(共30张PPT)
10.1.1 有限样本空间与随机事件
预 学 案
共 学 案
预 学 案
一、随机试验、样本空间
1．随机试验：我们把对________的实现和对它的观察称为随机试验，常用字母E来表示．
2．随机试验的特点：
(1)试验可以在相同条件下________进行；
(2)试验的所有可能结果是________的，并且不止一个；
(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果．
3．我们把随机试验E的每个可能的________称为________，全体样本点的集合称为试验E的________，一般地，用Ω表示样本空间，用ω表示样本点，如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为____________．
随机现象
重复
明确可知
基本结果
样本点
样本空间
有限样本空间
【即时练习】 从a，b，c，d中任取两个不同的字母，则该试验的样本空间Ω＝_______________________．
{ab，ac，ad，bc，bd，cd}
解析：任取两个不同的字母的有：{ab，ac，ad，bc，bd，cd}．
二、随机事件
随机事件 我们将样本空间Ω的________称为随机事件，简称事件，并把只包含________样本点的事件称为基本事件．随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示．在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生
必然事件 Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中______________发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件
不可能事件 空集 不包含任何样本点，在每次试验中________发生，我们称 为不可能事件
子集
一个
总有一个样本点
都不会
【即时练习】 下列事件中，是随机事件的是( )
A．守株待兔 B．瓮中捉鳖
C．水中捞月 D．水滴石穿
答案：A
解析：守株待兔是随机事件，故A选项正确；
瓮中捉鳖是必然事件，故B选项错误；
水中捞月是不可能事件，故C选项错误；
水滴石穿是必然事件，故D选项错误．
故选A.
微点拨
样本点与样本空间的关系是元素与集合的关系．样本空间中的元素可以是数，也可以不是数．
微点拨
(1)必然事件与不可能事件不具有随机性，为了方便统一处理，将必然事件和不可能事件作为随机事件的两个极端情形．这样，每个事件都是样本空间Ω的一个子集．
(2)基本事件的概念可类比集合中元素的概念，试验可能发生的全部结果是一个集合，其元素是基本事件，基本事件不可能分解，不能同时发生(相当于集合中元素的互异性)．
(3)事件与基本事件的区别：基本事件是试验中不能再分解的最简单的随机事件，只包含一个样本点，而事件可以由若干个基本事件组成，不止包含一个样本点．
共 学 案
【学习目标】 (1)理解随机试验的概念及特点．(2)理解样本点和样本空间，会求所给试验的样本点和样本空间．(3)理解随机事件、必然事件、不可能事件的概念，并会判断某一事件的性质．
题型 1 有限样本空间
【问题探究1】 做一个试验：一个盒子中有4个质地和大小完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，从中任取一个小球．可能的结果有哪些？这些结果可否用一个集合来表示？
提示：可能的结果有4个，分别是取出1号小球，取出2号小球，取出3号小球，取出4号小球；这些结果可用集合{1，2，3，4}表示．
例1 写出下列试验的样本空间：
(1)同时掷三颗骰子，记录三颗骰子出现的点数之和；
(2)从含有两件正品a1，a2和两件次品b1，b2的四件产品中任取两件，观察取出产品的结果；
(3)用红、黄、蓝三种颜色给图中3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，观察涂色的情况．
解析：(1)该试验的样本空间Ω1＝{3，4，5，…，18}．
(2)该试验所有可能的结果如图所示，
因此，该试验的样本空间为Ω2＝{a1a2，a1b1，a1b2，a2b1，a2b2，b1b2}．
(3)如图，
用1，2，3分别表示红色、黄色与蓝色三种颜色，则此试验的样本空间为Ω3＝{(1，1，1)，(1，1，2)，(1，1，3)，(1，2，1)，(1，2，2)，(1，2，3)，(1，3，1)，(1，3，2)，(1，3，3)，(2，1，1)，(2，1，2)，(2，1，3)，(2，2，1)，(2，2，2)，(2，2，3)，(2，3，1)，(2，3，2)，(2，3，3)，(3，1，1)，(3，1，2)，(3，1，3)，(3，2，1)，(3，2，2)，(3，2，3)，(3，3，1)，(3，3，2)，(3，3，3)}．
题后师说
写出样本空间的方法
跟踪训练1 分别写出下列试验的样本空间：
(1)某人射击一次，命中的环数；
(2)从装有大小相同但颜色不同的a，b，c，d这4个球的袋中，任取1个球；
(3)从装有大小相同但颜色不同的a，b，c，d这4个球的袋中，任取2个球．
解析：(1)确定样本点，用0表示未命中，i(i＝1，2，3，4，5，6，7，8，9，10)表示命中i环，则样本空间为{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}．
(2)任取1个球，样本空间为{a，b，c，d}．
(3)任取2个球，记(a，b)表示一次试验中取出的球是a和b，则样本空间为{(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)}．
题型 2 随机事件、必然事件、不可能事件
【问题探究2】 有一个转盘游戏，转盘被平均分成10份(如图所示)．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字．游戏规则如下：两个人参加，先确定猜数方案，甲转动转盘，乙猜，若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符，则乙获胜，否则甲获胜．
设事件A＝“转出的数字是5”，事件B＝“转出的数字是0”，事件C＝“转出的数字x满足1≤x≤10，x∈Z”，则事件A，B，C分别是什么事件？
提示：“转出的数字是5”可能发生，也可能不发生，故事件A是随机事件；
“转出的数字是0”，即B＝{0}，不是样本空间Ω＝{1，2，…，10}的子集，故事件B是不可能事件；
C＝Ω＝{1，2，…，10}，故事件C是必然事件．
例2 指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件：
(1)某人购买福利彩票一注，中奖500万元；
(2)三角形的内角和为180°；
(3)没有空气和水，人类可以生存下去；
(4)同时抛掷两枚硬币一次，都出现正面向上；
(5)从分别标有1，2，3，4的四张标签中任取一张，抽到1号标签；
(6)科学技术达到一定水平后，不需要任何能量的“永动机”将会出现．
解析：(1)某人购买福利彩票一注，可能中奖，也可能不中奖，所以是随机事件；
(2)所有三角形的内角和为180°，所以是必然事件；
(3)空气和水是人类生存的必要条件，没有空气和水，人类无法生存，故是不可能事件；
(4)同时抛掷两枚硬币一次，不一定都是正面向上，所以是随机事件；
(5)任意抽取，可能得到1，2，3，4号标签中的任意一张，所以是随机事件；
(6)由能量守恒定律可知，不需要任何能量的“永动机”不会出现，所以是不可能事件．
学霸笔记：判断一个事件是哪类事件要看两点：一看条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的；二看结果是否发生，一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件．
跟踪训练2 如果在某届世界乒乓球锦标赛女子单打比赛中，甲、乙两名中国选手进入最后决赛．那么该比赛的：
(1)“冠军属于中国选手”；
(2)“冠军属于外国选手”；
(3)“冠军属于中国选手甲”．
分别是随机现象还是确定性现象？
解析：甲、乙两名中国选手进入最后决赛，所以冠军一定为中国选手，不会是外国选手，所以(1)是必然事件，确定性现象，(2)为不可能事件，确定性现象，冠军可能是甲，也可能是乙，所以(3)为随机现象．
题型 3 随机事件的表示及含义
例3 同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数为x，转盘②得到的数为y，结果为(x，y)(不考虑指针落在分界线上的情况)．
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)写出事件A：“x＋y＝5”和事件B：“x<3且y>1”的集合表示；
(3)说出事件C＝{(1，4)，(2，2)，(4，1)}，D＝{(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)}所表示的含义．
解析：(1)这个试验的样本空间为Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}．
(2)事件A＝{(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)}；
事件B＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，2)，(2，3)，(2，4)}．
(3)事件C表示“xy＝4”，事件D表示“x＝y”．
学霸笔记：(1)随机事件的表示：先列出所有的样本点，再确定要求的随机事件包含哪些样本点，把这些样本点作为元素表示成集合即可．
(2)说明随机事件的含义：要先理解事件中样本点的意义，观察它们的规律，进而确定随机事件的含义．
跟踪训练3 做抛掷红、蓝两枚骰子的试验，用(x，y)表示结果，其中x表示红色骰子出现的点数，y表示蓝色骰子出现的点数．写出：
(1)这个试验的样本空间；
(2)指出事件A＝{(1，6)，(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1)}的含义．
解析：(1)这个试验的样本空间Ω为
{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}．
(2)事件A的含义为抛掷红、蓝两枚骰子，掷出的点数之和为7.
随堂练习
1．一个口袋中装有质地和大小都相同的一个白球和一个黑球，那么“从中任意摸一个球得到白球”这个事件是( )
A．随机事件 B．必然事件
C．不可能事件 D．不能确定
答案：A
解析：因为事件“从中任意摸一个球得到白球”可能发生也可能不发生，所以这个事件是随机事件．故选A.
2．体育彩票摇奖时，将10个质地和大小完全相同，分别标有号码0，1，2，…，9的球放入摇奖器中，经过充分搅拌后摇出一个球．记“摇到的球的号码小于6”为事件A，则事件A包含的样本点的个数为( )
A．4 B．5
C．6 D．7
答案：C
解析：由题意可知，事件A＝{0，1，2，3，4，5}，共6个样本点．故选C.
3．一个家庭生两个小孩，所有的样本点有( )
A．(男，女)，(男，男)，(女，女)
B．(男，女)，(女，男)
C．(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)
D．(男，男)，(女，女)
答案：C
解析：把第一个孩子的性别写在前面，第二个孩子的性别写在后面，则所有的样本点是(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)．故选C.
4．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，事件M＝{(2，6)，(3，5)，(4，4)，(5，3)，(6，2)}，则事件M的含义是________________________．
抛骰子两次，向上点数之和为8
课堂小结
1.对随机试验、样本空间的理解．
2．随机事件、必然事件、不可能事件的判断．
3．随机事件的表示及含义．(共31张PPT)
10.1.2 事件的关系和运算
预 学 案
共 学 案
预 学 案
一、事件的关系
定义 符号 图示
包含 关系 一般地，若事件A发生，则事件B________，称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B) B A (或A B)
相等 关系 如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即___________，则称事件A与事件B相等 A＝B
一定发生
B A且A B
【即时练习】 在掷骰子试验中，可以得到以下事件：
A：{出现1点}；B：{出现2点}；C：{出现3点}；D：{出现4点}；E：{出现5点}；F：{出现6点}；G：{出现的点数不大于1}；H：{出现的点数小于5}；I：{出现奇数点}；J：{出现偶数点}．
请判断下列两个事件的关系：
(1)B________H; (2)D________J；
(3)E________I; (4)A________G．
＝
解析：因为出现的点数小于5包含出现1点，出现2点，出现3点，出现4点四种情况，所以事件B发生时，事件H必然发生，故B H；同理D J，E I；又易知事件A与事件G相等，即A＝G.
二、事件的运算
定义 符号 图示
并事件(或和事件) 一般地，事件A与事件B________有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B (或A＋B)
交事件(或积事件) 一般地，事件A与事件B________发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B (或AB)
至少
同时
【即时练习】 向上抛掷一枚骰子，设事件A＝{点数为2或4}，事件B＝{点数为2或6}，事件C＝{点数为偶数}，则事件C与A，B的运算关系是________．
C＝A∪B
解析：由题意可知C＝A∪B.
三、互斥事件与对立事件
定义 符号 图示
互斥 事件 一般地，如果事件A与事件B________发生，也就是说________是一个不可能事件，则称事件A与事件B互斥(或互不相容) A∩B＝
对立 事件 一般地，如果事件A和事件B在任何一次试验中________一个发生，那么称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为________ A∪B＝Ω， 且A∩B＝
不能同时
A∩B
有且仅有
【即时练习】 从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个球，判断下列事件哪些是互斥而不对立的两事件．(是的打“√”，不是的打“×”)
(1)“至少有1个黑球”和“都是黑球”．( )
(2)“至少有1个黑球”和“至少有1个红球”．( )
(3)“恰有1个黑球”和“恰有2个红球”．( )
(4)“至少有1个黑球”和“都是红球”( )
×
×
√
×
微点拨
(1)任何事件都包含不可能事件，即C (C为任一事件)．事件A也包含于事件A，即A A.
(2)A B可用逻辑语言表述为：A发生是B发生的充分条件，B发生是A发生的必要条件．A＝B可用逻辑语言表述为：A发生是B发生的充要条件．
微点拨
并事件包含三种情况：(1)事件A发生，事件B不发生；(2)事件A不发生，事件B发生；(3)事件A，B都发生．
微点拨
(1)事件A与事件B互斥包含三种情况：(1)事件A发生，B不发生；(2)事件A不发生，B发生；(3)事件A不发生，B也不发生．注意与和事件进行区别．
(2)对立事件是特殊的互斥事件，若A与B相互对立．则A与B互斥，但反之不成立，即“A与B相互对立”是“A与B互斥”的充分不必要条件．
共 学 案
【学习目标】 (1)理解事件的关系与运算．(2)通过事件之间的运算，理解互斥事件和对立事件的概念．
题型 1 事件的关系
【问题探究1】 (1)一枚骰子掷一次，记事件A＝{出现点数大于4}，事件B＝{出现的点数为5}，则事件B发生时，事件A一定发生吗？
(2)在掷骰子的试验中，事件A＝{出现的点数为1}，事件B＝{出现的点数为奇数}，A与B应有怎样的关系？
提示：(1)因为5>4，故事件B发生时事件A一定发生．
(2)因为1为奇数，所以A B.
例1 对一箱产品进行随机抽查检验，如果查出2个次品就停止检查，最多检查3个产品．
写出该试验的样本空间Ω，并用样本点表示事件：A＝{至少有2个正品}，B＝{至少1个产品是正品}，并判断事件A与事件B的关系．
解析：依题意，检查是有序地逐个进行，至少检查2个，最多检查3个产品．如果用“0”表示查出次品，用“1”表示查出正品，那么样本点至少是一个二位数，至多是一个三位数的有序数列．样本空间Ω＝{00，010，011，100，101，110，111}．
A＝{011，101，110，111}．
B＝{010，011，100，101，110，111}，
所以A B.
学霸笔记：(1)事件的包含关系与集合的包含关系相似．
(2)两事件相等的实质为相同事件，即同时发生或同时不发生．
跟踪训练1 抛掷一枚质地均匀的硬币三次，有如下三个事件A，B，C，其中A为有3次正面向上，B为只有1次正面向上，C为至少有1次正面向上，试判断A，B，C之间的包含关系．
解析：当事件A发生时，事件C一定发生，当事件B发生时，事件C一定发生，因此有A C，B C；
当事件A发生时，事件B一定不发生，当事件B发生时，
事件A一定不发生，因此A与B之间不存在包含关系，
综上，事件A，B，C之间的包含关系为A C，B C.
题型 2 事件的运算
【问题探究2】 (1)在掷骰子试验中，用集合的形式表示事件D1＝“点数不大于3”，事件E1＝“点数为1或2”和事件E2＝“点数为2或3”，借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的联系吗？
(2)在掷骰子试验中，用集合的形式表示事件C2＝“点数为2”，事件E1＝“点数为1或2”和事件E2＝“点数为2或3”，借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的联系吗？
提示：(1)D1＝{1，2，3}，E1＝{1，2}，E2＝{2，3}．{1，2}＝{1，2，3}，即E1＝D1.
(2)E1＝{1，2}，E2＝{2，3}，C2＝{2}．{1，2}＝{2}，即E1＝C2.
例2 盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球、2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球、1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}．
(1)事件D与A，B是什么运算关系？
(2)事件C与A的交事件是什么事件？
解析：(1)由题意，3个球中既有红球又有白球，包括3个球中有1个红球、2个白球，3个球中有2个红球、1个白球，由此可得D＝A∪B.
(2)3个球中至少有1个红球中包括3个球中有1个红球、2个白球，∴C∩A＝A.
题后师说
事件间运算的方法
跟踪训练2 抛掷相同硬币3次，设事件A＝{至少有一次正面向上}，事件B＝{一次正面向上，两次反面向上}，事件C＝{两次正面向上，一次反面向上}，事件D＝{至少一次反面向上}，事件E＝{3次都正面向上}．
(1)试判断事件A与事件B，C，E的关系；
(2)试求事件A与事件D的交事件，事件B与事件C的并事件，并判断二者的关系．
解析：(1)B A，C A，E A，且A＝B＋C＋E.
(2)A∩D＝{有正面向上，也有反面向上}，B∪C＝{1次正面向上或2次正面向上}，A∩D＝B∪C
题型 3 互斥事件与对立事件
【问题探究3】 把红、蓝、黑、白4张除颜色不同其他均相同的纸牌随机分给甲、乙、丙、丁四人，每人分得1张．
(1)事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”能同时发生吗？
(2)“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是什么事件？
提示：(1)事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不能同时发生，因为红牌只有一张．
(2)“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是互斥事件，但不是对立事件，因为它们不能同时发生．
例3 从装有5个红球、5个白球的袋中任意取出3个球，判断下列每对事件是不是互斥事件，是不是对立事件．
(1)“取出3个红球”与“取出3个球中至少有1个白球”；
(2)“取出2个红球和1个白球”与“取出3个红球”；
(3)“取出3个红球”与“取出的球中至少有1个红球”．
解析：(1)从装有5个红球、5个白球的袋中任意取出3个球，从颜色的角度出发，包含如下基本事件：
3个白球，2个白球1个红球，1个白球2个红球，3个红球．
事件“取出3个球中至少有1个白球”，包括：3个白球，2个白球1个红球，1个白球2个红球，
故该事件与“取出3个红球”是互斥事件，也是对立事件．
(2)根据(1)中所求，显然：
“取出2个红球和1个白球”与“取出3个红球”是互斥事件，但不是对立事件．
(3)“取出的球中至少有1个红球”包括基本事件：2个白球1个红球，1个白球2个红球，3个红球，
故该事件与“取出3个红球”不是互斥事件，因为有共同的基本事件：3个红球．
同时，也不是对立事件．
题后师说
判断互斥事件、对立事件的策略
跟踪训练3 抛掷一枚骰子，记事件A＝“落地时向上的点数是奇数”，事件B＝“落地时向上的点数是偶数”，事件C＝“落地时向上的点数是3的倍数”，事件D＝“落地时向上的点数是2或4”，则下列各对事件是互斥事件但不是对立事件的是( )
A．A与D B．A与B
C．B与C D．B与D
答案：A
解析：事件A与D不能同时发生，是互斥事件，但不是对立事件；事件A与B是对立事件；事件B与C可能同时发生，不是互斥事件；事件B与D可能同时发生，不是互斥事件．故选A.
随堂练习
1．抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则( )
A．A B
B．A＝B
C．A＋B表示向上的点数是1或2或3
D．AB表示向上的点数是1或2或3
答案：C
解析：设A＝{1，2}，B＝{2，3}，则A∩B＝{2}，A∪B＝{1，2，3}，所以A＋B表示向上的点数为1或2或3.故选C.
2．有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向，事件“甲向南”与事件“乙向南”是( )
A．互斥但非对立事件 B．对立事件
C．非互斥事件 D．以上都不对
答案：A
解析：由于每人一个方向，故“甲向南”意味着“乙向南”是不可能的，故是互斥事件，但不是对立事件．故选A.
3．某人在打靶中连续射击两次，事件“至多有一次中靶”的对立事件是( )
A．至少有一次中靶 B．只有一次中靶
C．两次都中靶 D．两次都不中靶
答案：C
解析：射击两次中靶的次数可能是0，1，2.至多1次中靶，即中靶次数为0或1，故它的对立事件为中靶两次．故选C.
4．从0，1，2，3，4，5中任取两个数字组成一个不重复的两位数．事件A表示组成的两位数是偶数，事件B表示组成的两位数中十位数字大于个位数字，则事件A用样本点表示为_________________________________．
{10，20，30，40，50，32，42，52，54}
课堂小结
1.事件的包含关系与相等关系．
2．并事件与交事件．
3．互斥事件与对立事件．(共31张PPT)
10.1.3 古典概型
预 学 案
共 学 案
预 学 案
古典概型
1．定义：一般地，若试验E具有以下特征：
(1)有限性：样本空间的样本点只有________；
(2)等可能性：每个样本点发生的可能性________．
称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．
2．计算公式：一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝
________．
有限个
相等
＝
【即时练习】
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若一个试验的样本空间中的样本点个数为有限个，则该试验是古典概型．( )
(2)古典概型中每一个样本点出现的可能性相等．( )
(3)古典概型中的任何两个样本点都是互斥的．( )
×
√
√
2．若书架上放有数学、物理、化学书分别是5本、3本、2本，则随机抽出一本是物理书的概率为( )
A． B．
C． D．
答案：B
解析：样本点总数为10，“抽出一本是物理书”包含3个样本点，所以其概率为.故选B.
微点拨
(1)一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征．
(2)若试验不是古典概型，则不能用古典概型的概率公式计算某事件发生的概率．
(3)由于观察的角度不同，样本点的个数可能也不同，因此样本点总个数和事件A包含的样本点个数的计算必须站在同一角度上，否则会引起混淆导致错误．
共 学 案
【学习目标】 (1)理解古典概型的概念及特点．(2)掌握利用古典概型概率公式解决简单的概率计算问题．
题型 1 古典概型的定义
【问题探究1】 试验1：抛掷一枚质地均匀的硬币一次，观察朝上的面．
试验2：抛掷一枚质地均匀的骰子一次，观察可能出现的点数．
试验3：一只袋子中放入3个黑球、2个绿球和1个红球，所有球除颜色外一切相同，从袋子中任意摸出1个球，观察可能出现的结果．(用数字m表示摸到的球号)
请大家仔细阅读试验1、试验2、试验3，并完成下面的表格．
样本空间 样本点出现的可能性
试验1
试验2
试验3
请观察上面的表格，找出这三个试验有什么共同特点？
提示：
样本空间的样本点只有有限个，每个样本点发生的可能性相等．
样本空间 样本点出现的可能性
试验1 {正面朝上，反面朝上}
试验2 {1，2，3，4，5，6}
试验3 {黑1，黑2，黑3，绿1，绿2，红}
例1 下列概率模型是古典概型吗？为什么？
(1)从区间[1，10]内任意取出一个实数，求取到实数2的概率；
(2)向上抛掷一枚不均匀的旧硬币，求正面朝上的概率；
(3)从1，2，3，…，100这100个整数中任意取出一个整数，求取到偶数的概率．
解析：(1)不是古典概型，因为区间[1，10]中有无限多个实数，取出的实数有无限多种结果，与古典概型定义中“所有可能结果只有有限个”矛盾．
(2)不是古典概型，因为硬币不均匀导致“正面朝上”与“反面朝上”的概率不相等，与古典概型定义中“每一个试验结果出现的可能性相同”矛盾．
(3)是古典概型，因为在试验中所有可能出现的结果是有限的，而且每个整数被抽到的可能性相等．
学霸笔记：判断试验是不是古典概型，关键看是否符合两大特征：有限性和等可能性．
跟踪训练1 下列试验中是古典概型的是( )
A．在适宜的条件下，种下一粒种子，观察它是否发芽
B．口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球
C．向一个圆面内随机地投一个点，观察该点落在圆内的位置
D．射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10环，命中9环，…，命中0环
答案：B
解析：由古典概型的两个特征易知B正确．
题型 2 古典概型概率的计算
【问题探究2】 一个班级中有18名男生，22名女生．采用抽签的方式，从中随机选择一名学生，事件A＝“抽到男生”，如何度量事件A发生的可能性大小？
提示：班级中共有40名学生，从中选择1名学生，因为是随机选取的，所以选到每个学生的可能性都相等，这是一个古典概型．
抽到男生的可能性大小，取决于男生数在班级学生数中所占的比例大小，因此，可以用男生数与班级学生数的比值来度量．显然，这个随机试验的样本空间中有40个样本点，而事件A＝“抽到男生”包含18个样本点，因此，事件A发生的可能性大小为＝0.45.
例2 口袋内有红、白、黄大小完全相同的三个小球，求：
(1)从中任意摸出两个小球，摸出的是红球和白球的概率；
(2)从袋中摸出一个后放回，再摸出一个，两次摸出的球是一红一白的概率．
解析：(1)任意摸出两个小球的基本事件空间为{(红，白)，(红，黄)，(白，黄)}，所以摸得红球和白球的概率为.
(2)有放回地取球，基本事件空间为{(红，红)，(红，白)，(红，黄)，(白，白)，(白，红)，(白，黄)，(黄，白)，(黄，红)，(黄，黄)}，摸出一红一白包括(红，白)，(白，红)2个基本事件，所以摸得一红一白的概率为.
一题多变1 本例前提条件不变，若从袋中摸出一个后放回，再摸出一个，求第一次摸出红球，第二次摸出白球的概率．
解析：有放回地取球．样本空间为{(红，红)，(红，白)，(红，黄)，(白，白)，(白，红)，(白，黄)，(黄，红)，(黄，白)，(黄，黄)}，第一次摸出红球，第二次摸出白球，只包含(红，白)一个样本点，故所求概率为.
一题多变2 本例前提条件不变，若从袋中依次无放回地摸出两球，求第一次摸出红球，第二次摸出白球的概率．
解析：无放回地取球．样本空间为{(红，白)，(红，黄)，(白，红)，(白，黄)，(黄，红)，(黄，白)}，所以第一次摸出红球，第二次摸出白球的概率是.
题后师说
求古典概型概率的一般步骤
跟踪训练2 有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为( )
A． B．
C． D．
答案：C
解析：从5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，有10种不同取法：(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，(黄，蓝)，(黄，绿)，(黄，紫)，(蓝，绿)，(蓝，紫)，(绿，紫)．而取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)共4种，故所求概率P＝＝.故选C.
题型 3 古典概型概率的综合应用
例3 2022年2月4日，第24届冬季奥林匹克运动会开幕式在北京国家体育场隆重举行，本届北京冬奥会的主题口号——“一起向未来”，某兴趣小组制作了写有“一”“起”“向”“未”“来”的五张卡片．
(1)若采用不放回简单随机抽样从中逐一抽取两张卡片，写出试验的样本空间．
(2)该兴趣小组举办抽卡片送纪念品活动，有如下两种方案：
方案一：活动参与者采用简单随机抽样，从五张卡片中任意抽取一张，若抽到“向”或“未”或“来”，则可获得纪念品；
方案二：活动参与者采用不放回简单随机抽样，从五张卡片中逐一抽取两张，若抽到“未”或“来”，则可获得纪念品．
选择哪种方案可以有更大机会获得纪念品？说明理由．
解析：(1)用1，2，3，4，5，分别表示“一”“起”“向”“未”“来”五张卡片，
x1，x2∈{1，2，3，4，5}，数组(x1，x2)表示这个试验的一个样本点，则该试验的样本空间Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(3，5)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)}．
(2)采用方案一时，从五张卡片中采用简单随机抽样从中任意抽取一张的样本空间为{1，2，3，4，5}，且每个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型，事件A＝“抽到‘向’或‘未’或‘来’”，A＝{3，4，5}，则P(A)＝.
采用方案二时，由(1)可得从五张卡片中采用不放回简单随机抽样从中任意抽取两张共有20个样本点，且每个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型，事件B＝“抽到‘未’或‘来’”，
B＝{(1，4)，(1，5)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)}，
P(B)＝＝.
因为P(A)
学霸笔记：解答此类问题的关键是正确利用古典概型求出各种情况的概率，再进行比较．
跟踪训练3 某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有2个红球A1，A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1，a2和2个白球b1，b2的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖．
(1)用球的标号列出所有可能的摸出结果．
(2)有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率．你认为正确吗？请说明理由．
解析：(1)所有可能的摸出结果是：
(A1，a1)，(A1，a2)，(A1，b1)，(A1，b2)，(A2，a1)，(A2，a2)，(A2，b1)，(A2，b2)，(B，a1)，(B，a2)，(B，b1)，(B，b2)．
(2)不正确．理由如下：
由(1)知，所有可能的摸出结果共有12种，其中摸出的2个球都是红球的结果为：(A1，a1)，(A1，a2)，(A2，a1)，(A2，a2)共4种，
∴中奖的概率为＝.
不中奖的概率为：1－＝>.
故这种说法不正确．
随堂练习
1．(多选)下列有关古典概型的说法中，正确的是( )
A．试验的样本空间的样本点总数有限
B．每个事件出现的可能性相等
C．每个样本点出现的可能性相等
D．已知样本点总数为n，若随机事件A包含k个样本点，则事件A发生的概率P(A)＝
答案：ACD
解析：由古典概型概念可知：试验的样本空间的样本点总数有限；每个样本点出现的可能性相等，故A，C正确；每个事件不一定是样本点，可能包含若干个样本点，所以B不正确；根据古典概型的概率计算公式可知D正确．故选ACD.
2．一个盒子中装有除颜色外其他都相同的5个小球，其中有2个红球，3个白球，从中任取一球，则取到红球的概率为( )
A． B．
C． D．
答案：D
解析：一个盒子中装有5个球，其中2个红球，3个白球，它们除颜色外其余都相同，∴摸出1个球是红球的概率为P＝.故选D.
3．同时抛掷2枚质地均匀的硬币，则“两枚硬币均为正面向上”的概率是( )
A． B．
C． D．
答案：A
解析：同时掷两枚质地均匀的硬币，基本事件有：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)共4种，出现两枚正面朝上包含的基本事件只有1种：(正，正)．则两枚硬币均为正面向上的概率P＝.故选A.
4．从2，3，4，5四个数中任取两个数，则两个数相差为2的概率是_______．
解析：从2，3，4，5四个数中任取两个数，所有可能结果有(2，3)、(2，4)、(2，5)、(3，4)、(3，5)、(4，5)共6个结果，
满足两个数相差为2的有(2，4)、(3，5)共2个结果，
所以两个数相差为2的概率P＝＝.
课堂小结
1.古典概型的定义．
2．古典概型的概率公式．
3．利用古典概型的概率公式计算概率．(共27张PPT)
10.1.4 概率的基本性质
预 学 案
共 学 案
预 学 案
概率的基本性质
性质1 对任意的事件A，都有P(A)________0.
性质2 必然事件的概率为________，不可能事件的概率为__________，即P(Ω)＝________，P( )＝________．
性质3 如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝__________．
性质4 如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝________，P(A)＝________．
性质5 如果A B，那么__________．
性质6 设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝___________________．
≥
1
0
1
0
P(A)＋P(B)
1－P(A)
1－P(B)
P(A)≤P(B)
P(A)＋P(B)－P(A∩B)
【即时练习】
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)A，B为两个事件，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．( )
(2)若事件A，B，C两两互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1.( )
(3)事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A，B是对立事件．( )
(4)如果事件A与事件B互斥，那么P(A)＋P(B)≤1.( )
×
×
×
√
2．已知A与B互斥，且P(A)＝0.2，P(B)＝0.1，则P(A∪B)＝________．
0.3
解析：因为A与B互斥，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.2＋0.1＝0.3.
微点拨
(1)称性质3为互斥事件的概率加法公式．可推广为：如果事件A1，A2，…，Am两两互斥，那么事件A1发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和，即P(A1∪A2∪…∪Am)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(Am).
(2)当一个事件的概率不易求解，但其对立事件的概率易求时，常用性质4(对立事件的概率公式)，使用间接法．
共 学 案
【学习目标】 (1)理解概率的基本性质．(2)掌握利用互斥事件和对立事件的概率公式解决与古典概型有关的问题．
【问题探究】 (1)你认为可以从哪些角度研究概率的性质？
(2)设事件A与事件B互斥，和事件A的概率与事件A，B的概率之间具有怎样的关系？
(3)设事件A和事件B互为对立事件，它们的概率有什么关系？
提示：(1)可以从定义出发研究概率的性质，例如：概率的取值范围；特殊事件的概率；事件有某些特殊关系时，它们的概率之间的关系；等等．
(2)两个互斥事件的和事件的概率等于这两个事件的概率之和，即P(A＝P(A)＋P(B)．
(3)事件A和事件B互为对立事件，那么和事件A为必然事件，即P(A＝1，所以1＝P(A＝P(A)＋P(B)．
题型 1 互斥事件概率公式的应用
例1 一名射击运动员在一次射击中射中10环，9环，8环，7环，7环以下的概率分别为0.24，0.28，0.19，0.16，0.13.计算这名射击运动员在一次射击中：
(1)射中10环或9环的概率；
(2)求射中环数小于8环的概率．
解析：设“射中10环”“射中9环”“射中8环”“射中7环”“射中7环以下”的事件分别为A，B，C，D，E，可知它们彼此之间互斥，且P(A)＝0.24，P(B)＝0.28，P(C)＝0.19，P(D)＝0.16，P(E)＝0.13.
(1)P(射中10环或9环)＝P(A＝P(A)＋P(B)＝0.24＋0.28＝0.52，所以射中10环或9环的概率为0.52.
(2)事件“射中环数小于8环”包含事件D“射中7环”与事件E“射中7环以下”两个事件，则P(射中环数小于8环)＝P(D∪E)＝P(D)＋P(E)＝0.16＋0.13＝0.29.
学霸笔记：在运用互斥事件的概率加法公式解题时，首先要分清事件之间是否互斥，同时要会把一个事件拆分成几个互斥事件，做到不重不漏；然后再利用概率加法公式计算．
跟踪训练1 在某一时期内，一条河流某处的年最高水位在各个范围内的概率如下表：
计算在同一时期内，这条河流这一处的年最高水位(单位：m)在下列范围内的概率：
(1)[10，16)；(2)[8，12)；(3)[14，18)．
年最高水位(单位：m) [8，10) [10，12) [12，14) [14，16) [16，18)
概率 0.1 0.28 0.38 0.16 0.08
解析：记该河流这一处的年最高水位(单位：m)在[8，10)，[10，12)，[12，14)，[14，16)，[16，18)分别为事件A，B，C，D，E，且彼此互斥．
(1)P(B＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.28＋0.38＋0.16＝0.82.
(2)P(A＝P(A)＋P(B)＝0.1＋0.28＝0.38.
(3)P(D＝P(D)＋P(E)＝0.16＋0.08＝0.24.
所以年最高水位(单位：m)在[10，16)，[8，12)，[14，18)的概率分别为0.82，0.38，0.24.
题型 2 对立事件概率公式的应用
例2 袋中有6个球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两个球，求下列事件的概率：
(1)A＝“取出的两球都是白球”；
(2)C＝“取出的两球中至少有一个白球”．
解析：设4个白球的编号为1，2，3，4，2个红球的编号为5，6.从袋中的6个小球中任取2个球，对应的样本空间W＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)}，共有15个样本点．
(1)A＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)}，共有6个样本点．
∴取出的两个球全是白球的概率为P(A)＝＝.
(2)设C的对立事件为，则＝“取出的两球中没有白球(全为红球)”，且＝{(5，6)}．
∴P(C)＝1－P()＝1－＝.
学霸笔记：利用对立事件的概率公式求解时，必须准确判断两个事件确实是对立事件时才能应用．
跟踪训练2 甲、乙两人下棋，和棋的概率为，乙获胜的概率为，求：
(1)甲获胜的概率；
(2)甲不输的概率．
解析：(1)“甲获胜”和“和棋或乙获胜”是对立事件，所以“甲获胜”的概率P＝1－＝.即甲获胜的概率是.
(2)设事件A为“甲不输”，可看成是“乙获胜”的对立事件，所以P(A)＝1－＝.
即甲不输的概率是.
题型 3 概率性质的综合应用
例3 甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5题，选择题3个，判断题2个，甲、乙两人各抽一题．
(1)甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率是多少？
(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？
解析：把3个选择题记为x1，x2，x3，2个判断题记为p1，p2，“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的情况有(x1，p1)，(x1，p2)，(x2，p1)，(x2，p2)，(x3，p1)，(x3，p2)，共6种；“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的情况有(p1，x1)，(p1，x2)，(p1，x3)，(p2，x1)，(p2，x2)，(p2，x3)，共6种；“甲、乙都抽到选择题”的情况有(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x1)，(x2，x3)，(x3，x1)，(x3，x2)，共6种；“甲、乙都抽到判断题”的情况有(p1，p2)，(p2，p1)，共2种．
因此基本事件的总数为6＋6＋6＋2＝20.
(1)记“甲抽到选择题，乙抽到判断题”为事件A，则P(A)＝＝.记“甲抽到判断题，乙抽到选择题”为事件B，则P(B)＝＝，故“甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题”的概率为P(A＋B)＝＝.
(2)记“甲、乙两人至少有一人抽到选择题”为事件C，则为“甲、乙两人都抽到判断题”，由题意P()＝＝，故“甲、乙两人至少有一人抽到选择题”的概率为P(C)＝1－P()＝1－＝.
题后师说
求复杂事件概率的策略
跟踪训练3 从甲地到乙地沿某条公路行驶一共200公里，遇到红灯个数的概率如下表所示：
(1)求表中字母a的值；
(2)求至少遇到4个红灯的概率；
(3)求至多遇到5个红灯的概率．
解析：(1)由题意可得0.02＋0.1＋a＋0.35＋0.2＋0.1＋0.03＝1，解得a＝0.2.
(2)设事件A为遇到红灯的个数为4，事件B为遇到红灯的个数为5，事件C为遇到红灯的个数为6个及以上，则事件“至少遇到4个红灯”为A因为事件A，B，C互斥，所以P(A＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.2＋0.1＋0.03＝0.33，即至少遇到4个红灯的概率为0.33.
(3)设事件D为遇到6个及6个以上红灯，则至多遇到5个红灯为事件.
则P()＝1－P(D)＝1－0.03＝0.97.
红灯个数 0 1 2 3 4 5 6个及6个以上
概率 0.02 0.1 a 0.35 0.2 0.1 0.03
随堂练习
1．若事件A和B是互斥事件，且P(A)＝0.1，则P(B)的取值范围是( )
A．[0，0.9] B．[0.1，0.9]
C．(0，0.9] D．[0，1]
答案：A
解析：由于事件A和B是互斥事件，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋P(B)，又0≤P(A＋B)≤1，所以0≤0.1＋P(B)≤1，又P(B)≥0，所以0≤P(B)≤0.9.故选A.
2．抛掷一枚质地均匀的骰子，事件A表示“向上的点数是奇数”，事件B表示“向上的点数不超过3”，则P(A＝( )
A． B．
C． D．1
答案：B
解析：A包含向上的点数是1，3，5的情况，B包含向上的点数是1，2，3的情况，所以A包含了向上的点数是1，2，3，5的情况．故P(A＝＝.故选B.
3．甲、乙两名乒乓球运动员在一场比赛中甲获胜的概率是0.2，若不出现平局，那么乙获胜的概率为( )
A．0.2 B．0.8
C．0.4 D．0.1
答案：B
解析：乙获胜的概率为1－0.2＝0.8.故选B.
4．在一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球．从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红玻璃球的概率为，取得两个绿玻璃球的概率为，则取得两个同颜色的玻璃球的概率为________；至少取得一个红玻璃球的概率为________.
解析：取得两个同颜色的玻璃球包括两个红玻璃球或两个绿玻璃球，故取得两个同颜色的玻璃球的概率P1＝＝；
“至少取得一个红玻璃球”的对立事件是“取得两个绿玻璃球”，
故至少取得一个红玻璃球的概率P2＝1－＝.
课堂小结
1.概率的基本性质．
2．互斥事件概率公式的应用．
3．对立事件概率公式的应用．(共30张PPT)
10.2 事件的相互独立性
预 学 案
共 学 案
预 学 案
相互独立事件的定义和性质
1．定义：对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝____________成立，则称事件A与事件B相互独立，简称独立．
2．性质：若事件A与事件B相互独立，则A与与B , 与也都相互独立．
P(A)P(B)
【即时练习】
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)不可能事件与任何一个事件相互独立．( )
(2)必然事件与任何一个事件相互独立．( )
(3)“P(AB)＝P(A)P(B)”是“事件A，B相互独立”的充要条件．( )
(4)若两个事件互斥，则这两个事件相互独立．( )
√
√
√
×
2．掷两枚质地均匀的骰子，设A＝“第一枚出现的点数大于2”，B＝“第二枚出现的点数小于6”，则A与B的关系为( )
A．互斥 B．互为对立
C．相互独立 D．相等
答案：C
解析：对于该试验，第一枚骰子与第二枚骰子出现点数互不影响，而且事件A、B可以同时发生，所以A、B相互独立，但不互斥，也不对立，更不相等．故选C.
微点拨
(1)事件A与B相互独立就是事件A的发生不影响事件B发生的概率，事件B的发生不影响事件A发生的概率．
(2)两个事件的相互独立性可以推广到n(n＞2，n∈N*)个事件的相互独立性，即若事件A1，A2，…，An相互独立，则这n个事件同时发生的概率P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．
共 学 案
【学习目标】 (1)理解两个事件相互独立的概念．(2)能进行一些与相互独立事件有关的概率的计算．(3)理解相互独立事件与互斥事件的区别．
【问题探究】 试验1：分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A＝“第一枚硬币正面朝上”，B＝“第二枚硬币反面朝上”．
试验2：一个袋子中装有标号分别是1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异，采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球．设A＝“第一次摸到球的标号小于3”，B＝“第二次摸到球的标号小于3”．
(1)两个试验中事件AB与A和B的概率有何联系？
(2)必然事件Ω、不可能事件 与任意事件相互独立吗？
(3)互为对立的两个事件是非常特殊的一种事件关系．如果事件A与事件B相互独立，那么它们的对立事件是否也相互独立？
提示：(1)在试验1中，用1表示硬币“正面向上”，用0表示硬币“反面向上”，则样本空间Ω＝{(1，1)，(1，0)，(0，1)，(0，0)}，共4个样本点，而A＝{(1，1)，(1，0)}，B＝{(1，0)，(0，0)}，所AB＝{(1，0)}，根据古典概型概率计算公式得：P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝.
所以：P(AB)＝P(A)P(B)．
同理，在试验2中，P(AB)＝P(A)P(B)．
(2)必然事件Ω、不可能事件 与任意事件相互独立．
(3)如果事件A与事件B相互独立，那么A与与B，与也都相互独立．
题型 1 相互独立事件的判断
例1 投掷一颗骰子一次，定义三事件如下：A＝{1，2，3}，B＝{1，4，5}，C＝{1，2，3，4}．试判断：
(1)A、C是否相互独立？
(2)B、C是否相互独立？
解析：(1)由题意P(A)＝，P(C)＝，而A＝{1，2，3}，则P(AC)＝，
所以P(AC)≠P(A)P(C)，故A、C不相互独立；
(2)由题意P(B)＝，P(C)＝，而B＝{1，4}，则P(BC)＝，
所以P(BC)＝P(B)P(C)，故B，C相互独立．
题后师说
判断两个事件是否相互独立的方法
跟踪训练1 下列事件中，A，B是相互独立事件的是( )
A．一枚硬币掷两次，A＝“第一次为正面”，B＝“第二次为反面”
B．袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸两球，A＝“第一次摸到白球”，B＝“第二次摸到白球”
C．掷一枚骰子，A＝“出现点数为奇数”，B＝“出现点数为偶数”
D．A＝“一个节能灯泡能用1 000小时”，B＝“一个节能灯泡能用2 000小时”
答案：A
解析：把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后次序的影响，故A中A，B事件是相互独立事件；B中是不放回地摸球，显然A事件与B事件不相互独立；对于C，A，B事件应为互斥事件，不相互独立；D中事件B受事件A的影响．故选A.
题型 2 相互独立事件概率的计算
例2 在一次猜灯谜活动中，甲、乙两人同时独立猜同一道灯谜，已知甲、乙能猜对的概率分别是0.6和0.5.
(1)求两人都猜对此灯谜的概率；
(2)求恰有一人猜对此灯谜的概率．
解析：(1)设A＝“甲猜对”，B＝“乙猜对”，则＝“甲猜错”，＝“乙猜错”，由题意得A与B相互独立，A与与B，与都相互独立，
“两人都猜对”＝AB，由事件独立性的定义可得
P(AB)＝P(A)P(B)＝0.6×0.5＝0.3.
(2)设A＝“甲猜对”，B＝“乙猜对”，则＝“甲猜错”，＝“乙猜错”，由题意得A与B相互独立，A与与B，与都相互独立，
“恰有一人猜对”＝AB，因为A与B互斥，由概率的加法公式可得
P(AB)＝P(A)＋P(B)
＝P(A)P()＋P()P(B)
＝0.6×0.5＋0.4×0.5＝0.5.
题后师说
用相互独立事件的乘法公式解题的步骤
跟踪训练2 甲、乙两人分别对A，B两个目标各射击一次，若目标被击中两次则被击毁，每次射击互不影响．已知甲击中A，B的概率均为，乙击中A，B的概率分别为.
(1)求A被击毁的概率；
(2)求恰有1个目标被击毁的概率．
解析：(1)A被击毁则甲、乙两人均要击中目标，故概率为＝.
(2)B被击毁的概率为＝，
则A被击毁，B不被击毁的概率为×(1－)＝，
B被击毁，A不被击毁的概率为×(1－)＝，
则恰有1个目标被击毁的概率为＝.
题型 3 相互独立事件概率的综合应用
例3 某校组织了防溺水知识测试．测试共分为两轮，每位参与测试的同学均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中的测试成绩均合格，则视本次测试成绩为合格．甲、乙两名同学均参加了本次测试，已知在第一轮测试中，甲、乙测试成绩合格的概率分别为；在第二轮测试中，甲、乙测试成绩合格的概率分别为.甲、乙两人在每轮测试中的成绩是否合格互不影响．
(1)甲、乙哪名同学在本次测试中成绩合格的概率更大？
(2)求甲、乙两人中至少有一人的成绩在本次测试中合格的概率．
解析：(1)设A1＝“甲在第一轮测试中的成绩合格”，A2＝“甲在第二轮测试中的成绩合格”，
B1＝“乙在第一轮测试中的成绩合格”，B2＝“乙在第二轮测试中的成绩合格”，
则A1A2＝“甲同学在本次测试中成绩合格”，P(A1A2)＝P(A1)P(A2)＝＝，
B1B2＝“乙同学在本次测试中成绩合格”，P(B1B2)＝P(B1)P(B2)＝＝.
因为>，所以甲同学在本次测试中成绩合格的概率更大．
(2)设C＝“甲在本次测试中成绩合格”，D＝“乙在本次测试中成绩合格”，
则P()＝1－P(A1A2)＝1－＝，
P()＝1－P(B1B2)＝1－＝，
C＝“甲、乙两人中至少有一人在本次测试中合格”，
P(C＝1－P()＝1－P()P()＝1－＝.
一题多变 本例条件不变，求甲、乙两人中至多有一人的成绩在本次测试中合格的概率．
解析：设C＝“甲在本次测试中成绩合格”，D＝“乙在本次测试中成绩合格”，
则P(CD)＝P(C)P(D)＝＝.
E＝“甲、乙两人中至多有一人的成绩在本次测试中合格”
所以P(E)＝1－P(CD)＝1－＝.
学霸笔记：(1)准确理解互斥事件，相互独立事件的含义，灵活利用概率的加法和乘法公式解题．
(2)正难则反，若所求事件的概率正面计算较繁琐时，可以从对立面入手求解．
跟踪训练3 某同学乘火车从郑州到北京去比赛，若当天从郑州到北京的三列火车正点到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求：
(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率；
(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率．
解析：用A，B，C分别表示这三列火车正点到达的事件．
则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，
所以P()＝0.2，P()＝0.3，P()＝0.1.
(1)由题意得A，B，C之间互相独立，所以恰好有两列正点到达的概率为
P1＝P(BC)＋P(AC)＋P(AB)
＝P()P(B)P(C)＋P(A)P()P(C)＋P(A)P(B)P()
＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398.
(2)三列火车至少有一列正点到达的概率为
P2＝1－P()＝1－P()P()P()＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994.
随堂练习
1．袋中有黑、白两种颜色的球，从中进行有放回的摸球游戏，用A1表示第一次摸得黑球，A2表示第二次摸得黑球，则A1与是( )
A．相互独立事件 B．不相互独立事件
C．互斥事件 D．对立事件
答案：A
解析：由题意可得表示第二次摸到的不是黑球，即表示第二次摸到的是白球，由于采用有放回地摸球，故每次是否摸到白球互不影响，故事件A1与是相互独立事件，由于A1与可能同时发生，故不是互斥事件也不是对立事件．故选A.
2．甲、乙两人练习射击，甲击中目标的概率为0.9，乙击中目标的概率为0.7，若两人同时射击一目标，则他们都击中的概率是( )
A．0.3 B．0.63
C．0.7 D．0.9
答案：B
解析：设甲击中为事件A，乙击中为事件B，则P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.9×0.7＝0.63.故选B.
3．在某次考试中，甲、乙通过的概率分别为0.7，0.4，若两人考试相互独立，则甲未通过而乙通过的概率为( )
A．0.28 B．0.12
C．0.42 D．0.16
答案：B
解析：甲未通过的概率为0.3，则甲未通过而乙通过的概率为0.3×0.4＝0.12.故选B.
4．甲、乙两人独立解同一道数学题目，甲解出这道题目的概率是，乙解出这道题目的概率是，这道题被解出(至少有一人解出来)的概率是________．
解析：设数学题没被解出来为事件A，
则P(A)＝(1－)·(1－)＝，
则这道题被解出(至少有一人解出来)的概率：
P＝1－P(A)＝1－＝.
课堂小结
1.相互独立事件的定义和性质．
2．相互独立事件的判断．
3．相互独立事件概率的计算．(共30张PPT)
10.2 事件的相互独立性
预 学 案
共 学 案
预 学 案
相互独立事件的定义和性质
1．定义：对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝____________成立，则称事件A与事件B相互独立，简称独立．
2．性质：若事件A与事件B相互独立，则A与与B , 与也都相互独立．
P(A)P(B)
【即时练习】
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)不可能事件与任何一个事件相互独立．( )
(2)必然事件与任何一个事件相互独立．( )
(3)“P(AB)＝P(A)P(B)”是“事件A，B相互独立”的充要条件．( )
(4)若两个事件互斥，则这两个事件相互独立．( )
√
√
√
×
2．掷两枚质地均匀的骰子，设A＝“第一枚出现的点数大于2”，B＝“第二枚出现的点数小于6”，则A与B的关系为( )
A．互斥 B．互为对立
C．相互独立 D．相等
答案：C
解析：对于该试验，第一枚骰子与第二枚骰子出现点数互不影响，而且事件A、B可以同时发生，所以A、B相互独立，但不互斥，也不对立，更不相等．故选C.
微点拨
(1)事件A与B相互独立就是事件A的发生不影响事件B发生的概率，事件B的发生不影响事件A发生的概率．
(2)两个事件的相互独立性可以推广到n(n＞2，n∈N*)个事件的相互独立性，即若事件A1，A2，…，An相互独立，则这n个事件同时发生的概率P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．
共 学 案
【学习目标】 (1)理解两个事件相互独立的概念．(2)能进行一些与相互独立事件有关的概率的计算．(3)理解相互独立事件与互斥事件的区别．
【问题探究】 试验1：分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A＝“第一枚硬币正面朝上”，B＝“第二枚硬币反面朝上”．
试验2：一个袋子中装有标号分别是1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异，采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球．设A＝“第一次摸到球的标号小于3”，B＝“第二次摸到球的标号小于3”．
(1)两个试验中事件AB与A和B的概率有何联系？
(2)必然事件Ω、不可能事件 与任意事件相互独立吗？
(3)互为对立的两个事件是非常特殊的一种事件关系．如果事件A与事件B相互独立，那么它们的对立事件是否也相互独立？
提示：(1)在试验1中，用1表示硬币“正面向上”，用0表示硬币“反面向上”，则样本空间Ω＝{(1，1)，(1，0)，(0，1)，(0，0)}，共4个样本点，而A＝{(1，1)，(1，0)}，B＝{(1，0)，(0，0)}，所AB＝{(1，0)}，根据古典概型概率计算公式得：P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝.
所以：P(AB)＝P(A)P(B)．
同理，在试验2中，P(AB)＝P(A)P(B)．
(2)必然事件Ω、不可能事件 与任意事件相互独立．
(3)如果事件A与事件B相互独立，那么A与与B，与也都相互独立．
题型 1 相互独立事件的判断
例1 投掷一颗骰子一次，定义三事件如下：A＝{1，2，3}，B＝{1，4，5}，C＝{1，2，3，4}．试判断：
(1)A、C是否相互独立？
(2)B、C是否相互独立？
解析：(1)由题意P(A)＝，P(C)＝，而A＝{1，2，3}，则P(AC)＝，
所以P(AC)≠P(A)P(C)，故A、C不相互独立；
(2)由题意P(B)＝，P(C)＝，而B＝{1，4}，则P(BC)＝，
所以P(BC)＝P(B)P(C)，故B，C相互独立．
题后师说
判断两个事件是否相互独立的方法
跟踪训练1 下列事件中，A，B是相互独立事件的是( )
A．一枚硬币掷两次，A＝“第一次为正面”，B＝“第二次为反面”
B．袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸两球，A＝“第一次摸到白球”，B＝“第二次摸到白球”
C．掷一枚骰子，A＝“出现点数为奇数”，B＝“出现点数为偶数”
D．A＝“一个节能灯泡能用1 000小时”，B＝“一个节能灯泡能用2 000小时”
答案：A
解析：把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后次序的影响，故A中A，B事件是相互独立事件；B中是不放回地摸球，显然A事件与B事件不相互独立；对于C，A，B事件应为互斥事件，不相互独立；D中事件B受事件A的影响．故选A.
题型 2 相互独立事件概率的计算
例2 在一次猜灯谜活动中，甲、乙两人同时独立猜同一道灯谜，已知甲、乙能猜对的概率分别是0.6和0.5.
(1)求两人都猜对此灯谜的概率；
(2)求恰有一人猜对此灯谜的概率．
解析：(1)设A＝“甲猜对”，B＝“乙猜对”，则＝“甲猜错”，＝“乙猜错”，由题意得A与B相互独立，A与与B，与都相互独立，
“两人都猜对”＝AB，由事件独立性的定义可得
P(AB)＝P(A)P(B)＝0.6×0.5＝0.3.
(2)设A＝“甲猜对”，B＝“乙猜对”，则＝“甲猜错”，＝“乙猜错”，由题意得A与B相互独立，A与与B，与都相互独立，
“恰有一人猜对”＝AB，因为A与B互斥，由概率的加法公式可得
P(AB)＝P(A)＋P(B)
＝P(A)P()＋P()P(B)
＝0.6×0.5＋0.4×0.5＝0.5.
题后师说
用相互独立事件的乘法公式解题的步骤
跟踪训练2 甲、乙两人分别对A，B两个目标各射击一次，若目标被击中两次则被击毁，每次射击互不影响．已知甲击中A，B的概率均为，乙击中A，B的概率分别为.
(1)求A被击毁的概率；
(2)求恰有1个目标被击毁的概率．
解析：(1)A被击毁则甲、乙两人均要击中目标，故概率为＝.
(2)B被击毁的概率为＝，
则A被击毁，B不被击毁的概率为×(1－)＝，
B被击毁，A不被击毁的概率为×(1－)＝，
则恰有1个目标被击毁的概率为＝.
题型 3 相互独立事件概率的综合应用
例3 某校组织了防溺水知识测试．测试共分为两轮，每位参与测试的同学均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中的测试成绩均合格，则视本次测试成绩为合格．甲、乙两名同学均参加了本次测试，已知在第一轮测试中，甲、乙测试成绩合格的概率分别为；在第二轮测试中，甲、乙测试成绩合格的概率分别为.甲、乙两人在每轮测试中的成绩是否合格互不影响．
(1)甲、乙哪名同学在本次测试中成绩合格的概率更大？
(2)求甲、乙两人中至少有一人的成绩在本次测试中合格的概率．
解析：(1)设A1＝“甲在第一轮测试中的成绩合格”，A2＝“甲在第二轮测试中的成绩合格”，
B1＝“乙在第一轮测试中的成绩合格”，B2＝“乙在第二轮测试中的成绩合格”，
则A1A2＝“甲同学在本次测试中成绩合格”，P(A1A2)＝P(A1)P(A2)＝＝，
B1B2＝“乙同学在本次测试中成绩合格”，P(B1B2)＝P(B1)P(B2)＝＝.
因为>，所以甲同学在本次测试中成绩合格的概率更大．
(2)设C＝“甲在本次测试中成绩合格”，D＝“乙在本次测试中成绩合格”，
则P()＝1－P(A1A2)＝1－＝，
P()＝1－P(B1B2)＝1－＝，
C＝“甲、乙两人中至少有一人在本次测试中合格”，
P(C＝1－P()＝1－P()P()＝1－＝.
一题多变 本例条件不变，求甲、乙两人中至多有一人的成绩在本次测试中合格的概率．
解析：设C＝“甲在本次测试中成绩合格”，D＝“乙在本次测试中成绩合格”，
则P(CD)＝P(C)P(D)＝＝.
E＝“甲、乙两人中至多有一人的成绩在本次测试中合格”
所以P(E)＝1－P(CD)＝1－＝.
学霸笔记：(1)准确理解互斥事件，相互独立事件的含义，灵活利用概率的加法和乘法公式解题．
(2)正难则反，若所求事件的概率正面计算较繁琐时，可以从对立面入手求解．
跟踪训练3 某同学乘火车从郑州到北京去比赛，若当天从郑州到北京的三列火车正点到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求：
(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率；
(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率．
解析：用A，B，C分别表示这三列火车正点到达的事件．
则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，
所以P()＝0.2，P()＝0.3，P()＝0.1.
(1)由题意得A，B，C之间互相独立，所以恰好有两列正点到达的概率为
P1＝P(BC)＋P(AC)＋P(AB)
＝P()P(B)P(C)＋P(A)P()P(C)＋P(A)P(B)P()
＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398.
(2)三列火车至少有一列正点到达的概率为
P2＝1－P()＝1－P()P()P()＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994.
随堂练习
1．袋中有黑、白两种颜色的球，从中进行有放回的摸球游戏，用A1表示第一次摸得黑球，A2表示第二次摸得黑球，则A1与是( )
A．相互独立事件 B．不相互独立事件
C．互斥事件 D．对立事件
答案：A
解析：由题意可得表示第二次摸到的不是黑球，即表示第二次摸到的是白球，由于采用有放回地摸球，故每次是否摸到白球互不影响，故事件A1与是相互独立事件，由于A1与可能同时发生，故不是互斥事件也不是对立事件．故选A.
2．甲、乙两人练习射击，甲击中目标的概率为0.9，乙击中目标的概率为0.7，若两人同时射击一目标，则他们都击中的概率是( )
A．0.3 B．0.63
C．0.7 D．0.9
答案：B
解析：设甲击中为事件A，乙击中为事件B，则P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.9×0.7＝0.63.故选B.
3．在某次考试中，甲、乙通过的概率分别为0.7，0.4，若两人考试相互独立，则甲未通过而乙通过的概率为( )
A．0.28 B．0.12
C．0.42 D．0.16
答案：B
解析：甲未通过的概率为0.3，则甲未通过而乙通过的概率为0.3×0.4＝0.12.故选B.
4．甲、乙两人独立解同一道数学题目，甲解出这道题目的概率是，乙解出这道题目的概率是，这道题被解出(至少有一人解出来)的概率是________．
解析：设数学题没被解出来为事件A，
则P(A)＝(1－)·(1－)＝，
则这道题被解出(至少有一人解出来)的概率：
P＝1－P(A)＝1－＝.
课堂小结
1.相互独立事件的定义和性质．
2．相互独立事件的判断．
3．相互独立事件概率的计算．(共36张PPT)
10．3.1～10.3.2 频率的稳定性 随机模拟
预 学 案
共 学 案
预 学 案
一、频率的稳定性
一般地，随着试验次数n的________，频率偏离概率的幅度会________，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐________于事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的________性．因此，我们可以用____________估计概率P(A)．
增大
缩小
稳定
稳定
频率fn(A)
【即时练习】
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)随机事件的频率和概率不可能相等．( )
(2)随机事件的频率和概率都随着试验次数的变化而变化．( )
(3)概率能反映随机事件发生可能性的大小，而频率则不能．( )
×
×
×
2．某人将一枚硬币连掷了10次，6次正面朝上，若用A表示“正面朝上”这一事件，则A出现的( )
A．概率为 B．频率为
C．频率为6 D．概率为6
答案：B
解析：事件A出现的频数是6，频率＝＝.故选B.
二、随机数
1．产生随机数的方法
(1)利用计算器或计算机软件产生随机数．
(2)构建模拟试验产生随机数．
2．蒙特卡洛方法
利用随机模拟解决问题的方法称为蒙特卡洛方法．
【即时练习】
1．在用计算器模拟抛硬币试验时，假设计算器只能产生0～9之间的随机数，判断下列说法是否正确．
(1)可以用0，2，4，6，8来代表正面．( )
(2)可以用1，2，3，6，8来代表正面．( )
(3)可以用4，5，6，7，8，9来代表正面．( )
(4)产生的100个随机数中不一定恰有50个偶数．( )
√
√
×
√
2．用随机模拟的方法估计概率时，其准确程度决定于( )
A．产生的随机数的大小 B．产生的随机数的个数
C．随机数对应的结果 D．产生随机数的方法
答案：B
解析：用随机模拟的方法估计概率时，产生的随机数越多，准确程度越高．故选B.
微点拨
(1)频率随着试验次数的变化而变化，而概率是一个常数，是客观存在的，与试验次数无关．
(2)在实际应用中，只要试验的次数足够多，所得的频率就可以近似地看作随机事件的概率．
(3)概率是频率的稳定值．
微点拨
用频率估计概率时，用计算机模拟试验产生随机数的优点有：用频率估计概率时，需做大量的重复试验，费时费力，并且有些试验具有破坏性，有些试验无法真正进行．因此利用计算机进行随机模拟试验就成为一种很重要的替代方法，它可以在短时间内多次重复地来做试验，不需要对试验进行具体操作，可以广泛应用到各个领域．
共 学 案
【学习目标】 (1)理解概率的意义以及频率与概率的区别与联系．(2)能初步利用概率知识解释现实生活中的概率问题．(3)了解随机模拟的含义，会利用随机模拟估计概率．
题型 1 频率与概率
【问题探究1】 利用计算机模拟抛掷两枚硬币的试验，在重复试验次数为20，100，500时各做5组试验，得到事件A＝“一个正面朝上，一个反面朝上”发生的频数nA和频率fn(A)，结果如表所示：
你能计算出A事件的概率吗？频率与概率有什么关系？
序号 n＝20 n＝100 n＝500 频数 频率 频数 频率 频数 频率
1 12 0.6 56 0.56 261 0.522
2 9 0.45 50 0.50 241 0.482
3 13 0.65 48 0.48 250 0.5
4 7 0.35 55 0.55 258 0.516
5 12 0.6 52 0.52 253 0.506
提示：试验次数n相同，频率fn(A)可能不同，这说明随机事件发生的频率具有随机性．从整体来看，频率在概率0.5附近波动．当试验次数较少时，波动幅度较大；当试验次数较多时，波动幅度较小，但试验次数多的波动幅度并不全都比次数较少的小，只是波动幅度小的可能性更大．
例1 下列说法正确的是( )
A．由生物学知道生男生女的概率约为0.5，一对夫妇先后生两个小孩，则一定为一男一女
B．一次摸奖活动中，中奖概率为0.2，则摸5张票，一定有一张中奖
C．10张票中有1张奖票，10人去摸，谁先摸则谁摸到奖票的可能性大
D．10张票中有1张奖票，10人去摸，无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1
解析：一对夫妇生两个小孩可能是(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，所以A不正确；中奖概率为0.2是说中奖的可能性为0.2，当摸5张票时，可能都中奖，也可能中一张、两张、三张、四张，或者都不中奖，所以B不正确；10张票中有1张奖票，10人去摸，每人摸到的可能性是相同的，即无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1，所以C不正确，D正确．故选D.
答案：D
学霸笔记：(1)概率是随机事件发生的可能性大小的度量，是随机事件A的本质属性，随机事件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的近似值．
(2)正确理解概率的意义，要清楚与频率的区别与联系，对具体的问题要从全局和整体上去看待，而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件．
跟踪训练1 气象台预测“本市明天降雨的概率是90%”，对预测的正确理解是( )
A．本市明天将有90%的地区降雨
B．本市明天将有90%的时间降雨
C．明天出行不带雨具肯定会淋雨
D．明天出行不带雨具可能会淋雨
解析：本市降雨的概率是90%，是说明天下雨发生的可能性很大，但不一定就一定会发生．所以只有D合题意．故选D.
答案：D
题型 2 用频率估计概率
例2 某保险公司利用简单随机抽样的方法，对投保的车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：
(1)若每辆车的投保金额为2 800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；
(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．
赔偿金额/元 0 1 000 2 000 3 000 4 000
车辆数/辆 500 130 100 150 120
解析：(1)设A表示事件“赔付金额为3 000元”，B表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得P(A)＝＝0.15，P(B)＝＝0.12，
由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额的情形是赔付3 000元和4 000元，A与B互斥，所以所求概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.
(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主是新司机的有0.1×1 000＝100(位)，而赔付金额为4 000元的车辆中车主为新司机的有0.2×120＝24(位)，
所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为＝0.24，由频率估计概率得P(C)＝0.24.
学霸笔记：在用频率估计概率时，要注意试验次数n不能太小，只有当n很大时，频率才会呈现出规律性，即在某个常数附近波动，且这个常数就是概率．
跟踪训练2 对某电视机厂生产的电视机进行抽样检测的数据如下：
(1)根据表中数据分别计算6次试验中抽到优等品的频率；
(2)该厂生产的电视机为优等品的概率约是多少？
抽取台数 50 100 200 300 500 1 000
优等品数 40 92 192 285 478 954
解析：(1)抽到优等品的频率分别为0.8，0.92，0.96，0.95，0.956，0.954.
(2)由表中数据可估计优等品的概率约为0.95.
题型 3 游戏公平性的判断
例3 某校高二年级(1)(2)班准备联合举行晚会，组织者欲使晚会气氛热烈、有趣，策划整场晚会以转盘游戏的方式进行，每个节目开始时，两班各派一人先进行转盘游戏，胜者获得一件奖品，负者表演一个节目．(1)班的文娱委员利用分别标有数字1，2，3，4，5，6，7的两个转盘(如图所示)，设计了一种游戏方案：两人同时各转动一个转盘一次，将转到的数字相加，和为偶数时(1)班代表获胜，否则(2)班代表获胜．该方案对双方是否公平？为什么？
解析：该方案是公平的，理由如下：各种情况如表所示：
由表可知该游戏可能出现的情况共有12种，其中两数字之和为偶数的情况有6种，为奇数的情况也有6种，所以(1)班代表获胜的概率P1＝＝，(2)班代表获胜的概率P2＝＝即P1＝P2，机会是均等的，所以该方案对双方是公平的．
和 4 5 6 7
1 5 6 7 8
2 6 7 8 9
3 7 8 9 10
学霸笔记：(1)在各类游戏中，如果每人获胜的概率相等，那么游戏就是公平的，这就是说是否公平只要看获胜的概率是否相等．
(2)具体判断时，可以求出按所给规则双方的获胜概率，再进行比较．
跟踪训练3 甲、乙两人做游戏，下列游戏中不公平的是( )
A．抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜
B．同时抛两枚相同的骰子，向上的点数之和大于7则甲胜，否则乙胜
C．从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜
D．甲、乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜
答案：B
解析：A项，P(点数为奇数)＝P(点数为偶数)＝；
B项，P(点数之和大于7)＝＝，P(点数之和小于等于7)＝＝；
C项，P(牌色为红)＝P(牌色为黑)＝；
D项，P(同奇或同偶)＝P(奇偶不同)＝＝.故选B.
题型 4 用随机模拟估计概率
【问题探究2】 用频率估计概率，需要做大量的重复试验，有没有其他方法可以代替试验呢？其步骤如何？
提示：利用计算器或计算机软件可以产生随机数．实际上，我们也可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟试验，这样就可以快速地进行大量重复试验了．
步骤为：①建立概率模型；②进行模拟试验(可用计算器或计算机进行)；③统计试验结果．
例4 一个袋中有7个大小、形状相同的小球，6个白球，1个红球，现任取1个球，若为红球就停止，若为白球就放回，搅拌均匀后再接着取，试设计一个模拟试验计算恰好第三次摸到红球的概率．
解析：用1，2，3，4，5，6表示白球，7表示红球，利用计算器或计算机产生1到7之间(包括1和7)取整数值的随机数，因为要求恰好第三次摸到红球的概率，所以每三个随机数作为一组，如下，产生20组随机数：
666 743 671 464 571 561 156 567 732 375 716 116 614 445 117 573 552 274 114 662
就相当于做了20次试验，在这些数组中，前两个数字不是7，第三个数字恰好是7就表示第一次、第二次摸到的是白球，第三次摸到的是红球，它们分别是567和117，共两组，因此恰好第三次摸到红球的概率约为＝0.1.
学霸笔记：随机数模拟试验估计概率时，首先要确定随机数的范围和用哪些数代表不同的试验结果．我们可以从以下三方面考虑：
(1)当试验的样本点等可能时，样本点总数即为产生随机数的范围，每个随机数代表一个样本点；
(2)研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数；
(3)当每次试验结果需要n个随机数表示时，要把n个随机数作为一组来处理，此时一定要注意每组中的随机数字能否重复．
跟踪训练4 某种心脏手术成功率为0.9，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率．先利用计算器或计算机产生0～9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.9，故我们用0表示手术不成功，1，2，3，4，5，6，7，8，9表示手术成功，再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果．经随机模拟产生如下10组随机数：812，832，569，683，271，989，730，537，925，907.由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为( )
A．0.9 B．0.8 C．0.7 D．0.6
解析：由题意，10组随机数：812，832，569，683，271，989，730，537，925，907.表示“3例心脏手术全部成功”的有812，832，569，683，271，989，537，925，共8个，故估计“3例心脏手术全部成功”的概率为＝0.8.故选B.
答案：B
随堂练习
1．下列说法中正确的是( )
A．当试验次数很大时，随机事件发生的频率接近概率
B．频率是客观存在的，与试验次数无关
C．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率
D．概率是随机的，在试验前不能确定
解析：A选项，根据频率的稳定性可知A选项正确．B选项，频率与实验次数有关，B选项错误．C选项，随机事件发生的频率不是这个随机事件发生的概率，C选项错误．D选项，概率不是随机的，是确定的，D选项错误．故选A.
答案：A
2．某工厂生产的产品的合格率是99.99%，这说明( )
A．该厂生产的10 000件产品中不合格的产品一定有1件
B．该厂生产的10 000件产品中合格的产品一定有9 999件
C．该厂生产的10 000件产品中没有不合格的产品
D．该厂生产的产品合格的可能性是99.99%
解析：对于A：该厂生产的10 000件产品中不合格的产品不一定有1件，可能是多件或者没有，故A错误；
对于B：该厂生产的10 000件产品中合格的产品不一定是9 999件，故B错误；
对于C：该厂生产的10 000件产品中可能有不合格产品，故C错误；
对于D：该厂生产的产品合格的可能性是99.99%，故D正确．故选D.
答案：D
3．用随机模拟方法估计概率时，其准确程度取决于( )
A．产生的随机数的大小
B．产生的随机数的个数
C．随机数对应的结果
D．产生随机数的方法
解析：随机数容量越大，所估计的概率越接近实际数．故选B.
答案：B
4.玲玲和倩倩下跳棋，为了确定谁先走第一步，玲玲决定拿一个飞镖射向如图所示的靶中．若射中区域所标的数字大于3，则玲玲先走第一步，否则倩倩先走第一步．这个游戏规则________(填“公平”或“不公平”)．
不公平
解析：由已知得，所标的数字大于3的区域有5个，而小于或等于3的区域只有3个，所以玲玲先走的概率是，倩倩先走的概率是，所以不公平．
课堂小结
1．概率与频率的关系．
2．用频率估计概率．
3．用随机模拟估计概率．(共24张PPT)
章末复习课
·
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考点一 频率与概率
1．频率是概率的近似值，是随机的，随着试验的不同而变化；概率是多次试验中频率的稳定值，是一个常数．
(1)对于只有一组试验数据的，我们通常用事件A发生的频率作为相应概率的估计值．
(2)对于有多组试验数据的，通常将各组中事件A发生的频率按试验次数从小到大的顺序，观察频率的稳定性，得到概率的估计值．
2．通过对频率与概率的考查，提升学生的数学抽象和数学运算素养．
例1 某篮球运动员在同一条件下进行投篮练习，结果如下表：
(1)计算表中进球的频率．
(2)这位运动员投篮一次，进球的概率约是多少？
(3)这位运动员进球的概率是0.8，那么他投10次篮一定能投中8次吗？
投篮次数 8 10 15 20 30 40 50
进球次数 6 8 12 17 25 32 39
进球频率
解析：(1)表中进球的频率分别为：
＝0.75，＝0.8，＝0.8，＝0.85，＝＝0.8，＝0.78.
(2)由于进球频率都在0.8左右摆动，
故这位运动员投篮一次，进球的概率约是0.8.
(3)不一定，一名运动员投篮进球的概率是0.8，表示投篮成功的可能性，他在10次一组的投篮中，可能均会投中8次．
跟踪训练1 某商场设立了一个可以自由转动的转盘(如图所示)，并做如下规定：顾客购物80元以上就获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．
下表是活动进行中的一组统计数据：
(1)计算并完成表格．
(2)当n很大时，落在区域“1”的频率将会接近多少？
(3)获得区域“1”相应奖品的概率大约为多少？
转动转盘的次数m 100 150 200 500 800 1 000
落在区域“1”的频数n 13 19 24 62 100 120
解析：(1)落在区域“1”的频率如下表：
(2)由(1)中计算的频率，可判断当n很大时，落在区域“1”的频率将会接近0.12.
(3)由(1)，(2)及频率与概率的关系可知获得区域“1”相应奖品的概率大约为0.12.
转动转盘的次数m 100 150 200 500 800 1 000
落在区域“1”的频数n 13 19 24 62 100 120
0.13 0.13 0.12 0.12 0.13 0.12
考点二 互斥事件、对立事件与相互独立事件
1．互斥事件是不可能同时发生的两个事件；对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者必须有一个发生．因此对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，对立事件是互斥事件的特殊情况．
2．若事件A，B满足P(A＝P(A)P(B)，则事件A，B相互独立，且当A与B相互独立时，A与与B，与也独立．
3．通过对互斥事件和对立事件的概率公式、相互独立事件的判断方法及应用的考查，提升学生的逻辑推理和数学运算素养．
例2 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则( )
A．甲与丙相互独立
B．甲与丁相互独立
C．乙与丙相互独立
D．丙与丁相互独立
答案：B
解析：P(甲)＝，P(乙)＝，
P(丙)＝，P(丁)＝＝，
P(甲丙)＝0≠P(甲)P(丙)，
P(甲丁)＝＝P(甲)P(丁)，
P(乙丙)＝≠P(乙)P(丙)，
P(丙丁)＝0≠P(丁)P(丙)．故选B.
跟踪训练2 抛掷一枚质地均匀的骰子2次，甲表示事件“第一次骰子正面向上的数字是2”，乙表示事件“两次骰子正面向上的数字之和是5”，丙表示事件“两次骰子正面向上的数字之和是7”，则( )
A．甲乙互斥 B．乙丙互为对立
C．甲乙相互独立 D．甲丙相互独立
答案：D
解析：由题意可知，先后抛掷两枚骰子出现点数的所有可能情况为36种，
甲表示事件“第一次骰子正面向上的数字是2”包含的基本事件有：(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，
则P1＝＝；
乙表示事件“两次骰子正面向上的数字之和是5” 包含的基本事件有(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，则P2＝＝；
丙表示事件“两次骰子正面向上的数字之和是7” 包含的基本事件有(1，6)，(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1)，则P3＝＝.对于A，甲乙有可能同时发生，不是互斥事件，A错误；对于B，除了乙丙以外还有其他事件发生，不是对立事件，B错误；对于C，甲乙同时发生的概率为P4＝≠P1P2，C错误；对于D，甲丙同时发生的概率为P5＝＝P1P3，D正确．故选D.
考点三 古典概型
1．古典概型是一种最基本的概率模型，是学习其他概率模型的基础，解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性．在应用公式P(A)＝时，关键在于正确理解试验的发生过程，求出试验的样本空间的样本点总数n和事件A的样本点个数m.
2．通过对古典概型的概率公式及其应用的考查，提升学生的数学抽象和数据分析的数学素养．
例3 某校高一(1)班决定从a，b，c三名男生和d，e两名女生中随机选3名进入学生会．
(1)求“女生d被选中”的概率；
(2)求“男生a和女生e恰好有一人被选中”的概率．
解析：(1)从a，b，c三名男生和d，e两名女生中任选3名的可能选法有abc，abd，abe，acd，ace，ade，bcd，bce，bde，cde，共10种选法，
其中女生d被选中的有abd，acd，ade，bcd，bde，cde，共6种选法，
所以女生d被选中的概率p＝＝.
(2)据(1)求解知，男生a和女生e恰好有一人被选中有abc，abd，acd，bce，bde，cde，共6种选法，所以“男生a和女生e恰好有一人被选中”的概率p＝＝.
跟踪训练3 (1)从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为( )
A． B．
C． D．
答案：C
解析：(1)从6张卡片中任取2张的取法有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)，共15种不同取法，其中2张卡片上的数字之积是4的倍数的取法有(1，4)，(2，4)，(2，6)，(3，4)，(4，5)，(4，6)，共6种，所以所求概率p＝＝.故选C.
(2)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为( )
A． B． C． D．
答案：D
解析：方法一 从2，3，4，5，6，7，8中随机取2个不同的数有21种结果，其中这2个数互质的结果有(2，3)，(2，5)，(2，7)，(3，4)，(3，5)，(3，7)，(3，8)，(4，5)，(4，7)，(5，6)，(5，7)，(5，8)，(6，7)，(7，8)，共14种，所以所求概率为＝.故选D.
方法二 从2，3，4，5，6，7，8中随机取2个不同的数有21种结果，其中这2个数不互质的结果有(2，4)，(2，6)，(2，8)，(3，6)，(4，6)，(4，8)，(6，8)，共7种，所以所求概率为＝.故选D.
考点四 相互独立事件概率
1．相互独立事件的概率通常和互斥事件的概率综合在一起考查，这类问题具有一个明显的特征，那就是在题目的条件中已经出现一些概率值，解题时先要判断事件的性质(是互斥还是相互独立)，再选择相应的公式计算求解．
2．通过对相互独立事件的概率的考查，提升学生的数学抽象和逻辑推理的数学素养．
例4 某公司在一次入职面试中，共设有3轮测试，每轮测试设有一道题目，面试者能正确回答两道题目即可通过面试，累计答错两道题目即被淘汰．已知李明能正确回答每一道题目的概率均为，且各轮题目能否正确回答互不影响．
(1)求李明不需要进入第三轮测试的概率；
(2)求李明通过面试的概率．
解析：(1)设李明通过第一、二、三轮测试分别为事件A，B，C，可知A，B，C相互独立．
设李明不需要进入第三轮测试为事件M，则M＝AB＋，
所以P(M)＝P(AB＋)＝P(AB)＋P()＝P(A)P(B)＋P()P()＝＋(1－)2＝，
即李明不需要进入第三轮测试的概率为.
(2)设李明最终通过测试为事件N，则N＝AB＋BC＋AC，
所以P(N)＝P(AB＋BC＋AC)＝P(AB)＋P(BC)＋P(AC)＝＋(1－)×＋(1－)×＝，
故李明最终通过测试的概率为.
跟踪训练4 甲、乙两人进行围棋比赛，比赛要求双方下满五盘棋，已知第一盘棋甲赢的概率为，由于心态不稳，若甲赢了上一盘棋，则下一盘棋甲赢的概率依然为，若甲输了上一盘棋，则下一盘棋甲赢的概率就变为.已知比赛没有和棋，且前两盘棋都是甲赢．
(1)求第四盘棋甲赢的概率；
(2)求比赛结束时，甲恰好赢三盘棋的概率．
解析：(1)记第四盘棋甲赢的事件为A，它是第三盘棋甲赢和甲输的两个互斥事件A1，A2的和，
P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，
则P(A)＝P(A1)＋P(A2)＝＝，
所以第四盘棋甲赢的概率是.
(2)记甲恰好赢三盘棋的事件为B，它是后三盘棋甲只赢一盘的三个互斥事件的和，
甲只在第三盘赢的事件为B1、只在第四盘赢的事件为B2、只在第五盘赢的事件为B3，
则P(B1)＝×(1－)＝，
P(B2)＝×(1－)＝，
P(B3)＝×(1－)×＝，
则有P(B)＝P(B1)＋P(B2)＋P(B3)＝＝，
所以比赛结束时，甲恰好赢三盘棋的概率为.