(共25张PPT)
8.6.1 直线与直线垂直
预 学 案
共 学 案
预 学 案
一、异面直线所成的角
1．定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线________与________所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
2．异面直线所成角的范围：__________．
a′
b′
(0°，90°]
【即时练习】 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，∠BAE＝25°，则异面直线AE与B1C1所成的角的大小为________．
65°
解析：∵B1C1∥BC，∴异面直线AE与B1C1所成的角是∠AEB＝90°－25°＝65°.
二、直线与直线垂直
如果两条异面直线所成的角是________，那么我们就说这两条异面直线互相垂直．直线a与直线b互相垂直，记作________．
直角
a⊥b
【即时练习】 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1的棱中，与棱AB垂直的棱有( )
A．2条 B．4条
C．6条 D．8条
答案：D
解析：在长方体ABCD -A1B1C1D1的棱中，与棱AB垂直的棱有BC，B1C1，A1D1，AD，AA1，BB1，CC1，DD1，共8条．
故选D.
微点拨
(1)两条异面直线所成的角的大小，是由这两条异面直线的相互位置决定的，与点O的位置选取无关．
(2)找出两条异面直线所成的角，要作平行移动(作平行线)，把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角．
微点拨
两条直线互相垂直，这两条直线可能是相交的，也可能是不相交的，即有共面垂直和异面垂直两种情形．
共 学 案
【学习目标】 (1)理解异面直线所成角及直线与直线垂直的定义．(2)会求异面直线所成角以及证明两条直线垂直．
【问题探究】
前面我们学习了空间中两条直线的位置关系，请观察正方体ABCD-A1B1C1D1.
(1)直线AB与直线A1C，CC1，CD1分别具有怎样的位置关系？
(2)它们之间的倾斜程度不一样，那该如何去刻画这种异面直线间不同的倾斜程度呢？
(3)根据异面直线所成角的定义，
如何定义直线与直线垂直？
提示：(1)直线A1C，CC1，CD1与直线AB均是异面的．
(2)可以用两条直线所成的角度去刻画．
(3)若两条异面直线所成的角为90°，则两条异面直线互相垂直．
题型 1 异面直线所成的角
例1 如图所示，在四面体ABCD中，AB＝CD，AB⊥CD，E，F分别为BC，AD的中点，求EF和AB所成的角的大小．
解析：如图，取BD的中点G，连接EG，FG.
∵E，F分别为BC，AD的中点，AB＝CD，
∴EG∥CD，GF∥AB，
且EG＝CD，GF＝AB，
∴EG＝GF，
∴∠GFE或其补角是EF与AB所成的角．
∵AB⊥CD，∴EG⊥GF，
∴∠EGF＝90°，
∴△EFG为等腰直角三角形．
∴∠GFE＝45°，即EF和AB所成的角的大小为45°.
一题多变 将本例条件“AB＝CD，AB⊥CD”改为“AB＝CD＝2，EF＝”，此时CD和AB所成的角如何？
解析：∵E，F，G分别是所在棱的中点，
∴GE∥CD，GF∥AB.
∴∠EGF或其补角即为AB与CD所成的角．
由已知可得GE＝GF＝1，又EF＝，
∴由余弦定理，得∠EGF＝120°.
∴异面直线AB与CD所成的角为60°.
题后师说
求两异面直线所成角的步骤
跟踪训练1 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，求异面直线EF与GH所成的角．
解析：如图，连接A1B，BC1，A1C1，
由题意EF∥A1B，GH∥BC1，所以异面直线EF与GH所成的角是∠A1BC1或其补角，
由正方体性质知△A1BC1是等边三角形，∠A1BC1＝60°，
所以异面直线EF与GH所成的角是60°.
题型 2 直线与直线垂直
例2 如图，在正三棱柱ABC-A′B′C′中，E为棱AC的中点，AB＝BB′＝2.求证：BE⊥AC′.
证明：取CC′的中点F，连接EF，BF，
∵E为AC的中点，F为CC′的中点，
∴EF∥AC′，∴BE和EF所成角∠BEF即为异面直线BE与AC′所成角，且EF＝AC′.
在正三棱柱ABC -A′B′C′中，AC′＝2，∴EF＝.
在等边△ABC中，BE＝＝，
在Rt△BCF中，BF＝＝.
在△BEF中BE2＋EF2＝BF2，
∴BE⊥EF，即BE⊥AC′.
题后师说
证明两条异面直线垂直的步骤
跟踪训练2 空间四边形ABCD，E，F，G分别是BC，AD，DC的中点，FG＝2，GE＝，EF＝3.
求证：AC⊥BD.
证明：∵点G，E分别是CD，BC的中点，
∴GE∥BD，同理GF∥AC.
∴∠FGE或∠FGE的补角是异面直线AC与BD所成的角．
在△EFG中，∵FG＝2，GE＝，EF＝3，
满足FG2＋GE2＝EF2，
∴∠FGE＝90°.
即异面直线AC与BD所成的角是90°.
∴AC⊥BD.
随堂练习
1．若空间中的三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c( )
A．一定平行 B．一定垂直
C．一定是异面直线 D．一定相交
答案：B
解析：∵a⊥b，b∥c，∴a⊥c.故选B.
2．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列直线与B1D1垂直的是( )
A．BC1 B．A1D
C．AC D．BC
答案：C
解析：∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD，
∵B1D1∥BD，∴AC⊥B1D1，故选C.
3．在三棱锥A-BCD中，E，F，G分别是AB，AC，BD的中点，若AD与BC所成的角为60°，则∠FEG为( )
A．30° B．60°
C．120° D．60°或120°
答案：D
解析：如图：
因为E，F，G分别是AB，AC，BD的中点，
所以EG∥AD，EF∥BC，
由于AD与BC是异面直线，
根据异面直线所成角的定义可知，
∠FEG为异面直线AD与BC所成角或其补角，
因为AD与BC所成的角为60°，
所以∠FEG为60°或120°.故选D.
4．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥AB，AA1⊥AC.若AB＝AC＝AA1＝1，BC＝，则异面直线A1C与B1C1所成的角为________．
60°
解析：依题意，得BC∥B1C1，故异面直线A1C与B1C1所成的角即BC与A1C所成的角．连接A1B，在△A1BC中，BC＝A1C＝A1B＝，故∠A1CB＝60°，即异面直线A1C与B1C1所成的角为60°.
课堂小结
1．异面直线所成的角．
2．利用异面直线所成的角证明两直线垂直．(共36张PPT)
第1课时 直线与平面垂直的判定
预 学 案
共 学 案
预 学 案
一、直线与平面垂直的定义
定义 如果直线l与平面α内的________直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直
记法 l⊥α
有关概念 直线l叫做平面α的________，平面α叫做直线l的________．它们唯一的公共点P叫做________
图示
画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直
任意一条
垂线
垂面
垂足
过一点垂直于已知平面的直线____________条，该点与垂足间的线段叫做这个点到该平面的________，________的长度叫做这个点到该平面的距离．
有且只有一
垂线段
垂线段
【即时练习】 空间中直线l和三角形ABC所在的平面垂直，则这条直线和三角形的边AB的位置关系是( )
A．平行 B．垂直
C．相交 D．不确定
答案：B
解析：因为l⊥平面ABC，AB 平面ABC，所以l⊥AB，故选B.
二、直线与平面垂直的判定
文字语言 一条直线与一个平面内的______________都垂直，则该直线与此平面垂直
符号语言 l⊥a，l⊥b，a α，b α，__________ l⊥α
图形语言
两条相交直线
a∩b＝P
【即时练习】
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直．( )
(2)如果一条直线与一个平面内所有直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直．( )
×
√
2．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是( )
A．垂直 B．平行
C．相交不垂直 D．不确定
答案：A
解析：根据直线与平面垂直的判定定理可知直线垂直三角形所在的平面，所以直线垂直三角形的第三边．
三、直线与平面所成的角
有关概念 对应图形 斜线 一条直线l与平面α________，但不和这个平面α________，图中直线PA
斜足 斜线和平面的________，图中点A 射影 过斜线上斜足以外的一点向平面引________，过________和________的直线叫做斜线在这个平面内的射影，图中斜线PA在平面α上的射影为________ 直线与平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角． 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是________；一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是__________ 取值范围 [0°，90°] 相交
垂直
交点
垂线
垂足
斜足
AO
直角
0°
【即时练习】 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AB1与平面ABCD所成的角等于________．
45°
解析：如图所示，因为在正方体ABCD -A1B1C1D1中，
B1B⊥平面ABCD，所以AB即为AB1在平面ABCD中的射影，
∠B1AB即为直线AB1与平面ABCD所成的角．
由题意知，∠B1AB＝45°，故所求角为45°.
微点拨
定义中的“任意一条”与“所有直线”意义相同，但与“无数条直线”不同，即定义说明这条直线和平面内的所有直线都垂直．
微点拨
(1)判定定理的条件中，“平面内两条相交直线”是关键性词语，此处强调相交，若两条直线不相交(即平行)，即使直线垂直于平面内无数条直线也不能判断直线与平面垂直．
(2)要判断一条已知直线和一个平面是否垂直，只需要在该平面内找出两条相交直线与已知直线垂直即可．至于这两条直线是否与已知直线有交点，这是无关紧要的．
微点拨
(1)直线和平面所成的角θ的取值范围是0°≤θ≤90°，而斜线和平面所成的角θ的取值范围是0<θ<90°.
(2)斜线和平面所成的角反映了斜线和平面的位置关系，它是转化成平面内两条相交直线所成的角度量的，它是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中的最小角．
(3)当直线与平面平行或直线在平面内时，直线与平面成0°角；当直线与平面垂直时，直线与平面成90°角．
共 学 案
【学习目标】 (1)了解直线与平面垂直的定义．(2)理解直线和平面垂直的判定定理并能运用其解决相关问题．(3)理解直线与平面所成角的概念，并会求一些简单的直线与平面所成角．
题型 1 直线与平面垂直的定义
【问题探究1】 如图，在阳光下观察直立于地面的旗杆AB及它在地面的影子BC.随着时间的变化，影子BC的位置在不断地变化，旗杆所在直线AB与其影子BC所在直线是否保持垂直？
提示：旗杆所在直线AB始终与影子BC所在直线垂直．
例1 (多选)下列说法中正确的是( )
A．如果直线l与平面α内的两条相交直线都垂直，则l⊥α
B．如果直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α
C．如果直线l不垂直于平面α，则平面α内没有与l垂直的直线
D．如果直线l不垂直于平面α，则平面α内也可以有无数条直线与l垂直
答案：ABD
解析：由直线和平面垂直的判定定理知A正确；由直线与平面垂直的定义知，B正确；当l与平面α不垂直时，l可能与平面α内的无数条直线垂直，故C不对，D正确．
学霸笔记：直线与平面垂直的定义具有两重性，既是判定又是性质．是判定，指它是判定直线与平面垂直的方法；是性质，指如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线就垂直于这个平面内的任何一条直线，即“l⊥α，a α l⊥a”．这是证明线线垂直的一种方法．
跟踪训练1 设m，n是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题中正确的是( )
A．若m⊥α，n α，则m⊥n
B．若m∥α，n∥α，则m⊥n
C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α
D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α
答案：A
解析：A选项，根据线面垂直的定义可知，若m⊥α，n α，则m⊥n，A选项正确．B选项，若m∥α，n∥α，则m，n可能平行，所以B选项错误．C选项，若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n α，所以C选项错误．D选项，若m∥α，m⊥n，则n与α平行、相交或n α，所以D选项错误．故选A.
题型 2 直线与平面垂直的判定定理
【问题探究2】 请同学们拿出一块三角形纸片，我们一起做一个试验：过三角形的顶点A翻折纸片，得到折痕AD(如图(1))，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD、DC与桌面接触)
(1)折痕AD与桌面垂直吗？
(2)如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？
(3)在你翻折纸片的过程中，纸片的形状发生了变化，这是变的一面，那么不变的一面是什么呢？如果我们把折痕抽象为直线l，把BD、CD抽象为直线m，n，把桌面抽象为平面α(如图(3))，那么你认为保证直线l与平面α垂直的条件是什么？
提示：(1)当AD与BC不垂直时，翻折后的纸片竖起放置在桌面上，折痕AD与桌面不垂直；当AD与BC垂直时，翻折后的纸片竖起放置在桌面上，折痕AD与桌面垂直．
(2)若一条直线与平面内两条相交直线垂直，则该直线垂直于这个平面．
(3)l与平面α内的两条相交直线m，n垂直．
例2 如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，M是圆周上异于A，B的任意一点，AN⊥PM，垂足为N.求证：AN⊥平面PBM.
证明：设圆O所在的平面为α，
∵PA⊥α，且BM α，
∴PA⊥BM.
又∵AB为⊙O的直径，点M为圆周上一点，
∴AM⊥BM.由于直线PA∩AM＝A，PA，AM 平面PAM，
∴BM⊥平面PAM，而AN 平面PAM，
∴BM⊥AN.
又∵AN⊥PM，
∴AN与PM、BM两条相交直线互相垂直，PM，BM 平面PBM.
故AN⊥平面PBM.
学霸笔记：
直线与平面垂直的判定方法
(1)①定义法(不常用，但由线面垂直可得出线线垂直)．
②判定定理最常用：要着力寻找平面内哪两条相交直线(有时作辅助线)；结合平面图形的性质(如勾股定理逆定理、等腰三角形底边中线等)及一条直线与平行线中一条垂直，也与另一条垂直等结论来论证线线垂直．
(2)平行转化法
利用推论：①a∥b，a⊥α b⊥α；②α∥β，a⊥α a⊥β.
跟踪训练2 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：A1C⊥平面BC1D.
证明：如图，连接AC，
∴AC⊥BD，
又∵BD⊥A1A，AC＝A，AC，A1A 平面A1AC，
∴BD⊥平面A1AC，
∵A1C 平面A1AC，
∴BD⊥A1C.
同理可证BC1⊥A1C.
又∵BD∩BC1＝B，BD，BC1 平面BC1D，
∴A1C⊥平面BC1D.
题型 3 直线与平面所成的角
【问题探究3】 当一支铅笔一端放在桌面上，另一端逐渐离开桌面，铅笔和桌面所成角逐渐增大，观察思考铅笔和桌面所成角怎样定义？
提示：铅笔和它在桌面上的射影所成的角．
例3 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．求直线BE与平面ABB1A1所成角的正弦值．
解析：如图所示，取AA1的中点M，连接EM，BM，
因为E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，所以EM∥AD.
又在正方体ABCD -A1B1C1D1中，AD⊥平面ABB1A1，
所以EM⊥平面ABB1A1，从而BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影，∠EBM即为直线BE与平面ABB1A1所成的角．设正方体的棱长为2，
则EM＝AD＝2，BE＝＝3.
于是在Rt△BEM中，sin ∠EBM＝＝，
即直线BE与平面ABB1A1所成角的正弦值为.
一题多变 本例条件不变，求直线BE与平面A1B1C1D1所成的角的正弦值．
解析：∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，
∴BE与平面ABCD所成的角与所求的角相等．
连接BD，则∠EBD即为直线BE与平面ABCD所成的角．
设正方体的棱长为2，
则在Rt△BDE中，sin ∠EBD＝＝，
即直线BE与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为.
题后师说
求直线与平面所成角的步骤
跟踪训练3 如图所示，在Rt△BMC中，斜边BM＝5，它在平面ABC上的射影AB长为4，∠MBC＝60°，求MC与平面CAB所成角的正弦值．
解析：由题意知A是M在平面ABC上的射影，∴MA⊥平面ABC，
∴MC在平面CAB上的射影为AC.
∴∠MCA即为直线MC与平面CAB所成的角．
又∵在Rt△MBC中，BM＝5，∠MBC＝60°，
∴MC＝BM sin ∠MBC＝5sin 60°＝5×＝.
在Rt△MAB中，MA＝＝＝3.
在Rt△MAC中，sin ∠MCA＝＝＝.
即MC与平面CAB所成角的正弦值为.
随堂练习
1．直线l与平面α内的两条直线都垂直，则直线l与平面α的位置关系是( )
A．平行 B．垂直
C．在平面α内 D．无法确定
答案：D
解析：由线面垂直的判定定理知，当平面α内的两条直线相交时，则l⊥α；再由线面平行的性质定理和线线垂直的定义知，当l∥α或l α时，都有无数条直线与l垂直．故选D.
2．直线a与平面α斜交，那么在α内与a垂直的直线( )
A．没有 B．有一条
C．有无数条 D．有n条(n为大于1的整数)
答案：D
解析：如图，
过点B作BC⊥α，垂足为C，连接AC，
则直线a在平面α内的射影为AC，
在平面α内过点A作AC的垂线b，则b⊥平面ABC，
而a 平面ABC，所以a⊥b，
又因为平面α内有无数条直线与直线b平行，
所以在平面α内与a垂直的直线有无数条．故选C.
3．若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于( )
A．平面OAB B．平面OAC
C．平面OBC D．平面ABC
答案：C
解析：∵OA⊥OB，OA⊥OC且OB∩OC＝O，OB，OC 平面OBC，
∴OA⊥平面OBC.故选C.
4．如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是AD的中点，F
是BB1的中点，则直线EF与平面ABCD所成角的正切值为________．
解析：连接EB，
∵BB1⊥平面ABCD，∴∠FEB即为直线EF与平面ABCD所成角，
在Rt△FBE中，BF＝BB1＝1，BE＝＝＝，
∴tan ∠FEB＝＝.
课堂小结
1．直线与平面垂直的定义．
2．直线与平面垂直的判定定理．
3．直线与平面所成的角．(共27张PPT)
第2课时 直线与平面垂直的性质
预 学 案
共 学 案
预 学 案
一、直线与平面垂直的性质定理
文字语言 垂直于同一个平面的两条直线________
符号语言
图形语言
平行
a∥b
【即时练习】
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)垂直于同一条直线的两个平面互相平行．( )
(2)垂直于同一平面的两条直线互相平行．( )
(3)一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直．( )
√
√
√
2．在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是( )
A．相交 B．平行
C．异面 D．相交或平行
答案：B
解析：因为圆柱的母线垂直于圆柱的底面，在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，也垂直于底面，由线面垂直的性质定理可得，两条垂线平行，故选B.
二、直线与平面、平面与平面的距离
1．直线到平面的距离：一条直线和一个平面平行时，这条直线上________到这个平面的距离，叫这条直线到这个平面的距离．
2．两个平行平面间的距离：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离________，我们把它叫做两个平行平面间的距离．
任意一点
都相等
【即时练习】 在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，若点A1到平面ABCD的距离为4，则直线A1B1到平面ABCD的距离为________，平面ABCD到平面A1B1C1D1的距离为________．
解析：根据直线与平面的距离、平面与平面的距离的概念可知，直线A1B1到平面ABCD的距离为4，平面ABCD到平面A1B1C1D1的距离也为4.
4
4
微点拨
(1)直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的另一种方法．
(2)定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系转化的依据．
微点拨
直线与平面的距离、平面与平面的距离最终都要转化为点到平面的距离．
共 学 案
【学习目标】 (1)掌握直线与平面垂直性质定理并能运用其解决相关问题．(2)理解直线到平面的距离以及两平行平面的距离定义．
题型 1 直线与平面垂直的性质定理
【问题探究】 如图是马路旁的路灯灯柱，若将灯柱看作一条直线，地面看作平面，灯柱所在直线与地面所在平面有何位置关系？灯柱所在的直线间是什么位置关系？
提示：垂直，灯柱所在的直线都是平行的．
例1 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN.
证明：∵AB⊥平面PAD，AE 平面PAD，∴AE⊥AB，
又AB∥CD，∴AE⊥CD.
∵AD＝AP，E是PD的中点，∴AE⊥PD.
又CD∩PD＝D，CD，PD 平面PCD，
∴AE⊥平面PCD.
∵MN⊥AB，AB∥CD，∴MN⊥CD.
又∵MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD 平面PCD，
∴MN⊥平面PCD，∴AE∥MN.
题后师说
证明线线平行的方法
跟踪训练1 如图所示，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线a β，a⊥AB，求证：a∥l.
证明：∵平面α∩平面β＝l，∴l α.
又∵EA⊥α，∴l⊥EA.同理l⊥EB.
又EA∩EB＝E，∴l⊥平面EAB.
∵EB⊥β，a β，∴EB⊥a.
又a⊥AB，EB∩AB＝B，∴a⊥平面EAB，∴a∥l.
题型 2 空间中的距离问题
例2 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，BB1＝2，求直线B1C1与平面A1BC的距离．
解析：因为B1C1∥平面A1BC，所以B1C1到平面A1BC的距离等于B1到平面A1BC的距离，设B1到平面A1BC的距离为d，因为＝，
所以×d＝×A1B1，可得d＝，
直线B1C1与平面A1BC的距离为.
学霸笔记：(1)利用线面、面面平行转化：利用线面距、面面距的定义，转化为直线或平面上的另一点到平面的距离．
(2)通过换底转化：利用等体积法求解．
跟踪训练2 若正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为1，直线AC1与底面ABCD所成角的大小是60°，则A1C1到底面ABCD的距离为________．
解析：如图，连接AC，正四棱柱ABCD -A1B1C1D1的底面边长为1，则AD＝DC＝1，所以AC＝AD＝，
且C1C⊥底面ABCD，则直线AC1与底面ABCD所成角即∠C1AC＝60°，
则C1C＝AC·tan 60°＝＝，
则在正四棱柱ABCD -A1B1C1D1中，
A1C1到底面ABCD的距离为C1到底面ABCD的距离C1C＝.
题型 3 直线与平面垂直的判定定理与性质定理的综合
例3 如图所示，已知矩形ABCD，过点A作SA⊥平面AC，再过点A作AE⊥SB，交SB于E，过点E作EF⊥SC，交SC于F.求证：AF⊥SC.
证明：∵SA⊥平面AC，BC 平面AC，∴SA⊥BC.
∵四边形ABCD是矩形，∴AB⊥BC.
又SA∩AB＝A，∴BC⊥平面SAB，∴BC⊥AE.
又SB⊥AE，BC∩SB＝B，∴AE⊥平面SBC，∴AE⊥SC.
又EF⊥SC，EF∩AE＝E，∴SC⊥平面AEF，∴AF⊥SC.
一题多变 将本例条件添加：平面AEF交SD于点G，证明：AG⊥SD.
证明：∵SA⊥平面AC，DC 平面AC，∴SA⊥DC.
∵四边形ABCD为矩形，∴AD⊥DC.
∵SA∩AD＝A，∴DC⊥平面SAD.
∵AG 平面SAD，∴DC⊥AG.
又SC⊥平面AEF，AG 平面AEF，∴SC⊥AG.
∵SC∩DC＝C，∴AG⊥平面SDC，∴AG⊥SD.
学霸笔记：(1)证明线线垂直，一般通过证明一条直线垂直于经过另一条直线的平面，为此分析题设，观察图形找到是哪条直线垂直于经过哪条直线的平面．
(2)证明直线和平面垂直，就是要证明这条直线垂直于平面内的两条相交直线，这一点在解题时一定要体现出来．
跟踪训练3 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC的中点，O是底面ABCD的中点，则EF与平面BB1O的位置关系是________．(填“平行”或“垂直”)
垂直
解析：∵底面ABCD为正方形，
∴AC⊥BO.
∵BB1⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，
∴AC⊥BB1.
又BO＝B，BO 平面BB1O，BB1 平面BB1O，
∴AC⊥平面BB1O.
∵EF是△ABC的中位线，
∴EF∥AC，∴EF⊥平面BB1O.
随堂练习
1．△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是( )
A．相交 B．异面
C．平行 D．不确定
答案：C
解析：因为l⊥AB，l⊥AC且AB∩AC＝A，所以l⊥平面ABC.同理可证m⊥平面ABC，所以l∥m.故选C.
2．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线l(与直线BB1不重合)⊥平面ABCD，则有( )
A．BB1⊥l B．BB1∥l
C．BB1与l异面 D．BB1与l相交
答案：B
解析：因为l⊥平面ABCD，且BB1⊥平面ABCD，直线l与直线BB1不重合，
所以BB1∥l.故选B.
3.如图，PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
答案：D
解析：由PA⊥平面ABC，而AB 平面ABC，AC 平面ABC，BC 平面ABC，
∴PA⊥AC，PA⊥AB，PA⊥BC，
又∵BC⊥AC，PA∩AC＝A，PA 平面PAC，AC 平面PAC，
∴BC⊥平面PAC，而PC 平面PAC，∴BC⊥PC，
4个面均为直角三角形，故选D.
4．如图，已知AP⊥BP，AP⊥PC，∠ABP＝∠ACP＝∠BAC＝60°，PA＝1，D是BC中点，则点B到平面APD的距离是________．
解析：因为AP⊥BP，AP⊥PC，∠ABP＝∠ACP，所以Rt△APC≌Rt△APB，
所以PB＝PC，AB＝AC，
又D是BC中点，所以BC⊥PD，BC⊥AD，
PD∩AD＝D，PD，AD 平面PAD，所以BC⊥平面APD，BD的长就是点B到平面APD的距离，
由已知AB＝AC＝BC＝，BD＝.
课堂小结
1．直线与平面垂直的性质定理．
2．直线与平面垂直的判定定理与性质定理的综合．
3．直线与平面、平面与平面的距离．(共33张PPT)
第1课时 平面与平面垂直的判定
预 学 案
共 学 案
预 学 案
一、二面角
1．定义：从一条直线出发的____________所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的__________；这两个半平面叫做二面角的________.
2．画法：
3．记法：二面角α-l-β或α-AB-β或P-l-Q或P-AB-Q.
两个半平面
棱
面
4．二面角的平面角：如图，在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作____________的射线OA，OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做_____________．平面角是直角的二面角叫做直二面角，二面角的平面角α的取值范围是________．
垂直于棱l
二面角的平面角
[0，π]
【即时练习】 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，二面角A-BC-A1的平面角等于________．
45°
解析：根据正方体中的线面位置关系可知，AB⊥BC，A1B⊥BC，根据二面角的平面角定义可知，∠ABA1即为二面角A -BC -A1的平面角，又AB＝AA1，且AB⊥AA1，所以∠ABA1＝45°.
二、平面与平面垂直的定义与判定定理
1．定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是________，就说这两个平面互相垂直．平面α与β垂直，记作________．如图，
2．判定定理：____________________________________________.
符号表示为：_______________．
直二面角
α⊥β
如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直
a α，a⊥β α⊥β
【即时练习】
直线l⊥平面α，l 平面β，则α与β的位置关系是( )
A．平行 B．可能重合
C．相交且垂直 D．相交不垂直
答案：C
解析：由面面垂直的判定定理，得α与β垂直，故选C.
微点拨
(1)构成二面角的平面角的三要素：“棱上”“面内”“垂直”，即二面角的平面角的顶点必须在棱上，角的两边必须分别在两个半平面内，角的两边必须都与棱垂直，这三个要素缺一不可．前两个要素决定了二面角的平面角的大小的唯一性和平面角所在的平面与棱垂直．
(2)二面角是一个几何图形，而不是真正意义的角．
(3)二面角的大小通过其平面角来度量．
(4)二面角的平面角的大小与角的顶点的位置无关，只与二面角的大小有关．
微点拨
(1)判定定理可以简述为“线面垂直，则面面垂直”．因此要证明平面与平面垂直，可转化为寻找平面的垂线，即证线面垂直．
(2)两个平面互相垂直的判定定理不仅是判定两个平面互相垂直的依据，而且是找出与一个平面垂直的另一个平面的依据．
共 学 案
【学习目标】 (1)理解二面角的概念以及二面角平面角的概念，学会找二面角的平面角．(2)掌握面面垂直的定义和面面垂直的判定定理，初步学会用面面垂直的判定与证明．
题型 1 二面角
【问题探究1】 修水坝时，为了使水坝坚固耐用，必须使水坝面与水平面成适当的角度，那么两平面形成角的大小如何确定？
提示：可用二面角的平面角．
例1 如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA＝AC，求二面角P-BC-A的大小．
解析：由已知PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，
∴PA⊥BC.
∵AB是⊙O的直径，且点C在圆周上，
∴AC⊥BC.
又∵PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，
∴BC⊥平面PAC.
又PC 平面PAC，∴PC⊥BC.
又∵BC是二面角P-BC-A的棱，
∴∠PCA是二面角P-BC-A的平面角．
由PA＝AC知，△PAC是等腰直角三角形，
题后师说
求二面角大小的步骤
跟踪训练1 如图，AC⊥平面BCD，BD⊥CD，AC＝AD，求平面ABD与平面BCD所成的二面角的大小．
解析：因为AC⊥平面BCD，BD 平面BCD，
所以BD⊥AC.又因为BD⊥CD，AC∩CD＝C，所以BD⊥平面ACD.
因为AD 平面ACD，所以AD⊥BD，
所以∠ADC即为平面ABD与平面BCD所成二面角的平面角．
在Rt△ACD中，AC＝AD，所以∠ADC＝30°.
即平面ABD与平面BCD所成的二面角的大小为30°.
题型 2 平面与平面垂直的定义
【问题探究2】 观察教室中墙面与地面的位置关系，生活中还有哪些平面与平面垂直的例子？你认为应该怎样定义两个平面垂直？
提示：书本竖在桌面上，书本和桌面近似看作平面与平面垂直；长方体的文具盒放在桌面上，文具盒的四个侧面和桌面近似看作平面与平面垂直．一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
例2 如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.
证明：平面AEC⊥平面AFC.
证明：如图，连接BD，交AC于点G，连接EG，FG，EF.在菱形ABCD中，不妨设GB＝1.由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝.
由BE⊥平面ABCD，AB＝BC，
可知AE＝EC.
又AE⊥EC，所以EG＝，且EG⊥AC.
同理可得FG⊥AC，所以∠EGF为二面角E-AC-F的平面角，
在Rt△EBG中，可得BE＝＝，故DF＝.
在Rt△FDG中，可得FG＝＝.
在直角梯形BDFE中，
由BD＝2，BE＝，DF＝，可得EF＝.
从而EG2＋FG2＝EF2，所以EG⊥FG.
即二面角E-AC-F的平面角为90°，
所以平面AEC⊥平面AFC.
题后师说
用定义证明两个平面垂直的步骤
跟踪训练2 如图所示，在四面体ABCD中，BD＝a，AB＝AD＝CB＝CD＝AC＝a.
求证：平面ABD⊥平面BCD.
证明：∵AB＝AD＝CB＝CD＝a，
∴△ABD与△BCD是等腰三角形．
如图，取BD的中点E，连接AE，CE，则AE⊥BD，BD⊥CE.
∴∠AEC为二面角A-BD-C的平面角．
在Rt△ABE中，AB＝a，
BE＝BD＝a，∴AE＝＝a.
同理CE＝a.
在△AEC中，AE＝CE＝a，AC＝a，
∴AC2＝AE2＋CE2，∴AE⊥CE，即∠AEC＝90°，
即二面角A-BD-C的平面角为90°.
∴平面ABD⊥平面BCD.
题型 3 平面与平面垂直的判定定理
【问题探究3】 建筑工人在砌墙时，常用铅锤来检测所砌的墙面与地面是否垂直：如果系有铅锤的细线AB紧贴墙面，工人师傅就认为墙面与地面垂直；否则他就认为墙面与地面不垂直．
你能用数学的文字语言和符号语言描述这个操作过程吗？请试着说明理由．
提示：铅锤所在直线垂直于地面，那么经过铅锤所在直线的墙面垂直于地面．
符号表示为：AB α，AB⊥β α⊥β.
例3 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1C1C为菱形，∠A1AC＝60°，且AB⊥AA1，BC1⊥A1C.
求证：平面ABC⊥平面A1ACC1.
证明：连接AC1，如图，
由AA1C1C是菱形，所以AC1⊥CA1.
又BC1⊥CA1，BC1＝C1，
所以CA1⊥平面ABC1，故CA1⊥AB，
又AA1⊥AB，CA1＝A1，
所以AB⊥平面AA1C1C，又AB 平面ABC.
所以平面ABC⊥平面A1ACC1.
学霸笔记：通常情况下利用判定定理要比定义简单些，这也是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直，只要转证线面垂直，其关键与难点是在其中一个平面内寻找一直线与另一平面垂直．
跟踪训练3 如图所示，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD.求证：平面PDC⊥平面PAD.
证明：∵PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，
∴PA⊥CD.
又∵CD⊥AD，PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD.
又∵CD 平面PDC，∴平面PDC⊥平面PAD.
随堂练习
1．在二面角α-l-β的棱l上任选一点O，若∠AOB是二面角α-l-β的平面角，则必须具有的条件是( )
A．AO⊥BO，AO α，BO β
B．AO⊥l，BO⊥l
C．AB⊥l，AO α，BO β
D．AO⊥l，BO⊥l，且AO α，BO β
答案：D
解析：根据二面角平面角的定义，二面角平面角的顶点在棱上，两个边分别在两个半平面内，且都垂直于棱，故排除A，B，C.所以必须具备的条件是D.故选D.
2．下列不能确定两个平面垂直的是( )
A．两个平面相交，所成二面角是直二面角
B．一个平面垂直于另一个平面内的一条直线
C．一个平面经过另一个平面的一条垂线
D．平面α内的直线a垂直于平面β内的直线b
答案：D
解析：对于A：两个平面所成二面角是直二面角，两个平面垂直，故正确；对于B：一个平面垂直于另一个平面内的一条直线，即这条直线垂直于一个平面，所以经过这条直线的平面与另一个平面垂直，故正确；对于C：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直，故正确；
对于D：如图所示，在正方体ABCD -A1B1C1D1
中，平面A1DCB1内的直线A1B1垂直于平面
ABCD内的一条直线BC，但平面A1DCB1与
平面ABCD显然不垂直，故不正确．故选D.
3．已知三棱锥A-BCD中，AD⊥BC，AD⊥CD，则有( )
A．平面ABC⊥平面ADC
B．平面ADC⊥平面BCD
C．平面ABC⊥平面BDC
D．平面ABC⊥平面ADB
答案：B
解析：画出图象如图所示，由于AD⊥BC，AD⊥CD，所以AD⊥平面BCD，而AD 平面ADC，所以平面ADC⊥平面BCD.故选B.
4．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB＝BC＝AA1，E为CC1的中点，则二面角E-BD-C的平面角的大小为________．
解析：如图，连接AC交BD于点F，连接EF，
∵AB＝BC，∴底面ABCD是正方形，则AC⊥BD即CF⊥BD，
又CC1⊥底面ABCD，CE⊥BD，CE∩CF＝C，
∴BD⊥平面CFE，EF 平面CFE，∴BD⊥EF.
∴∠CFE为二面角E-BD-C的平面角，
不妨设AB＝BC＝1，则AA1＝，CE＝，CF＝AC＝，
tan ∠CFE＝＝＝1，又∠CFE∈[0，π]，∴∠CFE＝.
课堂小结
1．对二面角以及二面角的平面角的理解．
2．平面与平面垂直的定义及应用．
3．平面与平面垂直的判定定理及应用．(共23张PPT)
第2课时 平面与平面垂直的性质
预 学 案
共 学 案
预 学 案
一、平面与平面垂直的性质定理
文字语言 两个平面垂直，如果__________有一直线垂直于这两个平面的________，那么这条直线与另一个平面垂直
符号语言
图形语言
一个平面内
交线
a α
a⊥l
【即时练习】 判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)如果两个平面垂直，那么一个平面内的直线一定垂直于另一个平面．( )
(2)如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．( )
(3)若平面α⊥平面β，且平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b，则直线a必垂直于平面β.( )
×
√
×
微点拨
(1)定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直．
(2)已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直．
共 学 案
【学习目标】 (1)掌握平面与平面垂直的性质定理，并能解决一些简单的问题．(2)能综合运用直线与平面垂直，平面与平面垂直的判定和性质解决有关问题．
题型 1 平面与平面垂直的判定定理
【问题探究】 教室内的黑板所在的平面与地面所在的平面垂直．在黑板上任意画一条线与地面垂直吗？怎样画才能保证所画直线与地面垂直？
提示：不一定，也可能平行、相交(不垂直)．只要保证所画的线与两平面的交线垂直即可．
例1 如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.G为AD边的中点．求证：BG⊥平面PAD.
证明：由题意知△PAD为正三角形，G是AD的中点，
∴PG⊥AD.
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PG 平面PAD，∴PG⊥平面ABCD.由BG 平面ABCD，∴PG⊥BG.
又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，
∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD.
又AD＝G，AD，PG 平面PAD，
∴BG⊥平面PAD.
学霸笔记：若所给题目中有面面垂直的条件，一般要利用面面垂直的性质定理将其转化为线面垂直、线线垂直．应用面面垂直的性质定理，注意三点：①两个平面垂直是前提条件；②直线必须在其中一个平面内；③直线必须垂直于它们的交线．
跟踪训练1 如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.
求证：BC⊥AB.
证明：如图，在平面PAB内，作AD⊥PB于点D.
∵平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC＝PB，AD 平面PAB，
∴AD⊥平面PBC.
又BC 平面PBC，∴AD⊥BC.
又∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，
∴PA⊥BC.
又∵PA∩AD＝A，∴BC⊥平面PAB.
又AB 平面PAB，∴BC⊥AB.
题型 2 垂直关系的综合应用
例2 如图，四棱锥P-ABCD，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥AB，AB∥CD，∠DAB＝90°，PA＝AD，DC＝2AB，E为PC中点．
(1)求证：PA⊥BC；
(2)求证：平面PBC⊥平面PDC.
证明：(1)因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，
PA⊥AB，PA 平面PAB，所以PA⊥平面ABCD.
又因为BC 平面ABCD，所以PA⊥BC.
(2)因为AP＝AD，设F为PD的中点，
连接AF，EF，如图，则EF綉CD.又AB綉CD，所以EF綉AB.
所以四边形ABEF为平行四边形，所以BE∥AF.
因为PA＝AD且F为PD的中点，所以AF⊥PD，又∠DAB＝90°，所以AB⊥DA，又PA⊥AB，PA∩DA＝A，所以AB⊥平面PAD，所以EF⊥平面PAD，所以AF⊥EF，又PD∩EF＝F，所以AF⊥平面PCD.所以BE⊥平面PDC.
又因为BE 平面PBC，所以平面PBC⊥平面PDC.
学霸笔记：(1)熟练垂直关系的转化，线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的相互转化是解题的常规思路．
(2)垂直关系证明的核心是线面垂直，准确确定要证明的直线是关键，再利用线线垂直证明．
跟踪训练2 如图，在六面体ABCDEF中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB＝AD＝CD＝1，四边形ADEF是正方形，平面ADEF⊥平面ABCD.证明：平面BCE⊥平面BDE.
证明：因为AB∥CD，AB⊥AD且AB＝AD＝CD＝1，
所以BD＝BC＝，CD＝2，所以BC⊥BD，
因为平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，
四边形ADEF是正方形，ED⊥AD，ED 平面ADEF，所以ED⊥平面ABCD，
因为BC 平面ABCD，所以BC⊥ED，
因为BD，ED 平面BDE，BD∩ED＝D，所以BC⊥平面BDE，
因为BC 平面BCE，所以平面BCE⊥平面BDE.
随堂练习
1．平面α⊥平面β，直线a∥α，则( )
A．a⊥β B．a∥β
C．a与β相交 D．以上都有可能
答案：D
解析：当平面α⊥平面β，直线a∥α时，a与β有以下四种位置关系：①a⊥β，②a∥β，③a与β相交，④a在平面β内．故选D.
2．设平面α⊥平面β，在平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b，则( )
A．直线a必垂直于平面β
B．直线b必垂直于平面α
C．直线a不一定垂直于平面β
D．过a的平面与过b的平面垂直
答案：C
解析：当α⊥β，在平面α内垂直交线的直线才垂直于平面β，因此，垂直于平面β内的一条直线b的直线不一定垂直于β.故选C.
3．已知m，n，l是直线，α，β是平面，α⊥β，α＝l，n β，n⊥l，m⊥α，则直线m与n的位置关系是( )
A．异面 B．相交但不垂直
C．平行 D．相交且垂直
答案：C
解析：因为α⊥β，α∩β＝l，n β，n⊥l，所以n⊥α.
又m⊥α，所以m∥n.故选C.
4．如图，在三棱锥P-ABC内，侧面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，则PB＝________．
解析：因为侧面PAC⊥底面ABC，且侧面PAC∩底面ABC＝AC，又∠PAC＝90°，即PA⊥AC，AC 平面ABC，
所以PA⊥平面ABC，又AB 平面ABC，
所以PA⊥AB，
故PB＝＝＝.
课堂小结
1．平面与平面垂直的性质定理及应用．
2．线线、线面、面面垂直关系的综合应用．
