．已知与，若两直线平行，则的值为
【答案】
【详解】两直线平行则斜率相等，所以，解得
14．如图，在正方体中，、分别是、的中点，则异面直线与所成角的大小是____________．
【答案】
【详解】试题分析：分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，设，则，
，即异面直线A1M与DN所成角的大小是
考点：异面直线所成的角
15．已知双曲线E：–=1（a>0，b>0）．矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是 ．
【答案】
【详解】试题分析：不妨设，所以，由及，得：，两边同除以，则有，解方程得，（舍去），所以应该填．
考点：双曲线的简单几何性质．
16．已知、分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的动点，点关于直线的对称点为，点关于直线的对称点为，则当最大时，的面积为 .
【答案】/
【分析】将对称性和椭圆的定义结合起来，得到PM，PN的和为定值，从而知当M、N、P三点共线时，MN的值最大，然后通过几何关系求出，结合余弦定理即可求出三角形的面积.
【详解】根据椭圆的方程可知，，连接PM，PN，
则，所以当M、N、P三点共线时，|MN|的值最大
此时
又因，可得
在中，由余弦定理可得，，
即，解得，
故答案为：.
【点睛】方法点睛：焦点三角形的作用
在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来．
四、解答题：本大题共70分。其中17题10分，18～22每小题12分,解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤.
17．已知直线l经过两条直线和的交点．
(1)若直线l与直线垂直，求直线l的方程； 5分
(2)若直线l在两个坐标轴上的截距相同，求直线l的方程． 5分
【答案】(1)；
(2)或者.
得.
【详解】（1）（1）由，可得，
即直线和的交点为， 1分
因为直线垂直于直线，
设直线的方程为，
把点代入方程得，解得，
所以直线的方程为. 5分
（2）①当截距为0时，设直线的方程为，
把点代入方程得，解得2，
所以直线的方程为； 7分
②当截距不为0时，设直线的方程为 ，把点代入方程得，解得3，所以直线的方程为 9分
所以直线的方程为或者. 10分
18．如图，四棱锥的底面是矩形，⊥平面，，.
(1)求证：⊥平面；5分
(2)求二面角余弦值的大小；7分
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）如图建立空间直角坐标系，求出点的坐标，即可得到，，从而得证；
（2）（3）利用空间向量法计算可得.
【详解】（1）证明：建立如图所示的直角坐标系，
则、、．
在中，，，
∴．1分
∴、，
∴，，，
∵，，
即，2分
，3分
又，平面，
∴⊥平面；5分
（2）由（1）得，．
设平面的法向量为，
则，即，故平面的法向量可取为，7分
∵平面，
∴为平面的一个法向量．9分
设二面角的大小为，由图易得为锐角，
依题意可得， 11分
即二面角余弦值为．12分
19．如图，若是双曲线的两个焦点.
（1）若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；4分
（2）若P是双曲线左支上的点，且，试求的面积. 8分
【答案】（1）10或22；（2）.
【分析】（1）利用双曲线的定义，根据动点到一个焦点的距离求动点到另一个焦点的距离即可；
（2）先根据定义得到，两边平方求得，即证，，再计算直角三角形面积即可.
【详解】解：（1）是双曲线的两个焦点，则，
点M到它的一个焦点的距离等于16，设点到另一个焦点的距离为，
则由双曲线定义可知，
解得 2分 或4分，
即点到另一个焦点的距离为或；
（2）P是双曲线左支上的点，则，
则，而，7分
所以，
即，9分
所以为直角三角形，，10分
所以. 12分
20．如图是一个直三棱柱（以为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为 ．已知，，，，．
(1)设点是的中点，证明：∥平面；4分
(2)求与平面所成的角的余弦值；5分
(3)求此几何体的体积．3分
【答案】(1)见解析；
(2)；
(3) .
【分析】（1）利用空间向量法证明线面平行即可；
（2）利用空间向量法求与平面所成的角；
（3）构造出三棱柱，运用等量代换即可；
【详解】（1）（1）如图，以为原点建立空间直角坐标系，
则，
因为是的中点，
所以，
易知，是平面的一个法向量，2分
由，且不在平面内，
所以∥平面· 4分
（2）设与面所成的角为 ，
求得，
设是平面的一个法向量，
则由得，取，
得 6分
又因为，
所以，，
则， 8分
所以
所以与面所成的角余弦值为； 9分
（3）分别延长至，使，
则. 12分
21．在平面直角坐标系中，以O为圆心的圆与直线相切．
（1）求圆O的方程：4分
（2）已知圆O与x轴相交于两点，圆O内的动点P满足，求的取值范围．8分
【答案】（1）（2）
【解析】（1）由题意可知圆是圆心在原点的标准方程，由切线可直接求得半径，即得到圆的方程；
（2）根据圆内的动点P满足，列出方程，再根据点P在圆内求出取值范围．
【详解】（1）依题设，圆O的半径r等于原点O到直线的距离，即．
得圆O的方程为；4分
（2）不妨设由，即得．
设，由，得
整理得．7分
8分
由于点P在圆O内，故
由此得，10分
则，
所以的取值范围为．12分
22．已知椭圆的右焦点为，且经过点.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；3分
（Ⅱ）设O为原点，直线与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，若|OM|·|ON|=2，求证：直线l经过定点.
9分
【答案】（Ⅰ）；
（Ⅱ）见解析.
【分析】(Ⅰ)由题意确定a,b的值即可确定椭圆方程；
(Ⅱ)设出直线方程，联立直线方程与椭圆方程确定OM,ON的表达式，结合韦达定理确定t的值即可证明直线恒过定点.
【详解】（Ⅰ）因为椭圆的右焦点为，所以；
因为椭圆经过点,所以，所以，
故椭圆的方程为. 3分
（Ⅱ）设
联立得，4分
，，.6分
直线，令得，即；7分
同理可得.8分
因为,所以；
，解之得，11分
所以直线方程为，所以直线恒过定点.12分
【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
