(共32张PPT)
7.1.1 数系的扩充和复数的概念
预 学 案
共 学 案
预 学 案
一、复数的有关概念
1.复数的定义
形如a+bi(a,b∈R)的数叫做________,其中i叫做________,满足i2=________.
2.复数集
全体复数所构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫做________.
3.复数的表示方法
复数通常用字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R),其中a叫做复数z的________,b叫做复数z的________.
复数
虚数单位
-1
复数集
实部
虚部
【即时练习】 1-i的实部等于________,虚部等于________.
1
-1
解析:1-i的实部为1,虚部为-1.
二、复数相等的充要条件
在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi,c+di(a,b,c,d∈R),我们规定:a+bi与c+di相等当且仅当____________.
a=c且b=d
【即时练习】 若复数3+4i=3+bi,i为虚数单位,则b=( )
A.1 B.2 C.4 D.5
答案:C
解析:因为3+4i=3+bi,所以b=4.故选C.
三、复数的分类
1.复数z=a+bi(a,b∈R)
2.复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系
实数
虚数
a=0
a≠0
【即时练习】
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)若a,b为实数,则z=a+bi为虚数.( )
(2)复数i的实部不存在,虚部为0.( )
(3)bi是纯虚数.( )
(4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0,那么这两个复数相等.( )
×
×
×
√
2.在下列数中,属于虚数的是__________________________,属于纯虚数的是________.
0,1+i,πi,+2i,i,i.
1+i,πi,+2i,i,i
πi,i
解析:根据虚数的概念知:1+i,πi,+2i,i,i都是虚数;由纯虚数的概念知:πi,i都是纯虚数.
微点拨
(1)i与实数之间可以运算,亦适合加、减、乘的运算律.
(2)复数集是最大的数集,任何一个数都可写成a+bi(a,b∈R)的形式,其中0=0+0i.
(3)复数a+bi的实部、虚部不一定是a、b,只有当a∈R,b∈R时,a、b才是该复数的实部、虚部.
微点拨
(1)应用复数相等的充要条件时注意要先将复数化为z=a+bi(a,b∈R)的形式,即分离实部和虚部.
(2)只有当a=c且b=d的时候才有a+bi=c+di,a=c和b=d有一个不成立时,就有a+bi≠c+di.
(3)由a+bi=0,a,b∈R,可得a=0且b=0.
微点拨
(1)两个虚数不能比较大小.
(2)a=0是复数z=a+bi为纯虚数的必要不充分条件.
共 学 案
【学习目标】
(1)了解引进虚数单位i的必要性,了解数系的扩充过程.
(2)理解在数系的扩充中的实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.
(3)掌握复数代数形式的表示方法,理解复数相等的充要条件.
题型 1 复数的概念
【问题探究1】 (1)方程x2+1=0在实数范围内有解吗?若有一个新数i满足i2=-1,试想方程x2+1=0有解吗?
(2)添加i之后,我们知道i2=-1,i与原来的实数之间进行加法、乘法运算的时候,会产生怎样的新数?
提示:(1)没有解;有解x=±i.
(2)若i与实数b相乘再与实数a相加,可得到形式为a+bi的新数.
例1 已知复数(x+y)+(2-x)i的实部和虚部分别为3和4,则实数x和y的值分别是( )
A.2,-4 B.2,5
C.-2,4 D.-2,5
答案:D
解析:x,y∈R,复数(x+y)+(2-x)i的实部和虚部分别为3和4,因此解得x=-2,y=5,所以实数x和y的值分别是-2,5.故选D.
学霸笔记
若z=a+bi,只有当a,b∈R时,a才是z的实部,b才是z的虚部,且注意虚部不是bi,而是b.
跟踪训练1 设i是虚数单位,若复数z=3+2a+(2-3a)i的实部与虚部互为相反数,则实数a=( )
A.5 B.-5
C.3 D.-3
答案:A
解析:∵复数z=3+2a+(2-3a)i的实部与虚部互为相反数,∴3+2a=-(2-3a),解得a=5.故选A.
题型 2 复数的分类
【问题探究2】 (1)复数z=a+bi在什么情况下表示实数?
(2)如何利用集合关系表示实数集R和复数集C
提示:(1)b=0.
(2)R?C.
例2 实数x分别取什么值时,复数z=+(x2-2x-15)i是(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?
解析:(1)当x满足即x=5时,z是实数.
(2)当x满足即x≠-3且x≠5时,z是虚数.
(3)当x满足即x=-2或x=3时,z是纯虚数.
学霸笔记
(1)利用复数的分类求参数时,应将复数化为代数形式z=a+bi(a,b∈R).特别注意z为纯虚数,则b≠0,且a=0.
(2)要注意确定使实部、虚部有意义的条件,再结合实部与虚部的取值求解.
跟踪训练2 实数m取什么值时,复数z=m+1+(m-1)i是(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数.
解析:(1)当m-1=0,即m=1时,复数z是实数.
(2)当m-1≠0,即m≠1时,复数z是虚数.
(3)当即m=-1时,复数z是纯虚数.
题型 3 复数相等的应用
【问题探究3】 我们知道集合相等,向量相等,都必须满足一定的条件.结合向量相等的条件,你能说出复数相等的充要条件是什么吗?
提示:a+bi与c+di相等当且仅当a=c且b=d(a,b,c,d∈R).
例3 设z1=m2+2+(m2+m-2)i,z2=3m+(m2-5m+4)i,若z1=z2,求实数m的值.
解析:由复数相等的条件可知解得m=1.
一题多变 本例条件改为“z1=m2+1+(m2+m-2)i,z2=4m+2+(m2-5m+4)i,且z1解析:∵z1∴解得:m=1;
当m=1时,z1=2,z2=6,满足z1学霸笔记
复数问题实数化是解决复数相等问题最基本的也是最重要的思想方法.
基本思路是:
(1)等式两边整理为a+bi(a,b∈R)的形式;
(2)由复数相等可以得到由两个实数等式所组成的方程组;
(3)解方程组.
跟踪训练3 复数z1=(2m+7)+(m2-2)i,z2=(m2-8)+(4m+3)i,m∈R,若z1=z2,求m.
解析:因为m∈R,z1=z2,
所以(2m+7)+(m2-2)i=(m2-8)+(4m+3)i.
由复数相等的充要条件得
解得m=5.
随堂练习
1.已知复数z=a2-(2-b)i的实部和虚部分别是2和3,则实数a,b的值分别是( )
A.,1 B.,5
C.±,5 D.±,1
答案:C
解析:令得a=±,b=5.故选C.
2.给出下列三个命题:(1)若z∈C,则z2≥0;(2)2i-1的虚部是2i;(3)2i的实部是0.其中正确命题的个数为( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
答案:B
解析:(1)错误,例如z=i,则z2=-1;(2)错误,因为2i-1虚部是2;(3)正确,因为2i=0+2i.故选B.
3.如果z=m(m+1)+(m2-1)i为纯虚数,则实数m的值为( )
A.1 B.0
C.-1 D.-1或1
答案:B
解析:由题意知∴m=0.故选B.
4.已知x2-y2+2xyi=2i,则实数x=________,y=________.
答案:±1 ±1
解析:∵x2-y2+2xyi=2i,
∴解得或
课堂小结
1. 数系的扩充与复数的概念.
2.复数的分类.
3.复数相等的充要条件.(共39张PPT)
7.1.2 复数的几何意义
预 学 案
共 学 案
预 学 案
一、复平面和复数的几何意义
1.如图所示,点Z的横坐标是a,纵坐标是b,复数z=a+bi可用点Z(a,b)表示.这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做________,x轴叫做________,y轴叫做________.显然,实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数.
复平面
实轴
虚轴
2.复数的几何意义
(1)按照这种表示方法,每一个复数,有复平面内唯一的一个点和它对应;反过来,复平面内的每一个点,有唯一的一个复数和它对应.因此,复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的,即复数z=a+bi复平面内的点________,这是复数的一种几何意义.
Z(a,b)
(2)如图所示,设复平面内的点Z表示复数z=a+bi,连接OZ,显然向量由点Z唯一确定;反过来,点Z(相对于原点来说)也可以由向量唯一确定.因此,复数集C与复平面内的向量所成的集合也是一一对应的(实数0与零向量对应),即复数z=a+bi平面向量,这是复数的另一种几何意义.
【即时练习】
1.复平面内的点M(1,2)对应的复数为( )
A.-1+2i B.1+2i
C.2-i D.2+i
答案:B
解析:点M(1,2)对应的复数为1+2i.
故选B.
2.复数z=-2+3i在复平面上对应的向量的坐标为________.
(-2,3)
解析:由复数的几何意义知:复数z=-2+3i在复平面上对应的向量的坐标为(-2,3).
二、复数的模
复数z=a+bi(a,b∈R)对应的向量为,则的模叫做复数z的模或绝对值,记作|z|或|a+bi|,即|z|=|a+bi|=________.
如果b=0,那么z=a+bi是一个实数a,它的模等于|a|(a的绝对值).
【即时练习】 若z=1+i,则|z|=( )
A.0 B.1
C. D.2
答案:C
解析:∵z=1+i,∴==.故选C.
三、共轭复数
一般地,当两个复数的实部________,虚部____________时,这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做________.复数z的共轭复数用表示,即如果z=a+bi(a,b∈R),那么=________.
相等
互为相反数
共轭虚数
a-bi
【即时练习】
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)复数即为向量,反之,向量即为复数.( )
(2)复数的模一定是正实数.( )
(3)复数与向量一一对应.( )
(4)若z1与z2互为共轭复数,则|z1|=|z2|.( )
×
×
×
√
2.复数z=3+4i(i是虚数单位)的共轭复数是________.
3-4i
解析:由共轭复数的定义知z=3+4i的共轭复数为=3-4i.
微点拨
(1)复平面内点的坐标与复数实部虚部的对应:点Z的横坐标是a,纵坐标是b,复数z=a+bi(a,b∈R)可用点Z(a,b)表示.
(2)实轴与复数的对应:实轴上的点都表示实数.
(3)虚轴与复数的对应:除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数,原点对应的有序实数对为(0,0),它所确定的复数是z=0+0i=0,表示的是实数.
(4)复数与向量的对应:复数z=a+bi(a,b∈R)的对应向量是以原点O为起点的,否则就谈不上一一对应,因为复平面上与相等的向量有无数个.
微点拨
(1)数的角度理解:复数a+bi(a,b∈R)的模|a+bi|=,两个虚数不能比较大小,但它们的模表示实数,可以比较大小.
(2)几何角度理解:表示复数的点Z到原点的距离.|z1-z2|表示复数z1,z2对应的点之间的距离.
微点拨
(1)结构特点:实部相等,虚部互为相反数.
(2)几何意义:在复平面内两个共轭复数的对应点关于实轴对称.
共 学 案
【学习目标】
(1)理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系.(2)掌握实轴、虚轴、模、共轭复数等概念.(3)掌握用向量的模来表示复数的模的方法.
题型 1 复数与复平面内点的关系
【问题探究1】 根据复数相等的定义,任何一个复数z=a+bi都可以由一个有序实数对(a,b)唯一确定;反之也对,由此你能想到复数的几何表示方法吗?
提示:
所以复数集可以与平面直角坐标系中的点集建立一一对应关系,因此可以用点表示复数.
例1 已知复数z=(m2-7m+10)+(m2-5m+6)i,i为虚数单位,m∈R.
(1)若在复平面上表示复数z的点位于第二象限,求m的取值范围;
(2)若在复平面上表示复数z的点位于直线2x-y-14=0上,求m的值.
解析:(1)复数z的点位于第二象限则解得3(2)表示复数z的点位于直线2x-y-14=0上,则2(m2-7m+10)-(m2-5m+6)-14=0,
解得m=0或m=9.
题后师说
利用复数与点的对应解题的一般步骤
跟踪训练1 已知复数z=(m+2)+(m+1)i在复平面内对应的点在第三象限,则实数m的取值范围是( )
A.(-2,-1)
B.(-∞,-2)
C.(-1,+∞)
D.(-∞,-2)
答案:D
解析:因为复数z=(m+2)+(m+1)i在复平面内对应的点在第三象限,
所以解得m<-2,
所以实数m的取值范围为(-∞,-2).故选D.
题型 2 复数与复平面内向量的关系
【问题探究2】 平面向量可以用有序数对来表示,借助有序数对能建立复数与平面向量的联系吗?
提示:能.
例2 在复平面内的长方形ABCD的四个顶点中,点A,B,C对应的复数分别是2+3i,3+2i,-2-3i,求点D对应的复数.
解析:由题意得=(2,3),=(3,2),=(-2,-3).
设=(x,y),则=(x-2,y-3),=(-5,-5).
由题意知,=,所以即
故点D对应的复数为-3-2i.
学霸笔记:(1)根据复数与平面向量的对应关系,可知当平面向量的起点在原点时,向量的终点对应的复数即为向量对应的复数.反之复数对应的点确定后,从原点引出的指向该点的有向线段,即为复数对应的向量.
(2)解决复数与平面向量一一对应的问题时,一般以复数与复平面内的点一一对应为工具,实现复数、复平面内的点、向量之间的转化.
跟踪训练2 已知复平面内的点A,B分别对应的复数为z1=2+i和z2=-1-2i,则向量对应的复数为( )
A.1-i B.-1-i
C.-3-3i D.3+3i
答案:D
解析:由题可得A(2,1),B(-1,-2),故=(3,3),则向量对应的复数为3+3i.故选D.
题型 3 复数的模
【问题探究3】 我们知道向量的长度叫向量的模,z=a+bi(a,b∈R)与向量一一对应,那么|z|如何表示?
提示:|z|=||=|a+bi|=.
例3 已知复数z1=+i,z2=-i.
(1)求|z1|及|z2|并比较大小;
(2)设z∈C,满足条件|z2|≤|z|≤|z1|的点Z的轨迹是什么图形?
解析:(1)∵z1=+i,z2=-i,
∴|z1|= =2,|z2|= =1,
∴>;
(2)由|z2|≤|z|≤|z1|,得1≤|z|≤2,
根据复数模的几何意义可知|z|表示复数z对应的点到原点的距离,
所以|z|≥1表示|z|=1所表示的圆及外部所有点组成的集合,
|z|≤2表示|z|=2所表示的圆及内部所有点组成的集合,
所以复数z对应的点Z的轨迹是以原点O为圆心,以1和2为半径的圆之间的部分(包括两边界).
题后师说
解决与复数的模有关问题的策略
跟踪训练3 已知复数z满足2≤|z|≤2,则在复平面中z对应的点所构成的图形的面积为________.
答案:4π
解析:根据题意可知复数z满足2≤|z|≤2,则由复数模的几何意义知z对应的点所构成的图形为半径为2和2的两个同心圆所围成的圆环,则其面积为π[(2)2-22]=4π.
题型 4 共轭复数
例4 已知复数z满足z=3+4i,则共轭复数在复平面内对应的点在( )
A.第四象限 B.第三象限
C.第二象限 D.第一象限
答案:A
解析:由z=3+4i得=3-4i,其在复平面内对应的点为(3,-4),在第四象限,故选A.
学霸笔记:
与共轭复数有关问题的解决方法
(1)若复数z的代数形式已知,根据共轭复数的定义表示出,再进行复数的四则运算;
(2)若复数z的代数形式未知,设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,代入所给等式或方程,利用复数相等的充要条件,转化为解方程(组)问题.
跟踪训练4 已知a,b∈R,若a+4i与3-bi互为共轭复数,则|a+bi|=( )
A.8 B.7 C.6 D.5
答案:D
解析:a+4i与3-bi互为共轭复数,∴a=3,b=4,则有|a+bi|=|3+4i|==5.故选D.
随堂练习
1.复数z=-1-2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案:C
解析:z=-1-2i对应点Z(-1,-2),位于第三象限.故选C.
2.在复平面内,O为原点,向量对应的复数为-1-2i,若点A关于实轴的对称点为B,则向量对应的复数为( )
A.-2-i B.2+i
C.1+2i D.-1+2i
答案:D
解析:由题意可知,点A的坐标为(-1,-2),则点B的坐标为(-1,2),故向量对应的复数为-1+2i.故选D.
3.已知a∈R,若有|a-i|=(i为虚数单位),则a=( )
A.1 B.-2 C.±2 D.±1
答案:C
解析:因为a∈R,所以|a-i|==,即a2+1=5,解得a=±2,故选C.
4.复数z=x-2+(3-x)i在复平面内的对应点在第四象限,则实数x的取值范围是________.
答案:(3,+∞)
解析:∵复数z在复平面内对应的点在第四象限,
∴解得x>3.
课堂小结
1.复数与复平面内的点、向量之间的一一对应关系.
2.复数的模及其几何意义.
3.共轭复数.(共31张PPT)
7.2.1 复数加、减运算及其几何意义
预 学 案
共 学 案
预 学 案
一、复数加法法则
1.运算法则
设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数,则z1+z2=______________.
2.复数加法的几何意义
两个向量与的和就是与复数(a+c)+(b+d)i对应的向量,复数的加法可以按照______的加法来进行.
如图,复数z1+z2是以为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数.
(a+c)+(b+d)i
向量
3.加法运算律
对任意z1,z2,z3∈C,有
交换律:z1+z2=________.
结合律:(z1+z2)+z3=____________.
z2+z1
z1+(z2+z3)
【即时练习】
1.(1+i)+(-2+2i)=( )
A.-1+3i B.1+i
C.-1+i D.-1-i
答案:A
解析:(1+i)+(-2+2i)=-1+3i.故选A.
2.在复平面上,如果对应的复数分别是6-5i,-1+4i,那么对应的复数为________.
5-i
解析:由于=,所以对应的复数为6-5i+(-1+4i)=6-1+(4-5)i=5-i.
二、复数的减法法则
1.运算法则
复数的减法是加法的逆运算.
设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数,则z1-z2=____________.
2.复数减法的几何意义
如图,复数z1-z2是从向量的终点指向向量的终点的向量所对应的复数.
(a-c)+(b-d)i
【即时练习】
1.已知复数z1=3+4i,z2=3-4i,则z1-z2=( )
A.8i B.6
C.6+8i D.6-8i
答案:A
解析:∵复数z1=3+4i,z2=3-4i,
∴z1-z2=(3+4i)-(3-4i)=8i.
故选A.
2.已知复数-5+i与-3-2i分别表示向量和,则表示向量的复数为________.
2-3i
解析:∵=-5+i,=-3-2i,
∴==(-3-2i)-(-5+i)=2-3i,
即向量表示的复数为2-3i.
微点拨
(1)复数加法可以从数与形两方面领会:代数形式上,复数加法类似于多项式加法的合并同类项;几何形式上,复数加法类似于向量加法.
(2)复数的加法可以推广到多个复数相加的情形:各复数的实部分别相加,虚部分别相加.
(3)实数加法的运算性质对复数加法仍然成立.
微点拨
(1)复数减法的几何意义就是平面向量减法的三角形法则.
(2)在确定两个复数的差所对应的向量时,应按照“首同尾连向被减”的方法确定.
共 学 案
【学习目标】
(1)掌握复数代数形式的加、减运算法则.(2)了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.(3)能够利用复数代数形式的加、减运算的几何意义解决有关问题.
题型 1 复数的加、减运算
【问题探究1】 (1)多项式的加、减实质就是合并同类项,类比两个多项式的加、减,你能猜想出两个复数如何相加、减吗?
(2)复数的加法满足交换律和结合律吗?
提示:(1)两个复数相加(减)就是把两个复数的实部相加(减),虚部相加(减).即(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i(a,b,c,d∈R).
(2)满足.
例1 计算:
(1)(i)+(2-i)-(i);
(2)已知z1=2+3i,z2=-1+2i,求z1+z2,z1-z2.
解析:(1)(i)+(2-i)-(i)=(+2-)+(-1+)i=1+i;
(2)∵z1=2+3i,z2=-1+2i,
∴z1+z2=2+3i+(-1+2i)=1+5i,
z1-z2=2+3i-(-1+2i)=3+i.
学霸笔记
复数的代数式的加、减运算,其运算法则是对它们的实部和虚部分别进行加、减运算.在运算过程中应注意把握每一个复数的实部和虚部.这种运算类似于初中的合并同类项.
跟踪训练1 (1)复数(1+2i)+(3-4i)-(-5-3i)对应的点在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案:A
解析:(1)复数(1+2i)+(3-4i)-(-5-3i)=(1+3+5)+(2-4+3)i=9+i,其对应的点为(9,1),在第一象限.故选A.
(2)已知复数z1=(a2-2)-3ai,z2=a+(a2+2)i,若z1+z2是纯虚数,则实数a的值为________.
答案:-2
解析:由已知可得z1+z2=(a2+a-2)+(a2-3a+2)i,因为z1+z2是纯虚数,则解得a=-2.
题型 2 复数加、减运算的几何意义
【问题探究2】 我们知道,复数与复平面内以原点为起点的向量一一对应,平面向量的坐标运算法则是什么?向量加法的几何意义是什么?
提示:设=(a,b),=(c,d),则+=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d).几何意义是以为邻边作平行四边形OZ1ZZ2的对角线.
例2 如图所示,平行四边形OABC的顶点O、A、C对应复数分别为0、3+2i、-2+4i,试求
(1)所表示的复数,所表示的复数;
(2)对角线所表示的复数;
(3)对角线所表示的复数及的长度.
解析:(1)=-,∴所表示的复数为-3-2i.
∵=,∴所表示的复数为-3-2i.
(2)∵=.
∴所表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.
(3)对角线=,它所对应的复数z=(3+2i)+(-2+4i)=1+6i,||==.
学霸笔记
(1)根据复数的两种几何意义可知:复数的加、减运算可以转化为点的坐标运算或向量运算.
(2)复数的加、减运算用向量进行时,同样满足平行四边形法则和三角形法则.
(3)复数及其加、减运算的几何意义为数形结合思想在复数中的应用提供了可能.
跟踪训练2 在复平面内,A,B,C,三点分别对应复数1,2+i,-1+2i.
(1)求对应的复数;
(2)判断△ABC的形状.
解析:(1)A,B,C三点分别对应复数1,2+i,-1+2i.
所以对应的复数分别为1,2+i,-1+2i(O为坐标原点),
所以=(1,0),=(2,1),=(-1,2).
所以==(1,1),==(-2,2),==(-3,1).
即对应的复数为1+i,对应的复数为-2+2i,对应的复数为-3+i.
(2)因为||==,||==,||==,
因为||2+||2=10=||2,且||≠||,
所以△ABC是以角A为直角的直角三角形.
题型 3 复数加、减运算的几何意义的应用
例3 如果复数z满足|z+i|+|z-i|=2,那么|z+i+1|的最小值是( )
A.1 B.
C.2 D.
答案:A
解析:设复数z,-i,i,-1-i在复平面内对应的点分别为Z,Z1,Z2,Z3,因为|z+i|+|z-i|=2,|Z1Z2|=2,所以点Z的集合为线段Z1Z2.所以Z点在线段Z1Z2上移动=|Z1Z3|=1,所以|z+i+1|min=1.故选A.
学霸笔记
|z1-z2|表示复平面内z1,z2对应的两点间的距离.利用此性质,可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题,从而进行数形结合,把复数问题转化为几何图形问题求解.
跟踪训练3 △ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1,z2,z3,复数z满足|z-z1|=|z-z2|=|z-z3|,则z对应的点是△ABC的( )
A.外心 B.内心
C.重心 D.垂心
答案:A
解析:由复数模及复数减法运算的几何意义,结合条件可知复数z的对应点P到△ABC的顶点A,B,C的距离相等,∴P为△ABC的外心.故选A.
随堂练习
1.已知z+5-6i=3+4i,则复数z为( )
A.-4+20i B.-2+10i
C.-8+20i D.-2+20i
答案:B
解析:z=3+4i-(5-6i)=(3-5)+(4+6)i=-2+10i.故选B.
2.已知z1=2+i,z2=1-2i,则复数z=z2-z1对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案:C
解析:z=z2-z1=(1-2i)-(2+i)=-1-3i.故z对应的点为(-1,-3),位于第三象限.故选C.
3.在平行四边形ABCD中,若A,C对应的复数分别为-1+i和-4-3i,则该平行四边形的对角线AC的长度为( )
A. B.5
C.2 D.10
答案:B
解析:依题意,对应的复数为(-4-3i)-(-1+i)=-3-4i,因此AC的长度为|-3-4i|=5.故选B.
4.已知复数z1=a2-3-i,z2=-2a+a2i,若z1+z2是纯虚数,则实数a=________.
答案:3
解析:由条件知z1+z2=a2-2a-3+(a2-1)i,又z1+z2是纯虚数,所以
解得a=3.
课堂小结
1. 复数代数形式的加、减运算.
2.复数加、减法的几何意义.
3.复数加、减运算的几何意义的应用.(共32张PPT)
7.2.2 复数乘、除运算
预 学 案
共 学 案
预 学 案
一、复数乘法法则及其运算律
1.复数的乘法法则
设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数,那么它们的积(a+bi)(c+di)=________________.
2.复数乘法的运算律
对于任意z1,z2,z3∈C,有
交换律 z1z2=________
结合律 (z1z2)z3=________
乘法对加法的分配律 z1(z2+z3)=________
(ac-bd)+(ad+bc)i
z2z1
z1(z2z3)
z1z2+z1z3
【即时练习】
1.复数i(1+i)=( )
A.-1+i B.2+i
C.1+i D.-2-i
答案:A
解析:由题可知i(1+i)=-1+i.故选A.
2.复数z=(1-3i)2,其中i为虚数单位,则z的虚部为________.
-6
解析:z=(1-3i)2=1-6i+9i2=-8-6i,
故z的虚部为-6.
二、复数的除法法则
设z1=a+bi,z2=c+di(c+di≠0)(a,b,c,d∈R),则==______________(c+di≠0).
i
【即时练习】
1.复数z=化简的结果是( )
A.1-i B.1+i
C.-1-i D.-1+i
答案:A
解析:z====1-i.故选A.
2.复数的虚部为________.
1
解析:因为==1+i,所以复数的虚部为1.
微点拨
(1)复数的乘法运算与多项式乘法运算很类似,可仿多项式乘法进行,但结果要将实部、虚部分开(i2换成-1).
(2)多项式乘法的运算律在复数乘法中仍然成立,乘法公式也适用.
(3)常用结论
①(a±bi)2=a2±2abi-b2(a,b∈R);
②(a+bi)(a-bi)=a2+b2(a,b∈R);
③(1±i)2=±2i.
微点拨
(1)分子、分母同乘分母的共轭复数c-di,化简后即得结果,这个过程实际上就是把分母实数化,这与根式除法的分母“有理化”很类似.
(2)注意最后结果要将实部、虚部分开.
共 学 案
【学习目标】
(1)掌握复数代数形式的乘法和除法运算.(2)理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.(3)会利用复数代数形式的乘法和除法及运算律解决相关问题.
题型 1 复数的乘法运算
【问题探究1】 类比多项式的乘法,我们该如何定义两复数的乘法呢?
提示:设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数,那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.
例1 计算下列各题.
(1)(1-i)(1+i)+(2+i)2;
(2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i.
解析:(1)(1-i)(1+i)+(2+i)2=1-i2+4+i2+4i=5+4i.
(2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i
=(-2+10i+i-5i2)(3-4i)+2i
=(3+11i)(3-4i)+2i
=9-12i+33i-44i2+2i
=53+23i.
学霸笔记
(1)复数的乘法运算可以把i看作字母,类比多项式的乘法进行,注意要把i2化为-1,进行最后结果的化简.
(2)对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法,用乘法公式更简便.例如平方差公式、完全平方公式等.
跟踪训练1 (1)若=(3+i)(2-i),则z=( )
A.5+i B.7+i
C.5-i D.7-i
答案:B
解析:(1)因为=(3+i)(2-i)=7-i,所以z=7+i.故选B.
(2)设i为虚数单位,若复数(1-i)(1+ai)是实数,则实数a的值为( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
答案:C
解析:(1-i)(1+ai)=1+ai-i-ai2=1+a+(a-1)i,它是实数,则a-1=0,a=1.故选C.
题型 2 复数的除法运算
【问题探究2】 类比实数的除法运算是乘法运算的逆运算,你认为该如何定义复数的除法运算?
提示:通常先把(a+bi)÷(c+di)写成的形式,再把分子和分母都乘以(c-di),化简后得结果,
即===+i(c+di≠0).
例2 计算:
(1);
(2)+.
解析:(1)===-i.
(2)方法一 原式=+=i6+=-1+i.
方法二 原式=+=i6+=-1+i.
题后师说
两个复数代数形式除法运算的一般步骤
跟踪训练2 (1)若复数z满足z(1+i)=4-3i,则z在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案:D
解析:因为z(1+i)=4-3i,所以z====i,
所以复数z在复平面内所对应的点为(,-),位于第四象限.故选D.
(2)(多选)已知复数z=,则下列结论正确的是( )
A.z的虚部是1
B.在复平面内对应点落在第二象限
C.z(1-i)=5-3i
D.z=
答案:AC
解析:(2)由题意得z====4+i,
对于A:z的虚部是1,故A正确;
对于B:=4-i,在复平面内对应点为(4,-1)落在第四象限,故B错误;
对于C:z(1-i)=(4+i)(1-i)=4-4i+i+1=5-3i,故C正确;
对于D:z=(4+i)(4-i)=42-i2=17,故D错误.故选AC.
题型 3 在复数范围内解方程
例3 在复数范围内解方程:x2+4x+6=0.
解析:方法一 因为x2+4x+6=0,
所以(x+2)2=-2,
因为(i)2=(-i)2=-2,
所以x+2=i或x+2=-i,
即x=-2+i或x=-2-i,
所以方程x2+4x+6=0的根为x=-2±i.
方法二 由x2+4x+6=0知Δ=42-4×6=-8<0,
所以方程x2+4x+6=0无实数根.
在复数范围内,设方程x2+4x+6=0的根为x=a+bi(a,b∈R且b≠0),
则(a+bi)2+4(a+bi)+6=0,
所以a2+2abi-b2+4a+4bi+6=0,
整理得(a2-b2+4a+6)+(2ab+4b)i=0,
所以
又因为b≠0,所以
解得a=-2,b=±.所以x=-2±i,
即方程x2+4x+6=0的根为x=-2±i.
题后师说
在复数范围内,实系数一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)的求解方法
跟踪训练3 已知z=2+i是关于x的方程x2+px+q=0的一个根,求实数p、q的值及方程的另一个根.
解析:因为z=2+i是方程x2+px+q=0的一个根,
所以(2+i)2+p(2+i)+q=0,
即3+q+2p+(p+4)i=0,
所以解得
所以方程为x2-4x+5=0,
因为x1+x2=4,
所以方程的另一个根是x=2-i.
随堂练习
1.(2-i)(1+i)=( )
A.3+i B.1-2i
C.3-i D.3
答案:A
解析:由题意可得:(2-i)(1+i)=2+i-i2=3+i.故选A.
2.若复数z=,则=( )
A.-i B.i
C.-i D.i
答案:C
解析:由z===-i,得=-i.故选C.
3.设z1=3+2i,z2=1+mi(其中i为虚数单位),若z1z2为纯虚数,则实数m=( )
A. B.-
C.- D.
答案:D
解析:z1z2=(3+2i)(1+mi)=3+3mi+2i-2m=3-2m+(3m+2)i,因为z1z2为纯虚数,所以有 m=,故选D.
4.已知-3+2i是关于x的方程2x2+px+q=0的一个根,则实数p=________,实数q=________.
12
26
解析:∵-3+2i是方程2x2+px+q=0的一个根,∴2(-3+2i)2+p(-3+2i)+q=0,即(10-3p+q)+(2p-24)i=0.∴解得
课堂小结
1.复数的乘法运算.
2.复数的除法运算.
3.在复数范围内解方程.(共17张PPT)
章末复习课 7
·
·
考点一 复数的概念
1.复数的概念主要包括复数的代数形式、复数的分类、复数相等、共轭复数及复数的模等知识点,其中,复数的分类及复数相等是热点.
2.通过对复数的概念的考查,提升学生的数学抽象、数学运算素养.
例1 (1)设(1+2i)a+b=2i,其中a,b为实数,则( )
A.a=1,b=-1 B.a=1,b=1
C.a=-1,b=1 D.a=-1,b=-1
答案:A
解析:(1)因为a,b∈R,(a+b)+2ai=2i,所以a+b=0,2a=2,解得:a=1,b=-1.故选A.
(2)已知i为虚数单位.若复数z=a2+a-6+2i为纯虚数,则实数a=________.
答案:2或-3
解析:因为复数z=a2+a-6+2i为纯虚数,则a2+a-6=0,解得a=2或-3.
跟踪训练1 (1)复数z=(1-i)i的虚部是( )
A.-1 B.-i
C.1 D.i
答案:C
解析:(1)z=(1-i)i=1+i,其虚部为1.故选C.
(2)(多选)若复数z=-i,则下列说法正确的是( )
A.z在复平面内对应的点位于第四象限
B.|z|=4
C.z2=4-2i
D.z的共轭复数=+i
答案:AD
解析:由z=-i,z在复平面内对应的点为(,-1),位于第四象限,故A正确;|z|= =2,故B错误;z2=(-i)2=3-2i+i2=2-2i,故C错误;z的共轭复数=+i,故D正确.故选AD.
考点二 复数的几何意义
1.复数运算与复数几何意义的综合是高考常见的考查题型,解答此类问题的关键是利用复数运算将复数化为代数形式,再利用复数的几何意义解题.
2.通过对复数几何意义的考查,提升学生的直观想象、数学运算素养.
例2 (1)复数在复平面内对应的点所在的象限为( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案:A
解析:===,所以该复数对应的点为(),该点在第一象限,故选A.
(2)复平面内A、B、C三点所对应的复数为-2-i,1+i,2i,若ABCD为平行四边形,则||=( )
A.13 B.
C.17 D.
答案:D
解析:A,B,C三点对应的复数分别是-2-i,1+i,2i,
则复平面内A,B,C三点对应点的坐标为A(-2,-1),B(1,1),C(0,2),
设复平面内点D坐标为D(x,y),则=(3,2),=(-x,2-y),
又ABCD是复平面内的平行四边形,
则=,则解之得则D(-3,0),
则=(-4,-1),||==.
故选D.
跟踪训练2 (1)在复平面内,复数(1-4i)(2+3i)对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案:D
解析:(1)(1-4i)(2+3i)=2+3i-8i-12i2=14-5i,其对应的点(14,-5)位于第四象限.故选D.
(2)在复平面内,若复数z=(m2-4m)+(m-2)i所对应的点在第二象限,则实数m的取值范围是( )
A.(0,3) B.(-∞,-2)
C.(2,4) D.(3,4)
答案:C
解析:∵复数z=(m2-4m)+(m-2)i所对应的点在第二象限,
∴解得2考点三 复数的四则运算
1.复数运算是本章的重要内容,是高考考查的重点和热点,每年高考都有考查,一般以复数的乘法和除法运算为主.
2.通过对复数的四则运算的考查,提升学生的数学运算素养.
例3 已知复数z1=1+3i,z2=2+2i,i为虚数单位.
(1)求z1-z2及|z1+|;
(2)若z=,求z的共轭复数.
解析:(1)∵z1=1+3i,z2=2+2i,=2-2i,
z1-z2=(1+3i)-(2+2i)=-1+i,
∴|z1+|=|1+3i+2-2i|=|3+i|==.
(2)由z======1+i,
所以=1-i.
跟踪训练3 (1)设复数z=i,则z2-z=( )
A.-1 B.0
C.1 D.2
答案:A
解析:(1)z=i,则z2-z=(i)2-(i)=i-i=-1.故选A.
(2)若i(1-z)=1,则z+=( )
A.-2 B.-1
C.1 D.2
答案:D
解析:由题设有1-z===-i,故z=1+i,故z+=(1+i)+(1-i)=2,故选D.