(共38张PPT)
8.4.1 平面
预 学 案
共 学 案
预 学 案
一、平面
1．平面的概念
几何中所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、平静的水面等，这样的一些物体中抽象出来的．类似于直线向两端无限延伸，几何中的平面是向四周________的．
无限延展
2．平面的画法
我们常用矩形的直观图，即____________表示平面，它的锐角通常画成________，且横边长等于其邻边长的________倍，如图①.
如果一个平面的一部分被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用________画出来，如图②.
3．平面的表示法
图①的平面可表示为平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD.
平行四边形
45°
2
虚线
【即时练习】 下列说法正确的是( )
A．镜面是一个平面
B．一个平面长10 m，宽5 m
C．一个平面的面积是另一个平面面积的2倍
D．所有的平面都是无限延展的
答案：D
解析：镜面可以抽象成平面，但不是平面，所以选项A不正确；平面没有大小，所以选项B和选项C都不正确．故选D.
二、平面的基本性质
1．基本事实
基本事实 内容 图形 符号
基本事实1 过______________的三个点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线 存在唯一的平面α使A，B，C∈α
基本事实2 如果一条直线上的________在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α l α
基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的________ P∈α，且P∈β α∩β＝l，且P∈l
不在一条直线上
两个点
公共直线
2.推论
推论 内容 图形 作用
推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 确定平面的依据
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面
【即时练习】 点A在直线l上，直线l在平面α内，用符号表示，正确的是( )
A．A∈l，l∈α B．A∈l，l α
C．A l，l α D．A∈l，l α
答案：D
解析：点A在直线l上，则A∈l，l在平面α内，则l α.
故选D.
微点拨
(1)平面和点、直线一样，是只描述而不加定义的原始概念，不能进行度量；
(2)平面无厚薄、无大小，是无限延展的．
微点拨
(1)直线可以看成无数个点组成的集合，故点与直线的关系是元素与集合的关系，用“∈”或“ ”表示；
(2)平面也可以看成点集，故点与平面的关系也是元素与集合的关系，用“∈”或“ ”表示；
(3)直线和平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集合的关系，故用“ ”或“ ”表示．
共 学 案
【学习目标】 (1)了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法．(2)能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系．(3)掌握关于平面基本性质的三个基本事实．
【问题探究】
(1)生活中的一些物体给我们以平面的感觉，如平静的湖面、整洁的教室桌面、美丽的大草原等，你能说出平面的一些几何特征吗？
(2)在凹凸不平的地面上放一个三条腿的凳子和一个四条腿的凳子，哪个稳定？若把直尺边缘上的任何两点放在桌面上，直尺的边缘上的其余点和桌面有何关系？两张纸面相交有几条交线？
提示：(1)无限延展、不计大小、不计厚薄等．
(2)三条腿的凳子稳定；直尺的边缘上的其余点在桌面上；两张纸面相交有一条交线．
题型 1 文字语言、图形语言、符号语言的相互转化
例1 用符号表示下列语句，并画出图形：
(1)点A在平面α内但在平面β外；
(2)直线a经过平面α内一点A，平面α外一点B；
(3)直线a在平面α内，也在平面β内．
解析：(1)因为点A在平面α内但在平面β外，所以可以用下图表示：
(2)因为直线a经过平面α内一点A，α外一点B，所以可以用下图表示：
(3)因为直线a在平面α内，也在平面β内，所以可以用下图表示：
学霸笔记：(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着先用文字语言表示，再用符号语言表示．
(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．
跟踪训练1 根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形．
(1)l α，m＝A，A l；
(2)P∈l，P α，Q∈l，Q∈α.
解析：(1)直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上，如下图所示：
(2)直线l经过平面α外一点P和平面α上一点Q，如下图所示：
题型 2 点、线共面问题
例2 如图所示，l1＝＝B，l1＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．
证明：方法一(纳入法)
∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.
又∵l2 α，∴B∈α.同理可证C∈α.
∵B∈l3，C∈l3，∴l3 α.
∴直线l1，l2，l3在同一平面内．
方法二(同一法)
∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β.
∵A∈l2，l2 α，∴A∈α.∵A∈l2，l2 β，∴A∈β.
同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.
∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内．
∴直线l1，l2，l3在同一平面内．
题后师说
证明点、线共面的2种常用方法
跟踪训练2
如图，已知a α，b α，a＝A，P∈b，PQ∥a，求证：PQ α.
证明：因为PQ∥a，所以PQ与a确定一个平面β，所以直线a β，点P∈β.因为P∈b，b α，所以P∈α.又因为a α，P a，所以α与β重合，所以PQ α.
题型 3 点共线问题
例3 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M，N，E，F分别是棱CD，AB，DD1，AA1上的点，若MN与EF交于点Q，求证：D，A，Q三点共线．
证明：MN∩EF＝Q，
∴Q∈直线MN，Q∈直线EF，
又∵M∈直线CD，N∈直线AB，CD 平面ABCD，AB 平面ABCD，
∴M，N∈平面ABCD，
∴MN 平面ABCD.
∴Q∈平面ABCD.
同理，可得Q∈平面ADD1A1.
又∵平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD，
∴Q∈直线AD，即D，A，Q三点共线．
题后师说
证明三点共线的方法
跟踪训练3
已知△ABC在平面α外，AB＝P，AC＝R，BC＝Q，如图．求证：P、Q、R三点共线．
证明：方法一 ∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.
又AB 平面ABC，∴P∈平面ABC.
∴由基本事实3可知：点P在平面ABC与平面α的交线上，
同理可证Q、R也在平面ABC与平面α的交线上．
∴P、Q、R三点共线．
方法二 ∵AP∩AR＝A，
∴直线AP与直线AR确定平面APR.
又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，
∴平面APR∩平面α＝PR.
∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC 平面APR.
∴Q∈平面APR，又∵Q∈α，
∴Q∈PR.∴P、Q、R三点共线．
题型 4 线共点问题
例4 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为AB、AA1的中点．求证：CE，D1F，DA三线交于一点．
证明：连接EF，D1C，A1B，
∵E为AB的中点，F为AA1的中点，
∴EF∥A1B，EF＝A1B，
又∵A1B∥D1C，A1B＝D1C，
∴EF∥D1C，EF＝D1C，
∴E、F、D1、C四点共面，且四边形EFD1C为梯形．
∵EF设D1F∩CE＝P，如图．
∵D1F 平面AA1D1D，P∈D1F，
∴P∈平面AA1D1D.
又∵CE 平面ABCD，P∈CE，
∴P∈平面ABCD，
∴P是平面ABCD与平面AA1D1D的公共点．
又∵平面ABCD∩平面AA1D1D＝AD，
∴P∈AD，
∴CE，D1F，DA三线交于一点．
题后师说
证明三线共点的一般步骤
跟踪训练4 如图，已知平面α，β，且α＝l，设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB α，CD β.求证：AB，CD，l共点．
证明：
∵在梯形ABCD中，
AD∥BC，
∴AB与CD必交于一点，
设AB交CD于M.
则M∈AB，M∈CD，
又∵AB α，CD β，
∴M∈α，M∈β，
又∵α∩β＝l，
∴M∈l，
∴AB，CD，l共点．
随堂练习
1．若一直线a在平面α内，则正确的图形是( )
答案：A
解析：选项B、C中直线a在平面α外，选项D中直线a与平面α相交，选项A中直线a在平面α内．故选A.
2．如果点A在直线a上，而直线a在平面α内，点B在平面α内，则可以表示为( )
A．A a，a α，B∈α B．A∈a，a α，B∈α
C．A a，a∈α，B α D．A∈a，a∈α，B∈α
答案：B
解析：点A在直线a上，而直线a在平面α内，点B在平面α内，表示为A∈a，a α，B∈α.故选B.
3．如图所示，用符号语言可表示为( )
A．α＝m，n α，m＝A
B．α＝m，n∈α，m＝A
C．α＝m，n α，A m，A n
D．α＝m，n∈α，A∈m，A∈n
答案：A
解析：由图知α与β交于m，n在α内，m与n交于点A，
则正确的符号语言应是：α∩β＝m，n α，m∩n＝A.故选A.
4．不重合的三条直线，若相交于一点，最多能确定________个平面．
3
解析：三条直线相交于一点，最多可确定3个平面，直线a，b，c相交于点A，直线a，b确定平面α，直线b，c确定平面β，直线a，c确定平面γ，共3个平面．
课堂小结
1.平面的概念．
2．三个基本事实．
3．利用三个基本事实证明共面、共线、共点问题．(共32张PPT)
8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系
预 学 案
共 学 案
预 学 案
一、空间中两条直线的位置关系
1．异面直线：不同在________平面内的两条直线．
2.异面直线的画法(衬托平面法)
如图(1)(2)所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托．
任何一个
3．空间两条直线的三种位置关系
(1)从是否有公共点的角度来分：
(2)从是否共面的角度来分：
平行
异面
相交
平行
相交
异面
【即时练习】 若直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是( )
A．相交 B．平行
C．异面 D．平行或异面
答案：D
解析：因为两直线相交只有一个公共点，两直线平行或异面没有公共点，故选D.
二、空间中直线与平面的位置关系
位置关系 直线在平面内 直线与平面相交 直线与平面平行
公共点 ________个公共点 ____个 ____个
符号表示 ________ ________ ________
图形表示
无数
1
0
a α
a∩α＝A
a∥α
【即时练习】 若一直线上有一点在已知平面外，则下列结论中正确的是( )
A．直线与平面平行
B．直线与平面相交
C．直线上至少有一个点在平面内
D．直线上有无数多个点都在平面外
答案：D
解析：对于B，若直线与平面相交，此时除交点外，其余点都在平面外，B错误；
对于AC，若直线与平面平行，则所有点都在平面外，AC错误；
对于D，直线无论与平面相交还是平行，则都有无数个点在平面外，D正确．故选D.
三、空间中平面与平面的位置关系
位置关系 平行 相交
图示
表示法 ________ ________
公共点个数 ____个 ________个
α∥β
α∩β＝a
0
无数
【即时练习】 若M∈平面α，M∈平面β，α、β为不同的平面，则平面α与β的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．重合 D．不确定
答案：B
解析：由基本事实可知，平面α与平面β相交．故选B.
微点拨
1．异面直线的定义表明异面直线不具备确定平面的条件．异面直线既不相交，也不平行．
2．不能把异面直线误认为分别在不同平面内的两条直线，如图中，虽然有a α，b β，即a，b分别在两个不同的平面内，但是因为a∩b＝O，所以a与b不是异面直线．
微点拨
直线在平面外包括两种情形：a∥α与a∩α＝A.
微点拨
画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行．
共 学 案
【学习目标】 (1)借助长方体，了解空间两条直线间的位置关系；理解异面直线的定义．(2)了解直线与平面、平面与平面之间的位置关系，并能判断这些位置关系．
题型 1 空间中两直线的位置关系
【问题探究1】 请同学们观察长方体模型，说出以下两直线的位置关系：AB与D′C′，AB与BB′，AB与CC′.
提示：平行 相交 异面
例1 若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是( )
A．平行 B．异面
C．相交 D．平行、相交或异面
答案：D
解析：可借助长方体来判断．
如图，在长方体ABCD -A′B′C′D′中，A′D′所在直线为a，AB所在直线为b，
已知a和b是异面直线，b和c是异面直线，
则c可以是长方体ABCD-A′B′C′D′中的B′C′，CC′，DD′.
故a和c可以平行、相交或异面．故选D.
题后师说
判断空间两条直线位置关系的策略
跟踪训练1 一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．相交或异面
答案：D
解析：如图(1)所示，此时直线a与直线b为异面直线，其中l∥a，此时直线l与b为相交直线；如图(2)所示，此时直线a与直线b为异面直线，其中l∥a，此时直线l与b为异面直线．综上，一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线的位置关系是相交或异面．故选D.
题型 2 空间中直线与平面的位置关系
【问题探究2】 如图，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，你能发现A′B所在的直线与长方体ABCD-A′B′C′D′的六个面所在的平面有几种位置关系？
提示：三种：(1)直线在平面内；(2)直线与平面平行；(3)直线与平面相交．
例2 (多选)下列说法中，正确的有( )
A．如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行
B．如果一条直线与一个平面相交，那么这条直线与平面内无数条直线相交
C．过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行
D．一条直线上有两点到平面的距离相等，那么这条直线和这个平面可能平行，也可能相交
答案：BD
解析：如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的直线平行或异面，所以A错；如果一条直线与一个平面相交，那么在这个平面内作过交点的直线都与这条直线相交，有无数条，所以B正确；对于C显然有无数条；如图所示，说明D正确．
学霸笔记：在判断直线与平面的位置关系时，三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏，另外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，便于作出正确判断，避免凭空臆断．
跟踪训练2 若直线上有一点在平面外，则下列结论正确的是( )
A．直线上所有的点都在平面外
B．直线上有无数多个点都在平面外
C．直线上有无数多个点都在平面内
D．直线上至少有一个点在平面内
答案：B
解析：直线上有一点在平面外，则直线不在平面内，故直线上有无数多个点在平面外．故选B.
题型 3 空间中平面与平面的位置关系
【问题探究3】 拿出一本书看作一个平面，随意上下、左右移动和翻转，它和桌面所在平面的位置关系有几种？有什么特点？
提示：有两种：平行、相交．
特点：两个平面平行时，两者没有公共点；两个平面相交时，两者有一条公共直线．
例3 如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系一定是( )
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．不能确定
答案：C
解析：逆向考虑画两平行面，看是否能在此两面内画两条平行线．同样画两相交面，看是否能在此两面内画两条平行线，再作出选择(如图所示)．故选C.
学霸笔记：
平面与平面的位置关系的判断方法
(1)平面与平面相交的判断，主要是以基本事实3为依据找出一个交点．
(2)平面与平面平行的判断，主要是说明两个平面没有公共点．
跟踪训练3 若两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的直线( )
A．平行 B．异面
C．相交 D．平行或异面
答案：D
解析：两个平面内的直线必无交点，所以是异面或平行．
随堂练习
1．不平行的两条直线的位置关系是( )
A．相交 B．异面
C．平行 D．相交或异面
答案：D
解析：由于空间两条直线的位置关系是平行、相交、异面，则不平行的两条直线的位置关系是相交或异面．故选D.
2．直线l与平面α有两个公共点，则( )
A．l∈α B．l∥α
C．l与α相交 D．l α
答案：D
解析：根据基本事实1可知，l α.故选D.
3．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的( )
A．仅有一条直线不相交
B．仅有两条直线不相交
C．无数条直线相交
D．任意一条直线不相交
答案：D
解析：直线a∥平面α，则a与α无公共点，与α内的任一直线均无公共点．故选D.
4．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：
(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是_________；
(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是_________；
(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________；
(4)直线AB与直线B1C的位置关系是_________．
平行
异面
相交
异面
解析：(1)在长方体ABCD -A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形，所以A1B∥D1C.
(2)直线A1B与直线B1C不同在任何一个平面内．
(3)直线D1D与直线D1C相交于点D1.
(4)直线AB与直线B1C不同在任何一个平面内．
课堂小结
1．两直线的位置关系．
2．直线与平面的位置关系．
3．平面与平面的位置关系．
