(共28张PPT)
6.3.1 平面向量基本定理
预 学 案
共 学 案
预 学 案
平面向量基本定理
(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个________向量，那么对于这一平面内的任一向量a，________一对实数λ1，λ2，使a＝________．
(2)基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内________的一组基底．
不共线
有且只有
λ1e1＋λ2e2
所有向量
【即时练习】
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)只有非零向量才能用平面内的一组基底e1，e2线性表示．( )
(2)同一向量用两组不同的基底表示时，表示方法是相同的．( )
(3)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( )
(4)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可用这组基底唯一表示．( )
×
×
√
√
2．如图所示，向量可用向量e1，e2表示为________．
4e1＋3e2
解析：由图可知e1，e2为平面内的一组正交单位基底，A点在e1方向有4个单位，在e2方向有3个单位，所以＝4e1＋3e2.
微点拨
(1)基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以构成基底向量．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的．
(2)基底给定时，分解形式唯一．λ1，λ2是被a，e1，e2唯一确定的数值．
(3){e1，e2}是表示同一平面内所有向量的一个基底，则当a与e1共线时，λ2＝0；当a与e2共线时，λ1＝0；当a＝0时，λ1＝λ2＝0.
(4)由于零向量与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为基底中的向量．
共 学 案
【学习目标】
(1)理解平面向量基本定理的内容，理解向量一组基底的含义．
(2)在平面内，选定一组向量基底，会用这组基底表示其他向量．
(3)会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题．
题型 1 平面向量基本定理
【问题探究】 如图，设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，a是这一平面内与e1，e2都不共线的向量，在平面内任取一点O，作＝e1，＝e2，＝a.
(1)将a按e1，e2的方向分解，你有什么发现？
(2)如果向量a是这一平面内与e1，e2中的某一个向量共线的非零向量，你能用e1，e2表示出a吗？
(3)当a是零向量时，a还能用a＝λ1e1＋λ2e2表示吗？
(4)平面内任何一个向量a都可以表示成λ1e1＋λ2e2的形式，这种表示形式是唯一的吗？
提示：(1)如图，a＝＝＝λ1e1＋λ2e2.
(2)能，当向量a与e1共线时，a＝λ1e1＋0e2；当向量a与e2共线时，a＝0e1＋λ2e2.
(3)能，a＝0e1＋0e2.
(4)假设a＝μ1e1＋μ2e2，则λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，即(λ1－μ1)e1＋(λ2－μ2)e2＝0，所以λ1－μ1＝0，且λ2－μ2＝0，即λ1＝μ1，且λ2＝μ2所以λ1，λ2唯一．
例1 (多选)已知向量a、b不共线，则下列各组向量中，能作平面向量的一组基底的有( )
A．{a＋b，2a＋b} B．{2a－b，－2a＋b}
C．{3a，a＋2b} D．{a－b，3a－2b}
答案：ACD
解析：因为向量a、b不共线，对于A选项，设a＋b、2a＋b共线，可设2a＋b＝λ(a＋b)，可得出无解，所以，a＋b、2a＋b不共线，A中的向量能作基底，同理可知C、D选项中的向量也可作平面向量的基底；对于B选项，因为2a－b＝－(－2a＋b)，所以(2a－b)∥(－2a＋b)，所以{2a－b，－2a＋b}不能作平面向量的基底．故选ACD.
学霸笔记
(1)两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底．
(2)一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这组基底唯一线性表示出来．
跟踪训练1 如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，其中可作为基底的一组向量是( )
A． B．
C． D．
答案：B
解析：由基底的概念可知，作为基底的一组向量不能共线．由题图可知，与共线，与共线，与共线，均不能作为基底向量，与不共线，可作为基底向量．
题型 2 用基底表示向量
例2 如图所示，已知 ABCD中，E、F分别是BC、DC边的中点，若＝a，＝b，试以a、b为基底表示、.
解析：∵四边形ABCD是平行四边形，E、F分别是BC、DC边的中点，
∴＝＝2＝＝2，
∴＝＝b，＝＝－＝－a.
∴＝＝－＝－b＋a＋b＝a－b，
＝＝＝b－a.
一题多变 在本例中，若取＝x，＝y作为基底，试用x，y表示.
解析：依题意x＝a＋b，y＝a－b，
∴x＋y＝2a，x－y＝2b，
∴a＝(x＋y)，b＝(x－y)，于是＝a－b＝(x＋y)－(x－y)＝x＋y，
＝b－a＝(x－y)－(x＋y)＝x－y.
题后师说
用基底表示向量的两种基本方法
跟踪训练2 在△ABC中，＝c，＝b，若点D满足2＝，以为基底，则＝( )
A．b＋c B．c－b
C．b－c D．b＋c
答案：D
解析：因为2＝＝c，＝b，
所以＝＝)＝b－c，
所以＝＝c＋b－c＝b＋c.故选D.
题型 3 平面向量基本定理的应用
例3 在平行四边形ABCD中，点E和点B关于点D对称，＝3.
(1)用表示；
(2)若G为线段EF上一点，且＝x＋y，求5x＋7y.
解析：(1)由题意，可得＝＝＋2＝＋2()＝－＋2，
＝＝)＝.
(2)设＝λ，λ∈[0，1]，
则＝＝＋λ＝＋λ()
＝(1－λ)＋λ
＝(1－λ)(－＋2)＋λ()
＝(λ－1)＋(2－λ)，
因为＝x＋y，所以
所以5x＋7y＝9.
学霸笔记
解题时要注意适当选择向量所在的三角形或平行四边形，利用已知的向量表示未知的向量，或找到已知的向量与未知的向量的关系，用方程的观点求出未知量．
跟踪训练3 △ABC中，D是BC边靠近B的四等分点，＝λ＋μ，则λ＋μ＝________．
1
解析：因为D是BC边靠近B的四等分点，所以＝，
所以＝＝＝)＝，
所以所以λ＋μ＝1.
随堂练习
1．设e1、e2是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是( )
A．e1与e1－e2
B．e1＋e2与e1－3e2
C．e1－2e2与－3e1＋6e2
D．2e1＋3e2与e1－2e2
答案：C
解析：∵－3e1＋6e2＝－3(e1－2e2)，∴e1－2e2与－3e1＋6e2共线，故不能作为基底．故选C.
2．已知AD是△ABC的中线，＝a，＝b，以a，b为基底表示，则＝( )
A．(a－b) B．2b－a
C．(b－a) D．2b＋a
答案：B
解析：因为AD是△ABC的中线，则D为线段BC的中点，从而＝)，则＝2＝2b－a.故选B.
3．已知非零向量不共线，且2＝x＋y，若＝λ(λ∈R)，则x，y满足的关系是( )
A．x＋y－2＝0 B．2x＋y－1＝0
C．x＋2y－2＝0 D．2x＋y－2＝0
答案：A
解析：由＝λ，得＝λ()，即＝(1＋λ)－λ.又2＝x＋y，所以消去λ得x＋y＝2.故选A.
4.如图，在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________．
解析：设＝a，＝b，则＝a＋b，＝a＋b，又∵＝a＋b，∴＝)，即λ＝μ＝，∴λ＋μ＝.
课堂小结
1.对基底和平面向量基本定理的理解．
2．会用基底表示向量．
3．能用平面向量基本定理解决平面向量的综合问题．(共32张PPT)
6.3.2～6.3.3 平面向量的正交分解及坐标表示
平面向量加、减运算的坐标表示
预 学 案
共 学 案
预 学 案
一、平面向量的正交分解及坐标表示
1．向量的正交分解
把一个向量分解为两个________的向量，叫做把向量作正交分解．
2．向量的坐标表示
在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个________分别为i，j，取{i，j}作为基底，对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，我们把有序实数对________叫做向量a的坐标，记作a＝________，此式叫做向量a的坐标表示，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标．
互相垂直
单位向量
(x，y)
(x，y)
3．向量与坐标的关系
设＝xi＋yj，则向量的坐标________就是终点A的坐标；反过来，终点A的________(x，y)就是向量的坐标．
因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示，即以原点为起点的向量与实数对是________的．
(x，y)
坐标
一一对应
【即时练习】
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同．( )
(2)向量的坐标就是向量终点的坐标．( )
(3)在平面直角坐标系中，两个相等向量的坐标相同．( )
(4)点的坐标与向量的坐标相同．( )
×
×
√
×
2．平面直角坐标系中，的坐标( )
A．与点B的坐标相同
B．与点B的坐标不相同
C．当A与原点O重合时，与点B的坐标相同
D．当B与原点O重合时，与点A的坐标相同
答案：C
解析：A：仅当A点与原点重合时，向量与点B的坐标相同，错误；
B：只有当A点不与原点重合时，向量与点B的坐标不相同，错误；
C：如A中描述，正确；
D：当B与原点O重合时，的坐标值与A的对应坐标值互为相反数，错误．故选C.
二、平面向量加、减运算的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量＝(x2－x1，y2－y1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．
数学公式 文字语言表述
向量加法 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和
向量减法 a－b＝(x1－x2，y1－y2) 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差
【即时练习】
1．在平面直角坐标系中，若点A(0，1)，B(－1，2)，则的坐标为( )
A．(－1，1) B．(1，1) C．(－1，2) D．(－1，3)
答案：A
解析：由题意，＝(－1－0，2－1)＝(－1，1).故选A.
2．已知向量a＝(0，3)，b＝(4，1)，则a＋b的坐标是________．
(4，4)
解析：a＋b＝(0，3)＋(4，1)＝(4，4).
微点拨
(1)平面向量的正交分解实质上是平面向量基本定理的一种应用形式，只是两个基向量e1和e2互相垂直．
(2)由向量坐标的定义，知两向量相等的充要条件是它们的横、纵坐标对应相等，即a＝b x1＝x2且y1＝y2，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
(3)向量的坐标只与向量的起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关．
(4)当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变．
共 学 案
【学习目标】
(1)借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示．
(2)掌握平面向量加减法运算的坐标表示．
题型 1 平面向量的正交分解及坐标表示
【问题探究1】 卫星运载火箭每一时刻的速度都有确定的大小和方向，为了便于分析，需要将整个飞行过程中的速度分解为水平和竖直两个方向的速度．
(1)如何将整个飞行过程中的速度分解为水平和竖直两个方向的速度呢？
(2)我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数对(即它的坐标)表示，那么如何表示坐标平面内的一个向量呢？
提示：(1)将飞行速度分别向坐标轴投影，在xOy平面上分解为x，y轴上的向量即可．
(2)在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj.
例1 如图，取与x轴、y轴同向的两个单位向量i，j，{i，j}作为基底，分别用i，j表示，并求出它们的坐标．
解析：由题图可知，＝6i＋2j，＝2i＋4j，＝－4i＋2j，它们的坐标表示为＝(6，2)，＝(2，4)，＝(－4，2)．
学霸笔记：
求点、向量坐标的常用方法
(1)求一个点的坐标：可利用已知条件，先求出该点相对应坐标原点的位置向量的坐标，该坐标就等于相应点的坐标．
(2)求一个向量的坐标：首先求出这个向量的始点、终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标即得该向量的坐标．
跟踪训练1 如图，分别取与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量{i，j}作为基底，若|a|＝，θ＝45°，则向量a的坐标为( )
A．(1，1) B．(－1，－1)
C．() D．(－，－)
答案：A
解析：由题意可得，a＝(cos 45°)i＋(sin 45°)j＝()i＋()j＝i＋j＝(1，1)．故选A.
题型 2 平面向量加、减运算的坐标表示
【问题探究2】 设i，j分别是与x轴、y轴同向的两个单位向量，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j.
(1)根据向量的线性运算性质，分别用基底i，j表示向量a＋b，a－b.
(2)向量的加、减运算，可以类比数的运算进行吗？
提示：(1)a＋b＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，a－b＝(x1－x2)i＋(y1－y2)j.
(2)向量加、减的坐标运算可以完全类比数的运算进行．
例2 在 ABCD中，AC为一条对角线，若＝(2，4)，＝(1，3)，求的坐标．
解析：∵＝，
∴＝＝(－1，－1)，
∴＝＝(－3，－5)．
题后师说
平面向量坐标运算的策略
跟踪训练2 已知点A(0，1)，B(3，2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝( )
A．(－7，－4) B．(7，4)
C．(－1，4) D．(1，4)
答案：A
解析：方法一 设C(x，y)，则＝(x，y－1)＝(－4，－3)，所以从而＝(－4，－2)－(3，2)＝(－7，－4)．故选A.
方法二 ＝(3，2)－(0，1)＝(3，1)，
＝＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)．故选A.
题型 3 平面向量加、减坐标运算的应用
例3 已知点A(λ，3)，B(5，2λ)(λ∈R)，C(4，5)．若＝，试求λ为何值时，
(1)点P在第一、三象限角平分线上；
(2)点P在第一象限内．
解析：(1)设点P的坐标为(x，y)，
则＝(x，y)－(λ，3)＝(x－λ，y－3)，
又∵＝(5，2λ)－(λ，3)＝(5－λ，2λ－3)，
＝(4，5)－(λ，3)＝(4－λ，2)，
∴＝＝(5－λ，2λ－3)＋(4－λ，2)＝(9－2λ，2λ－1)，
∴则
若P在第一、三象限角平分线上，
则9－λ＝2λ＋2，∴λ＝.
(2)由(1)知，
若P在第一象限内，则
∴－1<λ<9.
∴λ＝时，点P在第一、三象限角平分线上；
－1<λ<9时，点P在第一象限内．
学霸笔记
(1)由向量的坐标定义知，两向量相等的充要条件是它们的坐标相等，即若＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，＝ x1＝x2，且y1＝y2.
(2)利用向量的坐标运算解题，主要是根据相等的向量坐标相同这一原则，通过列方程(组)进行求解；也可以利用基向量法，主要借助向量加、减运算的三角形、平行四边形法则．
跟踪训练3 如图，平面上A，B，C三点的坐标分别为(2，1)，(－3，2)，(－1，3)．
(1)写出向量的坐标；
(2)如果四边形ABCD是平行四边形，求D的坐标．
解析：(1)＝(－3，2)－(2，1)＝(－5，1)，＝(－1，3)－(2，1)＝(－3，2)，＝(－1，3)－(－3，2)＝(2，1)，
(2)设D(x，y)，由＝＝(2，1)，可得x－2＝2，y－1＝1，所以x＝4，y＝2，故D(4，2)．
随堂练习
1．已知向量a＝(2，1)，b＝(0，1)，则a－b＝( )
A．(2，0) B．(0，1)
C．(2，1) D．(4，1)
答案：A
解析：因为a＝(2，1)，b＝(0，1)，所以a－b＝(2，0)，故选A.
2．如果用i，j分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且A(2，3)，B(4，2)，则可以表示为( )
A．2i＋3j B．4i＋2j
C．2i－j D．－2i＋j
答案：C
解析：因为A(2，3)，B(4，2)，所以＝(2，－1)，所以＝2i－j.故选C.
3．已知四边形ABCD的三个顶点A(0，2)，B(－1，－2)，C(3，1)，且＝，则顶点D的坐标为( )
A．(2，) B．(2，－)
C．(4，5) D．(1，3)
答案：C
解析：设点D(m，n)，则由题意得(4，3)＝(m，n－2)，解得即点D(4，5)．故选C.
4．已知点A(－1，4)，B(2，6)，C(3，0)，则满足＝0的G的坐标为________．
()
解析：设G的坐标为(x，y)，且A(－1，4)，B(2，6)，C(3，0)，
因为＝0，
可得(－1－x，4－y)＋(2－x，6－y)＋(3－x，－y)＝(0，0)，
可得x＝＝，y＝＝，
所以G的坐标为()．
课堂小结
1.平面向量的正交分解及坐标表示．
2．平面向量加、减运算的坐标表示．
3．平面向量坐标运算的应用．(共34张PPT)
6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示
预 学 案
共 学 案
预 学 案
一、平面向量数乘运算的坐标表示
符号表示 若a＝(x，y)，则λa＝________
文字表示 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的________
(λx，λy)
相应坐标
【即时练习】
已知向量a＝(2，4)，b＝(－1，1)，则2a－b＝( )
A．(5，7) B．(5，9)
C．(3，7) D．(3，9)
答案：A
解析：2a－b＝2(2，4)－(－1，1)
＝(4，8)－(－1，1)
＝(5，7).故选A.
二、平面向量共线的坐标表示
向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)共线的充要条件是______________．
x1y2－x2y1＝0
【即时练习】 下列向量与a＝(1，3)共线的是( )
A．(1，2) B．(－1，3)
C．(1，－3) D．(2，6)
答案：D
解析：A，1×2－3×1≠0，则不符合题意；
B，1×3－3×(－1)≠0，则不符合题意；
C，1×(－3)－3×1≠0，则不符合题意；
D，1×6－3×2＝0，则向量(1，3)与向量(2，6)共线．
微点拨
两个向量共线条件的三种表示方法
已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
(1)当b≠0时，a＝λb.
(2)x1y2－x2y1＝0.
(3)当x2y2≠0时，＝，即两向量的相应坐标成比例．
三、中点坐标公式
若P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点P的坐标为(x，y)，则此公式为线段P1P2的中点坐标公式．
【即时练习】 已知P(2，6)，Q(－4，0)，则PQ的中点坐标为________．
(－1，3)
解析：由中点坐标公式得x＝＝－1，y＝＝3，故PQ的中点坐标为(－1，3).
共 学 案
【学习目标】
(1)掌握平面向量数乘运算的坐标表示．
(2)理解用坐标表示的平面向量共线的条件．
(3)能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线．
题型 1 平面向量数乘运算的坐标表示
【问题探究1】 我们知道3a＝a＋a＋a以及向量加、减的坐标运算．
根据上面的提示，若已知向量a＝(x，y)，你能得出2a，3a的坐标吗？
提示：2a＝a＋a＝(x，y)＋(x，y)＝(2x，2y)；
3a＝2a＋a＝(2x，2y)＋(x，y)＝(3x，3y)．
例1 已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b.
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n.
解析：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)．
(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)＝a，
∴解得
∴实数m的值为－1，n的值为－1.
题后师说
平面向量数乘坐标运算的策略
跟踪训练1 (1)已知向量a＝(1，2)，2a＋b＝(3，2)，则b＝( )
A．(1，－2) B．(1，2)
C．(5，6) D．(2，0)
答案：A
解析：(1)b＝2a＋b－2a＝(3，2)－(2，4)＝(1，－2)．故选A.
(2)已知向量＝(2，4)，＝(0，2)，则＝( )
A．(－2，－2) B．(2，2)
C．(1，1) D．(－1，－1)
答案：D
解析：＝)＝(－2，－2)＝(－1，－1)．故选D.
题型 2 平面向量共线的坐标表示
【问题探究2】 如果向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，根据共线向量定理，a与b共线时，存在唯一实数λ，使a＝λb，那么根据向量数乘运算的坐标表示，你能发现a与b的坐标之间的关系吗？
提示：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a与b共线，则x1y2＝x2y1.
例2 (1)(多选)下列各组向量中，可以作为基底的是( )
A．e1＝(0，0)，e2＝(1，－2)
B．e1＝(0，2)，e2＝(，0)
C．e1＝(3，5)，e2＝(5，3)
D．e1＝(1，3)，e2＝(－2，－6)
答案：BC
解析：∵0×(－2)＝0×1，∴e1与e2共线，∴A错误；
∵0×0≠2×，∴e1与e2不共线，∴B正确；
∵3×3≠5×5，∴e1与e2不共线，∴C正确；
∵1×(－6)＝3×(－2)，∴e1与e2共线，∴D错误．故选BC.
(2)已知向量a＝(2，1)，b＝(3，2)，当k为何值时，ka－b与a＋2b共线．
解析：ka－b＝(2k－3，k－2)，a＋2b＝(8，5)，
由于ka－b与a＋2b共线，
所以(2k－3)×5＝(k－2)×8，则k＝－.
一题多变 本例(2)中条件不变，若＝2a＋3b，＝a＋mb且A、B、C三点共线，求实数m的值．
解析：＝2a＋3b＝(13，8)，＝a＋mb＝(2＋3m，1＋2m)，
由于A，B，C三点共线，所以∥，
即13×(1＋2m)－8×(2＋3m)＝0，解得m＝.
题后师说
利用向量共线的坐标表示求参数的策略
跟踪训练2 (1)已知a＝(－6，2)，b＝(m，－3)，且a∥b，则m＝( )
A．－9 B．9
C．3 D．－3
答案：B
解析：因为a＝(－6，2)，b＝(m，－3)，若a∥b，则－6×(－3)－2m＝0，解得m＝9.故选B.
(2)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，向量＝(1，1)，＝(2，－3)，＝(－6，29)，试判断A，B，C三点是否共线，写出理由．
解析：因为＝＝(2，－3)－(1，1)＝(1，－4)，
＝＝(－6，29)－(1，1)＝(－7，28)，
所以1×28－(－4)×(－7)＝0，所以∥.
又直线AB和AC有公共点A，故A，B，C三点共线．
题型 3 共线向量与线段分点坐标的计算
【问题探究3】 结合课本6.3.4例9，如图所示，设P(x，y)是线段P1P2上不同于P1，P2的点，且满足＝，如何求点P的坐标？当λ＝1时，点P的坐标是什么？
提示：P()(λ≠－1)，P()．
例3 如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)C(x3，y3)，D是边AB的中点，G是CD上的一点，且＝2，求点G的坐标．
解析：∵D是AB的中点，
∴点D的坐标为()，
∵＝2，∴＝2，
设G点坐标为(x，y)，由定比分点坐标公式可得
x＝＝，
y＝＝，
即点G的坐标为()．
学霸笔记
(1)解决向量中的分点问题，关键是找出分得的两向量的关系，再根据向量相等建立坐标之间的相等关系，把向量问题实数化，但要注意分点的位置情况．
(2)本例求得的G点的坐标即是△ABC重心的坐标．
跟踪训练3 已知点P1(1，3)，P2(4，－6)，P是直线P1P2上的一点，且＝，那么点P的坐标为________．
(3，－3)
解析：设点P的坐标为P(x，y)，
∵P1(1，3)，P2(4，－6)，
∴＝＝(4－x，－6－y)，∵＝，
∴
解得
∴点P的坐标为P(3，－3)．
随堂练习
1．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，若表示向量4a，3b－2a，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c＝( )
A．(1，－1) B．(－1，1)
C．(－4，6) D．(4，－6)
答案：D
解析：因为4a，3b－2a，c对应有向线段首尾相接，所以4a＋3b－2a＋c＝0，故有c＝－2a－3b＝－2(1，－3)－3(－2，4)＝(4，－6)．故选D.
2．已知向量a＝(－1，2)，b＝(2，－4)，则a与b( )
A．平行且同向 B．平行且反向
C．垂直 D．不垂直也不平行
答案：B
解析：根据题意可知，b＝－2a，即a，b平行且反向．故选B.
3．已知A(－3，1)，B(x，－1)，C(2，3)三点共线，则x的值为( )
A．－7 B．－8 C．－9 D．－10
答案：B
解析：因为A(－3，1)，B(x，－1)，C(2，3)，所以＝(5，2)，＝(x－2，－4)，因为A(－3，1)，B(x，－1)，C(2，3)三点共线，所以∥，即2(x－2)＝－4×5，解得x＝－8.故选B.
4．若＝(3，－6)，B(－2，3)，则线段AB的靠近B的三等分点P的坐标为________．
(－3，5)
解析：令P(x，y)，则＝(－2－x，3－y)，而＝3，所以(3，－6)＝3·(－2－x，3－y)，即可得所以P(－3，5)．
课堂小结
1.平面向量数乘运算的坐标表示．
2．利用共线向量定理的坐标表示向量共线及点共线问题．
3．有向线段的定比分点坐标公式的推导及中点坐标公式．(共29张PPT)
6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
预 学 案
共 学 案
预 学 案
平面向量数量积的坐标表示
1．平面向量数量积的坐标表示：
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
2.向量模的公式：设a＝(x1，y1)，则|a|＝________．
3．两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝______________________．
4．向量的夹角公式：设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b夹角为θ，则cos θ＝__________________．
数量积 a·b＝____________
向量垂直 a⊥b ____________
x1x2＋y1y2
x1x2＋y1y2＝0
【即时练习】
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)向量的模等于向量坐标的平方和．( )
(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b x1x2－y1y2＝0.( )
(3)若两个非零向量的夹角θ满足cos θ<0，则两向量的夹角θ一定是钝角．( )
×
×
×
2．已知a＝(－3，4)，b＝(5，2)，则a·b的值是( )
A．23 B．7
C．－23 D．－7
答案：D
解析：由数量积的计算公式得a·b＝(－3，4)·(5，2)＝－3×5＋4×2＝－7.故选D.
3．已知a＝(－2，1)，b＝(x，－2)，且a⊥b，则x＝________．
－1
解析：由题意，a·b＝(－2，1)·(x，－2)＝－2x－2＝0，解得x＝－1.
微点拨
(1)公式a·b＝|a||b|cos θ与a·b＝x1x2＋y1y2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导．
(2)已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b与a⊥b的坐标表示如下：
a∥b x1y2＝x2y1，即x1y2－x2y1＝0；
a⊥b x1x2＝－y1y2，即x1x2＋y1y2＝0.
两个结论不能混淆，可以对比学习，分别简记为：纵横交错积相等，横横纵纵积相反．
(3)与向量a同向的单位向量的坐标表示：
因为与向量a同向的单位向量a0＝，若a＝(x，y)则|a|＝，所以a0＝＝(x，y)＝()，此式为与向量a＝(x，y)同向的单位向量的坐标表示．
共 学 案
【学习目标】
(1)会用坐标表示平面向量的数量积．
(2)能够用向量坐标求数量积、模及两个向量的夹角．
(3)能够利用坐标判断向量的垂直关系．
题型 1 平面向量数量积的坐标表示
【问题探究1】 在平面直角坐标系中，设i，j分别是与x轴和y轴方向相同的两个单位向量，你能计算出i·i，j·j，i·j的值吗？若设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，你能给出a·b的值吗？
提示：i·i＝1，j·j＝1，i·j＝0.
∵a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，
∴a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2i2＋x1y2i·j＋x2y1j·i＋y1y2j2.
又∵i·i＝1，j·j＝1，i·j＝j·i＝0，
∴a·b＝x1x2＋y1y2.
例1 已知向量a＝(1，3)，b＝(2，5)，c＝(2，1)，求：
(1)2a·(b－a)；
(2)(a＋2b)·c.
解析：(1)∵2a＝2(1，3)＝(2，6)，
b－a＝(2，5)－(1，3)＝(1，2)，
∴2a·(b－a)＝(2，6)·(1，2)＝2×1＋6×2＝14；
(2)∵a＋2b＝(1，3)＋2(2，5)＝(1，3)＋(4，10)＝(5，13)，
∴(a＋2b)·c＝(5，13)·(2，1)＝5×2＋13×1＝23.
题后师说
平面向量数量积的坐标运算的策略
跟踪训练1 (1)已知点P(2，0)，Q(1，1)，向量＝(λ，2)，若·＝0，则实数λ的值为( )
A． B．－
C．2 D．1
答案：C
解析：由P(2，0)，Q(1，1)，可得＝(－1，1)，又＝(λ，2)，所以·＝－λ＋2＝0，所以λ＝2.故选C.
(2)已知向量a＝(1，2)，b＝(－1，2)，则a在b方向上的投影向量坐标是________．
(－)
解析：因为a＝(1，2)，b＝(－1，2)，所以向量a在b方向的投影向量为·＝·(－)＝(－)．
题型 2 平面向量的模
【问题探究2】 若向量a＝(x，y)，怎样用a的坐标表示|a|？若表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，又如何用坐标表示|a|
提示：|a|＝；|a|＝.
例2 已知向量a＝(m，1)，b＝(3，m)，若a与b方向相反，则|a－b|＝( )
A．54 B．8
C．3 D．4
答案：B
解析：向量a＝(m，1)，b＝(3，m)，a与b方向相反，则解得m＝－，即a＝(－，1)，b＝(3，－)，则a－b＝(－，1)－(3，－)＝(－4，4)，所以|a－b|＝＝8.故选B.
学霸笔记
求模问题一般转化为求模的平方，即求2＝||2＝x2＋y2，求模时，勿忘记开方．
跟踪训练2 已知向量a，b满足a＝(－1，2)，b＝(x，1)，|a＋b|＝3，则实数x＝________．
答案：1
解析：已知向量a，b满足a＝(－1，2)，b＝(x，1)，所以a＋b＝(－1＋x，3)，则|a＋b|＝|(－1＋x，3)|＝＝3，解得x＝1.
题型 3 平面向量的夹角与垂直
【问题探究3】 (1)若非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)的夹角为θ，则如何用a、b的坐标表示cos θ？
(2)若非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)相互垂直，则它们的坐标满足怎样的等量关系？反过来也成立吗？
提示：(1)cos θ＝.
(2)x1x2＋y1y2＝0，反过来也成立．
例3 已知a＝(1，2)，b＝(1，－1)．
(1)若2a＋b与ka－b垂直，求k的值；
(2)若θ为2a＋b与a－b的夹角，求θ的值．
解析：(1)因为a＝(1，2)，b＝(1，－1)，
则2a＋b＝(3，3)，ka－b＝(k－1，2k＋1)，
依题意，(2a＋b)·(ka－b)＝3(k－1)＋3(2k＋1)＝9k＝0，
解得k＝0，所以k＝0.
(2)由(1)知，2a＋b＝(3，3)，a－b＝(0，3)，
则|2a＋b|＝＝3，|a－b|＝3，
因此cos θ＝＝＝，
而θ∈[0，π]，所以θ＝.
学霸笔记：
解决向量夹角问题的方法及注意事项
(1)求解方法：先利用平面向量的坐标表示出这两个向量的数量积·及||||，再由cos θ＝＝，直接求出cos θ.
(2)注意事项：利用三角函数值cos θ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.利用cos θ＝判断θ的值时，要注意cos θ<0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；cos θ>0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°.
跟踪训练3 (1)已知向量a＝(2，m)，b＝(4，－1)，且(a－b)⊥(a＋b)，则实数m＝( )
A．2 B．
C．± D．±
答案：D
解析：依题意，a＋b＝(6，m－1)，a－b＝(－2，m＋1)，由(a－b)⊥(a＋b)，得(a－b)·(a＋b)＝－12＋m2－1＝0，解得m＝±，所以实数m＝±.故选D.
(2)已知向量a＝(6，8)，|b|＝5且b＝(3，m)，若a和b的夹角为钝角，则b＝________．
答案：(3，－4)
解析：已知向量a＝(6，8)，|b|＝5且b＝(3，m)，若a和b的夹角为钝角，
则，解得m＝－4，故b＝(3，－4)．
随堂练习
1．若向量a＝(x，2)，b＝(－1，3)，a·b＝3，则x＝( )
A．3 B．－3 C． D．－
答案：A
解析：a·b＝－x＋6＝3，故x＝3.故选A.
2．已知向量a＝(－1，2)，b＝(2，m)，若a⊥b，则m＝( )
A．－1 B．1 C．－ D．
答案：B
解析：因为a⊥b，所以(－1)×2＋2m＝0，解得m＝1.故选B.
3．设平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|3a＋b|＝( )
A． B． C． D．
答案：A
解析：由题意，∵a＝(1，2)，b＝(－2，y)，a∥b，∴1×y－2×(－2)＝0，解得y＝－4，∴b＝(－2，－4)，∴|3a＋b|＝|(3，6)＋(－2，－4)|＝|(1，2)|＝＝，故选A.
4．若向量a＝(1，2)与b＝(t－1，t)的夹角为锐角，则t的取值范围为________________．
(，4)
解析：根据题意，向量a＝(1，2)与b＝(t－1，t)的夹角为锐角，则a·b>0且a、b不共线，解可得t>且t≠4，则t的取值范围为(，4)
课堂小结
1.平面向量数量积的坐标表示．
2．能够用两个向量的坐标来解决平面向量的模、夹角、垂直有关的问题．
