2023 年 11 月湖湘教育三新探索协作体高二期中联考
数学参考答案
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．B【解析】由 A B = B可得 B A，所以 a 2 1且 a + 3 5，得 a 2,3 ，故选 B.
2．D【解析】易得 z = 4 3i，虚部为 3，故选 D.
3．B【解析】可得 AB⊥ BC，AB∥DC，AB DC，所以四边形 ABCD为直角梯形，故选 B.
4．C【解析】平行于 PQ的直线有两条，PQ的中垂线 1条，共 3条，故选 C.
5．B【解析】 f (x) + f ( x) = 4，故选 B.
6．B【解析】P关于 y = x 1的对称点P1(5,5)，反射光线所在直线为 P1Q : 5x 3y 10 = 0，故选 B.
7．A【解析】 B(1, 2, 3)， d = 12 + ( 2)2 = 5，故选 A.
8．D【解析】设△PF1F2的内切圆在 PF1，PF2，F1F2上得切点分别为 D，C，B.设切点 B的坐标B(m,0) .因为
PF1 PF2 = BF1 BF2 = 2m = 2a .所以m = a，因为 IB⊥ F1F2， I 的横坐标为a，A正确;
1
S△PIF S
r ( PF1 PF2 )
1 △PIF a2 = 2 =
S 1△IF F ( ) cr F F ，所以 B正确；延长F2 A交 PF1于 E点，因为 PA为 F1PF2的角平分1 2 1 2
2
线.所以 PF1 PF2 = EF1 = 2 OA = 2a，所以 = a，所以 C正确.故选 D.
二、选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全
部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分．
1=
9．BC【解析】A：若 a与 c 共线，存在 R，使 a = c，则 2 = 2 无解，故不共线，错误；B：与 a同向的
0 =
a 1 2 单位向量是 5 2 5
= , ,0
c a
= , ,0 ，正确；C： 在 方向上的投影向量是
a 5 5 5 5
a c a 5 (1,2,0)
= = ( 1, 2,0)，正确；D： a b = 3 0，错误；故选：BC．
a | a | 5 5
1 3 π π π
10．ACD【解析】 f (x) = sin 2x + cos 2x = sin 2x + . A：当 x = 时， f (x) = 0，经检验 ,0 是它的一
2 2 3 3 3
数学参考答案 第 1页（共 7页）
{#{QQABDYwUogggAhAAAQhCQwmACgIQkAECAIoGgBAEMAABARFABAA=}#}
个对称中心，故 A正确；B：若 f (x1 ) f (x2 ) = 2，则 f (x1)和 f (x2 )一个为函数 f (x)的最大值，一个为最
T π π
小值，∴ x1 x2 = = ，故 B错误；C: f (x)的图象向左平移 个单位长度得到 g(x) = cos2x，min 2 2 12
π π 13π 1 π 13π
g(x)为偶函数，故 C正确；令 t = 2x + ， x (0,2π)， t , ， sin t = 在 t , 的根分别
3 3 3 2 3 3
5π 13π 17π 25π π 11π 5π 23π
为： t1 = ， t2 = ， t3 = ， t4 = 则有 x1 = ， x2 = ， x3 = ， x4 = ，在 (0,2π)内使
6 6 6 6 4 12 4 12
1 13π
f (x) = 的所有 x的和为： x1 + x2 + x3 + x4 = ，故 D正确．故选：ACD.
2 3
11．BD【解析】选项 A：圆C : x2 + y2 =1的圆心C(0,0)，半径 r =1，圆心C(0,0)到直线 x + y 2 = 0的距离
2
d = = 2 ， 2 1 1．圆 C上有两个点到直线 l的距离等于 1，故 A错误；选项 B: 由切线的性质C
2
1
知，△PAO为直角三角形， | PA |= | PO |2 r2 d 2C 1 =1， S△PAO最小值为 ，四边形 PAOB面积是2
△PAO面积的两倍，最小值为 1，故 B正确；选项 C: 当△PAB为等边三角形时， PO = 2OA = 2，则点 P
位于以原点为圆心，半径为 2的圆上，故 x2 + y2 = 4，联立 x + y 2 = 0与 x2 + y2 = 4得： x2 2x = 0，解
得：x=2或 0，故点 P的坐标为 (2,0)和 (0,2)，故 C错误；选项 D：
设点 P (x0 , y0 )，OA ⊥ AP ，OB ⊥ BP，所以四点 O，A，P，B共
x y 2 2
圆，OP为直径，圆心为 0 , 0 ，半径 x0 + y r = 0 ，所以圆的方
2 2 4
2 2
x 2 2
程为 x 0
y0 x0 + y0 2 2
+ y = ，又圆C : x + y =1，两圆相减
2 2 4
得 xx0 + yy0 =1，所以直线 AB的方程为 xx0 + yy0 =1，因为点 P (x , y )在直线 x + y 2 = 00 0 上，所以
x y = 0
x0 + y0 2 = 0， y0 = 2 x0，所以 xx0 + y (2 x0 ) =1，整理得 (x y)x0 + 2y 1= 0，由 ，得
2y 1= 0
1
x = 2 1 1
，所以直线 AB过定点 , ，故 D正确．故选：BD．
1 2 2 y =
2
12．BCD【解析】选项 A：△ABD的面积不变，点 P到平面 AA1D1D的距离为正方体棱长，所以三棱锥
1 1 1 4
P ABD的体积不变，且VP ABD = S△ABD AA1 = 2 2 2 = ，所以 A错误；选项 B: 由平面在两平
3 3 2 3
行平面上的交线互相平行，取 B1C1的中点 N，C1D1的中点 H，DD1的中点 K，连接 PN，NH，HK，KF，延
长 FE，NP一定与 CB交于一点 M，所以 E，F，P，N四点共面，同理可证 E，F，K，H四点共面则过点
E，F，P作正方体的截面，截面为正六边形 FEPNHK，边长为 2，设正六边形对角线交点为O1，则正六
数学参考答案 第 2页（共 7页）
{#{QQABDYwUogggAhAAAQhCQwmACgIQkAECAIoGgBAEMAABARFABAA=}#}
1 3
边形 FEPNHK的面积为 6S = 6 2 2 = 3 3，故 B正确；选项 C：以 D为原点， ，△ DAEFO1 2 2
DC，DD1所在的直线分别为 x轴、y轴和 z轴，建立空间直角坐标系，可得 A1(2,0,2)，D1(0,0,2)，
C1(0,2,2)， B1(2,2,2)，C(0,2,0)，G(2,1,2)，设 P(m,n,0)， 0 m 2， 0 n 2，则CB1 = (2,0,2)，
CD1 = (0, 2,2)，GP = (m 2,n 1, 2)，设平面CB1D1的一个法向量为 n = (a,b,c)，则
n CD1 = 2b + 2c = 0
，取 a =1，可得b = 1,c = 1，所以n = (1, 1, 1)，因为
n CB1 = 2a + 2c = 0
PG∥平面 B1CD，所以GP n = (m 2) (n 1) + 2 = 0，可得 n = m +1，所以
| GP |= (m 2)2 + (n 1)2 + 4 = 2m2 4m + 8 = 2(m 1)2 + 6 6，当m =1
时，等号成立，所以 C正确；选项 D：因为直线 AP与平面 ABCD所成的角为
45°，由 AA1 ⊥平面 ABCD，得直线 AP与 AA1所成的角为 45 ，若点 P在平面
DCC1D1和平面 BCC1B1内，因为 B AB = 45
1 ， D1AD = 45
，故不成立；在平面 ADD1A1内，点 P的轨迹
是 AD = 2 2；在平面 ABB1A1内，点 P的轨迹是 AB = 2 2；在平面 A1 1 1B1C1D1时，作 PM ⊥平面 ABCD，
如图所示，因为 PAM = 45 ，所以 PM = AM ，又因为 PM = AB，所以 AM = AB，所以 A1P = AB，所以
1
点 P的轨迹是以 A1点为圆心，以 2为半径的四分之一圆，所以点 P的轨迹的长度为 2π 2 = π，综上，
4
点 P的轨迹的总长度为 π + 4 2，所以 D正确；故选：BCD.
三、填空题：本题共 4个小题，每小题 5分，共 20分．
1
13． 【解析】由 A，B，C三点共线，可得 AB = BD( 0)，又
3
AB = e + te ， BD = BC +CD = 3e e ，则 e1 + te2 = 3 e1 e2，又 e1， e 不1 2 1 2 2
1= 3 1 1
共线，则 ，解得 t = .故答案为： .
t = 3 3
2
14．2【解析】双曲线 x2
y
=1的实半轴长 a =1，半焦距 c = 3，有 MF1 MF2 = 2a = 2，若 | MO |= 3 ，
2
2 2 2
△F1MF2为直角三角形.在△F1MF2中，由余弦定理得 F F = MF + MF 即有1 2 1 2
2 2 2 2
F1F2 = ( MF1 MF2 ) + 2 MF1 MF2 ，因此 (2 3) = 2 + 2 MF1 MF MF MF2 ，解得 1 2 = 4，所以
1
△F1MF2的面积为 S△F1MF = MF1 MF2 = 2 .故答案为：2. 2 2
数学参考答案 第 3页（共 7页）
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x 4 = 0 x = 4
15．10 4 5【解析】 l1 : mx y 4m + 2 = 0变形得到 l1 : m(x 4) + ( y + 2) = 0，令 ，解得 ，
y + 2 = 0 y = 2
x 2 = 0 x = 2
从而M (4,2)， l2 : x +my 6m 2 = 0变形得到 l2 : m(y 6) + (x 2) = 0，令 ，解得 ，从而
y 6 = 0 y = 6
N(2,6)，由 PM ⊥ PN ，由勾股定理得 | PM |2 + | PN |2=| MN |2= (4 2)2 + (2 6)2 = 20，点 P的轨迹为以
| MN |
MN为直径的圆，其中线段 MN的中点坐标为Q(3,4)，半径为 = 5， 点轨迹方程为
2
(x 3)2 + (y 4)2 = 5，圆 x2 + y2 = 9的圆心为O(0,0)，半径为 3，设 CD的中点为 H，由垂径定理得
2
| CD | 2 2
| OH |= 9 = 5 ，故 H点的轨迹方程为 x + y = 5，因为 P点轨迹方程为
2
(x 3)2 + (y 4)2 = 5，则 PH的最小值为圆心距减去两半径，即 32 + 42 5 5 = 5 2 5，其中
| PC + PD |= 2 | PH |，所以 | PC + PD |的最小值为10 4 5 .
9
16． 【解析】设椭圆长半轴为 a ，双曲线实半轴为 a ， F1( c,0), F2 (c,0) ，P为两曲线在第一象限的交
2 1 2
点， Q为两曲线在第三象限的交点，如图所示，由椭圆和双曲线定义与
对称性知 PF1 + PF2 = 2a1， PF1 PF2 = 2a2， QF2 = PF1 ，
PF1 = a1 + a2 , PF2 = a1 a2， QF2 ⊥ F2P，则 PF1 ⊥ F2P，
2 2 2 2 2
F1F2 = PF1 + PF ，即2 4c
2 = (a + a ) + (a a ) = 2a2 + 2a2，于是1 2 1 2 1 2
a2 a2 1 1
有 2c2 = a2 + a2，则 2 = 1 + 2 ， + = 21 2 .
c2 c2 e
2 2
1 e2
e2 4e2 e2 4e2
4e2 + e2
1 2 2 1 1 1 2 1 9
1 2 = (4e1 + e2 ) + = 5+ + 1 5+ 2 2 1 = 当且仅当 2 3， 2 3时取等
2 e2 e2
2 e2 2
2 2 e1 = e =
2 2
2
1 2 1 e2 e e 4 2 1 2
9
号.故答案为： .
2
四、解答题：本题共 6小题，共 70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10 分）【答案】见解析.
【解析】（1）由正弦定理得 (b c)c = b2 a2，………………………………………………………1分
b2 + c2 a2 bc 1
整理得b2 + c2 a2 = bc， cos A = = = ，由 A (0,π)，………………………3分
2bc 2bc 2
π
A = ；…………………………………………………………………………………………………4分
3
数学参考答案 第 4页（共 7页）
{#{QQABDYwUogggAhAAAQhCQwmACgIQkAECAIoGgBAEMAABARFABAA=}#}
（2） c = 2b ①，又 b2 + c2 4 = bc ②，
2 3 4 3
由①②得b = ,c = ，……………………………………………………………………………8分
3 3
1 1 2 3 4 3 3 2 3
S△ABC = bcsin A = = . ……………………………………………………10分
2 2 3 3 2 3
18．（12 分）【答案】见解析.
【解析】（1）学习时间位于[10,15)上的市民数为： 0.020 5 100 =10；同理可得学习时间位于
[15,20)， [20,25)，[25,30)，[30,35)，[35,40]上的市民数分别为：15，20，30，15，10，
0.020 5 + 0.030 5 + 0.040 5 = 0.45，………………………………………………………………3分
0.5 0.45 5
5 = 0.83， ……………………………………………………………………………4 分
0.75 0.45 6
100名市民学习时间的中位数为 25 + 0.83 = 25.83．………………………………………………5分
（2） [30,35]的市民频率为 0.15，[35,40]市民频率为 0.1；…………………………………………6分
0.15
由分层抽样可得[30,35]的市民有5 = 3人，[35,40]的市民有 5-3=2人，………………………7分
0.25
将[30,35]的市民分别记为 A,B,C，[35,40]的市民分别记为 a，b，则这 5人中选 2人的基本事件有：
AB，AC，BC，Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，ab共 10种，……………………………………………9分
其中事件发言者中恰有 1人是学习时长在[35,40]包含的基本事件有：Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，
共 6种；……………………………………………………………………………………………………10分
6 3
所以事件发言者中恰有 1人是学习时长在[35,40]上的概率 P = = ………………………………12分
10 5
19．（12 分）【答案】见解析.
【解析】（1）由题意可知，将点M (2, 2 2)代入抛物线方程，可得 ( 2 2)2 = 2 p 2，解得 p = 2，
则抛物线方程为 y2 = 4x . …………………………………………………………………………………4分
（2）假设直线 l过定点，设 l : my = x + n与 y2 = 4x联立，得 y2 4my + 4n = 0，……………………6分
设 A(x1, y1 ) , B (x2 , y2 )， y1 + y2 = 4m, y1y2 = 4n．……………………………………………………8分
由OA OB = 4 = (m2 +1) y y mn( y + y ) + n21 2 1 2 = n2 + 4n，解得 n = 2，…………………………10分
l : my = x 2过定点 (2,0)．……………………………………………………………………………12分
20.（12分）【答案】见解析.
【解析】（1） 2 2C(1,2)， r = 2，所以圆 C的标准方程为 (x 1) + (y 2) = 4 ………………………4分
方法一：（2）设M (1+ 2cos ,2+ 2sin )，
数学参考答案 第 5页（共 7页）
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则 2 2 = 4cos2 + (2sin2 + 3)2 + (2cos + 4)2 + 4sin2MA + MB = 33+12sin +16cos
3 4
= 33+ 20sin( + )，其中 cos = ,sin = ……………………………………………………………9分
5 5
所以， 2 2MA + MB 的最大值为 53.………………………………………………………………………10分
π 4 3 13 16
此时， + = 2kπ + ,k z， cos = sin = ， sin = cos = ，所以M ( , ) .…………………12分
2 5 5 5 5
方法二：（2）设 ，则 2 2M (x0 , y0 ) (x ， 0 1) + ( y0 2) = 4
2 2 2 2 2 | MA | + | MB |2= (x 2 2 .……………………9分 0 1) + (y 1) + (x0 3) + (y 2) = (x0 + 3) + ( y0 +1) + 4
因为 2 2(x0 + 3) + ( y0 +1) 表示圆上的点到点 N ( 3, 1)距离的平方.
2
易得， 2 2(x 的最大值为 (1+ 3)2 + (2 +1)2 + 2 = 49， 0 + 3) + ( y0 +1) ( )
所以 2 2MA + MB 的最大值为 53. …………………………………………………………………………10分
13 16
此时，M，C和 N三点共线，M的坐标为 , .………………………………………………………12分
5 5
21．（12 分）【答案】见解析.
【解析】（1）取 AD中点 F，连接 BF，CF，易得△ABC △DBC，得 AC=DC，所以 CF⊥ AD。
又 AB=BD， BF⊥ AD，又 BF CF=F， AD ⊥平面 BCF AD ⊥ BC .………………………5分
（2）过点 A作 AO⊥ BC于 O点，连接 DO， 平面 ABC⊥平面 BCD，平面 ABC 平面 BCD=BC，
AO⊥ BC， AO⊥平面 BCD，由△AOB △DOB，可得 DO⊥OC， OA，OC，OD两两垂直.
以 O为原点，OD，OC，OA为 x轴，y轴， z轴的正方向建立空间直角坐标系.设 AB=2，则 A(0,0, 3)，
3 3 3 1
B(0,1,0)，D( 3,0,0)，C(0,3,0)， E , ,0 ， AB = (0,1, 3)， BE = , ,0 ，
2 2
2 2
设 n = (x, y, z )为平面 ABE的法向量，n AB = 0得 y 2z = 0，n BE = 0得 3x + y = 0，令 x =1，
得 n = (1, 3, 1)…………………………………………………………………………………………8分
2 3 110
DP = DC +CP = ( 3,3 3 , 3 )， sin = cos DP,n = 2 = ，化简得
5 12 2 18 +12 11
6 1
39 2 31 + 6 = 0解得 = 或 …………………………………………………………………12分
13 3
22．（12 分）【答案】见解析.
2
【解析】（1）M (x, y) , P (x0 , y0 )， x = x0， y = y 0
2
数学参考答案 第 6页（共 7页）
{#{QQABDYwUogggAhAAAQhCQwmACgIQkAECAIoGgBAEMAABARFABAA=}#}
x2 y2
x 2 + y 2 = 4 M的轨迹C1 的方程： + =1…………………………………………………4分 0 0
4 2
（2）当 l的斜率存在时，设 l : y = kx +m， l与圆C 22： x + y2 =1 相切，
m
d = =1，得m2 =1+ k2………………………………………………………………………5分
1+ k 2
x2 y2
y = kx +m与 + = 1联立，得： (1+ 2k 2 )x2 + 4kmx + 2m2 4 = 0，设 A(x1, y1)， B(x2 , y2 )，
4 2
4km 2m2 4
则 x1 + x2 = ， x1x = ，
1+ 2k 2
2
1+ 2k 2
(1+ k 2 )(3k 2 +1则 ) 4 2AB = 1+ k2 x -x = 3k + 4k +12 2 = 2 2 ……………………………8分 1 2
1+ 2k 2 4k 4 + 4k 2 +1
4
当 kk=0时 AB = 2 2 ，当 k 0时， AB = 2 2 1 2 2……………………………9分
4k 4 + 4k 2 +1
当斜率不存在时， AB = 6 2 2……………………………………………………………………10分
设 E到 l的距离 d1与 F到 l的距离 d2之和的最大值为 4.
1
所以四边形 AEBF面积的最大值为 4 2 2 = 4 2…………………………………………………12分
2
数学参考答案 第 7页（共 7页）
{#{QQABDYwUogggAhAAAQhCQwmACgIQkAECAIoGgBAEMAABARFABAA=}#}2023年11月湖湘教育三新探索协作体高二期中联考
数学
班级：
姓名：
准考证号：
(本试卷共6页，22题，全卷满分：150分，考试用时：120分钟)
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形
码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上相应题目的答案标
号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、
草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后，将答题卡上交。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的，
1.已知集合A={xa-2≤x≤a+3},B={xl≤x<5},若A∩B=B,则实数a的取值
范围是
A.{ad2
B.{a2≤a≤3}
C.{al2≤a<3}
D.0
2.若i是虚数单位，复数z的共轭复数是z,且2i-z=4-i,则复数z的虚部等于
A.3i
B.3
C.-3i
D.-3
3.平面内顺次连接A(-3,2),B(1,4),C(2,2),D(-4,-1),所组成的图形是
A.平行四边形
B.直角梯形
C.等腰梯形
D.以上都不对
4.已知P(-13),03,,若P,0到直线1的距离都等于，
则满足条件的直线1
共有
A.1条
B.2条
C.3条
D.4条
数学试题卷第1页共6页
e2
5.已知f(x)=ln
，则f(2023)+f(-2023)=
V1+9x2+3x
A.0
B.4
C.2e2
D.4046
6.一条光线从P(6,4)射出，经直线y=x-1后反射，反射光线经过点Q(2,0),则反射
光线所在直线方程为
A.3x-5y+2=0
B.5x-3y-10=0
C.5x+3y-10=0
D.3x-5y-6=0
7.在空间直角坐标系中，点A(1,2,3)关于x轴的对称点为B,则点B到z轴的距离为
A.5
B.V10
C.3
D.13
8已知P为双曲线若若-1石支上的一个动点（不经过顶点人R,R分别是双由
线的左、右焦点，△PFF,的内切圆圆心为I,过F做F,A⊥PI,垂足为A,下列
结论错误的是
A.I的横坐标为a
B
SAPIR -SAPIE=a
SAIFF
SAPRF2=
a+c
C.OA=a
D.
SAIFF
C
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分，
9.已知空间中三个向量a=(1,2,0),b=(-1,2,1),c=(-1,-2,1),则下列说法正确的是
A.a与c是共线向量
V525
B.与a同向的单位向量是
5 50
C.c在a方向上的投影向量是(-1，-2,0)
D.a与b的夹角为90°
数学试题卷第2页共6页