新人教A版必修第一册高中数学 第一章 集合与常用逻辑用语 单元素养水平监测 (含解析）

第一章　单元素养水平监测
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．设集合A＝{x|－1A．{x|0≤x<2}B．{x|－1C．{0，1}D．{0，1，2}
2．命题“ x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是(　　)
A． x∈R，x3－x2＋1≥0
B． x∈R，x3－x2＋1>0
C． x∈R，x3－x2＋1≤0
D． x∈R，x3－x2＋1>0
3．已知集合N＝{1，2，3}，且M∪N＝{1，2，3}，则所有可能的集合M的个数是(　　)
A．9B．8
C．7D．6
4．已知x∈R，则“x<2”是“|x|<2”的(　　)
A．必要不充分条件
B．充要条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
5．已知集合A＝{4，3，5m－6}，B＝{3，m2}，若B A，则实数m的取值集合是(　　)
A．{3，2}B．{2，－2，3}
C．{－2，3}D．{2，－2}
6．如图，U是全集，M，N，P是U的子集，则阴影部分表示的集合是(　　)
A．M∩(N∩P) B．M∪(N∩P)
C．( UM)∩(N∩P) D．( UM)∪(N∩P)
7．“－A．－C．－18．命题p：“存在2≤x≤3，3x－a>0”，若命题p是假命题，则a的最小值为(　　)
A．2B．3
C．6D．9
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．)
9．已知集合A＝{x∈N|x<4}，B A，则(　　)
A．集合B∪A＝A
B．集合A∩B可能是{1，2，3}
C．集合A∩B可能是{－1，1}
D．0不可能属于B
10．下列叙述正确的是(　　)
A．“a>b＋1”是“a>b”的充分不必要条件
B．命题“ x∈R，12”
C．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的必要不充分条件
D．命题“ x∈R，x2>0”的否定是真命题
11．使得－23成立的充分不必要条件有(　　)
A．{x|－2B．{x|x>3}
C．{x|0D．{x|－23}
12．给定数集M，若对于任意a，b∈M，有a＋b∈M，且a－b∈M，则称集合M为闭集合，则下列说法中不正确的是(　　)
A．集合M＝{－2，－1，0，1，2}为闭集合
B．整数集是闭集合
C．集合M＝{n|n＝2k，k∈Z}为闭集合
D．若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)
13．命题“ x>0，2x＋1≥0”的否定是________．
14．已知集合A＝{1，a2}，B＝{a，－1}，若A∪B＝{－1，a，1}，则a＝________．
15．方程x2－2x＋a＝0有实根的充要条件为________．
16．设全集U＝{1，2，3，4，5，6}，用U的子集可表示由0，1组成的6位字符串，如{1，3}表示的是从左往右第1个字符为1，第3个字符为1，其余均为0的6位字符串101000，并规定空集表示的字符串为000000.
(1)若N＝{2，3，6}，则 UN表示的6位字符串为________．
(2)若B＝{5，6}，集合A∪B表示的字符串为011011，则满足条件的集合A的个数为________个．
四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)
17．(本小题10分)已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A＝{x|0(1)求A∪B；
(2)求 U(A∩B).
18．(本小题12分)判断下列命题是否为全称量词命题或存在量词命题，若是，用符号表示，并判断其真假．
(1)存在x，y为正实数，使x2＋y2＝0；
(2)对所有的实数a，b，方程ax＋b＝0都有唯一解；
(3)存在实数x，使得＝2.
19．(本小题12分)已知集合A＝{2，m2＋1，m2－m}，B＝{0，7，m2－m－5，2－m}，且5∈A，求A∩B，A∪B.
20．(本小题12分)已知方程x2＋px＋3＝0的所有解组成的集合A，方程x2＋x＋q＝0的所有解组成的集合B，且A∩B＝{1}．
(1)求实数p，q的值；
(2)求集合A∪B.
21．(本小题12分)已知全集U＝R，集合A＝{x|－3≤x≤7}，集合B＝{x|3－2a≤x≤2a－5}，其中a∈R.
(1)当a＝4时，求 R(A∪B)；
(2)若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求a的取值范围．
22．(本小题12分)已知集合A＝{x|a－1≤x≤2a＋1}，B＝{x|－2≤x≤4}．在①A∪B＝B；②“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件；③A∩B＝ 这三个条件中任选一个，补充到本题第(2)问的横线处，求解下列问题．
(1)当a＝3时，求 R；
(2)若________，求实数a的取值范围．
第一章　单元素养水平监测
1．解析：因为B＝{x∈N|0≤x<4}＝{0，1，2，3}，
又A＝{x|－1所以A∩B＝{0，1}．故选C.
答案：C
2．解析：根据全称量词命题的否定是存在量词命题可得：“ x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定为 x∈R，x3－x2＋1>0.故选B.
答案：B
3．解析：由已知可得，集合M的所有可能为： ，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}．
所以，所有可能的集合M的个数是8.故选B.
答案：B
4．解析：由|x|<2解得－2所以由x<2推不出|x|<2，故充分性不成立，
由|x|<2推得出x<2，故必要性成立，
所以“x<2”是“|x|<2”的必要不充分条件．故选A.
答案：A
5．解析：∵B A，
∴4＝m2或5m－6＝m2，解得m＝2或m＝－2或m＝3，
将求出的m值代入集合A、B验证，知m＝2时，不符合集合的互异性，
故m＝－2或3.故选C.
答案：C
6．解析：根据题意，阴影部分为集合M的外部与集合N集合P交集内部的公共部分，
即( UM)∩(N∩P).故选C.
答案：C
7．解析：根据题意，－答案：C
8．解析：因为命题p：“存在2≤x≤3，3x－a>0”为假命题，
则命题 p：“任意2≤x≤3，3x－a≤0”为真命题，
所以a≥3x对任意2≤x≤3恒成立，
所以a≥(3x)max＝9，所以a的最小值为9.故选D.
答案：D
9．解析：∵B A，∴B∪A＝A，故A正确．
∵集合A＝{x∈N|x<4}＝{0，1，2，3}，
∵B A，∴集合A∩B可能是{1，2，3}，故B正确；
∵－1 A，∴集合A∩B不可能是{－1，1}，故C错误；
∵0∈A，∴0可能属于集合B，故D错误．故选AB.
答案：AB
10．解析：A：由a>b＋1>b，而a>b不一定有a>b＋1，即“a>b＋1”是“a>b”的充分不必要条件，正确；
B：“ x∈R，12”，正确；
C：由x≥2且y≥2，则x2＋y2≥4，而x2＋y2≥4存在x＝0，y＝3满足要求，即“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的充分不必要条件，错误；
D：“ x∈R，x2>0”的否定是“ x∈R，x2≤0”，为真命题，正确．故选ABD.
答案：ABD
11．解析：求使得－23成立的充分不必要条件，
故“选项”为条件p，“－23”为结论q，
∵p是q的充分不必要条件，设p：“x∈A”，q：“x∈B”，A是B的真子集．故选ABC.
答案：ABC
12．解析：A：显然a＝－2，b＝2时，a－b＝－4 M，故不为闭集合；
B：由任意两个整数相减或相加都是整数，所以整数集是闭集合；
C：若a＝2k，b＝2(k＋n)且k，n∈Z，故a＋b＝2(2k＋n)∈M，a－b＝－2n∈M，故为闭集合；
D：若A1＝{x|x＝2k，k∈Z}，A2＝{x|x＝3k，k∈Z}，显然有2＋3＝5 A1∪A2，故A1∪A2不为闭集合．故选AD.
答案：AD
13．解析：因为命题“ x>0，2x＋1≥0”是全称量词命题，
所以其否定是存在量词命题，即为 x>0，2x＋1<0.
答案： x>0，2x＋1<0
14．解析：因为A＝{1，a2}，B＝{a，－1}，A∪B＝{－1，a，1}，所以a＝a2，
解得a＝0或a＝1(舍去，不满足集合元素的互异性).
答案：0
15．解析：由题意可得Δ＝4－4a≥0，解得a≤1.
答案：a≤1
16．解析：(1)因为U＝{1，2，3，4，5，6}，N＝{2，3，6}，所以 UN＝{1，4，5}，
所以 UN表示的6位字符串为100110.
(2)因为集合A∪B表示的字符串为011011，所以A∪B＝{2，3，5，6}，又B＝{5，6}，
所以集合A可能为{2，3}，{2，3，5}，{2，3，6}，{2，3，5，6}，即满足条件的集合B的个数为4.
答案：(1)100110　(2)4
17．解析：(1)集合A＝{x|0所以A∪B＝{2，3，4，6，8}．
(2)因为A∩B＝{2，6，8}，U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，
所以 U(A∩B)＝{1，3，4，5，7，9}．
18．解析：(1)是存在量词命题，用符号表示为“ x，y为正实数，使x2＋y2＝0”，是假命题．
(2)是全称量词命题，用符号表示为“ a，b∈R，方程ax＋b＝0都有唯一解”，是假命题．
(3)是存在量词命题，用符号表示为“ x∈R，＝2”，是假命题．
19．解析：∵集合A＝{2，m2＋1，m2－m}，
B＝{0，7，m2－m－5，2－m}，且5∈A，
∴m2＋1＝5或m2－m＝5(舍)，
解得m＝±2，
当m＝2时，A＝{2，5，2}，不成立；
当m＝－2时，A＝{2，5，6}，B＝{0，1，4，7}，成立．
∴集合B＝{0，1，4，7}．
∴A∩B＝ ，A∪B＝{0，1，2，4，5，6，7}．
20．解析：(1)∵A∩B＝{1}，
∴1∈A且1∈B，
∴，解得p＝－4，q＝－2，
(2)根据(1)可得：方程x2－4x＋3＝0的所有解组成的集合A，方程x2＋x－2＝0的所有解组成的集合B，
x2－4x＋3＝0解得x＝1或3，则集合A＝{1，3}，
x2＋x－2＝0解得x＝1或－2，则集合B＝{1，－2}，
则集合A∪B＝{－2，1，3}．
21．解析：(1)a＝4，故B＝{x|－5≤x≤3}，A∪B＝{x|－5≤x≤7}，
R(A∪B)＝{x|x<－5或x>7}．
(2)“x∈A”是“x∈B”的充分条件，故A B，故，
解得a≥6.
22．解析：(1)当a＝3时，A＝{x|2≤x≤7}，而B＝{x|－2≤x≤4}，
所以A∩B＝{x|2≤x≤4}，则 R(A∩B)＝{x|x<2或x>4}．
(2)选①：
因为A∪B＝B，所以A B，
当A＝ 时，则a－1>2a＋1，即a<－2，满足A B，则a<－2；
当A≠ 时，a≥－2，由A B得，解得－1≤a≤；
综上：a<－2或－1≤a≤.
选②：
因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，所以A是B的真子集，
当A＝ 时，则a－1>2a＋1，即a<－2，满足题意，则a<－2；
当A≠ 时，a≥－2，则，且不能同时取等号，解得－1≤a≤；
综上：a<－2或－1≤a≤；
选③：
因为A∩B＝ ，
所以当A＝ 时，则a－1>2a＋1，即a<－2，满足A∩B＝ ，则a<－2；
当A≠ 时，a≥－2，由A∩B＝ 得2a＋1<－2或a－1>4，解得a<－或a>5，
又a≥－2，所以－2≤a<－或a>5；
综上：a<－或a>5.