(共24张PPT)
6.4.1 平面几何中的向量方法
预 学 案
共 学 案
预 学 案
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系．
【即时练习】
1．在△ABC中，若·＝－5，则△ABC的形状一定是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
答案：D
解析：因为·＝－5<0，
所以A为钝角，
所以△ABC一定是钝角三角形．故选D.
2．在△ABC中，已知A(4，1)，B(7，5)，C(－4，7)，则BC边的中线AD的长为________．
解析：BC中点为D(，6)，＝(－，5)，
∴＝ ＝.
微点拨
(1)平面几何中经常涉及求距离(线段长度)、夹角问题，证明平行、垂直问题，而平面向量的运算，特别是数量积的运算主要涉及向量的模、夹角、垂直等知识，因此可以用向量方法解决部分几何问题．
(2)用向量解决平面几何问题，就是将几何逻辑推理论证问题转化为向量的运算问题，将“证”转化为“算”，思路清晰，便于操作．
共 学 案
【学习目标】
(1)能用向量方法解决简单的几何问题．
(2)体会向量在解决数学问题中的作用．
【问题探究】 如图所示，水渠横断面是四边形ABCD，＝，且||＝||.
(1)如何判断这个四边形的形状？
(2)向量关系a＝b与几何中的结论|a|＝|b|，且a，b所在直线平行或重合有什么关系？
(3)把直角三角形两直角边与斜边的数量关系类比到矩形中，你能发现矩形两对角线长度与两邻边长度之间的关系吗？
提示：(1)利用向量共线和向量模的定义，证明该四边形是等腰梯形．
(2)全等、相似、长度、夹角等几何性质都可以由向量的线性运算及数量积表示出来．例如，向量的数量积对应着几何中的长度与夹角．
(3)矩形两对角线的平方和等于四边的平方和．
题型 1 利用向量证明平行或垂直问题
例1 已知在梯形ABCD中，AB∥CD，∠CDA＝∠DAB＝90°，CD＝DA＝AB，试用向量方法证明AC⊥BC.
证明：如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，∠CDA＝∠DAB＝90°，
设CD＝DA＝AB＝a，
由题意知，＝＝，
∴·＝()·()
＝·＋···
＝0＋a2＋0－2a2＋0＋a2＝0，
∴⊥，即AC⊥BC.
学霸笔记：
利用向量解决垂直、平行问题的方法
(1)对于直线垂直问题，可以联想到两个向量垂直的条件，即向量的数量积为0.
(2)对于直线平行问题，可以联想到向量共线定理，即＝λ≠0)．
跟踪训练1 在△ABC中，点M，N分别在线段AB，AC上，AM＝2MB，AN＝2NC.求证：MN∥BC.
证明：设＝a，＝b，则＝＝b－a.
又AM＝2MB，AN＝2NC.
所以＝＝a，＝＝b.
在△AMN中，＝＝(b－a)，
所以＝，即与共线，故MN∥BC.
题型 2 利用向量解决长度和夹角问题
例2 如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝1，AC＝3，点D在线段BC上，且BD＝DC.
(1)求AD的长；
(2)求cos ∠DAC.
解析：(1)设＝a，＝b，
则＝＝＝)＝＝a＋b.
2＝2＝(a＋b)2＝＝×1＋2××1×3×cos 120°＋×9＝.故AD＝.
(2)因为cos ∠DAC＝
＝＝
＝＝.
题后师说
利用向量法求长度、夹角的策略
跟踪训练2 在平行四边形ABCD中，AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长．
解析：设＝a，＝b，
则|a|＝1，|b|＝2，＝a－b，＝a＋b，
而||＝|a－b|＝＝
＝＝＝2，
∴5－2a·b＝4，∴a·b＝，
又||2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6，
∴||＝，即AC＝.
随堂练习
1．已知A，B，C，D四点的坐标分别是(1，0)，(4，3)，(2，4)，(0，2)，则四边形ABCD为( )
A．梯形 B．菱形
C．矩形 D．正方形
答案：A
解析：由题意知，＝(3，3)，＝(2，2)，所以∥，又因||≠||，所以四边形ABCD为梯形．故选A.
2．在△ABC中，若·＝0，则△ABC的形状是( )
A．∠C为钝角的三角形
B．∠B为直角的直角三角形
C．锐角三角形
D．∠A为直角的直角三角形
答案：D
解析：在△ABC中，·＝·()＝·＝0，∴⊥，∴∠A＝，则△ABC为直角三角形，故选D.
3．已知菱形ABCD中，AC＝2，BD＝2，点E为CD上一点，且CE＝2ED，则∠AEB的余弦值为( )
A． B．
C． D．
答案：D
解析：设AC与BD交于点O，以O为坐标原点，AC，BD所在的直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系如图所示，则点A(，0)，B(0，1)，E(－，－)，∴＝()，＝()，则cos ∠AEB＝＝＝，故选D.
4．在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，若·＝6，则AP＝________．
解析：平行四边形ABCD中，AO＝OC，因为·＝6，所以·＝3，根据向量的几何意义可知·＝2＝3，解得AP＝||＝.
课堂小结
1.利用向量解决平面几何中的垂直与平行问题．
2．利用向量解决平面几何中的长度与角度问题．(共23张PPT)
6.4.2 向量在物理中的应用举例
预 学 案
共 学 案
预 学 案
向量在物理中的应用
(1)物理问题中常见的向量有力、速度、加速度、位移等．
(2)向量的加减法运算体现在力、速度、加速度、位移的合成与分解．
【即时练习】 已知向量＝＝(－2，3)分别表示力F1，F2，则|F1＋F2|为( )
A．(0，5) B．(4，－1) C．2 D．5
答案：D
解析：∵＝(2，2)，＝(－2，3)，
∴F1＋F2＝＋＝(2，2)＋(－2，3)＝(0，5).
∴|F1＋F2|＝＝5.故选D.
微点拨
向量在物理中的应用，实际上是把物理问题转化为向量问题，然后通过向量运算解决向量问题，最后用所获得的结果解释物理现象．
共 学 案
【学习目标】
(1)会用向量方法解决简单的力学问题及其他实际问题．
(2)体会向量在解决物理和实际问题中的作用．
【问题探究】
在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，两个拉力夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力．把上面的问题抽象为数学模型，可以从理论上解释其原因．
这是小明拍他叔叔在拉单杠时的图片．
(1)小明的叔叔感觉两臂的夹角越大，拉起来越费力，这是为什么？
(2)向量的运算、速度、加速度、位移有什么联系？
提示：(1)如图，可知F＝－G，|F|＝|F1|cos |F1|＝，故夹角越大越费力．
(2)速度、加速度与位移的合成与分解，实质上是向量的加、减法运算，而运动的叠加也用到向量的加法．
题型 1 向量与力、速度的合成与分解
例1 在重300 N的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°(如图)，求重物平衡时，两根绳子拉力的大小．
解析：如图，两根绳子的拉力之和＝，
且||＝||＝300 N，∠AOC＝30°，∠BOC＝60°.
在△OAC中，∠AOC＝30°，∠OAC＝90°，
从而||＝||·cos 30°＝150(N)，
||＝||·sin 30°＝150(N)，
所以||＝||＝150(N)．
答：与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150 N，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N．
学霸笔记
解决力、速度的合成与分解问题，充分借助向量的平行四边形法则或三角形法则把物理问题抽象转化为数学问题，同时正确作图是前提．
跟踪训练1 一条渔船距对岸4 km，以2 km/h的速度向垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船的实际行程为8 km，则河水的流速是________ km/h.
2
解析：如图，用v1表示河水的流速，v2表示船的速度，则v＝v1＋v2为船的实际航行速度．由图知，||＝4，||＝8，则∠AOB＝60°.又|v2|＝2，∴|v1|＝|v2|·tan 60°＝2.
即河水的流速是2 km/h.
题型 2 向量与功
例2 质量m＝2.0 kg的木块，在平行于斜面向上的拉力F＝10 N的作用下，沿倾斜角θ＝30°的光滑斜面向上滑行|s|＝2.0 m的距离，求物体所受各力对物体所做的功．(g＝9.8 N/kg)
解析：木块受三个力的作用，重力G，拉力F和支持力FN，
如图所示，拉力F与位移s方向相同，所以拉力对木块所做的功为WF＝F·s＝|F||s|cos 0°＝20(J)；
支持力FN与位移方向垂直，不做功，
所以WN＝FN·s＝0；
重力G对物体所做的功为
WG＝G·s＝|G||s|cos (90°＋θ)
＝2.0×9.8×2.0×cos 120°＝－19.6(J)．
学霸笔记
力做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，实质是力和位移两个向量的数量积，即W＝·＝||||cos θ(θ为和的夹角)．
跟踪训练2 已知力F的大小|F|＝10，在F的作用下产生的位移s的大小|s|＝14，F与s的夹角为60°，则F做的功为( )
A．7 B．10
C．14 D．70
答案：D
解析：F做的功为：F·s＝|F||s|cos 60°＝10×14×＝70.故选D.
随堂练习
1．已知三个力F1＝(－2，－1)，F2＝(－3，2)，F3＝(7，－3)同时作用于某物体上一点，为使该物体保持平衡，再加上一个力F4，则F4＝( )
A．(－2，－2) B．(2，－2)
C．(－1，2) D．(－2，2)
答案：D
解析：因为F1＝(－2，－1)，F2＝(－3，2)，F3＝(7，－3)，所以F1＋F2＋F3＝(－2，－1)＋(－3，2)＋(7，－3)＝(2，－2)，要想使该物体保持平衡，只需F4＝－(2，－2)＝(－2，2)，故选D.
2．某人顺风匀速行走速度大小为a，方向与风向相同，此时风速大小为v，则此人实际感到的风速为( )
A．a－v B．v－a
C．a＋v D．v
答案：A
解析：由题意，某人顺风匀速行走速度大小为a，方向与风向相同，此时风速大小为v，根据向量的运算法则，可得此人实际感到的风速为a－v.故选A.
3．已知两个力F1，F2的夹角为，它们的合力大小为10 N，合力与F1的夹角为，那么F1的大小为( )
A．5 N B．5 N
C．5 N D．10 N
答案：B
解析：因为两个力F1，F2的夹角为，它们的合力大小为10 N，合力与F1的夹角为，所以F1的大小为|F1|＝10cos ＝5，故选B.
4．一纤夫用牵绳拉船沿直线方向前进60米，若牵绳与行进方向夹角为，人的拉力为200 N，则纤夫对船所做的功为________ J．
6 000
解析：依题意，人的位移向量s，拉力向量F，则有|s|＝60 m，|F|＝200 N，向量s与F的夹角为，所以纤夫对船所做的功W＝F·s＝|F||s|cos ＝200×60×＝6 000(J)．
课堂小结
1.利用向量的加、减、数乘运算解决力、位移、速度、加速度的合成与分解问题．
2．利用向量的数量积解决力所做的功的问题．(共29张PPT)
第1课时 余弦定理
预 学 案
共 学 案
预 学 案
余弦定理
一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做____________．
文字 表述 三角形中任何一边的平方，等于__________________减去这两边与它们的__________________的两倍
公式 表达 a2＝________________，b2＝_______________，
c2＝__________________
推论
cos A＝__________，cos B＝________，cos C＝__________
其他两边平方的和
夹角的余弦的积
b2＋c2－2bc cos A
a2＋c2－2ac cos B
a2＋b2－2ab cos C
解三角形
【即时练习】
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广．( )
(2)余弦定理只适用于锐角三角形．( )
(3)已知三角形的三边求三个内角时，解是唯一的．( )
(4)在△ABC中，若a2>b2＋c2，则△ABC一定为钝角三角形．( )
√
×
√
√
2．已知在△ABC中，a＝1，b＝2，C＝，则c＝( )
A． B． C． D．
答案：D
解析：由余弦定理可得c2＝12＋22－2×1×2·cos ＝7，所以c＝.
微点拨
(1)余弦定理对任意的三角形都成立．
(2)在余弦定理中，每一个等式都包含四个量，因此已知其中三个量，利用方程思想可以求得未知的量．
(3)余弦定理的推论是余弦定理的第二种形式，适用于已知三角形三边来确定三角形的角的问题．用余弦定理的推论还可以根据角的余弦值的符号来判断三角形中的角是锐角还是钝角．
共 学 案
【学习目标】
(1)了解向量法证明余弦定理的推导过程．
(2)掌握余弦定理及其推论，并能用其解决一些简单的三角形度量问题．
(3)能应用余弦定理判断三角形的形状．
【问题探究】 (1)在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c，怎样用a，b和C表示c
(2)在(1)的探究成果中，若A＝90°，公式会变成什么？你认为勾股定理和余弦定理有什么关系？
提示：(1)如图，设＝a，＝b，＝c，
那么c＝a－b ①
我们的研究目标是用|a|，|b|和C表示|c|，
联想到数量积的性质c·c＝|c|2，
可以考虑用向量c(即a－b)与其自身作数量积运算．
由①得|c|2＝c·c＝(a－b)·(a－b)
＝a·a＋b·b－2a·b
＝a2＋b2－2|a||b|cos C.
所以c2＝a2＋b2－2ab cos C，
同理可得a2＝b2＋c2－2bc cos A，b2＝c2＋a2－2ca cos B.
(2)a2＝b2＋c2，即勾股定理，勾股定理是余弦定理的一个特例．
题型 1 已知两边及一角解三角形
例1 (1)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝1，b＝2，C＝60°，求c.
(2)在△ABC中，已知AB＝，AC＝，∠B＝45°，求BC.
解析：(1)由已知c＝＝＝.
(2)由余弦定理AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B，
得5＝2＋BC2－2·BC cos 45°，
解得BC＝3(负值舍去)．
学霸笔记：
已知三角形的两边及一角解三角形的方法
已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角．若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边，此时需根据题意进行检验，需满足大角对大边，两边之和大于第三边．
跟踪训练1 (1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a＝2，c＝，cos C＝，则b的取值是( )
A． B．
C． D．3
答案：D
解析：由题意c2＝a2＋b2－2ab cos C，即5＝4＋b2－4b×，解得b＝3(b＝－舍去)，故选D.
(2)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝9，a＝2c，B＝，则△ABC的周长为________．
9＋9
解析：(2)已知b＝9，a＝2c，B＝，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B，所以92＝4c2＋c2－2·2c·c·cos ，即c2＝27，c＝3，则a＝6，三角形周长为a＋b＋c＝9＋9.
题型 2 已知三边解三角形
例2 在△ABC中，已知a＝2，b＝6＋2，c＝4，求△ABC的最小角．
解析：因为a
所以由余弦定理得：
cos A＝＝＝.
∵A∈(0，π)，∴A＝.
一题多变1 本例条件不变，求△ABC最大角的余弦值．
解析：由例2知最大角为B.
所以由余弦定理得：
cos B＝＝＝.
一题多变2 本例条件改为“a∶b∶c＝∶(3＋)∶2”，求A，B，C.
解析：∵a∶b∶c＝∶(3＋)∶2，
可设a＝x，b＝(3＋)x，c＝2x(x>0)
由余弦定理得：cos A＝
＝＝.
∵A∈(0，π)，∴A＝.
cos C＝＝＝.
∵C∈(0，π)，∴C＝.
∴B＝π－＝.
学霸笔记：
已知三边求解三角形的方法
(1)利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角．其思路清晰，结果唯一．
(2)若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转化为已知三边求解．
跟踪训练2 若△ABC三边长a，b，c满足等式3a2＋2ab＋3b2－3c2＝0，则cos C＝________．
－
解析：因为3a2＋2ab＋3b2－3c2＝0，所以cos C＝＝－.
题型 3 利用余弦定理判断三角形的形状
例3 在△ABC中，若a cos B＋a cos C＝b＋c，试判断该三角形的形状．
解析：由a cos B＋a cos C＝b＋c并结合余弦定理，
得a·＋a·＝b＋c，
即＝b＋c，
整理，得(b＋c)(a2－b2－c2)＝0.
因为b＋c≠0，所以a2＝b2＋c2，
故△ABC是直角三角形．
题后师说
(1)利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题，一般有两条思路：
(2)判断三角形的形状时，常用到以下结论：
①△ABC为直角三角形 a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2；
②△ABC为锐角三角形 a2＋b2＞c2且b2＋c2＞a2且c2＋a2＞b2；
③△ABC为钝角三角形 a2＋b2＜c2或b2＋c2＜a2或c2＋a2＜b2.
跟踪训练3 若在△ABC中，2a·cos B＝c，则三角形的形状一定是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
答案：B
解析：由2a·cos B＝c以及余弦定理得2a·＝c，化简得a＝b，所以三角形的形状一定是等腰三角形．故选B.
随堂练习
1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝1，b＝2，c＝，则C＝( )
A．120° B．90° C．60° D．45°
答案：A
解析：由余弦定理可得cos C＝＝＝－，由于0°2．在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，A＝60°，a＝，c＝2，那么b的大小是( )
A． B．4 C． D．3
答案：D
解析：因为A＝60°，a＝，c＝2，所以有a2＝b2＋c2－2bc cos A 7＝b2＋4－2b b＝3，或b＝－1舍去，故选D.
3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a cos B＝b cos A，则△ABC为( )
A．等腰且直角三角形 B．等腰或直角三角形
C．等边三角形 D．等腰三角形
答案：D
解析：由a cos B＝b cos A结合余弦定理可得a·＝b·，化简得a2＝b2，即a＝b，所以△ABC为等腰三角形．故选D.
4．在△ABC中，角A、B、C所对边分别是a、b、c，若a2＋b2－ab＝c2，则C＝________．
解析：∵a2＋b2－ab＝c2，∴cos C＝＝，
∵0课堂小结
1. 余弦定理的推导．
2．利用余弦定理解三角形中的两类问题．
3．利用余弦定理判断三角形的形状．(共31张PPT)
第2课时 正弦定理
预 学 案
共 学 案
预 学 案
正弦定理
文字语言 在一个三角形中，各边和它所对角的________的比相等
符号语言
常见变形
正弦
2R sin B
2R sin C
sin A∶sin B∶sin C
【即时练习】
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)在△ABC中必有a sin A＝b sin B．( )
(2)在△ABC中，若a＞b，则必有sin A>sin B．( )
(3)在△ABC中，若sin A＝sin B，则必有A＝B.( )
×
√
√
2．在△ABC中，A＝，a＝2，b＝2，则B为( )
A． B． C．或 D．
答案：D
解析：由正弦定理得＝，＝，sin B＝1，
由于03．在△ABC中，已知b＝6，A＝45°，C＝75°，则a＝________．
2
解析：因为A＝45°，C＝75°，
所以B＝180°－45°－75°＝60°，
因此由正弦定理可知：＝ ＝ a＝2.
微点拨
(1)正弦定理对任意三角形都适用．
(2)正弦定理中的比值是一个定值，它的几何意义为三角形外接圆的直径．
(3)正弦定理是直角三角形对角关系的一个推广，正弦定理对任意三角形都成立，它的主要功能是实现三角形中边角关系的互化．
共 学 案
【学习目标】
(1)了解正弦定理的推导过程．
(2)掌握正弦定理并会解三角形、判断三角形解的个数问题．
【问题探究】如图，在Rt△ABC中，A＝30°，斜边c＝2.
(1)试求△ABC其他的边和角，计算的值，从中你能发现什么结论吗？
(2)对于其他的直角三角形，此结论是否成立呢？是否能够猜测，此结论对于锐角和钝角三角形是否都成立呢？
提示：(1)C＝90°，B＝60°，a＝1，b＝；＝＝＝2；
(2)成立；成立．
题型 1 已知两角及一边解三角形
例1 在△ABC中，已知B＝30°，C＝105°，b＝4，解三角形．
解析：因为B＝30°，C＝105°，
所以A＝180°－(B＋C)＝180°－(30°＋105°)＝45°，
由正弦定理，得＝＝，
解得a＝＝4，c＝＝2()．
学霸笔记
已知三角形的两角和任意一边解三角形时，可以先由三角形的内角和定理，计算出三角形的第三角，然后由正弦定理求出另外两边．
跟踪训练1 在△ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若a＝2，A＝，B＝，则实数b的值等于( )
A． B．2
C．2 D．4
答案：C
解析：因为a＝2，A＝，B＝，由正弦定理＝可得b＝＝＝2.故选C.
题型 2 已知两边及其中一边的对角解三角形
例2 在△ABC中，已知B＝30°，b＝，c＝2，解这个三角形．
解析：由正弦定理，得sin C＝＝＝，
因为c＞b，B＝30°，所以30°＜C＜180°.
于是C＝45°，或C＝135°.
(1)当C＝45°时，A＝105°
此时a＝＝＝＝＝＝＋1.
(2)当C＝135°时，A＝15°，
此时a＝＝＝＝＝＝－1.
题后师说
已知三角形的两边和其中一边的对角，
利用正弦定理解三角形的步骤
跟踪训练2 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a＝4，b＝12，B＝60°，则A＝( )
A．30° B．30°或150°
C．60° D．60°或120°
答案：A
解析：因为a＝4，b＝12，B＝60°，所以由正弦定理可得sin A＝＝＝，因为在△ABC中，0°a，所以B>A，所以A＝30°.故选A.
题型 3 三角形解的个数的判断
例3 不解三角形，判断下列三角形解的个数．
(1)a＝5，b＝4，A＝120°；
(2)a＝9，b＝10，A＝60°；
(3)b＝72，c＝50，C＝135°.
解析：(1)由正弦定理＝，∴sin B＝sin A＝<，
∵A＝120°，∴B＝180°－(A＋C)＝60°－C<60°，
∴B只有一解，三角形解的个数为一解．
(2)由正弦定理＝，∴sin B＝sin A＝＝，
∴∵A＝60°，a∴B有两解，三角形解的个数为两解．
(3)∵b>c，∴B>C＝135°，∴B＋C>270°，
∴B无解，三角形无解．
学霸笔记：
已知两边及其中一边的对角判断三角形解的个数的方法
(1)应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数；
(2)在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形解的个数，解的个数见下表：
A为钝角 A为直角 A为锐角 a>b 一解 一解 一解 a＝b 无解 无解 一解 ab sin A 两解
a＝b sin A 一解
a跟踪训练3 (多选)记△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列说法正确的是( )
A．若A＝60°，a＝9，b＝8，则△ABC有一解
B．若A＝30°，a＝3，b＝4，则△ABC有一解
C．若A＝60°，a＝15，b＝16，则△ABC有两解
D．若A＝45°，a＝，b＝，则△ABC有两解
答案：ACD
解析：因为sin B＝＝<1，又b因为sin B＝sin A＝>1，所以△ABC无解，B错误；
因为sin B＝sin A＝<1，又b>a，所以B可能为锐角，也可能为钝角，所以△ABC有两解，C正确；
因为sin B＝sin A＝，所以A＝60°或120°，所以△ABC有两解，D正确．故选ACD.
题型 4 判断三角形的形状
例4 在△ABC中，已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝，试判断△ABC的形状．
解析：由＝，及正弦定理，
得＝，即＝，
∴sin A cos A＝sin B cos B，
即sin 2A＝sin 2B.
∴2A＝2B或2A＋2B＝180°.
∴A＝B或A＋B＝90°.
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．
学霸笔记：
判断三角形形状的方法
(1)判断三角形的形状，可以从考查三边的关系入手，也可以从三个内角的关系入手，从条件出发，利用正弦定理进行代换、转化，呈现出边与边的关系或求出角与角的关系或大小，从而作出准确判断．
(2)利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．
(3)判断三角形的形状，主要看是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别．
跟踪训练4 在△ABC中，若a cos B＝c，则△ABC的形状是( )
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
答案：B
解析：因为a cos B＝c，所以sin A cos B＝sin C＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B，所以cos A sin B＝0.因为sin B>0，所以cos A＝0.又因为0°随堂练习
1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝，A＝45°，B＝60°，则a＝( )
A．1 B．2 C．2 D．
答案：D
解析：由正弦定理得＝，∴a＝＝＝.故选D.
2．在△ABC中，a＝，A＝45°，则△ABC外接圆的半径R等于( )
A．1 B．2 C．4 D．无法确定
答案：A
解析：在△ABC中，由正弦定理＝＝＝2R，∵a＝，A＝45°，∴＝＝2R，解得R＝1，故选A.
3．在△ABC中，若AB＝3，BC＝4，C＝30°，则此三角形解的情况是( )
A．有一解 B．有两解
C．无解 D．有解但解的个数不确定
答案：B
解析：∵BC sin C＝4sin 30°＝2，∴BC sin C4．在△ABC中，2BC·sin B cos B＝AC·sin A，则B＝________．
解析：在△ABC中，因为2BC·sin B cos B＝AC·sin A，由正弦定理可得2sin A sin B cos B＝sin B sin A，因为A，B，C∈(0，π)，所以sin B sin A>0，所以cos B＝，则B＝.
课堂小结
1.正弦定理的推导．
2．利用正弦定理解三角形及三角形解的个数的判断．
3．利用正弦定理判断三角形的形状．(共36张PPT)
第3课时 余弦定理、正弦定理应用举例
预 学 案
共 学 案
预 学 案
实际测量中的有关名称、术语
名称 定义 图示
仰角 在视线和水平线所成的角中，________________的角称为仰角
俯角 在视线和水平线所成的角中，________________的角称为俯角
视线在水平线上方
视线在水平线下方
方向角 从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于90°)
南偏西60°
方位角 从正北的方向线按________时针到目标方向线所转过的水平角
顺
【即时练习】
1．在相距2千米的A、B两点处测量目标C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离是( )千米．
A． B． C．6 D．2
答案：B
解析：∵∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，
∴∠ACB＝45°，
由正弦定理＝，即＝，
解得：AC＝＝. 故选B.
2．已知A船在灯塔C北偏东85°且A到C的距离为2 km，B船在灯塔C北偏西65°且B到C的距离为 km，则A，B两船的距离为________．
km
解析：由题意得∠ACB＝65°＋85°＝150°，又AC＝2，BC＝，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos 150°＝4＋3－2×2××(－)＝13，
所以AB＝ km.
微点拨
解三角形在实际测量中的常见问题
(1)
(2)高度问题
(3)角度问题
测量角度就是在三角形内利用正弦定理和余弦定理求角的正弦值或余弦值，再根据需要得出所求的角．
共 学 案
【学习目标】
(1)进一步熟悉余弦定理、正弦定理．
(2)了解常用的测量相关术语．
(3)能运用余弦定理、正弦定理等知识和方法解决有关距离、高度、角度的实际问题．
题型 1 测量距离问题
【问题探究1】 (1)如图所示，A，B两点在河的两岸，在点A的一侧，需测出哪些量，可以求出A，B两点的距离？
提示：测量者在点A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离，∠BAC的大小，∠ACB的大小三个量．
(2)如图所示，A，B两点都在河的对岸(不可到达)，结合图形，需测出哪些量，可以求出A，B两点间的距离？
提示：结合图象，需要测出CD的长、∠BCD的大小、∠BDC的大小，就可以计算出BC的长，同理可以计算出AC的长，再算出AB的长．故只需测量出图中CD的长，角α，β，γ，δ的大小．
例1 为测量海底两点C，D间的距离，海底探测仪沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，C，D在同一个铅垂平面内．海底探测仪测得∠BAC＝30°，∠DAC＝∠ABD＝45°，∠DBC＝75°，同时测得AB＝ 海里．
(1)求AD的长度；
(2)求C，D之间的距离．
解析：(1)由题意得，在△ABD中，∠BAD＝75°，∠ABD＝45°，
故∠ADB＝60°，
由正弦定理＝，即＝，所以AD＝＝，
所以AD的长度为 海里．
(2)在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝∠ABD＋∠DBC＝120°，
所以∠BCA＝∠BAC＝30°，故BC＝AB＝，
由余弦定理可得，
AC＝＝3，
在△ADC中，AD＝，∠DAC＝45°，
由余弦定理可得
CD＝＝＝，
所以C，D之间的距离为 海里．
题后师说
三角形中与距离有关问题的求解策略
跟踪训练1 为了更好地掌握有关飓风的数据资料，决定在海上的四岛A，B，C，D建立观测站，已知B在A正北方向15海里处，C在A的北偏东60°方向，又在D的东北方向，D在A的正东方向，且BC相距21海里，求C，D两岛间的距离．
解析：由题意，作出示意图，其中AB＝15，BC＝21，∠BAC＝60°，∠BAD＝90°，∠ADC＝135°；
在△ABC中，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos 60°，
整理得AC2－15AC－216＝0，解得AC＝24或AC＝－9(舍)；
在△ADC中，∠CAD＝30°，
由正弦定理＝，
所以CD＝＝＝12.
所以C，D两岛间的距离为12海里．
题型 2 测量高度问题
【问题探究2】
小明要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度．如图，他选定了离地面高度为15 m的一个地点，他测得电视塔底的俯角为30°，塔顶的仰角为62°.由此你有办法估测东方明珠电视塔的高为多少吗？(可用三角函数表示)
提示：设人的位置为A，塔底为B，塔顶为C，过A作BC的垂线，垂足为D，
则∠DAB＝30°，∠DAC＝62°，BD＝15(m)，
AB＝＝30(m)，
由正弦定理，有BC＝＝(m)．
例2 如图所示，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°，以及∠MAC＝75°，从C点测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝100 m，求山高MN.
解析：在△ABC中，∠CAB＝45°，∴∠ACB＝45°，∴BC＝AB＝100，
∴AC＝＝100，
在△AMC中，∠MAC＝75°，∠MCA＝60°，∴∠AMC＝45°，
＝，
∴＝，∴MA＝100，
在△AMN中，∠MAN＝60°，
∴MN＝MA sin ∠MAN＝MA＝×100＝150，
所以山高MN为150米．
题后师说
解决测量高度问题的一般步骤
跟踪训练2 如图，为了测量河对岸的塔高AB.可以选与塔底B在同一水平面内的两个基点C与D，现测得CD＝30米，且在点C和D测得塔顶A的仰角分别为45°，30°，又∠CBD＝30°，则塔高AB＝________米．
30
解析：设AB＝h米，
在△ABC中，BC＝＝h，
在△ABD中，BD＝＝h，
在△BCD中，CD2＝CB2＋DB2－2CB·DB·cos 30°，
即302＝h2＋(h)2－2h·h·，
所以h2＝302，
解得h＝30(米)．
题型 3 测量角度问题
例3 如图，在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A为10(－1)海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距离A为20海里的C处有一艘缉私艇奉命以10 海里/时的速度追截走私船，此时，走私船正以10海里/时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船．请求出所需时间．
解析：设缉私艇在点D处追上走私船，所需t小时，
则BD＝10t海里，CD＝10t海里，
因为∠BAC＝45°＋75°＝120°，
在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos ∠BAC，
即BC2＝＋202－2×10(－1)×20×cos 120°＝600，
所以BC＝10，
由正弦定理得sin ∠ABC＝＝＝，
所以∠ABC＝45°，
所以BC为东西方向，所以∠CBD＝120°，
在△BCD中，由正弦定理得sin ∠BCD＝＝＝，
所以∠BCD＝30°，所以∠BDC＝30°，
所以BD＝BC＝10，即10t＝10，即t＝(时)，
所以缉私艇沿北偏东60°行驶才能最快追上走私船，所需时间 小时．
学霸笔记：
测量角度问题的求解策略
测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．
跟踪训练3 甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处，乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时a海里，问：甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？
解析：如图所示．设经过t小时两船在C点相遇，
则在△ABC中，BC＝at海里，AC＝at海里，∠B＝90°＋30°＝120°，
由＝，即sin ∠CAB＝，
∵0°<∠CAB<60°，∴∠CAB＝30°，∴∠DAC＝60°－30°＝30°，
∴甲船应沿着北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇．
随堂练习
1．如图所示，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°方向上，灯塔B在观察站南偏东60°方向上，则灯塔A在灯塔B的( )
A．北偏东10°方向上 B．北偏西10°方向上
C．南偏东80°方向上 D．南偏西80°方向上
答案：D
解析：由条件及题图可知，△ABC为等腰三角形，所以∠BAC＝∠ABC＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B的南偏西80°方向上．故选D.
2．如图，在铁路建设中需要确定隧道的长度，已测得隧道两端的两点A，B到某一点C的距离分别是3 km，1 km及∠ACB＝60°，则A，B两点的距离为( )
A．7 km B．13 km
C． km D． km
答案：C
解析：由余弦定理得：AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC cos ∠ACB＝9＋1－6cos 60°＝7，∴AB＝(km)．故选C.
3．公园内有一棵树，A，B是与树根处O点在同一水平面内的两个观测点，树顶端为P.如图，观测得∠OAB＝75°，∠OBA＝60°，∠OAP＝60°，AB＝10米，则该树的高度OP大约为( )
A．21米 B．18米
C．15米 D．10米
答案：A
解析：在△OAB中，∠AOB＝180°－75°－60°＝45°，则由正弦定理可得＝，即＝，解得|OA|＝5(米)，在直角△AOP中，|OP|＝|OA|·tan 60°＝5＝15≈21(米)．故选A.
4．甲、乙两艘渔船从点A处同时出海去捕鱼，乙渔船往正东方向航行，速度为15公里每小时，甲渔船往北偏东30°方向航行，速度为20公里每小时，两小时后，甲渔船出现故障停在了B处，乙渔船接到消息后，立刻从所在地C处开往B处进行救援，则乙渔船到达甲渔船所在位置至少需要________小时．(参考数据：取＝3.6)
2.4
解析：由题可知AB＝40，AC＝30，∠BAC＝60°
由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 60°＝1 300，
得BC＝10，
乙渔船到达甲渔船所在位置需要的时间为＝＝2.4(时)．
课堂小结
利用正、余弦定理解决实际生活中不可到达的距离、高度、角度问题．(共30张PPT)
第4课时 余弦定理、正弦定理综合应用
预 学 案
共 学 案
预 学 案
三角形面积公式
已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则△ABC的面积公式为
(1)S＝________＝________＝________；
(2)S＝a·ha＝b·hb＝c·hc(ha，hb，hc表示a，b，c边上的高)．
ab sin C
ac sin B
bc sin A
【即时练习】
1．在△ABC中，若AB＝1，AC＝，A＝，则S△ABC的值为( )
A．2 B．
C．1 D．
答案：D
解析：S△ABC＝|AB|·|AC|sin A＝×＝.
故选D.
2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，a＝1，C＝45°，△ABC的面积为2，则b＝( )
A．2 B．4
C．4 D．4
答案：C
解析：由题可知，ab sin C＝2 ×1·b·＝2 b＝4.故选C.
微点拨
△ABC中的常用结论
(1)A＋B＋C＝180°，sin (A＋B)＝sin C，cos (A＋B)＝－cos C；
(2)大边对大角，即a>b A>B sin A>sin B；
(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
共 学 案
【学习目标】
(1)理解三角形面积公式的推导过程，掌握三角形的面积公式．
(2)了解正弦、余弦定理在平面几何中的应用．
(3)掌握正弦、余弦定理与三角函数的综合应用．
题型 1 与三角形面积有关的计算
【问题探究】 已知△ABC的两边a，b和角C，如何求△ABC的面积？
提示：边b上的高h为a sin C，故面积为S＝ab sin C.
例1 在锐角△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且b＝2c sin B.
(1)求角C的大小；
(2)若c＝，且a＋b＝3，求△ABC的面积．
解析：(1)因为b＝2c sin B，所以由正弦定理得sin B＝2sin C sin B，
因为sin B≠0，则sin C＝，又因为C是锐角，故C＝60°.
(2)由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2ab cos 60°，
所以6＝(a＋b)2－3ab，
又因为a＋b＝3，所以ab＝1，
则S△ABC＝ab sin C＝.
学霸笔记
(1)求三角形的面积，要充分挖掘题目中的条件，转化为求两边及其夹角的正弦问题，要注意方程思想在解题中的应用．
(2)余弦定理中，要注意对完全平方公式的应用．
跟踪训练1 (1)已知在△ABC中，AB＝4，AC＝3，cos A＝，则△ABC的面积为( )
A．3 B．3
C．6 D．6
答案：B
解析：因为cos A＝，A为三角形内角，所以sin A＝＝，所以S△ABC＝bc sinA＝×4×3×＝3.故选B.
(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝30°，a＝4，且△ABC的面积为，则b＝________．
解析：由题意知S△ABC＝ac sin 30°＝，则c＝，由余弦定理得a2＋c2－2ac cos 30°＝b2，即16＋3－12＝b2，则b＝.
题型 2 余弦、正弦定理在平面几何中的应用
例2 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D是AC边上的点，2b sin B＝(2a－c)sin A＋(2c－a)sin C.
(1)求∠ABC的大小；
(2)若CD＝1，AD＝BD＝2，求BC的长．
解析：(1)由正弦定理以及已知可得，2b2＝a(2a－c)＋c(2c－a)，
整理可得，a2＋c2－b2＝ac.
由余弦定理可得，cos ∠ABC＝＝＝.
又∠ABC∈(0，π)，所以∠ABC＝.
(2)在△BDC中，由余弦定理可得，cos ∠BDC＝＝.
在△BDA中，由余弦定理可得，cos ∠BDA＝＝.
又∠BDC＋∠BDA＝π，所以cos ∠BDC＝－cos ∠BDA，
即＝－，整理可得c2＋2a2－18＝0.
因为b＝AC＝AD＋CD＝3，
在△ABC中，由余弦定理可得，b2＝a2＋c2－2ac cos ∠ABC，
即9＝a2＋c2－2ac cos ＝a2＋c2－ac，
整理可得，a2＋c2－ac＝9.
联立可得
所以，BC＝a＝.
学霸笔记
利用余弦、正弦定理解决平面几何问题的方法：在平面多边形中，涉及公共边时，要利用公共边来进行过渡，即利用公共边创造的互补或互余关系列式，其本质是构建关于角的关系的方程．
跟踪训练2 如图，在圆内接四边形ABCD中，∠B＝120°，AB＝2，AD＝2，△ABC的面积为.
(1)求AC；
(2)求∠ACD.
解析：(1)因为△ABC的面积为，所以AB·BC sin ∠B＝.
又因为∠B＝120°，AB＝2，所以BC＝2.
由余弦定理得，AC2＝AB2＋BC－2AB·BC cos ∠B，AC2＝22＋22－2×2×2cos 120°＝12，所以AC＝2.
(2)因为ABCD为圆内接四边形，且∠B＝120°，所以∠D＝60°.
又AD＝2，由正弦定理可得，＝，
故sin ∠ACD＝＝＝.
因为AC>AD，所以0°<∠ACD<60°，所以∠ACD＝45°.
题型 3 余弦、正弦定理与三角函数的综合应用
例3 在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足·＝b2－ab.
(1)求角C的大小；
(2)求sin A＋sin B＋sin C的取值范围．
解析：(1)·＝bc cos A＝＝b2－ab，
整理得a2＋b2－c2＝ab，故cos C＝＝，
又0(2)由锐角△ABC知A∈(0，)，B＝π－－A∈(0，)，得A∈()，
故sin A＋sin B＋sin C＝sin A＋＋sin (A＋)
＝sin A＋＋sin A cos ＋sin cos A＝sin A＋cos A＋
＝sin (A＋)＋，
因为A∈()，A＋∈()，得sin (A＋)∈，
所以sin A＋sin B＋sin C∈(].
学霸笔记
余弦、正弦定理与三角函数的综合问题，应以余弦、正弦定理为工具，将问题转化为三角函数问题．其中涉及平面向量问题，应充分利用向量的有关知识将向量问题转化为三角形问题．
跟踪训练3 △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(1，a)，n＝(a，b cos C＋c cos B)，且m∥n.
(1)求a；
(2)若A＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
解析：(1)因为m∥n，所以b cos C＋c cos B＝a2，
根据正弦定理得，sin B cos C＋sin C cos B＝a sin A，
即sin (B＋C)＝a sin A，即sin A＝a sin A，
又A∈(0，π)，sin A≠0，所以a＝1.
(2)S△ABC＝bc sin ＝，所以bc＝1，
根据余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bc cos A，
即1＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc＝(b＋c)2－3，
所以b＋c＝2，所以△ABC的周长为a＋b＋c＝3.
随堂练习
1．在△ABC中，AC＝2，BC＝3，C＝60°，则△ABC的面积为( )
A． B．3
C． D．3
答案：A
解析：因为AC＝2，BC＝3，C＝60°，所以△ABC的面积S＝CB·CA·sin C＝×3×2×＝.故选A.
2．在△ABC中，若b＝1，A＝60°，△ABC的面积为，则a＝( )
A．13 B．
C．2 D．
答案：B
解析：在△ABC中，b＝1，A＝60°，△ABC的面积为，所以S△ABC＝bc sin A＝×1×c×＝，解得：c＝4.由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bc cos A＝1＋16－4＝13.所以a＝.故选B.
3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m＝(cos A，cos B)，n＝(a，c－b)，若m∥n，则内角A的大小为( )
A． B．
C． D．
答案：D
解析：由于m∥n，所以cos A·(c－b)＝a cos B，由正弦定理得cos A(sin C－sin B)＝sin A cos B，sin C cos A－sin B cos A＝sin A cos B，
sin C cos A＝sin A cos B＋sin B cos A＝sin (A＋B)＝sin C，
由于00，所以cos A＝1，cos A＝>0，
所以三角形ABC的内角A为锐角，所以A＝.故选D.
4．在平面四边形ABCD中，AB＝1，BC＝2，DA＝DC＝，若∠B＝60°，则△ACD的面积为________．
解析：如图，因为AB＝1，BC＝2，∠B＝60°，连接AC，在△ABC中，由余弦定理可得AC＝＝ ＝，又DA＝DC＝，所以△ADC是等边三角形，所以S△ACD＝AC2＝×3＝.
课堂小结
1.三角形的面积公式．
2．利用余弦、正弦定理解决平面几何问题．
3．余弦、正弦定理与三角函数的综合问题．