罗定市2023-2024学年高二上学期期中考试
数学试题
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分，在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知直线，若直线与垂直，则的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．若与共线，则（ ）
A．－4 B．－2 C．2 D．4
3.直线恒过一定点，则该定点的坐标（ ）
A． B． C． D．
4．当圆C：截直线l：所得的弦长最短时，实数（ ）
A． B．－1 C． D．1
5．若点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在三棱柱中，E、F分别是BC、的中点，为的重心，则（ ）
A．
B．
C．
D．
7．“”是“，两点到直线：的距离相等”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分且必要条件 D．既不充分又不必要条件
8．如图，在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点．直线到平面的距离为（ ）．
A． B．
C． D．
多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分，在给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．已知向量，，，则
A． B． C． D．
10．已知，，，则（ ）
A．直线与线段AB有公共点
B．直线AB的倾斜角大于
C．的边BC上的高所在直线的方程为
D．的边BC上的中垂线所在直线的方程为
11．圆和圆的交点为，，则（ ）
A．公共弦所在直线的方程为 B．线段中垂线的方程为
C．公共弦的长为 D．两圆圆心距
12．如图，四棱柱的底面ABCD是正方形，O为底面中心，
平面ABCD，．以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则（ ）
A．
B．平面
C．平面的一个法向量为
D．点B到直线的距离为
填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．如图，的二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于已知，，，则的长为
14．求过点且与圆相切的直线方程为 .
15.若点在曲线：上运动，则的最大值为 .
16．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则点B1到平面ABC1的距离为 .
四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知空间三点，0，、，1，、，0，，设，．
（1）若向量与互相垂直，求实数的值；
（2）若向量与共线，求实数的值．
18．已知直线：.
(1)若直线与直线：平行，求的值；
(2)若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程.
19．如图，在四棱锥中，平面，正方形的边长为，设为侧棱的中点.
(1)求正四棱锥的体积；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
20．已知圆，直线.
(1)求证：直线l与圆C恒有两个交点；
(2)若直线l与圆C交于点A，B，求面积的最大值，并求此时直线l的方程.
21．已知线段的端点的坐标是，端点在圆：上运动.
（1）求线段的中点的轨迹的方程；
（2）设圆与曲线交于 两点，求线段的长.
22．如图，在直三棱柱中，，，，是的中点.
(1)求异面直线与所成角的余弦值；
(2)求平面与平面的夹角的正弦值.罗定市2023-2024学年高二上学期期中考试
数学试题 答案版
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：第1-2章（人教版选择性必修一）。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分，在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知直线，若直线与垂直，则的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为直线与垂直，且，所以，解得，
设的倾斜角为，，所以，故选A.
2．若与共线，则（ ）
A．－4 B．－2 C．2 D．4
【答案】A
【解析】因为与共线，
所以，即，即，解得.故选A
3.直线恒过一定点，则该定点的坐标（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由得，所以，
解得，所以定点坐标为，故选B
4．当圆C：截直线l：所得的弦长最短时，实数（ ）
A． B．－1 C． D．1
【答案】B
【分析】直线过的定点，当直线垂直于时，圆被直线截得的弦长最短，可求出.
【详解】由题意，直线的方程化为，
由得，
∴直线过定点，显然点在圆内，
要使直线被圆截得弦长最短，只需与圆心的连线垂直于直线，
，解得，
故选：B.
5．若点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为点在圆的外部，
所以，解得，故选C．
6．如图，在三棱柱中，E、F分别是BC、的中点，为的重心，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据向量的数乘及加、减运算求解即可.
【详解】解：由题意可得：
.
故选：A.
7．“”是“，两点到直线：的距离相等”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分且必要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.
【详解】若，两点到直线：的距离相等，
则，
即，
解得或，
所以“”是“，两点到直线：的距离相等”的充分不必要条件，
故选：A
8．如图，在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点．直线到平面的距离为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将直线到平面的距离转化为点到平面的距离，建立直角坐标系，表示出相应点的坐标以及向量和法向量，利用距离公式即可求出.
【详解】平面,平面, 平面,
因此直线到平面的距离等于点到平面的距离，
如图，以点为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立直角坐标系.
则
设平面的法向量为，则
，令，则
设点到平面的距离为，则
故直线到平面的距离为.
故选：D.
多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分，在给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．已知向量，，，则
A． B．
C． D．
【分析】对于，结合向量模公式，即可求解，
对于，结合向量的数量积公式，即可求解，
对于，结合向量垂直的性质，即可求解，
对于，结合向量平行的性质，即可求解．
【解答】解：，，
，
，故错误，
，，
，故正确，
，
，故正确，
，，
，
，故正确．
故选：．
10．已知，，，则（ ）
A．直线与线段AB有公共点
B．直线AB的倾斜角大于
C．的边BC上的高所在直线的方程为
D．的边BC上的中垂线所在直线的方程为
【答案】BC
【解析】如图所示：所以直线与线段无公共点，A错误；
因为，所以直线的倾斜角大于，B正确．
因为，且边上的高所在直线过点A，
所以的边上的高所在直线的方程为，
即，C正确，
因为线段的中点为，且直线的斜率为，
所以上的中垂线所在直线的方程为，
即，故D错误，故选BC.
11．圆和圆的交点为，，则（ ）
A．公共弦所在直线的方程为
B．线段中垂线的方程为
C．公共弦的长为
D．两圆圆心距
【答案】ABD
【解析】①，②，用①减去②即得到公共弦所在直线的方程为，故A正确；
把圆化为标准方程得，圆心为，半径为 ，把圆化为标准方程为，圆心为，，线段中垂线即为圆心与圆心两点构成的直线为，故B正确；
圆心到公共弦所在直线的距离为，故公共弦的长为，故C错误；
圆心到圆心的距离，故D正确. 故选ABD.
12．如图，四棱柱的底面ABCD是正方形，O为底面中心，平面ABCD，．以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则（ ）
A．
B．平面
C．平面的一个法向量为
D．点B到直线的距离为
【答案】BCD
【解析】依题意, 是正方形, ,与的交点为原点,,
在给定的空间直角坐标系中, ,
而,
则点,,故错误;
,,
设平面的法向量,
则,
令,得,故正确;
,即平面,故正确;
,,,
到的距离,故正确，故选
第Ⅱ卷
填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．如图，的二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于已知，，，则的长为
【答案】
【分析】由向量的线性表示，根据向量模长根式即可代入求解.
【详解】解：由条件，知，,
所以
，
所以,
故答案为：
14．求过点且与圆相切的直线方程为 .
【答案】x＝4或3x+4y＝0
【解析】当直线的斜率存在时，可设直线方程为y+3＝k（x－4），即kx－y－4k－3＝0，
由题意得，
解得k＝，此时直线方程为3x+4y＝0，
当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝4
此时圆心 到直线x＝4的距离为3，所以直线与圆相切，符合题意.
15.若点在曲线：上运动，则的最大值为 .
【答案】/
【分析】先根据已知求出圆心，半径，再把分式转化为斜率，最后化简为直线结合直线和圆的位置关系应用点到直线距离求解即可.
【详解】曲线方程化为，是以为圆心，3为半径的圆，
表示点与点连线的斜率，不妨设即直线：，
又在圆上运动，故直线与圆有公共点，则，
化简得解得，故的最大值为.
故答案为:.
16．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则点B1到平面ABC1的距离为 .
【答案】
【解析】以点C为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则，
所以，， ，
设平面ABC1的法向量为，则，即，
令，则，故，
所以点B1到平面ABC1的距离为.
.
．
四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知空间三点，0，、，1，、，0，，设，．
（1）若向量与互相垂直，求实数的值；
（2）若向量与共线，求实数的值．
【分析】（1）求出向量、的坐标，利用空间向量垂直的坐标表示可得出关于实数的方程，解之即可；
（2）求出向量与的坐标，设，可得出关于、的方程组，即可解得实数的值．
【解答】解：（1）由已知可得，，
所以，，，
由题意可知，
即，
解得或2．
（2），，
由题意，设，所以，，解得或．
因此，．
18．已知直线：.
(1)若直线与直线：平行，求的值；
(2)若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程.
【解析】（1）因为，所以，解得.
（2）令，得，即直线在轴上的截距为.
令，得，即直线在x轴上的截距为.
因为直线在两坐标轴上的截距相等，
所以，解得或.
则直线的方程是或.
19．如图，在四棱锥中，平面，正方形的边长为，设为侧棱的中点.
(1)求正四棱锥的体积；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）利用中点求出四棱锥的高，结合体积公式可得答案；
（2）建立坐标系，利用法向量可求线面角.
【详解】（1）设，则是的中点，连接，
由于是的中点，所以，，
由于平面，所以平面，所以.
（2）依题意可知两两相互垂直，以为原点，以所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
，，设平面的法向量为，
则，令，可得，
设直线与平面所成角为，
则.
20．已知圆，直线.
(1)求证：直线l与圆C恒有两个交点；
(2)若直线l与圆C交于点A，B，求面积的最大值，并求此时直线l的方程.
【答案】(1)证明见解析
(2)面积最大值为，或.
【分析】（1）先证明直线过定点，再说明定点在圆内即可；
（2）注意到，所以当时，可以求出面积的最大值，注意验证取等条件，进一步由点到直线的距离公式可以求出参数，由此即可得解.
【详解】（1）因为直线可变形为，
所以，解得，
故直线经过的定点为.
将点代入圆的方程有，
所以点在圆C的内部，所以直线l与圆C恒有两交点.
（2）由（1）知，因为，
所以当时，面积最大，
此时为等腰直角三角形，面积最大值为，其中为圆的半径.
此时点C到直线l的距离，，
所以可以取到，
所以，解得或.
故所求直线l的方程为或.
21．已知线段的端点的坐标是，端点在圆：上运动.
（1）求线段的中点的轨迹的方程；
（2）设圆与曲线交于 两点，求线段的长.
【解析】（1）设点的坐标为，点的坐标为，
由于点的坐标为，且点是线段的中点，
所以，，
于是有，.①
因为点在圆：上运动，
所以点的坐标满足方程，
即.②
把①代入②，得，
整理，得，
所以点的轨迹的方程为.
（2）圆：与圆：的方程相减，
得.
由圆：的圆心为，半径，
且到直线的距离，
则公共弦长.
22．如图，在直三棱柱中，，，，是的中点.
(1)求异面直线与所成角的余弦值；
(2)求平面与平面的夹角的正弦值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用坐标法可得异面直线夹角余弦值；
（2）利用坐标法可得两平面夹角的余弦值，进而可得正弦值.
【详解】（1）由已知三棱柱为直三棱柱，且，
则以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
又是的中点，则，
所以，，
所以，
设异面直线与所成角为，则，
所以异面直线与所成角的余弦值为；
（2）由，，，
设平面的法向量为，则，
令，则，
由已知，，且，平面，
所以平面，
则平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，
则，
所以，
因此，平面与平面的夹角的正弦值为.
