天津市武清区2023~2024学年度第一学期期中练习
高二数学
一、选择题： 本大题共9小题，每小题4分，共36分.
1. 直线 的倾斜角为( )
A. 45° B. 60° C. 120° D. 150°
2. 已知空间向量 则下列结论正确的是( )
3. 圆 的圆心和半径分别为( )
A. (1,0), 2 B. (1,0), C. (-1,0), 2
4. 如图，在平行六面体. 中， 若 则(x,y,z)= ( )
A. (-1,1,1) B. (1,-1,1)
C. (1,1,-1) D. (-1,-1,-1)
5. 已知直线过点(2, 1)，且横截距为纵截距的两倍，则该直线的方程为 ( )
A. 2x+y-5=0 B. x+2y-4=0
C. x-2y=0或x+2y-4=0 D. x-2y=0或2x+y-5=0
6. 已知向量空间 ，若, , 共面, 则实数x等于 ( )
A. 2 B. -2 C. 2或-2 D. 2或0
7. 若直线l与直线x+2y=0垂直, 且与圆 相切，则l的方程为 ( )
A. x+2y-8=0 B. x+2y+2=0 C. 2x-y-1=0 D. 2x-y-10=0
8. 已知两点A(-1,2)，B(3,1)，直线l：ax-y-a-1=0与线段AB有公共点，则实数a的取值范围是( )
9. 在平面直角坐标系xOy中，若圆 (r>0)上存在点P，且点P关于直线x+y-1=0的对称点Q在圆 上， 则r的取值范围是 ( )
A. (2,+∞) B. [2,+∞) C. (2,8) D. [2,8]
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.
10. 经过A(0,2), B(-1,0)两点的直线的方向向量为(1,k), 则实数k的值为 .
11. 若直线x+y-1=0是圆 的一条对称轴， 则实数a的值为 .
12. 已知空间向量且 与b相互垂直，则实数λ的值为 .
13. 已知两条平行直线则l 与l 间的距离为 .
14. 已知点P(-1,2,1)，直线l过点A(1,1,1)，且l的一个方向向量为 则点P到直线l的距离为 .
15. 已知直线l:mx-y-m=0与 交于A，B两点，写出满足“△ABC的面积为的实数m的一个值 .
三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16. (本小题满分 12分)
已知点A(1,0,2), B(-2,1,3), O为坐标原点, 向量
(1) 求向量的单位向量
(2)求
(3)求
17. (本小题满分12分)
已知△ABC的三个顶点A(-5,0)，B(3,-3)，C(0,2).
(1) 求边AB所在直线的方程；
(2) 求边AB上的高所在直线的方程．
18. (本小题满分 12分)
如图，在三棱锥 中, PA⊥平面ABC, AB⊥BC, E,F,M分别为AP, AC, PB的中点，
(1) 求证:
(2) 求直线EF与AB所成角的余弦值；
(3) 求平面PAC 与平面PBC夹角的大小.
19. (本小题满分12分)
已知圆C过点A(8, -1)，且与直线 相切于点B(3, 4).
(1)求圆C的方程;
(2)过点P(-3, 0)的直线与圆C交于M，N两点， 若为直角三角形，求的方程.
20. (本小题满分 12分)
如图，AD∥BC且AD=2BC, AD⊥CD, EG∥AD且AD=2EG, CD∥FG且CD=2FG, DG⊥平面ABCD, DA=DC=DG=2, M是AB的中点.
(1) 若 求证：BN∥平面DMF；
(2) 求直线EB与平面DMF所成角的正弦值；
(3) 若在DG上存在点P，使得点P到平面DMF的距离为 求DP的长．2023～2024学年度第一学期期中练习
高二数学参考答案
一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 B A B A C A C D D
二、填空题：本大题共6小题, 每小题4分，共24分．
10． 11． 12．
13． 14． 15．中任意一个皆可以
三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16.（本小题满分12分）
解（1）由已知得：，则， ………………2分
因此. ………………4分
（2）因为，
所以， ………………6分
则. ………………8分
（3）因为，所以， …………10分
则 …………12分
17．（本小题满分12分）
解（1）法一：由两点式写方程得， ………………2分
即； ……………5分
法二：直线的斜率为， ………………2分
直线的方程为，即； ……5分
（2）由（1）知直线的斜率为，
所以由垂直关系可得边高线的斜率为， ………………7分
故边上的高所在直线方程为, ………………11分
化为一般式可得：. …………12分
18．（本小题满分12分）
解（1）证明：以为原点，为轴，过且与平行的直线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图，
则，
………………1分
，，
，即，
； ………………3分
（2），
，
EF与所成角的余弦值为． ………………6分
（3），
设平面的法向量为，则，即
令，则，所以， ………………8分
设平面的法向量为，则，即，
令，则，所以， ………………9分
所以， ………………11分
所以平面与平面夹角的大小为. ………………12分
19．（本小题满分12分）
解（1）设圆心坐标为，又直线与圆相切，所以，
设分别代表直线的斜率，所以有，由题意，
所以有 ………………2分
结合并联立得
………………3分
解得， ………………4分
圆的半径，
圆的方程为：. ………………5分
（2）因为为直角三角形且，所以，圆心C到直线的距离， ………………7分
易知直线的斜率存在，记为，又直线过点，
可设直线方程的方程为：，
即，
因为圆心到直线 的距离为， ………………9分
整理得，解得或， ………………11分
所以直线方程的方程为：或. ………12分
20．（本小题满分12分）
解（1）证明：因为，，平面，
而、平面，所以，，
因此以为坐标原点，分别以、、的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，
因为且，且，，
所以， ，，， ，，，， ………………1分
因为，所以
所以 ………………2分
设为平面的法向量，，，
则，不妨令，可得；………3分
所以，得，
又直线平面，平面． ………………4分
（2）由（1）知平面的法向量为
………………5分
设直线与平面所成角为，
则 ………………7分
所以直线与平面所成角的正弦值为. ………………8分
（3）设点坐标为，则，
由（1）知平面的法向量为
点到平面的距离 ………………11分
解得，
所以的长为. ………………12分
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