(共35张PPT)
6.2.1 向量的加法运算
预 学 案
共 学 案
预 学 案
一、向量加法的定义及其运算法则
1．定义：求____________的运算，叫做向量的加法．
对于零向量与任一向量a，规定0＋a＝a＋0＝a.
两个向量和
2．向量求和的法则
向量加法 的三角形 法则 前提 已知非零向量a，b，在平面内任取一点A
作法
结论
图形
a＋b
向量加法 的平行四 边形法则 前提 已知两个同一起点的向量a，b，在平面内任取一点O
作法
结论
图形
a＋b
【即时练习】
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)两个向量的和可能是数量．( )
(2)两个向量相加就是它们的模相加．( )
(3)＝( )
(4)向量加法的平行四边形法则适合任意两个向量．( )
×
×
√
×
2．如图，在平行四边形ABCD中，＝( )
A． B． C． D．
答案：B
解析：由题意得，＝.故选B.
二、|a＋b|与|a|，|b|之间的关系
1．对于任意向量a，b，都有________≤|a＋b|≤________；
2．当a，b共线，且同向时，有|a＋b|＝________；
3．当a，b共线，且反向时，有|a＋b|＝________或________．
三、向量加法的运算律
1．(加法交换律)a＋b＝________；
2．(加法结合律)(a＋b)＋c＝________．
||a|－|b||
|a|＋|b|
|a|＋|b|
|b|－|a|
|a|－|b|
b＋a
a＋(b＋c)
【即时练习】 化简：＝__________．
解析：＝＝＝.
微点拨
(1)在使用向量加法的三角形法则时，要注意“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合，则以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量即两向量的和．
(2)向量加法的平行四边形法则的应用前提是“共起点”，即两个向量是从同一点出发的不共线向量．
微点拨
根据向量加法的三角形法则以及“三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，可以得出上述结论．
微点拨
(1)当两个向量共线时，向量加法的交换律和结合律也成立．
(2)多个向量的加法运算可按照任意的次序与任意的组合进行，如(a＋b)＋(c＋d)＝(b＋d)＋(a＋c)；a＋b＋c＋d＋e＝[d＋(a＋c)]＋(b＋e)．
共 学 案
【学习目标】
(1)通过实例理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几何意义．
(2)掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算．
(3)了解向量加法的交换律与结合律，并会用它们进行向量运算．
题型 1 向量加法的运算
【问题探究1】 (1)位移、力是向量，它们可以合成．我们能否从位移的合成、力的合成中得到启发引进向量的加法呢？
如图，某质点从点A经过点B到点C，质点的位移如何表示？
提示：这个质点两次位移的结果，与从点A直接到点C的位移的结果相同，因此位移可以看成是位移与合成的，即 可以算作与的和．
(2)对于矢量的合成，物理学中还有其他方法吗？例如力的合成．
如图，在光滑的平面上，一个物体同时受到两个外力F1与F2的作用，你能作出这个物体所受的合力F吗？由此你能给出向量加法的另一个法则吗？
(3)向量加法的平行四边形法则与三角形法则一致吗？为什么？
提示：F＝F1＋F2.
(3)①求两个不共线的向量的和，既可以用三角形法则，也可以用平行四边形法则．
②应用平行四边形法则时需两个向量起点相同，应用三角形法则时需两个向量首尾相接．
例1 如图，已知向量a、b、c，求作和向量a＋b＋c.
解析：三个向量不共线，用平行四边形法则来作．如图．
(1)在平面内任取一点O，作＝a，＝b；
(2)作平行四边形AOBC，则＝a＋b；
(3)再作向量＝c；
(4)作平行四边形CODE，则＝＋c＝a＋b＋c，即即为所求．
题后师说
利用加法法则求和向量的策略
跟踪训练1 如图，已知下列各组向量a，b，求作a＋b.
解析：(1)将b的起点移至a的终点，即可得a＋b，如图：
(2)将b的起点移至a的终点，即可得a＋b，如图：
(3)以a，b为顶点作平行四边形，应用平行四边形法则可得a＋b，如图：
(4)将a的起点移至b的终点，应用三角形法则可得a＋b，如图：
题型 2 向量加法的运算律
【问题探究2】 数的加法满足交换律、结合律，向量的加法是否也满足交换律与结合律呢？请结合图(1)，图(2)验证你的想法．
提示：满足．
图(1)a＋b＝b＋a.
图(2)(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
例2 化简：
(1)；
(2)；
(3).
解析：(1)＝＝；
(2)＝＝＝；
(3)＝＝0.
学霸笔记
运用向量加法的交换律和结合律，将向量转化为“首尾相接”，向量的和即为第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量，加快解题速度．
跟踪训练2 化简下列各式：
(1)；
(2).
解析：(1)＝()＋＝＋＝.
(2)
＝＋()
＝
＝()＋
＝＝0.
题型 3 向量加法的实际应用
例3 如图所示，在某地抗震救灾中，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800 km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．
解析：设分别表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km，从B地按南偏东55°的方向飞行800 km，则飞机飞行的路程指的是||＋||；
两次飞行的位移的和是＝.
依题意，有||＋||＝800＋800＝1 600(km)．
又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°
所以||＝ ＝＝800 (km)．
其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°，从而飞机飞行的路程是1 600 km，两次飞行的位移和的大小为800 km，方向为北偏东80°.
题后师说
利用向量的加法解决实际应用题的一般步骤
跟踪训练3 在静水中船的速度为20 m/min，水流的速度为10 m/min，若船沿垂直水流的方向航行，则船实际行进的方向与岸方向的夹角的正切值为________．
2
解析：如图，作平行四边形ABDC，则＝v实际，设船实际航向与岸方向的夹角为α，则tan α＝＝＝2.
即船实际行进的方向与岸方向的夹角的正切值为2.
随堂练习
1．化简＝( )
A．0 B． C．0 D．
答案：B
解析：＝.故选B.
2．正方形ABCD的边长为1，则||为( )
A．1 B． C．3 D．2
答案：B
解析：在正方形ABCD中，如图所示，
根据向量加法的平行四边形法则，＝，
又因为正方形ABCD的边长为1，
所以||＝||＝＝，故选B.
3．已知||＝10，||＝7，则||的取值范围是( )
A．[3，17] B．(3，17) C．(3，10) D．[3，10]
答案：A
解析：∵||－||≤||≤||＋||，∴3≤||≤17，等号成立当且仅当与共线时，故选A.
4．若向量a表示向东走1千米，b表示向南走1千米，则向量a＋b表示____________________．
沿东南方向走 千米
解析：若向量a表示向东走1千米，b表示向南走1千米，则向量a＋b表示的方向为东南方向，大小为的向量，即a＋b表示沿东南方向走 千米．
课堂小结
1.三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法．
2．向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多边形法则．
3．会用向量加法运算律进行向量运算．(共31张PPT)
6.2.2 向量的减法运算
预 学 案
共 学 案
预 学 案
一、相反向量
定义 如果两个向量长度________，而方向________那么称这两个向量是相反向量
性质 对于相反向量有：a＋(－a)＝________
若a、b互为相反向量，则a＝________，a＋b＝________
零向量的相反向量仍是零向量
推论 －(－a)＝a，a＋(－a)＝(－a)＋a＝0；
如果a与b互为相反向量，那么a＝－b，b＝－a，a＋b＝0
相等
相反
0
－b
0
【即时练习】
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若b是a的相反向量，则a与b一定不相等．( )
(2)若b是a的相反向量，则a∥b.( )
(3)向量的相反向量是，且＝－.( )
×
√
√
2．在平行四边形ABCD中，向量的相反向量为________．
二、向量的减法
定义 a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的________
作法
几何意义
相反向量
终点
终点
【即时练习】
1．在△ABC中，D是BC边上的一点，则＝( )
A． B．
C． D．
答案：C
解析：＝.故选C.
2．设a与b是两个相等向量，则a－b＝________．
答案：0
解析：因为a与b是两个相等向量，
所以a－b＝0.
微点拨
相反向量仍具备两个要素：方向和长度．互为相反向量的两个向量一定是共线向量，任一向量与它的相反向量的和是零向量．
微点拨
(1)向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义．－＝，就可以把减法化为加法．在用三角形法则作向量减法时，只要记住“连接两向量终点，箭头指向被减数”即可．
(2)以向量＝a，＝b为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线的向量为＝a＋b，＝b－a，＝a－b，这一结论在以后应用还是非常广泛的，应该理解并会应用．
(3)在平行四边形ABCD中，＝＝，即两条对角线所在向量可以用从一个顶点出发的两边所在向量表示．
共 学 案
【学习目标】
(1)借助实例和平面向量的几何表示，理解相反向量的含义，向量减法的意义．
(2)掌握向量减法的运算及其几何意义．
(3)能熟练地进行向量的加、减综合运算．
题型 1 向量的减法及其几何意义
【问题探究】 (1)在数的运算中，减法是加法的逆运算，其运算法则是“减去一个数等于加上这个数的相反数”．类比数的减法，向量的减法和加法有什么关系？如何定义向量的减法法则？
(2)已知向量a，b，则a－b的几何意义是什么？
提示：
(1)向量的减法可以看作是向量加法的逆运算：即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．
(2)表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量．
例1 如图所示，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c.
解析：方法一 先作a－b，再作a－b－c即可．
如图①所示，以A为起点分别作向量和，使＝a，＝b.连接CB，得向量＝a－b，再以C为起点作向量，使＝c，连接DB，得向量.则向量即为所求作的向量a－b－c.
方法二 先作－b，－c，再作a＋(－b)＋(－c)，如图②.
(1)作＝－b和＝－c；
(2)作＝a，则＝a－b－c.
题后师说
求作两个向量的差向量的两种思路
跟踪训练1 如图所示，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.
解析：方法一(几何意义法) 如图①所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c.
方法二(定义法) 如图②所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝－c，连接OC，则＝a＋b－c.
题型 2 向量加减法的运算
例2 化简下列各式：
(1)()－；
(2)()－()；
(3)()－()．
解析：(1)()－＝＝.
(2)()－()＝＝.
(3)()－()
＝＋()
＝()－
＝＋()＝＝0.
题后师说
1．向量减法运算的常用方法
2．向量加减法化简的两种策略
(1)首尾相连且为和．
(2)起点相同且为差．
解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用．
跟踪训练2 化简下列各式：
(1)；
(2)()＋()．
解析：(1)＝＝＝.
(2)()＋()＝
＝＋()
＝＋0＝.
题型 3 向量加减法的综合应用
例3 如图所示，四边形ACDE是平行四边形，点B是该平行四边形外一点，且＝a，＝b，＝c，试用向量a，b，c表示向量.
解析：因为四边形ACDE是平行四边形，
所以＝＝c，＝＝b－a，
故＝＝b－a＋c.
一题多变 本例条件不变，试用向量a，b，c表示向量、.
解析：＝＝c－a，＝＝c－b.
学霸笔记：用已知向量表示未知向量的方法
(1)解决此类问题要充分利用平面几何知识，灵活运用平行四边形法则和三角形法则．
(2)表示向量时要考虑以下问题：它是否是某个平行四边形的对角线；是否可以找到由起点到终点的恰当途径；它的起点和终点是否是两个有共同起点的向量的终点．
(3)必要时可以直接用向量求和的多边形法则．
跟踪训练3 如图所示，已知O到平行四边形的三个顶点A，B，C的向量分别为a，b，c，则＝________(用a，b，c表示)．
a－b＋c
解析：＝＝＝＝a－b＋c.
随堂练习
1．在平行四边形ABCD中，＝( )
A． B．
C． D．
答案：A
解析：＝＝.故选A.
2．有下列等式：
①0－a＝－a；②－(－a)＝a；③a＋(－a)＝0；④a＋0＝a；⑤a－b＝a＋(－b)；⑥a－(－a)＝0.
正确的个数是( )
A．3 B．4
C．5 D．6
答案：C
解析：由向量减法、相反向量的定义可知①②③④⑤都正确；⑥错误．故选C.
3．化简＝( )
A． B．
C． D．0
答案：D
解析：原式＝()＋()＝＝0.故选D.
4．如图，已知ABCDEF是一正六边形，O是它的中心，其中＝b，＝c，则＝________．
b－c
解析：＝＝＝＝b－c.
课堂小结
1.在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减向量”．
2．能进行向量的加减运算．
3．能用已知向量表示未知向量．(共41张PPT)
6.2.3 向量的数乘运算
预 学 案
共 学 案
预 学 案
一、向量的数乘
定义 实数λ与向量a的积是一个________ 记法 λa 长度 |λa|＝|λ||a| 方向 λ＞0 方向与a的方向________
λ＜0 方向与a的方向________
向量
相同
相反
【即时练习】 判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)对于任意的向量a，总有0·a＝0.( )
(2)当λ＞0时，|λa|＝λa.( )
(3)若a≠0，λ≠0，则a与－λa的方向相反．( )
(4)向量－8a(a≠0)的模是向量4a的模的2倍．( )
×
×
×
√
二、向量数乘的运算律
设λ，μ为任意实数
①λ(μa)＝________；
②(λ＋μ)a＝________；
③λ(a＋b)＝________．
特别地，(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝________．
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a、b，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝____________．
(λμ)a
λa＋μa
λa＋λb
λa－λb
λμ1a±λμ2b
【即时练习】 3(2a－4b)＝( )
A．5a＋7b B．5a－7b
C．6a＋12b D．6a－12b
答案：D
解析：3(2a－4b)＝6a－12b.故选D.
三、向量共线定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使________.
b＝λa
【即时练习】
1．已知a＝－e，b＝e，则下列式子正确的是( )
A．b＝a B．b＝－a
C．b＝2a D．b＝－2a
答案：B
解析：因为a＝－e，b＝e，所以a＝－2b，则b＝－a.故选B.
2．若|a|＝5，b与a的方向相反，且|b|＝7，则a＝________b.
－
解析：∵b与a的方向相反，
可设a＝λb(λ<0)，∴|a|＝|λ||b|，
∴5＝7|λ|，∴λ＝±，
又∵λ<0，∴λ＝－.
微点拨
(1)向量数乘仍是一个向量．λa中的实数λ叫做向量a的系数．
(2)不要忽略特殊情况：当λ＝0时，λa＝0.当λ≠0时，若a＝0，也有λa＝0.
(3)实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算．
(4)向量的数乘的几何意义就是把向量a沿着a的方向或a的反方向扩大或缩小．当λ＞0时，沿着a的方向扩大(λ＞1)λ倍或缩小(0<λ<1)λ；当λ＜0时，沿着a的反方向扩大(|λ|＞1)λ倍或缩小(|λ|<1)|λ|.
微点拨
(1)向量数乘运算律与实数乘法运算律很相似，只是向量数乘分配律由于因子的不同，可分为(λ＋μ)a＝λa＋μa和λ(a＋b)＝λa＋λb.
(2)向量数乘运算律的理论依据是两个向量相等的定义．
微点拨
(1)由a＝λb a∥b中，若λ＝0，则a＝0，零向量与任一向量都平行．若λ＞0，则a与b同向；若λ＜0，则a与b反向．
(2)由a∥b a＝λb中，由λ的唯一性，得b≠0.
(3)该定理有两方面的应用，一是一个向量可以由另一个向量线性表示，则可以判定两向量平行；二是若两向量平行，则一个向量可以由另一非零向量线性表示，可以用来求参数λ，它是轴上向量坐标化的依据．
共 学 案
【学习目标】
(1)了解向量数乘的概念并理解数乘运算的几何意义．
(2)理解并掌握向量数乘的运算律，会进行向量的数乘运算．
(3)理解并掌握两向量共线的性质及判定方法．
题型 1 向量的数乘运算
【问题探究1】 (1)如图，已知非零向量a作出a＋a＋a和(－a)＋(－a)＋(－a)．它们的长度和方向分别是怎样的？类比数的乘法，该如何表示运算结果？它们的长度和方向分别是怎样的？
(2)λa的几何意义是什么？
提示：(1)＝＝a＋a＋a＝3a.
＝＝(－a)＋(－a)＋(－a)＝－3a.
显然3a的方向与a的方向相同，3a的长度是a的长度的3倍，－3a的方向与a的方向相反，－3a的长度是a的长度的3倍．
(2)λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或缩短．如当|λ|＞1时，表示a的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上伸长为原来的|λ|倍．
例1 (多选)已知λ，μ∈R，且a≠0，则在以下各命题中，正确的命题是( )
A．当λ<0时，λa的方向与a的方向一定相反
B．当λ＝0时，λa与a是共线向量
C．|λa|＝λ|a|
D．当λμ>0时，λa的方向与μa的方向一定相同
答案：ABD
解析：根据实数λ与向量a的积λa的方向的规定，易知A正确；对于B，当λ＝0时，λa＝0，0与a是共线向量，故B正确；对于D，由λμ>0可得λ，μ同为正或同为负，所以λa和μa与a同向，或者都与a反向，所以λa与μa是同向的，故D正确；对于C，|λa|＝|λ||a|，C错误．故选ABD.
学霸笔记
λ的正负决定向量λ≠)的方向，|λ|的大小决定λ的模．
跟踪训练1 设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是( )
A．a与λa的方向相反 B．a与λ2a的方向相同
C．|－λa|≥|a| D．|－λa|>|λ||a|
答案：B
解析：对于A中，只有λ<0时，a与λa的方向相反，所以A不正确；
对于B中，因为λ2>0，所以a与λ2a的方向相同，所以B正确；
对于C中，因为|－λa|＝|λ||a|，只有当|λ|≥1，才有|－λa|≥|a|，所以C不正确；
对于D中，因为|－λa|＝|λ||a|，所以D不正确．故选B.
题型 2 向量的线性运算
【问题探究2】 已知向量a，请通过作图判断以下结论是否成立？你能据此归纳出向量数乘的运算律吗？
(1)3(2a)＝6a；
(2)(2＋3)a＝2a＋3a；
(3)2(a＋b)＝2a＋2b.
提示：(1)作图如下：
故3(2a)＝6a成立．
(2)作图如下：
故(2＋3)a＝2a＋3a成立．
(3)作图如下：
故2(a＋b)＝2a＋2b成立．
例2 (1)化简：.
(2)若3m＋2n＝a，m－3n＝b，其中a，b是已知向量，求m，n.
解析：(1)＝(3a－2b＋5a－2a＋3b)
＝(6a＋b)＝3a＋b.
(2)把已知中的两个等式看成关于m，n的方程，联立得方程组
解得
题后师说
向量线性运算的两种方法
跟踪训练2 (1)(2a＋8b)－(4a－2b)＝( )
A．－3a－6b B．6b－3a
C．2b－3a D．3a－2b
答案：B
解析：原式＝a＋4b－4a＋2b＝6b－3a.
(2)已知向量x，y满足3x－2y＝a，－4x＋3y＝b，则x＝________，y＝________(用a，b表示)．
答案：3a＋2b 4a＋3b
解析：由已知得
①×3＋②×2得x＝3a＋2b，
①×4＋②×3，得y＝4a＋3b.
所以x＝3a＋2b，y＝4a＋3b.
题型 3 用已知向量表示其他向量
例3 如图，四边形ABCD中，已知＝2.
(1)用表示；
(2)若＝2＝，用表示.
解析：(1)因为＝，
所以＝＝.
(2)因为＝＝＝,
所以＝＝＝.
题后师说
用已知向量表示其他向量的两种方法
跟踪训练3 如图所示， ABCD中，E是BC的中点，若＝a，＝b，则＝( )
A．a－b B．a＋b
C．a＋b D．a－b
答案：D
解析：＝＝＋(－)
＝＝a－b.故选D.
题型 4 向量共线定理
【问题探究3】 引入向量数乘运算后，你能发现数乘向量与原向量之间有什么位置关系？
提示：λa与a都是向量，当λ>0时，λa与a方向相同，|λa|＝λ|a|；当λ<0时，λa与a方向相反，|λa|＝|λ||a|.因此λa与a共线．
例4 已知非零向量e1，e2不共线．
(1)如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2)，求证：A，B，D三点共线．
(2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值.
解析：(1)证明：∵＝e1＋e2，＝＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5.
∴共线，且有公共点B，
∴A，B，D三点共线．
(2)∵ke1＋e2和e1＋ke2共线，
∴存在实数λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，
即(k－λ)e1＝(λk－1)e2.
∵e1与e2不共线，
∴解得k＝±1.
一题多变 本例条件不变，将(2)改为：欲使ke1＋2e2和2e1＋ke2共线，试确定实数k的值．
解析：∵ke1＋2e2和2e1＋ke2共线，
∴存在实数λ，使ke1＋2e2＝λ(2e1＋ke2)，
即(k－2λ)e1＝(λk－2)e2，
∵e1，e2不共线，∴解得k＝±2.
学霸笔记：
1．证明或判断三点共线的方法
一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得 ＝λ(或 ＝λ等)即可．
2．利用向量共线求参数的方法
已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数对应相等求解．
跟踪训练4 (1)已知a，b为不共线的非零向量，＝a＋5b，＝－2a＋8b，＝3a－3b，则( )
A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线
C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线
答案：B
解析：由于a，b为不共线的非零向量，向量，向量显然没有倍数关系，根据向量共线定理，它们不共线，A，C选项错误；＝＝a＋5b＝，于是A，B，D三点共线，B选项正确；又＝＝－a＋13b，显然和也没有倍数关系，D选项错误．故选B.
(2)设a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－2a)平行，则λ＝________．
解析：∵a＋λb与－(b－2a)平行，则有－(b－2a)＝k(a＋λb)，ka＋λkb＝2a－b，可得：λ＝－.
－
随堂练习
1．10(a＋b)－(a－b)＝( )
A．9a＋9b B．9a＋11b
C．11a＋9b D．11a＋11b
答案：B
解析：根据向量运算公式可知，10(a＋b)－(a－b)＝10a＋10b－a＋b＝9a＋11b.故选B.
2．在 ABCD中，＝2a，＝3b，则＝( )
A．a＋b B．a－b
C．2a＋3b D．2a－3b
答案：C
解析：＝＝2a＋3b.故选C.
3．如图所示，已知在△ABC中，D是△ABC的边AB的中点，则＝( )
A． B．
C． D．
答案：C
解析：因为D是AB中点，所以＝＝＝，故选C.
4．设e1，e2是两个不共线向量，若向量ke1＋2e2与8e1＋ke2方向相反，则实数k＝________．
－4
解析：由题意知，ke1＋2e2与8e1＋ke2共线，
∴存在实数λ，使ke1＋2e2＝λ(8e1＋ke2)＝8λe1＋kλe2.
∵e1，e2不共线，
∴解得或
∵ke1＋2e2与8e1＋ke2反向，
∴λ＝－，k＝－4.
课堂小结
1.实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算．
2．若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线有公共点，则这两条直线重合，这是证明三点共线的重要方法．
3．设＝λ＋μ，若存在实数λ，μ使得λ＋μ＝1，则A、B、C三点共线．(共43张PPT)
第1课时 向量数量积的概念
预 学 案
共 学 案
预 学 案
一、向量的夹角
1．定义：已知两个________a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则________叫作向量a与b的夹角，夹角的取值范围是________．
2．特例：
(1)当θ＝0时，向量a，b________．
(2)当θ＝π时，向量a，b________．
(3)当θ＝时，向量a，b________，记作________．
非零向量
∠AOB＝θ
0≤θ≤π
同向
反向
垂直
a⊥b
【即时练习】 若向量a与b的夹角为60°，则向量－a与－b的夹角是( )
A．60° B．120°
C．30° D．150°
答案：A
解析：因为向量a与向量b的夹角为60°，根据向量夹角的几何意义，－a与－b构成的夹角和a与b的夹角相等，故选A.
二、向量的数量积
已知两个非零向量a与b，我们把数量________叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作________，即________________(θ为a，b的夹角)．
规定：零向量与任一向量的数量积为________．
|a||b|cos θ
a·b
a·b＝|a||b|cos θ
0
【即时练习】 已知平面向量a，b的夹角为，且|a|＝4，|b|＝4，则a·b＝( )
A．4 B．4
C．8 D．8
答案：C
解析：因为平面向量a，b的夹角为，且|a|＝4，|b|＝4，
所以a·b＝|a||b|cos ＝4×4×＝8.
故选C.
三、投影向量
1．如图(1)，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，我们考虑如下的变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影叫做向量a在向量b上的________．
投影向量
2．如图(2)，我们可以在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的________．
3．设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则与e，a，θ之间的关系为＝________．
投影向量
|a|cos θ e
【即时练习】 已知|a|＝3，e为单位向量，它们的夹角为，则向量a在e上的投影向量是________．
e
解析：a和e夹角为锐角，于是a在e上的投影向量和e同向共线，故投影向量为|a|·cos ·e＝e.
四、向量数量积的性质
设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则
(1)a·e＝e·a＝________．
(2)a⊥b ________．
(3)当a与b同向时，a·b＝________；当a与b反向时，a·b＝________．特别地，a·a＝________或|a|＝________．
(4)|a·b|____|a||b|.
|a|cos θ
a·b＝0
|a||b|
－|a||b|
|a|2
≤
【即时练习】
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)a与b的数量积a·b是一个向量．( )
(2)若a·b＝0，则a＝0或b＝0.( )
(3)若a⊥b，则a·b＝0.( )
(4)向量a在b上的投影向量是一个模等于|acos θ|(θ是a与b的夹角)，方向与b相同或相反的一个向量．( )
×
×
√
√
2．若|a|＝1，|b|＝3，a·b＝，则向量a与b的夹角为( )
A． B． C． D．
答案：C
解析：设向量a与b的夹角为θ，
由|a|＝1，|b|＝3，a·b＝，
得cos θ＝＝＝，
所以θ＝.故选C.
微点拨
按照向量夹角的定义，只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，
∠BAC不是向量与向量的夹角，∠BAD才是向量与向量的夹角．
微点拨
(1)两向量的数量积是个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定．
(2)两个向量的数量积称为内积，应写成a·b，不能写成a×b(两向量的外积)，它与代数中数a、b的乘积ab(或a·b)是不同的．
(3)在实数中，若a≠0，且ab＝0，则b＝0；但是在数量积中，当a≠0时，由a·b＝0不能推出b一定是零向量．因为其中cos θ有可能为0，即任一与a垂直的非零向量b，都有a·b＝0.
(4)已知实数a、b、c(b≠0)，则ab＝bc a＝c；但对于向量，该推理就是不正确的，即a·b＝b·cD a＝c.
微点拨
(1)向量a在向量b上的投影向量是与向量b平行的向量．
(2)如果向量a与向量b平行或垂直，向量a在向量b上的投影向量具有特殊性．
微点拨
(1)a⊥b a·b＝0，既可以用来证明两向量垂直，也可以由垂直进行有关计算．
(2)a·a＝a2＝|a|2与|a|＝＝也用来求向量的模，以实现实数运算与向量运算的相互转化．
(3)用cos θ＝求两向量的夹角，且夹角的取值与a·b的符号有关．
设两个非零向量a与b的夹角为θ，则
当θ＝0时，cos θ＝1，a·b＝|a||b|；
当θ为锐角时，cos θ>0，a·b>0；
当θ为直角时，cos θ＝0，a·b＝0；
当θ为钝角时，cos θ<0，a·b<0；
当θ＝π时，cos θ＝－1，a·b＝－|a||b|.
(4)|a·b|≤|a||b|可以用来通过构造向量来证明不等式问题或解决最值问题．
共 学 案
【学习目标】
(1)知道向量数量积的物理背景，理解并掌握向量数量积的定义及投影向量．
(2)掌握向量数量积的性质，并会求向量的模与向量的夹角．
题型 1 两向量的夹角
【问题探究1】 如图，一个物体在力F的作用下发生了位移s，那么该力对此物体所做的功为W＝|F||s|cos θ，在该公式中，涉及力与位移的夹角，我们要先定义向量的夹角的概念．什么是向量的夹角？
提示：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫作向量a与b的夹角，夹角的取值范围是0≤θ≤π.
例1 已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是多少？a－b与a的夹角又是多少？
解析：如图所示，作＝a，＝b，且∠AOB＝60°.
以为邻边作平行四边形OACB，
则＝a＋b，＝a－b.
因为|a|＝|b|＝2，
所以平行四边形OACB是菱形，
又∠AOB＝60°，
所以与的夹角为30°，与的夹角为60°.
即a＋b与a的夹角是30°，a－b与a的夹角是60°.
学霸笔记
(1)求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出．
(2)特别地，与的夹角为θ，λ1与λ2 （λ1，λ2是非零常数)的夹角为θ0，当λ1λ2<0时，θ0＝180°－θ；当λ1λ2>0时，θ0＝θ.
跟踪训练1 在△ABC中，∠C＝90°，BC＝AB，则与的夹角是( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
答案：C
解析：如图，作向量＝，则∠BAD是与的夹角，在△ABC中，因为∠ACB＝90°，BC＝AB，所以∠ABC＝60°，所以∠BAD＝120°，即与的夹角是120°.故选C.
题型 2 两向量的数量积
【问题探究2】 类比力做功的物理模型，你能给出向量数量积的定义吗？两个向量的数量积还是向量吗？
提示：已知两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ(θ为a，b的夹角)．由数量积的定义知两个向量的数量积不是向量是数量．
例2 如图，在平行四边形ABCD中，||＝4，||＝3，∠DAB＝60°，求：
(1)·；
(2)·；
(3)·.
解析：(1)平行四边形ABCD中，||＝4，||＝3，∠DAB＝60°，
∵＝，∴·＝2＝9.
(2)∵＝－，
∴·＝－2＝－16.
(3)根据平面向量数量积的定义知，
·＝||×||×cos 60°＝4×3×＝6.
学霸笔记：
定义法求平面向量的数量积
若已知两向量的模及其夹角，则直接利用公式·＝||||cos θ.运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条件是两向量的起点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件．
跟踪训练2 在等边三角形ABC中，边长为2，求··的值．
解析：·＝||||cos A＝2×2×＝2，
·＝－·＝－||||cos B＝－2×2×＝－2.
题型 3 投影向量
【问题探究3】 如图，设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，那么与e，a，θ之间有怎样的关系？
提示：＝|a|cos θ e.
例3 如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，∠ABC＝30°，D为BC的中点．
(1)求在上的投影向量；
(2)求在上的投影向量．
解析：因为△ABC为等腰三角形，且D为BC的中点，
所以AD⊥BC，又因为AB＝2，∠ABC＝30°，
所以CD＝BD＝AB·cos 30°＝.
由图可知向量与向量的夹角为∠ABC的补角，
所以向量与向量的夹角为150°，
＝＝.
(1)在上的投影向量为
||cos 150°×＝2×cos 150°×＝－.
(2)在上的投影向量为
||cos 150°×＝×cos 150°×＝－.
学霸笔记
(1)任意的非零向量在另一非零向量上的投影向量等于||cos θ(θ为向量的夹角，为与同向的单位向量)．
(2)在平面几何图形中，求一个向量在另一个向量上的投影向量时，关键是作出恰当的垂线，根据题意确定向量的模及两向量的夹角．
跟踪训练3 已知|a|＝1，|b|＝3，a·b＝－3，则向量a在向量b上的投影向量为________．
－b
解析：∵a·b＝|a||b|cos θ＝－3，又|b|＝3，
∴|a|cos θ＝－1，又＝，
所以向量a在向量b方向上的投影向量为－b.
题型 4 向量数量积的性质
【问题探究4】 探究以下问题，尝试发现数量积的性质．
(1)向量a与单位向量e的数量积结果是什么？
(2)当两个非零向量a与b互相平行或垂直时，向量a在向量b上的投影向量具有特殊性，这时它们的数量积又有怎样的特殊性？
(3)|a·b|与|a||b|有什么关系？
提示：(1)a·e＝e·a＝|a|cos θ.
(2)a⊥b a·b＝0.
当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.特别地，a·a＝|a|2或|a|＝.
(3)|a·b|≤|a||b|.
例4 已知△ABC中，＝a，＝b，当a·b满足下列哪个条件时，能确定△ABC的形状？如能确定，指出三角形的形状，如不能确定，请说明理由．
(1)a·b<0；(2)a·b＝0；(3)a·b>0.
解析：∵a·b＝·＝||||cos A.
故(1)当a·b<0时，∠A为钝角，△ABC为钝角三角形；
(2)当a·b＝0时，∠A为直角，△ABC为直角三角形；
(3)当a·b>0时，∠A为锐角，△ABC的形状不确定．
学霸笔记
利用数量积的性质判断三角形的形状关键看角的大小，若其中有一个角为钝角或直角，那么三角形为钝角三角形或直角三角形，若其中有一个角为锐角，三角形的形状不能判断为锐角三角形．
跟踪训练4 已知a，b，c是三个非零向量，则下列说法中正确的个数为( )
①若a·b＝±|a|·|b|，则a∥b；
②若a，b反向，则a·b＝－|a|·|b|；
③若a⊥b，则|a＋b|＝|a－b|；
④若|a|＝|b|，则|a·c|＝|b·c|.
A．1 B．2 C．3 D．4
答案：C
解析：对于①，设a，b的夹角为θ，∵a·b＝|a||b|cos θ，∴由a·b＝±|a||b|及a，b为非零向量，可得cos θ＝±1，∴θ＝0或π，∴a∥b，故①正确；对于②，若a，b反向，则a，b的夹角为π，∴a·b＝|a||b|·cos π＝－|a||b|，故②正确；对于③，当a⊥b时，将向量a，b的起点确定在同一点，则以向量a，b为邻边作平行四边形，该平行四边形必为矩形，于是它的两条对角线长相等，即有|a＋b|＝|a－b|，故③正确；对于④，当|a|＝|b|，但a与c的夹角和b与c的夹角不等时，|a·c|≠|b·c|，故④错误．故选C.
随堂练习
1．已知单位向量a，b，夹角为30°，则a·b＝( )
A． B． C．1 D．－
答案：B
解析：由向量的数量积公式，得a·b＝|a||b|·cos 30°＝1×1×＝，故选B.
2．若a·b>0，则a与b的夹角θ的取值范围是( )
A．[0，) B．[，π)
C．(，π] D．(，π)
答案：A
解析：因为a·b>0，所以cos θ>0，所以θ∈[0，)．故选A.
3．已知平面向量a，b的夹角为，且＝4，＝4，则a·b＝( )
A．4 B．4 C．8 D．8
答案：C
解析：因为平面向量a，b的夹角为，且＝4，＝4，
所以a·b＝cos ＝4×4×＝8，故选C.
4．已知|a|＝2，a与b的夹角为，e是与b同向的单位向量，则a在b方向上的投影向量为________．
－e
解析：a在b方向上的投影向量为|a|cos 〈a，b〉·e＝2cos ·e＝－e.
课堂小结
1.向量数量积的定义，会用数量积的定义求两个向量的数量积．
2．会求一个向量在另一个向量上的投影向量．
3．向量数量积的性质的应用．(共28张PPT)
第2课时 向量数量积的运算
预 学 案
共 学 案
预 学 案
向量的数量积的运算律
已知向量a，b，c和实数λ，则
(1)a·b＝________(交换律)．
(2)(λa)·b＝________＝________(结合律)．
(3)(a＋b)·c＝________(分配律)．
b·a
λ(a·b)
a·(λb)
a·c＋b·c
【即时练习】
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若a·b＝a·c且a≠0，则b＝c.( )
(2)(a·b)c＝a(b·c)．( )
(3)(a·b)2＝a2·b2.( )
(4)a·[b(a·c)－c(a·b)]＝0.( )
×
×
×
√
2．已知a，b是互相垂直的单位向量，若c＝a－2b，则b·c＝( )
A．－2 B．－1 C．0 D．2
答案：A
解析：b·c＝b·(a－2b)＝b·a－2b2＝0－2＝－2.
故选A.
微点拨
(1)向量的数量积不满足消去律：若a，b，c均为非零向量，且a·c＝b·c，得不到a＝b.
(2)实数运算满足乘法结合律，但向量的数量积运算不满足乘法结合律，即(a·b)c不一定等于a(b·c)，这是由于(a·b)c表示一个与c共线的向量，而a(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线．
(3)常用结论
①(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
②(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2.
③(a＋b)·(c＋d)＝a·c＋a·d＋b·c＋b·d.
共 学 案
【学习目标】
(1)掌握向量数量积的运算律及常用的公式．
(2)会利用向量数量积的运算律进行计算或证明．
题型 1 向量数量积的运算律
【问题探究】 小明学习了向量数量积的运算后，根据实数的运算律，类比得出向量数量积的运算律，如下表：
表中这些类比的结论正确吗？
运算律 实数乘法 平面向量数量积
交换律 ab＝ba a·b＝b·a
结合律 (ab)c＝a(bc) (a·b)·c＝a·(b·c)
(λa)·b＝a·(λb)＝λ(a·b)
分配律 (a＋b)c＝ac＋bc (a＋b)·c＝a·c＋b·c
提示：a·b＝b·a正确；(λa)·b＝a·(λb)＝λ(a·b)正确；
(a＋b)·c＝a·c＋b·c正确；(a·b)·c＝a·(b·c)不正确．
(解释见预学案微点拨)
例1 已知|a|＝4，|b|＝6，a与b的夹角为60°，求：
(1)a·(a＋b)；
(2)(2a－b)·(a＋3b)．
解析：a·b＝|a|·|b|·cos 60°＝4×6×＝12.
(1)a·(a＋b)＝a2＋a·b＝|a|2＋a·b＝16＋12＝28；
(2)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2－3b2＋5a·b＝2|a|2－3|b|2＋5a·b＝2×16－3×36＋5×12＝－16.
学霸笔记
正确应用向量数量积的运算律化简是解此类问题的关键．
跟踪训练1 已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝1，则a·(2a－b)＝( )
A．4 B．3
C．2 D．1
答案：D
解析：因为a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－1＝2－1＝1.故选D.
题型 2 与向量模有关的计算
例2 已知向量a，b满足|a|＝3，|a－b|＝5.
(1)若a·b＝0，求|b|的值；
(2)若a·b＝1，求|2a＋b|的值．
解析：(1)∵|a－b|＝5，
∴|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝9＋|b|2＝25，
∴|b|2＝16，即|b|＝4.
(2)|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝9＋|b|2－2＝25，
∴|b|2＝18，即|b|＝3，
|2a＋b|＝＝＝＝.
题后师说
求向量模的策略
跟踪训练2 已知向量a、b满足|a|＝2，|b|＝3，|a＋b|＝4，求|a－b|.
解析：由已知，|a＋b|＝4，
∴|a＋b|2＝42，∴a2＋2a·b＋b2＝16.(*)
∵|a|＝2，|b|＝3，
∴a2＝|a|2＝4，b2＝|b|2＝9，
代入(*)式得4＋2a·b＋9＝16，即2a·b＝3.
又∵|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝4－3＋9＝10，
∴|a－b|＝.
题型 3 两向量的夹角与垂直
例3 (1)若向量a，b满足|a|＝，|b|＝2，a⊥(a－b)，则a与b的夹角为( )
A． B．
C． D．
答案：A
解析：设a与b的夹角为θ，因为a⊥(a－b)，所以0＝a·(a－b)＝a2－a·b＝2－|a||b|cos θ＝2－2cos θ，得cos θ＝，又θ∈[0，π]，所以θ＝.故选A.
(2)已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，则当k为何值时，向量3a＋2b与ka－b互相垂直？
解析：因为3a＋2b与ka－b互相垂直，
所以(3a＋2b)·(ka－b)＝0，
所以3ka2＋(2k－3)a·b－2b2＝0.
因为a⊥b，所以a·b＝0，
又|a|＝2，|b|＝3，所以12k－18＝0，k＝.
一题多变 将本例(2)中的“a⊥b”改为“a－b与a垂直”，其他条件不变，结果如何？
解析：因为a－b与a垂直，
所以(a－b)·a＝0，即|a|2－a·b＝0，
解得a·b＝4，
当(3a＋2b)⊥(ka－b)时，(3a＋2b)·(ka－b)＝0，
即3k|a|2＋(2k－3)a·b－2|b|2＝0，解得k＝.
学霸笔记：(1)求向量的夹角，主要是利用公式cos θ＝求出夹角的余弦值，从而求得夹角．可以直接求出·的值及||，||的值，然后代入求解，也可以寻找||，||，·三者之间的关系，然后代入求解．
(2)要注意夹角θ的范围θ∈[0，π]，当cos θ＞0时，θ∈[0，)；当cos θ＜0时，θ∈(，π]；当cos θ＝0时，θ＝.
(3)解决有关垂直问题时利用⊥ ·＝0(为非零向量)．
跟踪训练3 (1)已知平面向量a，b，满足a·(2a－b)＝5，且|a|＝1，|b|＝3，则向量a与向量b的夹角余弦值为( )
A．1 B．－1
C． D．－
答案：B
解析：设向量a与向量b的夹角为θ，a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－|a|·|b|cos θ＝5，因为|a|＝1，|b|＝3，所以2－3cos θ＝5，解得cos θ＝－1，故选B.
(2)已知向量a，b的夹角的余弦值为，|a|＝|b|，且a＋2b与a＋λb垂直，则λ＝________．
－
解析：(2)由题设，(a＋2b)·(a＋λb)＝a2＋(2＋λ)a·b＋2λb2＝0，若|a|＝|b|＝m≠0，则a·b＝，所以(2λ＋1＋)m2＝0，即2λ＋1＋＝0，可得λ＝－.
随堂练习
1．若a，b，c均为任意向量，m∈R，则下列等式不一定成立的是( )
A．(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
B．(a＋b)·c＝a·c＋b·c
C．m(a＋b)＝ma＋mb
D．(a·b)c＝a(b·c)
答案：D
解析：选项A是向量加法的结合律，正确；选项B是向量数量积运算对加法的分配律，正确；选项C是数乘运算对向量加法的分配律，正确；选项D，根据数量积和数乘定义，等式左边是与c共线的向量，右边是与a共线的向量，两者不一定相等，即向量的数量积运算没有结合律存在．D错．故选D.
2．设e1和e2是互相垂直的单位向量，且a＝3e1＋2e2，b＝－3e1＋4e2，则a·b＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
答案：B
解析：a·b＝(3e1＋2e2)·(－3e1＋4e2)＝
＝－9＋8＝－1.故选B.
3．若向量a，b满足|a|＝2，|b|＝2，a·b＝2，则|a－b|＝( )
A． B．2
C．2 D．4
答案：B
解析：由题意可得|a－b|＝＝＝＝2.故选B.
4．已知向量a，b满足(a－b)⊥b，且|a|＝2，|b|＝1，则a与b的夹角为________．
解析：由(a－b)⊥b，得(a－b)·b＝0，解得a·b＝|b|2＝1，
设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝，
因为0≤θ≤π，所以θ＝.
所以a与b的夹角为.
课堂小结
1.向量数量积的运算律及其应用．
2．利用数量积求向量的模．
3．利用数量积解决夹角与垂直问题．
